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ÁREAS Y VOLÚMENES
Profesor: Bachiller:
Pedro Beltrán Romero Ariadne
Barcelona, 12 de enero de 2021
República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario “Santiago Mariño”
Sede de Barcelona
Asignatura: Geometría descriptiva.
INTRODUCCIÓN
El área es la cantidad de superficie de una figura plana. Dicho de otra manera es el
tamaño de la región interna de una figura geométrica. El área se mide en unidades al
cuadrado: metros cuadrados, centímetros cuadrados, pulgadas cuadradas, etc.
El volumen de un cuerpo se puede definir como la cantidad de espacio que ocupa dicho
cuerpo en el espacio. Las unidades cúbicas nos permiten establecer la cantidad de espacio,
algunas son: centímetros cúbicos y metros cúbicos, que se denotan como cm³ y m³,
respectivamente.
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE LAS DISTINTAS
FIGURAS GEOMÉTRICAS
Definición de área: Es la medida de la región o superficie encerrada por
una figura geométrica plana.
Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono,
puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas
de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como
sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto
geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al
concepto geométrico (área).
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE LAS DISTINTAS
FIGURAS GEOMÉTRICAS
Se calcula usando fórmulas de cada figura ejemplo el área del triángulo es box entre 2 recuerda la línea
de abajo es la base y la línea de la derecha es la altura las 2 son medidas diferentes aquí no se usan todos
sus lados solo se usan de acuerdo a la formula, las figuras anteriores que se mencionaron en el perímetro
también se pueden calcular el área a continuación están abajo las fórmulas para calcular el área son:
1 cuadrado lado x lado
2 triangulo bxh entre 2
3 rectángulo bxh
4 rombo Diagonal mayor por diagonal menor entre 2
5 romboide bxh
6 polígonos pxa entre 2
DETERMINACIÓN
DEL ÁREAS DE
FIGURAS PLANAS
ÁREA DE UN
TRIANGULO
FIGURA DE 3 LADOS.
Triangulo Isoceles: El área de un triángulo es igual
al semiproducto entre la longitud de una base y la
altura relativa a esta: 𝐴 =
𝑏∙ℎ
2
=
𝑎∙𝑏∙𝑠𝑒𝑛 𝐴
2
donde b es la base del triángulo y h es la altura
correspondiente a la base.
Triángulo rectángulo:
la altura coincide con
uno de los catetos, con
lo cual el área es igual
al semiproducto de los
catetos: 𝐴 =
𝑏∙𝑎
2
donde a y b son los
catetos.
Triangulo escaleno: Si se conoce la longitud de sus
lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.
𝐴 = 𝑠 = (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) donde a, b, c
son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½
(a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Triangulo equilátero:
el área es igual a un
cuarto del cuadrado
de un lado por la raíz
cuadrada de 3:
𝐴 =
𝑎∙ℎ
2|
=
3
4
𝑎2
donde a es un lado
del triángulo.
ÁREA DE UN
CUADRILÁTERO
Trapezoide: El área del trapezoide
o de cualquier cuadrilátero es
igual al semiproducto de sus
diagonales por el seno del ángulo
que forman.
𝐴 =
𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
2
El rectángulo: Es un
paralelogramo cuyos ángulos
son todos de 90º, y el área es
igual al producto de dos de
sus lados contiguos a y b:
𝐴 = 𝑏. ℎ
El rombo: Es un
paralelogramo, cuyos 4
lados son iguales, y tiene
su área dada por el
semiproducto de sus dos
diagonales:
𝐴 =
𝑑 ∙ 𝐷
2
El cuadrado es el polígono regular de
cuatro lados; es a la vez un rectángulo y
un rombo, por lo que su área puede ser
calculada de la misma manera que la de
estos dos. En particular, dado que sus
lados son iguales, se usa la fórmula:
𝐴 = 𝑎2
El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos
paralelos entre sí y dos lados no paralelos,
tiene un área que viene dada por la media
aritmética de sus lados paralelos
multiplicado por la distancia entre ellos
(altura):
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
ℎ
ÁREA DEL CÍRCULO Y LA
ELIPSE
El área de un círculo, o la
delimitada por una circunferencia,
se calcula mediante la siguiente
expresión matemática:
𝐴 = 𝜋𝑟2
El área delimitada por una elipse es
similar y se obtiene como producto del
semieje mayor por el semieje menor
multiplicados por π:
𝐴 = 𝜋 𝑎 ∙ 𝑏
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO
FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
La geometría del espacio estudia los cuerpos
que tienen tres dimensiones:
• Longitud
• Anchura
• Altura
Los cuerpos que tienen sus caras planas se
llaman poliedros.
Los cuerpos de redondos tienen alguna cara
que es una superficie curva.
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO
FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
Los poliedros son cuerpos
geométricos compuestos
exclusivamente por figuras
geométricas planas y se dividen
en dos clases: regulares e
irregulares:
Las partes de un poliedro son:
Cara: cada una de las superficies planas (es decir
cada polígono) que delimitan el poliedro.
Arista: el segmento de línea donde se encuentran
dos caras.
Vértice: punto donde se interceptan tres o más
aristas.
Poliedros regulares: Un
poliedro será regular si
cumple dos condiciones:
1.- Sus caras son
polígonos regulares
iguales entre sí.
2.- En cada uno de sus
vértices concurre el
mismo número de caras.
Sólo hay 5 poliedros que
cumplen esas
condiciones
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
1. Tetraedro :Está compuesto por cuatro caras que son triángulos
equiláteros iguales. Tiene 4 vértices y 6 aristas.
2. Cubo: El cubo o hexaedro regular está compuestos por seis caras que
son cuadrados iguales. Tiene 8 vértices y 12 aristas.
3. Octaedro: Está compuesto por ocho caras que son triángulos
equiláteros iguales, en forma de dos pirámides unidas por sus bases.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
4. Dodecaedro: Está compuesto por ocho caras que son triángulos
equiláteros iguales, en forma de dos pirámides unidas por sus bases.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
5. Icosaedro: Tiene 20 caras que son triángulos equiláteros iguales.
Cuenta con 12 vértices y 30 aristas
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
Poliedros irregulares
Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras son polígonos que no son todos
iguales.
Existen dos grandes grupos: prismas y pirámides.
PRISMA PIRAMIDE
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
Los prismas tienen dos caras paralelas
iguales, llamadas bases, y el resto de sus
caras (laterales) son paralelogramos.
Podemos clasificarlos según el número de
lados de las bases:
Prisma triangular: Es un prisma cuyas bases
son triángulos.
Prisma cuadrangular: Un
prisma cuadrangular es un
prisma cuyas bases son
cuadrados.
Prisma pentagonal: Sus bases
son pentágonos.
Prisma hexagonal: Es un
prisma cuyas bases son
hexágonos.
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
La pirámide es un poliedro
irregular formado por una
base que es un polígono
cualquiera, y caras laterales
triangulares que confluyen
en un vértice llamado ápice,
cúspide o vértice común.
La pirámide tiene tantas
caras laterales como aristas
tiene la base.
Pirámide triangular: Una
pirámide triangular es una
pirámide que tiene un triángulo
como base. Está compuesta por 4
caras: la base y 3 triángulos que
confluyen en el ápice.
Pirámide cuadrangular: Es una
pirámide cuya base es un
cuadrado. Está formada por 5
caras: la base cuadrada y 4
triángulos que confluyen en el
ápice.
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
Pirámide pentagonal:
Una pirámide pentagonal es
una pirámide que tiene un
pentágono como base. Está
formada por 6 caras: la base
pentagonal y 5 triángulos
que confluyen en el ápice.
Pirámide hexagonal:
Es una pirámide con un
hexágono como base. Está
formada por 7 caras: la
base hexagonal y 6
triángulos que confluyen
en el ápice.
Tronco de pirámide:
Es un poliedro irregular formado
por dos caras paralelas, que son
las bases, y varias caras laterales,
que son trapecios. Ambas bases
tienen el mismo número de lados
pero una es más grande que la
otra. Tiene tantas caras laterales
como lados tienen las bases.
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
Cuerpos redondos
Los cuerpos redondos son
aquellos que tienen por lo
menos una de sus caras
curvadas.
Existen diferentes tipos:
cara curva.
Esfera: La esfera es el sólido generado al girar un
semicírculo alrededor de su diámetro. También podemos
definirla como el conjunto de puntos del espacio
tridimensional que equidistan de un punto definido como
el centro de la esfera.
Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se
determinan los siguientes elementos:
Generatriz: es el semicírculo que genera la superficie
esférica.
Centro de la esfera: es el centro del semicírculo y
corresponde al punto O.
Radio de la esfera: es el radio del semicírculo
Diámetro de la esfera: es el segmento que une dos puntos
opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro
La esfera tiene una sola cara curva
Cilindro: El cilindro es el sólido generado cuando una recta (la generatriz), gira
alrededor de otra recta paralela, llamada eje.
Los elementos de un cilindro son:
Eje: recta fija alrededor de la que gira la generatriz
Generatriz: recta que gira paralelamente alrededor del eje, formando la cara lateral
del cilindro.
Directriz: la curva plana perpendicular al eje que recorre la generatriz.
Radio: el radio de los círculos que forman las bases es también el radio del cilindro.
Centro: el centro de cada una de las bases circulares.
El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes, una cara lateral
que es curva y 2 aristas basales.
Si el eje de rotación es perpendicular a las bases, el cilindro es recto, si no lo es es
oblicuo.
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
Cono: El cono es el sólido generado por un
triángulo rectángulo al girar sobre uno de sus
catetos.
Estos son sus elementos:
Base: es la cara plana inferior del cono, y es un
círculo.
Generatriz: Línea que al girar sobre el eje del
cono engendra la superficie cónica de revolución.
Superficie generatriz: es el triángulo rectángulo
que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus
catetos, que es el eje de rotación y, que es a su
vez, la altura del cono. El otro cateto es el radio
de la base. La hipotenusa la generatriz.
Si la altura del cono coincide con su eje, el cono es
recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es
oblicuo.
DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES
DIMENSIONES.
Tronco de cono: El tronco de cono o cono
truncado es un sólido generado al girar
un trapecio rectángulo sobre el lado
perpendicular a sus bases. También
puede entenderse como el corte del cono
en paralelo a la base, eliminando la
parte que tiene el vértice del cono.
Toro: El toro es un sólido
que se genera por el giro de
un círculo cuyo centro
recorre otro círculo de
dimensiones mayores,
estando ambos contenidos
en dos planos ortogonales,
es decir formando ángulo
recto entre sí.
DETERMINAR SUPERFICIES
DE LOS CUERPOS SÓLIDOS.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el
nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del
cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.
Superficie del cuadrado=
BASE X ALTURA
Subdividiendo un cuadrado en varios
cuadrados cuyo lado sea una parte
del cuadrado original, resulta fácil
apreciar que la cantidad de
cuadrados menores — que pueden
considerarse como unidad de medida
— es igual a la multiplicación del
número de cuadrados contenidos en
dos de los lados del cuadrado
originario: 5 × 5 = 25.
En el rectánguloel mismo procedimiento
permite establecer que el procedimiento
de cálculo de su superficie es igual al del
cuadrado: 5 × 8 = 40.
Superficie del rectángulo=
BASE X ALTURA
DETERMINAR SUPERFICIES
DE LOS CUERPOS SÓLIDOS.
El cálculo del área del triángulo, es una
derivación de las anteriores, atendiendo a que la
diagonal de rectángulos lo divide en dos
triángulos; por lo cual la superficie de todo
triángulo es igual a la mitad de la del polígono
que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus
lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Superficie del triangulo:=
𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑿 𝑨𝑳𝑻𝑼𝑹𝑨
𝟐
En el trapecio cada una de sus diagonales lo
convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la
suma de las superficies de uno de los dos pares
de triángulos que se forman al trazar una
diagonal.
Superficie de un trapecio:
𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑨𝒀𝑶𝑹 𝑿 𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹
𝟐
𝑿 𝑨𝑳𝑻𝑼𝑹𝑨
La superficie de un polígono
regular será igual a la suma
de las superficies de los
triángulos que lo forman.
Extendiendo la fórmula de
cálculo de la superficie del
triángulo.
Superficie de un polígono
regular=
𝑷𝑬𝑹𝑰𝑴𝑬𝑻𝑹𝑶 𝑿 𝑨𝑷𝑶𝑻𝑬𝑴𝑨
𝟐
DETERMINAR SUPERFICIES
DE LOS CUERPOS SÓLIDOS.
El circulo: La circunferencia
es una línea difícil de medir;
pero puede calcularse a partir
de la medida del radio,
aplicando la propiedad
fundamental del círculo.
Superficie de un circulo=
RADIO X 3,14,16 X RADIO
Superficie de los polígonos
irregulares: Cualquier polígono
irregular, puede descomponerse en
triágulos, mediante el trazado de sus
diagonales; o complementando éstas
con perpendiculares desde un vértice
a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida
de las líneas que conformen las
bases y alturas de esos triángulos,
será posible calcular su superficie; y
sumarla para obtener la superficie
total del polígono irregular.
LAS FORMAS DE PROYECCIÓN DE LOS
CUERPOS LOS SÓLIDOS
La representaciótricos gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que,
teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por lo
cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional.
Para representar las proyecciones de un cuerpo o grupo sólido es necesario conocer sus métricas de
cada uno. Una vez que sabemos representar el cuerpo veremos cómo se obtiene la sección producida
por un plano así como su desarrollo y su verdadera magnitud. Clasificación de los grupos sólidos:
Dos grupos de sólidos geométricos del espacio presentan especial interés:
Poliedros: Aquellos cuerpos geométricos totalmente limitados por polígonos, como por ejemplo, el
prisma, la pirámide; etc.
Cuerpos redondos: aquellos cuerpos geométricos engendrados por la rotación de una figura plana
alrededor de su eje, como la esfera, el cilindro, etc.
Los cuerpos irregulares, están limitados por caras políedricas, que pueden presentar diferentes
formas. En este tipo de poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los
poliedros regulares.
Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides y todas sus variedades
LAS FORMAS DE PROYECCIÓN DE LOS
CUERPOS LOS SÓLIDOS
El Prisma: Un prisma recto es un poliedro que tiene por base dos poliedros iguales e
igualmente dispuestos, y por caras, rectángulos de los cuales dos lados opuestos son lados
correspondientes de los poligonos de la base.
Las Pirámides: El nombre de pirámide se remonta al antiguo Egipto, referido a aquellas
construcciones monumentales levantadas a orillas del Nilo más de dos mil años antes de
Cristo para servir de tumbas a los reyes.
Una pirámide es un poliedro limitado por un polígono y por triángulos. Así, pues si la
pirámide tiene de base un triangulo se llama triangular, un cuadrada, cuadrangular, etc.
PARTES CONSTITUTIVAS DE
LOS CUERPOS SÓLIDOS.
– Caras: son las superficies
planas que limitan el cuerpo
geométrico. Estas superficies
planas son figuras
geométricas.
Las caras basales son las que
sirven para apoyar el cuerpo
en el plano. Las demás caras
son llamadas laterales.
– Aristas: son las líneas
que se forman cuando se
juntan dos caras. Se puede
decir también, que son los
lados de las figuras
geométricas que forman
los lados del cuerpo.
– Vértices: son
los puntos
donde se juntan
tres o más cara
-Base: Cara dónde
reposa un cuerpo
geométrico
REPRESENTAR EN FORMA GRAFICA LA
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS
SÓLIDOS.
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
REPRESENTAR EN FORMA GRAFICA LA
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS
SÓLIDOS.
Clasificación de los poliedros
CONCLUSIÓN
La presente investigación nos permitió fortalecer los conocimientos en el área de
geometría a razón de poder a más fondo todas las áreas de las figuras geométricas y de los
cuerpos geométricos.
El volumen de un cuerpo geométrico es el metro cubico y que
para poder sacar el volumen de un cuerpo geométrico , principalmente debemos identificar la
formula de cada figura , también sabemos que los cuerpos geométricos se dividen en dos
grupos: poliedros y redondos bueno este es un pequeño resumen de lo mas relevante sobre el
tema espero y esta información haya sido de importancia y entendible para tener un mejor
aprendizaje
ANEXOS
1. https://www.youtube.com/watch?v=TZDgCnfDrIE
2. https://www.youtube.com/watch?v=W5yMHQXpoQs&list=PLeySRPnY35dH7FRomUY4UhhFJ-AMNin_5
3. https://www.youtube.com/watch?v=EdcBdTV8PaM
4. https://www.youtube.com/watch?v=kD5gz2k5IZQ
BIBLIOGRAFÍA
Isaac Valdés Velazquez (s.f) recuperado de: https://www.monografias.com/docs110/area-y-perimetro-
figuras-geometricas/area-y-perimetro-figuras-
geometricas.shtml#:~:text=El%20%C3%A1rea%20es%20un%20m%C3%A9todo,define%20o%20especifi
que%20una%20medida.
ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS (s.f) recuperado de:
https://laescuelaencasa.com/matematicas-2/geometria-basica/clase-6-area-las-figuras-planas/
Cuerpos geométricos: conceptos básicos (s.f) recuperado de:
https://www.portaleducativo.net/primero-basico/110/Cuerpos-geometricos-
conceptosbasicos#:~:text=Un%20s%C3%B3lido%20o%20cuerpo%20geom%C3%A9trico,en%20consecuen
cia%2C%20tienen%20un%20volumen.&text=Son%20s%C3%B3lidos%20geom%C3%A9tricos%20de%20
muchas,%3A%20caras%2C%20aristas%2C%20v%C3%A9rtices.
BIBLIOGRAFÍA
¿Qué son las figuras geométricas sólidas o cuerpos geométricos? (s.f) recuperado de:
www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/figuras-geometricas-solidas
Dimensión 3 (s.f) recuperado de: https://matemarticas.wixsite.com/dimensiones/blank-3

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Areas y volumenes

  • 1. ÁREAS Y VOLÚMENES Profesor: Bachiller: Pedro Beltrán Romero Ariadne Barcelona, 12 de enero de 2021 República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario “Santiago Mariño” Sede de Barcelona Asignatura: Geometría descriptiva.
  • 2. INTRODUCCIÓN El área es la cantidad de superficie de una figura plana. Dicho de otra manera es el tamaño de la región interna de una figura geométrica. El área se mide en unidades al cuadrado: metros cuadrados, centímetros cuadrados, pulgadas cuadradas, etc. El volumen de un cuerpo se puede definir como la cantidad de espacio que ocupa dicho cuerpo en el espacio. Las unidades cúbicas nos permiten establecer la cantidad de espacio, algunas son: centímetros cúbicos y metros cúbicos, que se denotan como cm³ y m³, respectivamente.
  • 3. DEFINICIÓN DEL ÁREA DE LAS DISTINTAS FIGURAS GEOMÉTRICAS Definición de área: Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura geométrica plana. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
  • 4. DEFINICIÓN DEL ÁREA DE LAS DISTINTAS FIGURAS GEOMÉTRICAS Se calcula usando fórmulas de cada figura ejemplo el área del triángulo es box entre 2 recuerda la línea de abajo es la base y la línea de la derecha es la altura las 2 son medidas diferentes aquí no se usan todos sus lados solo se usan de acuerdo a la formula, las figuras anteriores que se mencionaron en el perímetro también se pueden calcular el área a continuación están abajo las fórmulas para calcular el área son: 1 cuadrado lado x lado 2 triangulo bxh entre 2 3 rectángulo bxh 4 rombo Diagonal mayor por diagonal menor entre 2 5 romboide bxh 6 polígonos pxa entre 2
  • 6. ÁREA DE UN TRIANGULO FIGURA DE 3 LADOS. Triangulo Isoceles: El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta: 𝐴 = 𝑏∙ℎ 2 = 𝑎∙𝑏∙𝑠𝑒𝑛 𝐴 2 donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. Triángulo rectángulo: la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos: 𝐴 = 𝑏∙𝑎 2 donde a y b son los catetos. Triangulo escaleno: Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón. 𝐴 = 𝑠 = (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo. Triangulo equilátero: el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3: 𝐴 = 𝑎∙ℎ 2| = 3 4 𝑎2 donde a es un lado del triángulo.
  • 7. ÁREA DE UN CUADRILÁTERO Trapezoide: El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman. 𝐴 = 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 2 El rectángulo: Es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b: 𝐴 = 𝑏. ℎ El rombo: Es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales: 𝐴 = 𝑑 ∙ 𝐷 2
  • 8. El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula: 𝐴 = 𝑎2 El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura): 𝐴 = 𝑏 + 𝐵 2 ℎ
  • 9. ÁREA DEL CÍRCULO Y LA ELIPSE El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática: 𝐴 = 𝜋𝑟2 El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π: 𝐴 = 𝜋 𝑎 ∙ 𝑏
  • 10. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. La geometría del espacio estudia los cuerpos que tienen tres dimensiones: • Longitud • Anchura • Altura Los cuerpos que tienen sus caras planas se llaman poliedros. Los cuerpos de redondos tienen alguna cara que es una superficie curva.
  • 11. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. Los poliedros son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas y se dividen en dos clases: regulares e irregulares: Las partes de un poliedro son: Cara: cada una de las superficies planas (es decir cada polígono) que delimitan el poliedro. Arista: el segmento de línea donde se encuentran dos caras. Vértice: punto donde se interceptan tres o más aristas.
  • 12. Poliedros regulares: Un poliedro será regular si cumple dos condiciones: 1.- Sus caras son polígonos regulares iguales entre sí. 2.- En cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Sólo hay 5 poliedros que cumplen esas condiciones DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. 1. Tetraedro :Está compuesto por cuatro caras que son triángulos equiláteros iguales. Tiene 4 vértices y 6 aristas. 2. Cubo: El cubo o hexaedro regular está compuestos por seis caras que son cuadrados iguales. Tiene 8 vértices y 12 aristas. 3. Octaedro: Está compuesto por ocho caras que son triángulos equiláteros iguales, en forma de dos pirámides unidas por sus bases. Tiene 6 vértices y 12 aristas. 4. Dodecaedro: Está compuesto por ocho caras que son triángulos equiláteros iguales, en forma de dos pirámides unidas por sus bases. Tiene 6 vértices y 12 aristas. 5. Icosaedro: Tiene 20 caras que son triángulos equiláteros iguales. Cuenta con 12 vértices y 30 aristas
  • 13. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. Poliedros irregulares Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras son polígonos que no son todos iguales. Existen dos grandes grupos: prismas y pirámides. PRISMA PIRAMIDE
  • 14. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. Los prismas tienen dos caras paralelas iguales, llamadas bases, y el resto de sus caras (laterales) son paralelogramos. Podemos clasificarlos según el número de lados de las bases: Prisma triangular: Es un prisma cuyas bases son triángulos. Prisma cuadrangular: Un prisma cuadrangular es un prisma cuyas bases son cuadrados. Prisma pentagonal: Sus bases son pentágonos. Prisma hexagonal: Es un prisma cuyas bases son hexágonos.
  • 15. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. La pirámide es un poliedro irregular formado por una base que es un polígono cualquiera, y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice llamado ápice, cúspide o vértice común. La pirámide tiene tantas caras laterales como aristas tiene la base. Pirámide triangular: Una pirámide triangular es una pirámide que tiene un triángulo como base. Está compuesta por 4 caras: la base y 3 triángulos que confluyen en el ápice. Pirámide cuadrangular: Es una pirámide cuya base es un cuadrado. Está formada por 5 caras: la base cuadrada y 4 triángulos que confluyen en el ápice.
  • 16. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. Pirámide pentagonal: Una pirámide pentagonal es una pirámide que tiene un pentágono como base. Está formada por 6 caras: la base pentagonal y 5 triángulos que confluyen en el ápice. Pirámide hexagonal: Es una pirámide con un hexágono como base. Está formada por 7 caras: la base hexagonal y 6 triángulos que confluyen en el ápice. Tronco de pirámide: Es un poliedro irregular formado por dos caras paralelas, que son las bases, y varias caras laterales, que son trapecios. Ambas bases tienen el mismo número de lados pero una es más grande que la otra. Tiene tantas caras laterales como lados tienen las bases.
  • 17. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. Cuerpos redondos Los cuerpos redondos son aquellos que tienen por lo menos una de sus caras curvadas. Existen diferentes tipos: cara curva. Esfera: La esfera es el sólido generado al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. También podemos definirla como el conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto definido como el centro de la esfera. Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se determinan los siguientes elementos: Generatriz: es el semicírculo que genera la superficie esférica. Centro de la esfera: es el centro del semicírculo y corresponde al punto O. Radio de la esfera: es el radio del semicírculo Diámetro de la esfera: es el segmento que une dos puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro La esfera tiene una sola cara curva
  • 18. Cilindro: El cilindro es el sólido generado cuando una recta (la generatriz), gira alrededor de otra recta paralela, llamada eje. Los elementos de un cilindro son: Eje: recta fija alrededor de la que gira la generatriz Generatriz: recta que gira paralelamente alrededor del eje, formando la cara lateral del cilindro. Directriz: la curva plana perpendicular al eje que recorre la generatriz. Radio: el radio de los círculos que forman las bases es también el radio del cilindro. Centro: el centro de cada una de las bases circulares. El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes, una cara lateral que es curva y 2 aristas basales. Si el eje de rotación es perpendicular a las bases, el cilindro es recto, si no lo es es oblicuo. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES.
  • 19. Cono: El cono es el sólido generado por un triángulo rectángulo al girar sobre uno de sus catetos. Estos son sus elementos: Base: es la cara plana inferior del cono, y es un círculo. Generatriz: Línea que al girar sobre el eje del cono engendra la superficie cónica de revolución. Superficie generatriz: es el triángulo rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus catetos, que es el eje de rotación y, que es a su vez, la altura del cono. El otro cateto es el radio de la base. La hipotenusa la generatriz. Si la altura del cono coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo. DEFINICIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS COMO FIGURAS GEOMÉTRICAS DE TRES DIMENSIONES. Tronco de cono: El tronco de cono o cono truncado es un sólido generado al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base, eliminando la parte que tiene el vértice del cono. Toro: El toro es un sólido que se genera por el giro de un círculo cuyo centro recorre otro círculo de dimensiones mayores, estando ambos contenidos en dos planos ortogonales, es decir formando ángulo recto entre sí.
  • 20. DETERMINAR SUPERFICIES DE LOS CUERPOS SÓLIDOS. La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados. Superficie del cuadrado= BASE X ALTURA Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25. En el rectánguloel mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40. Superficie del rectángulo= BASE X ALTURA
  • 21. DETERMINAR SUPERFICIES DE LOS CUERPOS SÓLIDOS. El cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20. Superficie del triangulo:= 𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑿 𝑨𝑳𝑻𝑼𝑹𝑨 𝟐 En el trapecio cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos. Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal. Superficie de un trapecio: 𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑨𝒀𝑶𝑹 𝑿 𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹 𝟐 𝑿 𝑨𝑳𝑻𝑼𝑹𝑨
  • 22. La superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de la superficie del triángulo. Superficie de un polígono regular= 𝑷𝑬𝑹𝑰𝑴𝑬𝑻𝑹𝑶 𝑿 𝑨𝑷𝑶𝑻𝑬𝑴𝑨 𝟐 DETERMINAR SUPERFICIES DE LOS CUERPOS SÓLIDOS. El circulo: La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse a partir de la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental del círculo. Superficie de un circulo= RADIO X 3,14,16 X RADIO Superficie de los polígonos irregulares: Cualquier polígono irregular, puede descomponerse en triágulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando éstas con perpendiculares desde un vértice a una diagonal. Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polígono irregular.
  • 23. LAS FORMAS DE PROYECCIÓN DE LOS CUERPOS LOS SÓLIDOS La representaciótricos gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional. Para representar las proyecciones de un cuerpo o grupo sólido es necesario conocer sus métricas de cada uno. Una vez que sabemos representar el cuerpo veremos cómo se obtiene la sección producida por un plano así como su desarrollo y su verdadera magnitud. Clasificación de los grupos sólidos: Dos grupos de sólidos geométricos del espacio presentan especial interés: Poliedros: Aquellos cuerpos geométricos totalmente limitados por polígonos, como por ejemplo, el prisma, la pirámide; etc. Cuerpos redondos: aquellos cuerpos geométricos engendrados por la rotación de una figura plana alrededor de su eje, como la esfera, el cilindro, etc. Los cuerpos irregulares, están limitados por caras políedricas, que pueden presentar diferentes formas. En este tipo de poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides y todas sus variedades
  • 24. LAS FORMAS DE PROYECCIÓN DE LOS CUERPOS LOS SÓLIDOS El Prisma: Un prisma recto es un poliedro que tiene por base dos poliedros iguales e igualmente dispuestos, y por caras, rectángulos de los cuales dos lados opuestos son lados correspondientes de los poligonos de la base. Las Pirámides: El nombre de pirámide se remonta al antiguo Egipto, referido a aquellas construcciones monumentales levantadas a orillas del Nilo más de dos mil años antes de Cristo para servir de tumbas a los reyes. Una pirámide es un poliedro limitado por un polígono y por triángulos. Así, pues si la pirámide tiene de base un triangulo se llama triangular, un cuadrada, cuadrangular, etc.
  • 25. PARTES CONSTITUTIVAS DE LOS CUERPOS SÓLIDOS. – Caras: son las superficies planas que limitan el cuerpo geométrico. Estas superficies planas son figuras geométricas. Las caras basales son las que sirven para apoyar el cuerpo en el plano. Las demás caras son llamadas laterales. – Aristas: son las líneas que se forman cuando se juntan dos caras. Se puede decir también, que son los lados de las figuras geométricas que forman los lados del cuerpo. – Vértices: son los puntos donde se juntan tres o más cara -Base: Cara dónde reposa un cuerpo geométrico
  • 26. REPRESENTAR EN FORMA GRAFICA LA REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS SÓLIDOS. Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
  • 27. REPRESENTAR EN FORMA GRAFICA LA REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS SÓLIDOS. Clasificación de los poliedros
  • 28. CONCLUSIÓN La presente investigación nos permitió fortalecer los conocimientos en el área de geometría a razón de poder a más fondo todas las áreas de las figuras geométricas y de los cuerpos geométricos. El volumen de un cuerpo geométrico es el metro cubico y que para poder sacar el volumen de un cuerpo geométrico , principalmente debemos identificar la formula de cada figura , también sabemos que los cuerpos geométricos se dividen en dos grupos: poliedros y redondos bueno este es un pequeño resumen de lo mas relevante sobre el tema espero y esta información haya sido de importancia y entendible para tener un mejor aprendizaje
  • 30. BIBLIOGRAFÍA Isaac Valdés Velazquez (s.f) recuperado de: https://www.monografias.com/docs110/area-y-perimetro- figuras-geometricas/area-y-perimetro-figuras- geometricas.shtml#:~:text=El%20%C3%A1rea%20es%20un%20m%C3%A9todo,define%20o%20especifi que%20una%20medida. ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS (s.f) recuperado de: https://laescuelaencasa.com/matematicas-2/geometria-basica/clase-6-area-las-figuras-planas/ Cuerpos geométricos: conceptos básicos (s.f) recuperado de: https://www.portaleducativo.net/primero-basico/110/Cuerpos-geometricos- conceptosbasicos#:~:text=Un%20s%C3%B3lido%20o%20cuerpo%20geom%C3%A9trico,en%20consecuen cia%2C%20tienen%20un%20volumen.&text=Son%20s%C3%B3lidos%20geom%C3%A9tricos%20de%20 muchas,%3A%20caras%2C%20aristas%2C%20v%C3%A9rtices.
  • 31. BIBLIOGRAFÍA ¿Qué son las figuras geométricas sólidas o cuerpos geométricos? (s.f) recuperado de: www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/figuras-geometricas-solidas Dimensión 3 (s.f) recuperado de: https://matemarticas.wixsite.com/dimensiones/blank-3