O documento descreve os principais conceitos relacionados a matrizes, incluindo: (1) o que é uma matriz e suas representações; (2) igualdade e tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular; (3) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
2. Ao final dessa aula você
saberá:
O que é matriz e suas representações.
Igualdade de matrizes.
A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz
coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz
triangular, matriz oposta, matriz identidade e
matriz inversa.
O que é diagonal principal e diagonal secundária.
Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
3. O que é matriz?
É uma tabela de números que pode ser
representada entre chaves ou entre
colchetes.
São matrizes com 2
linhas e 3 colunas.
Então dizemos que é
uma matriz 2 x 3.
Exemplos:
1 2 3 1 2 3
A= 4 0 1 ou A = 4 0 1
5. O que é índice de um
elemento?
É a representação da posição que o
elemento ocupa dentro da matriz.
Exemplo:
a11 a12 2 3
A = =
a a 1 0
21 22
O 3 é o elemento a12, ou seja, está
na 1ª linha e na 2ª coluna.
6. Quando duas matrizes A
e B são iguais?
Quando os elementos de mesmo índice são
correspondentes.
Exemplo:
a11 a12 b11 b12
A =
a a = B = a b
21 22 21 22
Logo, a11 =b11 , a12 =b12 ,
a21 = a21 , a22 =b22
7. Tente fazer sozinho!
(PUC-MG)A matriz A = (aij)2x3 é tal que:
3i + j , se i ≠ j
aij =
2i − 3 j , se i = j
É correto afirmar que:
−1 − 5 −1 7
a ) A = 6 7 b) − 5 2
2 9 6 −9
−1 7 5 −1 5 6
c)
6 2 9 d )
7 − 2 9
9. O que é matriz linha?
É uma matriz formada por apenas uma linha.
Exemplo: A = ( 2 4 3 0 7 )
O que é matriz coluna?
É uma matriz formada por apenas uma coluna.
2
Exemplo:
B =0
9
10. O que é matriz nula?
É uma matriz que apresenta todos os
elementos iguais a zero.
Exemplos:
0 0 0 0
0 0 0
C = 0 0 0 0 D=
0 0 0 0 0 0 0
11. O que é matriz
quadrada?
É a matriz que apresenta o mesmo número
de linhas e colunas.
Dizemos que a
matriz A é de ordem
3 e que a matriz B é
Exemplos: de ordem 2.
2 4 3
0 1
A =0 4 1 B =
9 4
3 0 7
Matriz 3 x 3 Matriz 2 x 2
12. O que é diagonal
principal?
É a diagonal formada pelos elementos aij,
sendo i=j de uma matriz quadrada.
diagonal secundária diagonal principal
13. Tente fazer sozinho!
(Ufop-MG) Observe a matriz:
1 2 3
0 x 4
0 0 y
Chama-se traço de uma matriz a soma dos
elementos de sua diagonal principal. Determine
x e y na matriz acima de tal forma que seu
traço valha 9 e x seja o triplo de y.
14. Solução
1 2 3
x 4
0
0 y
0
x = 3y
1 + 3y + y = 9 4y = 8 y = 2
x = 3.2 x = 6
15. O que é matriz
diagonal?
É a matriz quadrada na qual todos os
elementos que não pertencem a diagonal
principal são iguais a zero. A diagonal
principal deve apresentar pelo menos um
elemento diferente de zero.
Exemplos: 2 0 0
A =0 1 0
0 0 7
16. O que é matriz
triangular?
É a matriz quadrada na qual os elementos
abaixo ou acima da diagonal principal são
iguais a zero.
Exemplos:
2 0 0 0
2 2 4
5 1 0 0 2 7
B =0 1 3 C =
0170 D =0 1
0 0 7
9 3 7 6
17. O que é matriz oposta?
É a matriz cujos elementos são os
opostos de uma matriz dada.
Exemplos:
0 1 − 4 0 −1 4
A= − A = 2 − 3 − 7
− 2 3 7
−1 8 1 − 8
B= −B=
− 2 5 2 − 5
18. O que é matriz
transposta?
É a matriz cujas colunas são iguais às
linhas de uma matriz dada.
0 − 2
Exemplo: 0 1 − 4 t
A= A = 1 3
− 2 3 7 − 4 7
Note que o número de linhas
de A é o número de colunas
de At. O mesmo acontece
com o número de colunas
A é 3x2 e At=2x3
19. Tente fazer sozinho!
(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e
somente se, At = A. Se a matriz
2 x2 x
A = 1 0 5 − y
− 1 y − 3 1
x+ y
É simétrica, então o valor de é:
3
a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0
20. Solução
2 x2 x 2 1 −1
2
1 0 5 − y = x 0 y − 3
− 1 y − 3 1 x 5 − y 1
x 2 = 1 ⇒ x = ±1
x = −1
5 − y = y − 3 ⇒ −2 y = −8 ⇒ y = 4
x + y −1+ 4 3
= = =1
3 3 3
Resposta: letra c
21. O que é matriz
identidade?
É a matriz quadrada que apresenta
todos os elementos da diagonal principal
iguais a 1 e os outros elementos iguais a
zero.
Exemplo:
1 0 0
1 0
I 3 = 0 1 0 I 2 =
0 1
0 0 1
22. Como somamos ou
subtraímos matrizes?
Basta somar ou subtrair os elementos
correspondentes. As matrizes devem ser
do mesmo tipo (m x n).
Exemplos:
1 5 4 − 4 0 − 1 − 3 5 3
a )
3 0 − 1 + 2 − 3 6 = 5 − 3 5
9 − 1 10
b) 8 − 5 = 3
7 3 4
23. Como multiplicamos uma
matriz por um número real?
Basta multiplicar todos os elementos
da
matriz por esse número real.
Exemplo: 2
5 − 6 −15
− 3 1 −1 = − 3 3
− 2 0 6 0
24. Como o tipo da matriz
influencia na multiplicação
de duas matrizes?
Matriz A Matriz B
4x3 3x2
Devem ser iguais
O resultado é do tipo 4 x 2
25. Como efetuamos o
produto de duas
matrizes?
Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz
B = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp,
onde o elemento cij é calculado multiplicando
ordenadamente os elementos da linha i, da
matriz A, pelos elementos da coluna j, da
matriz B, e somando os produtos obtidos.
28. Tente fazer sozinho!
1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes
x
1 0 0 1 − 1
− 1 1 1 0 2 y
1
é a matriz nula, x + y é igual a:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
30. x
0 1 −1 0
1 −1 3 y =0
1
0.x +1. y +1.( −1) 0
1.x + ( −1). y + 3.1 = 0
0 + y −1 0
x − y + 3 = 0
y −1 = 0 ⇒ y = 1
x − y + 3 = 0 ⇒ x − 1 + 3 = 0 ⇒ x = −2
x + y = −2 + 1 = −1
Letra C.
31. 1 b
2) (Fatec-SP) Seja a matriz A = , tal que
a 1
− 19 − 8
A =
2
10 − 19 . É verdade que a+b é igual a:
a) 0
b) 1
c) 9
d) -1
e) -9
32. Solução
1 b 1 b − 19 − 8
a 1 a 1 = 10 − 19
1 + ab 2b − 19 − 8
2a ab + 1 = 10 − 19
2b = −8 ⇒ b = −4
ab + 1 = −19 ⇒ −4a = −20 ⇒ a = 5
Resposta: Letra B
a + b = −4 + 5 = 1
33. O que é matriz inversa?
É matriz X de ordem n, cujo produto com
a matriz A é igual a matriz identidade de
ordem n.
A matriz inversa
de A É indicada
por A-1.
Ou seja,
A.X = X.A = In,
onde X = A-1
35. Tente fazer sozinho!
(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a
0 2
matriz inversa de A = , então:
− 1 1
a) b11 = - ½
b) b12 = -1
c) b21 = 1
d) b22 = -1
e) b22 = - ½
36. Solução
0 2 a b 1 0
− 1 1 c d = 0 1
2c 2d 1 0
− a + c − b + d = 0 1 Resposta:
Letra B
1
2c = 1 ⇒ c =
2
2d = 0 ⇒ d = 0
1 1
− a + c = 0 ⇒ −a + = 0 ⇒ a =
2 2
− b + d = 1 ⇒ −b + 0 = 1 ⇒ b = −1
37. Bibliografia
Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 118 a 145.
Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 287 a 302.
Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso
de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora
Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.