Os produtos notáveis são fórmulas para calcular produtos de termos que ocorrem com frequência em álgebra. O documento explica os seguintes produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos, produto da soma pela diferença de dois termos, cubo da soma de dois termos e cubo da diferença de dois termos. Exemplos numéricos são fornecidos para ilustrar cada fórmula.

1. Álgebra
Produtos Notáveis

2. O que significa
Produto Notável?

3. Produto Notável
 Produto:
Resultado de uma multiplicação.
 Notável:
Algo que é importante.

4. O que vamos estudar
 Quadrado da soma de dois termos
 Quadrado da diferença de dois termos
 Produto da soma pela diferença de dois
termos
 Cubo da soma de dois termos
 Cubo da diferença de dois termos

5. Quadrado da soma
Produto Quadrado da diferença
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

6. Quadrado da soma de dois termos
2
a b
Termo a Termo b

7. 2
Quadrado da soma a b
Produto Quadrado da diferença
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

8. Quadrado da soma de dois termos
2
a b a b.a b

9. Quadrado da soma de dois termos
2
a b a b.a b
2 2
a ab ab b
2 2
a 2ab b

10. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
Produto Quadrado da diferença
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

11. Vamos calcular 1
2
x 1

12. Vamos calcular 1
2
x 1 x 1 x 1

13. Vamos calcular 1
2
x 1 x 1 x 1
2 2
x x x 1

14. Vamos calcular 1
2
x 1 x 1 x 1
2 2
x x x 1
2
x 2x 1

15. Vamos calcular 2
2
5 y

16. Vamos calcular 2
2
5 y 5 y. 5 y

17. Vamos calcular 2
2
5 y 5 y. 5 y
2
5 5y 5y y2

18. Vamos calcular 2
2
5 y 5 y. 5 y
2
5 5y 5y y2
2
5 2 5y y

19. Vamos calcular 3
2
2 b
a
2

20. Vamos calcular 3
2
2 b 2 b b
a a . a2
2 2 2

21. Vamos calcular 3
2
2 b 2 b b
a a . a2
2 2 2
2
2 2 2b 2 b b
a a a
2 2 2

22. Vamos calcular 3
2
2 b 2 b b
a a . a2
2 2 2
2
2 2 2b 2 b b
a a a
2 2 2
2 b b2
a4 2a
2 4

23. Quadrado da diferença de dois
termos
2
a b
Termo a Termo b

24. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
2
Produto Quadrado da diferença a b
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

25. Quadrado da diferença de dois
termos
2
a b a b.a b

26. Quadrado da diferença de dois
termos
2
a b a b.a b
2 2
a ab ab b
2 2
a 2ab b

27. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
Produto Quadrado da diferença a b
2
a2 2ab b2
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

28. Vamos calcular 1
2
x 3

29. Vamos calcular 1
2
x 3 x 3 x 3

30. Vamos calcular 1
2
x 3 x 3 x 3
2 2
x 3x 3x 3

31. Vamos calcular 1
2
x 3 x 3 x 3
2 2
x 3x 3x 3
2 2
x 2.3x 3

32. Vamos calcular 1
2
x 3 x 3 x 3
2
x 3x 3x 3
2 2
x 2.3x 3
2
x 6x 9

33. Vamos calcular 2
2
2ab c

34. Vamos calcular 2
2
2ab c 2ab c . 2ab c

35. Vamos calcular 2
2
2ab c 2ab c . 2ab c
2 2
2ab 2abc 2abc c

36. Vamos calcular 2
2
2ab c 2ab c . 2ab c
2 2
2ab 2abc 2abc c
2 2 2
4a b 4abc c

37. Vamos calcular 3
2
a b
2 8

38. Vamos calcular 3
2
a b a b a
.
b
2 8 2 8
2 8

39. Vamos calcular 3
2
a b a b a
.
b
2 8 2 8
2 8
2 2
a a b b a b
. .
2 2 8 8 2 8

40. Vamos calcular 3
2
a b a b a
.
b
2 8 2 8
2 8
2 2
a a b b a b
. .
2 2 8 8 2 8
a2 ab ab b2
4 16 16 64

41. Vamos calcular 3
2
a b a b a
.
b
2 8 2 8
2 8
2 2
a a b b a b
. .
2 2 8 8 2 8
a2 ab ab b2
4 16 16 64
a2 ab b2
2
4 16 64

42. Vamos calcular 3
2
a b a b a
.
b
2 8 2 8
2 8
2 2
a a b b a b
. .
2 2 8 8 2 8
a2 ab ab b2
4 16 16 64
a2 ab b2
2
4 16 64

43. Vamos calcular 3
2
a b a b a
.
b
2 8 2 8
2 8
2 2
a a b b a b
. .
2 2 8 8 2 8
a2 ab ab b2
4 16 16 64
a2 ab b2
2
4 16 64
a2 ab b2
4 8 64

44. Produto da soma pela diferença de
dois termos
a b.a b
Termo a Termo b Termo a Termo b

45. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
Produto Quadrado da diferença a b
2
a2 2ab b2
Notável
Produto da soma pela diferença a b a b
Cubo da soma
Cubo da diferença

46. Produto da soma pela diferença de
dois termos
2 2
a b.a b a ab ab b
2 2
a b

47. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
Produto Quadrado da diferença a b
2
a2 2ab b2
Notável
Produto da soma pela diferença a b a b a2 b2
Cubo da soma
Cubo da diferença

48. Vamos calcular 1
a 5 a 5

49. Vamos calcular 1
2 2
a 5 a 5 a 5a 5a 5

50. Vamos calcular 1
2 2
a 5 a 5 a 5a 5a 5

51. Vamos calcular 1
2 2
a 5 a 5 a 5a 5a 5
2
a 25

52. Vamos calcular 2
2 2
y 3z y 3z

53. Vamos calcular 2
2 2 2 2 2 2 2
y 3z y 3z y 3zy 3zy 3z

54. Vamos calcular 2
2 2 2 2 2 2 2
y 3z y 3z y 3zy 3zy 3z

55. Vamos calcular 2
2 2 2 2 2 2 2
y 3z y 3z y 3zy 3zy 3z
4 2
y 9z

56. Vamos calcular 3
2 1 2 1
x x
x2 x2

57. Vamos calcular 3
2
2 1 2 1 2 2 1 1 1
x x x 2
x . 2 2
x . 2
x2 x2 x x x2

58. Vamos calcular 3
2
2 1 2 1 2 2 1 1 1
x x x 2
x . 2 2
x . 2
x2 x2 x x x2

59. Vamos calcular 3
2
2 1 2 1 2 2 1 1 1
x x x 2
x . 2 2
x . 2
x2 x2 x x x2
4 1
x
x4

60. Cubo da soma de dois termos
3
a b
Termo a Termo b

61. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
Produto Quadrado da diferença a b
2
a2 2ab b2
Notável
Produto da soma pela diferença a b a b a2 b2
3
Cubo da soma a b
Cubo da diferença

62. Cubo da soma de dois termos
3 2
a b a b.a b

63. Cubo da soma de dois termos
3 2
a b a b.a b
2 2
a b.a 2ab b
3 2 2 2 2 3
a 2a b ab a b 2ab b
3 2 2 3
a 3a b 3ab b

64. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
Produto Quadrado da diferença a b
2
a2 2ab b2
Notável
Produto da soma pela diferença a b a b a2 b2
Cubo da soma a b
2
a3 3a 2b 3ab2 b3
Cubo da diferença

65. Vamos calcular 1
3
x 2

66. Vamos calcular 1
3 2
x 2 x 2.x 2

67. Vamos calcular 1
3 2
x 2 x 2.x 2
2
x 2.x 4x 4

68. Vamos calcular 1
3 2
x 2 x 2.x 2
2
x 2.x 4x 4
3 2 2
x 4x 4x 2x 8x 8

69. Vamos calcular 1
3 2
x 2 x 2.x 2
2
x 2.x 4x 4
3 2 2
x 4x 4x 2x 8x 8
3 2
x 6x 12x 8

70. Vamos calcular 2
3
x 2y

71. Vamos calcular 2
3
x 2y x 2y . x 2y
2

72. Vamos calcular 2
3
x 2y x 2y . x 2y
2
2 2
x 2y . x 4 xy 4 y

73. Vamos calcular 2
3
x 2y x 2y . x 2y
2
2 2
x 2y . x 4 xy 4 y
3 2 2 2 2 3
x 4 x y 4 xy 2 x y 8 xy 8y

74. Vamos calcular 2
3
x 2y x 2y . x 2y
2
2 2
x 2y . x 4 xy 4 y
3 2 2 2 2 3
x 4 x y 4 xy 2 x y 8 xy 8y
3 2 2 3
x 6 x y 12 xy 8y

75. Vamos calcular 3
2 3
2 3z

76. Vamos calcular 3
2 3 2 2 2
2 3z 2 3 z . 2 3z

77. Vamos calcular 3
2 3 2 2 2
2 3z 2 3 z . 2 3z
2 2 4
2 3z . 4 12 z 9z

78. Vamos calcular 3
2 3 2 2 2
2 3z 2 3 z . 2 3z
2 2 4
2 3z . 4 12 z 9z
2 4 2 4 6
8 24z 18z 12z 36z 27 z

79. Vamos calcular 3
2 3 2 2 2
2 3z 2 3 z . 2 3z
2 2 4
2 3z . 4 12 z 9z
2 4 2 4 6
8 24z 18z 12z 36z 27 z
2 4 6
8 36z 54z 27 z

80. Cubo da diferença de dois termos
3
a b
Termo a Termo b

81. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
Produto Quadrado da diferença a b
2
a2 2ab b2
Notável
Produto da soma pela diferença a b a b a2 b2
Cubo da soma a b
2
a3 3a 2b 3ab2 b3
3
Cubo da diferença a b

82. Cubo da diferença de dois termos
3 2
a b a b.a b

83. Cubo da diferença de dois termos
3 2
a b a b.a b
2 2
a b.a 2ab b
3 2 2 2 2 3
a 2a b ab a b 2ab b
3 2 2 3
a 3a b 3ab b

84. Quadrado da soma a b
2
a2 2ab b2
Produto Quadrado da diferença a b
2
a2 2ab b2
Notável
Produto da soma pela diferença a b a b a2 b2
Cubo da soma a b
2
a3 3a 2b 3ab2 b3
Cubo da diferença a b
3
a3 3a 2b 3ab2 b3

85. Vamos calcular 1
3
x 2

86. Vamos calcular 1
3
x 2 x 2.x 2
2

87. Vamos calcular 1
3
x 2 x 2.x 2
2
2
x 2.x 4x 4

88. Vamos calcular 1
3
x 2 x 2.x 2
2
2
x 2.x 4x 4
3 2 2
x 4x 4x 2x 8x 8

89. Vamos calcular 1
3
x 2 x 2.x 2
2
2
x 2.x 4x 4
3 2 2
x 4x 4x 2x 8x 8
3 2
x 6x 12x 8

90. Vamos calcular 2
3
ax y

91. Vamos calcular 2
3 2
ax y ax y . ax y

92. Vamos calcular 2
3 2
ax y ax y . ax y
2 2 2
ax y . a x 2axy y

93. Vamos calcular 2
3 2
ax y ax y . ax y
2 2 2
ax y . a x 2axy y
a 3 x 3 2a 2 x 2 y axy 2 a 2 x 2 y 2axy 2 y3

94. Vamos calcular 2
3 2
ax y ax y . ax y
2 2 2
ax y . a x 2axy y
a 3 x 3 2a 2 x 2 y axy 2 a 2 x 2 y 2axy 2 y3
a 3 x 3 3a 2 x 2 y 3axy 2 y 3

95. Vamos calcular 3
2 3
2x y

96. Vamos calcular 3
2 3 2 2 2
2x y 2x y . 2x y

97. Vamos calcular 3
2 3 2 2 2
2x y 2x y . 2x y
2x y 2 . 4x2 4 xy 2 y4

98. Vamos calcular 3
2 3 2 2 2
2x y 2x y . 2x y
2x y 2 . 4x2 4 xy 2 y4
8x3 8x 2 y 2 2 xy 4 4 x 2 y 2 4 xy 4 y6

99. Vamos calcular 3
2 3 2 2 2
2x y 2x y . 2x y
2x y 2 . 4x2 4 xy 2 y4
8x3 8x 2 y 2 2 xy 4 4 x 2 y 2 4 xy 4 y6
3 2 2 4 6
8x 12 x y 6 xy y

100. Resumindo…
2
a b a2 2ab b2
Quadrado de um
binômio 2
a b a2 2ab b2
Produto
Notável
Produto da soma pela diferença a b a b a2 b2
3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
Cubo de um binômio
3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3

101. Bibliografia
 Tempo de Matemática, 7a série; NAME,
Miguel Assis. 1996, Editora do Brasil S/A,
São Paulo. Páginas pesquisadas 69 a 78.
 Matemática e Realidade, 8o ano; IEZZI,
Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO,
Antonio. 2009, 6a edição, Atual Editora,
São Paulo. Páginas pesquisadas 186 a 194.