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MATEMÁTICA 10°
Prof. Carlos A. Gómez P. 1
OBJETIVO:
1. Aplicar diversos casos de factorización en la solución de expresiones algebraicas.
Al igual que los productos notables, la factorización es un tema muy importante en el
desarrollo de posteriores cursos de matemática. La misma, es muy útil en numerosas
aplicaciones matemáticas, pues nos permite escribir expresiones algebraicas complicadas
en forma de producto de polinomios más simples.
Al expresar un polinomio como el producto indicado de otros polinomios, donde cada
polinomio del producto es un factor del polinomio original, se dice que se ha realizado un
proceso de factorización.
CONCEPTO
Cuando multiplicamos varios factores obtenemos un producto; al factorizar un producto
debemos obtener los factores que lo forman. Luego entonces, hallar el producto y
descomponer en factores primos son dos procesos inversos.
MULTIPLICACIÓN
5(x + y) = 5x + 5y
FACTORIZACIÓN
Cuando factorizamos, debemos entender que la descomposición que se efectúa debe ser
la más completa posible, es decir, hasta que todos sus factores sean primos entre sí.
PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES
En todos los casos de factorización que estudiaremos, la prueba general de los factores
consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser igual a la
expresión factorizada.
1. FACTOR COMÚN MONOMIO
Consideremos la propiedad distributiva del producto de números reales respecto a la
suma:
cabacba  )(
MATEMÁTICA 10°
Prof. Carlos A. Gómez P. 2
Observando el miembro derecho de la igualdad, vemos que a es un factor común que
puede extraerse mediante la utilización de un paréntesis, como se observa en el miembro
izquierdo de la igualdad. Lo anterior es aplicable en el proceso de factorización.
Existe factor común cuando una misma cantidad (número o letra) esta presente en todos
los términos de la expresión a factorizar.
El proceso consiste en extraer el máximo común divisor numérico y/o literal de todos
los términos que constituyen la expresión a factorizar. El máximo común divisor será el
primer factor y el segundo será el cociente obtenido al dividir cada término del polinomio
entre el máximo común divisor.
Ejemplos:
Descomponer en factores:
 ax – bx = x(a – b)
 4x3
– 8x2
= 4x2
(x – 2)
 10b – 30ab2
= 10b(1 – 3ab)
 8m – 6n = 2(4m – 3n)
 10x3
+ 5x2
+ 20x = 5x(2x2
+ 2x + 4)
 – 6x3
y2
– 9x2
y3
= – 3x2
y2
(2x + 3y)
 16a3
– 24a2
+ 32a – 8 = 8(2a3
–3a2
+ 4a – 1)
 63a3
b – 84a2
b2
+ 42ab3
= 21ab(3a2
– 4ab + 2b2
)
PRÁCTICA #1
Factorar o descomponer en dos factores:
1. x2
+ xy
2. 5a + 10b2
3. 4m3
– m2
4. 3x2
– 5x
5. – 5x2
– 15x4
6. 45m2
– 75m + 15m4
7. 4a2
– 6a3
+ 2a
8. – 8x3
– 24x5
– 48x2
9. 2ax + 12bx + 22cx
10. 3a4
– 4a3
+ 5a2
11. 75x3
y4
– 125x4
y3
+ 25x3
y3
12. 9m3
n2
– 27mn3
13. 14x3
– 28x2
y2
+ 56x4
14. c3
+ c5
– c7
– c9
15. 48xy2
– 96x2
+ 144
16. 7a6
– 14a4
+ 21a3
– 35a2
17. 62m3
n2
– 93m2
n3
+ 124m2
n
18. 3a2
b + 6ab – 5a3
b2
+ 8a2
bx + 4ab2
n
19. 16x2
– 3x4
+ 8x3
– 4x2
20. 68ab2
+ 51a2
c – 34ac2
MATEMÁTICA 10°
Prof. Carlos A. Gómez P. 3
2. TRINOMIO DE LA FORMA : x2
+ bx + c
Factorar:
Ejemplo # 1. x2
− 16x + 63
a. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz
cuadrada del primer término:
x2
− 16x + 63 = ( x ) ( x )
b. El signo del primer factor va a ser el signo que tenga el segundo término del trinomio y el
segundo signo es el que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del
tercer término del trinomio dado:
x2
− 16x + 63 = ( x − ) (x − )
c. Si los dos binomios tienen el mismo signo, se buscan dos números que sumados
den el valor absoluto del segundo término y multiplicados den el valor absoluto del tercer
término; para eso descomponemos el término independiente 63 para encontrar sus factores
así:
63 3
21 3 3 x 3 = 9 y 7
7 7
1
d. Los dos números encontrados son los segundos términos de los binomios:
x2
− 16x + 63 = (x − 9) (x− 7)
Ejemplo # 2: x2
+ 8x – 180 = ( x + 18 ) ( x − 10 ) 180 2
90 2
45 3 2x3x3=18 y 2x5=10
15 3
5 5
1
por
MATEMÁTICA 10°
Prof. Carlos A. Gómez P. 4
3. TRINOMIO DE LA FORMA: ax2
+ bx + c.
Para factorar un trinomio de la forma ax2
+ bx + c, puedes dar los siguientes pasos:
 Ordenar el trinomio.
 Descomponer los extremos en dos factores; uno va a tener el signo del segundo término y el
otro la multiplicación del segundo signo del trinomio por el signo del tercer término.
 Multiplicar en cruz los factores encontrados.
 Sumas los productos obtenidos y se comprueba que el total sea igual que el segundo término. Si
no es así, se deben buscar valores diferentes en el paso 2 u ordenar los factores de forma
distinta.
 Anotas los factores, los cuales se forman al sumar horizontalmente los valores en que se
descompusieron los extremos.
Factorizar el siguiente trinomio:
4x2
+ 3x – 22
4x 11 → 11x
x –2 → – 8x
3x
4x2
+ 3x – 22 = (4x + 11)( x – 2)
Resuelve ahora:
3y2
− 17y + 20
Factorización: ___________________________________
por
Descomponemos en factores
Multiplicamos en cruz.
+
Sumamos los productos obtenidos y
comprobamos que sea igual al segundo
término.
Escribimos la factorización.
MATEMÁTICA 10°
Prof. Carlos A. Gómez P. 5
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
Existen tres clases de trinomios que pueden ser factorizados: Trinomio Cuadrado Perfecto,
trinomio de la forma: x2
+ bx + c y trinomio de la forma: ax2
+ bx + c.
Ejemplos:
Descomponer en factores:
1. 6x2
– 7x – 3
a. Descomponer el trinomio a factorar en cuatro términos, así:
6x2
– 7x – 3 = 6x2
– ______ + ______ – 3
Primer término Signo del 2º
término
Signo obtenido al
multiplicar los signos
del 2º y 3º término
Último
término
b. Multiplicamos el coeficiente del primer término por el tercer término: (6)(3) = 18 y lo
descomponemos en sus factores primos, así:
18 2
9 3
3 3
1
c. Haciendo uso de los factores de 18, debemos encontrar dos números cuya suma
algebraica sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio a factorar ( 7 ).
De esta manera, los números buscados son 9 y 2.
d. Los cuatro términos quedarán dispuestos así:
6x2
– 7x – 3 = 6x2
– 9x + 2x – 3
Asociamos los dos primeros y los dos últimos, y aplicamos factor común monomio
a ambos paréntesis:
(6x2
– 9x) + (2x – 3)
3x(2x – 3) + (2x – 3)
Los dos términos de esta expresión tienen como factor común el binomio (2x – 3),
utilizando el mismo procedimiento que en el factor común monomio obtenemos:
(2x – 3)(3x + 1)
Por lo tanto, 6x2
– 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)
2. 4m4
+ 4m2
n + n2
a. 4m4
+ 4m2
n + n2
= 4m4
+ ______ + ______ + n2
MATEMÁTICA 10°
Prof. Carlos A. Gómez P. 6
b. Multiplicamos (4)(1) = 4 y lo descomponemos en sus factores primos, así:
4 2
2 2
1
c. Los números buscados son 2 y 2.
d. 4m4
+ 4m2
n + n2
= 4m4
+ 2m2
n + 2m2
n + n2
(4m4
+ 2m2
n) + (2m2
n + n2
)
2m2
(2m2
+ n) + n(2m2
+ n)
(2m2
+ n)(2m2
+ n)
(2m2
+ n)2
, por ser trinomio cuadrado perfecto
Por lo tanto, 4m4
+ 4m2
n + n2
= (2m2
+ n)2
PRÁCTICA #2
Factorar o descomponer en dos factores:
1. x2
+ 4x – 32
2. 5x2
– 23x + 12
3. x2
+ 7x + 12
4. 12x2
+ 29x + 15
5. 5b2
+ 6 – 13b
6. y2
+ 15y + 50
7. −17m + m2
+ 72
8. x2
– 2x – 168
9. 16m +15m2
– 15
10. y2
– 30y – 675
11. x2
+ x – 380
12. 20a2
– 7a – 40
13. x2
− 17x – 60
14. m2
+ 42m + 432
15. 9y2
+ 10y +1

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Factorización para 10º

  • 1. MATEMÁTICA 10° Prof. Carlos A. Gómez P. 1 OBJETIVO: 1. Aplicar diversos casos de factorización en la solución de expresiones algebraicas. Al igual que los productos notables, la factorización es un tema muy importante en el desarrollo de posteriores cursos de matemática. La misma, es muy útil en numerosas aplicaciones matemáticas, pues nos permite escribir expresiones algebraicas complicadas en forma de producto de polinomios más simples. Al expresar un polinomio como el producto indicado de otros polinomios, donde cada polinomio del producto es un factor del polinomio original, se dice que se ha realizado un proceso de factorización. CONCEPTO Cuando multiplicamos varios factores obtenemos un producto; al factorizar un producto debemos obtener los factores que lo forman. Luego entonces, hallar el producto y descomponer en factores primos son dos procesos inversos. MULTIPLICACIÓN 5(x + y) = 5x + 5y FACTORIZACIÓN Cuando factorizamos, debemos entender que la descomposición que se efectúa debe ser la más completa posible, es decir, hasta que todos sus factores sean primos entre sí. PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES En todos los casos de factorización que estudiaremos, la prueba general de los factores consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser igual a la expresión factorizada. 1. FACTOR COMÚN MONOMIO Consideremos la propiedad distributiva del producto de números reales respecto a la suma: cabacba  )(
  • 2. MATEMÁTICA 10° Prof. Carlos A. Gómez P. 2 Observando el miembro derecho de la igualdad, vemos que a es un factor común que puede extraerse mediante la utilización de un paréntesis, como se observa en el miembro izquierdo de la igualdad. Lo anterior es aplicable en el proceso de factorización. Existe factor común cuando una misma cantidad (número o letra) esta presente en todos los términos de la expresión a factorizar. El proceso consiste en extraer el máximo común divisor numérico y/o literal de todos los términos que constituyen la expresión a factorizar. El máximo común divisor será el primer factor y el segundo será el cociente obtenido al dividir cada término del polinomio entre el máximo común divisor. Ejemplos: Descomponer en factores:  ax – bx = x(a – b)  4x3 – 8x2 = 4x2 (x – 2)  10b – 30ab2 = 10b(1 – 3ab)  8m – 6n = 2(4m – 3n)  10x3 + 5x2 + 20x = 5x(2x2 + 2x + 4)  – 6x3 y2 – 9x2 y3 = – 3x2 y2 (2x + 3y)  16a3 – 24a2 + 32a – 8 = 8(2a3 –3a2 + 4a – 1)  63a3 b – 84a2 b2 + 42ab3 = 21ab(3a2 – 4ab + 2b2 ) PRÁCTICA #1 Factorar o descomponer en dos factores: 1. x2 + xy 2. 5a + 10b2 3. 4m3 – m2 4. 3x2 – 5x 5. – 5x2 – 15x4 6. 45m2 – 75m + 15m4 7. 4a2 – 6a3 + 2a 8. – 8x3 – 24x5 – 48x2 9. 2ax + 12bx + 22cx 10. 3a4 – 4a3 + 5a2 11. 75x3 y4 – 125x4 y3 + 25x3 y3 12. 9m3 n2 – 27mn3 13. 14x3 – 28x2 y2 + 56x4 14. c3 + c5 – c7 – c9 15. 48xy2 – 96x2 + 144 16. 7a6 – 14a4 + 21a3 – 35a2 17. 62m3 n2 – 93m2 n3 + 124m2 n 18. 3a2 b + 6ab – 5a3 b2 + 8a2 bx + 4ab2 n 19. 16x2 – 3x4 + 8x3 – 4x2 20. 68ab2 + 51a2 c – 34ac2
  • 3. MATEMÁTICA 10° Prof. Carlos A. Gómez P. 3 2. TRINOMIO DE LA FORMA : x2 + bx + c Factorar: Ejemplo # 1. x2 − 16x + 63 a. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término: x2 − 16x + 63 = ( x ) ( x ) b. El signo del primer factor va a ser el signo que tenga el segundo término del trinomio y el segundo signo es el que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio dado: x2 − 16x + 63 = ( x − ) (x − ) c. Si los dos binomios tienen el mismo signo, se buscan dos números que sumados den el valor absoluto del segundo término y multiplicados den el valor absoluto del tercer término; para eso descomponemos el término independiente 63 para encontrar sus factores así: 63 3 21 3 3 x 3 = 9 y 7 7 7 1 d. Los dos números encontrados son los segundos términos de los binomios: x2 − 16x + 63 = (x − 9) (x− 7) Ejemplo # 2: x2 + 8x – 180 = ( x + 18 ) ( x − 10 ) 180 2 90 2 45 3 2x3x3=18 y 2x5=10 15 3 5 5 1 por
  • 4. MATEMÁTICA 10° Prof. Carlos A. Gómez P. 4 3. TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 + bx + c. Para factorar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, puedes dar los siguientes pasos:  Ordenar el trinomio.  Descomponer los extremos en dos factores; uno va a tener el signo del segundo término y el otro la multiplicación del segundo signo del trinomio por el signo del tercer término.  Multiplicar en cruz los factores encontrados.  Sumas los productos obtenidos y se comprueba que el total sea igual que el segundo término. Si no es así, se deben buscar valores diferentes en el paso 2 u ordenar los factores de forma distinta.  Anotas los factores, los cuales se forman al sumar horizontalmente los valores en que se descompusieron los extremos. Factorizar el siguiente trinomio: 4x2 + 3x – 22 4x 11 → 11x x –2 → – 8x 3x 4x2 + 3x – 22 = (4x + 11)( x – 2) Resuelve ahora: 3y2 − 17y + 20 Factorización: ___________________________________ por Descomponemos en factores Multiplicamos en cruz. + Sumamos los productos obtenidos y comprobamos que sea igual al segundo término. Escribimos la factorización.
  • 5. MATEMÁTICA 10° Prof. Carlos A. Gómez P. 5 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS Existen tres clases de trinomios que pueden ser factorizados: Trinomio Cuadrado Perfecto, trinomio de la forma: x2 + bx + c y trinomio de la forma: ax2 + bx + c. Ejemplos: Descomponer en factores: 1. 6x2 – 7x – 3 a. Descomponer el trinomio a factorar en cuatro términos, así: 6x2 – 7x – 3 = 6x2 – ______ + ______ – 3 Primer término Signo del 2º término Signo obtenido al multiplicar los signos del 2º y 3º término Último término b. Multiplicamos el coeficiente del primer término por el tercer término: (6)(3) = 18 y lo descomponemos en sus factores primos, así: 18 2 9 3 3 3 1 c. Haciendo uso de los factores de 18, debemos encontrar dos números cuya suma algebraica sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio a factorar ( 7 ). De esta manera, los números buscados son 9 y 2. d. Los cuatro términos quedarán dispuestos así: 6x2 – 7x – 3 = 6x2 – 9x + 2x – 3 Asociamos los dos primeros y los dos últimos, y aplicamos factor común monomio a ambos paréntesis: (6x2 – 9x) + (2x – 3) 3x(2x – 3) + (2x – 3) Los dos términos de esta expresión tienen como factor común el binomio (2x – 3), utilizando el mismo procedimiento que en el factor común monomio obtenemos: (2x – 3)(3x + 1) Por lo tanto, 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1) 2. 4m4 + 4m2 n + n2 a. 4m4 + 4m2 n + n2 = 4m4 + ______ + ______ + n2
  • 6. MATEMÁTICA 10° Prof. Carlos A. Gómez P. 6 b. Multiplicamos (4)(1) = 4 y lo descomponemos en sus factores primos, así: 4 2 2 2 1 c. Los números buscados son 2 y 2. d. 4m4 + 4m2 n + n2 = 4m4 + 2m2 n + 2m2 n + n2 (4m4 + 2m2 n) + (2m2 n + n2 ) 2m2 (2m2 + n) + n(2m2 + n) (2m2 + n)(2m2 + n) (2m2 + n)2 , por ser trinomio cuadrado perfecto Por lo tanto, 4m4 + 4m2 n + n2 = (2m2 + n)2 PRÁCTICA #2 Factorar o descomponer en dos factores: 1. x2 + 4x – 32 2. 5x2 – 23x + 12 3. x2 + 7x + 12 4. 12x2 + 29x + 15 5. 5b2 + 6 – 13b 6. y2 + 15y + 50 7. −17m + m2 + 72 8. x2 – 2x – 168 9. 16m +15m2 – 15 10. y2 – 30y – 675 11. x2 + x – 380 12. 20a2 – 7a – 40 13. x2 − 17x – 60 14. m2 + 42m + 432 15. 9y2 + 10y +1