1. Université Hassan 1
Ecole Nationale des Sciences Apliquées
Berrechid
Travaux dirigés 4
Probabilités
CIIDBD S6: 2021-2022
Exercice 1:
Soit (Xn) une suite de v.a.r de même lois définies pour tout n ≥ 1 par
P(Xn = 0) =
n
n + 1
et P(Xn = n) =
1
n + 1
1. Montrer que Xn
P
→ X où X est une v.a.r que l’on déterminera
2. Calculer E[(Xn − X)2
] ainsi que sa limite quand n → +∞. Que peut-on en conclure?
Exercice 2:
Soit (Xn) une suite de v.a.r indépendantes et de même lois définies pour tout n ≥ 1 par
P(Xn = 1) = p et P(Xn = −1) = 1 − p
Soit Yn = X1 × X2 × · · · × Xn
1. Quelles sont les valeurs prises par Yn?
2. On note par pn = P(Yn = 1), calculer E(Yn)
a. En fonction pn
b. En fonction de p
3. En déduire la loi de (Yn) et la loi limite de (Yn) quand n → +∞
Exercice 3:
Soit Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée et réduite. A l’aide de l’inégalité de
Bienaymé- Tchebychev, montrer que pour tout t > 0:
1 − Φ(t) ≤
1
2t2
Exercice 4:
Soit (Xn, n ≥ 1) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy C(0, a) de paramètre
a > 0. On note Sn =
Pn
k=1 Xk. Étudier les convergences en loi et en probabilité des suites suivantes:
1.
Sn
√
n
, n ≥ 1
2.
Sn
n2
, n ≥ 1
Exercice 5:
Soit la suite Xn = (−1)n
X où X est une variable aléatoire normale centrée réduite.
1. Montrer que Xn converge en loi vers X
2. Montrer que Xn ne converge pas en probabilité.
Exercice 6:
Soit X1, X2, . . . , Xn n v.a.r indépendantes de loi de Bernoulli Ber(t), t ∈ [0, 1], on pose: Sn =
Pn
i=1 Xi
et X̄n = Sn
n
1. Étudier les différentes convergences de la v.a. X̄n
2. Soit une fonction réelle continue et bornée sur [0, 1]. Écrire l’expression de l’esperance
mathématique de f(X̄n), la calculer lorsque f(x) = x et f(x) = x2
et déterminer sa limite quand n
devient infini.

2. Exercice 7:(Devoir)
Une compagne aérienne utilise un avion qui peut transporter au maximum 400 passagers. La proba-
bilité pour qu’un passager , ayant réservé pour un vol donné, ne se présente pas à l’embarquement
est de 0.08.
1)la compagnie accepte pour un vol 420 réservations. on note X indice 420 la variable aléatoire
indiquant le nombre de passagers se présentant à l’embarquement et F le population des passagers
qui ont réservé pour ce vol mais qui ne sont pas présents à l’embarquement.
a. quelle est la loi exacte de F ?
b. quelle est la loi approximative de F ?
c. calculer la probabilité que le nombre de passagers présents à l’embarquement ne dépasse
pas 400. Que peut-on en conclure ?
2) La compagnie accepte pour un vol n réservations (n ≥ 400). On note X indice n le nombre de
passagers se présentant à l’embarquement. Déterminer la valeur maximale de n pour que la probabilité
que le nombre de passagers présents à l’embarquement ne dépasse pas 400 soit supérieure ou égale à
0.95.
Exercice 8:
On considère une suite de variables aléatoires réelle indépendantes Xj de même loi de Poisson de
paramètre 1.
1. Quelle est la loi de Sn =
Pn
j=1 Xj
2. Soit Tn = Sn−n
√
n
En utilisant le théorème de la limite centrale et en considérant les événements
Tn ≤ 0, montrer que :
lı́m
n→+∞
e−n
n
X
k=0
nk
k!
=
1
2
Exercice 9:
En considérant une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1], calculer à
l’ aide de la loi (faible) des grands nombres:
lı́m
n→+∞
Z
[0,1]n
f
x1 + x2 + · · · + xn
n
dx1dx2 . . . dxn
Où f est une fonction continue.
Exercice 10:
Soit f une fonction réelle continue bornée. Montrer qu’on a:
lı́m
n→+∞
e−n
+∞
X
k=0
f
k − n
√
n
nk
k!
=
1
√
2π
Z +∞
−∞
f(t)e−t2/2
dt
Exercice 11:
Soit Yk, k ≥ 1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre α 0.
1. Déterminer la loi de Zn =
Pn
k=1 Yk
2. Montrer que la suite des moyennes empiriques ( Ȳn = Zn
n
) converge vers une limite que l’on
déterminera.
3. Pour g une fonction continue et bornée , calculer
lı́m
n→+∞
+∞
X
k=0
e−nα
g
k
n
(nα)k
k!

3. Exercice 12:
1. Soit Y une variable aléatoire de loi uniforme sur [−1, +1]. Déterminer la fonction caractéristique
de Y.
On considère une suite (Xn) de variables aléatoires indépendantes de loi:
P
Xj =
1
2j
= P
Xj = −
1
2j
=
1
2
2. Déterminer la fonction caractéristique de Xj, puis celle de Sn.
3. Montrer que
φSn (t) =
sint
2nsint/2n
4. En déduire que Sn converge en loi vers une variable aléatoire que l’on précisera.
Exercice 13:
soient X et Y deux v.a.r indépendantes admettant la même de probabilité de moyenne 0 et d’écart-
type 1. On suppose que X+Y
√
2
possède la même loi de probabilité que X et Y . On désigne par φ la
fonction caractéristique de X (ou de Y ).
1. Montrer que: φ′
(0) = 0, φ′′
(0) = 1 et φ2
(t/
√
2) = φ(t)
2. Montrer que φ(t) 0 pour tout t (Raisonner par l’absurde en montrant que si φ(t0) = 0,on
aurait φ(t0/(
√
2)n
) = 0 et que ceci implique une contradiction en vertu de la continuité de φ).
3. Monter que
log(t)
t2
=
log φ( t
(
√
2)n )
t
(
√
2)n
2
4. En déduire que X et Y sont normales centrées et réduites (montrer en utilisant la question 3
que log(t)
t2 = −1
2
)
Exercice 14:
Soit X1, X2, . . . , Xn des v.a. indépendantes et de même loi que X, de densité: f(x) =
θ
2
e−θ|x|
où θ est
un nombre réel positif donné. Étudier la convergence en probabilité de la suite de v.a. définie par:
Tn =
1
n
n
X
k=1
|Xk|
Exercice 15:
1. En utilisant l’approximation de la loi Khi-deux par la loi normal. Déterminer la valeur de χ2
correspondante:
a. à une probabilité de 0.95 et 30 degrés de liberté.
b. à une probabilité de 0.95 et 150 degrés de liberté.
2. En utilisant l’approximation de la loi t de student par la loi normal. Déterminer la valeur de t
correspondante à une probabilité de 0.95 et 80 degrés de liberté.