PRACTCA

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Prof. Mg. Agustín Sangay Julio César
ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD I: DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN VECTORIAL
Semana 03: INTEGRAL DE LINEA
INTEGRALES DE LINEA EN CAMPOS ESCALARES
1. Mostrar que el valor de ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝐶
es el mismo para cada representación paramétrica.
a) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑖 + 𝑥𝑦 𝑗 , 𝑟1(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2
𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 ; 𝑟2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 𝑗, 0 ≤
𝜃 ≤
𝜋
2
.
b) 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥2
+ 𝑦2) 𝑖 − 𝑥𝑗, 𝑟1(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡1/2
𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤ 4; 𝑟2(𝑡) = 𝑤2
𝑖 + 𝑤𝑗, 0 ≤ 𝑤 ≤
2.
2. Calcule: ∫ (𝑥2
𝑦3
− √𝑥)𝑑𝛼
𝐶
, siendo C la curva 𝑦 = √𝑥 de (1, 1) a (4, 2).
3. Calcule: ∫ (𝑥2
+ 𝑦2)𝑑𝛼
𝐶
, siendo C la curva parametrizada por: 𝛼(𝑡) = (2(cos 𝑡 +
𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡), 2(𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡)), con 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
4. Hallar el valor de la integral de línea: ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝐶
a) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒𝑥𝑦
𝒊 + 𝑥𝑒𝑥𝑦
𝒋; 𝑟1(𝑡) = 𝑡 𝑖 − (𝑡 − 3)𝑗; 0 ≤ 𝑡 ≤ 3.
b) La trayectoria cerrada que consiste en segmentos de recta desde (0, 3) hasta (0, 0),
después desde (0, 0) hasta (3, 0) y desde (3, 0) hasta (0, 3).
c) ∫ 𝑦2
𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝐶
d) ∫ (2𝑥 − 3𝑦 + 1)𝑑𝑥 − (3𝑥 + 𝑦 − 5)𝑑𝑦
𝐶

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ECUACIONES DIFERENCIALES
5. Calcular la integral ∫ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑠
𝐶
, donde C es la cuarta parte de la circunferencia 𝑥2
+
𝑦2
+ 𝑧2
= 36, 𝑦 = 𝑥, situada en el primer octante.
6. Calcular la integral ∫ (𝑥𝑦𝑧) 𝑑𝑠
𝐶
, donde C es la línea de intersección de las superficies 𝑥2
+
𝑦2
+ 𝑧2
= 36, 𝑥2
+ 𝑦2
= 9, situada en el primer octante.
7. Calcular la integral ∫ (𝑥4/3
+ 𝑦4/3) 𝑑𝑠
𝐶
, donde C es el arco del astroide 𝑥2/3
+ 𝑦2/3
= 22/3
8. Determine el trabajo efectuado por una partícula que se mueve de (0,0) hasta (2,0) sobre
una curva  que recorre el conjunto  
( , ) / 1
S x y y x y
= = − − si la fuerza es 2
( , ) ( , )
F x y y x
=
9. Una partícula se mueve en el plano xy a lo largo de una recta que va desde ( , )
A a b al punto
( , )
B c d , debido a la fuerza 2 2 2 2
,
x y
F
x y x y
 
= − −
 
+ +
 
, hallar el trabajo realizado por la fuerza
F a lo largo de la recta AB .
10. Determine también la masa de un alambre semicircular que tiene la forma 2 2
1
x y
+ = , 0
y 
, si la densidad es ( , )
x y x y
 = + .
11. Encontrar el trabajo efectuado por la fuerza F xi y j zk
= + + en el desplazamiento a lo largo
de la trayectoria cerrada formada por los segmentos que van desde (0,0,0) hasta (1,1,0),
luego desde (1,1,0) hasta (1,1,1) y finalmente desde (1,1,1) hasta (0,0,0).

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INTEGRALES DE LINEA SOBRE CAMPOS VECTORIALES
12. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦)
sobre una partícula que se mueve a lo largo del segmento de recta de (1, 0, 0) a
(3, 4, 2).
13. Calcula la integral de línea sobre el campo vectorial, F obre C la curva parametrizada
por 𝛼(𝑡) = (𝑡3
,−𝑡2
,𝑡) con 𝑡 ∈ [0, 1] y 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑐𝑜𝑠 𝑦, 𝑥𝑧).
14. Calcula la integral de línea ∫ 𝑥2
𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑧
𝐶
siendo C el arco de curva dado
por la elipse 4𝑥2
+ 𝑦2
= 1, en 𝑧 = 0 con 𝑥, 𝑦 ≥ 0.
15. Calcula la integral de línea sobre el campo vectorial, ∫ 𝑦2
𝑑𝑧 + 3𝑧 𝑑𝑦 + (𝑥 + 2) 𝑑𝑥
𝐶
siendo C la curva intersección de las superficies 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 1 con 𝑧 = −1 + 𝑥.
16. Calcule el trabajo realizado por el campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
−𝑦−𝑧
𝑥2+𝑧2+2𝑥𝑧
,
1
𝑥+𝑧
,
𝑥−𝑦
(𝑥+𝑧)2
) al mover
un objeto a lo largo de la trayectoria 𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑒𝑡
, cos 𝑡), con 𝑡 ∈ [0, 1].
17. Calcule el trabajo realizado por el campo 𝐹(𝑥, 𝑦) = (2𝑦3/2
, 3𝑥√𝑦) al mover un objeto
del punto (1, 1) a (2, 4).
18. Un objeto recorre una elipse 𝑏2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
en sentido antihorario y se encuentra
sometido a la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦) = (
−𝑦
2
,
𝑥
2
). Halar el trabajo realizado.
19. Calcular ∫ 𝑦2
𝑑𝑥 + 𝑧2
𝑑𝑦 + 𝑥2
𝑑𝑧
𝐶
, donde C es la línea de intersección de la esfera de
radio R y el cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑅𝑥, R>0, z>=0, siendo recorrida en sentido antihoraria
si se mira desde el origen.
20. Calcular el trabajo realizado por la fuerza: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
−4𝑥𝑦
𝐴(𝑥,𝑦)
,
2𝑥2−2𝑦2−2
𝐴(𝑥,𝑦)
,
4𝑥𝑦𝑧
𝐴(𝑥,𝑦)
), donde
𝐴(𝑥, 𝑦) = (𝑥2
+ 𝑦2
− 1)2
+ 4𝑦2
− (𝑥2
+ 𝑦2
− 1) para mover una partícula alrededor de
la circunferencia. 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 = 0, 𝑧 = 0.