Corriente y resistencia

Corriente Directa

 Ahora vamos a considerar cargas que se desplazan a través
de un circuito.

 Antes de abordar este tema, recordemos lo que se ha
logrado con cargas estacionarias.

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Revisión: Electrostática (1)
 La carga eléctrica puede ser positiva o negativa. Cargas
iguales se repelen, cargas opuestas se atraen. Un objeto con
igual carga positiva y negativa esta electricamente neutro.
 La fuerza eléctrica F entre dos cargas, q1 y q2, separadas
por una distancia r esta dada por la Ley de Coulomb:
q1q2 Cargas opuestas : F es atractiva (-)
F =k 2
r Cargas iguales: F es repulsiva (+)

 La constante k es llamada constante de Coulomb y esta dada
por:

N ⋅ m2 1 C2
k= ε 0 = 8.85 ⋅10 −12
k = 8.99 ⋅10
9
4πε 0
C2 N ⋅ m2


Revisión: Campo eléctrico(1)
 La fuerza eléctrica de una carga q debido a
un campo eléctrico E esta dada por r r
F =qE
 El campo eléctrico en cualquier punto es equivalente a la
suma de todas las fuentes de campo eléctrico en dicho
punto:

 El campo eléctrico de una carga puntual:

 Las líneas de campo eléctrico son siempre perpendiculares
a un conductor.


 El flujo eléctrico a través de una superficie A esta definido
como r r
Φ = Ò E ⋅ dA
∫∫
 Ley de Gauss: ε 0Φ = q
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico a través de
una superficie cerrada es proporcional a la carga neta
encerrada por esta superficie. r r
ε 0 Ò E ⋅ dA = q
∫∫
λ 2k λ σ
σ E=
E= = E= ε0
2πε 0 r r 2ε 0
Alambre conductor Lamina cargada Lámina conductora
infinita no conductora cargada
El campo eléctrico dentro de un conductor cerrado es cero

 El campo eléctrico dentro de un cascarón esferico de carga
q es cero.
 El campo eléctrico fuera de un cascarón esferico de carga q
es el mismo que el de una carga puntual q
1 q
E=
4πε 0 r 2

 El campo eléctrico de una distribución de carga
uniformemente cargada en una esfera de radio r
• r2 > r

qt r1 kqt r1
• r1 < r
()
E r1 =
4πε 0 r 3
=
r3

Revisión : Energía Potencial
 Cuando una fuerza electrica actua sobre partículas
cargadas, se asigna una energía potencial eléctrica, U
 Si el sistema cambia de un estado inicial i a un estado final f,
la fuerza electrostática realiza trabajo , W

 El cambio de la energía potencial eléctrica , ∆U es ∆U=q∆V
 Las superficies equipontenciasles (o líneas) representan
puntos adyacentes en el espacio que tienen el mismo
potencial.
 El cálculo de la diferencia de potencial eléctrico, debido a un
campo eléctrico esta dad por:


Revisión: Potencial Eléctrico(1)
 Tomando la convensión de que el potencial eléctrico es cero
en el infinito, se puede expresar el potencial como:

 Se puede calcular el campo eléctrico a través de:
∂V ∂V ∂V
Ex = − ; Ey = − ; Ez = −
∂x ∂y ∂z
 El potencial eléctrico debido a una carga puntual q a una
distancia r esta dado por

kq
V=
r


Revisión: Potencial Eléctrico(2)

 El potencial eléctrico puede ser expresado algebraicamente
como la suma de los potenciales fuente

En particular para un sistema de cargas:
n n
kqi
V = ∑ Vi = ∑
i =1 i =1 ri

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Milena Ramos Arteaga

Revisión: Capacitancia (1)
 La definición de capacitancia es: q
C=
V
 La capacitancia de un condensador de placas
plano paralelas esta dada por:
ε0 A
• A es el área de cada placa C=
• d es la distancia entre las placas d
 La capacitancia de un capacitor esférico es
r1r2
C = 4πε 0
r2 − r1
• r1 es el radio de la esfera interior
• r2 es el radio de la esfera exterior

 La capacitancia de una esfera conductora aislada es:
C = 4πε 0 R

 La capacitancia de un condensador cilíndrico es
q λL 2πε 0 L
C= = =
ln ( r2 / r1 ) ln ( r2 / r1 )
V λ
2πε 0

 Si se coloca un dieléctrico entre las placas de un
capacitor aumenta la capacitancia: C = κ C
air
 La energía potencial eléctrica almacenada por un
capacitor es: 1
U = CV
2

2


 La capacitancia equivalente de n capacitores en
paralelo es

=
n
Ceq = ∑ Ci
i =1

 La capacitancia equivalente de n capacitores en
series es
1 n
1 +
=∑ −
Ceq i =1 Ci +
− =
+
−


Corriente Directa
 Estudiaremos cargas en movimiento.

 El movimiento de cargas eléctricas desde una región a otra
es lo que se llama corriente eléctrica.

 La corriente usualmente consiste de de electrones
moviéndose a través de materiales conductores.

 La corriente directa esta definida como la corriente que
fluye solamente en una dirección del conductor.


Corriente eléctrica (1)
 Se define la corriente eléctrica i como la carga neta
pasando por un punto dado en un tiempo dado.
 El movimiento aleatorio de electrones en conductores, o el
flujo de átomos electricamente neutros, no son corrientes
eléctricas a pesar del hecho de que grandes cantidades de
carga se mueven de un punto a otro.
 Si la carga neta dq pasa por un punto en un tiempo dt,
definimos la corriente i como

dq
i=
dt

Corriente eléctrica(2)
 La cantidad de carga q pasando por un punto dado en un
tiempo t es la integral de la corriente con respecto al
tiempo:
t
q = ∫ dq = ∫ idt
0

 La conservación de carga implica que la carga que fluye por
un conductor nunca se pierde.
 Por tanto, la misma cantidad de carga puede fluir entrando y
saliendo del conductor.


El ampere
 La unidad de corriente es Coulomb por segundo.

 El ampere se abrevia como A y esta definico por

1C
1A=
1s
 Algunas corrientes comunes son
• Flash - 1 A
• El arranque de un motor en un carro- 200 A
• iPod - 50 mA
• Un rayo (para un tiempo corto) – 100,000 A


Corriente
 La corriente es un escalar
 La corriente tiene un signo pero no una dirección.
 Representaremos la dirección de la corriente usando una
flecha.
 Físicamente, los portadores de carga en un conductor son
electrones que son cargados negativamente.
 Sin embargo, como se hace convencionalmente, definimos
corriente positiva como el flujo neto de portadores de
carga positiva pasado por un punto dado en la unidad
de tiempo.


Circuitos

En este circuito, el flujo de
+
electrones es en sentido antihorario. bom billa
elect (La corriente
convencionalmente se define en
sentido horario, los electrones son
cargas negativas).

Bom bas qu ím icas d e acción electrones d e l term inal
a
a a í
positiva (+ ) a l term inal negativa (-) en l batera.
La fem (fuerza electrom otriz, o cam po eléctrico) em puj a
a
los electrones alred ed or d el alam bre d e (-) a (+ ).

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July 5, 2012 17

Densidad de Corriente (1)
 Consideremos corriente eléctrica fluyendo por un
conductor.
 Tomando un plano a través del conductor, se puede definir
la corriente por unidad de área fluyendo a través del r
conductor en un punto como densidad de corriente. J
 Si la sección de área transversal es pequeña, la magnitud
de la densidad de corriente será grande.
 Si la sección de área transversal es grande, la magnitud
de la densidad de corriente será pequeño.


Densidad de corriente(2)
 La corriente fluyendo a través de una superficie es:
r r
i=∫ J ⋅ dA
r
Donde dA el elemento diferencial de área
es
perpendicular a la superficie.

 Podemos expresar la magnitud de la densidad
de corriente como
i
J=
A


Velocidad de deriva(1)
 En un conductor que no lleva corriente, los electrones de
conducción se mueven al azar (movimiento térmico)

 Cuando corriente fluye a través de un conductor, los
electrones tienen un movimiento adicional coherente.
(velocidad de deriva, vd )

 La magnitud de la velocidad de movimiento térmico aleatorio
es del orden de 106 m/s, mientras que la magnitud de la
velocidad de deriva es del orden de 10-4 m/s.

 Se puede relacionar la densidad de corriente J con la
velocidad de deriva vd del movimiento de electrones.

Velocidad de Deriva(2)
 Consideremos un conductor con área de sección transversal
A y campo eléctrico E
 Supongamos que hay n electrones por unidad de volumen.

 Los electrones cargados negativamente se desplazaran en
una dirección opuesta al campo eléctrico.

 Asumimos que los electrones tienen la misma velocidad de
deriva vd y que la densidad de corriente J es uniforme.

 En un intervalo de tiempo dt, cada electron se mueve una
distancia vd dt
 El volumen que pasaran a través del área A es Avd dt; y el
número de electrones es dn = nAvd dt


Velocidad de deriva (3)
 Cada electrón tiene una carga e así que la carga dq que fluye

a través del área A en el tiempo dt es
dq
i= = nevd A
 Así la corriente es: dt
i
J = = nevd
Y la densidad de corriente es: A

 Para una carga positiva, la densidad de corriente y la
r
velocidad de deriva son paralelas, apuntando en la misma
r
dirección: J = nevd
r r
J = − nevd
 Para electrones:

Velocidad de deriva (4)

 Consideremos un alambre por el que circula una corriente

 Los portadores de corriente son electrones con carga negativa.

 Estos electrones se mueven hacia la izquierda en el dibujo.

 Sin embargo, el campo eléctrico, la densidad de corriente y la
corriente están dirigidos hacia la derecha.


Ejemplo: Corriente a través de un
alambre
 La densidad de corriente en un alambre cilíndrico de radio R = 2.0
mm es uniforme a través de la sección tranversal del alambre y
tiene un valor de 2.0 105 A/m2.
Pregunta: Cuál es la corriente i a través de la porción exterior del
cable entre las distancias radiales R/2 y R?
Respuesta: R
 J = corriente por unidad de área= di /dA
Area A ’ (porción exterior)
3R 2
A′ = π R 2 − π (R / 2 ) = π = 9.424 ⋅10 −6 m 2
2

4
Corriente a través de A ’

( )(
i = JA′ = 2.0 ⋅10 5 A/m 2 9.424 ⋅10 −6 m 2 = 1.9 A )

Resistencia y Resistividad

 Si se aplica un voltaje dado a través de un conductor, se
obtiene una corriente.
 Si se aplica el mismo voltaje a un aislante, se obtiene una
corriente muy pequeña (idealmente: ninguna)
 La propiedad de un material para conducir corriente
eléctrica es la llamada resistividad, ρ
 La propiedad de un dispositivo en particular para conducir
corriente eléctrica es la llamada resistencia, R
 La resitividad es una propiedad del material; la resistencia
es una propiedad del objeto en particular hecho de ese
material.


Resistencia(1)
 Si se aplica una diferencia de potencial eléctrico a través de
un conductor y se mide la corriente resultante, se puede
definir la resistencia R de este conductor como
V
R=
i
 La unidad de la resistencia es el voltio por ampere
 En honor a George Simon Ohm (1789-1854) la resistencia se
define como
1V
1Ω=
1A

Resistencia (2)

 Se asume que la resistencia de un dispositivo es uniforme en
todas direcciones.

 La resistencia, R, de un conductor depende del material del
cual el conductor esta construido y de la geometría del
mismo.


Resistividad
 Las propiedades conductoras de un material están
caracterizadas en términos de su resistividad.
 Se define la resistividad, ρ, de un material por:

E
ρ=
E: m agnitud d el cam po aplicad o
J: m agnitud d e l d ensid ad d e corriente
a
J
 Las unidades de la resistividad son
 V
 m  Vm
 
= = Ωm
 A A
 m2 
 


Resistividades típicas
Las resistividades de algunos conductores a 20°C son:

Material Resistivity ρ ( Ωm ) Resistivity ρ ( (µΩ-cm) )
µž ⋅ cm

1.59⋅10-8 1.59
Silver
Copper 1.72⋅10-8 1.72
Gold 2.44⋅10-8 2.44
Aluminum 2.82⋅10-8 2.82
Nickel 6.84⋅10-8 6.84
Mercury 95.8⋅10-8 95.8


Resistencia
 Conociendo la resistividad del material, se puede calcular la
resistencia del conductor dada su geometría.

 Consideremos un alambre homogeneo de longitud L y sección
transversal constente de área A.
V i
E= and J=
L A
…
La resistencia es:
V EL ρ L
R= = =
i JA A


Ejemplo: Resistencia de un alambre de
cobre(1)
Pregunta:
Cuál es la resistencia de un alambre de cobre de 100 m de
longitud, calibre 12, generalmente usado para cableado
eléctrico del hogar?
Respuesta:
 La convención específica según la American Wire Gauge
(AWG) del tamaño de sección transversal tamaño de un
alambre en una escala logarítmica.
 Un número de calibre inferior corresponde a un alambre
mas grueso.

July 5, 2012 31

Ejemplo: Resistencia de un alambre de
cobre(2)
 La fórmula para convertir el tamaño AWG al diámetro del
alambre es
(36 − AWG ) / 39
d = 0.127 ⋅ 92 mm
 Así, un alambre de cobre de calibre 12 tiene un diámetro de
2,05 mm
 Su sección transversal es, entonces:

A = π d = 3.3 mm
1
4
2 2

 Buscando la resitividad del cobre en la tabla:

L 100 m
R = ρ = (1.72 ⋅10 Ωm)
-8
= 0.52 Ω
A 3.3 ⋅10 m
-6 2


Resistencias
 Las resistencias se hacen comúnmente de carbón, dentro de
una cubierta de plástico con dos cables que salen en los dos
extremos para la conexión eléctrica.
 El valor de la resistencia esta indicado por una escala de
cuatro bandas de colores sobre la capsula de plástico.
 Las dos primeras bandas son números para la mantisa, la
tercera es una potencia de diez, y la cuarta es una tolerancia
para el rango de valores


Código de Colores- Resistencias

Ejemplo:

Colores (de izquierda a derecha)
rojo, amarillo, verde, y oro
Usando la tabla, se puede ver que
la resistencia es
24×105 Ω = 2.4 MΩ
con una tolerancia del 5%


Dependencia de la resistividad con la
temperatura.
 La resistividad (y la resistencia) varían con la temperatura.
 Para metales, esta dependencia con la temperatura es lineal.
 Una relación empiríca para esta dependencia para metales es:

ρ − ρ0 = ρ0α (T − T0 ) Cobre

• ρ es la resistividad a temperatura T
• ρ0 es la resistividad a una
temperatura estandar.T0
• α es el “coeficiente de
temperatura” de la resistividad
eléctrica par ael material bajo
consideración.


Fuerza Electromotriz
 Para hacer que haya flujo de corriente a través de la
resistencia se debe aplicar una diferencia de potencial.

 Esta diferencia de potencial es llamada fuerza
electromotriz, fem.

 El dispositivo fem no produce una diferencia de potencial
pero suministra una corriente.

 La diferencia de potencial creada por el dispositivo fem se
denomina fem, Vfem


Circuito
 Ejemplos de dispositivos fem son:
• Baterías que producen fem a través de reacciones quimicas.
• Generadores eléctricos que crean fem desde la inducción
electromagnetica.
• Celdas solares qeu convierten la energía del sol en energía eléctrica.
 Un circuito es un arreglo de componentes eléctricos
conectados co un alambre conductor.
 Las componentes eléctricas pueden ser fuentes de fem,
capacitores, resistencias, u otros dispositivos eléctricos.


Ley de Ohm
 Consideremos un circuito simple

 Aqui la fuente fem provee un voltaje V a través del resistor con
resistencia R
 La relación entre el voltaje y la resistencia en el circuito esta
dado por la Ley de Ohm:
Vemf = iR
… donde i es la corriente en el circuito.
(en acuerd o con :R = V / i)

Resistencias en Serie
 Resistores conectados de tal manera que toda la corriente
en un circuito debe fluir a través de cada resistor en igual
cantidad son conectadas en serie.
 Por ejemplo, dos resistores R1 y R2 en serie con una fuente
de fem con voltaje Vemf implica un circuito como el mostrado
en la figura:


Dos resistencias en 3D
 Para ilustrar el voltaje de caída en este circuito
se puede representar el mismo circuito en 3D.

 El voltaje de caída a través del
resistor R1 es V1
 El voltaje de caída a través del
resistor R2 es V2
 La suma de las dos caídas de
potencial es igual al voltaje aplicado
por la batería

Vemf = V1 + V2


Resistores en Serie
 La corriente que fluye a través de todos
los elementos del circuito es la misma a
través de cada elemento.
 Para cada resistor se puede aplicar la
Ley de Ohm:
Vemf = iR1 + iR2 = iReq
…
donde Req = R1 + R2
 Generalizando este resultado:
n
Req = ∑ Ri
i =1
July 5, 2012 41

Ejemplo: Resistencia interna de una
batería(1)
 Cuando una batería no esta conectada a un circuito, el voltaje en
sus terminales es Vt

Terminales de la
batería

 Cuando la batería se conecta en serie con un resistor con
resistencia R, la corriente i fluye a través del circuito.
 Cuando la corriente esta fluyendo, el voltaje, V, a través de los
terminales de la batería están por debajo de Vt
 Esta caída ocurre porque la batería tiene una resistencia interna
Ri, que puede considerarse esta conectada en serie con la
resistencia externa.

Ejemplo : Resistencia interna de la batería (2)

Terminales de la
batería bateria

 Podemos expresar esta relación como:
(
Vt = iReq = i R + Ri )
 Si consideramos una batería que tiene un voltaje de 12.0 V
cuando no esta conectada al circuito
 Cuando conectamos un resistor de 10.0 Ω a través de los
terminales, el voltaje a través de la batería cae a 10.9 V
Pregunta:
Cuál es la resistencia interna en la batería?

Ejemplo: Resistencia interna en una batería
(3)
Respuesta
 La corriente que fluye a través de la resistencia externa es
V 10.9 V
i= = = 1.09 A
R 10.0 Ω
 La corriente que fluye a través del circuito completo es la
misma:
(
Vt = iReq = i R + Ri )
Vt
( R + Ri =
i
)
Vt 12.0 V
Ri = − R = − 10.0 Ω = 1.0 Ω
i 1.09 A

Resistencias en paralelo (1)
 Un circuito de resistores conectados en paraleo es como el que se
muestra en la figura.This type of circuit is shown below


Resistencias en Paralelo (2)
 En este caso, el voltaje de caída en cada resistor es igual al
voltaje que provee la fuente fem.
 Usando la Ley de Ohm podemos escribir para la corriente en
cada resistor; V V emf
i1 = i2 =
emf

R1 R2

 La corriente total en el circuito es igual a la suma de las
corrientes en cada resistor
1 2 i = i +i
 Lo cual se puede reescribir como:
Vemf Vemf 1 1 
i = i1 + i2 = + = Vemf  + 
R1 R2  R1 R2 


Resistencias en paralelo(3)
 Reescribiendo la Ley de Ohm para el circuito completo
1 Req
i = Vemf
Req
=
1 1 1
 donde = +
Req R1 R2
 Generalizando este resultado se tiene para n resistores:
n
1 1
=∑
Req i =1 Ri

Ejemplo: Red de resistencias(1)
 Consideremos la red de resistencias de la figura:

 Calcular la corriente que fluye a través del circuito.

July 5,5, 2012
July 2012 F IS ICA ELECTRICIDAD Y MAGNETIS MO M.S c. S andra Milena Ramos Arteaga 48

Ejemplo: Red de resistencias(2)
 Primero miramos el par de resistores: R3 y R4 están en serie

R34 = R3 + R4

 Ahora notemos que R34 y R1 están en paralelo

1 1 1 R1 R34
= + or R134 =
R134 R1 R34 R1 + R34


Ejemplo: Red de Resistencias (3)
 Ahora que R2, R5, R6, and R134 están en serie

R123456 = R2 + R5 + R6 + R134
R1 R34
R123456 = R2 + R5 + R6 +
R1 + R34
R1 ( R3 + R4 )
R123456 = R2 + R5 + R6 +
R1 + R3 + R4
Vemf
i=
R123456

Ejemplo 2: Más resistencias (1)
 La figura muestra un circuito que contiene una batería ideal
de 12V (sin resistencia interna) y 4 resistores con R1=20 Ω,
R2=20 Ω, R3=30 Ω, y R4=8 Ω.
Pregunta:
Cuál es la corriente a través de la batería?
Respuesta:
Idea: Encontrar la resistencia equivalente.
y aplicar la Ley de Ohm:
R2 y R3 están en paralelo.


Ejemplo 2: Más Resistores (2)
Cuál es la corriente a través de la batería?

 R23=12 Ω

 R1, R23 y R4 están en serie.

V 12 V
i= = = 0.3 A
R1234 40 Ω

July 5, 2012

Ejemplo 2: Más resistores(3)
Pregunta:
Cuál es la corriente i2 a través de R2?
Respuesta:
Idea 1: R2 y R3 están en paralelo,
estos resistores tienen el mismo
voltaje V2=V3=V23
Idea 2: R1, R23, y R4 están en serie y
tienen la misma corriente

V23=iR23 =(0.3 A)(12 Ω)=3.6 V
V2 3.6 V
i2 = = = 0.18 A
R2 20 Ω


Ejemplo 2: Más resistores (4)

Pregunta:
Cuál es la corriente i3 a través de R3?
Respuesta:
Idea: La conservación de la carga
nos dice que la corriente i que va a
través de R23 debe ser igual a la suma
de las corrientes a través de R2 y R3.

i = i2 + i3
i3 = i − i2 = 0.3 A − 0.18 A = 0.12 A


Energía y Potencia eléctrica en Circuitos(1)
 Consideremos un circuito simple en el cual la fuente fem tiene un
voltaje V que causa una corriente i que fluye a través del cirucuito

 El trabajo requerido para mover un diferencial de carga dq alrededor
del circuito es igual al diferencial de la energía potencial eléctrica
dU dada por: dU = dqV
 También se puede reescribir la diferencia de energía potencial
eléctrica en ténminos de la corriente i = dq / dt

 Como: dU = idtV
P = dU / dt
 La definicion de potencia P es
dU idtV
P= = = iV
dt dt

Energía y potencia en circuitos eléctricos(2)
 La potencia disipada en un circuito o elemento de circuito esta dada
por
V2 con
P = iV = i R =
2

R
 Las unidades de potencia son (W)

 Los aparatos eléctricos se clasifican por la cantidad de
energía que consumen en vatios
 La Factura de electricidad se basa en el número de
kilovatios-hora de energía eléctrica que consume

kW h = potencia por x tiem po

1 kW h = 1 000 W X 3600 s = 3.6 x 1 06 j
oules


Ejemplo: Dependencia con la temperatura de
la resistencia de una bombilla(1)
 Una bombilla de 100 W de luz se conecta a una fuente de
fuerza electromotriz con Vfem = 100 V. Cuando la bombilla
está en funcionamiento, la temperatura de su filamento de
tungsteno es 2520 °C.
Pregunta
Cuál es la resistencia del filamento de la bombilla a
temperatura ambiente (20 ºC)?
Respuesta:
 La potencia cuando esta iluminando: 2
V
P=
R

Ejemplo: Dependencia con la temperatura de
la resistencia de una bombilla(2)
( )
2
V2 100 V
… así R = = = 100 Ω
P 100 W
La resistencia depende de la temperatura así:
R − R0 = R0α T − T0 ( )
… Resolviendo para la resistencia a temperatura ambiente:
(
R = R0 + R0α T − T0 = R0 1+ α T − T0 ) ( ( ))
R
R0 =
(
1+ α T − T0 )
Mirando en la tabla el coeficiente de temperatura para el
tungsten …
R 100 Ω
R0 = = = 8.2 Ω
(
1+ α T − T0 ) (
1+ 4.5⋅10 °C 2520 °C − 20 °C
-3 -1
)( )

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