Este documento presenta una serie de ejercicios sobre triángulos y congruencia de triángulos. Incluye 12 ejemplos resueltos que demuestran la congruencia de triángulos utilizando los criterios de ángulo-lado-ángulo, lado-ángulo-lado y ángulo-ángulo-lado. Los ejemplos utilizan conceptos como bisectrices, perpendicularidad y propiedades de triángulos isósceles para establecer la congruencia entre triángulos.

1. TALLER SOBRE TRIANGULOS Y CONGRUENCIA
EJERCICIOS PROPUESTO
SOBRE TRIÁNGULOS
1. Resuelva utilizando los teoremas
y justificando todos los pasos:
1. Si b =20 cm.; c =10 cm.; d = ?
2. ?;70 =°= φσSi
3. Si f =13cm.; d =20 cm. a = ?
4. ?40 =°=∠ σACBSi
5. Si d =2c; b = ?
6. ?2 == λθσSi
7. ?.;402 === dcmfSi φλ
2. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de
los otros dos son:
a) 67° y 47° b) 22° y 135° c) a° y 2a°
3. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.
4. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. ¿Cuánto
miden los ángulos interiores de la base?
5. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es
tres veces mayor que el ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?
6. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4.
¿Cuánto miden estos ángulos?
7. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 18,5º más que el ángulo del
vértice. Calcula los ángulos interiores del triángulo.
8. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden
estos ángulos?

2. 9. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo
CBA y éste 12º más que el ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos
exteriores de este triángulo.
10.En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base
con el ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior
del vértice.
11. En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero.
Calcula la medida de los ángulos interiores del triángulo.
12.El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y
ACB están en la razón 3:2, ¿cuál es el valor del ángulo ACB?
13.En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el
otro. ¿Cuánto miden los ángulos agudos?
14.En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 20º más que otro, pero 35º
menos que el tercero. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?
15.En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de 2:3:4.
¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?
16.En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33
1/3 % del tercero. Determina la medida del ángulo menor de este triángulo.
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
EJEMPLO 1
Si BD ⊥ AC , ∠1=∠2; demostremos que ∆ ABD ≅ ∆ CBD
Demostración: ∠ABD=∠DBC=90º (definición de
perpendicularidad).
BD = BD (lado común); ∠1=∠2 (dado) ⇒ ∆ ABD≅ ∆
CBD (A-L-A)
EJEMPLO 2
Sea DA⊥ AB; CB⊥ AB; y ∠1=∠2. Demostremos que ∆ ABD ≅ ∆ ABC
Demostración: ∠DAB=∠CBA=90º (definición de ⊥ ); AB = AB
(lado común)
∠1=∠2 (dado) ⇒ ∆ ABD ≅ ∆ ABC (A-L-A)

3. EJEMPLO 3
Si AC = AD y ∠ 1=∠ 2.
Demostremos que ∠ C =∠ D
Solución:
AC = AD (dado)
∠ 1 = ∠ 2 (dado)
AB = AB (Lado común)
∆ ABC ≅ ∆ ABD (L-A-L)
→ ∠ C = ∠ D (e.c ∆s.≅ s)
EJEMPLO 4:
Digamos qué triángulos son congruentes, indicando el criterio.

4. Solución:
º180º40º30 =++⇒∆ θI (Suma de ángulos interiores en un triángulo)
θ es el otro ángulo
º110º40º30º180 =⇒−−=⇒ θθ
251815
)(
VIIII
18º11015
)(
VIIIV
º11015º40
)(
VI
253018
)(
º11025º40
)(
LLL
LAL
ALA
III
LAL
VII
ALA
IIII
−−
∆≅∆
−−
∆≅∆
−−
∆≅∆
−−
∆≅∆
−−
∆≅∆⇒
°
IVVIIVII
VIIIII
∆≅∆≅∆≅∆
∆≅∆≅∆
⇒ (Ley transitiva)
Si ⇒∆≅∆ VII
º30º30
1515
2525
º110º110
==∠
==
==
==∠
B
b
c
A
Si
⇒∆≅∆ VIIII
º180º110º30 =++α
(Suma de ángulos
interiores en un
triángulo)
º40=⇒ α
º30º30
º110º110
==∠
==∠
B
A VIIVI ∆≅∆⇒
(L-A-L)
VII∆≅∆≅∆≅∆⇒ IIIIII (Ley transitiva)

5. EJEMPLO 5
Hipótesis: NRPRPQQM ===
Tesis: MNP∆ es isósceles
Solución:
PRPQ = (Hipótesis)
⇒ 1∆ isósceles
⇒ 32
ˆˆ αα =
⇒ 32
ˆˆ ββ = (Suplementos de
ángulos iguales)
RNMQ = (Hipótesis); ⇒ 32 ∆≅∆ (L-A-L) ⇒ NM ∠=∠ (Elementos
correspondientes en triángulos congruentes (e.c. s∆ . .s≅ )); ⇒ MNP∆ isósceles.
EJEMPLO 6
Hipótesis: ACAB = ; A∠ es trisecado
Tesis: AEAD =
Solución:
2ˆ1ˆ = (por trisecación)
ACAB = (Hipótesis)
⇒ 3∆ Isósceles
⇒ 21
ˆˆ αα =
⇒ 21
ˆˆ ββ = (suplementos de ángulos
iguales).
⇒ 21 ∆≅∆ (A-L-A)
⇒ AEAD = (Elementos correspondientes
en triángulos congruentes).

6. EJEMPLO 7
De acuerdo con la figura,
donde AE y CD son alturas del
triángulo BAC∆ , y CEAD = .
Demostremos que CFAF =
Solución:
º9021 == θθ (Definición de altura).
ECAD = (dado)
21
ˆˆ αα = (opuestos por vértice)
⇒ 21 ∆≅∆ (A-A-L)
⇒ CFAF = (Elementos
correspondientes en triángulos congruentes
EJEMPLO 8
En la figura BCAC = y
ECDC = . Demostremos que
DBAE =
Solución:
ECDC = (dado)
CC ∠=∠ (ángulo común)
CBAC = (dado) ⇒ 21 ∆≅∆ (L-A-L) ⇒
BDAE = (Elementos correspondientes
en triángulos congruentes).

7. EJEMPLO 9
En la figura, BCAC = y
CEDCDE ∠=∠ . Demostremos
que DBAE =
Solución:
21
ˆˆ αα = (dado) ⇒ 1∆ isósceles ⇒
CEDC =
CC ˆˆ = (ángulo común)
BCAC = (dado)
CDBAEC ∆≅∆ (L-A-L)
⇒ DBAE = (Elementos
correspondientes en triángulos
congruentes).
EJEMPLO 10
Hipótesis:
AE biseca a BD ; BDDE ⊥ ; BDAB ⊥
Tesis: AE ∠=∠

8. Solución:
º9021 == θθ (definición de perpendicularidad)
BCDC = ( AE biseca a BD )
21
ˆˆ αα = (opuestos por el vértice)
21 ∆≅∆ (A-L-A)
EA ˆˆ = (Elementos correspondientes en
triángulos congruentes).
EJEMPLO 11
Hipótesis:
PQ bisectriz; MNPQ ⊥
Tesis: NM ∠=∠
Solución:
21
ˆˆ αα = ( PQ bisectriz)
21 θθ = (perpendicularidad)
PQPQ = (lado común)
21 ∆≅∆ (A-L-A)
NM ∠=∠ (Elementos correspondientes
en triángulos congruentes).
EJEMPLO 12
Hipótesis: ∠1 = ∠ 2;
CE biseca BF
Tesis: ∠C = ∠E

9. Solución:
2ˆ1ˆ = (Hipótesis)
⇒ 21
ˆˆ αα = (suplementos de
ángulos iguales)
21
ˆˆ ββ = (opuestos por el vértice)
DFBD = (CE biseca a BF )
21 ∆≅∆ (A-L-A)
EC ˆˆ = (Elementos correspondientes
en triángulos congruentes).