1. UNIDAD 4 : REGLAS PARA DERIVAR
4.1. DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Si c ∈ R , entonces:
d
(c ) = 0
dx
4.2. DERIVADA DE UNA POTENCIA (Regla de la potencia)
Si n ∈ R , entonces:
d n
dx
( )
x = nx n −1
Si n = 1 , entonces tenemos el caso particular:
d
(x ) = 1
dx
Ejemplo No. 70: Halle en cada caso la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x ) = 10 1 1
d) y = f) z =
b) y = x x x3
c) f (x ) = x 4 e) g (x ) = x g) h(t ) = 3 t 5
Solución:
a) f ' (x ) = 0
dy
b) =1
dx
df
c) = 4x 3
dx
1 1
d) y = = x −1 ⇒ y ' = − x − 2 ⇒ y' = −
x x2
e) g (x ) = x = x ⇒ g ' (x ) = 1 x = (1 )
−1 1
⇒ g ' (x ) = 1
1
2 2
2 2 1
x 2 2 x
1 dz dz 3
f) z = 3
= x −3 ⇒ = −3x −4 ⇒ =− 4
x dx dx x
g) h(t ) = 3 t 5 = t ⇒ h' (t ) = 5 t ⇒ h' (t ) = 5 3 t 2
5 2
3 3
3 3
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 76

2. 4.3. DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÒN
Si c ∈ R , entonces:
d
[cf (x )] = c d [ f (x )]
dx dx
Si f (x ) = x n , entonces tenemos el caso particular:
d
dx
[ ]
cx n = ncx n −1
3
Ejemplo No. 71: Halle la ecuación de la recta normal N y la recta tangente T a la curva con ecuación y = 1 x
4
2
en el punto (4, 2)
Solución:
La recta normal a la curva y = 1 x en el punto (4, 2) es la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a
3
2
4
la recta tangente a la curva dada.
Para hallar la ecuación de N debemos conocer su pendiente m N la cual por perpendicularidad entre rectas debe
cumplir con la siguiente condición m N mT = −1 . Siendo mT la pendiente de la recta tangente T . Hallemos
uncialmente mT para poder calcular posteriormente m N :
N T
dy
mT =
dx x =4
Pero
dy
dx 4 2
1
( )
= (1 ) 3 x 2 = 8 x 2 =
3
1
3
8 x , por lo tanto:
3 (4, 2)
mT = 3
8 x = 3
8 4=
x=4 4
3 4
Como m N mT = −1 ⇒ m N   = −1 ⇒ m N = −
4 3
La ecuación de T es: y − 2 = mT ( x − 4 ) ⇒ y − 2 = (x − 4 ) ⇒
3
4
y = 3 x −1
4
La ecuación de N es: y − 2 = m N (x − 4 ) ⇒ y − 2 = − 4 (x − 4 ) ⇒
3
y =−4 x+
3
22
3
3
En la figura de arriba se muestra la curva y = 1 x y las rectas N y T
4
2
4.4. DERIVADA DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA (Regla de la suma y la diferencia)
Si f y g son funciones derivables, entonces:
d
[ f (x ) ± g (x )] = d [ f (x )] ± d [g (x )]
dx dx dx
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 77

3. Ejemplo No. 72: Halle los puntos sobre la curva y = x 4 − 5 x 2 + 4 en donde la recta tangente sea horizontal.
Solución:
Los puntos sobre la curva y = x 4 − 5 x 2 + 4 en donde la recta tangente es horizontal, se caracterizan porque en
ellos la recta tangente tiene pendiente mT = 0 . Es decir en dichos puntos la derivada es cero. Para determinar
tales puntos debemos hallar la derivada, igualar la derivada a cero y resolver la ecuación resultante. Veamos:
dy
dx
( )
= 4 x 3 − 10 x = 0 ⇒ x 4 x 2 − 10 = 0 ⇒ x = 0 y 4 x 2 − 10 = 0 ⇒ x = ± 5
2
Si x = 0 entonces y = 4 , por lo tanto el primer punto es:
(0, 4) (0, 4)
Si x = 5
2 entonces y = − 9 , por lo tanto el segundo
4
punto es: ( 5
2 ,− 9
4 )
Si x = − 5
2 entonces y = − 9 , por lo tanto el tercer
4
punto es: − ( 5
2 ,− 9
4
)
La grafica de la curva y = x 4 − 5 x 2 + 4 , junto con las
rectas tangentes y los puntos de tangencia se muestran en (− 5
2 ,− 9
4
) ( 5
2 ,− 9
4 )
la figura de la derecha:
4.5. DERIVADA DE UN PRODUCTO (Regla del producto)
Si f y g son funciones derivables, entonces:
d
[ f (x )g (x )] = d [ f (x )]g (x ) + f (x ) d [g (x )]
dx dx dx
4.6. DERIVADA DE UN COCIENTE (Regla del cociente)
Si f y g son funciones derivables, entonces:
d  f (x )
g (x )
d
[ f (x )] − d [g (x )] f (x )
= dx dx
dx  g (x ) 
  [g (x )]2
Ejemplo No. 73: Halle en cada caso la derivada de las siguientes funciones:
a) y = x ( x + 1)
2x +1
b) y = x 3 − x
Solución:
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 78

4. 3x + 1
a) Aplicando la regla del producto: dy
=
1
(x + 1) + x = x + 1 + x = x + 1 + 2 x =
dx 2 x 2 x 2 x 2 x
b) Aplicando la regla del cociente:
dy
=
( ) (
x 3 − x (2 ) − (2 x + 1) 3 x 2 − 1 )
dx (
x3 − x
2
)
2 x 3 − 2 x − 6 x 3 + 2 x − 3x 2 + 1 − 4 x 3 − 3x 2 + 1
= =
(x 3
−x )
2
(x 3
−x )
2
4.7. DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMICA NATURAL (caso particular)
d x
dx
[ ]
e = ex
d
[Lnx ] = 1
dx x
Ejemplo No. 74: Halle en cada caso la derivada de las siguientes funciones:
a) y = e x Lnx
ex −1
b) y=
ex +1
Solución:
x
a) Aplicando la regla del producto: dy 1 e
= e x Lnx + e x   = e Lnx +
x
dx x x
b) Aplicando la regla del cociente:
dy
=
( )( ) (
ex +1 ex − ex −1 ex
=
)( )
e2x + e x − e2x + e x
= x
2e x
dx ( )
ex +1
2
ex +1
2
e +1 (2
) ( )
Ejemplo No. 75: En qué punto de la curva con ecuación y = e x la recta tangente es paralela a la recta y = 2 x
Solución:
Debemos determinar el punto de tangencia en el cual la tangente T sea paralela T
a la recta y = 2 x , teniendo en cuenta que la pendiente de la recta dada debe ser
igual a la pendiente de T . La pendiente mT de T es:
dy (Ln2, 2)
mT = = ex
dx
Por lo tanto: e x = 2 ⇒ Lne x = Ln 2 ⇒ x = Ln 2
Si x = Ln2 , entonces y = e Ln 2 = 2 . Por lo tanto el punto de tangencia seria:
(Ln2, 2) y = 2x
En la figura de la derecha se muestra la curva y = e x , la recta y = 2 x y el punto de tangencia.
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 79

5. 4.8. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (caso particular)
1)
d
(Senx ) = Cosx 3)
d
(Tanx ) = Sec 2 x 5)
d
(Secx ) = SecxTanx
dx dx dx
2)
d
(Cosx ) = − Senx 4)
d
(Cotx ) = −Csc 2 x 6)
d
(Cscx ) = −CscxCotx
dx dx dx
xSenx dy
Ejemplo No. 76: Si y = halle
Senx + Cosx dx
Solución:
dy (Senx + Cosx )(Senx + xCosx ) − xSenx(Cosx − Senx )
=
dx (Senx + Cosx )2
Sen 2 x + xSenxCosx + SenxCosx + xCos 2 x − xSenxCosx + xSen 2 x
=
(Senx + Cosx )2
=
(
Sen 2 x + SenxCosx + x Cos 2 x + Sen 2 x )= Sen 2 x + SenxCosx + x
(Senx + Cosx )2 (Senx + Cosx )2
dy
Ejemplo No. 77: Si y = te t Sect halle
dt t =0
Solución:
y = (te t )(Sect ) ⇒ = (e t + te t )(Sect ) + (te t )( SectTant )
dy
dt
4.9. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
1)
d
( )
Sen −1 x =
1
3)
d
(
Tan −1 x = )
1
5)
d
( )
Sec −1 x =
1
dx 1− x2 dx 1+ x2 dx x x2 −1
2)
d
(Cos −1 x ) = − 1 2 4)
d
(
Cot −1 x = − ) 1
6)
d
(Cscx ) = − 12
dx 1− x dx 1+ x2 dx x x −1
4.10. REGLA DE LA CADENA
Consideremos la función f ( x ) = 3 x 2 + x + 1 . Es claro que esta función es la composición de las funciones
y = f (u ) y u = g (x ) , siendo f (u ) = u y g ( x ) = 3x 2 + x + 1 . Es decir:
( f o g )( x ) = f (g (x )) = g (x ) = 3 x 2 + x + 1 ⇒ ( f o g )( x ) = 3x 2 + x + 1
La regla de la cadena permite derivar funciones compuestas, como por ejemplo f ( x ) = 3 x 2 + x + 1 . Veamos
cual es su estructura:
Si y = f (u ) y u = g (x ) , entonces y = f (g (x )) y además:
dy dy du
=
dx du dx
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 80

6. dy
Ejemplo No. 78: Halle en cada caso:
dx
a) y = 2 x 3 + 4 x + 5 c) y = Ln(Tanx ) e) y = Sec 3 x
d) y = Senx 3
b) y = e
4
5x
Solución:
a) Si consideremos que u = 2 x 3 + 4 x + 5 entonces y = u . Por lo tanto:
dy dy du
=
dx du dx
6x 2 + 4
dy  1
=
dx  2 u
(
 2
 6x + 4 =
 )
  2 2x3 + 4x + 5
b) Si consideremos que u = 5x 4 entonces y = e u . Por lo tanto:
dy dy du
=
dx du dx
dy
dx
( )( )
3 5 x4
= e u 20x 3 = 20 x e
c) Si consideremos que u = Tanx entonces y = Lnu . Por lo tanto:
dy dy du
=
dx du dx
dy  1 
(
=   Sec 2 x =
dx  u 
Sec 2 x
Tanx
)
d) Si consideremos que u = x 3 entonces y = Senu . Por lo tanto:
dy dy du
=
dx du dx
dy
dx
( )
= (Cosu ) 3x 2 = 3 x 2 Cosx 3
e) Si consideremos que u = Secx entonces y = u 3 . Por lo tanto:
dy dy du
=
dx du dx
dy
dx
( )
= 3u 2 (SecxTanx ) = 3Sec 2 xSecxTanx = 3Sec 3 xTanx
Veamos ahora como se aplica la regla de la cadena para formular de forma más general algunas reglas para
derivar vistas anteriormente:
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 81

7. 4.10.1 Regla de la cadena para derivar las funciones trigonométricas (caso general)
1)
d
[Sen(g (x ))] = Cos (g (x ))g ' (x ) 4) d
[Cot (g (x ))] = −Csc 2 (g (x ))g ' (x )
dx dx
2)
d
[Cos (g (x ))] = − Sen(g (x ))g ' (x ) 5) d
[Sec(g (x ))] = Sec(g (x ))Tan(g (x ))g ' (x )
dx dx
3)
d
[Tan (g (x ))] = Sec 2 (g (x ))g ' (x ) 6)
d
[Csc (g (x ))] = −Csc (g (x ))Cot (g (x ))g ' (x )
dx dx
Ejemplo No. 79: Halle la derivada de la función en cada caso:
a) f (x ) = Sen(x 2 − 8 x ) c)  x −1
g (x ) = Sec 
 x + 1
b) ( ( ))
y = Tan Sen 4x 6
d) z = Cos (t 2 Lnt )
Solución:
a) f ' (x ) = Cos(x 2 − 8 x )(2 x − 8) = (2 x − 8)Cos (x 2 − 8 x )
b)
dy
( ( )) ( )( ) ( ( )) ( )
= Sec 2 Sen 4 x 6 Cos 4 x 6 24 x 5 = 24 x 5 Sec 2 Sen 4 x 6 Cos 4 x 6
dx
x −1  x − 1  (x + 1)(1) − (x − 1)(1)   2   x −1  x −1
c) g ' (x ) = Sec
 Tan   = 
 ( x + 1)2
 Sec
  x + 1 Tan x + 1 
 x +1  x + 1 
 (x + 1)2 
     
d) dz = − Sen (t 2 Lnt ) 2tLnt + t 2 1  = − (2tLnt + t )Sen(t 2 Lnt )
 
dt  t
4.10.2 Regla de la cadena para derivar la función exponencial natural y logarítmica natural (caso
particular)
[
d g (x )
dx
e ]
= e g ( x ) g ' (x )
d
[Ln(g (x ))] = g ' (x )
dx g (x )
dy
Ejemplo No. 80: Halle en cada caso:
dx
a) y = eTan (2 x ) b) y = Ln(xe x )
5
Solución:
= e Tan (2 x )Sec 2 2 x 5 10 x 4 = 10 x 4 Sec 2 (2 x 5 )e Tan (2 x )
( )( )
dy 5 5
a)
dx
x x
( )
b) dy = e + xe = e x + 1 = x + 1 = 1+
x
1
x x
dx xe xe x x
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 82

8. 4.10.3 Regla de la cadena combinada con la regla de la potencia (caso general)
d
[g (x )]n = n[g (x )]n−1 g ' (x )
dx
Ejemplo No. 81: Halle la derivada de la función en cada caso:
a) f (t ) = e 3t − 8t 3 + 9t − 1
4
c) (
h( x ) = Sen 4 e x + Lnx − Tanx )
[
b) z = e Sec(x )
10 5
] d)  Senx 
y= 3 
5
 x +1 
Solución:
( ) ( ) (12t e ) 12t 3 e 3t − 24t 2 + 9
1 1 4
−
a) f (t ) = e − 8t + 9t − 1 ⇒ f ' (t ) = e − 8t + 9t − 1
3t 4 3 2 1
2
3t 4 3 2 3 3t 4
− 24t + 9 = 2
2 e 3t − 8t 3 + 9t − 1
4
b)
dz
dx
5 9
[ 5
] ( ) ( )
= 10 e Sec (x ) e Sec (x )Sec x 5 Tan x 5 5 x 4 = 50 x 4 e Sec (x )
5
[ ] 10
( ) ( )
Sec x 5 Tan x 5
c) [ (
h( x ) = Sen e x + Lnx − Tanx )] 4
[ (
⇒ h' ( x ) = 4 Sen e + Lnx − Tanx
x
)] Cos (e
3 x 
)
1 
+ Lnx − Tanx  e x + − Sec 2 x 
 x 
5 2
 Senx  3 dy 5  Senx  3  ( x + 1)Cosx − Senx 
d) y =  ⇒ =    
 x +1  dx 3  x +1    (x + 1)2 

4.10.4 Regla de la cadena para derivar la función exponencial y logarítmica (caso general)
[
d g (x )
dx
a ]
= a g ( x ) g ' (x )Lna
d
[Log a (g (x ))] = g ' (x )
dx g ( x )Lna
dy
Ejemplo No. 82: Halle en cada caso:
dx
a) y = 2 Sec x
4 5
b) (
y = Log3 e x − Ln(Cosx)
4
)
Solución:
a)
dy
dx
( )( )( )
= 2 Sec x 4Sec 3 x 5 Secx5Tanx 5 5 x 4 (Ln2) = 20 x 4 2 Sec x Sec 4 x 5Tanx 5 Ln 2
4 5 4 5
( )
4 x 3 e x + Tanx
4
dy
b)
dx
= x4
(
e − Ln(Cosx ) Ln3 )
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 83

9. 4.11. DERIVACION IMPLICITA
Analicemos la ecuación x 2 + y 2 = 4 . Si consideramos que x es la variable independiente y que y es la variable
dependiente, es claro ver que tal variable dependiente no está despejada (esta dada de forma implícita). Para
hallar dy podemos hacer lo siguiente:
dx
1. Despejar la variable dependiente y en la ecuación x 2 + y 2 = 4 . Veamos: y 2 = 4 − x 2 ⇒ y = 4 − x 2
dy
Notemos que la variable dependiente está despejada (esta dada de forma explícita). Para hallar
dx
dy x
simplemente se deriva la ecuación y = 4 − x2 , con lo cual tenemos que: =−
dx 4 − x2
2. Aplicar derivación implícita en la ecuación x 2 + y 2 = 4 . Para tal efecto se derivan todos los términos en ambos
miembros de la ecuación anterior. Veamos:
dy − 2 x
( )
dy 2 dy 2 dy
x + ( )
y = (4) ⇒ 2 x + 2 y
dy
= 0 ⇒ 2y
dy
= −2 x ⇒ = ⇒
dy x
=− ⇒
dy
=−
x
dx dx dx dx dx dx 2y dx y dx 4 − x2
dy
Ejemplo No. 83: Dada la siguiente ecuación 2 x 4 + 4 y 3 − 10 x 2 y 2 = 5 x − 3 y + 1 halle
dx
Solución:
dy dy dy
8 x 3 + 12 y 2 − 20 xy 2 − 20 x 2 y ' = 5 − 3
dx dx dx
dy dy dy
12 y 2 − 20 x 2 y +3 = 20 xy 2 − 8 x 3 + 5
dx dx dx
dy
dx
(
12 y 2 − 20 x 2 y + 3 = 20 xy 2 − 8 x 3 + 5 )
dy − 8 x 3 + 20 xy 2 + 5
=
dx 12 y 2 − 20 x 2 y + 3
Ejemplo No. 84: Dada la siguiente ecuación Tan (x 3 y 3 ) + e x − y = (3 x + y )4 halle y '
2 4
Solución:
( )( ) (2 x − 4 y y ') = 4(3x + y ) (3 + y ')
Sec 2 x 3 y 3 3 x 2 y 3 + 3 x 3 y 2 y ' + e x
2
− y4 3 3
3 x y Sec (x y ) + 3 x y Sec (x y )y '+2 xe − 4y e y ' = 12(3 x + y ) + 4(3 x + y ) x2 − y4 x2 − y4
2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3
y'
3 x y Sec (x y )y '−4 y e y '−4(3 x + y ) y ' = 12(3 x + y ) − 3 x y Sec (x y ) − 2 xe
3
3 2 2 3 3 3 x2 − y4 3 2 3 2 3 3 x2 − y4
y ' (3 x y Sec (x y ) − 4 y e − 4(3 x + y ) ) = 12(3 x + y ) − 3 x y Sec (x y ) − 2 xe
3
3 2 2 3 3 3 x2 − y4 3 2 3 2 3 3 x2 − y4
− 3 x y Sec (x y ) − 2 xe + 12 (3 x + y ) x2 − y4
2 3 2 3 3 3
y' =
3 x y Sec (x y ) − 4 y e − 4(3 x + y ) x2 − y4
3 2 2 3 3 3 3
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 84

10. Ejemplo No. 85: Halle la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 en x = 4
Solución:
dy
Primero calculemos :
dx
2x + 2 y
dy
−2−4
dy
= 0 ⇒ 2y
dy
−4
dy
= 2 − 2x ⇒
dy
(2 y − 4 ) = 2 − 2 x ⇒ dy = 2 − 2 x
dx dx dx dx dx dx 2 y − 4
Ahora calculemos la coordenada y del punto de tangencia remplazando x = 4 en la ecuación de la
circunferencia:
(4)2 + y 2 − 2(4 ) − 4 y − 20 = 0 ⇒ 16 + y 2 − 8 − 4 y − 20 = 0 ⇒ y 2 − 4 y − 12 = 0 ⇒ ( y + 2 )( y − 6 ) = 0
⇒ y = −2 y y = 6
Lo anterior significa que hay dos puntos de tangencia: (4, 6 ) y (4, − 2 )
Es decir habrá dos rectas tangentes cuyas pendientes son:
dy 2 − 2(4) 3 (4, 6)
m1 = = =−
dx x =4
y =6
2(6 ) − 4 4
dy 2 − 2(4 ) 3
m2 = = =
dx x =4
y = −2
2(− 2 ) − 4 4
Por lo tanto la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia
dada en los puntos (4, 6 ) y (4, − 2 ) son:
y − 6 = m1 ( x − 4 ) ⇒ y − 6 = − 3 ( x − 4) ⇒ y = −3 x+9
4 4 (4, − 2)
y − (− 2 ) = m2 ( x − 4) ⇒ y + 2 = 3
4 (x − 4) ⇒ y = x−5
3
4
La circunferencia y las dos rectas tangentes se muestran en la figura de la derecha.
dy
Ejemplo No. 86: Halle en cada caso:
dx
a) y = x Tanx
b) e x+ y = x x
2
c) y 3 = x e
x
Solución:
En las tres ecuaciones aplicaremos un procedimiento conocido como derivación logarítmica. Veamos:
a) Lny = Ln (x Tanx ) ⇒ Lny = TanxLnx ⇒  Tanx 
1 dy 1 dy
= Sec 2 xLnx + Tanx ⇒ = y  Sec 2 xLnx + 
y dx x dx  x 
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 85

11. dy  Tanx 
= x Tanx  Sec 2 xLnx + 
dx  x 
( )
b) Ln e x+ y = Ln(x x ) ⇒ x + y 2 = xLnx ⇒ 1 + 2 y
2 dy
dx
1
= Lnx + x ⇒
x
dy Lnx
dx
=
2y
c) Ln(y 3 ) = Ln x e ⇒ ( )
x 3 y 2 dy
y 3 dx
= e x Lnx ⇒
3 dy
y dx
1
= e x Lnx + e x ⇒
x
dy y  x
=  e Lnx +
dx 3 
ex
x



 
4.12. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
4.12.1. Segunda derivada
Si f es una función derivable, su derivada f ' también es una función la cual puede ser derivable. Dicha derivada
se representa como f " y se denomina segunda derivada de f . Si y = f ( x ) , algunas notaciones para la segunda
derivada son:
Modo en que está escrita la función Notación Modo en que está escrita la función Notación
y" f " (x )
d2y d2 f
Como una ecuación dx 2 Como una función dx 2
d  dy  d  df 
   
dx  dx  dx  dx 
Nota: Si se desea hallar el valor de una segunda derivada en un número específico a se utiliza la siguiente
2
notación d 2y
dx x=a
Ejemplo No. 87: Si f ( x) = Ln(SenxCosx ) pruebe que f "( x) = − 1
Sen xCos2 x
2
Solución:
CosxCosx− SenxSenx CosxCosx SenxSenx Cosx Senx
f ' ( x) = = − = −
SenxCosx SenxCosx SenxCosx Senx Cosx
f " ( x) =
− SenxSenx − CosxCosx CosxCosx + SenxSenx
− =−
(Sen2 x + Cos2 x) − (Cos2 x + Sen2 x)
Sen2 x Cos2 x Sen2 x Cos2 x
1 1 Cos2 x + Sen2 x 1
=− 2
− 2
=− 2 2
=−
Sen x Cos x Sen xCos x Sen xCos2 x
2
d2y 48x 2
Ejemplo No. 88: Si x 4 + y 4 = 16 pruebe que =− 7
dx 2 y
Solución:
dy dy x3
4x 3 + 4 y 3 =0⇒ =− 3
dx dx y
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 86

12. dy  x3  3x 6 3x 2 y 4 + 3x 6
3x y − 3x y 2 3x 2 y 3 − 3x 3 y 2  − 3 
3 3 2
 y  3x 2 y 3 +
d 2 y d  dy  d  x 3  dx = −   =− y y
=   = − 3  = − =−
dx 2  y 
dx  dx  dx   y3
2
( ) y 6
y 6
y6
=−
3x 2 y 4 + 3x 6
=−
(
3x 2 y 4 + x 4)=−
3x 2 (16) 48x 2
= − 7
y7 y7 y7 y
Ejemplo No. 89: Halle los valores de m para los cuales la curva y = e mx satisface la ecuación y + y ' = y ' '
Solución:
Tenemos que y' = me mx y y" = m 2 e mx . Por lo tanto:
(e ) + (me ) = (m e ) ⇒
mx mx 2 mx
( )
m 2 e mx − me mx − e mx = 0 ⇒ e mx m 2 − m − 1 = 0 ⇒ m 2 − m − 1 = 0
Apliquemos formula general para resolver la ecuación cuadrática anterior. Tenemos que a = 1 , b = −1 y c = −1, por
lo tanto:
− b ± b 2 − 4ac − (− 1) ± (− 1)2 − 4(1)(− 1) 1 ± 1+ 4 1± 5 1+ 5 1− 5
m= = = = ⇒ m= y m=
2a 2(1) 2 2 2 2
En general podemos interpretar la segunda derivada de una función como la razón de cambio de una razón de
cambio. El ejemplo más común es la aceleración la cual definiremos a continuación.
4.12.1.1. Interpretación física de la segunda derivada
f " (t )
es la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta según la ecuación de posición
y = f (t ) en el instante de tiempo t
4.12.2. Tercera derivada y n-esima derivada
Si f es una función derivable, su segunda derivada f ' ' también es una función la cual puede ser derivable. Dicha
derivada se representa como f ' ' ' y se denomina tercera derivada de f . Si y = f (x ) , algunas notaciones para
la tercera derivada son:
Modo en que está escrita la función Notación Modo en que está escrita la función Notación
y' ' ' f ' ' ' (x )
d3y d3 f
Como una ecuación dx 3 Como una función dx 3
d d2y d d2 f 
   
dx  dx 2 
  dx  dx 2



Nota: Si se desea hallar el valor de una tercera derivada en un número específico a se utiliza la siguiente notación
d3y
dx 3 x=a
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 87

13. El proceso puede continuar y tendríamos la cuarta derivada f ' ' ' ' , la cual suele denotarse por f (4 ) . En general la
n-esima derivada de f se denota con f (n ) y se obtiene derivando n veces la función f . Si y = f ( x ) , algunas
notaciones para la n-esima derivada son:
Modo en que está escrita la función Notación Modo en que está escrita la función Notación
y (n ) f (n ) (x )
dny dn f
Como una ecuación dx n Como una función dx n
d  d n −1 y  d  d n −1 f (x ) 
   
dx  dx n −1 
  dx  dx n −1 
 
Nota: Si se desea hallar el valor de una n-esima derivada en un número específico a se utiliza la siguiente
n
notación d ny
dx x=a
EJERCICIOS PROPUESTOS No. 12
1. Halle la derivada de las siguientes funciones:
 x +1 
a) y = x 3 − x
−3
2
(
+ x2 + 2x )
3
i) y = Sen 3  2
 x +2
 [ ( (
q) y = Tan Sec Ln e x + x + 1 ))]
b) f ( x ) = x
xSenx
j) f (x ) =
(2 − 3x ) 2 4
[
r) h( x) = Sec 2 (xe x senx ) ] 3
e +1 1 − 3x 3
4
  e x − 1 
c) y = 3
2 + 3t
( 3
)
k) f ( z ) = 3z + 4 z ( z − 5)( z + 1) s) f ( x) =  Ln x
 

2 − 3t   e + 1 
( )
4
[ ( )]
Ln x + e x   xex2  x  
2
d) f ( x ) =  e + Sen e  
4
l) y = Sen e x Ln x + 1 t) y = Tan
3
x + Senx    x  
    
( )( 3
e) y = x 2 + 3 2 x 3 − 5 )
3
m) y = Sen e sent ( ) u) f ( x) = xe x SenxTanx
e x − e−x
f) f ( x) = x
e + e −x
[ (
n) f ( x) = Log 2 Tan3 e x + 1
4
)] v) g (t ) = ee
Tant
g) y = Sen 2
( t + 1)Cos ( t + 1)
2 2 2
o) y = e
 xe x
Sen 3 
 x+e x




 [
w) f ( x) = e sen (x e )
2 3 4x
] 2
h) g ( x) = 5 x 2 + x 3 + 2 [ (
p) f ( x) = Sen3 Tan x 2 e x
3
)] (
x) y = Sen 5 e Cos (x )Tan x 3
2 3
( ))
a2 + x2 dy 3a 2 x − x 3
2. Si y = pruebe que =
( )
3
a2 − x2 dx
a2 − x2 2
3. Halle los puntos sobre la curva y = x 3 − x 2 − x + 1 en donde la recta tangente es horizontal.
Cosx
4. Halle los puntos sobre la curva y = en donde la recta tangente es horizontal.
2 + Senx
5. Halle los puntos sobre la curva y = 2Senx + Sen 2 x en donde la recta tangente es horizontal.
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 88

14. x −1
6. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = que sean paralelas a la recta
x +1
x − 2y = 2
7. En cual punto sobre la curva y = 2e x − 3x + 1 la recta tangente es paralela a la recta 3x − y = 5
8. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el (2, − 3) y que son tangentes a la parábola
y = x2 + x
9. La recta normal a una curva C , en un punto P , es por definición, la recta que pasa por P y es
perpendicular a la recta tangente a la curva C en el punto P . Halle la ecuación de la recta normal a la
parábola y = 1 − x 2 , en el punto (2, − 3) . Grafique la parábola y su recta normal.
10. Halle una parábola con ecuación y = ax 2 + bx y cuya tangente en (1, 1) tenga la ecuación y = 3 x − 2
11. Para que valores de a y b es la recta 2 x + y = b , tangente a la parábola y = ax 2 cuando x = 2
12. Halle los valores de las constantes a , b y c de tal manera que las graficas de los polinomios
f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x 3 − c se corten en el punto (1, 2) y tengan la misma tangente en dicho
punto.
13. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 9 x 2 + 16 y 2 = 52 que sean paralelas a la recta
9x − 8 y = 1
1
14. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación p (t ) = , donde p (t ) es la
1 + ae − kt
proporción de la población que lo conoce en el instante de tiempo t , a y k son constantes positivas. Halle
la velocidad de esparcimiento del rumor.
dy
15. En cada caso halle empleando derivación implícita.
dx
a) x 2 y + xy 2 = 3x d) e Sen( xy ) + xy = Tan( x + y ) − x + y + 1 g) e (x y ) + Sec( xy) = x 2 + y 2
2 2
b) y 5 + x 2 y 3 = 1 + ye x
2
e) e(x+ y ) + Sen( xy ) = x 2 y 2 + 1
2
( )
h) xe y + ye x + Sec x 3 y 3 = x 2 + y 2 − 10
x− y
(
c) e y = Ln x 3 + 3 y ) f) y 3 =
x+ y
i) ye xy = e x + y
16. Halle las ecuaciones de la rectas que pasa por el punto (2, 3) y son paralelas a la recta normal a la curva
con ecuación x 2 + y 2 − 7 x + 5 y − 14 = 0 en x = −1
17. Halle la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva x 2 + 4 y 2 + 6 x − 40 y = −93 en los
puntos donde x = −2
18. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 2) y es paralela a la recta normal de la curva con
ecuación x 4 + 6 x 2 y 2 + 9 y 4 = x 2 − 6 xy + 9 y 2 en el punto (− 1, 0)
19. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 2(x 2 + y 2 ) = 25(x 2 − y 2 ) en el punto (3, 1)
2
x2 y2
20. Pruebe por derivación implícita que la tangente a la elipse + = 1 en el punto ( x0 , y 0 ) es
a2 b2
x0 x y 0 y
+ 2 =1
a2 b
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15. y"
21. Si x 2 + y 2 = 1 pruebe que =1
(1 + ( y') )
3
2 2
22. Si x 2 + xy + y 2 = 1 , emplee derivación implícita para hallar y ' '
23. Si 3x 2 + 4 y 2 = 12 pruebe que y" = − 9 3
4y
dy
24. En cada caso halle empleando derivación logarítmica y derivación implícita.
dx
a) y = x x b) y = x Senx c) y = (Lnx ) d) y = x Lnx e) y = x e f) x y = y x
x x
dy Lnx
25. Si e x+ y = x x pruebe que =
2
dx 2 xLnx − x
2
xx
26. Si y = x
2 x2
pruebe que
dy
= (x + 2 xLnx)
dx 2
27. Si e ( Senx+ y ) = [Senx] = CosxLn(Senx)
Senx dy
pruebe que
dx
dy
28. Si e x + y = x 3x pruebe que = 9 x 2 Lnx
3 3
dx
= x Sen (e ) , halle
2
+ y2 10 Tanx dy
29. Si e Lnx y exprese tal derivada en función de x
dx
1
Ln  
30. Si f ( x) = a  x  , halle f " (x )
31. Si f ( x) = Ln(e x + 1) halle f '' (x)
1
32. Si f ( x) = Ln(Senx + 1) pruebe que f '' ( x) = −
Senx + 1
1 + 2 e x Cos x
33. Si f ( x) = Ln(Senx + e x ) pruebe que f '' ( x) = −
( )
Sen x + e x 2
34. Pruebe que la función y = ae 4 x + be −3 x donde a y b son constantes, es una solución de la ecuación
diferencial y"− y'−12 y = 0
d2y
35. Si y = ASen(kt ) + BCos(kt ) , donde A , B y k son constantes. Pruebe que = −k 2 y
dt 2
36. Pruebe que el área del triangulo que forma el eje y , la recta tangente y la recta normal a la curva
y = 6 x − x 2 en el punto (5, 5) es 425
8
37. Pruebe que la hipérbola x − y = 5 y la elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 72 se cortan en ángulos rectos.
2 2
38. Un cable de suspensión de un puente esta sostenido por pilares que distan 250 pies. Si el cable tiene forma
parabólica con su punto más bajo situado a 50 pies por debajo de los puntos de suspensión. Pruebe que el
ángulo entre el cable y el pilar es 51º 20'
Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA Reglas para derivar Página 90