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




)2(1334
)1(956
yx
yx
P.1. Vamos a eliminar “x”





)2(1334
)1(956
yx
yx
P.2.



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
)2(39912
)1(181012
yx
yx
− 19y = − 57
P.3.
3
19
57




y
y
P.4.
6x – 5y = – 9
6x – 5( 3 ) = – 9
6x – 15 = – 9
6x = – 9 + 15
6x = 6
1
6
6


x
x
P.5.
6x – 5y = – 9 4x + 3y = 13
6(1) − 5(3) = − 9 4(1) + 3(3) = 13
6 − 15 = − 9 4 + 9 = 13
− 9 = − 9  13 = 13 
Solución ( 1 , 3 )
Taller: MÉTODO DE REDUCCIÓN
Preparado por: Carlos A. Gómez P. 10º _____ Estudiante:_______________________
Fecha: 23 de marzo de 2014 Profesor(a): ____________________ Coordinador.__________________
Indicador de Logro: Resuelve ejercicios a través de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables por el
Método de Reducción.
Para determinar la solución de





)2(2443
)1(175
yx
yx
por el Método de Reducción, seguiremos los
siguientes pasos:
1. Escoger una incógnita a eliminar. Seguidamente, multiplicar los dos
miembros de cada ecuación por un número conveniente, de tal manera
que los coeficientes de la variable que se quiera eliminar sean opuestos
(mismo coeficiente; positivo y negativo) en una y otra ecuación,
respectivamente.





)2(734
)1(123
yx
yx





)2(
)1(
2. Sumar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas para eliminar la
variable escogida y así, obtener una sola ecuación con una incógnita:





)2(
)1(
=
3. Resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita resultante,
lo que nos permitirá encontrar el valor de una de las incógnitas.
4. Sustituimos el valor de la incógnita encontrado 5. Comprobación… remplazamos “ x “ e “ y “.
(Paso 3) en una de las dos ecuaciones originales 3x − 2y = −1 4x + 3y = −7
para determinar el valor de la otra incógnita: 3( ) − 2( ) = −1 4( ) + 3( ) = −7
La solución es: ( , )
Recomendaciones:  Lee con detenimiento, analiza y resuelve cada paso siguiendo las indicaciones con sumo orden y cuidado.
( )
( )
( 2 )
( −3 )
Ahora, aplica lo aprendido.
Determine la solución de los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales utilizando el Método de Reducción:
4 2
10 2 13
x y
x y
  

 
2 3 6
3 2 1
x y
x y
  

 
PROBLEMAS DE APLICACIÓN. (Sistemas de Ecuaciones Lineales)
Resume aquí los pasos del Método de Reducción.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________.
Para más información sobre este y otros temas matemáticos visite los siguientes sitios:
www.profesorcarlos-matematica10.blogspot.com https://sites.google.com/site/profesorcgomez/
APLICACIONES…
Muchos problemas de la vida real pueden plantearse en términos de sistemas de ecuaciones y por
tanto, una vez planteados, pueden resolverse por los métodos de resolución de sistemas ya estudiados, en
particular, por el Método de Reducción.
El éxito alcanzado para resolver un problema, depende de la habilidad que se adquiera en la
traducción del lenguaje usual a un lenguaje simbólico (matemático).
Es muy conveniente saber “traducir” el lenguaje corriente al matemático.
Algunas expresiones frecuentes son:
Lenguaje usual Lenguaje matemático
Un número................................................................................................................ x
La diferencia de dos números................................................................................... x – y
La suma de dos números.......................................................................................... x + y
El doble o duplo de un número................................................................................ 2x
El triplo de un número.............................................................................................. 3x
El triplo de un número disminuido en uno............................................................... 3x - 1
La mitad de un número.............................................................................................
2
x
Un tercio de la diferencia de dos números................................................................ )(
3
1
yx 
Un cuarto de la suma de dos números..................................................................... )(
4
1
yx 
La edad, hace 5 años, de una persona que tiene actualmente x años...................... x – 5
La edad, dentro de x años, de una persona que tiene actualmente 30 años............. 30 + x
Hemos visto ya algunos ejemplos de lenguaje usual traducidos a expresiones algebraicas (lenguaje
matemático).
Pero antes de entrar a resolver los problemas de aplicación, presentamos algunos ejemplos de
proposiciones verbales para ser traducidas, ahora, a ecuaciones. Veamos algunos ejemplos:
Proposición verbal Ecuación
La diferencia de dos números es 20......................................................................... x – y = 20
La suma de dos números es 50................................................................................ x + y = 50
Dos veces la suma de cierto número más seis es la octava parte de otro número
aumentado en 15......................................................................................................   15
8
62 
y
x
Dos quintos de la diferencia de dos números es 75................................................. 75)(
5
2
 yx
4 lbs de azúcar y 5 lbs de sal costaron B/. 5.00...................................................... 4x + 5y = 5
Ejemplos:
1) Un cuarto de la suma de dos números es 13 y su diferencia es 14. Determine el valor de los números.
Solución:
x = número mayor ; y = número menor.
Según las condiciones, el sistema quedará así:






)2(14
)1(13)(
4
1
yx
yx
Resolviendo (1) tenemos:
52
13)(
4
1
4
13)(
4
1









yx
yx
yx
Utilizando el método de reducción para resolver el sistema tendremos:





)2(14
)1(52
yx
yx
2x = 66
x =
2
66
x = 33
Al sustituir para determinar el valor de la otra incógnita obtenemos que y = 19.
Los números buscados son: 33 y 19.
2) Al comprar 6 pantalones y 5 camisas en FIGALI se pagó B/. 227,00, luego se realizó una compra de 5
pantalones y 4 camisas (a los mismos precios) en MAKRO STORE pagando B/. 188,00, Determine el
precio de un pantalón y una camisa.
Solución:
x = precio del pantalón ; y = precio de una camisa
Según las condiciones, el sistema quedará así:





)2(18845
)1(22756
yx
yx
Al desarrollar el sistema utilizando el método de reducción, el precio del pantalón es de B/. 32,00 y el de
la camisa B/. 7,00.
3) Juan tiene B/. 113,00 distribuidos en billetes de B/. 5,00 y de B/. 1,00. Si en total tiene 33 billetes,
¿Cuántos billetes tiene de cada denominación?
El sistema a desarrollar será:





)2(14
)1(52
yx
yx
Solución:
x = cantidad de billetes de B/. 1.00 ; y = cantidad de billetes de B/. 5.00
Según las condiciones, el sistema quedará así:





)2(1135
)1(33
yx
yx
Al desarrollar el sistema utilizando cualquiera de los métodos ya estudiados, la cantidad de billetes de
B/. 1,00 es 13 y la de B/. 5,00 es 20.
4) Por la compra de una caja de lápices y dos de plumas se gastaron B/. 10,00. Pero si se regresa la
caja de lápices y se compra una de plumas se pagan B/. 2,00. ¿Cuál será el precio de cada artículo?
Solución:
x = caja de lápices ; y = caja de plumas
Según las condiciones, el sistema quedará así:





)2(2
)1(102
yx
yx
Al desarrollar el sistema utilizando cualquiera de los métodos ya estudiados, el precio de la caja de
lápices es B/. 2,00 y la de plumas B/. 4,00.
5) A un sarao estudiantil con los RABANES asistieron dos grupos de personas. Uno con 20 mujeres y
15 hombres, y el otro con 11 hombres y 19 mujeres. Si el primer grupo pagó B/. 570.00 en entrada y el
segundo B/. 483.00, ¿cuánto costó la entrada para los hombres y cuánto para las mujeres?
6) Un ganadero compró 4 vacas y 7 terneros por B/. 514 y más tarde, a los mismos precios,
compró 8 vacas y 9 terneros por B/. 818.00. Determine el costo de una vaca y de un ternero.
R/. B/. 55.00 y B/. 42.00
7) En la Librería El Buen Consejo compre 34 libros pagando B/. 174.00. Si el precio de los libros era de
B/. 3.00 y B/. 7.00, ¿cuántos libros compré de cada precio?
R/. 16 y 18

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Taller Método de reducción y Aplicaciones

  • 1. Ayudate…       )2(1334 )1(956 yx yx P.1. Vamos a eliminar “x”      )2(1334 )1(956 yx yx P.2.      )2(39912 )1(181012 yx yx − 19y = − 57 P.3. 3 19 57     y y P.4. 6x – 5y = – 9 6x – 5( 3 ) = – 9 6x – 15 = – 9 6x = – 9 + 15 6x = 6 1 6 6   x x P.5. 6x – 5y = – 9 4x + 3y = 13 6(1) − 5(3) = − 9 4(1) + 3(3) = 13 6 − 15 = − 9 4 + 9 = 13 − 9 = − 9  13 = 13  Solución ( 1 , 3 ) Taller: MÉTODO DE REDUCCIÓN Preparado por: Carlos A. Gómez P. 10º _____ Estudiante:_______________________ Fecha: 23 de marzo de 2014 Profesor(a): ____________________ Coordinador.__________________ Indicador de Logro: Resuelve ejercicios a través de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables por el Método de Reducción. Para determinar la solución de      )2(2443 )1(175 yx yx por el Método de Reducción, seguiremos los siguientes pasos: 1. Escoger una incógnita a eliminar. Seguidamente, multiplicar los dos miembros de cada ecuación por un número conveniente, de tal manera que los coeficientes de la variable que se quiera eliminar sean opuestos (mismo coeficiente; positivo y negativo) en una y otra ecuación, respectivamente.      )2(734 )1(123 yx yx      )2( )1( 2. Sumar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas para eliminar la variable escogida y así, obtener una sola ecuación con una incógnita:      )2( )1( = 3. Resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita resultante, lo que nos permitirá encontrar el valor de una de las incógnitas. 4. Sustituimos el valor de la incógnita encontrado 5. Comprobación… remplazamos “ x “ e “ y “. (Paso 3) en una de las dos ecuaciones originales 3x − 2y = −1 4x + 3y = −7 para determinar el valor de la otra incógnita: 3( ) − 2( ) = −1 4( ) + 3( ) = −7 La solución es: ( , ) Recomendaciones:  Lee con detenimiento, analiza y resuelve cada paso siguiendo las indicaciones con sumo orden y cuidado. ( ) ( ) ( 2 ) ( −3 )
  • 2. Ahora, aplica lo aprendido. Determine la solución de los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales utilizando el Método de Reducción: 4 2 10 2 13 x y x y       2 3 6 3 2 1 x y x y       PROBLEMAS DE APLICACIÓN. (Sistemas de Ecuaciones Lineales) Resume aquí los pasos del Método de Reducción. ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________. Para más información sobre este y otros temas matemáticos visite los siguientes sitios: www.profesorcarlos-matematica10.blogspot.com https://sites.google.com/site/profesorcgomez/
  • 3. APLICACIONES… Muchos problemas de la vida real pueden plantearse en términos de sistemas de ecuaciones y por tanto, una vez planteados, pueden resolverse por los métodos de resolución de sistemas ya estudiados, en particular, por el Método de Reducción. El éxito alcanzado para resolver un problema, depende de la habilidad que se adquiera en la traducción del lenguaje usual a un lenguaje simbólico (matemático). Es muy conveniente saber “traducir” el lenguaje corriente al matemático. Algunas expresiones frecuentes son: Lenguaje usual Lenguaje matemático Un número................................................................................................................ x La diferencia de dos números................................................................................... x – y La suma de dos números.......................................................................................... x + y El doble o duplo de un número................................................................................ 2x El triplo de un número.............................................................................................. 3x El triplo de un número disminuido en uno............................................................... 3x - 1 La mitad de un número............................................................................................. 2 x Un tercio de la diferencia de dos números................................................................ )( 3 1 yx  Un cuarto de la suma de dos números..................................................................... )( 4 1 yx  La edad, hace 5 años, de una persona que tiene actualmente x años...................... x – 5 La edad, dentro de x años, de una persona que tiene actualmente 30 años............. 30 + x Hemos visto ya algunos ejemplos de lenguaje usual traducidos a expresiones algebraicas (lenguaje matemático). Pero antes de entrar a resolver los problemas de aplicación, presentamos algunos ejemplos de proposiciones verbales para ser traducidas, ahora, a ecuaciones. Veamos algunos ejemplos: Proposición verbal Ecuación La diferencia de dos números es 20......................................................................... x – y = 20 La suma de dos números es 50................................................................................ x + y = 50 Dos veces la suma de cierto número más seis es la octava parte de otro número aumentado en 15......................................................................................................   15 8 62  y x Dos quintos de la diferencia de dos números es 75................................................. 75)( 5 2  yx 4 lbs de azúcar y 5 lbs de sal costaron B/. 5.00...................................................... 4x + 5y = 5
  • 4. Ejemplos: 1) Un cuarto de la suma de dos números es 13 y su diferencia es 14. Determine el valor de los números. Solución: x = número mayor ; y = número menor. Según las condiciones, el sistema quedará así:       )2(14 )1(13)( 4 1 yx yx Resolviendo (1) tenemos: 52 13)( 4 1 4 13)( 4 1          yx yx yx Utilizando el método de reducción para resolver el sistema tendremos:      )2(14 )1(52 yx yx 2x = 66 x = 2 66 x = 33 Al sustituir para determinar el valor de la otra incógnita obtenemos que y = 19. Los números buscados son: 33 y 19. 2) Al comprar 6 pantalones y 5 camisas en FIGALI se pagó B/. 227,00, luego se realizó una compra de 5 pantalones y 4 camisas (a los mismos precios) en MAKRO STORE pagando B/. 188,00, Determine el precio de un pantalón y una camisa. Solución: x = precio del pantalón ; y = precio de una camisa Según las condiciones, el sistema quedará así:      )2(18845 )1(22756 yx yx Al desarrollar el sistema utilizando el método de reducción, el precio del pantalón es de B/. 32,00 y el de la camisa B/. 7,00. 3) Juan tiene B/. 113,00 distribuidos en billetes de B/. 5,00 y de B/. 1,00. Si en total tiene 33 billetes, ¿Cuántos billetes tiene de cada denominación? El sistema a desarrollar será:      )2(14 )1(52 yx yx
  • 5. Solución: x = cantidad de billetes de B/. 1.00 ; y = cantidad de billetes de B/. 5.00 Según las condiciones, el sistema quedará así:      )2(1135 )1(33 yx yx Al desarrollar el sistema utilizando cualquiera de los métodos ya estudiados, la cantidad de billetes de B/. 1,00 es 13 y la de B/. 5,00 es 20. 4) Por la compra de una caja de lápices y dos de plumas se gastaron B/. 10,00. Pero si se regresa la caja de lápices y se compra una de plumas se pagan B/. 2,00. ¿Cuál será el precio de cada artículo? Solución: x = caja de lápices ; y = caja de plumas Según las condiciones, el sistema quedará así:      )2(2 )1(102 yx yx Al desarrollar el sistema utilizando cualquiera de los métodos ya estudiados, el precio de la caja de lápices es B/. 2,00 y la de plumas B/. 4,00. 5) A un sarao estudiantil con los RABANES asistieron dos grupos de personas. Uno con 20 mujeres y 15 hombres, y el otro con 11 hombres y 19 mujeres. Si el primer grupo pagó B/. 570.00 en entrada y el segundo B/. 483.00, ¿cuánto costó la entrada para los hombres y cuánto para las mujeres? 6) Un ganadero compró 4 vacas y 7 terneros por B/. 514 y más tarde, a los mismos precios, compró 8 vacas y 9 terneros por B/. 818.00. Determine el costo de una vaca y de un ternero. R/. B/. 55.00 y B/. 42.00 7) En la Librería El Buen Consejo compre 34 libros pagando B/. 174.00. Si el precio de los libros era de B/. 3.00 y B/. 7.00, ¿cuántos libros compré de cada precio? R/. 16 y 18