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10
Adición de números naturales
Primer Año de Secundaria
1. Completa las siguientes expresiones con algunas de las
palabras del recuadro:
asociativa
suma
distributiva
uno
sumandos
resultado
cero
suma
sumandos
conmutativa
asociemos
ordenemos
a) Los términos de una adición son _______________
y _______________
b) La propiedad ___________________ nos dice que
“el orden de los _______________ no altera la
_______________”
c) El elemento neutro de la adición es el
_______________
d) La propiedad _______________ nos dice que la
“forma como _______________ los sumandos no
altera el _______________”
2. Relaciona los ejemplos de la columna de la izquierda
con las propiedades de la columna de abajo:
( ) 12 + 5 = 5 + 12
( ) 29 + 0 = 29
( ) 13 + (51 + 7) = (13 + 51) + 7
( ) 21 + 9 = 30
( ) 103 + 301 = 301 + 103
( ) 2478 + 0 = 2478
A. Propiedad de clausura
B. Propiedad asociativa
C. Propiedad del elemento neutro
D. Propiedad conmutativa
3. Efectuar las siguientes adiciones:
a) 479 + 4568
b) 958647 + 494846
c) 4458 + 536894 + 7578
d) 874587 + 5641 + 21245
4. Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno:
a) Sumar el “menor número de tres cifras” con el
“mayor número par de tres cifras”.
b) Sumar el “mayor número de dos cifras” con el
“menor número de tres cifras diferentes”.
1. Si se cumple:
CCCC CCC CC C PV38   
hallar: C + P + V
a) 19 b) 20 c) 21
d) 23 e) 24
2. Hallar el valor de “a + b”, si se cumple:
aa bb 714 aba  
a) 12 b) 13 c) 17
d) 14 e) 11
3. Si se cumple:
3mn p4m qqq4 
hallar “m + n + p + q”
a) 15 b) 17 c) 19
d) 21 e) 22
4. Si: a + b = 12
hallar: aa ab bb ba  
a) 136 b) 237 c) 232
d) 264 e) 276
5. Si se cumple:
CC PP VV CPV  
hallar:
C V
P

a) 2 b) 1 c) 3
d)
1
2
e)
3
2
Autoevaluaciòn
Tarea domiciliaria
11Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
c) Sumar el “menor número par de cuatro cifras” con
el “mayor número de tres cifras diferentes”.
d) Calcula la suma de los siete primeros números
impares.
5. En el siguiente cuadro completa los espacios en blanco
para que la suma en las filas, columnas y diagonales
se verifiquen. Indica el mayor de los números faltantes.
71
18 9
11
8 20
15
77 68 88 79 89
46
106
58
10228
32
6. Indicar la mayor cifra encontrada en:
*
5
1
*
0
5
0
8
4
*
2
*
0
4
+
*
7. Hallar la suma de cifras del tercer sumando en:
4
*
3
*
5
7
4
6
*
2
9
9
8
*
7
3
5
7
**
4
9
*
7
+
8. Calcular la suma de la mayor y menor cifra hallada en:
*
2
1
*
3
5
*
9
9
3
*
9
*
8
9*
+
9. Calcular la suma de las dos últimas cifras del resultado
en: 3 + 31 + 313 + 3131 + ... + 31313131
10.¿Cuál es la cifra de millares del resultado?
3 + 33 + 333 + ... (11 sumandos)
11.Determinar la suma de las dos últimas cifras del
resultado: 3 + 88 + 333 + 8888 + ... (10 sumandos)
12.Hallar “a + b + c”; si: ab4 bba 1c96 2964  
13.Si: a + b + c = 13
hallar: abc bca cab 
14.Calcular “a + b”
si: aaa 392 bb4 pq79  
15.Hallar “a + b”
si: a + b + c = 16, además: ab bc 122 
16.Si: 9ab aab cab 2104   , hallar “a + b + c”..
17.Juan Pérez nació en el año 17a9 y luego de vivir 5b
años muere en el año 18b1. Calcular “a + b”..
18.Tengo S/.ab7 y si recibiera S/.m25 de propina tendría
S/. 87m.¿Cuánto tengo?
19.Al preguntarle a mi padre cuánto había gastado en la
compra de tres artefactos me respondió: “Bueno hijo,
el televisor me costó S/. a32b;el DVD costó S/.b58
y la cámara digital S/. cbb9 lo que hizo un total de
S/. b23a ”. ¿Cuánto gastó mi padre en esos tres
artefactos?
20.Calcular “a + x”, si: 2a 3a 4a ... 9a x96    
21.Dividir el reloj en seis partes (no necesariamente
iguales) de modo que el resultado de la suma de los
números de cada una de las partes sea el mismo. Dar
como respuesta la suma de cada parte.
1211
10
9
8
7 6
1
4
3
5
2
22.En una lista de números, cada número después del
primero se obtiene sumando todos los números que le
preceden. ¿Cuál es el noveno número de la lista si el
tercero es 2?
23.Si “A” representa al menor número cuya suma de cifras
sea igual a 20 y “B” representa al menor número de
tres cifras diferentes, calcular “A + B”.
24.Imanol eligió tres dígitos distintos que sumados dan
13 y escribió todos los números de tres cifras que se
pueden formar con ellos (sin repeticiones), luego sumó
todos los números que obtuvo. ¿Cuál fue su resultado?
25.Hallar el valor de “T + E” en:
JOYAS JOYAS JOYAS TESORO   ; si a letras iguales
le corresponde la misma cifra, letras diferentes
representan cifras diferentes y “R” es mayor que 1.
13Organización Educativa TRILCE
COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO
A la acción de sacar, quitar o de extraer le llamamos
SUSTRACCIÓN, conocido también como resta. Es una
operación que NO SIEMPRE es posible en el conjunto de
los números naturales.
Para realizar una sustracción debemos tener en cuenta
cuatro elementos claves:
1. La cantidad mayor a la que se le realizará la resta se
llama Minuendo.
2. La cantidad menor que es la que se va a restar se
llama Sustraendo.
3. El signo con el cual se identifica la operación es (-).
4. El resultado de la operación se llama Diferencia.
Ejemplo:
59 - 17 = 42
Es decir:
M – S = D
¡CUIDADO!
En el conjunto de los números naturales es imposible
efectuar las sustracciones si el Minuendo es menor que
el Sustraendo, por ejemplo: 6 – 9 = ??, pues no existe
un número natural que sumado con el sustraendo “9”
dé como resultado “6”.
Observaciones:
1. Si sumamos o restamos un mismo número natural al
MINUENDO y al SUSTRAENDO, la diferencia NO se
altera. Ejemplo:
27 – 15 = 12
Sumemos 7 a cada término de la sustracción:
(27 + 7) – (15 + 7)
34 - 22 = 12 ¡La diferencia
no se alteró!
2. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO
al MINUENDO, LA DIFERENCIA queda aumentada o
disminuida en esa cantidad. Ejemplo:
27 – 15 = 12
Aumentemos 4 sólo al minuendo:
(27 + 4) – 15
31 - 15 = 16 ¡La diferencia quedó
aumentada en 4!
3. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO
al SUSTRAENDO, la DIFERENCIA queda disminuida o
aumentada, respectivamente, en esa misma cantidad.
Ejemplo:
27 - 15 = 12
Aumentemos 3, sólo al sustraendo:
27 - (15 + 3)
27 - 18 = 9 ¡La diferencia quedó
disminuida en 3!
PROPIEDAD
“La suma de los tres términos de una sustracción es
igual al doble del Minuendo”.
M + S + D = 2 M
* Ejercicio de Aplicación
La suma de los tres términos de una sustracción es
2.048, hallar el mayor de los tres términos.
Resolución:
Sabemos que el mayor término de una sustracción es
el MINUENDO.
Del dato: M + S + D =2 048
Es decir: 2 M =2 048
M = 1 024
Respuesta: 1 024
COMPLEMENTOARITMÉTICO(CA)
Es la cantidad de unidades que le falta a un número para
ser el menor número de orden inmediato superior. Es decir,
si el número es de dos cifras, su complemento aritmético
es la cantidad de unidades que le falta para ser el menor
número de tres cifras.
Sustracción de
números naturales2
14
Sustracción de números naturales
Primer Año de Secundaria
Ejemplos:
a) CA (4) = 10 – 4 = 6
b) CA (9) = 10 – 9 = 1
c) CA (10) = 100 – 10 = 90
d) CA (73) = 100 – 73 = 27
e) CA (501) = 1 000 – 501 = 499
f) CA (45 801 274) = 100 000 000 – 45 801 274 = 54 198 726
Método práctico para calcular el complemento
aritmético.
Tomando de derecha a izquierda la primera cifra significativa
del número al que se le está calculando su complemento
aritmético, se le resta de 10 y a las demás de 9. Si hay
ceros al final, estos permanecen en el complemento.
Ejemplo:
a. CA (2 340) = 7 660
(9 - 2)__(9 - 3)__(10 - 4)__(se copia igual)
b. CA (90 235) = 09 765
(9-9)__(9-0)__(9-2)__(9-3)__(10-5)
1. Calcule: + , si:
9
6
5
1
-
Resolución:
• En las unidades: - 1 =
Donde: = 2 ó 3 (Se deduce de las centenas)
• Probando con “ = 3”
9
6 2
35
1
-
3 3
2
• Entonces, tenemos que: = 3 y = 2
Nos piden: + = 3 + 2 = 5
Respuesta: 5
2. Calcule el valor de “a”, si: 5ab3 253b d2c3 
Resolución:
• Lo pondremos en forma vertical para una mejor
visualización:
5ab3 -
253b
d2c3
• En las unidades: b = 0
• En las decenas: Nos prestamos de las centenas y
formamos:
1 0 – 3 = c  c = 7
• En las centenas: (a – 1) – 5 = 2  a = 8
Respuesta: 8
3. En la siguiente operación:
2
1
3
1
2
2
1
2
3
7
2
4
1
-
calcule la suma de las cifras encontradas.
Resolución:
• En las unidades: 145 
• En las decenas: 7301 
• En las centenas: 1214 
• Unidades de millar: 123 
• Decenas de millar: 112 
Nos piden: Suma de cifras halladas:
5 + 0 + 4 + 2 + 1 = 12
Respuesta: 12
4. Si: 4daa9c72c4b8  ; hallar “a + b + c”..
Resolución:
Tenemos:
8 b 4 c
7 2 c 9
d a a 4
• Unidades: c1 - 9 = 4  c = 3
• Decenas: 4 - 1 - c = a  a = 0
• Centenas: b - 2 = a  b = 2
• Unidades de millar: 8 - 7 = d  d = 1
Piden: a + b + c = 0 + 2 + 3 = 5
Respuesta: 5
BloqueI
2
1
1 2
3
1
2
2
1
2
3
7
2
4
1
-4 0 5Ejercicios
15Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
1. Efectúa:
a) 1 526 - 158
b) 5 678 - 3 506
c) 80 080 - 32 193
d) 700 801 - 51 908
e) 949 900 - 352 499
2. Completa las siguientes sustracciones:
a) 4
...
...
5
3
3
...
5
2
8
...
- b) 8
...
4
...
5
7
...
4
2
0
...
3
-
c) 0
...
4
4
8
...
...
5
6
3
...
1
-9
...
d) ...
7
1
...
5
7
3
...
2
8
...
9
-
e) 5
...
...
5
2
...
7
4
4
6
...
-3
...
f) ...
9
3
...
9
3
8
...
3
0
7
3
-7
...
3. Halla la cifra que debemos escribir en cada casillero e
indicar lo que se pide:
1. Efectuar e indicar los elementos de la sustracción:
7
2
5
4
4
3
-3
2. Indicar el complemento aritmético de los siguientes
números:
• CA(6) =
• CA(31) =
3. Hallar el valor de:
CA(17) + CA(141)
4. Indicar el complemento aritmético del mayor número
natural de dos cifras.
5. Hallar la diferencia entre 2 decenas y 1 docena.
6. Hallar la diferencia entre 3 docenas y 3 decenas.
* En los siguientes ejercicios, escribir las cifras que faltan
en cada casillero:
7. _
2
4
7
_
5
_
3
-
8. 7
_
5
5
_
1
_
1
3
-3
_
9. _
7
8
3
1
_
4
_
1
-7
_
10.Restar 37 de 52
Test de Aprendizaje
Practiquemos
16
Sustracción de números naturales
Primer Año de Secundaria
a) 3 8 -2
5 9 5
7 5 3
8
9
5
Suma de cifras halladas: ..........
b) 5 8 -2
9 7 2
7 5 6
8
9
597
4
9
5 9
Suma de cifras de la diferencia: ..........
c) 9 8 -8
7 5 2
7 5 5
8
9
997
7
9
5 3
La mayor cifra encontrada: ..........
d) 9 8 -8
8 5 3
7 5 5
7
9
837
7
2
9 3
1
5
Suma de cifras del minuendo: ..........
4. Cambie las letras por dígitos que completen correc-
tamente las operaciones. Si una letra se repite en una
resta debe cambiarse siempre por el mismo dígito.
a) a
1
6
2
c
7
a
2
5
7
9
a
7
4
b
-
Mayor cifra encontrada: …………
b) a
1
d
2
b
4
3
7
d
a
2
5
6
c
7
-
Indicar “a + b + c”: …………
c) a
1
6
2
d
1
b
3
9
6
4
e
c
6
8
-
Suma de cifras del sustraendo: …………
d) a
1
1
b
2
5
c
c
c
2
7
d
-
Suma de cifras del minuendo: …………
5. Calcule:
a) CA (7)
b) CA (3)
c) CA (96)
d) CA (587)
e) CA (809)
f) CA (4 875 905)
g) CA (98 687 000)
h) CA (1 004 877 953)
BloqueII
1. Al sumar el MINUENDO, SUSTRAENDO y DIFERENCIA,
¿qué se puede afirmar acerca del resultado obtenido?
Dar ejemplos.
2. ¿Por qué no podemos aplicar la propiedad conmutativa
a la sustracción? Da ejemplos.
3. Si al mayor número de tres cifras diferentes le
sustraemos el mayor número par de dos cifras, ¿cuánto
nos queda?
4. ¿Cuál es la diferencia entre el menor número impar de
cuatro cifras y el mayor número formado por tres cifras
pares y diferentes?
5. Compara el valor de las columnas “A” y “B” en cada fila
y coloca “>” ; “<” ; “=” o si “no se puede determinar”,
según corresponda:
6. Resta 137 de 2498
7. Resta 24 de 1903
8. De 497 resta 198
La diferencia entre de-
cenas consecutivas
La diferencia entre im-
pares consecutivos
La diferencia entre 2
decenas y 4 unidades
9 sustraído de 15
El número que falta a 3
para completar 15
.......
.......
.......
.......
.......
“A” “B”
19 disminuido en 8
La diferencia de dos
números naturales con-
secutivos
La diferencia de 17 y 2
19 menos 1 docena
1 docena disminuido en
una unidad
17Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
9. Resta (6 + 7 + 8 + 9) de (11 + 9 + 93)
10.Si: cbba1bb43aa7  ; calcule “a + b + c”..
BloqueIII
1. En las siguientes expresiones, respecto a las
sustracciones, completa los espacios en blanco
especificando lo que sucede con la diferencia, si aumenta
o disminuye y en cuántas unidades:
a) Si el minuendo aumenta en 13 unidades, la diferencia
..........................................................
b) Si el sustraendo aumenta en 9 unidades, la diferencia
..................................
c) Si el minuendo disminuye 7 unidades, la diferencia
.......................................
d) Si el sustraendo disminuye 3 unidades, la diferencia
.......................................
e) Si el minuendo aumenta 6 unidades y el sustraendo
disminuye 7 unidades, la diferencia .....................
.......................
f) Si el minuendo aumenta 6 unidades y el sustraendo
aumenta también 6 unidades, la diferencia
.....................................................................................
g) Si el minuendo disminuye 11 unidades y el sustraendo
disminuye 5 unidades, la diferencia
.....................................................................................
2. Si: 70ymxy2yy4x6  , calcula el valor de:
“x.+.y.+.m”.
3. Si: 24a5bc 138a29 1d7898  ; indica la diferencia
entre la mayor y menor cifra encontrada.
4. Luis va de compras al supermercado con S/. c6b y gasta
S/. 9c2 quedándole S/. 4aa . Calcule “a + b + c”..
5. José tenía ahorrado S/. aaa5 pero invirtió S/. 3b4b en
un negocio quedándole S/. 89dc . ¿Cuánto invirtió en
el negocio?
6. De abb42 socios de un club, votaron en las últimas
elecciones 4392c , quedándose sin votar 574d socios.
¿Cuántos socios no votaron?
7. Hallar “T + R + I + L + C + E”; si: TRR 0 I3RR II9R 
Además: LLLC LCC 1990  y 0 = CERO
1. Si se cumple: 7ab4 cd0b a7c8 
hallar “a + b + c + d”
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
2. Si se cumple: 5CPV 2579 VPOC 
hallar “C + P + V”, si “O” es cero.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 16
3. Un automovilista parte del kilómetro CP y se detiene en
el kilómetro PC , sabiendo que P > C y además “P” y “C”
son números consecutivos, ¿qué distancia recorrió el
automovilista?
a) 11 km b) 7 c) 9
d) 13 e) 16
4. Si la suma de términos de una sustracción es 480,
calcular la diferencia, si el minuendo es el doble del
sustraendo.
a) 120 b) 140 c) 210
d) 240 e) 160
5. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que si se le
resta 28 resulta el doble de su complemento aritmético.
a) 324 b) 676 c) 742
d) 258 e) 126
Autoevaluaciòn
18
Sustracción de números naturales
Primer Año de Secundaria
1. Completa las siguientes expresiones con algunas de las
palabras del recuadro:
el sustraendo
8 unidades
docenas
58
minuendo
la diferencia
sustraendo
aumenta
48
naturales
2 unidades
enteros
disminuye
si es posible
decenas
10 unidades
diferencia
el minuendo
no es posible
docenas
a) Los términos de una sustracción son
_________________; ________________ y
________________
b) En la sustracción de números __________________
el mayor término es ______________________
c) Si el minuendo aumenta 13 unidades, la diferencia
_________________ 13 unidades.
d) Si disminuimos 2 unidades al minuendo,
__________________ disminuye _______________
e) La diferencia entre dos ______________________
consecutivas es 10 unidades.
f) La diferencia entre dos decenas y una docena es
______________________
g) En una sustracción, si el minuendo es 85 y la
diferencia es 37, el sustraendo es ________________
h) Una sustracción de números naturales donde el
sustraendo sea mayor que el minuendo
____________________
2. Hallar las cifras que debemos escribir en cada casillero
e indicar lo que se pide:
a)
4 3 7 -
5 2
8 3
La suma de las cifras halladas:
b)
8 3
1
-
3 8 9
2 5
9
La mayor cifra encontrada:
c)
4 3 2 -9
3
7
5
754
Suma de cifras halladas:
d)
4 -
9
8954 3
384
Suma de cifras del minuendo:
3. ¿Por qué no es posible una sustracción donde el
sustraendo sea mayor que el minuendo en los números
naturales?
4. Efectuar:
a) 59836 - 6583 b) 10025 - 999
c) 91200 - 7294 d) 44444 - 8888
e) 575757 - 57575 f) 586127 - 289475
5. Calcular el complemento aritmético de los siguientes
números:
a) 8 d) 237 g) 9978400
b) 48 e) 4895 h) 35004259
c) 105 f) 10025890 i) 245860821
6. Cambia las letras por cifras que completen
correctamente las siguientes sustracciones e indicar lo
que se pide.
a)
a
3
2
6
b
1
2
5
c
b
2
1
2
c
5
-
Suma de cifras diferentes halladas:
Tarea domiciliaria
19Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
b)
a
1
1
9
7
1
b
2
c
7
b
7
-
Indicar la suma de cifras del minuendo:
c)
a
c
1
2
c
0
b
6
7
7
9
7
-c
6
5
Indicar “b - c”
d)
6
3
d
a
8
8
4
c
9
5
b
b
-b
7
5
Indicar “a + b + c”
7. Si la suma de los tres términos de una sustracción es
148, indica con cuál de sus tres términos podemos estar
seguros de su valor.
8. La diferencia de dos números es 158. Si aumentamos
15 unidades al minuendo y disminuimos el sustraendo
en 8 unidades, ¿cuál será la nueva diferencia?
9. La diferencia de dos números es 25. Si al minuendo le
disminuimos 7 unidades y el sustraendo aumenta en 4
unidades, ¿cuál será la nueva diferencia?
10.¿Cómo varía la diferencia en una sustracción, si el
minuendo aumenta en 5 y el sustraendo disminuye en 5?
11.Compara el valor de las columnas “A” y “B” en cada fila
y escribe: “>” ; “<” ; “=” o si “no se puede determinar”,
según corresponda:
Columna “A” Columna “B”
19 disminuido en una
docena
87 disminuido en 59
el número que le falta a
51 para completar 67
27 sustraído de una
centena
complemento aritmético
de 8
1 centena disminuido
en 3 unidades
CA(9999133)
17 disminuido en una
decena
la diferencia entre 245
y 226
4 decenas menos 3
docenas
la diferencia entre
379 y 299
complemento aritmético
de 9999998
complemento aritmético
de 3
CA(132)
12.¿Cuál es la diferencia entre el mayor número de tres
cifras y el menor número de dos cifras?
13.¿Cuál es la diferencia entre el complemento aritmético
de 1999 y el complemento aritmético de 9991?
14.Si “A” representa a un número de cuatro cifras y “B”
representa a un número de tres cifras, ¿cuál es el
máximo valor que puede tomar “A - B”?
15.Si: a2b7c 3c696 9876,  indicar la mayor cifra
encontrada.
16.Julio recibe S/.13ab2 por su jubilación pero tuvo que
pagar una deuda de S/. c49d y le quedó S/. c1956.
Calcular “a + b + c”
17.Carlitos vende huevos en el mercado. Tenía m2p huevos
y vende 3p7 , quedándole nn3 huevos. ¿Cuántos huevos
vendió?
18.De 61mnn personas que asistieron a un espectáculo,,
se retiran 1m685 personas. Los que se quedaron hasta
el final fueron p4037 personas. ¿Cuántos se retiraron?
21Organización Educativa TRILCE
COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO
En el presente capítulo desarrollaremos problemas y ejercicios relacionados con la aplicación de la adición y sustracción
de números naturales. Es en realidad muchas las situaciones de nuestra vida cotidiana donde aplicamos estas dos
operaciones y muchas de ellas las resolvemos de una manera muy natural como por ejemplo quién no se ha preguntado
alguna vez ¿Cuánto falta para el recreo?, ¿Cuánto me deben entregar de vuelto?, ¿A cómo deberé venderlo para
ganar?, ¿Cuál es la diferencia de goles de nuestro equipo favorito?, ¿Cuánto me falta para comprarme un determinado
producto?, ¿Cuántos años me lleva mi amigo?,etc.
Es claro que no podremos abarcar en su totalidad los diversos tipos de problemas relacionados con la adición y la
sustracción; a continuación se muestran algunos problemas resueltos el cual esperamos les sirva de guía para resolver
los problemas propuestos.
1. Los cuatro hijos de doña Martha formaron una sociedad,
a la que aportaron las siguientes cantidades: $ 2 500,
$ 1 150, $ 2 380 y $ 3 990. ¿Qué capital juntaron los
hijos de doña Martha?
Resolución:
El capital que juntaron es la suma de las cantidades
que aportaron cada uno de los hijos:
2 500 + 1 150 + 2 380 + 3 990 = 10 020
Rpta.: Entre todos los hermanos juntaron $10 020
2. Una señora va al supermercado y gasta S/.28 en
verduras, S/.36 en leche, S/.13 en tubérculos y S/. 17
en frutas. Si pagó con un billete de S/.200, ¿cuánto
deberían entregarle de vuelto?
Resolución:
Averiguamos primero el monto total de la compra:
Verduras: 28 +
Leche 36
Tubérculos: 13
Frutas 17
___________
TOTAL = 94
Ahora calculamos el vuelto: 200 – 94 = 106
Rpta.: Deberían entregarle S/.106 de vuelto.
3. La suma de las edades de Ana y Bertha es 27 años. Si
Ana es menor que Bertha en 3 años, ¿qué edad tiene
Bertha?
Resolución:
Ana:
Juntos 27 años
Bertha: + 3
Nos dicen que Ana es 3 años menor, lo que significa
que si a Bertha le quitamos esos 3 años de más que
tiene, ambas amigas tendrían igual edad, pero además
la suma de sus edades ya no sería 27 sino:
27 - 3 = 24 años (en partes iguales)
Es decir 12 cada una. Finalmente tenemos:
Ana: 12 años
Bertha: 12 + 3 = 15 años
Rpta.: 15 años
4. Miguel va al mercado y observa que si compra 14
manzanas le faltaría S/.3, pero si compra 13 manzanas
le sobraría S/.1. ¿Cuál es el precio de cada manzana?
Resolución:
Analicemos los datos:
Si compra 14 manzanas le faltaría S/.3
Si compra 13 manzanas le sobraría S/.1
Vemos que al comprar 1 manzana menos, el costo total
disminuyó en:
3 + 1 = 4 soles, veámoslo gráficamente:

Aplicación
de la adición y
la sustracción en lN3
Problemas Resueltos
22
Aplicación de la adición y la sustracción en lN
Primer Año de Secundaria
Costo de 14 manzanas
Dinero de Miguel
Costo de 13 manzanas Falta S/.3
Sobra S/.1
Costo de 1 Manzana: S/.4
Rpta.: Cada manzana cuesta S/. 4
5. La suma de dos números es 32 y su diferencia es 12.
Calcular el mayor de los números.
Resolución:
Veamos los números en forma gráfica:
A:
B: + 12
LA DIFERENCIA
Si le quitamos esa diferencia, los números serían iguales
y sólo sumarían:
32 – 12 = 20
De donde se deduce que:
A = 10
B = 10 + 12 = 22
Rpta.: El mayor es 22
6. Enrique quiere comprar un equipo de música que cuesta
S/.850 y sólo tiene ahorrado S/.315. En el verano trabajó
y ganó S/.750. Entre comida y diversión gastó S/.287.
¿Le alcanza el dinero para comprar el equipo?
Resolución:
El dinero que logra juntar Enrique es:
Ahorrado: S/. 315 +
Por su trabajo: S/. 750
______
S/. 1 065 -
Gastos: S/. 287
______
S/. 778
Y como S/.778 es menor que S/.850, ...
Rpta.: No le alcanzará para comprar el equipo.
7. Luis y Carlos tienen juntos S/.1 800. Si Luis tiene S/.400
más que Carlos, ¿cuánto tiene cada uno? y ¿cuánto
dinero deberá darle Luis a Carlos para que ambos
tengan igual cantidad?
Resolución:
Luis: + 400
Juntos tienen S/.1 800
Carlos:
Hacemos: S/.1 800 – S/.400 = S/.1 400 , de donde:
Luis: S/.700 + S/.400 = S/.1 100
Carlos: S/.700
Rpta.: Luis tiene S/.1 100 y Carlos S/.700
Si deseamos que ambos tengan igual cantidad, el monto
total no variará, juntos seguirán teniendo S/.1 800 y
cada uno S/.900; para conseguirlo sólo necesitamos
que Luis le de a Carlos S/.200.
Rpta.: Luis debe darle a Carlos S/. 200


* Dado el siguiente cuadro de la venta de papa y camote en toneladas, contestar:
1er trimestre
2do trimestre
3er trimestre
4to trimestre
Venta de
papa
13 tn
15 tn
9 tn
12 tn
Venta de
camote
7 tn
12 tn
16 tn
11 tn
1. ¿Cuántas toneladas de papa se vendió en el año? 2. ¿Cuántas toneladas de camote se vendió en el año?
Test de Aprendizaje
23Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
BloqueI
1. Palabras y números:
• Completa las frases para que complete su
significado.
• Los números que faltan deben ser elegidos del
conjunto dado.
• Un número puede ser usado solamente una vez en
cada caso.
a) Mañuco gasta S/. ............. en libros. Él tenía S/. ............
y ahora le queda S/. .....................
52 - 49 - 97 - 101
b) La suma de dos números es .............y su diferencia es
................. Los números son ............... y ...................
18 - 26 - 22 - 40 - 4
c) En una fábrica las piezas se someten a una temperatura
de ............ °C luego del enfriado se encuentran a
.......... °C, es decir que disminuyó su temperatura en
........... °C
35 - 1237 - 1230 - 45 - 1185
d) La diferencia de dos números es ............... y su suma
................, los números son .........................
17 - 13 - 62 - 47 - 30
e) En una fábrica de vidrio, todo el proceso de confección
de una pieza toma .......... horas. La primera parte hasta
antes del enfriado, toma .......... horas, y el enfriado
que demora menos toma ............. horas.
196 - 203 - 16 - 17 - 186
3. ¿Cuántas toneladas de papa se vendió en los dos últimos
trimestres?
4. ¿Cuántas toneladas de camote se vendió en los dos
primeros trimestres?
5. Durante el primer trimestre, ¿qué se vendió más y por
cuánto?
6. Durante el tercer trimestre, ¿qué se vendió más y por
cuánto?
7. ¿Qué se produjo más en los dos primeros trimestres?
8. ¿Qué se produjo más en los dos últimos trimestres y
por cuánto?
9. ¿Qué se produjo más en el segundo trimestre y por
cuánto?
10.¿Qué se produjo más en el año y por cuánto?
Practiquemos
24
Aplicación de la adición y la sustracción en lN
Primer Año de Secundaria
2. Roberto tiene una estación de servicio. Él anota en un
libro las ventas de gasolina y aceite que hace
diariamente. En la siguiente tabla, se especifican las
ventas de una semana:
Opera y responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos litros de gasolina vendió en dicha semana?
b) ¿Cuántos litros de aceite vendió en dicha semana?
c) ¿Qué vendió más, gasolina o aceite?¿Cuánto más?
d) ¿Cuántos litros de gasolina como máximo pudo vender
en tres días consecutivos?¿Qué días fueron?
e) ¿Cuántos litros de aceite como máximo pudo vender
en tres días consecutivos?¿Qué días fueron?
3. Paula compró un pantalón de S/.78 y una blusa de S/.49,
¿cuánto le dieron de vuelto, si pagó con un billete de
S/.200?
4. Jorge vendió su departamento en $45 890 y su auto
en $12 999. Si gastó $13 789 en comprarse un terreno
y $5 890 en pasear por Europa, ¿cuánto dinero le
queda?
5. Cinco amigos desean formar una empresa para lo cual
necesitan un capital total de $17 000. Si Jéssica aporta
$1 780, Érica $6 200, Germán $4 550 y Eduardo $1 930,
¿cuánto dinero deberá poner Andrés para completar el
monto presupuestado?
6. Hallar la edad de un padre que tiene 15 años más que
la suma de las edades de sus cuatro hijos, que tienen:
el cuarto tres años, el tercero un año más que el cuarto,
el segundo tres años más que el tercero; y el primero
tanto como los otros tres juntos.
7. Mi abuelita nació en el centenario de la Independencia
del Perú, ¿cuántos años cumplirá este año 2006?
8. A un rollo de 500 metros de un alambre se le agregaron
275 metros más. Después se utilizaron 692 metros.
¿Cuántos metros de alambre quedó?
BloqueII
1. La suma de dos números es 24 y su diferencia es 6.
¿Cuál es el menor de dichos números?
2. Al sumar dos números se obtiene 50. Si el mayor excede
al menor en 8, ¿cuál es el número mayor?
3. Dos depósitos tienen juntos 86 litros de agua. Si uno de
ellos tiene 12 litros más que el otro, ¿cuántos litros tiene
cada depósito?
4. Si Luis y José juntan su dinero tendrían S/.400. Sabiendo
que José tiene S/.30 más que Luis, ¿cuánto dinero tiene
cada uno?
5. Se reparte una herencia de S/.300 000 entre dos
hermanos. Si el menor de los hermanos recibe S/. 48.000
más que el mayor, ¿cuánto recibió cada uno?
6. En una fiesta a la que acudieron 115 personas, se
observó que al momento de bailar en parejas, se
quedaron 17 varones sentados. ¿Cuántas damas
asistieron a la fiesta?
7. En un aula de 36 alumnos se observa que hay 8 varones
más que mujeres. ¿Cuántos varones hay en el aula?
8. Imanol compra dos televisores, el de 29" le costó S/.400
más que el de 14". Si por ambos televisores pagó
S/.1 230, ¿cuánto le costó cada televisor?
9. Yesenia y Bertha tienen juntas S/.4 000. Si Yesenia le
diera S/.400 a Bertha, las dos tendrían la misma
cantidad. ¿Cuánto tiene Bertha?
10.Los sueldos de dos hermanos suman S/.2 700. Si el
mayor le diera S/.150 al menor los dos tendrían igual
cantidad. ¿Cuál es el sueldo de cada uno?
BloqueIII
1. Una familia se reúne para comer. Si cada miembro de la
familia come 6 chorizos sobran 5, pero si cada uno come
7 chorizos faltarían 8. ¿Cuántos miembros componen
la familia?
2. Si compro 7 cuadernos me sobrarían S/.2 y si compro 8
cuadernos me faltaría S/.2. ¿Cuánto cuesta cada
cuaderno?
3. Cuatro hermanos: Pablo, José, Elizabeth y Karen
recibieron una herencia de S/.90.600. Según el
testamento Elizabeth recibiría S/.100 más que Karen;
José S/.100 más que Elizabeth y Pablo S/.100 más que
José. ¿Cuánto recibió Karen?
4. Se tienen S/.152 en dos grupos de monedas, en una
hay monedas de S/.2 y en el otro de S/.1. Si del segundo
grupo se pasan al primero 16 monedas, los dos grupos
tendrían igual valor, ¿cuántas monedas se tiene en total?
Día
Domingo
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Litros de gasolina
548
1 680
987
1 230
1 856
2 589
3 202
Litros de aceite
207
876
1 245
560
876
345
453
25Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
“A”
Edad actual de Juan
Edad de José el 2004
Precio de un cuaderno
Número de sobrinos
Minuendo
Sustraendo
El número mayor
disminuido en 4
Lo que le queda a Martha
“B”
Edad actual de Luis
Edad de Sandra el 2001
S/. 4
6
Sustraendo
Diferencia
El número menor
aumentado en 4
Lo que le queda a Paula
INFORMACIÓN
Juan nació el año 1994 y Luis en 1995
José nació el año 1993 y Sandra el año 1991
Si compro tres cuadernos me sobra S/.1 y
para comprar 4 cuadernos me falta S/.2
Si les doy 5 caramelos a cada uno de mis
sobrinos me sobran 3 y si quiero darles 6
caramelos a cada uno me faltarían 4.
En una sustracción de números naturales.
En una sustracción de números naturales.
La suma de dos números es 28 y su
diferencia es 8.
Martha recibió su sueldo de S/.1 950 y una
gratificación de S/.975, en cambio su
hermana Paula recibió S/.3 450 pero gastó
S/.495
5. Comparación cuantitativa
A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la
relación entre la columna “A” y “B”, deberás colocar “<”; “>”; “=” o si “no se puede determinar”.
1. Entre pollos, patos y pavos, un granjero tiene en total
75 aves. Si tuviera 12 pavos más, 4 patos más y 7 pollos
menos, tendría una cantidad igual de aves de cada
especie. Hallar el número de pollos.
a) 24 b) 28 c) 32
d) 31 e) 35
2. De un salón “A” pasan al salón “B”, 15 alumnos, luego
del salón “B” pasan 20 alumnos al salón “A”. Si al final
“A” y “B” tienen 65 y 35 alumnos, ¿cuántos alumnos
habían inicialmente en cada salón?
a) 65 y 35 b) 55 y 45 c) 50 y 50
d) 60 y 40 e) 56 y 34
3. Cuando José nació, María tenía 15 años. Ambas edades
suman hoy 20 años mas que la edad de Lucy que tiene
20 años. ¿Qué edad tiene Sofía, que nació 5 años después
que José?
a) 15 años b) 20 c) 17
d) 19 e) 12
4. Se tiene S/.76 en dos grupos de monedas, en uno hay
monedas de S/.1 y en el otro de S/.0,50. Si del segundo
grupo pasan al primero 16 monedas, los dos grupos
tendrían igual valor. ¿Cuántas monedas se tienen?
a) 56 b) 86 c) 76
d) 96 e) 106
5. La suma de las edades de un padre y su hijo es 35 años.
Si el padre tuviera 17 años menos y el hijo 8 años más,
los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene el
padre?
a) 25 años b) 40 c) 30
d) 45 e) 50
Autoevaluaciòn
26
Aplicación de la adición y la sustracción en lN
Primer Año de Secundaria
1. Palabras y números
* Completa las frases para que complete su significado.
* Los números que faltan deben ser elegidos del conjunto
dado.
* Un número puede ser usado solamente una vez en
cada caso.
a) Tengo S/.________ y me falta S/. ________ para
comprarme unos zapatos que cuestan S/.________.
78 - 99 - 176 - 98
b) Hace ___ años tenía ___ años de edad y dentro de
___ años tendré ___ años.
5 - 9 - 24 - 7 - 8
c) Compré un televisor en S/.______ y lo vendí en
S/._____ ganando S/.______.
378 - 202 - 576 - 198
d) Perdí S/.______ por vender mi reproductor de DVD en
S/.______ cuando a mí me había costado
S/.______.
475 - 199 - 176 - 375
e) A una fiesta asistieron _____ personas y luego de
retirarse ____ parejas quedaron _____ personas.
20 - 78 - 58 - 98
2. ¿Cuánto costó lo que al venderse en S/.2937 deja una
pérdida de S/.129?
3. En una bodega había 12536 toneladas de cierto producto.
Cuando terminaron los repartidores de llevarse sus
cargas quedaron 789 toneladas. ¿Cuántas toneladas se
llevaron los repartidores?
4. Una empresa que produce pan recoge de las tiendas el
pan entregado que no se vendió. Un camión de la
empresa recorre tres tiendas: en la primera tienda había
dejado 180 bolsas y se vendieron 162; en la segunda
había dejado 50 bolsas y se vendieron 47 y en la tercera
tienda había dejado 96 bolsas y se vendieron 43.
¿Cuántas bolsas recoge el camión?
5. En una carrera los seis primeros atletas en llegar a la
meta reciben un premio. El sexto recibe S/.35; el quinto
recibe S/.25 más que el sexto y cada uno de los demás
ganadores recibe S/.25 más que el que llega detrás.
¿Qué suma de dinero se reparte en total?
6. Se tienen 153 manzanas repartidas en dos canastas. Si
a una de las canastas le quitamos 20 manzanas y a la
otra le agregamos 17, las cantidades de manzanas en
cada canasta serían iguales. ¿Cuántas manzanas hay
en cada una de las canastas?
7. Juan, Pedro y Santiago recibieron una herencia de
$19200. Según el testamento Pedro recibiría $1500 más
que Juan y Santiago $1200 más que Pedro. ¿Cuánto
recibió Pedro?
8. Dos depósitos tienen juntos 86 litros de agua. Si uno de
ellos tiene 14 litros más que el otro, ¿cuántos litros se
deben pasar del mayor al menor para que ambos tengan
igual cantidad de agua?
9. Si hace 18 años tenía 15 años de edad, ¿qué edad tendré
dentro de 22 años?
10.Al vender mi auto en $6900 estoy perdiendo $2500, ¿en
cuánto debería venderlo para ganar $2100?
11.La suma de dos números es 31 y su diferencia es 3.
Hallar los números.
12.La suma de dos números es igual al menor número de
tres cifras y la diferencia de dichos números es igual a 2
decenas. Los números son:
13.Al sumar dos números se obtiene 50. Si el mayor excede
al menor en 12, ¿cuál es el número mayor?
14.La suma de las edades de Pepe y Elizabeth es 66 años,
¿qué edad tiene Pepe si es 4 años mayor que Elizabeth?
15.Un comerciante compró dos bicicletas gastando en total
S/.700. Una de ellas le costó S/.120 más que la otra,
¿cuál fue el precio de cada bicicleta?
16.Manuel tuvo su primer hijo a los 28 años de edad. Si
hoy sus edades suman 36 años, ¿qué edad tiene su hijo?
17.Las edades de Pablo y su papá suman 54 años. Si cuando
Pablo nació su padre tenía 30 años, ¿cuántos años tiene
Pablo?
18.Pedro y Bertha tienen entre los dos S/.96. Si Pedro le
diera S/.36 a Bertha, los dos tendrían igual cantidad de
dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
19.Un pintor y su ayudante cobraron S/.780 por un trabajo.
Si el pintor le diera S/.90 a su ayudante los dos tendrían
cantidades iguales. ¿Qué cantidad le corresponde al
pintor?
Tarea domiciliaria
27Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
20.Liz y Pablo van al teatro e ingresan a galería en lugar de
platea, ahorrándose entre los dos S/.32. Si los precios
de una entrada a galería y una a platea suman S/.84,
¿cuánto gastaron en entradas?
• A continuación se muestra un cuadro de un vendedor
de periódicos donde registró las ventas anuales de ciertos
periódicos en la ciudad de Lima durante los años 2001
al 2005.
Años
El Comercio
Perú21
Periódicos
2001
98654
51024
105684
103556
15850
2002
120302
53850
45862
101009
23580
2003
103990
61259
102457
100248
25002
2004
115858
985499
115246
94350
31745
2005
130073
109875
119953
59975
58981
Según estos datos:
21.¿Cuántos ejemplares se vendieron el 2003?
22.¿Cuántos ejemplares se vendieron los dos últimos años?
23.¿Cuántos ejemplares del Comercio y del Trome se
vendieron desde el 2002 hasta el 2004 inclusive?
24.¿Cuál de los cinco periódicos tuvo record de ventas en
los últimos tres años?
25.¿En el periodo 2001 - 2005 se vendieron más ejemplares
del Bocón o de la República? ¿Cuántos más?
• Comparación cuantitativa
A continuación se propone en cada pregunta, dos
expresiones o enunciados matemáticos y se pide
determinar la relación entre la columna “A” y “B”, deberás
colocar: “<”; “>”; “=” o si “no se puede determinar”.
INFORMACIÓN
Manuel compró un pantalón de
S/.159 y consiguió una rebaja de
S/.37, en cambio Marco compró
uno de S/.225 pero obtuvo un
descuento de S/.100
Joaquín sacó 35 puntos en la
prueba de lenguaje y perdió 8 por
ortografía, mientras que Carlos
había sacado 40 pero le
descontaron 15
Al vender un televisor en $258
estoy perdiendo $68
Dentro de tres años tendré 19 años
de edad.
La suma de los tres términos de
una sustracción es 56.
En una sustracción de números
naturales.
La suma de los tres términos de
una sustracción es 48.
29Organización Educativa TRILCE
COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO
En este capítulo revisaremos otra operación matemática:
LA MULTIPLICACIÓN.
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos
iguales, que pueden repetirse muchas veces. Por ejemplo:
2 x 5 significa 5 veces el 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 x 5 = 10
5 sumandos
Elementos
En la multiplicación encontramos los siguientes
elementos:
Multiplicando Multiplicador
FACTORES
Producto
7 x 8 = 56
También: Si efectuamos por ejemplo 945 x 23
9
8
9
7
4
2
3
0
3
5
3
5
5
x
1
2
0
0
2
8
1
FACTORES
Multiplicando
Multiplicador
Primer Producto Parcial
Segundo Producto Parcial
Producto
PROPIEDADES
La multiplicación tiene propiedades muy parecidas a las
de la adición. Veamos:
1. CLAUSURA
Todas las multiplicaciones tienen un producto.
Si: a  lN y b  lN entonces: a . b  lN
Así por ejemplo: 45 x 3 = 135  lN
2. CONMUTATIVA
El orden de los factores NO altera el producto.
Así por ejemplo: 45 x 3 = 3 x 45
3. ASOCIATIVA
Si multiplicamos tres o más factores y juntamos de a
dos sin importar el orden, el producto no varía.
Así por ejemplo:
(3 x 4) x 7 = 3 x (4 x 7)
12 x 7 = 3 x 28
84 = 84
4. Tiene como ELEMENTO NEUTRO al UNO (1).
Cualquier número por UNO es igual al mismo número.
Así por ejemplo:
45 x 1 = 45
5. Su ELEMENTO ABSORBENTE es el CERO (0). Todo
número multiplicado por CERO es igual a CERO.
Así por ejemplo:
45 x 0 = 0
6. Es DISTRIBUTIVA con la adición y la sustracción.
Así por ejemplo:
* 45 x (7 + 2) = 45 x 7 + 45 x 2
45 x 9 = 315 + 90
405 = 405
* 45 x (7 - 2) = 45 x 7 - 45 x 2
45 x 5 = 315 - 90
225 = 225
TÉCNICAS OPERATIVAS DE LA MULTIPLICACIÓN
DE NÚMEROS NATURALES
Repasemos la técnica más conocida:
4
9
9
9
0
9
2
8
4
2
7
6
2
2
0
x
1
0
0
2
9
2
6 unidades por 497
2 decenas por 497
Producto Total
Productos
Parciales
4
9
9
9
9
9
7
8
4
2
7
0
x
2
21
0
4
2
9
21
2 6o
también
Al multiplicar la unidad seguida de ceros por un número
natural, escribimos este número y le agregamos tantos
ceros como haya después de la unidad. Ejemplos:
a) 153 x 100 = 15 300
b) 43 x 1 000 = 43 000
c) 91 x 10 000 = 910 000

Multiplicación de
números naturales4
30
Multiplicación de números naturales
Primer Año de Secundaria
Podemos también aplicar el cálculo mental en
multiplicaciones sencillas, aplicando la PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA. Ejemplo:
a) 9 x 17= 9 x (10 + 7)
= 9 x 10 + 9 x 7
= 90 + 63 = 153
b) 14 x 12 = 14 x (10 + 2)
= 140 + 28
= 168
1. Calcula: + , si:
3
7
x
37
Resolución:
• En las unidades: 7 x = … 3  = 9
• En las decenas: 7 x 3 + 6 = 27 (pongo 7 llevo 2)
• En las centenas: 7 x + 2 = 9  = 1
Finalmente: + = 9 + 1 = 10
2. Calcular la suma de cifras que van en los casilleros:
2
7
7
3
x
7
8
Resolución:
• En el 1er. Producto parcial:
Unid: 7 x = … 3
 = 9, pues: 7 x 9 = 63 (pongo 3 llevo 6)
Dec: 9 x 2 + 6 = 24 (pongo 4 llevo 2)
Cent: 9 x + 2 = 7__ 
 = 8, pues: 9 x 8 + 2 = 74
• En el 2do. Producto parcial:
Podemos observar que es igual al multiplicando
• Producto total: Simplemente sumamos
8
4
2
7
2
1
4
7
1
7
9
3
3
x
1
7
8
5
Nos piden:
8 + 1 + 9 + 4 + 4 + 2 + 1 + 5 + 7 + 1 + 3 = 45
3. Si: 453...99abc  , halla “ cba  ”..
Resolución:
El multiplicador 99 lo podemos expresar como “100 - 1”,
entonces tendríamos:
453...)1100(abc 
Aplicando la propiedad distributiva:
453...1abc100abc 
453...abc00abc 
Ahora tenemos una sustracción por completar:
-
...
a b c
a
4
0
b
5
0
c
3
De donde: c = 7
b = 4
a = 2
Nos piden “a + b + c” = 2 + 4 + 7 = 13
• Observación:
El problema anterior se pudo también plantear tratando
de reconstruir la multiplicación. Como el multiplicador
es de dos cifras iguales, tendremos dos productos
parciales iguales. Así:
c
9
3
3
Donde:
Productos parciales
iguales
b
9
2
3
5
a
2
2
4
0
0
0
2
x
9 x c = *3 c = 7 (pongo 3 llevo 6)
9 x b + 6 = *2 b = 4 (pongo 2 llevo 4)
9 x a + 4 = *2 a = 2
Piden: “a + b + c” = 2 + 4 + 7 = 13
BloqueI
1. Completa el siguiente cuadro, escribiendo la propiedad
Ejercicios
31Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
1. En la siguiente multiplicación, indicar sus elementos:
3
2
4
2
6
-
-
1
7
8
6
4
4
4

2. Indicar la propiedad respectiva en cada ejemplo:
• 13  7 = 7  13
 Propiedad ............................
• (2  5)  7 = 2  (5  7)
 Propiedad ............................
• 1 352  1 = 1 352
 Propiedad ............................
• 25  (3 + 5) = 25  3 + 25  5
 Propiedad ............................
• 57  0 = 0
 Propiedad ............................
3. Efectuar:
4
2
3
1

4. Completar el siguiente cuadro, indicando la cifra en la
que termina el producto.
Par Impar
5

5. Completar el siguiente cuadro, indicando si el producto
es “par” o “impar”.
Par
Par
Impar
Impar

• En los siguientes ejercicios, escribir las cifras que faltan
• en cada casillero.
6. _
3
6
_
2
3
_
-
-
_
7
_
7. 1
_
7
3
_
_
4
-
_
8. _
7
8
_
7
9
_
-
_
9. _
3
2
_
2
_
0
-
2
10. 7
_
5
_
1
_
3
_
6
Test de Aprendizaje
32
Multiplicación de números naturales
Primer Año de Secundaria
5. En el siguiente cuadrado deberás completar los espacios
en blanco para que los productos en las filas, columnas
y diagonales se verifiquen.
48
3
8
5
112 240 24 112
126
256
20
BloqueII
1. En la siguiente multiplicación, ¿por qué cifra debemos
reemplazar a la letra “T”?
8
6
0
7
5
x9
3
0
7
T
1
T
2. Calcula: +
si:
8
6
2
0
7
3
x9
6
0
7
3
1
4
• Reconstruye las siguientes multiplicaciones e indica lo
que se pide. En cada casillero va una cifra (no
necesariamente iguales).
respectiva:
EXPRESIÓN PROPIEDAD
9 x 7 = 7 x 9
5 x (6 + 9) = 5 x 6 + 5 x 9
7 x 13 x 0 x 2 = 0
7 x 13 = 91
34 x 1 = 34
15 x (8 – 3) = 15 x 8 - 15 x 3
23 x 0 = 0
(9 x 2) x 4 = 9 x (2 x 4)
1 x 3561 = 3561
2. Halla las cifras que debemos escribir en los casilleros
para que la operación sea correcta:
a) 0
7
3
0
7
0
x b) 8
0
0
7
4
x4
1
c) 0
7
3
0
7
6
x4
5
d) 0
9
4
0
7
7
x1
5
e) 0
7
3
0
7
6
x1
5
f) 0
9
3
0
7
3
x1
4
3. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 52 x 49
b) 408 x 74
c) 4 038 x 17
d) 5 081 x 24
e) 248 x 2 006
4. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila
y escribe el símbolo “>” ; “<”; “=” o si “no se puede
determinar” según corresponda:
“B”
2 x 4
Elemento absorvente de
la multiplicación
El producto de 14 x 4
1 decena por 1 docena
6 veces 15
El multiplicador
13 veces 5
“A”
El producto de los tres pri-
meros números impares
Elemento neutro de la
multiplicación
El producto de 7 por 8
1 x 2 x 3 x 4 x 5
7 docenas
El multiplicando
5 veces 13
Practiquemos
33Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
1. Si: 1832aabc 
2290babc 
hallar: ababc 
2. Si: 21816pmama 
14544amama 
hallar: papamama
3. Si:
pqr × p = 502
pqr × q = 1255
pqr × r = 251
Hallar:  
2
pqr
4. ¿En qué cifra termina el siguiente producto:
A = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × ... × 1111 ?
5. ¿En qué cifra termina el siguiente producto:
B = 2 × 4 × 5 × 6 × 8 × ... × 2468 ?
6. Sabiendo que:
1abcde 3 abcde1 
Calcular "a + b + c + d + e"
7. Las letras de la siguiente igualdad representan las cifras
de un número que multiplicado por 4 es igual a otro
formado por las mismas cifras en orden inverso al inicial:
EDCBA4ABCDE 
Calcular "A + B + C + D + E"
3. Indica la suma de cifras del multiplicando:
8
9
2
0
7
4
x9
0
4. Calcula el multiplicador:
8
4
2
8
x9
1
5. Halla la suma de cifras del producto en:
7
2
5
x9
5
6. Calcula la suma de cifras del producto en:
mnpaa493 
7. Si: 2519m3abcd  ; calcula “a + b + c”..
8. Si: 357...99abc  ; calcula “a . b . c”..
9. Si: 54...ab37  ; calcula “a + b”..
10.En la multiplicación que se muestra, las letras “A”; “B” y
“C” representan dígitos diferentes. ¿Cuál es el valor de
“B – C + A”?
CAA7BA 
BloqueIII
34
Multiplicación de números naturales
Primer Año de Secundaria
• Responder:
1. ¿Con qué nombre se le conoce al resultado de una
multiplicación?
2. Hay alguna multiplicación que no tenga producto.
3. Para hallar el resultado de una multiplicación, ¿importa
el orden de los factores?
4. ¿Se puede multiplicar tres o más factores a la vez?
5. ¿Qué sucede cuando uno de los factores es uno? y
¿cuando uno de los factores es cero?
6. ¿Con qué otra operación se podría relacionar la
multiplicación?
• Elige las cifras convenientes, todas distintas, y escríbelas
en los casilleros para obtener dos números (uno de
tres cifras y otro de dos cifras) y hallar su producto. El
producto que se desea obtener en cada caso es el mayor
posible y el menor posible.
7. Con las cifras del 0 al 9:
x
El mayor producto: ______________
El menor producto: ______________
8. Con las cifras 5; 2; 4; 6 y 1
x
El mayor producto: ______________
El menor producto: ______________
9. Con las cifras 2; 7; 6; 1 y 8
x
El mayor producto: ______________
El menor producto: ______________
1. Si se cumple: REXA 4 AXER 
hallar: R + E + X + A
a) 17 b) 18 c) 19
d) 21 e) 24
2. Si se cumple: CPV6 9 Ennn 
hallar: C E P V
n
  
a) 4 b) 3 c) 2
d) 6 e) 5
3. Hallar la suma de cifras del producto en:

3
6
1
1
9
a) 12 b) 13 c) 15
d) 16 e) 14
4. Si se cumple: CEPVn7 5 = 7CEPVn
hallar “C + E + P + V + n”
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
5. Si se cumple: mnp 37 abcde  , y además se sabe
que la suma de los productos parciales es 3 450, hallar
“m + n + p + a”.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
Autoevaluaciòn
Tarea domiciliaria
35Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
10.Con las cifras 9; 2; 3; 5 y 1
x
El mayor producto: ______________
El menor producto: ______________
11.¿En qué cifra termina el resultado de multiplicar:
485 × 472 × 977 × 79 ?
12.Indicar la suma de cifras del producto total en:
5 7 x
3
9 0 5 4
13.Completa la siguiente multiplicación e indica la suma
de cifras del tercer producto parcial.
9 4 x
3 7
9 4
97
14.Si “A” representa a un número impar de dos cifras
diferentes y “B” representa a un número de tres cifras
diferentes. Hallar el menor valor de “A x B”.
15.Indicar la suma de cifras del producto total en:
4 x
3
7
2
7
16.Indicar la suma de cifras del segundo producto parcial
en:
7 9
x
0 3
17.Hallar “F + E”, en:
F
F
4
4
G
E
E
9A
6
D
x
B
C 9
18.Si: abc 9 ...223 
hallar “a × b × c”
19.Si: abc 99 ...854 
hallar “a × b × c”
20.Sabiendo que: abc 23 ...872 
hallar “a + b + c”
21.En el siguiente cuadro deberás completar los espacios
en blanco para que los productos en las filas, columnas
y diagonales principales se verifiquen.
2
3
140
36
28
196 30 24 42
84
Dar como respuesta la suma de los números de la
diagonal que va del extremo superior izquierdo al
extremo inferior derecho.
22.Observa: 17 × 17 × 17 = 4913, si ahora sumamos las
cifras del resultado: 4 + 9 + 1 + 3 volvemos a tener
17. Lo mismo sucede con: 18 x 18 x 18 = 5832
5 + 8 + 3 + 2 = 18
Podrías decir, ¿cuál de los siguientes números tiene
esta curiosa propiedad?
a) 28 b) 24 c) 26
d) 30 e) 33
23.Hallar: TRILCE 19 , sabiendo que:
7
R
0
0
4
T
T
4
C
4
4
E
L
R
L
T
R
R
9
9
I
9
L
C
R
I
C
x
C
C
24.Si: x y z 9 9 9 ...4 3 1  , calcular la suma de cifras
del multiplicando.
37Organización Educativa TRILCE
COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO
Lectura:
¿Las divisiones son un asunto difícil?
Para muchas personas la división en general es más complicada que la multiplicación y aunque ahora
podemos resolverla con gran facilidad, no siempre fue así.
En la antigüedad se consideraba “sabio” a quien hacía correctamente y con rapidez las divisiones; cada
“maestro en división” (algo así como especialista) debía comunicar a los demás el resultado de determinados
casos de esta operación.
Algunas veces, encendiendo un cerillo con un movimiento habitual, todavía reflexionamos sobre cuánto
trabajo costó a nuestros antecesores, inclusive no muy remoto, la obtención del fuego. Empero pocos
sospechan que a los actuales métodos de realización de las operaciones aritméticas tampoco fueron, en su
origen, así de sencillos y cómodos para que en forma tan rápida y directa condujeran al resultado.
Nuestros antepasados emplearon métodos muchos más lentos y engorrosos, y si uno de ustedes,
alumno del primer año de secundaria del siglo XXI (del Colegio Trilce, por supuesto) pudiera trasladarse
tres o cuatro siglos atrás , sorprendería a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus cálculos
aritméticos.
El rumor acerca de ustedes recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la
gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegarían personas a aprender del
nuevo gran maestro el arte de calcular.
Particularmente difíciles y complejas eran en la antigüedad las operaciones de la multiplicación y la
división; esta última en mayor escala. “La multiplicación es mi martirio, y con la división es la desgracia”
decían entonces. Pero aún no existía, como ahora, un método práctico elaborado para cada operación. Por
el contrario, estaba en uso simultáneo casi una docena de diferentes métodos de multiplicación y división
con tales complicaciones que su firme memorización sobrepasaba a las posibilidades del hombre medio.
Cada “maestro de la división” exaltaba su método particular al respecto.
En el libro de V. Belustino: “Cómo llegó la gente gradualmente a la aritmética actual” (1911), aparecen
27 métodos de multiplicación, y el autor advierte: “es muy posible que existan todavía métodos ocultos en
lugares secretos de bibliotecas, diseminados fundamentalmente en colecciones manuscritas”; y todos
estos métodos de multiplicación: “ajedrecístico o por organización”, “por inclinamiento”, “por partes”, “por
cruz pequeña”, “por red”, “al revés”, “por rombo”, “por triángulo”, “por cubo o copa”, “por diamante”, y
otros, así como todos los métodos de división, que tenían nombres no menos ingeniosos, competían unos
con otros tanto en voluminosidad como en complejidad.
Tomado del libro: “ARITMÉTICA RECREATIVA”
Autor: Yakov Isidorovich Perelman.
División de números
naturales5
38
División de números naturales
Primer Año de Secundaria
DIVISIÓNDENÚMEROSNATURALES
Es una operación inversa a la multiplicación que consiste
en que dados dos números naturales llamados dividendo
y divisor, hallar un tercero llamado cociente, que nos indica
cuantas veces contiene el dividendo al divisor.
ELEMENTOS
235
217
18
31
7
Divisor (d)
Cociente (q)
Dividendo
(D)
Residuo
(r)
Algoritmo de la división
D = d . q + r
También: D
r
d
q
CLASES DE DIVISIÓN
• División exacta
Es cuando no tiene residuo.
D
0
d
q
D = d q
r = 0
Ejemplo:
1001 7
7 143
30
28
21
21
- -
0
0
0
00
00
00
Donde: 1 001 = 7 x 143
• División inexacta
Es cuando existe residuo.
D
r
d
q
D = dq + r
r 0
Ejemplo:
4489 13
39 345
58
52
69
65
-4
0
0
00
00
00
4489 = 13 x 345 + 4
PROPIEDADES
1. 0 < Residuo < divisor
2. Rmáximo = divisor – 1
Rmínimo = 1
* OBSERVACIONES
• 24 : 8 = 3 pues: 8 x 3 = 24
• 24 : 1 = 24 pues: 1 x 24 = 24
• 24 : 24 = 1 pues: 24 x 1 = 24
• 0 : 24 = 0 pues: 24 x 0 = 0
• 24 : 0 = ¿? NO ESTÁ DEFINIDO porque no existe
ningún número natural que multiplicado por CERO
dé 24.
• 0 : 0 = ¿? INDETERMINADO porque cualquier
número natural multiplicado por CERO da CERO.
Entonces hay que evitar:
0
0
y
0
D
1. Si cada figura representa una cifra, completar:
6 0 0 0 0
0 5 2
0 03
0 0 4
0 0 8
Resolución:
6 0 0 0 0
0 5 2
0 03
0 0 4
0 0 8
3 2 1
6
2
2
2
Luego:
6 0 + 3 = 6 3
5 = 01 62
2. Indicar la suma de cifras halladas, luego de reconstruir
la siguiente división:
0 0 09 3
3
8
0 2
Resolución:
• x 3 = 3  = 1
• 3 1 + 8 = 9  = 3
• x 3 =  = 6
= 2
Nos piden:
3 + 3 + 1 + 3 + 6 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 23
3. Calcular el dividendo de una división donde el divisor es
23, el cociente 31 y el residuo resultó ser mínimo.
0 0 09 3
3
8
3
1
6 2
21
1
0 2
3
1
3
E j e r c i c i o s
39Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
Resolución: Los datos son:
d = 23
q = 31
Rmín = 1 (por propiedad)
Luego, sabemos que: D = d x q + R
D = 23 x 31 + 1
D = 713 + 1
D = 714
4. En una división el cociente es 37, el divisor es 52 y el
residuo el máximo posible. Hallar el dividendo.
Resolución:
Los datos son: q = 37 Rmáx = d - 1
d = 52 Rmáx = 52 – 1 = 51
Luego: D = d x q + R
D = 52 x 37 + 51
D = 1975
5. Al dividir el número 1781 entre un número de dos cifras
se obtuvo de residuo 98. Hallar el cociente.
Resolución:
Los datos son: D = 1781
d = Un número de dos cifras
R = 98
Recordemos que el R < d entonces el único valor que
puede tomar el divisor es 99 (pues debe ser de dos
cifras y mayor que el residuo 98).
Luego:
D = 1781
d x q + R = 1781
99 x q + 98 = 1781
99 x q = 1781 - 98
99 x q = 1683
q = 17
BloqueI
1. En la siguiente división, indicar los elementos:
3
3
7
5
2
5
7
2. Efectuar: 43 7 71
3. Indicar el residuo que resulta al dividir el mayor número
de tres cifras con el menor número de dos cifras.
4. Al dividir un número entre 7, el residuo resultó lo mayor
posible. ¿Cuál fue el residuo?
5. Al dividir un número entre 25, el residuo resultó lo menor
posible. ¿Cuál fue el residuo?
En los siguientes ejercicios, escribir las cifras que faltan en
cada casillero.
6. 8
0
8
6 7. 7
4
1
4
4
3
2 0
8. 9
4
1
0
4
1 9. 1
1
5
6
9
10. 6
4
8
8
2
1
1
2
2
Test de Aprendizaje
40
División de números naturales
Primer Año de Secundaria
1. Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno:
a) 1 234  8
b) 1 208  11
c) 6 492  13
d) 5 043  14
e) 2 396  17
f) 19 827  121
2. Escribe en el casillero el número que falta para que la
operación sea correcta:
a) 3 x = 39
b) 5 x = 75
c) 7 x = 154
d) 13 x = 169
e) 21 x = 1 869
f) 73 x = 7 008
3. Efectúa las siguientes divisiones comprobando el
resultado en cada una:
División q R D = d x q + R
84  5 16 4 84 = 5 x 16 + 4
94  7
105  9
113  37
117  28
2315  86
4. Al dividir "N" entre 15 se obtuvo 14 de cociente y su
residuo fue el mínimo posible. Hallar "N".
5. Al dividir "P" entre 22 se obtuvo 12 de cociente y el
residuo el máximo posible. Hallar "P".
BloqueII
• Reconstruir las siguientes divisiones e indicar en cada
caso lo que se pide:
1. Indica el dividendo.
7 0 0 0 0 0
0 0 02 6 3
0 0 0 0 03
0 0 4 0 0 0
0 0 0 0 03
2. Da como respuesta la suma de cifras halladas.
0 00300
3 0 00 5 2
0 08
0 0 00
0 0 0 0 02
3
3. Da como respuesta la suma del dividendo más el divisor.
0 00 0
3 0 00 1 2
01
0 04
0 0 05
1
4. Indica la suma de la menor y mayor cifra encontrada.
7 00 0
3 0 00 1
01
0 02
0 07
1
5. Indica el producto de cifras del dividendo.
7 00 0
1 0 00 5
06
0 05
0 03
17
6. Calcula la suma de las cifras halladas.
7 00 0
1 0 00 8
01
0 05
0 03
19
7. Calcula el cociente.
6 00 0
0 00
03
0 05
0 03
83
8. Indica la suma de cifras halladas.
7 00 0
0 00
09
0 05
0 03
1
6
2
9. Indica la suma de cifras del dividendo.
Practiquemos
41Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
7 00 0
2 0 00
03 6
0 05
0 03
11
2
5
6
7
10.Indica el producto de cifras halladas.
7 00 0
0 08
03 1
0 05
03
6
2
2
3
Bloque III
1. Hallar la suma de cifras del dividendo, luego de
reconstruir la siguiente división.
00
00 0
03
0 05
03
9
2
3
00
00
0
05
7
8
1
3
4
2. ¿Cuál es el mayor valor del dividendo, luego de
reconstruir la siguiente división?
000
03
005
03
3
2
3
00
00
0
9
6
3
3. Reconstruir la siguiente división e indicar la suma de
cifras del dividendo.
000
03
005
3
8 3
00
00
9
8
009
4. Hallar la suma de cifras del cociente.
000
03
005
3
3
00
4
2
0
9 009 4
2
8
5. Hallar la suma de las cifras encontradas en:
000
03
005
3
9
6
1
8
30
3
6. Se divide “N” entre un número de dos cifras obteniéndose
como cociente 998 y como residuo 98. Hallar “N”.
7. Al efectuar una división se notó que el divisor es el
triple del cociente y el residuo fue el doble del cociente.
Si el dividendo es 261, ¿cuál fue el residuo?
8. Al dividir “A” entre “B” el cociente fue 7 y el residuo el
más grande posible. Si “A + B” es igual a 107, hallar
“A...B”.
9. En una división el cociente es 63 y el divisor 49. Calcular
el dividendo, si se sabe que el residuo resultó máximo.
10.Coloca las cifras del 1 al 6, empezando por la izquierda,
de manera que el número formado por la 1era. y 2da.
cifra se pueda dividir entre 2; el número formado por
la 2da. y 3era. cifra se pueda dividir entre 3; y así
sucesivamente, hasta que el formado por la 5ta. y 6ta.
cifra se pueda dividir entre 6. ¡Ah! Se me olvidaba, el
número secreto empieza en 1.
42
División de números naturales
Primer Año de Secundaria
1. Completa las siguientes expresiones con algunas de las
palabras del recuadro:
también se
duplica
cero
dividendo
cociente
igual
menor
no varía
mayor
residuo
uno
el divisor
menos uno
divisor
a) Los términos de una división son:
_________________________________
_________________________________
_________________________________ y
_________________________________
b) El residuo máximo es ________________________
c) El residuo mínimo es _________________________
d) El residuo siempre será ____________ que el divisor.
e) Si duplicamos el dividendo y el divisor, el cociente
________________________
2. ¿Por qué se dice que 0 : 0 (cero entre cero) es
indeterminado?
3. ¿Es posible la división entre cero?, ¿Por qué?
4. ¿La división cumple la propiedad conmutativa?
Ejemplos
5. ¿Qué ocurre con el cociente y con el residuo de una
división, si triplicamos el dividendo y el divisor?
6. Dividir 1548935  15 e indicar el cociente.
7. Dividir 948561  102 e indicar la suma de cifras del
cociente.
8. Dividir 9756861  13 e indicar el residuo.
9. Efectuar 462358  15 e indicar el cociente.
• Reconstruya las siguientes divisiones e indica lo que se
pide en cada caso:
10.Hallar la suma de cifras del dividendo.
3
2 84
1 0
6
9
4
8
1. La suma de dos números es 579, su cociente es 28 y el
residuo lo máximo posible. Hallar el menor de los
números.
a) 22 b) 20 c) 21
d) 24 e) 28
2. En una división el residuo es 22 y la suma del dividendo
más el cociente es 994. Además el divisor es 26, hallar
el cociente.
a) 8 b) 6 c) 7
d) 9 e) 12
3. Si al dividendo de una división se le agregan 72 unidades,
el cociente y el residuo aumentan en 3. Hallar el divisor.
a) 27 b) 24 c) 22
d) 26 e) 23
4. Si cada * representa una cifra, hallar la suma de cifras
del dividendo.
a) 23 b) 24 c) 25
d) 26 e) 27
5. Hallar el menor número que multiplicado por 21, se
obtenga un número formado por solo cifras “dos”. Dar
por respuesta la suma de sus cifras.
a) 13 b) 14 c) 16
d) 12 e) 11
Tarea domiciliaria
Autoevaluaciòn
43Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
11.Indicar el cociente.
2 4
6
3 3
12.Indicar la suma de cifras del cociente.
5 7 7
5
6
2
13.Hallar la suma de cifras del dividendo.
2 3
9 4 8
1
5
1 9
1
14.Indicar el producto de cifras del cociente.
9 9
2
2
8
1
3
6
15.Indicar el cociente.
2 5 3 2 5
0
9
5
5
- - -
1
16.Hallar la suma de cifras del dividendo.
3 9 1 7
8
4 7
3
3
5
17.Calcular el dividendo.
8 9 1
4
4 8
- -
18.Indicar la suma del dividendo más el divisor.
4 2 1 7
2 7
1
2 8
2 5
2 9
2 5
3
19.Dar como respuesta la suma de cifras del cociente:
2 4
8
2
- -
20.Dividir el menor número de cuatro cifras diferentes entre
el mayor número de dos cifras. Dar como respuesta el
residuo obtenido.
21.Dividir el complemento aritmético de 5384671 entre el
complemento aritmético de 85 e indicar el residuo.
22.Al dividir “N” entre 11 se obtuvo 17 de cociente y 9 de
residuo. Hallar “N”.
44
División de números naturales
Primer Año de Secundaria
23.Al dividir 418 entre cierto número “d”, se obtuvo 15 de
cociente y 13 de residuo. Hallar el número “d”.
24.Luego de dividir “N” entre 102 se observó que el
cociente fue 15 y el residuo el mayor posible. Hallar “N”.
25.En una división el cociente es 65 y el divisor 48. Calcular
el dividendo, si se sabe que el residuo resultó máximo.
26.En una división el cociente es 37 y el divisor 52. Calcular
el dividendo, si se sabe que el residuo resultó mínimo.
27.Se divide “N” entre un número de dos cifras obteniéndose
como cociente 715 y como residuo máximo 98. Hallar
“N”.
28.Al dividir “A” entre “B” el cociente fue 7 y el residuo el
más grande posible. Si “A + B” es igual a 269, hallar
“A.B”.
29.Al efectuar una división se observó que el divisor es el
triple del cociente y el residuo el doble del cociente. Si
el dividendo es 320, ¿cuál fue el residuo?
45Organización Educativa TRILCE
COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO
En el presente capítulo desarrollaremos problemas y ejercicios relacionados con la aplicación de la
multiplicación y división de números naturales.
Recordaremos que LA MULTIPLICACIÓN es una suma de sumandos iguales y por lo tanto nos
será de mucha utilidad cuando tengamos que sumar un mismo valor varias veces, como por ejemplo
¿cuánto gastaré en comprar 23 pelotas de S/. 15 cada una?
Si un alumno no conociera la operación “multiplicación”, lo más probable es que sume:
15 + 15 + 15 + . . . (23 veces)
Utilizando la multiplicación, será simplemente efectuar:
15 x 23 = 345
Por lo tanto necesitaré S/. 345 para comprar las 23 pelotas.
Y así nos encontramos a diario con muchas situaciones donde nos es muy útil la multiplicación.
De igual modo recordemos LA DIVISIÓN, una operación inversa a la multiplicación que tiene que
ver con el “repartir” en forma equitativa (en partes iguales). Por ejemplo: Si dispongo de un millar
de papel y deseo repartirlo entre los 32 alumnos del aula, ¿cuánto le corresponde a cada uno? ¿el
reparto será exacto o sobrarán papeles? ¿Cuántos? y si no deseo que sobren papeles, ¿cuántos
adicional al millar deberé llevar?, es claro que para resolver dichas situaciones recurrimos a la
división:
Dividimos 1000 : 32, el resultado (cociente) nos indica cuántas veces contiene el dividendo
(1000) al divisor (32)
1 000
40
8
32
31
Luego, a cada alumno le daré 31 papeles, el reparto no es exacto pues hay un residuo que nos
indica que me sobrarán 8 papeles. Ahora si no deseo que me sobre tendré que agregar al millar:
32 – 8 = 24 papeles.
Es en realidad muchas las situaciones de nuestra vida cotidiana donde aplicamos estas dos
operaciones y muchas de ellas las resolvemos de una manera muy natural.
Es claro que no podremos abarcar en su totalidad los diversos tipos de problemas relacionados
con la multiplicación y la división; a continuación se muestran algunos problemas resueltos el cual
esperamos les sirva de guía para resolver los problemas propuestos.
Aplicación
de la multiplicación
y la división en lN6
46
Aplicación de la multiplicación y la división en lN
Primer Año de Secundaria
1. Un auto viaja en una pista libre a una velocidad
constante de 54 km por hora, ¿qué distancia habrá
recorrido en tres horas?
Resolución:
Una velocidad constante de 54 km por hora significa
que cada hora el auto recorre 54 km. Entonces en tres
horas recorrerá:
54 x 3 = 162 km
Rpta.: Recorre 162 km
2. Se cargan 5 camiones con 9 cajas de 24 kg cada una y
11 cajas de 17 kg cada una. ¿Cuántos kilogramos se
cargaron en total?
Resolución:
Veamos primero para un camión:
9 cajas de 24 kg c/u: 9 x 24 = 216 kg
11 cajas de 17 kg c/u: 11 x 17 = 187 kg
Es decir que en un camión
se cargan: 216 + 187 = 403 kg
Por lo tanto en 5 camiones
habrá un total de: 403 x 5 = 2 015 kg
Rpta.: Se cargan en total 2 015 kg
3. Se repartieron 487 plumones entre un grupo de
estudiantes, tocándole a cada uno 15 plumones y
sobrando en el reparto 7 plumones. ¿Cuántos alumnos
formaban dicho grupo?
Resolución:
De los 487 plumones que se tenían sobraron 7, es decir
que se pudo repartir exactamente: 487 – 7 = 480
plumones.
Y como a cada uno le tocó 15 plumones, con una
división averiguaremos cuántas veces contiene 480 a
15:
480
45
30
30
- -
15
32
Rpta.: El grupo estuvo integrado por 32 alumnos
4. Un librero encarga a dos vendedores 30 libros iguales a
cada uno. Uno de ellos debe vender 2 por S/.20 y el otro
3 por S/.20. Creyendo hacer más sencillo su trabajo de
venta deciden juntar todos los libros y vender a 5 por
S/.40. ¿Gana o pierde el librero? ¿Cuánto?
Resolución:
• Primer vendedor
Con 30 libros puede formar 15 grupos de 2 (pues lo
debe vender de a 2)
Si vende los 15 grupos recaudaría:
15 x S/.20 = 300 soles
• Segundo vendedor
Con 30 libros puede formar 10 grupos de 3 (pues lo
debe vender de a 3)
Si vende los 10 grupos recaudaría:
10 x S/.20 = 200 soles
Es decir que el librero recibiría en total:
300 + 200 = 500 soles
Pero ahora veamos lo que sucede si se junta y hacen
grupos de 5:
Tendrían en total: 30 + 30 = 60 libros, con los cuales
pueden hacer 12 grupos de 5 (pues decidieron
venderlo en grupos de a 5).
Si venden los 12 grupos recaudarían:
12 x S/.40 = 480 soles
En este segundo caso el librero sólo recibiría 480
soles, es decir 20 soles menos.
Rpta.: El librero pierde S/.20
5. Si 19 pelotas cuestan S/.57, ¿cuántas pelotas podré
comprar con S/.459?
Resolución:
Averigüemos primero el precio de cada pelota, para
ello dividimos:
57 : 19 = 3 soles
Si cada pelota cuesta S/.3 entonces averiguaremos
cuantas veces contiene 459 a 3, dividimos:
459
15
9
-
3
153
Rpta.: Podré comprar 153 pelotas
BloqueI
1. Un automóvil viajó durante tres horas a una velocidad
E j e r c i c i o s
47Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
constante de 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros
recorrió?
2. En un bosque de 37 hectáreas hay 1 215 árboles por
hectárea. ¿Cuántos árboles tiene el bosque?
3. Alfredo compra tres camisas a S/. 65 cada una y cuatro
pantalones a S/. 85 cada uno. ¿Cuánto gastó?
4. Enuna fábrica de telasse compraron57docenasde carretes
de hilo a S/. 106 el carrete. ¿Cuánto se gastó en hilo?
5. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 34 cajas de
10 kg y con 21 cajas de 7 kg. ¿Cuántos kilogramos se
cargó?
6. Se desea guardar 427 envases de jugo en cajas en las
que sólo caben 24 envases. ¿Cuántas cajas se llenan?
y ¿cuántos envases sobran?
7. Se desea transportar 140 personas en camionetas en
las que caben 12 pasajeros. ¿Cuántas camionetas se
necesitan?
8. ¿Cuál es el número máximo de personas, todas de 70
kilos, que pueden subir a un ascensor que soporta una
carga máxima de 450 kilos?
9. Un bus tiene una capacidad para 38 personas y no puede
llevar pasajeros de pie. Para desplazar a 400 personas,
¿cuántos viajes por lo menos deberá realizar?
10.El año pasado (2006) un fumador gastó S/. 1 095 en
cigarrillos. Si todos los días gastó la misma cantidad de
dinero, ¿cuánto gastó durante una semana en su vicio?
BloqueII
1. Se cuenta con S/.832 para comprar discos que cuestan
S/.95 cada uno.
a) ¿Para cuántos discos alcanza? y
b) ¿Cuánto dinero me faltaría para comprar un disco
más?
2. Si 19 pelotas cuestan S/.76, ¿cuántas pelotas compraría
con S/.323?
Un comerciante no se decide por comprar lapiceros, plumones o colores. Se sabe que la docena de lapiceros cuesta
S/.6, la docena de colores cuesta S/.12 y la docena de plumones S/.24. Con esta información, responder:
1. ¿Cuánto gastará, si compra 6 docenas de plumones?
2. ¿Cuánto gastará, si compra 8 docenas de lapiceros?
3. ¿Cuánto gastará, si compra 7 docenas de colores?
4. ¿Cuál es el precio por unidad de los lapiceros?
5. ¿Cuál es el precio por unidad de los plumones?
6. ¿Cuál es el precio por unidad de los colores?
7. Si compra 2 docenas de colores y 3 docenas de
plumones, ¿cuánto gastará?
8. Si compra una docena de cada producto, ¿cuánto
gastará?
9. Si compra 3 docenas de plumones y 6 docenas de
lapiceros, ¿cuánto gastará?
Practiquemos
Test de Aprendizaje
48
Aplicación de la multiplicación y la división en lN
Primer Año de Secundaria
• Medidas de longitud:
1 kilómetro <> 1000 metros
1 metro <> 100 centímetros <> 1 000 milímetros
1 centímetro <> 10 milímetros
• Medidas de tiempo:
1 año bisiesto = 366 días
1 año no bisiesto = 365 días
1 día <> 24 horas
1 hora <> 60 minutos
1 minuto <> 60 segundos
• Medidas de capacidad:
1 tonelada <> 1 000 kilogramos
3. Una señora tiene tres hijas, cada hija tiene en el jardín
tres rosales y cada rosal tiene tres ramas. Además cada
rama tiene un ramillete de tres rosas y sobre cada rosa
se posan 2 abejas. ¿Cuántas abejas hay en los rosales?
4. De un frasco de botones se utilizaron 6 botones para
cada uno de los 27 sacos y sobraron 3 botones. ¿Cuántos
botones había en el frasco?
5. Se reparten 342 plumones entre un grupo de
estudiantes, tocándole a cada uno 7 y quedando de la
repartición 27 plumones. ¿De cuántos alumnos estuvo
formado dicho grupo?
6. Se reparte 1473 hojas entre los alumnos de un colegio.
Cada alumno recibió 6 hojas y sobraron en la repartición
183 hojas. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?
7. Un comerciante compra 16 máquinas de coser a
S/.408 cada una; 27 equipos de sonido a S/.732 cada
uno y 19 lavadoras a S/.652 cada una. ¿Cuánto pagó
Juan trabaja 8 horas diarias de lunes
a viernes mientras que Daniela
trabaja 7 horas diarias de lunes a
sábado.
Pablo vive en un edificio de 5 pisos
con 4 departamentos por piso y Raúl
vive en uno de 12 pisos con 2
departamentos por piso.
En un mercado venden 7 manzanas
por S/. 21 y 10 naranjas por S/. 20
Luis estudia inglés 2 horas diarias
de lunes a viernes y Federico sólo
los sábados y domingos de 8:00 a.m.
a 1:00 p.m.
Víctor gasta S/.120 diarios en
víveres y Aníbal gasta S/.200 tres
veces a la semana.
Horas que trabaja Juan a la
semana
Número de departamentos
del edificio donde vive Raúl
Costo de 13 manzanas
Número de horas semanales
que estudia Luis inglés
Lo que gasta Víctor en cinco
días
Horas que trabaja Daniela a
la semana.
Número de departamentos
del edificio donde vive Pablo.
Costo de 19 naranjas.
Número de horas semanales
que estudia Federico inglés.
Lo que gasta Aníbal en una
semana.
INFORMACIÓN “A” “B”
por todo?
8. El hotel LIMA cobra durante los primeros 7 días S/.50
diarios por persona y a partir del octavo día reduce su
tarifa a S/.40 diarios por persona. ¿Cuánto gastarían
dos personas que pasan 10 días en ese hotel?
9. Un comerciante posee 7 camiones que en determinado
momento cada camión lleva una carga de 100 cajones
de 85 tomates cada uno. ¿Cuántos tomates se llegarán
a vender si al descargar los camiones se encuentra que
7 de cada cajón se malograron durante el viaje?
10.En la tienda, los pantalones de lana cuestan $ 70, los
pantalones de algodón $ 50 y las corbatas $ 12. El sábado,
tenían una promoción: “Si compra un pantalón de lana,
le regalamos una corbata”. Ese día recaudaron $ 2 540.
Si habían vendido 34 pantalones y habían regalado 15
corbatas, ¿cuántas corbatas vendieron?
BloqueIII
Comparación cuantitativaA continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación
entre la columna “A” y “B”, deberás colocar “<”; “>”; “=” o “no se puede determinar”. Justifica tus respuestas.
APLICACIÓN: Una de las aplicaciones más importantes de la multiplicación y la división es para hacer conversiones
entre unidades de medidas. En esta parte recordaremos algunas equivalencias:
49Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
1. Luchito empezó a ahorrar de la siguiente manera: 1 sol
diario durante enero, 2 soles diarios durante febrero y 3
soles diarios durante marzo. ¿Cuánto ahorró en total
Luchito, si se sabe que esto lo hizo en el año 2000?
a) S/.180 b) 170 c) 182
d) 172 e) 192
2. Un operario textil produce 20 polos en cada hora.
¿Cuántos polos producirán en 2 días, 3 operarios con
las mismas características?
a) 1 800 b) 2 880 c) 3 200
d) 1 780 e) 4 700
3. Un comerciante invirtió S/.330 en comprar sobres y
lapiceros. Si cada sobre le costó 1 sol y cada lapicero 2
soles, ¿cuántos artículos compró, si se sabe que la
cantidad de sobres es la misma que de lapiceros?
a) 220 b) 230 c) 212
d) 240 e) 252
4. Se compró cierto número de cuadernos a S/.720 y se
vendió todo por S/.2 231, ganando por cada cuaderno 3
soles. ¿Cuántos cuadernos compré?
a) 430 b) 227 c) 745
d) 837 e) 267
5. Se compró 27 maletines a S/.32 cada uno. ¿A cuánto se
debe vender cada maletín para obtener una ganancia
total de S/.243?
a) S/.36 b) 42 c) 41
d) 37 e) 39
1 kilogramo <> 1 000 gramos
1 litro <> 1 000 mililitros
• Ahora realiza las operaciones necesarias y responde las
siguientes preguntas:
1. ¿Cuántos metros hay en 7 km?
2. ¿Cuántos kilómetros y metros hay en 15 721 metros?
3. ¿Cuántas horas hay en una semana?, y ¿en un año no
bisiesto?
4. ¿Cuántos minutos hay en un día?, y ¿en una semana?, y
¿en un mes?
5. ¿Cuántas horas y minutos hay en 1350 minutos?
6. ¿Cuántos días hay en 2 592 horas? y ¿en 5 040 horas?
7. ¿Cuántas horas tiene el mes de abril?¿y mayo?
1. Al querer empacar 144 tarros de leche, de qué forma
NO se podría hacer:
a) 12 cajas de 12 tarros cada una.
b) 16 cajas de 9 tarros cada una.
c) 4 cajas de 36 tarros cada una.
d) 36 cajas de 4 tarros cada una.
e) 16 cajas de 8 tarros cada una.
2. En una caja hay 8 paquetes de plastelina y en cada
paquete de plastelina hay 10 de ellas. ¿Cuántas
plastelinas habrá en 12 cajas?
3. Se dispone de 5 micros para transportar 134 personas.
¿Cuántas personas deben ir en cada micro para que
queden repartidas de la manera más pareja posible?
4. Se efectúa una compra de 27 cajas de tizas. Si cada
caja trae 50 tizas y todas son distribuidas entre 18
profesores, ¿cuántas recibe cada uno?
5. Un lapicero cuesta S/. 2 y un cuaderno S/. 3. Si quiero
comprar 5 lapiceros y 9 cuadernos, ¿cuánto dinero
necesito?
6. Un comerciante gastó en la compra de 23 televisores
iguales S/. 17457, ¿cuánto costó cada una?
7. Si 35 polos cuestan 490 soles, ¿cuánto pagaré por 16
polos?
8. Carmen camina 28 km a la semana. Si cada día camina
la misma distancia, ¿cuántos km camina durante un
año no bisiesto?
Autoevaluaciòn
Tarea domiciliaria
50
Aplicación de la multiplicación y la división en lN
Primer Año de Secundaria
9. Don Nicolás hace 5 viajes al día transportando 36 cajas
con 72 tarros de conservas cada una. ¿Cuántos tarros
transporta Don Nicolás al día?
10.El profesor Luis tiene 48 alumnos y quiere repartirles
13 láminas a cada uno. ¿Cuántas láminas necesita?
11.El ministerio de salud dispone de 27600 vacunas contra
el sarampión, las que deben repartirse en partes iguales
entre 23 consultorios de Lima Metropolitana. ¿Cuántas
vacunas recibirá cada consultorio?
12.Un comerciante compra 560 cajas de galletas y paga en
total S/. 11760. ¿A cuánto debe vender la caja, si quiere
ganar S/. 5 por cada una?
13.Se cuenta con $ 3832 para comprar discos que cuestan
$ 95 cada uno. ¿Para cuántos discos alcanzan?
14.Doña Elena abrió una caja de 48 bombones el sábado y
la compartió con su esposo y sus 6 hijos en partes
iguales. Si el domingo compartieron otra caja de igual
tamaño y todos comieron la misma cantidad, ¿cuántos
bombones comió cada integrante de la familia el fin de
semana?
15.Una sala de cine tiene 27 filas y 28 butacas en cada una.
Todas las butacas están numeradas empezando en la
primera fila. ¿En qué fila se encuentra la butaca 398?
16.Para el alumbrado público un grupo de vecinos aporta
cada uno $ 215 faltando todavía $ 27 para cancelar.
¿Cuántos vecinos integran dicho grupo, si se sabe que
la deuda total es de $ 15507?
17.Un anciano tiene siete casas en cada una de siete
ciudades distintas. En cada casa hay 7 graneros y en
cada granero hay 7 ratones. Cierto día cada ratón comió
7 granos de trigo. ¿Cuántos granos de trigo comieron
en total los ratones ese día?
18.Liliana compró tres blusas a S/. 65 cada una y tres
faldas a S/. 115 cada una. ¿Cuánto gastó?
19.Se cargaron 24 camionetas, cada una con 15 cajas de
12 kg y con 12 cajas de 11 kg. ¿Cuántos kilogramos se
cargaron?
20.Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores,
es decir sólo se puede dividir entre dos números: La
unidad y el mismo número. Si multiplicas los primeros
100 números primos, ¿en qué cifra terminará el
resultado?. Justifica tu respuesta.
21.Pablo ganó este mes S/. 750, le dio la mitad a su mamá,
luego de lo que le quedó gastó la tercera parte en
ropa. ¿Cuánto le queda de dinero?
22.Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15 de propina a cada
uno de mis 7 sobrinos, ¿me falta o me sobra? ¿cuánto?
Información
Columna
“A”
Columna
“B”
Francisco corrió 6500 m en
2 horas y Rodrigo 7200 m en
3 horas
En Saga venden 3 televisores
en $750 y 4 reproductores de
DVD en $960
Pedro lee 18 páginas en 9
minutos y Valeria lee 6
páginas en 2 minutos
Luisa entrena gimnasia 5
veces a la semana durante 2
horas y Carolina lo hace 4
veces a la semana durante 3
horas.
Natalia gasta S/.160 diarios y
Carlos gasta S/.360 tres veces
a la semana.
Distancia que
recorre Fran-
cisco en 1
hora
Precio de
cada
televisor
Páginas que
lee Pedro en
un minuto
Horas que
Luisa
entrena en
una semana
Lo que gasta
Natalia en
una semana
Horas que
Carolina
entrena en
una semana
Lo que gasta
Carlos en
una semana
Distancia
que recorre
Rodrigo en 1
hora
Precio de
cada DVD
Páginas que
lee Valeria
en un minuto
23.El profesor de aritmética del 1er. Año quiere formar
grupos de trabajo con los 42 alumnos que tiene en el
aula. Responde:
a) Si quiere armar grupos de 6 alumnos, ¿cuántos
grupos armaría?
b) Si quiere armar grupos de 7 alumnos, ¿cuántos
grupos armaría?
c) Si considera que el ideal es que los grupos estén
formados por 5 alumnos; en este caso, ¿cuántos
alumnos quedarían sin grupo?
d) Si un día faltan tres alumnos, ¿cuántos grupos de
tres alumnos puede formar?
e) Es posible formar grupos de 4 alumnos cada uno?
¿y de 8 alumnos?
24.¿Cuántos días hay en tres años no bisiestos?
25.¿Cuántos segundos hay en 48 minutos?, ¿y en tres
horas?, ¿y en un día?
26.¿Cuántas horas y minutos hay en 1280 minutos?
27.¿Cuántos días hay en 4872 horas? ¿y en 2712 horas?
28.¿Cuántos minutos y cuántos segundos son 58930
segundos?
29.Comparación cuantitativa:
A continuación se propone en cada pregunta, dos
expresiones o enunciados matemáticos y se pide
determinar la relación entre la columna “A” y “B”,
deberás colocar: “<”; “>”; “=” o si “no se puede
determinar”.
51Organización Educativa TRILCE
COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO
A continuación se presentan diversas situaciones problemáticas las cuales las solucionaremos aplicando únicamente
las cuatro operaciones fundamentales. En cada ejercicio deberemos razonar y seleccionar la operación u operaciones
que nos ayude a llegar a la solución. Debes evitar el uso de variables (x) en las resoluciones de los problemas.
A modo de ejemplos mostramos a continuación algunos problemas resueltos, ¡ah! y recuerda que en muchos casos
no existe un método único para la resolución de los problemas, los pasos que sigas tal vez sean distintos al de tu
compañero por lo que será muy importante que comentes tu razonamiento con tu profesor.
1. Don Tomás compró dos alfombras de S/.340 cada una y
tres colchones de S/.1 280 cada uno. Si tenía un cupón
de descuento de S/.600, ¿le alcanzará con los S/.4 000
que lleva para pagar?
Resolución:
Como la compra total es 2 veces S/. 340 más 3 veces
S/.1 280, es decir S/.4 520, descontando los S/.600 del
cupón, da un total de S/.3 920 y como esa cantidad es
menor que S/.4 000, entonces le alcanzará para pagar.
Esto puede resumirse en el siguiente esquema:
* Procedimiento:
Hay que multiplicar 2 por 340 y 3 por 1 280 y sumar.
Luego hay que restar 600 y decidir si el resultado
es menor o igual que 4 000.
Operación y resultado:
2 x 340 = 680
3 x 1 280 = 3 840
680 + 3 840 = 4 520
4 520 – 600 = 3 920
3 920 < 4 000
Respuesta:
Si le alcanzará con los S/.4 000 para pagar.
2. Felipe compra un artículo pagando con cuatro monedas
de S/. 5; tres billetes de S/. 10 y algunos billetes de
S/. 20. Si el artículo costó S/. 150, ¿cuántos billetes
eran de S/. 20?
Resolución:
Con cuatro monedas de S/.5 y tres billetes de S/.10
Felipe tiene:
4 x 5 + 3 x 10
20 + 30 = 50 soles
Como el artículo costó S/.150 aún le falta S/.100 que
pagó con billetes de S/.20.
Luego:
100 : 20 = 5 billetes
Ejercicios de cuatro
operaciones7
Respuesta:
5 billetes eran de S/. 20
3. Doce amigos deben pagar una deuda de S/.1 800 en
partes iguales, lamentablemente tres de ellos no
cuentan con dinero por lo que los demás deberán
asumir la deuda. ¿Cuánto más deberán pagar?
Resolución:
Inicialmente cada uno debía pagar: 1 800 : 12 = 150 soles.
Como tres de ellos no tienen dinero, sólo quedan 9
amigos para asumir la deuda, por lo que cada uno de
ellos deberá pagar:
1 800 : 9 = 200 soles
Es decir S/.50 más que al inicio
Respuesta:
Deberán pagar S/.50 más
4. El fin de semana, el Sr. Gutiérrez gastó $480 en la
compra de ropa y zapatos. Gastó una quinta parte en
zapatos. Con el resto compró un pantalón a $93, una
camisa a $87 y una casaca de cuero. ¿Cuánto pagó
por la casaca de cuero?
Resolución:
En zapatos gastó la quinta parte, es decir:
480 : 5 = $96
Luego, en la compra de zapatos, pantalón y camisa
gastó:
96 + 93 + 87 = $276
Y como en total, el señor gastó $ 480, la casaca le
habrá costado:
480 – 276 = 204
Respuesta:
Por la casaca de cuero pagó $ 204
5. Don Julián compró 100 camisas. Vende la mitad a $ 35
cada una y 10 camisas a $ 27 cada una. ¿A cuánto debe
E j e r c i c i o s
52
Ejercicios de cuatro operaciones
Primer Año de Secundaria
vender cada una de las que le quedan para obtener, en
total, una recaudación de $ 3260?
Resolución:
Si vende la mitad (es decir, 50 camisas) a $ 35,
recaudará:
50 x 35 = $1 750
Si vende 10 camisas a $ 27, recaudará:
10 x 27 = $270
Hasta este momento el Sr. Julián tiene recaudado:
1 750 + 270 = $2 020
Es decir, que aún le falta por recaudar:
3 260 – 2 020 = $1 240
Y le quedan por vender sólo 40 camisas, por lo tanto
deberá vender cada una en:
1 240 : 40 = $31
Respuesta:
Cada una de las que quedan deberá venderla en $31
BloqueI
Un zoológico establece el siguiente cuadro de ofertas para el próximo año:
Entrada
Tour
Diciembre-Mayo Junio-Noviembre
2
adultos
4
niños
S/.30
S/.24
S/.10
S/.16
S/.20
S/.18
S/.8
S/.12
2
adultos
4
niños
1. ¿Cuánto pagarán 4 adultos por entrada, si acuden en
abril?
2. ¿Cuánto pagarán 8 niños por el tour, si acuden en julio?
3. ¿Cuánto pagarán 2 adultos y 4 niños por entrada, si
acuden en setiembre?
4. ¿Cuánto pagarán 2 adultos y 4 niños por un tour, en
agosto?
5. ¿Cuánto pagará por entrar un aula de primaria del colegio
constituido por 24 alumnos, en mayo?
6. ¿Cuánto pagará por entrar una pareja de esposos que
posee 4 hijos, si acuden en enero?
7. De la pregunta anterior, ¿cuánto ahorraría la pareja, si
fueran en el mes de agosto?
8. ¿Cuánto pagará por un tour, la pareja anterior en el
mes de abril?
9. ¿Cuánto ahorrará la pareja anterior, si toma el tour en
julio?
10.¿Cuánto pagará una pareja de adultos por entrada y el
tour, en el mes de febrero?
Test de Aprendizaje
53Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
1. Juan dispone de tres billetes de S/. 200, cuatro billetes
de S/. 100, siete billetes de S/. 50, nueve billetes de
S/. 10 y trece monedas de S/. 5. Si tiene que pagar
una deuda de S/. 1 500, ¿le sobra o falta dinero, cuánto?
2. Cuatro amigas van de compras pensando gastar
S/.150 cada una. Si las dos primeras gastaron S/.40
más y las dos últimas gastaron S/.25 soles menos,
¿cuánto gastaron en total las cuatro amigas?
3. Pablo gana S/. 85 diarios. Si cada día gasta S/. 4 en
pasajes, S/. 13 en alimentos y S/. 9 en otras cosas,
¿qué cantidad podría ahorrar luego de 30 días?
4. Un vaso cuesta S/. 2 y una botella S/. 7. ¿Cuánto dinero
necesito para comprar 12 vasos y 8 botellas?
5. Diez amigos tienen que pagar en partes iguales una
deuda de S/. 800. Si 6 de ellos no tienen nada de dinero,
¿cuánto más deberán pagar los otros?
6. Marta divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego
junta los pedazos y los corta en dos. Si este
procedimiento lo repite cuatro veces, ¿cuántos pedazos
de papel tendrá luego de los cuatro cortes?
7. La Sra. Verónica tuvo tres hijos y cada uno tuvo a su vez
tres hijos. ¿Cuántos nietos tiene la Sra. Verónica?
8. Si un decámetro tiene 10 metros, un metro tiene 10
decímetros, un decímetro tiene 10 centímetros y un
centímetro tiene 10 milímetros, ¿cuántos milímetros tiene
un decámetro?
9. En un juego de ruleta hay tres tipos de ficha: las rojas,
las verdes que equivalen a 10 rojas y las amarillas que
equivalen a 10 verdes. ¿A cuántas rojas equivale una
amarilla?
10.Un comerciante compra 98 camisas a S/. 45 cada una.
¿A qué precio debe vender cada una para obtener una
ganancia total de S/. 1 274?
BloqueII
1. Un confeccionista compró dos piezas de tela gastando en la primera S/. 800 y en la segunda S/. 1 440. Un metro de
la segunda tela cuesta S/. 8 más que la primera y con S/. 72 se puede comprar un metro de cada tela. ¿Cuántos
Comparación cuantitativa
A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación
entre la columna “A” y “B”, coloca “<”; “>”; “=” o “no se puede determinar”. Justifica tus respuestas.
Jorge le pone S/. 85 de gas a su auto dos veces por semana, en
cambio Luis le pone S/. 55 cada vez que sale en el auto de su familia
y la semana pasada Luis ocupó tres veces el auto.
Don Pedro camina 40 minutos diarios salvo un día al mes. Don Sergio
lo hace interdiario, durante 50 minutos, aunque 4 veces por mes
camina además otros 60 minutos.
Horacio trabaja 8 horas diarias de lunes a viernes y 5 horas los
sábados. Joaquín en cambio trabaja 9 horas diarias de lunes a viernes
aunque tiene permiso para retirarse 2 horas antes una vez a la
semana. ¿Quién de los dos trabaja más?
Gonzalo entrena fútbol de lunes a viernes 3 horas diarias y los sábados
4 horas. Gabriel por su parte entrena 4 veces por semana durante 4
horas aunque tiene permiso para retirarse una hora antes una vez a
la semana. ¿Quién de los dos entrena más horas?
Pablo vive en un edificio de 5 pisos con 4 departamentos por piso
donde hay 3 departamentos desocupados, en cambio Raúl vive en un
edificio de 12 pisos con dos departamentos por piso y 7 departamentos
desocupados. ¿En cuál de los dos edificios están viviendo más familias?
Lo que gastó Jorge
la semana pasada
Tiempo que caminó
Don Pedro el mes
de Abril
Horacio
Gonzalo
En el de Pablo
Lo que gastó Luis la
semana pasada
Tiempo que caminó
Don Sergio el mes de
Abril
Joaquín
Gabriel
En el de Raúl
INFORMACIÓN “A” “B”
Practiquemos
54
Ejercicios de cuatro operaciones
Primer Año de Secundaria
metros de tela se llevó en total?
2. Paola va a la librería y compra 7 cuadernos de S/.3
cada uno y 3 plumones de S/.9 cada uno. Si paga con
un billete de S/.100, ¿cuánto recibirá de vuelto?
3. Christian tiene S/.273 y compra 3 camisas de S/.59 cada
una. ¿Cuántos pañuelos podrá comprar con lo que le
queda, si cada uno cuesta S/.8?
4. El sábado, la Sra. Juárez gastó $360 en la compra de
ropa y zapatos. Gastó una cuarta parte en zapatos. Con
el resto compró un pantalón a $85, una camisa a $120 y
un saco de lana. ¿Cuánto pagó por el saco?
5. Dos familias: papá, mamá y sus hijos fueron al teatro.
Los Pérez tienen 3 hijos y los Smith tienen 4 hijos. La
entrada de una persona mayor cuesta $ 25. Los Smith
pagaron $ 138 por todas sus entradas. ¿Cuánto pagaron
los Pérez?
BloqueIII
Un club campestre en Chosica ofrece, en alquiler, cabañas
para grupos de 4 y 6 personas, los precios (en nuevos soles)
incluyen el IGV y se indican en la tabla siguiente. La temporada alta es de abril a noviembre y la temporada baja, de
diciembre a marzo.
• Responde:
1. Si una familia compuesta por cuatro miembros decide quedarse dos semanas, ¿cuánto gastarían si se alojan con
pensión completa?
TABLA DE PRECIOS
INCLUIDO I.G.V.
Sólo alojamiento
Alojamiento y desayuno
Alojamiento y pensión completa
TEMPORADA ALTA
4 personas
S/.100
S/.120
S/.160
6 personas
S/.138
S/.162
S/.228
TEMPORADA BAJA
4 personas
S/.60
S/.76
S/.108
6 personas
S/.84
S/.120
S/.156
2. Un grupo de seis amigos desean alojarse por una
semana, ellos habían calculado que sus gastos en
desayuno para ese tiempo sería de S/. 126. ¿Cuánto
más pagaría el grupo si alquilan con el desayuno incluido?
3. ¿Cuánto saldría, al grupo, arrendar una cabaña con
pensión completa por 7 días? ¿Y cuánto, arrendar una
cabaña pagando sólo alojamiento? Calcula cuál es el
cobro adicional por pensión completa por los 7 días de
arriendo.
4. Un grupo de 12 personas decide alojarse en dicho club
en la temporada alta y necesitan saber cuánto pagarían
en conjunto las doce personas, si:
a. Alquilan tres cabañas para 4 personas con pensión
completa incluida.
b. Alquilan dos cabañas para 6 personas con pensión
completa incluida.
5. ¿De cuánto dinero debe disponer el grupo anterior para
arrendar dos cabañas para 6 personas por 7 días y en
la temporada alta, si 6 de las personas la quieren sólo
con alojamiento y las otras 6 la quieren con desayuno
incluido?
55Organización Educativa TRILCE
ARITMÉTICA
1. Ocho amigos tienen que pagar en partes iguales una
deuda de S/. 1600. Si tres de ellos no tienen dinero,
¿cuánto más deberán pagar los otros?
2. El Sr. Pérez tiene cuatro hijos y cada uno tiene a su vez
cuatro hijos. ¿Cuántos nietos tiene el Sr. Pérez?
3. Un comerciante compra 89 camisas a S/. 54 cada una.
¿A qué precio debe vender cada una para obtener una
ganancia total de S/. 1157?
4. Tengo S/. 709 y compro 3 pares de zapatos de S/. 89
cada par. ¿Cuántas camisas de S/. 34 cada una podré
comprar con lo que me queda?
5. Claudia va a la farmacia y compra 13 pastillas de S/. 3
cada uno y 3 jarabes de S/. 29 cada uno. Si paga con
un billete de S/. 200, ¿cuánto recibirá de vuelto?
6. Un confeccionista compró dos piezas de tela gastando
en la primera S/. 1200 y en la segunda S/. 1400. Un
metro de la segunda tela cuesta S/. 16 más que la
primera y con S/. 96 se puede comprar un metro de
cada tela. ¿Cuántos metros de tela se llevó en total?
7. José camina 45 minutos diarios salvo un día al mes.
Sergio lo hace interdiario, durante 58 minutos, aunque
4 veces por mes camina además otros 70 minutos.
¿Quién de los dos habrá caminado más durante el mes
de abril? y ¿cuánto más?
8. Juan tiene cuatro latas vacías. Si las llena
completamente con arena, todas pesan 800 gramos.
Si sólo llena con arena tres latas, todo pesa 620 gramos.
¿Cuánto pesan las cuatro latas vacías?
9. Cuatro amigos van de compras pensando gastar S/.170
cada uno. Si los dos primeros gastaron S/. 38 más y
los dos últimos gastaron S/. 23 menos, ¿cuánto gastaron
en total los cuatro amigos?
10.La señora Carmen va al supermercado con 3 billetes
de S/. 50, 4 billetes de S/. 20 y dos billetes de
S/.10. Si realiza compras por un total de S/.197, ¿cuánto
dinero le quedaría?
1. Un circo tiene una capacidad para 320 personas. Se
sabe que la entrada de cada adulto es S/.5 y el de cada
niño S/.2. Si en una de las funciones se recaudó S/.916,
¿cuántos niños estuvieron en la función?
a) 228 b) 98 c) 136
d) 92 e) 222
2. En un examen de 100 preguntas, por cada respuesta
correcta se obtiene 4 puntos y por cada incorrecta se
descuenta 1 punto. José, después de haber contestado
todas las preguntas, obtiene 50 puntos. ¿Cuántas
preguntas acertó José?
a) 20 b) 10 c) 70
d) 90 e) 30
3. Por la compra de 6 docenas de balones a 70 soles cada
uno, se obtiene de regalo 6 balones. Si además se
obtiene un descuento de 1 300 soles, ¿cuánto se ganará
vendiendo todos los balones a S/.75 cada uno?
a) S/.2 480 b) 1 200 c) 2 110
d) 3 400 e) 1 430
4. Un operario gana diariamente S/.6 más que otro.
Después de trabajar cada uno el mismo número de días,
el primero recibe S/.195 y el segundo S/.117. ¿Cuánto
gana por día el primer operario?
a) S/.9 b) 12 c) 13
d) 15 e) 16
5. Se compraron 80 lapiceros a 2 soles cada uno. Se
venden 20 lapiceros ganando 1 sol en cada uno y luego
se desechan 30 lapiceros por estar defectuosos. ¿En
cuánto deben venderse los lapiceros restantes, si se
quiere ganar 20 soles?
a) S/.4 b) 3 c) 5
d) 4,5 e) 6
Autoevaluaciòn
Tarea domiciliaria
56
Ejercicios de cuatro operaciones
Primer Año de Secundaria
• Don Tomás tiene una crianza de pollos, patos, pavos y
conejos. Para ordenar su negocio, construyó el siguiente
cuadro, en el que figura el número de animales de
cada especie que tiene en su parcela, el costo de crianza
y el precio de venta por unidad; pero, le faltó colocar
los precios por el total de cada especie.
11.Completa el cuadro.
Total de uni-
dades en
existencia
por especie
Costo de
crianza
por
unidad
Precio de
venta por
unidad
Costo total
de crianza
por especie
Precio total
de venta
por especie
Especie
pollo
pavo
pato
conejo
5840
3200
1800
746
S/.3
S/.9
S/.8
S/.10
S/.5
S/.20
S/.13
S/.14
• Un comerciante tiene los siguientes datos relacionados
con las ventas de sus artefactos en un determinado día:
Artefactos
Unidades
vendidas
Precio de
costo por
unidad (S/.)
Precio de
venta por
unidad (S/.)
televisores de
21”
Reproductores
de DVD
Computadoras
Lavadoras
Equipos de
sonido
15
7
18
5
13
729
1600
199
625
299
949
2115
284
720
425
16.¿Cuánto ganó en la venta de las computadoras?
17.¿Cuánto ganó en la venta de los televisores?
18.¿Cuál es su ganancia en los cinco artefactos?
19.¿Cuánto tiene que pagar a sus proveedores por todos
los artefactos vendidos?
20.Si para el próximo mes se mantienen los precios y vende
25 computadoras y 23 reproductores de DVD, ¿cuál
será su ganancia en estos artefactos?
12.Si tú eres un cliente, completa los espacios en blanco
con las frases: “valen más que”, “valen menos que” o
“valen lo mismo que”.
a) 130 pollos ………………………………………… 50 patos
b) 98 patos …………………………………………… 97 conejos
c) 102 pavos ………………………………………… 115 patos
d) 4 pollos y 7 conejos ……………………3 pavos y 4 patos
e) 5 conejos y 4 pavos ………………… 27 pollos y 1 pato
13.¿Cuál fue el gasto total invertido en la crianza de todas
las especies?
14.¿Cuánto dinero se recibió por todas las ventas?
15.¿Cuál fue la ganancia total?
57Organización Educativa TRILCE
COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO
Bloque I
• Completa las siguientes oraciones con algunas de las palabras del recuadro.
cero sustraendo doble triple uno
minuendo división suma factores sumandos
mayor menor tres sustracción divisor menos uno
1. En una adición los números que se suman reciben el nombre de …………………. y el resultado el nombre de
…………………………
2. En una división entera el residuo siempre será ……………… que el divisor.
3. La suma de los …………. términos de una sustracción es igual al …............... del ……………………….
4. Minuendo, ……………….. y ………………… son los términos de una ……………….
5. En una división entera el residuo mínimo es ………………….. mientras que el residuo máximo que podemos
obtener es el ………………………………
• Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedad respectiva:
EXPRESIÓN PROPIEDAD
13 + 27 = 27 + 13 
(5 x 8) x 7 = 5 x (8 x 7) 
3 x (10 + 9) = 3 x 10 + 3 x 9 
15 x 37 x 0 x 19 = 0 
189 x 1 = 189 
13 + (7 + 15) = (13 + 7) + 15 
154 + 0 = 154 
• Relaciona las definiciones que se dan en la columna de la izquierda con los de la columna de la derecha.
A. La forma como se asocien los sumandos no altera la suma.
B. El orden de los factores no altera el producto.
C. El orden de los sumandos no altera la suma.
D. Elemento neutro de la multiplicación.
E. Todas las adiciones de números naturales tienen solución
F. Si un número natural multiplica a una adición, dicho
número se puede distribuir como factor de cada sumando.
G. Elemento neutro de la adición.
H. Todo número multiplicado por CERO da CERO.
I. La forma como se asocian los factores no altera el producto
Propiedad de Clausura de la adición
Propiedad Conmutativa de la multiplicación
Propiedad Conmutativa de la adición
Uno
Cero
Propiedad del elemento absorvente
Propiedad Distributiva
Propiedad Asociativa de la adición
Propiedad Asociativa de la multiplicación
Repaso I
8
Practiquemos
I bimestre  -- 2014
I bimestre  -- 2014
I bimestre  -- 2014

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I bimestre -- 2014

  • 1. 10 Adición de números naturales Primer Año de Secundaria 1. Completa las siguientes expresiones con algunas de las palabras del recuadro: asociativa suma distributiva uno sumandos resultado cero suma sumandos conmutativa asociemos ordenemos a) Los términos de una adición son _______________ y _______________ b) La propiedad ___________________ nos dice que “el orden de los _______________ no altera la _______________” c) El elemento neutro de la adición es el _______________ d) La propiedad _______________ nos dice que la “forma como _______________ los sumandos no altera el _______________” 2. Relaciona los ejemplos de la columna de la izquierda con las propiedades de la columna de abajo: ( ) 12 + 5 = 5 + 12 ( ) 29 + 0 = 29 ( ) 13 + (51 + 7) = (13 + 51) + 7 ( ) 21 + 9 = 30 ( ) 103 + 301 = 301 + 103 ( ) 2478 + 0 = 2478 A. Propiedad de clausura B. Propiedad asociativa C. Propiedad del elemento neutro D. Propiedad conmutativa 3. Efectuar las siguientes adiciones: a) 479 + 4568 b) 958647 + 494846 c) 4458 + 536894 + 7578 d) 874587 + 5641 + 21245 4. Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno: a) Sumar el “menor número de tres cifras” con el “mayor número par de tres cifras”. b) Sumar el “mayor número de dos cifras” con el “menor número de tres cifras diferentes”. 1. Si se cumple: CCCC CCC CC C PV38    hallar: C + P + V a) 19 b) 20 c) 21 d) 23 e) 24 2. Hallar el valor de “a + b”, si se cumple: aa bb 714 aba   a) 12 b) 13 c) 17 d) 14 e) 11 3. Si se cumple: 3mn p4m qqq4  hallar “m + n + p + q” a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 22 4. Si: a + b = 12 hallar: aa ab bb ba   a) 136 b) 237 c) 232 d) 264 e) 276 5. Si se cumple: CC PP VV CPV   hallar: C V P  a) 2 b) 1 c) 3 d) 1 2 e) 3 2 Autoevaluaciòn Tarea domiciliaria
  • 2. 11Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA c) Sumar el “menor número par de cuatro cifras” con el “mayor número de tres cifras diferentes”. d) Calcula la suma de los siete primeros números impares. 5. En el siguiente cuadro completa los espacios en blanco para que la suma en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. Indica el mayor de los números faltantes. 71 18 9 11 8 20 15 77 68 88 79 89 46 106 58 10228 32 6. Indicar la mayor cifra encontrada en: * 5 1 * 0 5 0 8 4 * 2 * 0 4 + * 7. Hallar la suma de cifras del tercer sumando en: 4 * 3 * 5 7 4 6 * 2 9 9 8 * 7 3 5 7 ** 4 9 * 7 + 8. Calcular la suma de la mayor y menor cifra hallada en: * 2 1 * 3 5 * 9 9 3 * 9 * 8 9* + 9. Calcular la suma de las dos últimas cifras del resultado en: 3 + 31 + 313 + 3131 + ... + 31313131 10.¿Cuál es la cifra de millares del resultado? 3 + 33 + 333 + ... (11 sumandos) 11.Determinar la suma de las dos últimas cifras del resultado: 3 + 88 + 333 + 8888 + ... (10 sumandos) 12.Hallar “a + b + c”; si: ab4 bba 1c96 2964   13.Si: a + b + c = 13 hallar: abc bca cab  14.Calcular “a + b” si: aaa 392 bb4 pq79   15.Hallar “a + b” si: a + b + c = 16, además: ab bc 122  16.Si: 9ab aab cab 2104   , hallar “a + b + c”.. 17.Juan Pérez nació en el año 17a9 y luego de vivir 5b años muere en el año 18b1. Calcular “a + b”.. 18.Tengo S/.ab7 y si recibiera S/.m25 de propina tendría S/. 87m.¿Cuánto tengo? 19.Al preguntarle a mi padre cuánto había gastado en la compra de tres artefactos me respondió: “Bueno hijo, el televisor me costó S/. a32b;el DVD costó S/.b58 y la cámara digital S/. cbb9 lo que hizo un total de S/. b23a ”. ¿Cuánto gastó mi padre en esos tres artefactos? 20.Calcular “a + x”, si: 2a 3a 4a ... 9a x96     21.Dividir el reloj en seis partes (no necesariamente iguales) de modo que el resultado de la suma de los números de cada una de las partes sea el mismo. Dar como respuesta la suma de cada parte. 1211 10 9 8 7 6 1 4 3 5 2 22.En una lista de números, cada número después del primero se obtiene sumando todos los números que le preceden. ¿Cuál es el noveno número de la lista si el tercero es 2? 23.Si “A” representa al menor número cuya suma de cifras sea igual a 20 y “B” representa al menor número de tres cifras diferentes, calcular “A + B”. 24.Imanol eligió tres dígitos distintos que sumados dan 13 y escribió todos los números de tres cifras que se pueden formar con ellos (sin repeticiones), luego sumó todos los números que obtuvo. ¿Cuál fue su resultado? 25.Hallar el valor de “T + E” en: JOYAS JOYAS JOYAS TESORO   ; si a letras iguales le corresponde la misma cifra, letras diferentes representan cifras diferentes y “R” es mayor que 1.
  • 3. 13Organización Educativa TRILCE COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO A la acción de sacar, quitar o de extraer le llamamos SUSTRACCIÓN, conocido también como resta. Es una operación que NO SIEMPRE es posible en el conjunto de los números naturales. Para realizar una sustracción debemos tener en cuenta cuatro elementos claves: 1. La cantidad mayor a la que se le realizará la resta se llama Minuendo. 2. La cantidad menor que es la que se va a restar se llama Sustraendo. 3. El signo con el cual se identifica la operación es (-). 4. El resultado de la operación se llama Diferencia. Ejemplo: 59 - 17 = 42 Es decir: M – S = D ¡CUIDADO! En el conjunto de los números naturales es imposible efectuar las sustracciones si el Minuendo es menor que el Sustraendo, por ejemplo: 6 – 9 = ??, pues no existe un número natural que sumado con el sustraendo “9” dé como resultado “6”. Observaciones: 1. Si sumamos o restamos un mismo número natural al MINUENDO y al SUSTRAENDO, la diferencia NO se altera. Ejemplo: 27 – 15 = 12 Sumemos 7 a cada término de la sustracción: (27 + 7) – (15 + 7) 34 - 22 = 12 ¡La diferencia no se alteró! 2. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO al MINUENDO, LA DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa cantidad. Ejemplo: 27 – 15 = 12 Aumentemos 4 sólo al minuendo: (27 + 4) – 15 31 - 15 = 16 ¡La diferencia quedó aumentada en 4! 3. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO al SUSTRAENDO, la DIFERENCIA queda disminuida o aumentada, respectivamente, en esa misma cantidad. Ejemplo: 27 - 15 = 12 Aumentemos 3, sólo al sustraendo: 27 - (15 + 3) 27 - 18 = 9 ¡La diferencia quedó disminuida en 3! PROPIEDAD “La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del Minuendo”. M + S + D = 2 M * Ejercicio de Aplicación La suma de los tres términos de una sustracción es 2.048, hallar el mayor de los tres términos. Resolución: Sabemos que el mayor término de una sustracción es el MINUENDO. Del dato: M + S + D =2 048 Es decir: 2 M =2 048 M = 1 024 Respuesta: 1 024 COMPLEMENTOARITMÉTICO(CA) Es la cantidad de unidades que le falta a un número para ser el menor número de orden inmediato superior. Es decir, si el número es de dos cifras, su complemento aritmético es la cantidad de unidades que le falta para ser el menor número de tres cifras. Sustracción de números naturales2
  • 4. 14 Sustracción de números naturales Primer Año de Secundaria Ejemplos: a) CA (4) = 10 – 4 = 6 b) CA (9) = 10 – 9 = 1 c) CA (10) = 100 – 10 = 90 d) CA (73) = 100 – 73 = 27 e) CA (501) = 1 000 – 501 = 499 f) CA (45 801 274) = 100 000 000 – 45 801 274 = 54 198 726 Método práctico para calcular el complemento aritmético. Tomando de derecha a izquierda la primera cifra significativa del número al que se le está calculando su complemento aritmético, se le resta de 10 y a las demás de 9. Si hay ceros al final, estos permanecen en el complemento. Ejemplo: a. CA (2 340) = 7 660 (9 - 2)__(9 - 3)__(10 - 4)__(se copia igual) b. CA (90 235) = 09 765 (9-9)__(9-0)__(9-2)__(9-3)__(10-5) 1. Calcule: + , si: 9 6 5 1 - Resolución: • En las unidades: - 1 = Donde: = 2 ó 3 (Se deduce de las centenas) • Probando con “ = 3” 9 6 2 35 1 - 3 3 2 • Entonces, tenemos que: = 3 y = 2 Nos piden: + = 3 + 2 = 5 Respuesta: 5 2. Calcule el valor de “a”, si: 5ab3 253b d2c3  Resolución: • Lo pondremos en forma vertical para una mejor visualización: 5ab3 - 253b d2c3 • En las unidades: b = 0 • En las decenas: Nos prestamos de las centenas y formamos: 1 0 – 3 = c  c = 7 • En las centenas: (a – 1) – 5 = 2  a = 8 Respuesta: 8 3. En la siguiente operación: 2 1 3 1 2 2 1 2 3 7 2 4 1 - calcule la suma de las cifras encontradas. Resolución: • En las unidades: 145  • En las decenas: 7301  • En las centenas: 1214  • Unidades de millar: 123  • Decenas de millar: 112  Nos piden: Suma de cifras halladas: 5 + 0 + 4 + 2 + 1 = 12 Respuesta: 12 4. Si: 4daa9c72c4b8  ; hallar “a + b + c”.. Resolución: Tenemos: 8 b 4 c 7 2 c 9 d a a 4 • Unidades: c1 - 9 = 4  c = 3 • Decenas: 4 - 1 - c = a  a = 0 • Centenas: b - 2 = a  b = 2 • Unidades de millar: 8 - 7 = d  d = 1 Piden: a + b + c = 0 + 2 + 3 = 5 Respuesta: 5 BloqueI 2 1 1 2 3 1 2 2 1 2 3 7 2 4 1 -4 0 5Ejercicios
  • 5. 15Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 1. Efectúa: a) 1 526 - 158 b) 5 678 - 3 506 c) 80 080 - 32 193 d) 700 801 - 51 908 e) 949 900 - 352 499 2. Completa las siguientes sustracciones: a) 4 ... ... 5 3 3 ... 5 2 8 ... - b) 8 ... 4 ... 5 7 ... 4 2 0 ... 3 - c) 0 ... 4 4 8 ... ... 5 6 3 ... 1 -9 ... d) ... 7 1 ... 5 7 3 ... 2 8 ... 9 - e) 5 ... ... 5 2 ... 7 4 4 6 ... -3 ... f) ... 9 3 ... 9 3 8 ... 3 0 7 3 -7 ... 3. Halla la cifra que debemos escribir en cada casillero e indicar lo que se pide: 1. Efectuar e indicar los elementos de la sustracción: 7 2 5 4 4 3 -3 2. Indicar el complemento aritmético de los siguientes números: • CA(6) = • CA(31) = 3. Hallar el valor de: CA(17) + CA(141) 4. Indicar el complemento aritmético del mayor número natural de dos cifras. 5. Hallar la diferencia entre 2 decenas y 1 docena. 6. Hallar la diferencia entre 3 docenas y 3 decenas. * En los siguientes ejercicios, escribir las cifras que faltan en cada casillero: 7. _ 2 4 7 _ 5 _ 3 - 8. 7 _ 5 5 _ 1 _ 1 3 -3 _ 9. _ 7 8 3 1 _ 4 _ 1 -7 _ 10.Restar 37 de 52 Test de Aprendizaje Practiquemos
  • 6. 16 Sustracción de números naturales Primer Año de Secundaria a) 3 8 -2 5 9 5 7 5 3 8 9 5 Suma de cifras halladas: .......... b) 5 8 -2 9 7 2 7 5 6 8 9 597 4 9 5 9 Suma de cifras de la diferencia: .......... c) 9 8 -8 7 5 2 7 5 5 8 9 997 7 9 5 3 La mayor cifra encontrada: .......... d) 9 8 -8 8 5 3 7 5 5 7 9 837 7 2 9 3 1 5 Suma de cifras del minuendo: .......... 4. Cambie las letras por dígitos que completen correc- tamente las operaciones. Si una letra se repite en una resta debe cambiarse siempre por el mismo dígito. a) a 1 6 2 c 7 a 2 5 7 9 a 7 4 b - Mayor cifra encontrada: ………… b) a 1 d 2 b 4 3 7 d a 2 5 6 c 7 - Indicar “a + b + c”: ………… c) a 1 6 2 d 1 b 3 9 6 4 e c 6 8 - Suma de cifras del sustraendo: ………… d) a 1 1 b 2 5 c c c 2 7 d - Suma de cifras del minuendo: ………… 5. Calcule: a) CA (7) b) CA (3) c) CA (96) d) CA (587) e) CA (809) f) CA (4 875 905) g) CA (98 687 000) h) CA (1 004 877 953) BloqueII 1. Al sumar el MINUENDO, SUSTRAENDO y DIFERENCIA, ¿qué se puede afirmar acerca del resultado obtenido? Dar ejemplos. 2. ¿Por qué no podemos aplicar la propiedad conmutativa a la sustracción? Da ejemplos. 3. Si al mayor número de tres cifras diferentes le sustraemos el mayor número par de dos cifras, ¿cuánto nos queda? 4. ¿Cuál es la diferencia entre el menor número impar de cuatro cifras y el mayor número formado por tres cifras pares y diferentes? 5. Compara el valor de las columnas “A” y “B” en cada fila y coloca “>” ; “<” ; “=” o si “no se puede determinar”, según corresponda: 6. Resta 137 de 2498 7. Resta 24 de 1903 8. De 497 resta 198 La diferencia entre de- cenas consecutivas La diferencia entre im- pares consecutivos La diferencia entre 2 decenas y 4 unidades 9 sustraído de 15 El número que falta a 3 para completar 15 ....... ....... ....... ....... ....... “A” “B” 19 disminuido en 8 La diferencia de dos números naturales con- secutivos La diferencia de 17 y 2 19 menos 1 docena 1 docena disminuido en una unidad
  • 7. 17Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 9. Resta (6 + 7 + 8 + 9) de (11 + 9 + 93) 10.Si: cbba1bb43aa7  ; calcule “a + b + c”.. BloqueIII 1. En las siguientes expresiones, respecto a las sustracciones, completa los espacios en blanco especificando lo que sucede con la diferencia, si aumenta o disminuye y en cuántas unidades: a) Si el minuendo aumenta en 13 unidades, la diferencia .......................................................... b) Si el sustraendo aumenta en 9 unidades, la diferencia .................................. c) Si el minuendo disminuye 7 unidades, la diferencia ....................................... d) Si el sustraendo disminuye 3 unidades, la diferencia ....................................... e) Si el minuendo aumenta 6 unidades y el sustraendo disminuye 7 unidades, la diferencia ..................... ....................... f) Si el minuendo aumenta 6 unidades y el sustraendo aumenta también 6 unidades, la diferencia ..................................................................................... g) Si el minuendo disminuye 11 unidades y el sustraendo disminuye 5 unidades, la diferencia ..................................................................................... 2. Si: 70ymxy2yy4x6  , calcula el valor de: “x.+.y.+.m”. 3. Si: 24a5bc 138a29 1d7898  ; indica la diferencia entre la mayor y menor cifra encontrada. 4. Luis va de compras al supermercado con S/. c6b y gasta S/. 9c2 quedándole S/. 4aa . Calcule “a + b + c”.. 5. José tenía ahorrado S/. aaa5 pero invirtió S/. 3b4b en un negocio quedándole S/. 89dc . ¿Cuánto invirtió en el negocio? 6. De abb42 socios de un club, votaron en las últimas elecciones 4392c , quedándose sin votar 574d socios. ¿Cuántos socios no votaron? 7. Hallar “T + R + I + L + C + E”; si: TRR 0 I3RR II9R  Además: LLLC LCC 1990  y 0 = CERO 1. Si se cumple: 7ab4 cd0b a7c8  hallar “a + b + c + d” a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 2. Si se cumple: 5CPV 2579 VPOC  hallar “C + P + V”, si “O” es cero. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16 3. Un automovilista parte del kilómetro CP y se detiene en el kilómetro PC , sabiendo que P > C y además “P” y “C” son números consecutivos, ¿qué distancia recorrió el automovilista? a) 11 km b) 7 c) 9 d) 13 e) 16 4. Si la suma de términos de una sustracción es 480, calcular la diferencia, si el minuendo es el doble del sustraendo. a) 120 b) 140 c) 210 d) 240 e) 160 5. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que si se le resta 28 resulta el doble de su complemento aritmético. a) 324 b) 676 c) 742 d) 258 e) 126 Autoevaluaciòn
  • 8. 18 Sustracción de números naturales Primer Año de Secundaria 1. Completa las siguientes expresiones con algunas de las palabras del recuadro: el sustraendo 8 unidades docenas 58 minuendo la diferencia sustraendo aumenta 48 naturales 2 unidades enteros disminuye si es posible decenas 10 unidades diferencia el minuendo no es posible docenas a) Los términos de una sustracción son _________________; ________________ y ________________ b) En la sustracción de números __________________ el mayor término es ______________________ c) Si el minuendo aumenta 13 unidades, la diferencia _________________ 13 unidades. d) Si disminuimos 2 unidades al minuendo, __________________ disminuye _______________ e) La diferencia entre dos ______________________ consecutivas es 10 unidades. f) La diferencia entre dos decenas y una docena es ______________________ g) En una sustracción, si el minuendo es 85 y la diferencia es 37, el sustraendo es ________________ h) Una sustracción de números naturales donde el sustraendo sea mayor que el minuendo ____________________ 2. Hallar las cifras que debemos escribir en cada casillero e indicar lo que se pide: a) 4 3 7 - 5 2 8 3 La suma de las cifras halladas: b) 8 3 1 - 3 8 9 2 5 9 La mayor cifra encontrada: c) 4 3 2 -9 3 7 5 754 Suma de cifras halladas: d) 4 - 9 8954 3 384 Suma de cifras del minuendo: 3. ¿Por qué no es posible una sustracción donde el sustraendo sea mayor que el minuendo en los números naturales? 4. Efectuar: a) 59836 - 6583 b) 10025 - 999 c) 91200 - 7294 d) 44444 - 8888 e) 575757 - 57575 f) 586127 - 289475 5. Calcular el complemento aritmético de los siguientes números: a) 8 d) 237 g) 9978400 b) 48 e) 4895 h) 35004259 c) 105 f) 10025890 i) 245860821 6. Cambia las letras por cifras que completen correctamente las siguientes sustracciones e indicar lo que se pide. a) a 3 2 6 b 1 2 5 c b 2 1 2 c 5 - Suma de cifras diferentes halladas: Tarea domiciliaria
  • 9. 19Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA b) a 1 1 9 7 1 b 2 c 7 b 7 - Indicar la suma de cifras del minuendo: c) a c 1 2 c 0 b 6 7 7 9 7 -c 6 5 Indicar “b - c” d) 6 3 d a 8 8 4 c 9 5 b b -b 7 5 Indicar “a + b + c” 7. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 148, indica con cuál de sus tres términos podemos estar seguros de su valor. 8. La diferencia de dos números es 158. Si aumentamos 15 unidades al minuendo y disminuimos el sustraendo en 8 unidades, ¿cuál será la nueva diferencia? 9. La diferencia de dos números es 25. Si al minuendo le disminuimos 7 unidades y el sustraendo aumenta en 4 unidades, ¿cuál será la nueva diferencia? 10.¿Cómo varía la diferencia en una sustracción, si el minuendo aumenta en 5 y el sustraendo disminuye en 5? 11.Compara el valor de las columnas “A” y “B” en cada fila y escribe: “>” ; “<” ; “=” o si “no se puede determinar”, según corresponda: Columna “A” Columna “B” 19 disminuido en una docena 87 disminuido en 59 el número que le falta a 51 para completar 67 27 sustraído de una centena complemento aritmético de 8 1 centena disminuido en 3 unidades CA(9999133) 17 disminuido en una decena la diferencia entre 245 y 226 4 decenas menos 3 docenas la diferencia entre 379 y 299 complemento aritmético de 9999998 complemento aritmético de 3 CA(132) 12.¿Cuál es la diferencia entre el mayor número de tres cifras y el menor número de dos cifras? 13.¿Cuál es la diferencia entre el complemento aritmético de 1999 y el complemento aritmético de 9991? 14.Si “A” representa a un número de cuatro cifras y “B” representa a un número de tres cifras, ¿cuál es el máximo valor que puede tomar “A - B”? 15.Si: a2b7c 3c696 9876,  indicar la mayor cifra encontrada. 16.Julio recibe S/.13ab2 por su jubilación pero tuvo que pagar una deuda de S/. c49d y le quedó S/. c1956. Calcular “a + b + c” 17.Carlitos vende huevos en el mercado. Tenía m2p huevos y vende 3p7 , quedándole nn3 huevos. ¿Cuántos huevos vendió? 18.De 61mnn personas que asistieron a un espectáculo,, se retiran 1m685 personas. Los que se quedaron hasta el final fueron p4037 personas. ¿Cuántos se retiraron?
  • 10. 21Organización Educativa TRILCE COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO En el presente capítulo desarrollaremos problemas y ejercicios relacionados con la aplicación de la adición y sustracción de números naturales. Es en realidad muchas las situaciones de nuestra vida cotidiana donde aplicamos estas dos operaciones y muchas de ellas las resolvemos de una manera muy natural como por ejemplo quién no se ha preguntado alguna vez ¿Cuánto falta para el recreo?, ¿Cuánto me deben entregar de vuelto?, ¿A cómo deberé venderlo para ganar?, ¿Cuál es la diferencia de goles de nuestro equipo favorito?, ¿Cuánto me falta para comprarme un determinado producto?, ¿Cuántos años me lleva mi amigo?,etc. Es claro que no podremos abarcar en su totalidad los diversos tipos de problemas relacionados con la adición y la sustracción; a continuación se muestran algunos problemas resueltos el cual esperamos les sirva de guía para resolver los problemas propuestos. 1. Los cuatro hijos de doña Martha formaron una sociedad, a la que aportaron las siguientes cantidades: $ 2 500, $ 1 150, $ 2 380 y $ 3 990. ¿Qué capital juntaron los hijos de doña Martha? Resolución: El capital que juntaron es la suma de las cantidades que aportaron cada uno de los hijos: 2 500 + 1 150 + 2 380 + 3 990 = 10 020 Rpta.: Entre todos los hermanos juntaron $10 020 2. Una señora va al supermercado y gasta S/.28 en verduras, S/.36 en leche, S/.13 en tubérculos y S/. 17 en frutas. Si pagó con un billete de S/.200, ¿cuánto deberían entregarle de vuelto? Resolución: Averiguamos primero el monto total de la compra: Verduras: 28 + Leche 36 Tubérculos: 13 Frutas 17 ___________ TOTAL = 94 Ahora calculamos el vuelto: 200 – 94 = 106 Rpta.: Deberían entregarle S/.106 de vuelto. 3. La suma de las edades de Ana y Bertha es 27 años. Si Ana es menor que Bertha en 3 años, ¿qué edad tiene Bertha? Resolución: Ana: Juntos 27 años Bertha: + 3 Nos dicen que Ana es 3 años menor, lo que significa que si a Bertha le quitamos esos 3 años de más que tiene, ambas amigas tendrían igual edad, pero además la suma de sus edades ya no sería 27 sino: 27 - 3 = 24 años (en partes iguales) Es decir 12 cada una. Finalmente tenemos: Ana: 12 años Bertha: 12 + 3 = 15 años Rpta.: 15 años 4. Miguel va al mercado y observa que si compra 14 manzanas le faltaría S/.3, pero si compra 13 manzanas le sobraría S/.1. ¿Cuál es el precio de cada manzana? Resolución: Analicemos los datos: Si compra 14 manzanas le faltaría S/.3 Si compra 13 manzanas le sobraría S/.1 Vemos que al comprar 1 manzana menos, el costo total disminuyó en: 3 + 1 = 4 soles, veámoslo gráficamente:  Aplicación de la adición y la sustracción en lN3 Problemas Resueltos
  • 11. 22 Aplicación de la adición y la sustracción en lN Primer Año de Secundaria Costo de 14 manzanas Dinero de Miguel Costo de 13 manzanas Falta S/.3 Sobra S/.1 Costo de 1 Manzana: S/.4 Rpta.: Cada manzana cuesta S/. 4 5. La suma de dos números es 32 y su diferencia es 12. Calcular el mayor de los números. Resolución: Veamos los números en forma gráfica: A: B: + 12 LA DIFERENCIA Si le quitamos esa diferencia, los números serían iguales y sólo sumarían: 32 – 12 = 20 De donde se deduce que: A = 10 B = 10 + 12 = 22 Rpta.: El mayor es 22 6. Enrique quiere comprar un equipo de música que cuesta S/.850 y sólo tiene ahorrado S/.315. En el verano trabajó y ganó S/.750. Entre comida y diversión gastó S/.287. ¿Le alcanza el dinero para comprar el equipo? Resolución: El dinero que logra juntar Enrique es: Ahorrado: S/. 315 + Por su trabajo: S/. 750 ______ S/. 1 065 - Gastos: S/. 287 ______ S/. 778 Y como S/.778 es menor que S/.850, ... Rpta.: No le alcanzará para comprar el equipo. 7. Luis y Carlos tienen juntos S/.1 800. Si Luis tiene S/.400 más que Carlos, ¿cuánto tiene cada uno? y ¿cuánto dinero deberá darle Luis a Carlos para que ambos tengan igual cantidad? Resolución: Luis: + 400 Juntos tienen S/.1 800 Carlos: Hacemos: S/.1 800 – S/.400 = S/.1 400 , de donde: Luis: S/.700 + S/.400 = S/.1 100 Carlos: S/.700 Rpta.: Luis tiene S/.1 100 y Carlos S/.700 Si deseamos que ambos tengan igual cantidad, el monto total no variará, juntos seguirán teniendo S/.1 800 y cada uno S/.900; para conseguirlo sólo necesitamos que Luis le de a Carlos S/.200. Rpta.: Luis debe darle a Carlos S/. 200   * Dado el siguiente cuadro de la venta de papa y camote en toneladas, contestar: 1er trimestre 2do trimestre 3er trimestre 4to trimestre Venta de papa 13 tn 15 tn 9 tn 12 tn Venta de camote 7 tn 12 tn 16 tn 11 tn 1. ¿Cuántas toneladas de papa se vendió en el año? 2. ¿Cuántas toneladas de camote se vendió en el año? Test de Aprendizaje
  • 12. 23Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA BloqueI 1. Palabras y números: • Completa las frases para que complete su significado. • Los números que faltan deben ser elegidos del conjunto dado. • Un número puede ser usado solamente una vez en cada caso. a) Mañuco gasta S/. ............. en libros. Él tenía S/. ............ y ahora le queda S/. ..................... 52 - 49 - 97 - 101 b) La suma de dos números es .............y su diferencia es ................. Los números son ............... y ................... 18 - 26 - 22 - 40 - 4 c) En una fábrica las piezas se someten a una temperatura de ............ °C luego del enfriado se encuentran a .......... °C, es decir que disminuyó su temperatura en ........... °C 35 - 1237 - 1230 - 45 - 1185 d) La diferencia de dos números es ............... y su suma ................, los números son ......................... 17 - 13 - 62 - 47 - 30 e) En una fábrica de vidrio, todo el proceso de confección de una pieza toma .......... horas. La primera parte hasta antes del enfriado, toma .......... horas, y el enfriado que demora menos toma ............. horas. 196 - 203 - 16 - 17 - 186 3. ¿Cuántas toneladas de papa se vendió en los dos últimos trimestres? 4. ¿Cuántas toneladas de camote se vendió en los dos primeros trimestres? 5. Durante el primer trimestre, ¿qué se vendió más y por cuánto? 6. Durante el tercer trimestre, ¿qué se vendió más y por cuánto? 7. ¿Qué se produjo más en los dos primeros trimestres? 8. ¿Qué se produjo más en los dos últimos trimestres y por cuánto? 9. ¿Qué se produjo más en el segundo trimestre y por cuánto? 10.¿Qué se produjo más en el año y por cuánto? Practiquemos
  • 13. 24 Aplicación de la adición y la sustracción en lN Primer Año de Secundaria 2. Roberto tiene una estación de servicio. Él anota en un libro las ventas de gasolina y aceite que hace diariamente. En la siguiente tabla, se especifican las ventas de una semana: Opera y responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos litros de gasolina vendió en dicha semana? b) ¿Cuántos litros de aceite vendió en dicha semana? c) ¿Qué vendió más, gasolina o aceite?¿Cuánto más? d) ¿Cuántos litros de gasolina como máximo pudo vender en tres días consecutivos?¿Qué días fueron? e) ¿Cuántos litros de aceite como máximo pudo vender en tres días consecutivos?¿Qué días fueron? 3. Paula compró un pantalón de S/.78 y una blusa de S/.49, ¿cuánto le dieron de vuelto, si pagó con un billete de S/.200? 4. Jorge vendió su departamento en $45 890 y su auto en $12 999. Si gastó $13 789 en comprarse un terreno y $5 890 en pasear por Europa, ¿cuánto dinero le queda? 5. Cinco amigos desean formar una empresa para lo cual necesitan un capital total de $17 000. Si Jéssica aporta $1 780, Érica $6 200, Germán $4 550 y Eduardo $1 930, ¿cuánto dinero deberá poner Andrés para completar el monto presupuestado? 6. Hallar la edad de un padre que tiene 15 años más que la suma de las edades de sus cuatro hijos, que tienen: el cuarto tres años, el tercero un año más que el cuarto, el segundo tres años más que el tercero; y el primero tanto como los otros tres juntos. 7. Mi abuelita nació en el centenario de la Independencia del Perú, ¿cuántos años cumplirá este año 2006? 8. A un rollo de 500 metros de un alambre se le agregaron 275 metros más. Después se utilizaron 692 metros. ¿Cuántos metros de alambre quedó? BloqueII 1. La suma de dos números es 24 y su diferencia es 6. ¿Cuál es el menor de dichos números? 2. Al sumar dos números se obtiene 50. Si el mayor excede al menor en 8, ¿cuál es el número mayor? 3. Dos depósitos tienen juntos 86 litros de agua. Si uno de ellos tiene 12 litros más que el otro, ¿cuántos litros tiene cada depósito? 4. Si Luis y José juntan su dinero tendrían S/.400. Sabiendo que José tiene S/.30 más que Luis, ¿cuánto dinero tiene cada uno? 5. Se reparte una herencia de S/.300 000 entre dos hermanos. Si el menor de los hermanos recibe S/. 48.000 más que el mayor, ¿cuánto recibió cada uno? 6. En una fiesta a la que acudieron 115 personas, se observó que al momento de bailar en parejas, se quedaron 17 varones sentados. ¿Cuántas damas asistieron a la fiesta? 7. En un aula de 36 alumnos se observa que hay 8 varones más que mujeres. ¿Cuántos varones hay en el aula? 8. Imanol compra dos televisores, el de 29" le costó S/.400 más que el de 14". Si por ambos televisores pagó S/.1 230, ¿cuánto le costó cada televisor? 9. Yesenia y Bertha tienen juntas S/.4 000. Si Yesenia le diera S/.400 a Bertha, las dos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Bertha? 10.Los sueldos de dos hermanos suman S/.2 700. Si el mayor le diera S/.150 al menor los dos tendrían igual cantidad. ¿Cuál es el sueldo de cada uno? BloqueIII 1. Una familia se reúne para comer. Si cada miembro de la familia come 6 chorizos sobran 5, pero si cada uno come 7 chorizos faltarían 8. ¿Cuántos miembros componen la familia? 2. Si compro 7 cuadernos me sobrarían S/.2 y si compro 8 cuadernos me faltaría S/.2. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno? 3. Cuatro hermanos: Pablo, José, Elizabeth y Karen recibieron una herencia de S/.90.600. Según el testamento Elizabeth recibiría S/.100 más que Karen; José S/.100 más que Elizabeth y Pablo S/.100 más que José. ¿Cuánto recibió Karen? 4. Se tienen S/.152 en dos grupos de monedas, en una hay monedas de S/.2 y en el otro de S/.1. Si del segundo grupo se pasan al primero 16 monedas, los dos grupos tendrían igual valor, ¿cuántas monedas se tiene en total? Día Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Litros de gasolina 548 1 680 987 1 230 1 856 2 589 3 202 Litros de aceite 207 876 1 245 560 876 345 453
  • 14. 25Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA “A” Edad actual de Juan Edad de José el 2004 Precio de un cuaderno Número de sobrinos Minuendo Sustraendo El número mayor disminuido en 4 Lo que le queda a Martha “B” Edad actual de Luis Edad de Sandra el 2001 S/. 4 6 Sustraendo Diferencia El número menor aumentado en 4 Lo que le queda a Paula INFORMACIÓN Juan nació el año 1994 y Luis en 1995 José nació el año 1993 y Sandra el año 1991 Si compro tres cuadernos me sobra S/.1 y para comprar 4 cuadernos me falta S/.2 Si les doy 5 caramelos a cada uno de mis sobrinos me sobran 3 y si quiero darles 6 caramelos a cada uno me faltarían 4. En una sustracción de números naturales. En una sustracción de números naturales. La suma de dos números es 28 y su diferencia es 8. Martha recibió su sueldo de S/.1 950 y una gratificación de S/.975, en cambio su hermana Paula recibió S/.3 450 pero gastó S/.495 5. Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre la columna “A” y “B”, deberás colocar “<”; “>”; “=” o si “no se puede determinar”. 1. Entre pollos, patos y pavos, un granjero tiene en total 75 aves. Si tuviera 12 pavos más, 4 patos más y 7 pollos menos, tendría una cantidad igual de aves de cada especie. Hallar el número de pollos. a) 24 b) 28 c) 32 d) 31 e) 35 2. De un salón “A” pasan al salón “B”, 15 alumnos, luego del salón “B” pasan 20 alumnos al salón “A”. Si al final “A” y “B” tienen 65 y 35 alumnos, ¿cuántos alumnos habían inicialmente en cada salón? a) 65 y 35 b) 55 y 45 c) 50 y 50 d) 60 y 40 e) 56 y 34 3. Cuando José nació, María tenía 15 años. Ambas edades suman hoy 20 años mas que la edad de Lucy que tiene 20 años. ¿Qué edad tiene Sofía, que nació 5 años después que José? a) 15 años b) 20 c) 17 d) 19 e) 12 4. Se tiene S/.76 en dos grupos de monedas, en uno hay monedas de S/.1 y en el otro de S/.0,50. Si del segundo grupo pasan al primero 16 monedas, los dos grupos tendrían igual valor. ¿Cuántas monedas se tienen? a) 56 b) 86 c) 76 d) 96 e) 106 5. La suma de las edades de un padre y su hijo es 35 años. Si el padre tuviera 17 años menos y el hijo 8 años más, los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene el padre? a) 25 años b) 40 c) 30 d) 45 e) 50 Autoevaluaciòn
  • 15. 26 Aplicación de la adición y la sustracción en lN Primer Año de Secundaria 1. Palabras y números * Completa las frases para que complete su significado. * Los números que faltan deben ser elegidos del conjunto dado. * Un número puede ser usado solamente una vez en cada caso. a) Tengo S/.________ y me falta S/. ________ para comprarme unos zapatos que cuestan S/.________. 78 - 99 - 176 - 98 b) Hace ___ años tenía ___ años de edad y dentro de ___ años tendré ___ años. 5 - 9 - 24 - 7 - 8 c) Compré un televisor en S/.______ y lo vendí en S/._____ ganando S/.______. 378 - 202 - 576 - 198 d) Perdí S/.______ por vender mi reproductor de DVD en S/.______ cuando a mí me había costado S/.______. 475 - 199 - 176 - 375 e) A una fiesta asistieron _____ personas y luego de retirarse ____ parejas quedaron _____ personas. 20 - 78 - 58 - 98 2. ¿Cuánto costó lo que al venderse en S/.2937 deja una pérdida de S/.129? 3. En una bodega había 12536 toneladas de cierto producto. Cuando terminaron los repartidores de llevarse sus cargas quedaron 789 toneladas. ¿Cuántas toneladas se llevaron los repartidores? 4. Una empresa que produce pan recoge de las tiendas el pan entregado que no se vendió. Un camión de la empresa recorre tres tiendas: en la primera tienda había dejado 180 bolsas y se vendieron 162; en la segunda había dejado 50 bolsas y se vendieron 47 y en la tercera tienda había dejado 96 bolsas y se vendieron 43. ¿Cuántas bolsas recoge el camión? 5. En una carrera los seis primeros atletas en llegar a la meta reciben un premio. El sexto recibe S/.35; el quinto recibe S/.25 más que el sexto y cada uno de los demás ganadores recibe S/.25 más que el que llega detrás. ¿Qué suma de dinero se reparte en total? 6. Se tienen 153 manzanas repartidas en dos canastas. Si a una de las canastas le quitamos 20 manzanas y a la otra le agregamos 17, las cantidades de manzanas en cada canasta serían iguales. ¿Cuántas manzanas hay en cada una de las canastas? 7. Juan, Pedro y Santiago recibieron una herencia de $19200. Según el testamento Pedro recibiría $1500 más que Juan y Santiago $1200 más que Pedro. ¿Cuánto recibió Pedro? 8. Dos depósitos tienen juntos 86 litros de agua. Si uno de ellos tiene 14 litros más que el otro, ¿cuántos litros se deben pasar del mayor al menor para que ambos tengan igual cantidad de agua? 9. Si hace 18 años tenía 15 años de edad, ¿qué edad tendré dentro de 22 años? 10.Al vender mi auto en $6900 estoy perdiendo $2500, ¿en cuánto debería venderlo para ganar $2100? 11.La suma de dos números es 31 y su diferencia es 3. Hallar los números. 12.La suma de dos números es igual al menor número de tres cifras y la diferencia de dichos números es igual a 2 decenas. Los números son: 13.Al sumar dos números se obtiene 50. Si el mayor excede al menor en 12, ¿cuál es el número mayor? 14.La suma de las edades de Pepe y Elizabeth es 66 años, ¿qué edad tiene Pepe si es 4 años mayor que Elizabeth? 15.Un comerciante compró dos bicicletas gastando en total S/.700. Una de ellas le costó S/.120 más que la otra, ¿cuál fue el precio de cada bicicleta? 16.Manuel tuvo su primer hijo a los 28 años de edad. Si hoy sus edades suman 36 años, ¿qué edad tiene su hijo? 17.Las edades de Pablo y su papá suman 54 años. Si cuando Pablo nació su padre tenía 30 años, ¿cuántos años tiene Pablo? 18.Pedro y Bertha tienen entre los dos S/.96. Si Pedro le diera S/.36 a Bertha, los dos tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 19.Un pintor y su ayudante cobraron S/.780 por un trabajo. Si el pintor le diera S/.90 a su ayudante los dos tendrían cantidades iguales. ¿Qué cantidad le corresponde al pintor? Tarea domiciliaria
  • 16. 27Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 20.Liz y Pablo van al teatro e ingresan a galería en lugar de platea, ahorrándose entre los dos S/.32. Si los precios de una entrada a galería y una a platea suman S/.84, ¿cuánto gastaron en entradas? • A continuación se muestra un cuadro de un vendedor de periódicos donde registró las ventas anuales de ciertos periódicos en la ciudad de Lima durante los años 2001 al 2005. Años El Comercio Perú21 Periódicos 2001 98654 51024 105684 103556 15850 2002 120302 53850 45862 101009 23580 2003 103990 61259 102457 100248 25002 2004 115858 985499 115246 94350 31745 2005 130073 109875 119953 59975 58981 Según estos datos: 21.¿Cuántos ejemplares se vendieron el 2003? 22.¿Cuántos ejemplares se vendieron los dos últimos años? 23.¿Cuántos ejemplares del Comercio y del Trome se vendieron desde el 2002 hasta el 2004 inclusive? 24.¿Cuál de los cinco periódicos tuvo record de ventas en los últimos tres años? 25.¿En el periodo 2001 - 2005 se vendieron más ejemplares del Bocón o de la República? ¿Cuántos más? • Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre la columna “A” y “B”, deberás colocar: “<”; “>”; “=” o si “no se puede determinar”. INFORMACIÓN Manuel compró un pantalón de S/.159 y consiguió una rebaja de S/.37, en cambio Marco compró uno de S/.225 pero obtuvo un descuento de S/.100 Joaquín sacó 35 puntos en la prueba de lenguaje y perdió 8 por ortografía, mientras que Carlos había sacado 40 pero le descontaron 15 Al vender un televisor en $258 estoy perdiendo $68 Dentro de tres años tendré 19 años de edad. La suma de los tres términos de una sustracción es 56. En una sustracción de números naturales. La suma de los tres términos de una sustracción es 48.
  • 17. 29Organización Educativa TRILCE COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO En este capítulo revisaremos otra operación matemática: LA MULTIPLICACIÓN. La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces. Por ejemplo: 2 x 5 significa 5 veces el 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 x 5 = 10 5 sumandos Elementos En la multiplicación encontramos los siguientes elementos: Multiplicando Multiplicador FACTORES Producto 7 x 8 = 56 También: Si efectuamos por ejemplo 945 x 23 9 8 9 7 4 2 3 0 3 5 3 5 5 x 1 2 0 0 2 8 1 FACTORES Multiplicando Multiplicador Primer Producto Parcial Segundo Producto Parcial Producto PROPIEDADES La multiplicación tiene propiedades muy parecidas a las de la adición. Veamos: 1. CLAUSURA Todas las multiplicaciones tienen un producto. Si: a  lN y b  lN entonces: a . b  lN Así por ejemplo: 45 x 3 = 135  lN 2. CONMUTATIVA El orden de los factores NO altera el producto. Así por ejemplo: 45 x 3 = 3 x 45 3. ASOCIATIVA Si multiplicamos tres o más factores y juntamos de a dos sin importar el orden, el producto no varía. Así por ejemplo: (3 x 4) x 7 = 3 x (4 x 7) 12 x 7 = 3 x 28 84 = 84 4. Tiene como ELEMENTO NEUTRO al UNO (1). Cualquier número por UNO es igual al mismo número. Así por ejemplo: 45 x 1 = 45 5. Su ELEMENTO ABSORBENTE es el CERO (0). Todo número multiplicado por CERO es igual a CERO. Así por ejemplo: 45 x 0 = 0 6. Es DISTRIBUTIVA con la adición y la sustracción. Así por ejemplo: * 45 x (7 + 2) = 45 x 7 + 45 x 2 45 x 9 = 315 + 90 405 = 405 * 45 x (7 - 2) = 45 x 7 - 45 x 2 45 x 5 = 315 - 90 225 = 225 TÉCNICAS OPERATIVAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Repasemos la técnica más conocida: 4 9 9 9 0 9 2 8 4 2 7 6 2 2 0 x 1 0 0 2 9 2 6 unidades por 497 2 decenas por 497 Producto Total Productos Parciales 4 9 9 9 9 9 7 8 4 2 7 0 x 2 21 0 4 2 9 21 2 6o también Al multiplicar la unidad seguida de ceros por un número natural, escribimos este número y le agregamos tantos ceros como haya después de la unidad. Ejemplos: a) 153 x 100 = 15 300 b) 43 x 1 000 = 43 000 c) 91 x 10 000 = 910 000  Multiplicación de números naturales4
  • 18. 30 Multiplicación de números naturales Primer Año de Secundaria Podemos también aplicar el cálculo mental en multiplicaciones sencillas, aplicando la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. Ejemplo: a) 9 x 17= 9 x (10 + 7) = 9 x 10 + 9 x 7 = 90 + 63 = 153 b) 14 x 12 = 14 x (10 + 2) = 140 + 28 = 168 1. Calcula: + , si: 3 7 x 37 Resolución: • En las unidades: 7 x = … 3  = 9 • En las decenas: 7 x 3 + 6 = 27 (pongo 7 llevo 2) • En las centenas: 7 x + 2 = 9  = 1 Finalmente: + = 9 + 1 = 10 2. Calcular la suma de cifras que van en los casilleros: 2 7 7 3 x 7 8 Resolución: • En el 1er. Producto parcial: Unid: 7 x = … 3  = 9, pues: 7 x 9 = 63 (pongo 3 llevo 6) Dec: 9 x 2 + 6 = 24 (pongo 4 llevo 2) Cent: 9 x + 2 = 7__   = 8, pues: 9 x 8 + 2 = 74 • En el 2do. Producto parcial: Podemos observar que es igual al multiplicando • Producto total: Simplemente sumamos 8 4 2 7 2 1 4 7 1 7 9 3 3 x 1 7 8 5 Nos piden: 8 + 1 + 9 + 4 + 4 + 2 + 1 + 5 + 7 + 1 + 3 = 45 3. Si: 453...99abc  , halla “ cba  ”.. Resolución: El multiplicador 99 lo podemos expresar como “100 - 1”, entonces tendríamos: 453...)1100(abc  Aplicando la propiedad distributiva: 453...1abc100abc  453...abc00abc  Ahora tenemos una sustracción por completar: - ... a b c a 4 0 b 5 0 c 3 De donde: c = 7 b = 4 a = 2 Nos piden “a + b + c” = 2 + 4 + 7 = 13 • Observación: El problema anterior se pudo también plantear tratando de reconstruir la multiplicación. Como el multiplicador es de dos cifras iguales, tendremos dos productos parciales iguales. Así: c 9 3 3 Donde: Productos parciales iguales b 9 2 3 5 a 2 2 4 0 0 0 2 x 9 x c = *3 c = 7 (pongo 3 llevo 6) 9 x b + 6 = *2 b = 4 (pongo 2 llevo 4) 9 x a + 4 = *2 a = 2 Piden: “a + b + c” = 2 + 4 + 7 = 13 BloqueI 1. Completa el siguiente cuadro, escribiendo la propiedad Ejercicios
  • 19. 31Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 1. En la siguiente multiplicación, indicar sus elementos: 3 2 4 2 6 - - 1 7 8 6 4 4 4  2. Indicar la propiedad respectiva en cada ejemplo: • 13  7 = 7  13  Propiedad ............................ • (2  5)  7 = 2  (5  7)  Propiedad ............................ • 1 352  1 = 1 352  Propiedad ............................ • 25  (3 + 5) = 25  3 + 25  5  Propiedad ............................ • 57  0 = 0  Propiedad ............................ 3. Efectuar: 4 2 3 1  4. Completar el siguiente cuadro, indicando la cifra en la que termina el producto. Par Impar 5  5. Completar el siguiente cuadro, indicando si el producto es “par” o “impar”. Par Par Impar Impar  • En los siguientes ejercicios, escribir las cifras que faltan • en cada casillero. 6. _ 3 6 _ 2 3 _ - - _ 7 _ 7. 1 _ 7 3 _ _ 4 - _ 8. _ 7 8 _ 7 9 _ - _ 9. _ 3 2 _ 2 _ 0 - 2 10. 7 _ 5 _ 1 _ 3 _ 6 Test de Aprendizaje
  • 20. 32 Multiplicación de números naturales Primer Año de Secundaria 5. En el siguiente cuadrado deberás completar los espacios en blanco para que los productos en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. 48 3 8 5 112 240 24 112 126 256 20 BloqueII 1. En la siguiente multiplicación, ¿por qué cifra debemos reemplazar a la letra “T”? 8 6 0 7 5 x9 3 0 7 T 1 T 2. Calcula: + si: 8 6 2 0 7 3 x9 6 0 7 3 1 4 • Reconstruye las siguientes multiplicaciones e indica lo que se pide. En cada casillero va una cifra (no necesariamente iguales). respectiva: EXPRESIÓN PROPIEDAD 9 x 7 = 7 x 9 5 x (6 + 9) = 5 x 6 + 5 x 9 7 x 13 x 0 x 2 = 0 7 x 13 = 91 34 x 1 = 34 15 x (8 – 3) = 15 x 8 - 15 x 3 23 x 0 = 0 (9 x 2) x 4 = 9 x (2 x 4) 1 x 3561 = 3561 2. Halla las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta: a) 0 7 3 0 7 0 x b) 8 0 0 7 4 x4 1 c) 0 7 3 0 7 6 x4 5 d) 0 9 4 0 7 7 x1 5 e) 0 7 3 0 7 6 x1 5 f) 0 9 3 0 7 3 x1 4 3. Efectúa las siguientes operaciones: a) 52 x 49 b) 408 x 74 c) 4 038 x 17 d) 5 081 x 24 e) 248 x 2 006 4. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila y escribe el símbolo “>” ; “<”; “=” o si “no se puede determinar” según corresponda: “B” 2 x 4 Elemento absorvente de la multiplicación El producto de 14 x 4 1 decena por 1 docena 6 veces 15 El multiplicador 13 veces 5 “A” El producto de los tres pri- meros números impares Elemento neutro de la multiplicación El producto de 7 por 8 1 x 2 x 3 x 4 x 5 7 docenas El multiplicando 5 veces 13 Practiquemos
  • 21. 33Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 1. Si: 1832aabc  2290babc  hallar: ababc  2. Si: 21816pmama  14544amama  hallar: papamama 3. Si: pqr × p = 502 pqr × q = 1255 pqr × r = 251 Hallar:   2 pqr 4. ¿En qué cifra termina el siguiente producto: A = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × ... × 1111 ? 5. ¿En qué cifra termina el siguiente producto: B = 2 × 4 × 5 × 6 × 8 × ... × 2468 ? 6. Sabiendo que: 1abcde 3 abcde1  Calcular "a + b + c + d + e" 7. Las letras de la siguiente igualdad representan las cifras de un número que multiplicado por 4 es igual a otro formado por las mismas cifras en orden inverso al inicial: EDCBA4ABCDE  Calcular "A + B + C + D + E" 3. Indica la suma de cifras del multiplicando: 8 9 2 0 7 4 x9 0 4. Calcula el multiplicador: 8 4 2 8 x9 1 5. Halla la suma de cifras del producto en: 7 2 5 x9 5 6. Calcula la suma de cifras del producto en: mnpaa493  7. Si: 2519m3abcd  ; calcula “a + b + c”.. 8. Si: 357...99abc  ; calcula “a . b . c”.. 9. Si: 54...ab37  ; calcula “a + b”.. 10.En la multiplicación que se muestra, las letras “A”; “B” y “C” representan dígitos diferentes. ¿Cuál es el valor de “B – C + A”? CAA7BA  BloqueIII
  • 22. 34 Multiplicación de números naturales Primer Año de Secundaria • Responder: 1. ¿Con qué nombre se le conoce al resultado de una multiplicación? 2. Hay alguna multiplicación que no tenga producto. 3. Para hallar el resultado de una multiplicación, ¿importa el orden de los factores? 4. ¿Se puede multiplicar tres o más factores a la vez? 5. ¿Qué sucede cuando uno de los factores es uno? y ¿cuando uno de los factores es cero? 6. ¿Con qué otra operación se podría relacionar la multiplicación? • Elige las cifras convenientes, todas distintas, y escríbelas en los casilleros para obtener dos números (uno de tres cifras y otro de dos cifras) y hallar su producto. El producto que se desea obtener en cada caso es el mayor posible y el menor posible. 7. Con las cifras del 0 al 9: x El mayor producto: ______________ El menor producto: ______________ 8. Con las cifras 5; 2; 4; 6 y 1 x El mayor producto: ______________ El menor producto: ______________ 9. Con las cifras 2; 7; 6; 1 y 8 x El mayor producto: ______________ El menor producto: ______________ 1. Si se cumple: REXA 4 AXER  hallar: R + E + X + A a) 17 b) 18 c) 19 d) 21 e) 24 2. Si se cumple: CPV6 9 Ennn  hallar: C E P V n    a) 4 b) 3 c) 2 d) 6 e) 5 3. Hallar la suma de cifras del producto en:  3 6 1 1 9 a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 14 4. Si se cumple: CEPVn7 5 = 7CEPVn hallar “C + E + P + V + n” a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 5. Si se cumple: mnp 37 abcde  , y además se sabe que la suma de los productos parciales es 3 450, hallar “m + n + p + a”. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 Autoevaluaciòn Tarea domiciliaria
  • 23. 35Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 10.Con las cifras 9; 2; 3; 5 y 1 x El mayor producto: ______________ El menor producto: ______________ 11.¿En qué cifra termina el resultado de multiplicar: 485 × 472 × 977 × 79 ? 12.Indicar la suma de cifras del producto total en: 5 7 x 3 9 0 5 4 13.Completa la siguiente multiplicación e indica la suma de cifras del tercer producto parcial. 9 4 x 3 7 9 4 97 14.Si “A” representa a un número impar de dos cifras diferentes y “B” representa a un número de tres cifras diferentes. Hallar el menor valor de “A x B”. 15.Indicar la suma de cifras del producto total en: 4 x 3 7 2 7 16.Indicar la suma de cifras del segundo producto parcial en: 7 9 x 0 3 17.Hallar “F + E”, en: F F 4 4 G E E 9A 6 D x B C 9 18.Si: abc 9 ...223  hallar “a × b × c” 19.Si: abc 99 ...854  hallar “a × b × c” 20.Sabiendo que: abc 23 ...872  hallar “a + b + c” 21.En el siguiente cuadro deberás completar los espacios en blanco para que los productos en las filas, columnas y diagonales principales se verifiquen. 2 3 140 36 28 196 30 24 42 84 Dar como respuesta la suma de los números de la diagonal que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho. 22.Observa: 17 × 17 × 17 = 4913, si ahora sumamos las cifras del resultado: 4 + 9 + 1 + 3 volvemos a tener 17. Lo mismo sucede con: 18 x 18 x 18 = 5832 5 + 8 + 3 + 2 = 18 Podrías decir, ¿cuál de los siguientes números tiene esta curiosa propiedad? a) 28 b) 24 c) 26 d) 30 e) 33 23.Hallar: TRILCE 19 , sabiendo que: 7 R 0 0 4 T T 4 C 4 4 E L R L T R R 9 9 I 9 L C R I C x C C 24.Si: x y z 9 9 9 ...4 3 1  , calcular la suma de cifras del multiplicando.
  • 24. 37Organización Educativa TRILCE COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO Lectura: ¿Las divisiones son un asunto difícil? Para muchas personas la división en general es más complicada que la multiplicación y aunque ahora podemos resolverla con gran facilidad, no siempre fue así. En la antigüedad se consideraba “sabio” a quien hacía correctamente y con rapidez las divisiones; cada “maestro en división” (algo así como especialista) debía comunicar a los demás el resultado de determinados casos de esta operación. Algunas veces, encendiendo un cerillo con un movimiento habitual, todavía reflexionamos sobre cuánto trabajo costó a nuestros antecesores, inclusive no muy remoto, la obtención del fuego. Empero pocos sospechan que a los actuales métodos de realización de las operaciones aritméticas tampoco fueron, en su origen, así de sencillos y cómodos para que en forma tan rápida y directa condujeran al resultado. Nuestros antepasados emplearon métodos muchos más lentos y engorrosos, y si uno de ustedes, alumno del primer año de secundaria del siglo XXI (del Colegio Trilce, por supuesto) pudiera trasladarse tres o cuatro siglos atrás , sorprendería a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus cálculos aritméticos. El rumor acerca de ustedes recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegarían personas a aprender del nuevo gran maestro el arte de calcular. Particularmente difíciles y complejas eran en la antigüedad las operaciones de la multiplicación y la división; esta última en mayor escala. “La multiplicación es mi martirio, y con la división es la desgracia” decían entonces. Pero aún no existía, como ahora, un método práctico elaborado para cada operación. Por el contrario, estaba en uso simultáneo casi una docena de diferentes métodos de multiplicación y división con tales complicaciones que su firme memorización sobrepasaba a las posibilidades del hombre medio. Cada “maestro de la división” exaltaba su método particular al respecto. En el libro de V. Belustino: “Cómo llegó la gente gradualmente a la aritmética actual” (1911), aparecen 27 métodos de multiplicación, y el autor advierte: “es muy posible que existan todavía métodos ocultos en lugares secretos de bibliotecas, diseminados fundamentalmente en colecciones manuscritas”; y todos estos métodos de multiplicación: “ajedrecístico o por organización”, “por inclinamiento”, “por partes”, “por cruz pequeña”, “por red”, “al revés”, “por rombo”, “por triángulo”, “por cubo o copa”, “por diamante”, y otros, así como todos los métodos de división, que tenían nombres no menos ingeniosos, competían unos con otros tanto en voluminosidad como en complejidad. Tomado del libro: “ARITMÉTICA RECREATIVA” Autor: Yakov Isidorovich Perelman. División de números naturales5
  • 25. 38 División de números naturales Primer Año de Secundaria DIVISIÓNDENÚMEROSNATURALES Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos números naturales llamados dividendo y divisor, hallar un tercero llamado cociente, que nos indica cuantas veces contiene el dividendo al divisor. ELEMENTOS 235 217 18 31 7 Divisor (d) Cociente (q) Dividendo (D) Residuo (r) Algoritmo de la división D = d . q + r También: D r d q CLASES DE DIVISIÓN • División exacta Es cuando no tiene residuo. D 0 d q D = d q r = 0 Ejemplo: 1001 7 7 143 30 28 21 21 - - 0 0 0 00 00 00 Donde: 1 001 = 7 x 143 • División inexacta Es cuando existe residuo. D r d q D = dq + r r 0 Ejemplo: 4489 13 39 345 58 52 69 65 -4 0 0 00 00 00 4489 = 13 x 345 + 4 PROPIEDADES 1. 0 < Residuo < divisor 2. Rmáximo = divisor – 1 Rmínimo = 1 * OBSERVACIONES • 24 : 8 = 3 pues: 8 x 3 = 24 • 24 : 1 = 24 pues: 1 x 24 = 24 • 24 : 24 = 1 pues: 24 x 1 = 24 • 0 : 24 = 0 pues: 24 x 0 = 0 • 24 : 0 = ¿? NO ESTÁ DEFINIDO porque no existe ningún número natural que multiplicado por CERO dé 24. • 0 : 0 = ¿? INDETERMINADO porque cualquier número natural multiplicado por CERO da CERO. Entonces hay que evitar: 0 0 y 0 D 1. Si cada figura representa una cifra, completar: 6 0 0 0 0 0 5 2 0 03 0 0 4 0 0 8 Resolución: 6 0 0 0 0 0 5 2 0 03 0 0 4 0 0 8 3 2 1 6 2 2 2 Luego: 6 0 + 3 = 6 3 5 = 01 62 2. Indicar la suma de cifras halladas, luego de reconstruir la siguiente división: 0 0 09 3 3 8 0 2 Resolución: • x 3 = 3  = 1 • 3 1 + 8 = 9  = 3 • x 3 =  = 6 = 2 Nos piden: 3 + 3 + 1 + 3 + 6 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 23 3. Calcular el dividendo de una división donde el divisor es 23, el cociente 31 y el residuo resultó ser mínimo. 0 0 09 3 3 8 3 1 6 2 21 1 0 2 3 1 3 E j e r c i c i o s
  • 26. 39Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA Resolución: Los datos son: d = 23 q = 31 Rmín = 1 (por propiedad) Luego, sabemos que: D = d x q + R D = 23 x 31 + 1 D = 713 + 1 D = 714 4. En una división el cociente es 37, el divisor es 52 y el residuo el máximo posible. Hallar el dividendo. Resolución: Los datos son: q = 37 Rmáx = d - 1 d = 52 Rmáx = 52 – 1 = 51 Luego: D = d x q + R D = 52 x 37 + 51 D = 1975 5. Al dividir el número 1781 entre un número de dos cifras se obtuvo de residuo 98. Hallar el cociente. Resolución: Los datos son: D = 1781 d = Un número de dos cifras R = 98 Recordemos que el R < d entonces el único valor que puede tomar el divisor es 99 (pues debe ser de dos cifras y mayor que el residuo 98). Luego: D = 1781 d x q + R = 1781 99 x q + 98 = 1781 99 x q = 1781 - 98 99 x q = 1683 q = 17 BloqueI 1. En la siguiente división, indicar los elementos: 3 3 7 5 2 5 7 2. Efectuar: 43 7 71 3. Indicar el residuo que resulta al dividir el mayor número de tres cifras con el menor número de dos cifras. 4. Al dividir un número entre 7, el residuo resultó lo mayor posible. ¿Cuál fue el residuo? 5. Al dividir un número entre 25, el residuo resultó lo menor posible. ¿Cuál fue el residuo? En los siguientes ejercicios, escribir las cifras que faltan en cada casillero. 6. 8 0 8 6 7. 7 4 1 4 4 3 2 0 8. 9 4 1 0 4 1 9. 1 1 5 6 9 10. 6 4 8 8 2 1 1 2 2 Test de Aprendizaje
  • 27. 40 División de números naturales Primer Año de Secundaria 1. Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno: a) 1 234  8 b) 1 208  11 c) 6 492  13 d) 5 043  14 e) 2 396  17 f) 19 827  121 2. Escribe en el casillero el número que falta para que la operación sea correcta: a) 3 x = 39 b) 5 x = 75 c) 7 x = 154 d) 13 x = 169 e) 21 x = 1 869 f) 73 x = 7 008 3. Efectúa las siguientes divisiones comprobando el resultado en cada una: División q R D = d x q + R 84  5 16 4 84 = 5 x 16 + 4 94  7 105  9 113  37 117  28 2315  86 4. Al dividir "N" entre 15 se obtuvo 14 de cociente y su residuo fue el mínimo posible. Hallar "N". 5. Al dividir "P" entre 22 se obtuvo 12 de cociente y el residuo el máximo posible. Hallar "P". BloqueII • Reconstruir las siguientes divisiones e indicar en cada caso lo que se pide: 1. Indica el dividendo. 7 0 0 0 0 0 0 0 02 6 3 0 0 0 0 03 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 03 2. Da como respuesta la suma de cifras halladas. 0 00300 3 0 00 5 2 0 08 0 0 00 0 0 0 0 02 3 3. Da como respuesta la suma del dividendo más el divisor. 0 00 0 3 0 00 1 2 01 0 04 0 0 05 1 4. Indica la suma de la menor y mayor cifra encontrada. 7 00 0 3 0 00 1 01 0 02 0 07 1 5. Indica el producto de cifras del dividendo. 7 00 0 1 0 00 5 06 0 05 0 03 17 6. Calcula la suma de las cifras halladas. 7 00 0 1 0 00 8 01 0 05 0 03 19 7. Calcula el cociente. 6 00 0 0 00 03 0 05 0 03 83 8. Indica la suma de cifras halladas. 7 00 0 0 00 09 0 05 0 03 1 6 2 9. Indica la suma de cifras del dividendo. Practiquemos
  • 28. 41Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 7 00 0 2 0 00 03 6 0 05 0 03 11 2 5 6 7 10.Indica el producto de cifras halladas. 7 00 0 0 08 03 1 0 05 03 6 2 2 3 Bloque III 1. Hallar la suma de cifras del dividendo, luego de reconstruir la siguiente división. 00 00 0 03 0 05 03 9 2 3 00 00 0 05 7 8 1 3 4 2. ¿Cuál es el mayor valor del dividendo, luego de reconstruir la siguiente división? 000 03 005 03 3 2 3 00 00 0 9 6 3 3. Reconstruir la siguiente división e indicar la suma de cifras del dividendo. 000 03 005 3 8 3 00 00 9 8 009 4. Hallar la suma de cifras del cociente. 000 03 005 3 3 00 4 2 0 9 009 4 2 8 5. Hallar la suma de las cifras encontradas en: 000 03 005 3 9 6 1 8 30 3 6. Se divide “N” entre un número de dos cifras obteniéndose como cociente 998 y como residuo 98. Hallar “N”. 7. Al efectuar una división se notó que el divisor es el triple del cociente y el residuo fue el doble del cociente. Si el dividendo es 261, ¿cuál fue el residuo? 8. Al dividir “A” entre “B” el cociente fue 7 y el residuo el más grande posible. Si “A + B” es igual a 107, hallar “A...B”. 9. En una división el cociente es 63 y el divisor 49. Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo resultó máximo. 10.Coloca las cifras del 1 al 6, empezando por la izquierda, de manera que el número formado por la 1era. y 2da. cifra se pueda dividir entre 2; el número formado por la 2da. y 3era. cifra se pueda dividir entre 3; y así sucesivamente, hasta que el formado por la 5ta. y 6ta. cifra se pueda dividir entre 6. ¡Ah! Se me olvidaba, el número secreto empieza en 1.
  • 29. 42 División de números naturales Primer Año de Secundaria 1. Completa las siguientes expresiones con algunas de las palabras del recuadro: también se duplica cero dividendo cociente igual menor no varía mayor residuo uno el divisor menos uno divisor a) Los términos de una división son: _________________________________ _________________________________ _________________________________ y _________________________________ b) El residuo máximo es ________________________ c) El residuo mínimo es _________________________ d) El residuo siempre será ____________ que el divisor. e) Si duplicamos el dividendo y el divisor, el cociente ________________________ 2. ¿Por qué se dice que 0 : 0 (cero entre cero) es indeterminado? 3. ¿Es posible la división entre cero?, ¿Por qué? 4. ¿La división cumple la propiedad conmutativa? Ejemplos 5. ¿Qué ocurre con el cociente y con el residuo de una división, si triplicamos el dividendo y el divisor? 6. Dividir 1548935  15 e indicar el cociente. 7. Dividir 948561  102 e indicar la suma de cifras del cociente. 8. Dividir 9756861  13 e indicar el residuo. 9. Efectuar 462358  15 e indicar el cociente. • Reconstruya las siguientes divisiones e indica lo que se pide en cada caso: 10.Hallar la suma de cifras del dividendo. 3 2 84 1 0 6 9 4 8 1. La suma de dos números es 579, su cociente es 28 y el residuo lo máximo posible. Hallar el menor de los números. a) 22 b) 20 c) 21 d) 24 e) 28 2. En una división el residuo es 22 y la suma del dividendo más el cociente es 994. Además el divisor es 26, hallar el cociente. a) 8 b) 6 c) 7 d) 9 e) 12 3. Si al dividendo de una división se le agregan 72 unidades, el cociente y el residuo aumentan en 3. Hallar el divisor. a) 27 b) 24 c) 22 d) 26 e) 23 4. Si cada * representa una cifra, hallar la suma de cifras del dividendo. a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27 5. Hallar el menor número que multiplicado por 21, se obtenga un número formado por solo cifras “dos”. Dar por respuesta la suma de sus cifras. a) 13 b) 14 c) 16 d) 12 e) 11 Tarea domiciliaria Autoevaluaciòn
  • 30. 43Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 11.Indicar el cociente. 2 4 6 3 3 12.Indicar la suma de cifras del cociente. 5 7 7 5 6 2 13.Hallar la suma de cifras del dividendo. 2 3 9 4 8 1 5 1 9 1 14.Indicar el producto de cifras del cociente. 9 9 2 2 8 1 3 6 15.Indicar el cociente. 2 5 3 2 5 0 9 5 5 - - - 1 16.Hallar la suma de cifras del dividendo. 3 9 1 7 8 4 7 3 3 5 17.Calcular el dividendo. 8 9 1 4 4 8 - - 18.Indicar la suma del dividendo más el divisor. 4 2 1 7 2 7 1 2 8 2 5 2 9 2 5 3 19.Dar como respuesta la suma de cifras del cociente: 2 4 8 2 - - 20.Dividir el menor número de cuatro cifras diferentes entre el mayor número de dos cifras. Dar como respuesta el residuo obtenido. 21.Dividir el complemento aritmético de 5384671 entre el complemento aritmético de 85 e indicar el residuo. 22.Al dividir “N” entre 11 se obtuvo 17 de cociente y 9 de residuo. Hallar “N”.
  • 31. 44 División de números naturales Primer Año de Secundaria 23.Al dividir 418 entre cierto número “d”, se obtuvo 15 de cociente y 13 de residuo. Hallar el número “d”. 24.Luego de dividir “N” entre 102 se observó que el cociente fue 15 y el residuo el mayor posible. Hallar “N”. 25.En una división el cociente es 65 y el divisor 48. Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo resultó máximo. 26.En una división el cociente es 37 y el divisor 52. Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo resultó mínimo. 27.Se divide “N” entre un número de dos cifras obteniéndose como cociente 715 y como residuo máximo 98. Hallar “N”. 28.Al dividir “A” entre “B” el cociente fue 7 y el residuo el más grande posible. Si “A + B” es igual a 269, hallar “A.B”. 29.Al efectuar una división se observó que el divisor es el triple del cociente y el residuo el doble del cociente. Si el dividendo es 320, ¿cuál fue el residuo?
  • 32. 45Organización Educativa TRILCE COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO En el presente capítulo desarrollaremos problemas y ejercicios relacionados con la aplicación de la multiplicación y división de números naturales. Recordaremos que LA MULTIPLICACIÓN es una suma de sumandos iguales y por lo tanto nos será de mucha utilidad cuando tengamos que sumar un mismo valor varias veces, como por ejemplo ¿cuánto gastaré en comprar 23 pelotas de S/. 15 cada una? Si un alumno no conociera la operación “multiplicación”, lo más probable es que sume: 15 + 15 + 15 + . . . (23 veces) Utilizando la multiplicación, será simplemente efectuar: 15 x 23 = 345 Por lo tanto necesitaré S/. 345 para comprar las 23 pelotas. Y así nos encontramos a diario con muchas situaciones donde nos es muy útil la multiplicación. De igual modo recordemos LA DIVISIÓN, una operación inversa a la multiplicación que tiene que ver con el “repartir” en forma equitativa (en partes iguales). Por ejemplo: Si dispongo de un millar de papel y deseo repartirlo entre los 32 alumnos del aula, ¿cuánto le corresponde a cada uno? ¿el reparto será exacto o sobrarán papeles? ¿Cuántos? y si no deseo que sobren papeles, ¿cuántos adicional al millar deberé llevar?, es claro que para resolver dichas situaciones recurrimos a la división: Dividimos 1000 : 32, el resultado (cociente) nos indica cuántas veces contiene el dividendo (1000) al divisor (32) 1 000 40 8 32 31 Luego, a cada alumno le daré 31 papeles, el reparto no es exacto pues hay un residuo que nos indica que me sobrarán 8 papeles. Ahora si no deseo que me sobre tendré que agregar al millar: 32 – 8 = 24 papeles. Es en realidad muchas las situaciones de nuestra vida cotidiana donde aplicamos estas dos operaciones y muchas de ellas las resolvemos de una manera muy natural. Es claro que no podremos abarcar en su totalidad los diversos tipos de problemas relacionados con la multiplicación y la división; a continuación se muestran algunos problemas resueltos el cual esperamos les sirva de guía para resolver los problemas propuestos. Aplicación de la multiplicación y la división en lN6
  • 33. 46 Aplicación de la multiplicación y la división en lN Primer Año de Secundaria 1. Un auto viaja en una pista libre a una velocidad constante de 54 km por hora, ¿qué distancia habrá recorrido en tres horas? Resolución: Una velocidad constante de 54 km por hora significa que cada hora el auto recorre 54 km. Entonces en tres horas recorrerá: 54 x 3 = 162 km Rpta.: Recorre 162 km 2. Se cargan 5 camiones con 9 cajas de 24 kg cada una y 11 cajas de 17 kg cada una. ¿Cuántos kilogramos se cargaron en total? Resolución: Veamos primero para un camión: 9 cajas de 24 kg c/u: 9 x 24 = 216 kg 11 cajas de 17 kg c/u: 11 x 17 = 187 kg Es decir que en un camión se cargan: 216 + 187 = 403 kg Por lo tanto en 5 camiones habrá un total de: 403 x 5 = 2 015 kg Rpta.: Se cargan en total 2 015 kg 3. Se repartieron 487 plumones entre un grupo de estudiantes, tocándole a cada uno 15 plumones y sobrando en el reparto 7 plumones. ¿Cuántos alumnos formaban dicho grupo? Resolución: De los 487 plumones que se tenían sobraron 7, es decir que se pudo repartir exactamente: 487 – 7 = 480 plumones. Y como a cada uno le tocó 15 plumones, con una división averiguaremos cuántas veces contiene 480 a 15: 480 45 30 30 - - 15 32 Rpta.: El grupo estuvo integrado por 32 alumnos 4. Un librero encarga a dos vendedores 30 libros iguales a cada uno. Uno de ellos debe vender 2 por S/.20 y el otro 3 por S/.20. Creyendo hacer más sencillo su trabajo de venta deciden juntar todos los libros y vender a 5 por S/.40. ¿Gana o pierde el librero? ¿Cuánto? Resolución: • Primer vendedor Con 30 libros puede formar 15 grupos de 2 (pues lo debe vender de a 2) Si vende los 15 grupos recaudaría: 15 x S/.20 = 300 soles • Segundo vendedor Con 30 libros puede formar 10 grupos de 3 (pues lo debe vender de a 3) Si vende los 10 grupos recaudaría: 10 x S/.20 = 200 soles Es decir que el librero recibiría en total: 300 + 200 = 500 soles Pero ahora veamos lo que sucede si se junta y hacen grupos de 5: Tendrían en total: 30 + 30 = 60 libros, con los cuales pueden hacer 12 grupos de 5 (pues decidieron venderlo en grupos de a 5). Si venden los 12 grupos recaudarían: 12 x S/.40 = 480 soles En este segundo caso el librero sólo recibiría 480 soles, es decir 20 soles menos. Rpta.: El librero pierde S/.20 5. Si 19 pelotas cuestan S/.57, ¿cuántas pelotas podré comprar con S/.459? Resolución: Averigüemos primero el precio de cada pelota, para ello dividimos: 57 : 19 = 3 soles Si cada pelota cuesta S/.3 entonces averiguaremos cuantas veces contiene 459 a 3, dividimos: 459 15 9 - 3 153 Rpta.: Podré comprar 153 pelotas BloqueI 1. Un automóvil viajó durante tres horas a una velocidad E j e r c i c i o s
  • 34. 47Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA constante de 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrió? 2. En un bosque de 37 hectáreas hay 1 215 árboles por hectárea. ¿Cuántos árboles tiene el bosque? 3. Alfredo compra tres camisas a S/. 65 cada una y cuatro pantalones a S/. 85 cada uno. ¿Cuánto gastó? 4. Enuna fábrica de telasse compraron57docenasde carretes de hilo a S/. 106 el carrete. ¿Cuánto se gastó en hilo? 5. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 34 cajas de 10 kg y con 21 cajas de 7 kg. ¿Cuántos kilogramos se cargó? 6. Se desea guardar 427 envases de jugo en cajas en las que sólo caben 24 envases. ¿Cuántas cajas se llenan? y ¿cuántos envases sobran? 7. Se desea transportar 140 personas en camionetas en las que caben 12 pasajeros. ¿Cuántas camionetas se necesitan? 8. ¿Cuál es el número máximo de personas, todas de 70 kilos, que pueden subir a un ascensor que soporta una carga máxima de 450 kilos? 9. Un bus tiene una capacidad para 38 personas y no puede llevar pasajeros de pie. Para desplazar a 400 personas, ¿cuántos viajes por lo menos deberá realizar? 10.El año pasado (2006) un fumador gastó S/. 1 095 en cigarrillos. Si todos los días gastó la misma cantidad de dinero, ¿cuánto gastó durante una semana en su vicio? BloqueII 1. Se cuenta con S/.832 para comprar discos que cuestan S/.95 cada uno. a) ¿Para cuántos discos alcanza? y b) ¿Cuánto dinero me faltaría para comprar un disco más? 2. Si 19 pelotas cuestan S/.76, ¿cuántas pelotas compraría con S/.323? Un comerciante no se decide por comprar lapiceros, plumones o colores. Se sabe que la docena de lapiceros cuesta S/.6, la docena de colores cuesta S/.12 y la docena de plumones S/.24. Con esta información, responder: 1. ¿Cuánto gastará, si compra 6 docenas de plumones? 2. ¿Cuánto gastará, si compra 8 docenas de lapiceros? 3. ¿Cuánto gastará, si compra 7 docenas de colores? 4. ¿Cuál es el precio por unidad de los lapiceros? 5. ¿Cuál es el precio por unidad de los plumones? 6. ¿Cuál es el precio por unidad de los colores? 7. Si compra 2 docenas de colores y 3 docenas de plumones, ¿cuánto gastará? 8. Si compra una docena de cada producto, ¿cuánto gastará? 9. Si compra 3 docenas de plumones y 6 docenas de lapiceros, ¿cuánto gastará? Practiquemos Test de Aprendizaje
  • 35. 48 Aplicación de la multiplicación y la división en lN Primer Año de Secundaria • Medidas de longitud: 1 kilómetro <> 1000 metros 1 metro <> 100 centímetros <> 1 000 milímetros 1 centímetro <> 10 milímetros • Medidas de tiempo: 1 año bisiesto = 366 días 1 año no bisiesto = 365 días 1 día <> 24 horas 1 hora <> 60 minutos 1 minuto <> 60 segundos • Medidas de capacidad: 1 tonelada <> 1 000 kilogramos 3. Una señora tiene tres hijas, cada hija tiene en el jardín tres rosales y cada rosal tiene tres ramas. Además cada rama tiene un ramillete de tres rosas y sobre cada rosa se posan 2 abejas. ¿Cuántas abejas hay en los rosales? 4. De un frasco de botones se utilizaron 6 botones para cada uno de los 27 sacos y sobraron 3 botones. ¿Cuántos botones había en el frasco? 5. Se reparten 342 plumones entre un grupo de estudiantes, tocándole a cada uno 7 y quedando de la repartición 27 plumones. ¿De cuántos alumnos estuvo formado dicho grupo? 6. Se reparte 1473 hojas entre los alumnos de un colegio. Cada alumno recibió 6 hojas y sobraron en la repartición 183 hojas. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio? 7. Un comerciante compra 16 máquinas de coser a S/.408 cada una; 27 equipos de sonido a S/.732 cada uno y 19 lavadoras a S/.652 cada una. ¿Cuánto pagó Juan trabaja 8 horas diarias de lunes a viernes mientras que Daniela trabaja 7 horas diarias de lunes a sábado. Pablo vive en un edificio de 5 pisos con 4 departamentos por piso y Raúl vive en uno de 12 pisos con 2 departamentos por piso. En un mercado venden 7 manzanas por S/. 21 y 10 naranjas por S/. 20 Luis estudia inglés 2 horas diarias de lunes a viernes y Federico sólo los sábados y domingos de 8:00 a.m. a 1:00 p.m. Víctor gasta S/.120 diarios en víveres y Aníbal gasta S/.200 tres veces a la semana. Horas que trabaja Juan a la semana Número de departamentos del edificio donde vive Raúl Costo de 13 manzanas Número de horas semanales que estudia Luis inglés Lo que gasta Víctor en cinco días Horas que trabaja Daniela a la semana. Número de departamentos del edificio donde vive Pablo. Costo de 19 naranjas. Número de horas semanales que estudia Federico inglés. Lo que gasta Aníbal en una semana. INFORMACIÓN “A” “B” por todo? 8. El hotel LIMA cobra durante los primeros 7 días S/.50 diarios por persona y a partir del octavo día reduce su tarifa a S/.40 diarios por persona. ¿Cuánto gastarían dos personas que pasan 10 días en ese hotel? 9. Un comerciante posee 7 camiones que en determinado momento cada camión lleva una carga de 100 cajones de 85 tomates cada uno. ¿Cuántos tomates se llegarán a vender si al descargar los camiones se encuentra que 7 de cada cajón se malograron durante el viaje? 10.En la tienda, los pantalones de lana cuestan $ 70, los pantalones de algodón $ 50 y las corbatas $ 12. El sábado, tenían una promoción: “Si compra un pantalón de lana, le regalamos una corbata”. Ese día recaudaron $ 2 540. Si habían vendido 34 pantalones y habían regalado 15 corbatas, ¿cuántas corbatas vendieron? BloqueIII Comparación cuantitativaA continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre la columna “A” y “B”, deberás colocar “<”; “>”; “=” o “no se puede determinar”. Justifica tus respuestas. APLICACIÓN: Una de las aplicaciones más importantes de la multiplicación y la división es para hacer conversiones entre unidades de medidas. En esta parte recordaremos algunas equivalencias:
  • 36. 49Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 1. Luchito empezó a ahorrar de la siguiente manera: 1 sol diario durante enero, 2 soles diarios durante febrero y 3 soles diarios durante marzo. ¿Cuánto ahorró en total Luchito, si se sabe que esto lo hizo en el año 2000? a) S/.180 b) 170 c) 182 d) 172 e) 192 2. Un operario textil produce 20 polos en cada hora. ¿Cuántos polos producirán en 2 días, 3 operarios con las mismas características? a) 1 800 b) 2 880 c) 3 200 d) 1 780 e) 4 700 3. Un comerciante invirtió S/.330 en comprar sobres y lapiceros. Si cada sobre le costó 1 sol y cada lapicero 2 soles, ¿cuántos artículos compró, si se sabe que la cantidad de sobres es la misma que de lapiceros? a) 220 b) 230 c) 212 d) 240 e) 252 4. Se compró cierto número de cuadernos a S/.720 y se vendió todo por S/.2 231, ganando por cada cuaderno 3 soles. ¿Cuántos cuadernos compré? a) 430 b) 227 c) 745 d) 837 e) 267 5. Se compró 27 maletines a S/.32 cada uno. ¿A cuánto se debe vender cada maletín para obtener una ganancia total de S/.243? a) S/.36 b) 42 c) 41 d) 37 e) 39 1 kilogramo <> 1 000 gramos 1 litro <> 1 000 mililitros • Ahora realiza las operaciones necesarias y responde las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántos metros hay en 7 km? 2. ¿Cuántos kilómetros y metros hay en 15 721 metros? 3. ¿Cuántas horas hay en una semana?, y ¿en un año no bisiesto? 4. ¿Cuántos minutos hay en un día?, y ¿en una semana?, y ¿en un mes? 5. ¿Cuántas horas y minutos hay en 1350 minutos? 6. ¿Cuántos días hay en 2 592 horas? y ¿en 5 040 horas? 7. ¿Cuántas horas tiene el mes de abril?¿y mayo? 1. Al querer empacar 144 tarros de leche, de qué forma NO se podría hacer: a) 12 cajas de 12 tarros cada una. b) 16 cajas de 9 tarros cada una. c) 4 cajas de 36 tarros cada una. d) 36 cajas de 4 tarros cada una. e) 16 cajas de 8 tarros cada una. 2. En una caja hay 8 paquetes de plastelina y en cada paquete de plastelina hay 10 de ellas. ¿Cuántas plastelinas habrá en 12 cajas? 3. Se dispone de 5 micros para transportar 134 personas. ¿Cuántas personas deben ir en cada micro para que queden repartidas de la manera más pareja posible? 4. Se efectúa una compra de 27 cajas de tizas. Si cada caja trae 50 tizas y todas son distribuidas entre 18 profesores, ¿cuántas recibe cada uno? 5. Un lapicero cuesta S/. 2 y un cuaderno S/. 3. Si quiero comprar 5 lapiceros y 9 cuadernos, ¿cuánto dinero necesito? 6. Un comerciante gastó en la compra de 23 televisores iguales S/. 17457, ¿cuánto costó cada una? 7. Si 35 polos cuestan 490 soles, ¿cuánto pagaré por 16 polos? 8. Carmen camina 28 km a la semana. Si cada día camina la misma distancia, ¿cuántos km camina durante un año no bisiesto? Autoevaluaciòn Tarea domiciliaria
  • 37. 50 Aplicación de la multiplicación y la división en lN Primer Año de Secundaria 9. Don Nicolás hace 5 viajes al día transportando 36 cajas con 72 tarros de conservas cada una. ¿Cuántos tarros transporta Don Nicolás al día? 10.El profesor Luis tiene 48 alumnos y quiere repartirles 13 láminas a cada uno. ¿Cuántas láminas necesita? 11.El ministerio de salud dispone de 27600 vacunas contra el sarampión, las que deben repartirse en partes iguales entre 23 consultorios de Lima Metropolitana. ¿Cuántas vacunas recibirá cada consultorio? 12.Un comerciante compra 560 cajas de galletas y paga en total S/. 11760. ¿A cuánto debe vender la caja, si quiere ganar S/. 5 por cada una? 13.Se cuenta con $ 3832 para comprar discos que cuestan $ 95 cada uno. ¿Para cuántos discos alcanzan? 14.Doña Elena abrió una caja de 48 bombones el sábado y la compartió con su esposo y sus 6 hijos en partes iguales. Si el domingo compartieron otra caja de igual tamaño y todos comieron la misma cantidad, ¿cuántos bombones comió cada integrante de la familia el fin de semana? 15.Una sala de cine tiene 27 filas y 28 butacas en cada una. Todas las butacas están numeradas empezando en la primera fila. ¿En qué fila se encuentra la butaca 398? 16.Para el alumbrado público un grupo de vecinos aporta cada uno $ 215 faltando todavía $ 27 para cancelar. ¿Cuántos vecinos integran dicho grupo, si se sabe que la deuda total es de $ 15507? 17.Un anciano tiene siete casas en cada una de siete ciudades distintas. En cada casa hay 7 graneros y en cada granero hay 7 ratones. Cierto día cada ratón comió 7 granos de trigo. ¿Cuántos granos de trigo comieron en total los ratones ese día? 18.Liliana compró tres blusas a S/. 65 cada una y tres faldas a S/. 115 cada una. ¿Cuánto gastó? 19.Se cargaron 24 camionetas, cada una con 15 cajas de 12 kg y con 12 cajas de 11 kg. ¿Cuántos kilogramos se cargaron? 20.Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores, es decir sólo se puede dividir entre dos números: La unidad y el mismo número. Si multiplicas los primeros 100 números primos, ¿en qué cifra terminará el resultado?. Justifica tu respuesta. 21.Pablo ganó este mes S/. 750, le dio la mitad a su mamá, luego de lo que le quedó gastó la tercera parte en ropa. ¿Cuánto le queda de dinero? 22.Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15 de propina a cada uno de mis 7 sobrinos, ¿me falta o me sobra? ¿cuánto? Información Columna “A” Columna “B” Francisco corrió 6500 m en 2 horas y Rodrigo 7200 m en 3 horas En Saga venden 3 televisores en $750 y 4 reproductores de DVD en $960 Pedro lee 18 páginas en 9 minutos y Valeria lee 6 páginas en 2 minutos Luisa entrena gimnasia 5 veces a la semana durante 2 horas y Carolina lo hace 4 veces a la semana durante 3 horas. Natalia gasta S/.160 diarios y Carlos gasta S/.360 tres veces a la semana. Distancia que recorre Fran- cisco en 1 hora Precio de cada televisor Páginas que lee Pedro en un minuto Horas que Luisa entrena en una semana Lo que gasta Natalia en una semana Horas que Carolina entrena en una semana Lo que gasta Carlos en una semana Distancia que recorre Rodrigo en 1 hora Precio de cada DVD Páginas que lee Valeria en un minuto 23.El profesor de aritmética del 1er. Año quiere formar grupos de trabajo con los 42 alumnos que tiene en el aula. Responde: a) Si quiere armar grupos de 6 alumnos, ¿cuántos grupos armaría? b) Si quiere armar grupos de 7 alumnos, ¿cuántos grupos armaría? c) Si considera que el ideal es que los grupos estén formados por 5 alumnos; en este caso, ¿cuántos alumnos quedarían sin grupo? d) Si un día faltan tres alumnos, ¿cuántos grupos de tres alumnos puede formar? e) Es posible formar grupos de 4 alumnos cada uno? ¿y de 8 alumnos? 24.¿Cuántos días hay en tres años no bisiestos? 25.¿Cuántos segundos hay en 48 minutos?, ¿y en tres horas?, ¿y en un día? 26.¿Cuántas horas y minutos hay en 1280 minutos? 27.¿Cuántos días hay en 4872 horas? ¿y en 2712 horas? 28.¿Cuántos minutos y cuántos segundos son 58930 segundos? 29.Comparación cuantitativa: A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre la columna “A” y “B”, deberás colocar: “<”; “>”; “=” o si “no se puede determinar”.
  • 38. 51Organización Educativa TRILCE COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO A continuación se presentan diversas situaciones problemáticas las cuales las solucionaremos aplicando únicamente las cuatro operaciones fundamentales. En cada ejercicio deberemos razonar y seleccionar la operación u operaciones que nos ayude a llegar a la solución. Debes evitar el uso de variables (x) en las resoluciones de los problemas. A modo de ejemplos mostramos a continuación algunos problemas resueltos, ¡ah! y recuerda que en muchos casos no existe un método único para la resolución de los problemas, los pasos que sigas tal vez sean distintos al de tu compañero por lo que será muy importante que comentes tu razonamiento con tu profesor. 1. Don Tomás compró dos alfombras de S/.340 cada una y tres colchones de S/.1 280 cada uno. Si tenía un cupón de descuento de S/.600, ¿le alcanzará con los S/.4 000 que lleva para pagar? Resolución: Como la compra total es 2 veces S/. 340 más 3 veces S/.1 280, es decir S/.4 520, descontando los S/.600 del cupón, da un total de S/.3 920 y como esa cantidad es menor que S/.4 000, entonces le alcanzará para pagar. Esto puede resumirse en el siguiente esquema: * Procedimiento: Hay que multiplicar 2 por 340 y 3 por 1 280 y sumar. Luego hay que restar 600 y decidir si el resultado es menor o igual que 4 000. Operación y resultado: 2 x 340 = 680 3 x 1 280 = 3 840 680 + 3 840 = 4 520 4 520 – 600 = 3 920 3 920 < 4 000 Respuesta: Si le alcanzará con los S/.4 000 para pagar. 2. Felipe compra un artículo pagando con cuatro monedas de S/. 5; tres billetes de S/. 10 y algunos billetes de S/. 20. Si el artículo costó S/. 150, ¿cuántos billetes eran de S/. 20? Resolución: Con cuatro monedas de S/.5 y tres billetes de S/.10 Felipe tiene: 4 x 5 + 3 x 10 20 + 30 = 50 soles Como el artículo costó S/.150 aún le falta S/.100 que pagó con billetes de S/.20. Luego: 100 : 20 = 5 billetes Ejercicios de cuatro operaciones7 Respuesta: 5 billetes eran de S/. 20 3. Doce amigos deben pagar una deuda de S/.1 800 en partes iguales, lamentablemente tres de ellos no cuentan con dinero por lo que los demás deberán asumir la deuda. ¿Cuánto más deberán pagar? Resolución: Inicialmente cada uno debía pagar: 1 800 : 12 = 150 soles. Como tres de ellos no tienen dinero, sólo quedan 9 amigos para asumir la deuda, por lo que cada uno de ellos deberá pagar: 1 800 : 9 = 200 soles Es decir S/.50 más que al inicio Respuesta: Deberán pagar S/.50 más 4. El fin de semana, el Sr. Gutiérrez gastó $480 en la compra de ropa y zapatos. Gastó una quinta parte en zapatos. Con el resto compró un pantalón a $93, una camisa a $87 y una casaca de cuero. ¿Cuánto pagó por la casaca de cuero? Resolución: En zapatos gastó la quinta parte, es decir: 480 : 5 = $96 Luego, en la compra de zapatos, pantalón y camisa gastó: 96 + 93 + 87 = $276 Y como en total, el señor gastó $ 480, la casaca le habrá costado: 480 – 276 = 204 Respuesta: Por la casaca de cuero pagó $ 204 5. Don Julián compró 100 camisas. Vende la mitad a $ 35 cada una y 10 camisas a $ 27 cada una. ¿A cuánto debe E j e r c i c i o s
  • 39. 52 Ejercicios de cuatro operaciones Primer Año de Secundaria vender cada una de las que le quedan para obtener, en total, una recaudación de $ 3260? Resolución: Si vende la mitad (es decir, 50 camisas) a $ 35, recaudará: 50 x 35 = $1 750 Si vende 10 camisas a $ 27, recaudará: 10 x 27 = $270 Hasta este momento el Sr. Julián tiene recaudado: 1 750 + 270 = $2 020 Es decir, que aún le falta por recaudar: 3 260 – 2 020 = $1 240 Y le quedan por vender sólo 40 camisas, por lo tanto deberá vender cada una en: 1 240 : 40 = $31 Respuesta: Cada una de las que quedan deberá venderla en $31 BloqueI Un zoológico establece el siguiente cuadro de ofertas para el próximo año: Entrada Tour Diciembre-Mayo Junio-Noviembre 2 adultos 4 niños S/.30 S/.24 S/.10 S/.16 S/.20 S/.18 S/.8 S/.12 2 adultos 4 niños 1. ¿Cuánto pagarán 4 adultos por entrada, si acuden en abril? 2. ¿Cuánto pagarán 8 niños por el tour, si acuden en julio? 3. ¿Cuánto pagarán 2 adultos y 4 niños por entrada, si acuden en setiembre? 4. ¿Cuánto pagarán 2 adultos y 4 niños por un tour, en agosto? 5. ¿Cuánto pagará por entrar un aula de primaria del colegio constituido por 24 alumnos, en mayo? 6. ¿Cuánto pagará por entrar una pareja de esposos que posee 4 hijos, si acuden en enero? 7. De la pregunta anterior, ¿cuánto ahorraría la pareja, si fueran en el mes de agosto? 8. ¿Cuánto pagará por un tour, la pareja anterior en el mes de abril? 9. ¿Cuánto ahorrará la pareja anterior, si toma el tour en julio? 10.¿Cuánto pagará una pareja de adultos por entrada y el tour, en el mes de febrero? Test de Aprendizaje
  • 40. 53Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 1. Juan dispone de tres billetes de S/. 200, cuatro billetes de S/. 100, siete billetes de S/. 50, nueve billetes de S/. 10 y trece monedas de S/. 5. Si tiene que pagar una deuda de S/. 1 500, ¿le sobra o falta dinero, cuánto? 2. Cuatro amigas van de compras pensando gastar S/.150 cada una. Si las dos primeras gastaron S/.40 más y las dos últimas gastaron S/.25 soles menos, ¿cuánto gastaron en total las cuatro amigas? 3. Pablo gana S/. 85 diarios. Si cada día gasta S/. 4 en pasajes, S/. 13 en alimentos y S/. 9 en otras cosas, ¿qué cantidad podría ahorrar luego de 30 días? 4. Un vaso cuesta S/. 2 y una botella S/. 7. ¿Cuánto dinero necesito para comprar 12 vasos y 8 botellas? 5. Diez amigos tienen que pagar en partes iguales una deuda de S/. 800. Si 6 de ellos no tienen nada de dinero, ¿cuánto más deberán pagar los otros? 6. Marta divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y los corta en dos. Si este procedimiento lo repite cuatro veces, ¿cuántos pedazos de papel tendrá luego de los cuatro cortes? 7. La Sra. Verónica tuvo tres hijos y cada uno tuvo a su vez tres hijos. ¿Cuántos nietos tiene la Sra. Verónica? 8. Si un decámetro tiene 10 metros, un metro tiene 10 decímetros, un decímetro tiene 10 centímetros y un centímetro tiene 10 milímetros, ¿cuántos milímetros tiene un decámetro? 9. En un juego de ruleta hay tres tipos de ficha: las rojas, las verdes que equivalen a 10 rojas y las amarillas que equivalen a 10 verdes. ¿A cuántas rojas equivale una amarilla? 10.Un comerciante compra 98 camisas a S/. 45 cada una. ¿A qué precio debe vender cada una para obtener una ganancia total de S/. 1 274? BloqueII 1. Un confeccionista compró dos piezas de tela gastando en la primera S/. 800 y en la segunda S/. 1 440. Un metro de la segunda tela cuesta S/. 8 más que la primera y con S/. 72 se puede comprar un metro de cada tela. ¿Cuántos Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre la columna “A” y “B”, coloca “<”; “>”; “=” o “no se puede determinar”. Justifica tus respuestas. Jorge le pone S/. 85 de gas a su auto dos veces por semana, en cambio Luis le pone S/. 55 cada vez que sale en el auto de su familia y la semana pasada Luis ocupó tres veces el auto. Don Pedro camina 40 minutos diarios salvo un día al mes. Don Sergio lo hace interdiario, durante 50 minutos, aunque 4 veces por mes camina además otros 60 minutos. Horacio trabaja 8 horas diarias de lunes a viernes y 5 horas los sábados. Joaquín en cambio trabaja 9 horas diarias de lunes a viernes aunque tiene permiso para retirarse 2 horas antes una vez a la semana. ¿Quién de los dos trabaja más? Gonzalo entrena fútbol de lunes a viernes 3 horas diarias y los sábados 4 horas. Gabriel por su parte entrena 4 veces por semana durante 4 horas aunque tiene permiso para retirarse una hora antes una vez a la semana. ¿Quién de los dos entrena más horas? Pablo vive en un edificio de 5 pisos con 4 departamentos por piso donde hay 3 departamentos desocupados, en cambio Raúl vive en un edificio de 12 pisos con dos departamentos por piso y 7 departamentos desocupados. ¿En cuál de los dos edificios están viviendo más familias? Lo que gastó Jorge la semana pasada Tiempo que caminó Don Pedro el mes de Abril Horacio Gonzalo En el de Pablo Lo que gastó Luis la semana pasada Tiempo que caminó Don Sergio el mes de Abril Joaquín Gabriel En el de Raúl INFORMACIÓN “A” “B” Practiquemos
  • 41. 54 Ejercicios de cuatro operaciones Primer Año de Secundaria metros de tela se llevó en total? 2. Paola va a la librería y compra 7 cuadernos de S/.3 cada uno y 3 plumones de S/.9 cada uno. Si paga con un billete de S/.100, ¿cuánto recibirá de vuelto? 3. Christian tiene S/.273 y compra 3 camisas de S/.59 cada una. ¿Cuántos pañuelos podrá comprar con lo que le queda, si cada uno cuesta S/.8? 4. El sábado, la Sra. Juárez gastó $360 en la compra de ropa y zapatos. Gastó una cuarta parte en zapatos. Con el resto compró un pantalón a $85, una camisa a $120 y un saco de lana. ¿Cuánto pagó por el saco? 5. Dos familias: papá, mamá y sus hijos fueron al teatro. Los Pérez tienen 3 hijos y los Smith tienen 4 hijos. La entrada de una persona mayor cuesta $ 25. Los Smith pagaron $ 138 por todas sus entradas. ¿Cuánto pagaron los Pérez? BloqueIII Un club campestre en Chosica ofrece, en alquiler, cabañas para grupos de 4 y 6 personas, los precios (en nuevos soles) incluyen el IGV y se indican en la tabla siguiente. La temporada alta es de abril a noviembre y la temporada baja, de diciembre a marzo. • Responde: 1. Si una familia compuesta por cuatro miembros decide quedarse dos semanas, ¿cuánto gastarían si se alojan con pensión completa? TABLA DE PRECIOS INCLUIDO I.G.V. Sólo alojamiento Alojamiento y desayuno Alojamiento y pensión completa TEMPORADA ALTA 4 personas S/.100 S/.120 S/.160 6 personas S/.138 S/.162 S/.228 TEMPORADA BAJA 4 personas S/.60 S/.76 S/.108 6 personas S/.84 S/.120 S/.156 2. Un grupo de seis amigos desean alojarse por una semana, ellos habían calculado que sus gastos en desayuno para ese tiempo sería de S/. 126. ¿Cuánto más pagaría el grupo si alquilan con el desayuno incluido? 3. ¿Cuánto saldría, al grupo, arrendar una cabaña con pensión completa por 7 días? ¿Y cuánto, arrendar una cabaña pagando sólo alojamiento? Calcula cuál es el cobro adicional por pensión completa por los 7 días de arriendo. 4. Un grupo de 12 personas decide alojarse en dicho club en la temporada alta y necesitan saber cuánto pagarían en conjunto las doce personas, si: a. Alquilan tres cabañas para 4 personas con pensión completa incluida. b. Alquilan dos cabañas para 6 personas con pensión completa incluida. 5. ¿De cuánto dinero debe disponer el grupo anterior para arrendar dos cabañas para 6 personas por 7 días y en la temporada alta, si 6 de las personas la quieren sólo con alojamiento y las otras 6 la quieren con desayuno incluido?
  • 42. 55Organización Educativa TRILCE ARITMÉTICA 1. Ocho amigos tienen que pagar en partes iguales una deuda de S/. 1600. Si tres de ellos no tienen dinero, ¿cuánto más deberán pagar los otros? 2. El Sr. Pérez tiene cuatro hijos y cada uno tiene a su vez cuatro hijos. ¿Cuántos nietos tiene el Sr. Pérez? 3. Un comerciante compra 89 camisas a S/. 54 cada una. ¿A qué precio debe vender cada una para obtener una ganancia total de S/. 1157? 4. Tengo S/. 709 y compro 3 pares de zapatos de S/. 89 cada par. ¿Cuántas camisas de S/. 34 cada una podré comprar con lo que me queda? 5. Claudia va a la farmacia y compra 13 pastillas de S/. 3 cada uno y 3 jarabes de S/. 29 cada uno. Si paga con un billete de S/. 200, ¿cuánto recibirá de vuelto? 6. Un confeccionista compró dos piezas de tela gastando en la primera S/. 1200 y en la segunda S/. 1400. Un metro de la segunda tela cuesta S/. 16 más que la primera y con S/. 96 se puede comprar un metro de cada tela. ¿Cuántos metros de tela se llevó en total? 7. José camina 45 minutos diarios salvo un día al mes. Sergio lo hace interdiario, durante 58 minutos, aunque 4 veces por mes camina además otros 70 minutos. ¿Quién de los dos habrá caminado más durante el mes de abril? y ¿cuánto más? 8. Juan tiene cuatro latas vacías. Si las llena completamente con arena, todas pesan 800 gramos. Si sólo llena con arena tres latas, todo pesa 620 gramos. ¿Cuánto pesan las cuatro latas vacías? 9. Cuatro amigos van de compras pensando gastar S/.170 cada uno. Si los dos primeros gastaron S/. 38 más y los dos últimos gastaron S/. 23 menos, ¿cuánto gastaron en total los cuatro amigos? 10.La señora Carmen va al supermercado con 3 billetes de S/. 50, 4 billetes de S/. 20 y dos billetes de S/.10. Si realiza compras por un total de S/.197, ¿cuánto dinero le quedaría? 1. Un circo tiene una capacidad para 320 personas. Se sabe que la entrada de cada adulto es S/.5 y el de cada niño S/.2. Si en una de las funciones se recaudó S/.916, ¿cuántos niños estuvieron en la función? a) 228 b) 98 c) 136 d) 92 e) 222 2. En un examen de 100 preguntas, por cada respuesta correcta se obtiene 4 puntos y por cada incorrecta se descuenta 1 punto. José, después de haber contestado todas las preguntas, obtiene 50 puntos. ¿Cuántas preguntas acertó José? a) 20 b) 10 c) 70 d) 90 e) 30 3. Por la compra de 6 docenas de balones a 70 soles cada uno, se obtiene de regalo 6 balones. Si además se obtiene un descuento de 1 300 soles, ¿cuánto se ganará vendiendo todos los balones a S/.75 cada uno? a) S/.2 480 b) 1 200 c) 2 110 d) 3 400 e) 1 430 4. Un operario gana diariamente S/.6 más que otro. Después de trabajar cada uno el mismo número de días, el primero recibe S/.195 y el segundo S/.117. ¿Cuánto gana por día el primer operario? a) S/.9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 16 5. Se compraron 80 lapiceros a 2 soles cada uno. Se venden 20 lapiceros ganando 1 sol en cada uno y luego se desechan 30 lapiceros por estar defectuosos. ¿En cuánto deben venderse los lapiceros restantes, si se quiere ganar 20 soles? a) S/.4 b) 3 c) 5 d) 4,5 e) 6 Autoevaluaciòn Tarea domiciliaria
  • 43. 56 Ejercicios de cuatro operaciones Primer Año de Secundaria • Don Tomás tiene una crianza de pollos, patos, pavos y conejos. Para ordenar su negocio, construyó el siguiente cuadro, en el que figura el número de animales de cada especie que tiene en su parcela, el costo de crianza y el precio de venta por unidad; pero, le faltó colocar los precios por el total de cada especie. 11.Completa el cuadro. Total de uni- dades en existencia por especie Costo de crianza por unidad Precio de venta por unidad Costo total de crianza por especie Precio total de venta por especie Especie pollo pavo pato conejo 5840 3200 1800 746 S/.3 S/.9 S/.8 S/.10 S/.5 S/.20 S/.13 S/.14 • Un comerciante tiene los siguientes datos relacionados con las ventas de sus artefactos en un determinado día: Artefactos Unidades vendidas Precio de costo por unidad (S/.) Precio de venta por unidad (S/.) televisores de 21” Reproductores de DVD Computadoras Lavadoras Equipos de sonido 15 7 18 5 13 729 1600 199 625 299 949 2115 284 720 425 16.¿Cuánto ganó en la venta de las computadoras? 17.¿Cuánto ganó en la venta de los televisores? 18.¿Cuál es su ganancia en los cinco artefactos? 19.¿Cuánto tiene que pagar a sus proveedores por todos los artefactos vendidos? 20.Si para el próximo mes se mantienen los precios y vende 25 computadoras y 23 reproductores de DVD, ¿cuál será su ganancia en estos artefactos? 12.Si tú eres un cliente, completa los espacios en blanco con las frases: “valen más que”, “valen menos que” o “valen lo mismo que”. a) 130 pollos ………………………………………… 50 patos b) 98 patos …………………………………………… 97 conejos c) 102 pavos ………………………………………… 115 patos d) 4 pollos y 7 conejos ……………………3 pavos y 4 patos e) 5 conejos y 4 pavos ………………… 27 pollos y 1 pato 13.¿Cuál fue el gasto total invertido en la crianza de todas las especies? 14.¿Cuánto dinero se recibió por todas las ventas? 15.¿Cuál fue la ganancia total?
  • 44. 57Organización Educativa TRILCE COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIOTRILCE•COLEGIO Bloque I • Completa las siguientes oraciones con algunas de las palabras del recuadro. cero sustraendo doble triple uno minuendo división suma factores sumandos mayor menor tres sustracción divisor menos uno 1. En una adición los números que se suman reciben el nombre de …………………. y el resultado el nombre de ………………………… 2. En una división entera el residuo siempre será ……………… que el divisor. 3. La suma de los …………. términos de una sustracción es igual al …............... del ………………………. 4. Minuendo, ……………….. y ………………… son los términos de una ………………. 5. En una división entera el residuo mínimo es ………………….. mientras que el residuo máximo que podemos obtener es el ……………………………… • Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedad respectiva: EXPRESIÓN PROPIEDAD 13 + 27 = 27 + 13  (5 x 8) x 7 = 5 x (8 x 7)  3 x (10 + 9) = 3 x 10 + 3 x 9  15 x 37 x 0 x 19 = 0  189 x 1 = 189  13 + (7 + 15) = (13 + 7) + 15  154 + 0 = 154  • Relaciona las definiciones que se dan en la columna de la izquierda con los de la columna de la derecha. A. La forma como se asocien los sumandos no altera la suma. B. El orden de los factores no altera el producto. C. El orden de los sumandos no altera la suma. D. Elemento neutro de la multiplicación. E. Todas las adiciones de números naturales tienen solución F. Si un número natural multiplica a una adición, dicho número se puede distribuir como factor de cada sumando. G. Elemento neutro de la adición. H. Todo número multiplicado por CERO da CERO. I. La forma como se asocian los factores no altera el producto Propiedad de Clausura de la adición Propiedad Conmutativa de la multiplicación Propiedad Conmutativa de la adición Uno Cero Propiedad del elemento absorvente Propiedad Distributiva Propiedad Asociativa de la adición Propiedad Asociativa de la multiplicación Repaso I 8 Practiquemos