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Ministerio Del Poder Popular Para la Educación
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DEFINICION DE CONJUNTOS
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caracterizados por compartir alguna p...
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  1. 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para la Educación Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto – Estado – Lara Estudiantes: Arianny Manzanarez Cedula: 26.904.984 Sección: 0143 Juan L Manzanarez 30.227.243 Sección: 0153
  2. 2. DEFINICION DE CONJUNTOS Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto este bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario esta o no en el. Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos de los que consta entre llaves, A= .{1,2,3,4,5.} , o implícita dando una o varias características que determinan si un elemento dado esta o no en el conjunto. A= [números naturales del 1 al 5]. Los elementos de un conjunto no están ordenados, aunque vengan especificados como una lista, por tanto A=.{3,1,2,5,4.} . En una definición explicita no se pueden repetir elementos, así que .{ 1,1,2,3,4,5,} seria una manera incorrecta de expresar el conjunto A. Dado conjunto A, decimos que el elemento a pertenece a A, y lo denotamos a ∈ A, si a es un elemento del conjunto A. Muchos símbolos matemáticos son reversibles, por ejemplo, A ∈ a significa lo mismo que a ∈ A. También muchos son negables, así a ∉ A significa que a no pertenece a A. Por ejemplo si A=-{1, 2, 3, 4,5.} entonces 1 ∈ A pero 6 ∉ A. Otra manera implícita de expresar este conjunto A es la siguiente: se lee del siguiente modo :¨A es el conjunto formado por los elementos n tales que N es mayor o igual que 1 y N es menor o igual que 5 .
  3. 3. Dos conjuntos A y B son iguales A = B cuando poseen los mismos elementos, es decir, cuando x ∈ A= x ∈ B . Deducimos que dos conjuntos A Y B son distintos A ≠ B si bien existe x ∈ A tal que x ∉ B o bien existe x ∈ B tal que x ∉ A. En notación matemática: A≠B. EL CONJUNTO VACIO Es el que carece de elementos es decir Ø =.{ }, o bien x∉ Ø . un conjunto unitario si contiene un único elemento, como por ejemplo {0},{1},{a}, {N},…. ¡OJO! X ∈ {X}, pero x≠ {x}, de hecho como demuestra la paradoja de Rusell, es imposible que un conjunto pertenezca a si mismo. Dados dos conjuntos A y B, decimos que A esta contenido o incluido en B o que A es un subconjunto de B, si todo elemento de A pertenece a B , es decir x ∈ A=x∈B. OPERACIONES CON CONJUNTOS En las matemáticas, podemos hacer lo que queramos definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero hacemos abstracción
  4. 4. y lo pensamos como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o paréntesis. ({,}). Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a baloncesto. Entre otros. Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y del producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión. Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.4 Por lo tanto vamos a ver las distintas operaciones que hay en los conjuntos:
  5. 5. UNION Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos A ∪ B El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa. Es correspondiente a la formación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte de una vez solamente; esto difiere del concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos. Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A o al conjunto B. Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B. Ejemplos En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos: 1. Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,5,6}, esto es: {1,2,3}∪{4,5,6}={1,2,3,4,5,6}
  6. 6. 2. Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol o baloncesto. INTERSECCION El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa. Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B. Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B a la vez, por lo tanto . DIFERENCIA El símbolo de esta operación es: La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B. También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A. COMPLEMENTO El símbolo de esta operación es: A∁, o también se suele representar con el símbolo A
  7. 7. Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. DIFERENCIA SIMETRICA El símbolo de esta operación es: Δ. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene 1. Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez. NUMEROS REALES Los números reales son todos números que están representados como puntos en la recta real. Este conjunto está formado por la unión de los conjuntos de números racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
  8. 8. CARACTERISTICAS DE NUMEROS REALES INFINITUD El conjunto de los números reales tiene una cantidad infinita de elementos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como del negativo. ORDEN En la recta real el orden de los números se conoce por su posición en la recta, mientras más a la derecha está un número, es más grande, en contraste, mientras más la izquierda es menor. Si tomamos dos números reales distintos cualesquiera que llamamos A y B, entonces sucede una de dos posibilidades: A < B, en otras palabras, B esta a la derecha de A y por lo tanto es mayor, o B está a la izquierda de A, de forma que es menor, o sea B En consecuencia, podemos ordenar a los números reales. INTEGRAL La característica de integridad de los números reales quiere decir que no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Matemáticamente, esto se formula como que cada conjunto tiene un límite superior, y tiene un límite más pequeño.
  9. 9. EXPANSION DECIMAL Cada número real se puede ser expresado como un decimal cuya expansión decimal puede ser finita o infinita. Los números irracionales tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es aproximadamente 3,14159265358979..., mientras que los racionales tienen expansiones finitas (osea que se terminan) como por ejemplo 0,25 o bien, infinitas pero periódicas (es decir que se repiten) como 3,333.. DESIGUALDADES La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.
  10. 10. Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes. SIGNOS DE DESIGUALDAD Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:  Desigual a: ≠  Menor que: <  Menor o igual que: ≤  Mayor que: >  Mayor o igual que: ≥ Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b. Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”. Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:
  11. 11.  Desigual a: ≠  Menor que: <  Menor o igual que: ≤  Mayor que: >  Mayor o igual que: ≥ EJEMPLO: Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha. Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3). PROPIEDADES Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades:  Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) >  3·9  Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3  Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
  12. 12. Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de sentido:  Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3 (4x-2) < -3·9  Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3 INECUACIONES Es la desigualdad existente entre dos expresiones algebraicas, conectadas a través de los signos: mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, en la que figuran uno o varios valores desconocidos llamadas incógnitas, además de ciertos datos conocidos. La desigualdad existente entre las dos expresiones algebraicas sólo se verifica, o más bien, solo es verdadera para determinados valores de la incógnita. La solución de una inecuación formulada, significa determinar mediante ciertos procedimientos, el valor que la satisfaga. CLASIFICACION DE INECUACIONES Existen diferentes tipos de inecuaciones. Estas, se pueden clasificar de acuerdo al número de incógnitas y de acuerdo al grado de ellas. Para saber el grado de una inecuación, basta con identificar el mayor ellos. Así, tenemos los tipos siguientes:
  13. 13.  De una incógnita.  De dos incógnitas.  De tres incógnitas.  De n incógnitas.  De primer grado.  De segundo grado.  De tercer grado.  De cuarto grado.  Inecuaciones de grado N. EJEMPLO Para ver a fondo el proceso de resolución de una inecuación, vamos a plantear la siguiente: 15x + 18 < 12x -24 Para resolver esta inecuación debemos despejar la incógnita. Para ello, en primer lugar, se procede a agrupar los términos semejantes. Básicamente, esta parte consiste en pasar todas las incógnitas al lado izquierdo y todas las constantes al lado derecho. Así tenemos. 15x – 12x < -24 – 18 Sumando y restando estos términos semejantes. Tenemos. 3x < – 42 Finalmente, se procede ahora a despegar la incógnita y determinar su valor.
  14. 14. x < – 42/3 x < – 14 De esta forma todos los valores menores que -14 satisfacen correctamente la inecuación formulada. DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo. Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor
  15. 15. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b DESIGUALDADES RACIONALES Una desigualdad racional es una desigualdad que contiene una expresión racional. Cuando resolvamos una desigualdad racional, utilizaremos muchas de las técnicas que empleamos para resolver desigualdades lineales. Especialmente debemos recordar que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de desigualdad debe revertir.
  16. 16. Otra diferencia es que debemos considerar cuidadosamente qué valor podría hacer indefinida la expresión racional y por lo tanto debe ser excluida. Cuando resolvemos una ecuación y el resultado es x=3, sabemos que hay una solución, que es 3. Cuando resolvemos una desigualdad y el resultado es x>3, sabemos que hay muchas soluciones. Graficamos el resultado para ayudar mejor a mostrar todas las soluciones, y comenzamos con 3. Tres se convierten en un punto crítico y luego decidimos si sombrear a la izquierda o a la derecha del mismo. Los números a la derecha de 3 son mayores que 3, por lo que sombreamos a la derecha. Para resolver una desigualdad racional, primero debemos escribir la desigualdad con un solo cociente a la izquierda y 0 a la derecha. A continuación determinamos los puntos críticos a utilizar para dividir la línea numérica en intervalos. Un punto crítico es un número que hace que la expresión racional sea cero o indefinida. A continuación evaluaremos los factores del numerador y denominador, y encontraremos el cociente en cada intervalo. Esto identificará el intervalo, o intervalos, que contiene todas las soluciones de la desigualdad racional. Escribimos la solución en notación de intervalos teniendo cuidado de determinar si los puntos finales están incluidos.
  17. 17. EJEMPLO Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: dfrac{x- 1}{x+3} geq 0 SOLUCION Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha. Nuestra desigualdad está en esta forma. dfrac{x-1}{x+3} geq 0 nonumber Paso 2. Determine los puntos críticos: los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida. La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero. Desde x-1=0 cuándo x=1, entonces 1 es un punto crítico. La expresión racional quedará indefinida cuando el denominador sea cero. Desde x+3=0 cuándo x=-3, entonces -3 es un punto crítico. Los puntos críticos son 1 y -3. Paso 3. Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos. La línea numérica se divide en tres intervalos: (-infty,-3) quad (-3,1) quad (1,infty) nonumber
  18. 18. Paso 4. Pruebe un valor en cada intervalo. Encima de la línea numérica se muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la línea numérica se muestra el signo del cociente. Para encontrar el signo de cada factor en un intervalo, elegimos cualquier punto de ese intervalo y lo usamos como punto de prueba. Cualquier punto en el intervalo dará a la expresión el mismo signo, por lo que podemos elegir cualquier punto en el intervalo. text { Interval }(-infty,-3) nonumber El número -4 está en el intervalo (-infty,-3). Prueba x=-4 en la expresión en el numerador y el denominador. El numerador: begin{array}{l} {x-1} {-4-1} {-5} {text {Negative}} end{array} nonumber El denominador: begin{array}{l} {x+3} {-4+3} {-1} {text {Negative}} end{array} nonumber Por encima de la línea numérica, marque el factor x-1 negativo y marque el factor x+3 negativo. Dado que un negativo dividido por un negativo es positivo, marque el cociente positivo en el intervalo (-infty,-3).
  19. 19. text {Interval } (-3,1) nonumber El número 0 está en el intervalo (-3,1). Prueba x=0. El numerador: begin{array}{l} {x-1} {0-1} {-1} {text {Negative}} end{array} nonumber El denominador: begin{array}{l} {x+3} {0+3} {3} {text {Positive}} end{array} nonumber Por encima de la línea numérica, marque el factor x-1 negativo y marque x+3 positivo. Dado que un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente se marca negativo en el intervalo (-3,1). text {Interval }(1, infty) nonumber El número 2 está en el intervalo (1, infty). Prueba x=2. El numerador: begin{array}{l} {x-1} {2-1} {1} {text {Positive}} end{array} nonumber
  20. 20. El denominador: begin{array}{l} {x+3} {2+3} {5} {text {Positive}} end{array} nonumber Por encima de la línea numérica, marque el factor x-1 positivo y marque x+3 positivo. Dado que un positivo dividido por un positivo es positivo, marque el cociente positivo en el intervalo (1, infty). Paso 5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos. Queremos que el cociente sea mayor o igual a cero, por lo que los números en los intervalos (-infty,-3) y (1, infty) son soluciones. Pero ¿qué pasa con los puntos críticos? El punto crítico x=-3 hace que el denominador sea 0, por lo que debe excluirse de la solución y lo marcamos con un paréntesis. El punto crítico x=1 hace que toda la expresión racional sea 0. La desigualdad requiere que la expresión racional sea mayor o igual a. Entonces, 1 es parte de la solución y lo marcaremos con un soporte. PLANO NUMERICO Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
  21. 21. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
  22. 22. EJERCICIOS OPERACIONES DE CONJUNTOS
  23. 23. NUMEROS REALES
  24. 24. DESIGUALDADES
  25. 25. INECUACIONES
  26. 26. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
  27. 27. DESIGUALDADES RACIONALES
  28. 28. PLANO CARTESIANO
  29. 29. BIBLIOGRAFIA https://asignatura.us.es/algbas/groups/ https://es.m.wikipedia.org/wiki/%c3%81lgebra-de-conjuntos. https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html. https://definicion.de/valor-absoluto/. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/ab solute-value-inequalities.

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