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FACTORIZACIÓN 9º
CASOS DE FACTORIZACIÓN
INDICADOR DE LOGRO
1. Identifica correctamente los casos de factorización, sus reglas y procedimientos.
Al igual que los productos notables, la factorización es un tema muy importante en el
desarrollo de posteriores cursos de matemática. La misma, es muy útil en numerosas
aplicaciones matemáticas, pues nos permite escribir expresiones algebraicas complicadas en
forma de producto de polinomios más simples.
Al expresar un polinomio como el producto indicado de otros polinomios, donde
cada polinomio del producto es un factor del polinomio original, se dice que se ha realizado
un proceso de factorización.
CONCEPTO
Cuando multiplicamos varios factores obtenemos un producto; al factorizar un producto
debemos obtener los factores que lo forman. Luego entonces, hallar el producto y
descomponerlo en factores primos son dos procesos inversos.
MULTIPLICACIÓN
3(2x + 3y) = 6x + 9y
FACTORIZACIÓN
Cuando factorizamos, debemos entender que la descomposición que se efectúa debe ser la
más completa posible, es decir, hasta que todos sus factores sean primos entre sí.
PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES
En todos los casos de factorización que estudiaremos, la prueba general de los factores
consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser igual a la
expresión factorizada.
1. FACTOR COMÚN MONOMIO
Consideremos la propiedad distributiva del producto de números reales respecto a la suma:
cabacba ⋅+⋅=+⋅ )( ; así, 5343)54(3 ⋅+⋅=+⋅
Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 12
FACTORIZACIÓN 9º
Observando el miembro derecho de la igualdad, vemos que a es un factor común que puede
extraerse mediante la utilización de un paréntesis, como se observa en el miembro izquierdo de
la igualdad. Lo anterior es aplicable en el proceso de factorización.
Existe factor común cuando una misma cantidad (número o letra) esta presente en todos
los términos de la expresión a factorizar.
El proceso consiste en extraer el máximo común divisor numérico y/o literal de todos los
términos que constituyen la expresión a factorizar. El máximo común divisor será el primer
factor y el segundo será el cociente obtenido al dividir cada término del polinomio entre el
máximo común divisor.
Ejemplos:
Descomponer en factores primos:
ax – bx = x (a – b)
 4x3
– 8x2
= 4x2
(x – 2)
 10b – 30ab2
= 10b (1 – 3ab)
 8m2
– 6n3
= 2 (4m2
– 3n3
)
 10x3
+ 5x2
+ 20x = 5x (2x2
+ x + 4)
 16a3
– 24a2
+ 32a – 8 = 8 (2a3
– 3a2
+ 4a – 1)
 63a3
b – 84a2
b2
+ 42ab3
= 21ab (3a2
– 4ab + 2b2
)
Ahora intenta resolver estos ejercicios:
3x2
– 5x = x ( ____  5)
– 5x2
– 15x4
= _____ (1 + ____ )
4a2
– 6a3
+ 2a = 2a ( ____  3a2
+ ____ )
2ax + 12bx + 22cx = ____ ( a + _____ + 11c)
Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 13
FACTOR COMÚN
FACTORIZACIÓN 9º
75x3
y4
– 125x4
y3
+ 25x3
y3
= ______ ( ______  ______  ______ )
2. FACTOR COMÚN POLINOMIO
Para factorizar un polinomio en el que el factor común es otro polinomio, el procedimiento
es similar al aplicado para el factor común monomio, excepto que en este caso el
factor común será un polinomio. En algunos casos será necesario ordenar y/o
agrupar términos.
Ejemplos:
 a (x + y) – b (x + y) = (x + y) (a – b)
 2x (x + 1) + 3y (x + 1) = (x + 1) (2x + 3y)
 p – 1 + 2(p – 1) + y(p – 1)
= (p – 1) + 2(p – 1) + y(p – 1) Agrupando los dos primeros términos.
= (p – 1) (1 + 2 + y) Extrayendo el factor común polinomio.
= (p – 1) (3 + y) Reduciendo términos semejantes.
Intenta resolver los siguientes ejercicios:
 4x(m – n) + 5y(m – n) = ( __  __ ) ( ___ + 5y )
 2(m – n) + 3a(m – n) – 5b(m – n) = ( __  __ ) ( 2 + ___  ___ )
PRÁCTICA #7
Factorizar o descomponer en factores los siguientes polinomios:
1. x2
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2. 5a + 10b2
3. 4m3
– m2
4. 7(x + y) – 5(x + y) + 8(x + y)
5. (1 + 3a)(x + 1) – 2a(x + 1) + 3(x + 1)
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– 75m + 15m4
7. 3y(x + y + z) – x – y – z
8. – 8x3
– 24x5
– 48x2
9. 2y(a – 1) – 3a(a – 1)
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– 4a3
+ 5a2
11. x3
(x – 1) + 1 – x
12. (x + 2)(x – 1) – (x – 1)(x – 3)
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14. 14x3
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y2
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15. x(a + 2) – a – 2 + 3(a + 2)
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– c7
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18. 7a6
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n3
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20. 3a2
b + 6ab – 5a3
b2
+ 8a2
bx + 4ab2
n
Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 14
FACTORIZACIÓN 9º
21. (a + 3)(a + 1) – 4(a + 1)
22. 16x2
– 3x4
+ 8x3
– 4x2
23. 68ab2
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c – 34ac2
24. am – 3a + 2b(m – 3) + 3c(3 – m)
Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 15

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  • 1. FACTORIZACIÓN 9º CASOS DE FACTORIZACIÓN INDICADOR DE LOGRO 1. Identifica correctamente los casos de factorización, sus reglas y procedimientos. Al igual que los productos notables, la factorización es un tema muy importante en el desarrollo de posteriores cursos de matemática. La misma, es muy útil en numerosas aplicaciones matemáticas, pues nos permite escribir expresiones algebraicas complicadas en forma de producto de polinomios más simples. Al expresar un polinomio como el producto indicado de otros polinomios, donde cada polinomio del producto es un factor del polinomio original, se dice que se ha realizado un proceso de factorización. CONCEPTO Cuando multiplicamos varios factores obtenemos un producto; al factorizar un producto debemos obtener los factores que lo forman. Luego entonces, hallar el producto y descomponerlo en factores primos son dos procesos inversos. MULTIPLICACIÓN 3(2x + 3y) = 6x + 9y FACTORIZACIÓN Cuando factorizamos, debemos entender que la descomposición que se efectúa debe ser la más completa posible, es decir, hasta que todos sus factores sean primos entre sí. PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES En todos los casos de factorización que estudiaremos, la prueba general de los factores consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser igual a la expresión factorizada. 1. FACTOR COMÚN MONOMIO Consideremos la propiedad distributiva del producto de números reales respecto a la suma: cabacba ⋅+⋅=+⋅ )( ; así, 5343)54(3 ⋅+⋅=+⋅ Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 12
  • 2. FACTORIZACIÓN 9º Observando el miembro derecho de la igualdad, vemos que a es un factor común que puede extraerse mediante la utilización de un paréntesis, como se observa en el miembro izquierdo de la igualdad. Lo anterior es aplicable en el proceso de factorización. Existe factor común cuando una misma cantidad (número o letra) esta presente en todos los términos de la expresión a factorizar. El proceso consiste en extraer el máximo común divisor numérico y/o literal de todos los términos que constituyen la expresión a factorizar. El máximo común divisor será el primer factor y el segundo será el cociente obtenido al dividir cada término del polinomio entre el máximo común divisor. Ejemplos: Descomponer en factores primos: ax – bx = x (a – b)  4x3 – 8x2 = 4x2 (x – 2)  10b – 30ab2 = 10b (1 – 3ab)  8m2 – 6n3 = 2 (4m2 – 3n3 )  10x3 + 5x2 + 20x = 5x (2x2 + x + 4)  16a3 – 24a2 + 32a – 8 = 8 (2a3 – 3a2 + 4a – 1)  63a3 b – 84a2 b2 + 42ab3 = 21ab (3a2 – 4ab + 2b2 ) Ahora intenta resolver estos ejercicios: 3x2 – 5x = x ( ____  5) – 5x2 – 15x4 = _____ (1 + ____ ) 4a2 – 6a3 + 2a = 2a ( ____  3a2 + ____ ) 2ax + 12bx + 22cx = ____ ( a + _____ + 11c) Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 13 FACTOR COMÚN
  • 3. FACTORIZACIÓN 9º 75x3 y4 – 125x4 y3 + 25x3 y3 = ______ ( ______  ______  ______ ) 2. FACTOR COMÚN POLINOMIO Para factorizar un polinomio en el que el factor común es otro polinomio, el procedimiento es similar al aplicado para el factor común monomio, excepto que en este caso el factor común será un polinomio. En algunos casos será necesario ordenar y/o agrupar términos. Ejemplos:  a (x + y) – b (x + y) = (x + y) (a – b)  2x (x + 1) + 3y (x + 1) = (x + 1) (2x + 3y)  p – 1 + 2(p – 1) + y(p – 1) = (p – 1) + 2(p – 1) + y(p – 1) Agrupando los dos primeros términos. = (p – 1) (1 + 2 + y) Extrayendo el factor común polinomio. = (p – 1) (3 + y) Reduciendo términos semejantes. Intenta resolver los siguientes ejercicios:  4x(m – n) + 5y(m – n) = ( __  __ ) ( ___ + 5y )  2(m – n) + 3a(m – n) – 5b(m – n) = ( __  __ ) ( 2 + ___  ___ ) PRÁCTICA #7 Factorizar o descomponer en factores los siguientes polinomios: 1. x2 + xy 2. 5a + 10b2 3. 4m3 – m2 4. 7(x + y) – 5(x + y) + 8(x + y) 5. (1 + 3a)(x + 1) – 2a(x + 1) + 3(x + 1) 6. 45m2 – 75m + 15m4 7. 3y(x + y + z) – x – y – z 8. – 8x3 – 24x5 – 48x2 9. 2y(a – 1) – 3a(a – 1) 10. 3a4 – 4a3 + 5a2 11. x3 (x – 1) + 1 – x 12. (x + 2)(x – 1) – (x – 1)(x – 3) 13. 9m3 n2 – 27mn3 14. 14x3 – 28x2 y2 + 56x4 15. x(a + 2) – a – 2 + 3(a + 2) 16. c3 + c5 – c7 – c9 17. 48xy2 – 96x2 + 144 18. 7a6 – 14a4 + 21a3 – 35a2 19. 62m3 n2 – 93m2 n3 + 124m2 n 20. 3a2 b + 6ab – 5a3 b2 + 8a2 bx + 4ab2 n Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 14
  • 4. FACTORIZACIÓN 9º 21. (a + 3)(a + 1) – 4(a + 1) 22. 16x2 – 3x4 + 8x3 – 4x2 23. 68ab2 + 51a2 c – 34ac2 24. am – 3a + 2b(m – 3) + 3c(3 – m) Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 15