1. Benjamín Castillo F.
Inferencia Estadística (INF312)

2. Nombre:
Clase 9:
Variable Aleatoria
Discreta

3. Objetivos
• General
• Descubrir las distribuciones de probabilidad discretas
• Específicos
• Conocer algunas características de las distribuciones de probabilidad
• Conocer los modelos de probabilidad más populares
• Presentar algunos ejemplos de modelos de probabilidad discreta

4. Función de distribución de probabilidad
𝑃(𝑥) de una variable aleatoria discreta X, es la función “o forma” por la cual se mide la
probabilidad de que X tome cierto valor, esto en función de x, por ejemplo
𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜 = 1/2
Donde
X P(X)
cara ½
sello 1/2

5. Función de distribución de probabilidad
¿Cuál es la probabilidad de caras en n lanzamientos de una moneda equilibrada?
𝑃(𝑐 = 0) =
1
2
𝑛
𝑃(𝑐 = 1) = 𝑛 ∗
1
2
𝑛
𝑃 𝑐 = 2 = n!/((n−2)!2!) ∗(1/2)^n
𝑃 𝑐 = 𝑖 = n!/((n−i)! i!)∗(1/2)^𝑛
X P(X)
cara ½
sello 1/2

6. Función de distribución de probabilidad
¿Y si la moneda no está equilibrada?
𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜 = 𝑝
𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑐𝑎𝑟𝑎 = 1 − 𝑝

7. Otro ejemplo
Si se lanza una moneda 4 veces ¿cuál es la probabilidad de que salga 0, 1, 2, 3, 4 o 5 caras?
𝑃 ∅ = 0
𝑃 ∪ = 1
𝑃 0 =
2
16
𝑃 1 =
3
16
𝑃 2 =
6
16
𝑃 3 =
4
16
𝑃 4 =
1
16
𝑃 5 = 0
0, 0.0625
1, 0.25
2, 0.375
3, 0.25
4, 0.0625
5, 0 6, 0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 1 2 3 4 5 6 7
Probabilidad
Cantidad de caras con 4 lanzamientos

8. Principales características de un modelo probabilístico
Función de densidad:
Expresión matemática que describe los valores de certeza (probabilidad) en función
de la variable aleatoria.
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓 𝑥

9. Principales características de un modelo probabilístico
Función acumulada
Expresión matemática que describe los valores de certeza (probabilidad) desde los
primeros valores de la variable aleatoria hasta 𝑋 = 𝑥.
Cuando X es discreto
𝑖=0
𝑥
𝑃 𝑋 = 𝑖 = 𝐹 𝑥
Cuando X es continuo
−∞
𝑥
𝑓(𝑢) = 𝐹(𝑥)

10. Principales características de un modelo probabilístico
Parámetros
Constantes, términos numéricos que describen las condiciones explícitas de la
variable o modelo probabilístico.

11. Principales características de un modelo probabilístico
Momentos
media
varianza
simetría
curtosis
Descripción fenomenológica de las propiedades gráficas de la distribución de
probabilidad

12. Principales características de un modelo probabilístico
Función generatriz de momentos
Se define la función generadora de momentos o función generatriz Фx(t) de una
variable aleatoria X como la esperanza de e elevado al producto t∙x, donde t puede
ser cualquier número real siempre y cuando la función obtenida sea derivable.
Los momentos de orden n pueden ser obtenidos haciendo la derivada n-ésima de la
función y sustituyendo el valor de t=0, tal como se enuncia en el siguiente teorema:
Teorema: Dada una variable aleatoria X, de la cual podemos calcular su función
generatriz, Фx(t), entonces se cumple que:

13. Principales características de un modelo probabilístico
Conceptos dentro de una función de distribución de probabilidad
Función de densidad
Función acumulada
Parámetros
Momentos
media
varianza
simetría
curtosos
Función generatriz de momentos

14. Ejemplo
Ejemplo:
𝑓(𝑥) = 𝛼𝑒−𝛼𝑥
𝑥 > 0, 𝛼 > 0
𝛼 es el parámetro
𝑓(𝑥) es la función de densidad
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑎𝑒−𝑎𝑡𝑑𝑡 = −𝑒−𝑎𝑡
0
𝑥
= −𝑒−𝑎𝑥 + 1 = 1 − 𝑒−𝑎𝑥

15. Distribuciones de probabilidad
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Los resultados de un experimento aleatorio se pueden dar en forma
discreta o en forma continua. Una variable aleatoria discreta X es
aquella que solo puede tomar algunos valores entre dos números
dados. X = Número de puntos que muestra la cara superior de un
dado después de su lanzamiento Y= Edades en años de los
empleados de una empresa. La distribución de probabilidad de una
variable aleatoria discreta es una tabla, gráfica, fórmula o cualquier
otro medio que se use para especificar todos los valores posibles de
la variable, junto a sus respectivas probabilidades.

16. Distribuciones de probabilidad discreta
Ejemplos:
Distribución Bernoulli
Distribución binomial
Distribución uniforme
Distribución geométrica
Distribución hipergeométrica
Distribución binomial negativa
Distribución Poisson

17. Distribuciones de probabilidad
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor
entre dos números prefijados. Ejemplo: Suponga una circunferencia de longitud
1 a la que se la han hecho 10 divisiones consecutivas a igual distancia
denotadas 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.54, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, (0.0 coincide con 1) En el
centro de la circunferencia se coloca una aguja equilibrada que se hace girar en
igual sentido a como lo hacen las manecillas del reloj. Como la aguja puede
detenerse en cualquier posición, considere X la variable aleatoria que
representa al número correspondiente a esa posición, luego el valor de X es un
número entre 0 y 1..

18. Distribuciones de probabilidad continua
Ejemplos:
Distribución Normal
Distribución Exponencial
Distribución uniforme
Distribución Gamma
Distribución beta
Distribución t-student
Distribución Cauchy

19. Modelo de Bernoulli
La variable aleatoria X que modeliza la clasificación de un elemento observado en
un experimento de Bernoulli de parámetro p. Lo denotaremos por X --> B(p) Se
puede expresar con la siguiente formula:
𝑆𝑥 = 0,1 ≡ {𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜, 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜}
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑝𝑥 1 − 𝑝 1−𝑥 ≡ 0.05 𝑥 ∗ 0.95 1−𝑥
𝑥 = 0, 1
Sus medidas principales son:
𝐸(𝑋)= 𝑝 𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝑝∗(1-p) (𝑝=é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑦 𝑞= 1−𝑝=fracaso)
Ejemplo: si una pieza aleatoria sale defectuosa con una posibilidad de 5%. ¿Cómo
resultaría el modelo?

20. Modelo binomial
Consiste en n ensayos de Bernoulli, la variable aleatoria X que
modeliza el número de elementos, entre n observados que tienen la
característica E, tiene una distribución que llamaremos binomial de
parámetros n y p. Lo denotaremos por X->B(n,p), su distribución de
probabilidad está dada por:
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛
Sus medidas principales son:
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 𝑉𝑎𝑟(𝑋)= 𝑛𝑝𝑞
Ejemplo: si una pieza aleatoria sale defectuosa con una posibilidad de
5%. ¿Cuál es la distribución con 5 extracciones?

21. Modelo Poisson
Es un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con
probabilidad no nula no es finito, sino numerable (parámetro λ). Su
función de distribución de probabilidad está dada por
:𝑃 𝑋 = 𝑘 = {
𝑒−λλ
𝑘
𝑘!
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛
Sus medidas principales son:
𝐸 𝑋 = λ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = λ
Ejemplo: si los clientes en una central de llegan cada 5 minutos ¿Cuál es
la probabilidad de que lleguen 10 en una hora?

22. Modelo Poisson
6. En una cierta población, se ha observado un número medio anual
de muertes por cáncer de pulmón de 12. Si el número de muertes
causadas por la enfermedad sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la
probabilidad de que durante el año en curso:
α) Haya exactamente diez muertes por cáncer de pulmón?
b) Quince personas o más mueran a causa de la enfermedad?
c) Diez personas o menos mueran a causa de la enfermedad?

23. Modelo Geométrico
La variable aleatoria X que modeliza el número de observaciones
(ensayos) necesarias para obtener el primer éxito en un experimento
Bernoulli tiene una distribución que llamaremos geométrica de
parámetro p. Lo denotaremos por X-> G (p); su ley de probabilidad está
dada por:
:𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑝 1 − 𝑝 𝑘−1 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛
Sus medidas principales son:
𝐸 𝑋 = 1/p 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
1 − 𝑝
𝑝2
Ejemplo: si los clientes en una central de llegan cada 5 minutos ¿Cuál es
la probabilidad de que el primero llegue en 3 minutos?

24. Modelo hipergeométrico
Es una variable discreta relacionado con muestreos aleatorios, se usa en
muestras pequeñas, sin reemplazo. Su función de distribución está dada
por::
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑑
𝑥
𝑁 − 𝑑
𝑛 − 𝑥
𝑁
𝑛
Donde N es el tamaño de la población, n es el tamaño de la muestra
extraída, d es el número de elementos en la población original que
pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en la
muestra que pertenecen a dicha categoría.

25. Modelo hipergeométrico
Sus medidas principales son:
𝐸 𝑋 =
𝑛𝑚
𝑁
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
𝑛
𝑚
𝑁
1 −
𝑚
𝑁
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
Ejemplo: si se recibe un envío de pedido especial de 500 etiquetas.
Supongamos que el 2% de las etiquetas es defectuoso. El conteo de
eventos en la población es de 10 (0.02 * 500). Usted toma una muestra
de 40 etiquetas y desea determinar la probabilidad de que haya 3 o más
etiquetas defectuosas en esa muestra.

26. Benjamín Castillo F.
Estadística (ICN124)