integrala

1. Calculul Integralei
definite
Metoda Dreptunghiurilor
Metoda Trapezelor

2. Integrala definită.
Interpretarea geometrică
Fie dată funcţia f(x) continuă pe segmentul [ a, b] .
Integrala definită
( )
b
a
f x dx∫
este aria trapezului curbiliniu, determinat de axa 0X, dreptele
x = a şi x = b, şi graficul funcţiei f(x) pe segmentul [a,b]

3. Metoda dreptunghiurilor
Determinarea ariei unei figuri curbilinii este destul de dificilă,
de aceea se utilizează procedura de aproximare a figurii iniţiale
prin un set de figuri geometrice, ariile cărora se determină
după formule standard.

5. 1
1
0
1
0
;
, 0,..., .
( )
2
(2 1)
2
i
b
a
n
i i
i
n
i
b a
h
n
x a ih i n
f x dx
x x
hf
h
h f a i
−
+
=
−
=
−
=
= + =
≈
+ 
≈ = 
 
 
= + + 
 
∫
∑
∑
Varianta dreptunghiurilor de mijloc

6. ( )
( )
1
0
1
0
;
, 0,..., .
( )
i
b
a
n
i
i
n
i
b a
h
n
x a ih i n
f x dx
hf x
h f a ih
−
=
−
=
−
=
= + =
≈
≈ =
= +
∫
∑
∑
Varianta dreptunghiurilor de stânga

7. Varianta dreptunghiurilor de dreapta
( )
( )
1
1
;
, 0,..., .
( )
i
b
a
n
i
i
n
i
b a
h
n
x a ih i n
f x dx
hf x
h f a ih
=
=
−
=
= + =
≈
≈ =
= +
∫
∑
∑

8. Algoritmul general
(număr fix de divizări)
1. Se introduc limitele de integrare a, b şi numărul
de divizări n.
2. Se calculează pasul de deplasare h
3. Pornind de la a se calculează mijlocul fiecărui
segment elementar zi
f ( zi
) , şi ariile
dreptunghiurilor elementare.
4. Se sumează ariile elementare.

9. Estimarea erorii
y
f(x)
g(x)= f((xi,+ xi+1)/2)
0 xi xi+1 …
f(x) se aproximează
prin g(x).
1
( ) ( )
2
i i
f x g x
x x
M x +
− ≤
− 
≤ − 
 
Eroarea la integrare pe un segment elementar este integrala erorii de
aproximare:
( )
1 1
1
2
1
[ ]
( )
2
sup ( )
i i
i i
i i
x x
i i
x x
x x
x x
f x dx g x dx M
M f x
+ +
+
+ − 
− ≤  
 
′−
∫ ∫

10. Algoritmul general (pentru o eroare fixată)
( )
1 1
1
2
1
[ ]
( ) , sup ( )
2
i i
i i
i i
x x
i i
x xx x
x x
f x dx g x dx M M f x
+ +
+
+ −  ′− ≤ − 
 
∫ ∫
Eroarea de calcul al integralei pe un segment elementar nu depăşeşte
Prin urmare eroarea de calcul al integralei pe [a,b] nu depăşeşte sume
erorilor pe segmentele elementare
2
[ , ]
( ) ( ) , sup ( )
2 4
b
a ba
h h
f x dx S nM b a M M f x
  ′− ≤ = − − 
 
∫
Pentru o eroare fixată ε numărul de divizări se calculează apriori:
2
2 ( )
( ) ( ) 4 1;
4 4
h b a M
b a M b a M n nε ε
ε
 −
− ≤ ⇒ − ≤ ⇒ = + 
 

11. Exemplu program:
var a, b, h, S : r eal ; j , k, i , n : i nt eger ;
f unct i on f ( x: r eal ) : r eal ;
begi n f : =5- ( x* x- si n( 5* x) ) ; end;
begi n
f or j : =1 t o 3 do
begi n
a: =- 2; b: =2; n: =0;
f or k: =1 t o 10 do
begi n
n: =n+10; S: =0; h: =( b- a) / n;
f or i : =0 t o n- 1 do
case j of
1: s: =s+h* f ( a+i * h) ;
2: s: =s+h* f ( a+i * h+h) ;
3: s: =s+h* f ( a+i * h+h/ 2) ;
end;
wri t el n( ' n=' , n: 3, ' I =' , s: 0: 6) ;
end;
end;
end.

12. Rezultate:
Dreptunghiuri
stanga:
n= 10 I=14.777608
n= 20 I=14.748804
n= 30 I=14.727351
n= 40 I=14.714402
n= 50 I=14.705922
n= 60 I=14.699972
n= 70 I=14.695577
n= 80 I=14.692201
n= 90 I=14.689529
n=100 I=14.687361
Dreptunghiuri
dreapta:
n= 10 I=14.342392
n= 20 I=14.531196
n= 30 I=14.582279
n= 40 I=14.605598
n= 50 I=14.618878
n= 60 I=14.627436
n= 70 I=14.633403
n= 80 I=14.637799
n= 90 I=14.641171
n=100 I=14.643839
Dreptunghiuri
mijloc:
n= 10 I=14.720000
n= 20 I=14.680000
n= 30 I=14.672593
n= 40 I=14.670000
n= 50 I=14.668800
n= 60 I=14.668148
n= 70 I=14.667755
n= 80 I=14.667500
n= 90 I=14.667325
n=100 I=14.667278

13. Metoda trapezelor
Aproximarea ariei unui trapez curbiliniu este mult mai eficientă în
cazul cînd pe fiecare din segmentele elementare este aproximată prin
un trapez, şi nu prin dreptunghi.
Pe segmentul elementar [ xi , xi +1] trapezul este determinat de
extremităţile segmentului pe axa 0X (xi , 0) (xi +1 0) şi de valoarea
funcţiei f(x) în extremităţi: (xi , f ( xi ) ) (xi +1 , f ( xi +1) )

14. Aparatul matematic
;
,
0,..., .
i
b a
h
n
x a ih
i n
−
=
= +
=
1 1
1 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
b n n
i i i i
i ia
f x f x f x f x
f x dx h h
− −
+ +
= =
+ +
≈ =∑ ∑∫

15. Estimarea erorii
Fie f(x) - de două ori derivabilă
pe intervalul [a,b].
Pe un interval elementar [xi, xi+1]
g(x) aproximează funcţia f(x) şi
coincide cu ea în extremităţi.
Eroarea aproximării este
determinată de formula:
( ) ( )
1
1
[ ]
( ) ( ) sup ( )
2 i i
i i
x x
x x x x
f x g x M M f x
+
+− −
′′− ≤ =

16. Eroarea la integrarea pe segmentul elementar este integrala erorii
de aproximare:
( )
( ) ( )1 1 1
1
1
3
1
[ ]
( )
2
( ) sup ( )
12
i i i
i i i
i i
x x x
i i
x x x
i i
x x
x x x x
f x dx g x dx M dx
M
x x M f x
+ + +
+
+
+
− −
− ≤ =
′′= − −
∫ ∫ ∫
Eroarea la integrarea pe segmentul [a,b] este suma erorilor de
integrare pe segmentele elementare:
2
3
[ , ]
( )
( ) sup ( )
12 12
b
a ba
M b a Mh
f x dx S n h M f x
−
′′− ≤ = −∫

17. Algoritmul general
(număr fix de divizări)
1. Se introduc limitele de integrare a, b şi numărul
de divizări n.
2. Se calculează pasul de deplasare h
3. Pornind de la a se calculează valoarea funcţiei în
extremităţile fiecărui segment elementar şi ariile
trapezelor elementare.
4. Se sumează ariile calculate.

18. Exemplu program
var a, b, h, S : r eal ;
j , k, i , n : i nt eger ;
f unct i on f ( x: r eal ) : r eal ;
begi n f : =5- ( x* x- si n( 5* x) ) ; end;
begi n
a: =- 2; b: =2; n: =0;
f or k: =1 t o 10 do
begi n
n: =n+10; s: =0; h: =( b- a) / n;
f or i : =0 t o n- 1 do
s: =s+h* ( f ( a+i * h) +f ( a+( i +1) * h) ) / 2;
wri t el n( ' n=' , n: 3, ' I =' , s: 0: 6) ;
end;
end.

19. Rezultate:
Trapeze
n=100 I=14.665600
n=200 I=14.666400
n=300 I=14.666548
n=400 I=14.666600
n=500 I=14.666624
n=600 I=14.666637
n=700 I=14.666645
n=800 I=14.666650
n=900 I=14.666653
n=1000 I=14.666656
Dreptunghiuri
de stanga:
n=100 I=14.687361
n=200 I=14.677280
n=300 I=14.673802
n=400 I=14.672040
n=500 I=14.670976
n=600 I=14.670264
n=700 I=14.669754
n=800 I=14.669370
n=900 I=14.669071
n=1000 I=14.668832
Dreptunghiuri
de dreapta:
n=100 I=14.643839
n=200 I=14.655520
n=300 I=14.659295
n=400 I=14.661160
n=500 I=14.662272
n=600 I=14.663010
n=700 I=14.663536
n=800 I=14.663930
n=900 I=14.664236
n=1000 I=14.664480