CLASE 2
RANGOS NUMERICOS PARA NUMEROSBINARIOS DE n BITS
ALGEBRA DE BOOLEGeorge Boole¿Como es que se realizan decisiones lógicas con base encircunstancias verdaderas o falsas (cas...
ALGEBRA DE BOOLEALGEBRABOOLEANASímbolos+OperadoresA
ALGEBRA DE BOOLEAlgebratradicionalAlgebrabooleanaVariables Representannúmeros realesRepresentan solo 0o 1.Operadores Retor...
ALGEBRA BOOLEANA ASPECTOSCLAVES• Variables booleana: Variable que puede tomarsolo dos posibles valores, tales comoHIGH/LOW...
OPERADORES BOOLEANOSOPERADORESBOOLEANOS LOGICOSBASICOSAND OR NOTEste operador retorna V solocuando ambas entradas son V.Es...
TABLA DE VERDADEntradas (3)Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una función ocircuito lógico dep...
COMPUERTAS LOGICASLas funciones lógicas pueden representar circuitos lógicos.Tabla de verdadCircuito lógicoFunción boolean...
OPERADORES BOOLEANOS YCOMPUERTAS LOGICASInversorZACompuerta ANDABZCompuerta ORZABZABCompuerta NANDZABCompuerta NORCompuert...
COMPUERTA NOTLa operación NOT produce una salida cuyo valor esel opuesto al valor de su entrada.XA
COMPUERTA ANDLa operación AND produce una salida de1 solo cuando todas sus entradas son 1.En cualquier otro caso la salida...
COMPUERTA ORLa operación OR produce una salida de 1siempre que cualquiera de sus entradassea 0. En cualquier otro caso la ...
DIAGRAMAS DE TIEMPO PARA LASCOMPUERTAS AND, OR Y NOT
COMPUERTA NORLa operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 0. Encualquier otro caso la salid...
COMPUERTA NANDLa operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus entradas son 1. Encualquier otro caso la sal...
COMPUERTA XORLa operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son diferentes. Encualquier otro caso la salida ...
COMPUERTA XNORProduce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso opuesto la salidaproducida es 0.BXA
RESUMEN COMPUERTASCompuerta Símbolo Tabla de verdad ExpresiónANDORNOT
RESUMEN COMPUERTASCompuerta Símbolo Tabla de verdad ExpresiónNORNANDXNOR
RESUMEN COMPUERTASCompuerta Símbolo Tabla de verdad ExpresiónXOR
REPASO DE LO VISTOEjemplo 1: Determine la forma de onda de salida para la compuerta OR, cuandose tiene la siguiente entrad...
REPASO DE LO VISTOEjemplo 2: Para la compuerta OR de 3 entradas mostrada a continuación,determine la forma de onda a la sa...
PREGUNTAS DE REPASO• ¿Cual es el único conjunto de condiciones de entrada que produciránuna salida baja en cualquier compu...
DESCRIBIENDO CIRCUITOS LOGICOSALGEBRAICAMENTE• Cualquier circuito lógico, sin importar su complejidad, pueden sercompletam...
ORDEN DE PRESEDENCIA• Las operaciones AND se hace antes que las operaciones ORLos paréntesis hacen mas clara la precedenci...
REGLAS DE PRECEDENCIA EN ALGEBRABOOLEANALa siguiente tabla muestra el orden de precedencia, siendo lamas alta la que va de...
PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANAALGUNOS EJEMPLOSEvalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo quea=1, b = 1, c = 0...
PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANAALGUNOS EJEMPLOSEvalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo queA=0, B = 1, C = 1...
ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE EL USO DE TABLASSiempre que se tenga un circuito lógico combinacional ydesee saber...
ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE EL USO DE TABLASEjercicio:Muestre la tabla de verdad asociada a la siguiente funci...
RELACION ENTRE FUNCIONESLOGICAS Y CIRCUITOS DIGITALESCuando la operación de un circuito esta definida por unafunción boole...
ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE EL USO DE TABLASDibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica:Dibu...
ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE EL USO DE TABLASDibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica:Como...
TEOREMAS BOOLEANOS
TEOREMAS BOOLEANOSPostulados de HuntingtonLas operaciones en algebra booleana están basadas en los siguientespostulados:x ...
TEOREMAS BOOLEANOSx + (y.z) = (x + y).(x+z) ; x.(y+z) = x.y + x.zx + (y+z) = (x + y)+z ; x.(y.z) = (x.y).z
TEOREMAS BOOLEANOSPostulado 5 (Identidades): En el conjunto S existen dos elementos 1(uno) y 0 (cero), únicos, tales que:x...
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANAPrincipio de dualidad:Cualquier expresión algebraica derivada de los axiomas continua siendov...
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANATeorema 1: Los elementos de identidad 0 y 1 son unicos.TeoremasTeorema 2 (Idempotencia):(i) x...
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANAEl cual generalizado para mas elementos mas de dos elementos será:
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
DEMOSTRACIONESP4. Propiedad distributiva: x(y+z) = xy + xzT3. x + 1 = 1P5. x.1 = xP5. Identidades: x.1 = xP4. Propiedad di...
EJERCICIOS DEMOSTRACIONESDemostrar los siguientes teoremas:
SIMPLIFICACION DE FUNCIONESUna las principales aplicaciones es la simplificación de funciones lógicas, locual tiene un efe...
SIMPLIFICACION DE FUNCIONESEjemplo 2:Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de Boole.[abc + abbd...
REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE TABLAS DE VERDAD
REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE TABLAS DE VERDADEjemplo:Use una tabla de verdad para definir una función F(a...
CONVIRTIENDO ENTRE REPRESENTACIONES• Podemos convertir desde una representación cualquiera a otra.CircuitoEcuaciónTabla de...
RESUMEN REPRESENTACION DEFUNCIONES LOGICASUna función puede ser representada en diferentes formas
PROCESO DE DISEÑO LOGICOCOMBINACIONAL1. Capture la función: Cree la tabla de verdad o las ecuacionespara describir el comp...
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  1. 1. CLASE 2
  2. 2. RANGOS NUMERICOS PARA NUMEROSBINARIOS DE n BITS
  3. 3. ALGEBRA DE BOOLEGeorge Boole¿Como es que se realizan decisiones lógicas con base encircunstancias verdaderas o falsas (casos)?LOGICAUna investigación sobre las leyes delpensamiento.
  4. 4. ALGEBRA DE BOOLEALGEBRABOOLEANASímbolos+OperadoresA
  5. 5. ALGEBRA DE BOOLEAlgebratradicionalAlgebrabooleanaVariables Representannúmeros realesRepresentan solo 0o 1.Operadores Retornan númerosreales.Retornan solo 0 o 1.0 lógico 1 lógicoFalso VerdaderoApagado EncendidoBajo AltoNo SiInterruptor abierto Interruptor cerradoNivel lógicoOperadores básicosAND, OR, NOTEjemplo:Don Ramón se pone bravo si doña Florinda le pega o el chavo le da bomba y lachilindrina no lo consuela.• F: Don Ramón se pone bravo. (F=1, don Ramón bravo; F=0 don Ramóncalmado).• A: El chavo le da bomba a don Ramón.• B: Doña florinda le pega a don Ramón.• C: La chilindrina consuela a don Ramón.F = (A OR B)AND(NOT(C)) Expresión booleana
  6. 6. ALGEBRA BOOLEANA ASPECTOSCLAVES• Variables booleana: Variable que puede tomarsolo dos posibles valores, tales comoHIGH/LOW, 1/0, On/Off o TRUE/FALSE.• Expresión booleana: Expresión algebraicacompuesta por variables booleanas yoperadores tales como AND, OR o NOT.También es conocida como función booleana ofunción lógica.• Algebra booleana: Sistema algebraico que opera sobre variables booleanas. Lanaturaleza binaria (de 2 estados) del algebra booleana la hace apta para el análisis,simplificación y diseño de circuitos lógicos.F = (A OR B)AND(NOT(C))
  7. 7. OPERADORES BOOLEANOSOPERADORESBOOLEANOS LOGICOSBASICOSAND OR NOTEste operador retorna V solocuando ambas entradas son V.Este operador retorna Vcuando cualquiera de lasentradas es V.Este operador retorna comosalida el valor opuesto a laentrada.Ejemplo:Dada la función lógica mostrada a continuación.¿Cuál es su valor si A=1, B=0, D=0, C=0 y E=1?
  8. 8. TABLA DE VERDADEntradas (3)Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una función ocircuito lógico depende de los niveles lógicos presentes a la entrada.CircuitológicoABCxFilas (8)SalidaPara N entradas existen un total de2^N combinaciones posibles y porende 2^N filas en la tabla deverdad asociada a la función queesta se encuentra representando.Ejemplo:Se tiene un circuito con 3 entradas el cual seenciende en los siguientes casos:• Cuando dos de las entradas se encuentran enalto.• Cuando las tres entradas son iguales.Llene la tabla de verdad asociada a este circuito.
  9. 9. COMPUERTAS LOGICASLas funciones lógicas pueden representar circuitos lógicos.Tabla de verdadCircuito lógicoFunción booleanaCompuerta lógicaCircuito electrónico que realiza unafunción lógica booleana.
  10. 10. OPERADORES BOOLEANOS YCOMPUERTAS LOGICASInversorZACompuerta ANDABZCompuerta ORZABZABCompuerta NANDZABCompuerta NORCompuerta XORZAB
  11. 11. COMPUERTA NOTLa operación NOT produce una salida cuyo valor esel opuesto al valor de su entrada.XA
  12. 12. COMPUERTA ANDLa operación AND produce una salida de1 solo cuando todas sus entradas son 1.En cualquier otro caso la salida es 0.BXA
  13. 13. COMPUERTA ORLa operación OR produce una salida de 1siempre que cualquiera de sus entradassea 0. En cualquier otro caso la salida es0.BXA
  14. 14. DIAGRAMAS DE TIEMPO PARA LASCOMPUERTAS AND, OR Y NOT
  15. 15. COMPUERTA NORLa operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 0. Encualquier otro caso la salida es 0.BXA
  16. 16. COMPUERTA NANDLa operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus entradas son 1. Encualquier otro caso la salida es 1.BXA
  17. 17. COMPUERTA XORLa operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son diferentes. Encualquier otro caso la salida es 0.BXA
  18. 18. COMPUERTA XNORProduce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso opuesto la salidaproducida es 0.BXA
  19. 19. RESUMEN COMPUERTASCompuerta Símbolo Tabla de verdad ExpresiónANDORNOT
  20. 20. RESUMEN COMPUERTASCompuerta Símbolo Tabla de verdad ExpresiónNORNANDXNOR
  21. 21. RESUMEN COMPUERTASCompuerta Símbolo Tabla de verdad ExpresiónXOR
  22. 22. REPASO DE LO VISTOEjemplo 1: Determine la forma de onda de salida para la compuerta OR, cuandose tiene la siguiente entrada a estas:
  23. 23. REPASO DE LO VISTOEjemplo 2: Para la compuerta OR de 3 entradas mostrada a continuación,determine la forma de onda a la salida.Ejemplo 3: Como seria la salida si loque se tuviera fuera una compuertaAND de 3 entradas
  24. 24. PREGUNTAS DE REPASO• ¿Cual es el único conjunto de condiciones de entrada que produciránuna salida baja en cualquier compuerta OR?• ¿Escriba la expresión booleana para una compuerta OR de 6 entradas?• ¿Si la entrada A del punto anterior permaneciera en alto, cual seria elresultado de a la salida?• ¿Cual es la única combinación de entradas que producirá un ALTO a lasalida de una compuerta AND de 5 entradas?• ¿Cual es el nivel lógico que debería ser aplicado a la segunda entradade una compuerta AND de 2 entradas si la señal lógica en la primeraentrada es inhibida de buscar la salida?• Cierto o falso: ¿ La salida de una compuerta AND siempre diferirá dela salida de una compuerta OR para las mismas condiciones deentrada?
  25. 25. DESCRIBIENDO CIRCUITOS LOGICOSALGEBRAICAMENTE• Cualquier circuito lógico, sin importar su complejidad, pueden sercompletamente descritos usando las tres operaciones básicas: OR, AND y NOT.¿Como se interpreta AB + C?Se aplica un OR entreA.B y el termino CSe aplica un AND entreA y el termino B+CORDEN DE PROCEDENCIA
  26. 26. ORDEN DE PRESEDENCIA• Las operaciones AND se hace antes que las operaciones ORLos paréntesis hacen mas clara la precedenciapero no son necesarios para el caso anterior• Cuando in inversor esta presente en un diagrama de circuito lógico, su expresión desalida simplemente es igual a la expresión de entrada con una barra sobre esta.
  27. 27. REGLAS DE PRECEDENCIA EN ALGEBRABOOLEANALa siguiente tabla muestra el orden de precedencia, siendo lamas alta la que va de primero.
  28. 28. PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANAALGUNOS EJEMPLOSEvalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo quea=1, b = 1, c = 0 y d = 1.1. F = a*b + cRespuesta: * tiene precedencia sobre +, así que cuando seevalúa la expresión se tiene que F=(1*1) + 0 = 1 + 0 = 1.2. F = ab + cRespuesta: El problema es similar al anterior +, solo que en estecaso se usa la notación alternativa para la operación AND.3. F = ab’Respuesta: Primero debe evaluarse b’ por que el NOT tieneprecedencia sobre el AND, esto resulta en: F=1*(1’)=1*(0)=1*0=0.4. F = (ac)’Respuesta: Primero se evalúa lo que esta dentro de paréntesis paraluego se negar el resultado: F=(1*0)’=(0)’=0’=1.
  29. 29. PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANAALGUNOS EJEMPLOSEvalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo queA=0, B = 1, C = 1 y D = 1.
  30. 30. ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE EL USO DE TABLASSiempre que se tenga un circuito lógico combinacional ydesee saber como funciona, la mejor manera de analizarlo esmediante el uso de una tabla se verdad.Nodos intermedios: No sonentradas ni salidas son soloconexiones entre la salida deuna compuerta y la entradade otraEntradasSalida
  31. 31. ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE EL USO DE TABLASEjercicio:Muestre la tabla de verdad asociada a la siguiente funciónlógica:
  32. 32. RELACION ENTRE FUNCIONESLOGICAS Y CIRCUITOS DIGITALESCuando la operación de un circuito esta definida por unafunción booleana, nosotros podemos dibujar el circuitodirectamente de la expresión.
  33. 33. ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE EL USO DE TABLASDibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica:Dibuje nuevamente el circuito pero esta vez asuma comorestricción que este no puede tener compuertas de mas de 3entradas.
  34. 34. ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE EL USO DE TABLASDibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica:Como restricción use compuertas que no tengan mas de dosentradas.Ahora siguiendo la misma restricción implemente en uncircuito digital la siguiente función lógica.
  35. 35. TEOREMAS BOOLEANOS
  36. 36. TEOREMAS BOOLEANOSPostulados de HuntingtonLas operaciones en algebra booleana están basadas en los siguientespostulados:x + y = y + x ; xy = yxEn aplicación en los circuitos digitales podríamos decir que no importa elorden de conexión de las entradas a una compuerta OR o AND.
  37. 37. TEOREMAS BOOLEANOSx + (y.z) = (x + y).(x+z) ; x.(y+z) = x.y + x.zx + (y+z) = (x + y)+z ; x.(y.z) = (x.y).z
  38. 38. TEOREMAS BOOLEANOSPostulado 5 (Identidades): En el conjunto S existen dos elementos 1(uno) y 0 (cero), únicos, tales que:x + 0 = x ; x.1 = xx1 xx0 x
  39. 39. TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANAPrincipio de dualidad:Cualquier expresión algebraica derivada de los axiomas continua siendovalida cuando los operandos AND y OR, y los elementos 1 y 0 sonintercambiados.
  40. 40. TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANATeorema 1: Los elementos de identidad 0 y 1 son unicos.TeoremasTeorema 2 (Idempotencia):(i) x + x = x(ii) x.x = xTeorema 3 (Elemento nulo):(i) x + 1 = 1(ii) x.0 = 0Teorema 4 (Leyes de absorción):(i) x + xy = x(ii) x(x+y) = xTeorema 5: Cada elemento en el conjunto S tiene un único complemento.
  41. 41. TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANAEl cual generalizado para mas elementos mas de dos elementos será:
  42. 42. TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
  43. 43. DEMOSTRACIONESP4. Propiedad distributiva: x(y+z) = xy + xzT3. x + 1 = 1P5. x.1 = xP5. Identidades: x.1 = xP4. Propiedad distributiva: x+y.z = (x+y)(x+z)P5. Identidades: x+1 = xP4. Propiedad distributiva: x+y.z = (x+y)(x+z)
  44. 44. EJERCICIOS DEMOSTRACIONESDemostrar los siguientes teoremas:
  45. 45. SIMPLIFICACION DE FUNCIONESUna las principales aplicaciones es la simplificación de funciones lógicas, locual tiene un efecto en la disminución del numero de compuertas que tendráal circuito lógico asociado a la función en cuestión. A este proceso se leconoce como manipulación algebraica.Ejemplo 1:Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de boole.ab + a(b+c) + b (b+c) = ab + ab + ac + b + bc= ab + ac + b (1+ c)= ab + ac + b  1= ab + ac + b= b (a +1) + ac= b  1 + ac= b +ac
  46. 46. SIMPLIFICACION DE FUNCIONESEjemplo 2:Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de Boole.[abc + abbd + ab]c = [abc + a(bb)d + ab]c= [abc + a(1)d + ab]c= (abc + ad + ab)bc= (ab+ad)bc= abbc + adbc= abc + abcd= abcSolución:[ab.(c+bd) +ab]c = [b.(a.(c+bd)+a)].c=b.a.cForma 1Forma 2
  47. 47. REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE TABLAS DE VERDAD
  48. 48. REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANASMEDIANTE TABLAS DE VERDADEjemplo:Use una tabla de verdad para definir una función F(a,b,c) que sea 1 cuando el numerobinario abc sea mayor o igual a 5.
  49. 49. CONVIRTIENDO ENTRE REPRESENTACIONES• Podemos convertir desde una representación cualquiera a otra.CircuitoEcuaciónTabla deverdadHacer un OR de cada terminode entrada cuya salida sea 1Evaluar la ecuación para cadacombinación de entrada (fila).Crear columnasintermedias ayuda
  50. 50. RESUMEN REPRESENTACION DEFUNCIONES LOGICASUna función puede ser representada en diferentes formas
  51. 51. PROCESO DE DISEÑO LOGICOCOMBINACIONAL1. Capture la función: Cree la tabla de verdad o las ecuacionespara describir el comportamiento deseado de la lógicacombinacional.2. Convierta a ecuaciones: Este paso es necesario si la funciónes capturada usando tabla de verdad en vez de ecuaciones.Para crear la ecuación se hace un OR de cada una de lasentradas cuya salida es 1. Luego si así lo desea puedesimplificar la ecuación.3. Implemente el circuito digital: Para cada salida cree uncircuito asociado a la ecuación.

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