Ejercicios resuelto de números complejos aplicando propiedades

1. ALUMNO: JULIAN ROJAS C.I 17940232
1). Efectuar las operaciones siguientes.
푎. ) 푍 = (푅푒(2푖45 − 5푖32) + √2푖41 + 3푖24)1/3
b.) Re {( 2+푖17
3푖14−푖
5
2
)} |
푖6 −
3
2
푖5|
solucion del ejercicio a.)
푎. ) 푍 = (푅푒(2푖45 − 5푖32) + √2푖41 + 3푖24)1/3
Haciendo 푖2 = −1:푍 = (푅푒(2(푖2)22푖 − 5(푖2)16) + √2(푖2)20푖 + 3(푖2)12)1/3
푍 = (푅푒(2(−1)22푖 − 5(−1)16) + √2(−1)20푖 + 3(−1)12)1/3
푍 = (푅푒(푖 − 5) + √2푖 + 3)1/3 = (−5 + √2푖 + 3)1/3 = (−2 + √2푖)1/3
푍 = (−2 + √2푖)1/3 convirtiendo a forma polar
2
= √4 + 2 = √6
(−2 + √2푖) => |푧| = 푧2 = 22 + √2
휃 = tan−1 (− √2
2
) = −35,26 por estar en el tercer cuadrante 휃 = 270 − 35,26
휃 = 234,74 para calcular las raices se utiliza la definiciòn
√푧 푛 = 푍1/푛 = |푧|1/푛 = (cos (
휃+2푘휋
3
휃+2푘휋
) + 푖 sin (
3
))
1/3
√푧 3 = 푍1/3 = |√6|
234,74+20휋
(cos (
3
234,74+20휋
) + 푖 sin (
3
)) k=0
1/3
푍1 = |√6|
(cos(78,24) + 푖 sin(78,24))
1/3
√푧 3 = 푍1/3 = |√6|
234,74+2∗1∗휋
(cos (
3
234,74+2∗1∗휋
) + 푖 sin (
3
)) k=1
1/3
푍2 = |√6|
(cos(198,24) + 푖 sin(198,24))
1/3
√푧 3 = 푍1/3 = |√6|
234,74+2∗2∗휋
(cos (
3
234,74+2∗2∗휋
) + 푖 sin (
3
)) k=2
1/3
푍3 = |√6|
(cos(318,24) + 푖 sin(318,24))

2. b.) Re {( 2+푖17
3푖14−푖
5
2
)} |
푖6 −
3
2
푖5|
Solución:
Haciendo 푖2 = −1 Re {(2+(푖2)8푖
3(푖2)7−푖
5
2
)} |
(푖2)3 −
3
2
(푖2)2푖|
Re {(2+(−1)8푖
3(−1)7−푖
5
2
)} |
(−1)3 −
3
2
(−1)2푖| Re {( 2+i
−3−푖
)} |−
5
2
−
3
2
푖| 푍 = 푥 + 푖푦 ; 푍 = 푥 − 푖푦
Re {( 2-i
−3+푖
)} |−
5
2
−
3
2
푖|; |−
5
2
−
3
2
푖| => |푧| = 푧2 = (−
5
2
2
+ (−
)
3
2
)
2
= √25
4
+
9
4
=
√34
4
Re {( 2-i
−3+푖
)} √34
4
por definición
푍1
푍2
=
푍1
푍2
푍2
푍2
Re {( 2-i
−3+푖
−3−푖
−3−푖
) (
−6−2푖+3푖−1
(3)2−(푖)2 )} = Re {(
)} = Re {(
−7+푖
9+1
−7+푖
10
)}= Re {(
)} =
−7
10
Re {( 2-i
−3+푖
)} √34
4
−7
10
=
√34
4
=
−7
20
√34
2.) Describir y bosquejar el lugar geométrico definido por:
3 (푍2+푍
2
) − 10푍푍 + 25 = 0 : por definición 푍 = 푥 + 푖푦; 푍 = 푥 − 푖푦
Solución:
3 ((푥 + 푖푦 )2+(푥 + 푖푦 )
2
) − 10(푥 + 푖푦 )(푥 + 푖푦 ) + 25 = 0
3((푥 + 푖푦 )2+(푥 − 푖푦 )2) − 10(푥 + 푖푦 )(푥 − 푖푦 ) + 25 = 0
3(푥2 + 2푥푖푦 + (푖푦)2 + 푥2 − 2푥푖푦 + (푖푦)2) − 10(푥2+푦2 ) + 25 = 0
3(푥2−푦2 + 푥2+푦2) − 10(푥2+푦2 ) + 25 = 0 ; 3(푥2 + 푥2) − 10(푥2+푦2 ) + 25 =0
6푥2 − 10푥2+10푦2 + 25 = 0 => 6푥2 − 10푥2+10푦2 + 25 =0
Multiplicando por -1 y dividiendo todo entre 25 tenemos
=> −4푥2 + 10푦2 + 25 =0 =>
4푥2
25
−
10푦2
25
= 1 =>
푥2
(
5
2
)
2 −
10푦2
(√5
2
)
2 = 1
El lugar geométrico tiene parecido a una hipérbola de la forma
(푥−ℎ )2
푎2 −
(푦−푘 )2
푏2 : 푎 =
5
2
, 푏 = √5
2
푎 = 2,5 푏 = 1,58 푐표푛 푐푒푛푡푟표 푒푛 푒푙 표푟푖푔푒푛

3. Grafica del lugar geométrico.
Luego la región 3 (푍2+푍
2
) − 10푍푍 + 25 = 0 representa la región del contorno con
centro (0,0) y a=2,5 , b=1,58 como se muestra en la figura
b=1.58
a=2,5
3.) Demostrar que:
cos(푍1 + 푍2) = cos 푍1 cos 푍2 − sin 푍1 sin 푍2:
Solución:
Por formula de Euler
℮푖푍= cos(푍) + 푖 sin(푍); ℮푖푍1= cos(푍1) + 푖 sin(푍1) ; ℮푖푍2= cos(푍2) + 푖 sin(푍2):
Multiplicando ambas ecuaciones.
℮푖푍1℮푖푍2=(cos(푍1) + 푖 sin(푍1))(cos(푍2) + 푖 sin(푍2)) =>
℮푖(푍1+푍2)=(cos(푍1) + 푖 sin(푍1))(cos(푍2) + 푖 sin(푍2)) =
℮푖(푍1+푍2)=(cos(푍1) cos(푍2) + 푖 cos(푍1) sin(푍2) + 푖 cos(푍2) sin(푍1))(cos(푍2) −
sin(푍1) sin(푍2)) = entonces
℮푖(푍1+푍2) = cos(푍1 + 푍2) + 푖 sin(푍1 + 푍2) Igualando la parte real con real y la parte
imaginaria con imaginaria se tiene que

4. cos(푍1 + 푍2) = cos(푍1) cos(푍2) − sin(푍1) sin(푍2) 푐. 푞. 푑
4.) Expresar la función 푓(푍) = √5 ⌈퐼푚(푧)⌉5℮4푖7(푅푒(푍))2
en la forma
푤 = 푓(푍) = 푈(푥. 푦) + 푖푉(푥. 푦)
Solución: Haciendo 푖2 = −1 y 푍 = 푥 + 푖푦
푓(푍) = √5 ⌈퐼푚(푥 + 푖푦)⌉5℮4(푖2)3푖(푅푒(푥+푖푦))2
= √5 ⌈(푖푦)⌉5℮4(−1)3푖(푥)2
=
푓(푍) = √5 ⌈(푖푦)⌉5℮4(−1)3푖(푥)2
= 푓(푍) = √5 푖푦5℮−4푖(푥)2
: por formula de Eurle
℮푖푍= cos(푍) + 푖 sin(푍): 푓(푍) = √5 푖푦5(cos(2푥)2 + 푖 sin(2푥)2)
푓(푍) = 푖√5 푦5 cos(2푥)2 − √5 푦5 sin(2푥)2)
푤 = 푓(푍) = 푈(푥. 푦) + 푖푉(푥. 푦) =−√5 푦5 sin(2푥)2+ 푖√5 푦5 cos(2푥)2
푈(푥. 푦) = −√5 푦5 sin((2푥)2); 푉(푥. 푦) = √5 푦5 cos((2푥)2)
a.) 푈푥 = −√5 푦54푥 cos((2푥)2); 푈푦 = 5√5 푦4 sin((2푥)2)
b.) 푉푥 = −√5 푦54푥 sin((2푥)2); 푉푦 = 5√5 푦4 cos((2푥)2)
푈푥 ≠ 푉푦 ; 푈푦 ≠ −푉푥 Resulta que la función no es analítica