Alumno: Cesar Jesús Estrada Escobedo2DO Cuatrimestre Sección “A”Maestro: Gerardo Edgar Mata OrtizMateria: EstadísticaFecha...
Distribución de BernoulliEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribucióndicotómica),...
1.- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal ycuyos conductores no tenían cinturón desegu...
4.- Consideremos el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que seseleccionan tres artículos al azar de un proceso de ...
Distribución BinomialEn estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discretaque mide el núme...
1.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdocon las tablas actuariales, la pr...
3.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 0.4.Si 15 personas contraen la enfermedad ¿...
Donde:k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da laprobabilidad de que el evento suceda precis...
2.-La proporción de alumnos de un distrito universitario con calificación desobresaliente esde 0,005%. Determinar la proba...
4.-Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículasradioactivas que pasan a través de un contador de...
3.- A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto, siguiendo unadistribución de Poisson. ¿Cuál es la probabi...
En un 30,84% de las situaciones pasarán 12 horas hasta que fallen doscomponentes.5.- En una ciudad se observa que el consu...
Distribución normalEn estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución deGauss o distribución gaussia...
Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan ...tablas para elcálculo de los valores de su distribución.Es ...
Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamentede esa población tenga un peso mayor de 100...
P(59.5≤X≤60.5) = normcdf(2.1)-normcdf(1.9)= 0.01095.- Suponga que el 4% de la población de la tercera edad tiene Alzheimer...
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue ladistribución t de Student no central con ...
Calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias asumiendoigualdad de varianzas y no asumiendo la ig...
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Trabajo final de estadistica

  1. 1. Alumno: Cesar Jesús Estrada Escobedo2DO Cuatrimestre Sección “A”Maestro: Gerardo Edgar Mata OrtizMateria: EstadísticaFecha: 18/03/12
  2. 2. Distribución de BernoulliEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribucióndicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, esuna distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad deéxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un únicoexperimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variablealeatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .La fórmula será:Su función de probabilidad viene definida por:Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conocecomo Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentoscomo ensayos repetidos.Esperanza matemática:Varianza:Función generatriz de momentos:Función característica:Moda:0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)
  3. 3. 1.- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal ycuyos conductores no tenían cinturón deseguridad, que 300 individuos quedaron con secuelas.Describa el experimento usando conceptos de v.a.Solución.La noción frecuentista de problema nos permite aproximar la probabilidad detener secuelas mediante 300/2000=0,15=15% X=“tener secuelas tras accidente sin cinturón” es variable de Bernoulli X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,15X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,852.- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal ycuyos conductores sí tenían cinturón de seguridad, que 10 individuos quedaroncon secuelas.Describa el experimento usando conceptos de v.a. Solución.La noción frecuentista de problema nos permite aproximar la probabilidad dequedar con secuelas por 10/2000=0,005=0,5%X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” es variable de BernoulliX=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,9953.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esaedad viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de30 años vivan: 1. Los cinco individuos. 2. Al menos tres. 3. Sólo dos. 4. Al menosuno.Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se puedenpresentar dos situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q= 2/5). Al considerar los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria Xbinomial con n = 5, p = 0, 6 X ~ B (5, 0,6).
  4. 4. 4.- Consideremos el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que seseleccionan tres artículos al azar de un proceso de ensamblaje, se inspeccionan yse clasifican como defectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso sedesigna como éxito. El número de éxitos es una v.a. X que toma valores integralesde 0 a 3.Como los artículos se seleccionan de forma independiente de un proceso quesupondremos produce 25% de artículos defectuosos,P(NDN)=P(N)P(D)P(N)=(3/4)(1/4)(3/4)=9/64.5.- La v.a. que define el experimento lanzamiento de una moneda sigue unadistribución de Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del suceso deinterés, cara o cruz. PROPIEDADES
  5. 5. Distribución BinomialEn estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discretaque mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayosde Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia deléxito entre los ensayos.Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo sonposibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene unaprobabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. Enla distribución binomial el anterior experimento se repite nveces, de formaindependiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número deéxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución deBernoulli.Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial deparámetros n y p, se escribe:La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidaddel resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultadode cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denominaéxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantesen todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producidoen los n experimentos.Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue unadistribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).Su función de probabilidad esdondesiendo las combinaciones de en ( elementos tomadosde en ).
  6. 6. 1.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdocon las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 añosmás es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:1. Los cinco individuos.2. Al menos tres.3. Sólo dos.4. Al menos uno.Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden presentar dossituaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerarlos 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p = 0, 6 X ~B(5, 0,6).2.-Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo varón es 0,51. Hallar la probabilidad deque una familia con seis hijos tenga:1. Por lo menos un niño.2. Por lo menos una niña.
  7. 7. 3.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 0.4.Si 15 personas contraen la enfermedad ¿cual es la probabilidad de que a) al menos 10 sobrevivan ? Sea X el n´umero de supervivientes.4.- Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?El número de aciertos k es 6. Esto es x=6El número de experimentos n son 10La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50La fórmula quedaría:P (k = 6) = 0.205Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5%5.- En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que enuna muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.Solución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular laprobabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2).Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . Laprobabilidad estará en x=2El resultado es 0.0988.Distribución de PoissonEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es unadistribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia deocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventosdurante cierto periodo de tiempo.Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en sutrabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles etmatière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles).La función de masa de la distribución de Poisson es
  8. 8. Donde:k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da laprobabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera queocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiadotiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en laprobabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos,usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribuciónde Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria. Dehecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entoncessegún la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al númerode particiones de tamaño.La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no enteroes igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representanla función). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valoresperado λ es1.- El número de accidente por semana en una fábrica sigue una distribuciónPoisson deParámetro l = 2. Calcular:1. La probabilidad de que en una semana haya algún accidente.2. La probabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas.3. La probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y otros dos en lasemanaSiguiente.4. Si sabemos que ha habido un accidente hallar la probabilidad de que en esasemanaNo haya más de tres accidentes.
  9. 9. 2.-La proporción de alumnos de un distrito universitario con calificación desobresaliente esde 0,005%. Determinar la probabilidad de que entre 5000 alumnos seleccionadosal azarhaya dos con calificación media sobresaliente.3.-En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo al día.Si se recogen los huevos cada hora ¿Cuál es el número medio de huevos que serecogen en cada visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos para 0,1,2, 3x =? ¿y la probabilidad de que4x = ?Distribución de Poisson para un valor medio de µ = 0.75
  10. 10. 4.-Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículasradioactivas que pasan a través de un contador de un milisegundo es cuatro.¿Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en unmilisegundo dado?Solución:5.- El número promedio de camiones tanque que llega cada día a cierta ciudadportuaria es 10. Las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más 15camiones tanque por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado loscamiones se tengan que regresar?. Solución:Sea X el número de camiones tanque que lleganAl usar la distribución de Poisson desde x=0 a x=15 y encontrando elcomplementario tenemos el resultado:p=0.95 representa la probabilidad de recibir de 0 a 15 camiones, es decir, norebasa la capacidad de las instalaciones. El complementario p’=0.05 es laprobabilidad de rebasar la capacidad, es decir, de devolver camiones.DISTRIBUCIÓN GAMMA1.-En un estudio de la guardia urbana de Barcelona se toma una distribucióngamma para modelizar el número de víctimas en accidentes de tráfico. Como esmás habitual la proporción de 1 ocupante por vehículo siniestrado, y es más rarala probabilidad de 4 ó 5 ocupantes por vehículo siniestrado, se crea unadistribución gamma para modelizar el número de víctimas por accidente de tráfico.El 38% de la distribución lo acumula la proporción 1 accidentado por accidente, el36% 2:1, 16% la 3:1, 6% el 4:1 y finalmente un 3% para 5:1. La media del modeloes 1,5 víctimas por accidente, pero no indican el valor de los parámetros α y βtomados en cuenta.2.-También en el ámbito de la siniestralidad viaria, en un estudio de la ciudad deMedellín, Colombia, se usa la distribución Gamma para obtener la distribución deprobabilidad de la variable aleatoria “edad de fallecimiento en accidentes detráfico”. En este caso explican que se asignaron los parámetros α y “a ojo”. Elmejor resultado es el que parece minimizar los errores cuadráticos mediosdespués de varias asignaciones. Finalmente obtienen α=2,94 y =13,94.
  11. 11. 3.- A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto, siguiendo unadistribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en menos de 1 minutolleguen 8 llamadas?Existe un 91,05% de probabilidades de recibir 8 llamadas en un plazo de tiempode menos de 1 minuto.4.- Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas, ¿cuál es el tiempomedio que transcurre hasta que fallan dos componentes? ¿Cuál es la probabilidadde que transcurran 12 horas antes de que fallen los dos componentes?
  12. 12. En un 30,84% de las situaciones pasarán 12 horas hasta que fallen doscomponentes.5.- En una ciudad se observa que el consumo diario de energía (en millones dekilowatt-hora) es una variable aleatoria que sigue una distribución gamma conparámetros α= 3 y =2. Si la planta de energía que suministra a la ciudad tiene unacapacidad diaria de generar un máximo de 12, ¿cuál es la probabilidad de quehaya un día donde no se pueda satisfacer la demanda?
  13. 13. Distribución normalEn estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución deGauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones deprobabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada enfenómenos reales.La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétricarespecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana deGauss y e es el gráfico de de una función gaussiana.La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerososfenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos quesubyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por laenorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso delmodelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtienecomo la suma de unas pocas causas independientes.De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir unfenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseñoexperimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología seaconocido como método correlacional. Función de densidadSe dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal deparámetros μy σ y se denota X~N (μ, σ) si su función de densidad está dada por:donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ2 esla varianza).5Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros tomanlos valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguienteexpresión:
  14. 14. Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan ...tablas para elcálculo de los valores de su distribución.Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variablesaleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan unamayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En suexpresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los quedepende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α),responsable de la convergencia de la distribución. Los parámetros de la distribuciónEl primer parámetro (α) sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por estemotivo en algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando setoman valores próximos a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de ladistribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes de (α) el centrode la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma de unacampana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el quedetermina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidadde probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) ladistribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho de lacola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano.Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se vareduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de (β)conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad deprobabilidad más elevado.Una forma de interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”.Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λserá el ratio de ocurrencia: λ=1/β.La expresión también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo eldesarrollo matemático.Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinadapoblación sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80Kg y una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidadde que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?
  15. 15. Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamentede esa población tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 1–0.9772=0.0228, esdecir, aproximadamente de un 2.3%.2.- cuál es la probabilidad que una variable normal estandarizada se encuentre enlos rangos:1. P(-1≤X≤1) = normcdf(1)-normcdf(-1)= 0.68272. P(0≤ X ≤1.72) = normcdf(1.72)-normcdf(0)= 0.45733. P(4.5≤X) = 13.-Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está normalmente distribuida,con promedio μ = 160cm y desviación estándar σ = 7.5cm. Encuentre elporcentaje de mexicanas que están:a) Entre 153 y 168 centímetrosb) Aproximadamente 170 centímetrosSuponga que la altura de las mujeres mexicanas está normalmente distribuida,con promedio μ = 160cm y desviación estándar σ = 7.5cm.entonces z1 = (153-160)/7.5=-0.93 y z2 = (168-160)/7.5=1.07De aquí que:P(153≤X≤168) = normcdf(-0.93)-normcdf(1.07)= 0.6815Asuma que las alturas son redondeadas al centímetro más cercano,entonces z1 = (169.5-160)/7.5=1.27 y z2 = (170.5-160)/7.5=1.4De aquí que:P(169.5≤X≤170.5) = normcdf(1.4)-normcdf(1.27)= 0.02134.- Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.¿Cuál es la predicción de la aproximación normal?Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.Note que: μ = np = 100(0.5) =50, σ2 = npq = 100(0.5)(0.5) = 25, porlo que σ = 5. Se usa entonces la distribución normal paraaproximar la probabilidad binomial como sigue:b(100, 60, 0.5) ≈ N(59.5 ≤ X ≤ 60.5). Tras transformar, a = 59.5,b = 60.5 en unidades estándar se obtiene:z1 = (59.5-50)/5=1.9 y z2 = (60.5-50)/5=2.1. De aquí que:
  16. 16. P(59.5≤X≤60.5) = normcdf(2.1)-normcdf(1.9)= 0.01095.- Suponga que el 4% de la población de la tercera edad tiene Alzheimer.Suponga que se toma una muestra aleatoria de 3500 ancianos. Encuentre laprobabilidad que al menos 150 de ellos tengan la enfermedad.Suponga que el 4% de la población de la tercera edad tiene Alzheimer. Supongaque se toma una muestra aleatoria de 3500 ancianos. Encuentre la probabilidadque al menos 150 de ellos tengan la enfermedad.μ = np = 3500(0.04) =140, σ2 = npq = 3500(0.04)(0.96) = 134.4, porlo que σ = 11.6. Se usa entonces la distribución normal paraaproximar la probabilidad binomial como sigue:b(k ≤ 150) ≈ N(X ≤ 149.5). Tras transformar, a = 149.5, en unidades estándar seobtiene: z1 = (149.5-140)/5= 0.82 De aquí que:P(X≤149.5) = normcdf(0.82) = 0.7939 Distribución T de studentEn probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución deprobabilidad que surge del problema de estimar la media deuna población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra espequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinaciónde las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalode confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando sedesconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partirde los datos de una muestra.La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cocienteDondeZ tiene una distribución normal de media nula y varianza 1V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertadZ y V son independientes
  17. 17. Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue ladistribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidasnormalmente, con media μ y varianza σ2. Seala media muestral. Entoncessigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida deantemano, Gosset estudió un cociente relacionado,Donde:Se tienen los siguientes datos experimentales correspondientes a 17 individuos delos que se ha recogido el valor que presentan en dos variables, una de ellascuantitativa con distribución normal considerada como variable respuesta (Rta), yla otra variable dicotómica considerada como variable explicativa (Exp). Los datosse presentan de forma que en las filas hay varios individuos para facilitar lalectura:
  18. 18. Calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias asumiendoigualdad de varianzas y no asumiendo la igualdad de éstas y realizar el siguientecontraste:H0: m1 - m2 = 0H1: m1 - m2 ¹ 0mediante la prueba t-Student para dos medias en los dos supuestos de igualdad yno igualdad de varianzas.

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