Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Matrix53

25.872 visualizaciones

Publicado el

คณิตศาสตร์, เมทริกซ์ , ความหมายของเมทริกซ์, การดำเนินการเกี่ยวกับเมทริกซ์

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

Matrix53

  1. 1. Matrix<br />
  2. 2. 1. นิยามของเมตริกซ์<br />นิยามที่ 1 เมตริกซ์คือ กลุ่มของจำนวนจริง หรือ <br />จำนวนเชิงซ้อน มาจัดเรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น<br />แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตั้ง (Vertical)<br />ซึ่งมีแถวตามแนวนอนเรียกว่า แถว (Row)และตาม<br />แนวตั้งเรียกว่า สดมภ์ (Column)<br />
  3. 3. โดยทั่วไปนิยมใช้ในรูปต่อไปนี้แทน<br />ใช้สัญลักษณ์ เป็น หรือ<br />
  4. 4. เมตริกซ์ที่มี 1 แถวและ n สดมภ์ เรียก เมตริกซ์<br />เชิงแถว หรือ เวกเตอร์เชิงแถว เช่น<br /> เมตริกซ์ที่มี m แถวและ 1 สดมภ์ เรียก เมตริกซ์<br />เชิงสดมภ์ หรือ เวกเตอร์เชิงสดมภ์ เช่น<br />
  5. 5. เมตริกซ์จัตุรัส(Square Matrix)คือ เมตริกซ์ที่มี<br />จำนวนแถวเท่ากับจำนวนสดมภ์ (m=n) หรือเรียกว่า<br />เมตริกซ์อันดับ nมีรูปทั่วไปคือ<br />สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง i=jเรียก เส้นเส้นทแยงมุมหลัก <br />
  6. 6. เมตริกซ์ศูนย์ (Zero MatrixหรือNull Matrix)<br />คือ เมตริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์หมด เช่น<br />0 0 0<br />0 0 0<br />0 0 0 <br />0 0 0<br />0 0 0 <br />O = หรือ<br />
  7. 7. เมตริกซ์เฉียง (Diagonal Matrix)คือเมตริกซ์<br />จัตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัวที่ไม่ได้อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก<br />มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด เช่น<br />4 0 0 0<br />0 3 0 0<br />0 0 2 0<br />0 0 0 1<br />2 0 0<br />0 3 0<br />0 0 4<br />หรือ<br />
  8. 8. สเกล่าร์เมตริกซ์ (Scalar Matrix)คือเมตริกซ์<br />เฉียงที่มีสมาชิกทุกตัวบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน<br />ทั้งหมด เช่น<br />5 0 0 0<br />0 5 0 0<br />0 0 5 0<br />0 0 0 5<br />4 0 0<br />0 4 0<br />0 0 4<br />หรือ<br />
  9. 9. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix หรือ<br />Unit Matrix)คือ เมตริกซ์เฉียงที่มีสมาชิกทุกตัวบน<br />เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 1 ทั้งหมด ใช้สัญลักษณ์ <br />Iหรือ Inแทนเอกลักษณ์เมตริกซ์อันดับ nเช่น<br />1 0 0 0<br />0 1 0 0<br />0 0 1 0<br />0 0 0 1<br />1 0 0<br />0 1 0<br />0 0 1<br />I3 = หรือ I4 = <br />
  10. 10. Ex.<br />3 2 0 1<br />7 1 6 4<br />A = <br />เป็นเมตริกซ์ขนาด _________ แถว <br />_________ คอลัมน์<br />เขียนด้วยสัญลักษณ์ _____________<br />
  11. 11. Ex. จงบอกประเภทและมิติของเมตริกซ์ลักษณะ<br />พิเศษต่อไปนี้<br />เมตริกซ์ศูนย์ มิติ <br />0 0 0<br />0 0 0 <br />1. O = <br />เมตริกซ์เชิงสดมภ์ มิติ<br />1<br />8<br />2. A = <br />
  12. 12. Ex. จงบอกประเภทและอันดับของเมตริกซ์ลักษณะ<br />พิเศษต่อไปนี้<br />3. B = <br />2 4 6 8 0<br />เมตริกซ์เชิงแถว มิติ<br />2 0 0<br />0 3 0<br />0 0 4<br />เมตริกซ์เฉียง มิติ<br />4. C = <br />
  13. 13. 2. พีชคณิตของเมตริกซ์ <br />2.1 การเท่ากันของเมตริกซ์ (Equal Matrix)<br />ถ้า และ<br />จะได้ A = Bก็ต่อเมื่อ m = p และ n = q<br />และ aij = bij ทุกค่าของ iและ j<br />
  14. 14. Ex.<br />ดังนั้น<br />Ex.<br />ดังนั้น<br />
  15. 15. Ex.ให้ เมื่อ<br /> และ<br /> ถ้า A = B จงหาค่า x และ y<br />วิธีทำ<br />นั่นคือ<br />
  16. 16. 2.2 การบวกลบเมตริกซ์ (Matrix Addition or Subtraction)<br /> ให้ และ<br /> แล้ว A + B = C<br /> โดยที่<br />
  17. 17. -1 2 4<br /> 3 -6 10 <br />A = <br />4 2 -3<br />1 7 9 <br />B = <br />Ex.<br />และ<br />จงหา C = A + Bและ D = A - B<br />วิธีทำ<br />
  18. 18. คุณสมบัติของการบวกเมตริกซ์<br />ถ้า และ และ<br />และ แล้ว<br />A + B = B + A<br />กฎการสลับที่ (Commutative Law)<br />A + (B + C) = (A + B) + C<br />กฎการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative Law)<br />
  19. 19. คุณสมบัติของการบวกเมตริกซ์<br />A + B = A + Cก็ต่อเมื่อ B = C<br />A + (-A) = Oเมื่อ -A =<br />A + O = A<br />
  20. 20. จงหาเมทริกซ์ X เมื่อกำหนดให้<br />วิธีทำ<br />
  21. 21. วิธีทำ<br />
  22. 22. แบบฝึกหัด จงหาเมทริกซ์ X<br />
  23. 23. 2.3 การคูณเมตริกซ์<br /> การคูณเมตริกซ์ด้วยสเกล่าร์ (Scalar Multiplication)<br /> ให้ และ k เป็นสเกลล่าร์ ดังนั้น<br />นั่นคือ เป็นการนำ k คูณกับสมาชิกทุกตัวในเมตริกซ์<br />เช่น<br />a b<br />c d<br />ka kb<br />kc kd<br />k<br /> = <br />
  24. 24. Ex.<br /> -5 3<br />4 1 0<br />A = <br />จงคำนวณหา B = 4A , C = -3Aและ <br />D = (1/2)A<br />วิธีทำ<br />
  25. 25. Ex.<br /> -5 3<br />4 1 0<br />A = <br />จงคำนวณหา B = 4A , C = -3Aและ <br />D = (1/2)A<br />วิธีทำ<br />
  26. 26. กำหนดให้ <br />จงหา 1) 3A<br /> 2) -4B<br /> 3) -2A + 3B<br /> 4) 5B – 3A<br /> 5) (1/2)B<br />
  27. 27. 4.2 การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ (Matrix Multiplication)<br />ถ้า และ แล้วผลคูณของเมตริกซ์<br />คือ ซึ่งมีอันดับ โดยที่ คือ<br />cij = aikbkj<br />
  28. 28. b11 b12 ……… b1p<br />b21 b22 ……… b2p<br />.<br />.<br />bn1 bn2 ……… bnp<br />a11 a12 ……… a1n<br />a21 a22 ……… a2n<br />.<br />.<br />am1 am2 ……… amn<br />c11 c12 ……… c1p<br />c21 c22 ……… c2p<br />.<br />cm1 cm2 ……… cmp<br />เช่น<br />= <br />
  29. 29. Ex.จงหาผลคูณของเมตริกซ์ AB เมื่อ<br />วิธีทำ<br />
  30. 30. กำหนดให้<br />จงหา<br />AB<br />BA<br />AC<br />BC<br />BD<br />6. AA<br />7. BC+AC<br />DD<br />(AB)C<br />(AB)(BB)<br />11. (A+B)C<br />A(B+B)<br />3A2 – 2B2<br />
  31. 31. คุณสมบัติของการคูณเมตริกซ์<br />ให้ และ และ <br />และ α และ β เป็นสเกลล่าร์ <br />(α+ β)A = αA + βA<br />α(A + B)= αA + α B<br />3. α(β A) = (α β )A<br />A(BC) = (AB)C กฎการเปลี่ยนกลุ่ม<br />5. A(B + C) = AB + AC กฎการแจกแจง<br />
  32. 32. คุณสมบัติของการคูณเมตริกซ์<br />(A + B)C = AC + BC กฎการแจกแจง<br />ถ้า AB = AC แล้ว ไม่จำเป็นว่า B = C<br />ถ้า BA = CA แล้ว ไม่จำเป็นว่า B = C<br />9. ถ้า AB = O แล้ว ไม่จำเป็นว่า A = O หรือ B = O<br />
  33. 33. Ex. กำหนดให้ <br />และ จงแก้สมการหาเมตริกซ์ X เมื่อ<br />
  34. 34. 3. ชนิดของเมตริกซ์<br />3.1 เมตริกซ์สลับเปลี่ยน (Transposed Matrix)<br /> ถ้า แล้ว เมตริกซ์สลับเปลี่ยนของ A<br />คือ และใช้สัญลักษณ์ ATหรือ A'<br />แทนเมตริกซ์สลับเปลี่ยนของ A<br />
  35. 35. a11 a12 a13<br />a21 a22 a23<br />a31 a32 a33<br />a41 a42 a43<br />เช่น<br />A = <br />4x3<br />a11 a12 a13 a14<br />a21 a22 a23 a24<br />a31 a32 a33 a34<br />A T= <br />3x4<br />
  36. 36. คุณสมบัติของเมตริกซ์สลับเปลี่ยน<br />1. (AT)T = A<br />(kA )T = kATเมื่อk เป็นสเกลล่าร์<br />3. (A + B)T = AT + BT<br />(AB)T = BTAT<br />ATBT≠ BTAT<br />6. (ABC)T = CTBTAT<br />
  37. 37. Ex.จงหาเมตริกซ์สลับเปลี่ยนของเมตริกซ์ต่อไปนี้<br /> 1 2<br /> 3 0<br />-4 7<br />AT = <br />A = <br /> 4 4 -1<br /> 2 3 -4<br />-7 2 3<br />BT = <br />B = <br />2<br />8<br />2<br />CT = <br />C = <br />
  38. 38. กำหนดให้<br />จงหา<br />At<br />Bt<br />Ct<br />Dt<br />(At )t<br />6. 2At<br />7. -3Bt<br />8. D+Ct<br />9. AB-Bt<br />10. (At )2<br />11. (AB)t<br />12. BtAt<br />13. (B+C)t<br />14. (3B-2D)t<br />15. (D+Ct )2<br />
  39. 39. 3.2 เมตริกซ์สมมาตร (Symmetric Matrix) และ <br /> เมตริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew Symmetric Matrix)<br />เมตริกซ์สมมาตร คือเมตริกซ์จัตุรัสที่มีคุณสมบัติว่า A =At<br />เมตริกซ์เสมือนสมมาตร คือเมตริกซ์จัตุรัสที่มีคุณสมบัติว่า A = -At<br />
  40. 40. Ex.<br />ดังนั้น A เป็นเมตริกซ์สมมาตร<br />ดังนั้น B ไม่เป็นเมตริกซ์สมมาตร<br />
  41. 41. 3.3 เมตริกซ์เฮอร์มิเชียน (Hermitian Matrix) และ<br /> เมตริกซ์เสมือนเฮอร์มิเชียน (Skew Hermitian Matrix)<br />เมตริกซ์เฮอร์มิเชียน คือเมตริกซ์จัตุรัสซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่มีคุณสมบัติว่า <br />เมตริกซ์เสมือนเฮอร์มิเชียน คือเมตริกซ์จัตุรัสซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่มีคุณสมบัติว่า <br /> คือเมตริกซ์สังยุค (Conjugate) ของเมตริกซ์ ซึ่งมีสมาชิกเป็นคู่สังยุคของสมาชิกเมตริกซ์ ที่สมนัยกัน <br />
  42. 42. Ex.<br />ดังนั้น Aเป็นเมตริกซ์เฮอร์มิเชียน<br />ดังนั้น Bไม่เป็นเมตริกซ์เสมือนเฮอร์มิเชียน<br />
  43. 43. 3.4 เมตริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix)<br />เมตริกซ์สามเหลี่ยมบน (Lower Triangular Matrix) คือ <br />เมตริกซ์จัตุรัสใดๆ ที่มีสมาชิกทุกตัวที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลัก<br />เป็นศูนย์หมด <br />เมตริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Upper Triangular Matrix) คือ <br />เมตริกซ์จัตุรัสใดๆ ที่มีสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลัก<br />เป็นศูนย์หมด <br />
  44. 44. เช่น<br />เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยมบน<br />เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยมล่าง<br />
  45. 45. 3.5 เมตริกซ์มีคาบ (Periodic Matrix)<br />เมตริกซ์จัตุรัส A ใดๆ จะเรียกว่ามีคาบ k ถ้ามีจำนวนเต็มบวก kที่เล็กที่สุดที่ทำให้ Ak+1= A<br />
  46. 46. 3.6ไอเดมโพเทนต์เมตริกซ์ (Idempotent Matrix) และ<br /> นิลโพเทนต์เมตริกซ์ (Niplotent Matrix)<br />ไอเดมโพเทนต์เมตริกซ์ คือเมตริกซ์จัตุรัส A ใดๆที่มีคุณสมบัติว่า A2 = A หรือเป็นเมตริกซ์มีคาบเท่ากับหนึ่ง<br />นิลโพเทนต์เมตริกซ์ คือเมตริกซ์จัตุรัส A ใดๆที่มีคุณสมบัติว่า AP = O ซึ่ง P เป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุด และ O เป็นเมตริกซ์ศูนย์ <br />
  47. 47. 3.7 เมตริกซ์ลดรูปเป็นศูนย์ (Echelon Matrix) และ<br /> เมตริกซ์ลดรูปเป็นขั้น (Reduced Echelon Matrix)<br />เมตริกซ์ลดรูปเป็นศูนย์ คือเมตริกซ์ เมตริกซ์ <br />ที่มีคุณสมบัติดังนี้<br />1. แถวที่มีสมาชิกเป็น “0” ทั้งหมด (ถ้ามี) จะอยู่แถวล่างสุด<br />2. สมาชิกที่ไม่ใช่ “0” ตัวแรกในแต่ละแถวจะต้องเป็น “1”<br />3. “1”ตัวแรกในแต่ละแถวจะต้องปรากฏอยู่ในสดมภ์ที่อยู่ทาง<br /> ด้านขวาของ “1” ตัวแรกในแถวข้างบนที่ติดกัน<br />
  48. 48. เมตริกซ์ลดรูปเป็นขั้น คือเมตริกซ์ เมตริกซ์ <br />ที่มีคุณสมบัติดังนี้<br />1. อยู่ในรูปเมตริกซ์ลดรูปเป็นศูนย์ (Echelon Matrix)<br /> “1” ตัวแรกในแต่ละแถว เมื่อปรากฏอยู่ในสดมภ์ใดแล้ว<br /> สมาชิกตัวอื่นๆในหลักนั้นจะเป็น “0” ทั้งหมด<br />
  49. 49. 4 2 3<br />0 1 1 2<br />0 0 1 5<br />A = <br />1 2 3<br />0 0 4<br />0 0 0<br />0 0 0<br />B = <br />Ex.เมตริกซ์ต่อไปนี้อยู่ในรูป row echelon หรือไม่<br />อยู่ในรูป row echelon<br /> ไม่อยู่ในรูป row echelon<br />
  50. 50. 0 1 0 -1<br />0 0 3 0<br />0 0 0 0<br />C = <br />0 0 1 -1<br />0 1 0 0<br />0 0 0 0<br />D = <br />Ex.เมตริกซ์ต่อไปนี้อยู่ในรูป row echelon หรือไม่<br /> ไม่อยู่ในรูป row echelon<br /> ไม่อยู่ในรูป row echelon<br />
  51. 51. 0 0<br />0 1 0<br />0 0 1<br />A = <br />1 2 0 0 1<br />0 0 1 2 3<br />0 0 0 0 0<br />B = <br />Ex.เมตริกซ์ใดที่อยู่ในรูป row reduced echelon<br />อยู่ในรูป row reduced echelon<br />อยู่ในรูป row reduced <br />echelon<br />
  52. 52. 0 1 0<br />0 0 1<br />0 0 0<br />C = <br />0 1<br />0 0 <br />0 0<br />D = <br />Ex.เมตริกซ์ใดที่อยู่ในรูป row reduced echelon<br />อยู่ในรูป row reduced echelon<br />อยู่ในรูป row reduced echelon<br />
  53. 53. 3.8 เมตริกซ์ย่อย (Submatrix)<br />เมตริกซ์ย่อยของเมตริกซ์ A คือสมาชิกในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ยังคงอยู่ เมื่อตัดบางแถว หรือบางสดมภ์ของเมตริกซ์ Aออกแล้ว หรือตัดทั้งแถวและสดมภ์ของ A ออกแล้ว<br />ในการแบ่งเมตริกซ์เป็นเมตริกซ์ย่อย จะใช้เส้นประเป็นเส้นแบ่งกั้น เช่น<br />
  54. 54. 3.9 เมตริกซ์สัมประสิทธิ์ (Coefficient Matrix)<br />ในรูปของสมการเชิงเส้น (Linear Equation) <br />สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์ได้ <br />a11x1 + a12x2 + a13x3 + ……. + a1nxn = b1<br />a21x1 + a22x2 + a23x3 + ……. + a2nxn = b2<br /> .<br /> .<br />am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……. + amnxn = bm<br />
  55. 55. เขียนได้เป็น AX = B<br />โดยที่ <br />a11 a12 a13……. a1n<br />a21 a22a23……. a2n<br /> .<br />am1 am2 am3……. amn<br />A = <br />mxn<br />x1<br />x2<br />.<br />xn<br />b1<br />b2<br />.<br />bm<br />X = และ B = <br />nx1<br />mx1<br />
  56. 56. เรียกเมตริกซ์ Aว่าเป็น เมตริกซ์สัมประสิทธิ์ และ <br />[A : B] เรียกว่า เมตริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix)<br />เรียกเมตริกซ์ Xว่าเป็น เมตริกซ์ตัวไม่ทราบค่า <br />(Unknown) <br />และเรียกเมตริกซ์ Bว่าเป็น เมตริกซ์ค่าคงที่ <br />(Constant) <br />
  57. 57. 1 -1<br />-2 2<br />A = <br />3.10 เมตริกซ์เอกฐาน (Singular Matrix) และ<br /> เมตริกซ์ที่ไม่ใช่เอกฐาน (Non-Singular Matrix)<br />เมตริกซ์เอกฐาน คือเมตริกซ์จัตุรัสที่ไม่สามารถหาเมตริกซ์อื่นใดมาคูณ แล้วให้ผลคูณเป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ได้<br />เช่น <br />
  58. 58. เมตริกซ์ที่ไม่ใช่เอกฐาน คือเมตริกซ์จัตุรัสที่สามารถหาเมตริกซ์อื่นใดมาคูณ แล้วให้ผลคูณเป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ได้ บางที่เรียกว่า Invertible Matrix<br />เช่น <br /> 2 1<br />-2 2<br />A = <br />

×