Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Thanasiskopadis fanismargaronis

1.739 visualizaciones

Publicado el

επαναληπτικό θέμα

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Thanasiskopadis fanismargaronis

  1. 1. ΘΕΜΑ_thanasis kopadis_ (γεωμετρικό) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση ( ): , 1−∞ − → ℝf η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο 3 3, 2   Κ −    και η κλίση της σε οποιοδήποτε σημείο ( ), ( )x f x δίνεται από τον τύπο ( ) 2 1 1+x α) Να αποδείξετε ότι ( ) 1 = + x f x x , 1< −x β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. γ) Έστω (ε) η εφαπτομένη της fC σε τυχαίο σημείο της ( )0 0, ( )Μ x f x i. Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της (ε) με τους άξονες ′x x και ′y y αντίστοιχα. ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ έτσι ώστε το άθροισμα των αποστάσεων της αρχής των αξόνων Ο από τα σημεία Α και Β να γίνεται ελάχιστο δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( )Ε λ του χωρίου που περικλείεται από την fC , τον άξονα ′x x και τις ευθείες 0=x x και =x λ , όπου ( )2, 1∈ − −λ και 0x η τετμημένη του σημείου που βρήκατε στο ερώτημα γ)ii. Στη συνέχεια να βρείτε το όριο ( )1 lim− →− Ε λ λ
  2. 2. Λύση – Θανάσης Κοπάδης – Γεωμετρικό α) Κ∈Cf , άρα 3 f ( 3) 2 − =. Είναι f παραγωγίσιμη στο Α=(-∞,-1) , με ( ) 2 1 1 f '(x) f '(x) ,x 1 x 1x 1 ′  = ⇔ = − < −  + + Άρα υπάρχει c∈R τέτοιο, ώστε 1 f (x) c , x 1 x 1 − = + < − + Για x=-3 προκύπτει c=1 Οπότε 1 x f (x) 1 f (x) , x<-1 x 1 x 1 − = + ⇔ = + + . β) Η γραφική παράσταση προκύπτει εύκολα, χωρίς μελέτη, αν μετατοπίσω τη γραφική παράσταση της 1 (x) x − θ = κατά μία μονάδα προς τα αριστερά και κατά μία μονάδα προς τα πάνω. σελ. 1
  3. 3. Για τη μελέτη έχουμε: x f(x) , x<-1 x 1 = + παραγωγίσιμη δύο φορές στο Α. Με ( ) 2 1 f '(x) 0 x 1 = > + , άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο Α, επομένως δεν παρουσιάζει ακρότατα. Επίσης: 3 2 f ''(x) 0 (x 1) =− > + , άρα η f θα είναι κοίλη στο Α, επομένως δεν παρουσιάζει σημεία καμπής. Τέλος, x lim f (x) 1 →−∞ = , άρα έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -∞ την ευθεία y=1 και x 1 lim f (x)− →− = +∞ , άρα έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=-1. γ) i) Στο τυχαίο σημείο ( )o ox ,f (x ) , άρα με xo<-1,η εφαπτομένη (ε) της Cf θα είναι : o o o o2 o o 1 1 y f (x ) f '(x )(x x ) y 1 (x x ) x 1 (x 1) −= − ⇔ − + = − + + . Για τα σημεία τομής με τους άξονες: To 0∈A, άρα αν x=0 προκύπτει 2 o o x y x 1   =   +  , οπότε σημείο τομής με τον άξονα y’y είναι το σημείο 2 o 2 o x A 0 , (x 1)     +  . Για y=0 προκύπτει το σημείο Β(-xo2,0). ii)Έχουμε: ( ) 2 2 o o o o x x OA x 1 x 1   = =   + +  και 2 2 o o(OB) | x | x= = . Η συνάρτηση του αθροίσματος των αποστάσεων στο τυχαίο σημείο x<-1 θα είναι: 2 2 x d(x) x x 1   = +   +  , με x<-1 Οπότε: ( )3 3 2x (x 1) 1 d'(x) (x 1) + + = + , για x<-1. Είναι 3 2x 0 (x 1) > + για κάθε x<-1, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: σελ. 2
  4. 4. Συνεπώς η απόσταση γίνεται ελάχιστη για x=-2 δ) Το χωρίο του οποίου ψάχνουμε το εμβαδόν είναι το γραμμοσκιασμένο. Θα είναι: [ ] 22 1 E( ) 1 dx x ln | x 1| ln( 1) 2 x 1 λ λ −−   λ = − = − + = λ − −λ − +  +  ∫ Επομένως το ζητούμενο όριο θα είναι το: ( ) 2 1 ( ) 1 1 lim ( ) lim ln( 1) 2− − − − −∞ λ→− λ→− Ε λ = λ − −λ − + = + ∞ Φάνης Μαργαρώνης x -∞ -2 -1 d ΄(x) -- 0 + d(x) д е σελ. 3

×