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Presentación de triángulos

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GEOMETRÍA Y
TRIGONOMETRÍA
FUNCÍON
 Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A
exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.
FUNCÍON EXPONENCIAL
 La función exponencial es del tipo:
 Sea a un número real positivo. La
función que a cada número real x le
hace corresponder la potencia ax se
llama función exponencial de base a y
exponente x.
Ejemplo
FUNCÍON LOGARITMICA
 En matemática, el logaritmo es una función matemática inversa de la función
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  • 2. FUNCÍON  Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.
  • 3. FUNCÍON EXPONENCIAL  La función exponencial es del tipo:  Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
  • 5. FUNCÍON LOGARITMICA  En matemática, el logaritmo es una función matemática inversa de la función exponencial.
  • 7.  Dado un número real (argumento), la función logaritmo asigna el exponente (o potencia) a la que un número fijo (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn, que permite obtener n. Esta función se escribe como: n = logb x. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2. Por ejemplo:
  • 8. Ejemplo Definición de logaritmo Siendo a la base x el número e y el logaritmo.
  • 9. De la definición de logaritmo podemos deducir:
  • 12. 17.19 Calcula el valor de x en la ecuación: Solución: Lo resolvemos paso a paso.
  • 13. LOGARITMO NATURAL  El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el número 2,718281828…  Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos decimales, se le ha asignado la letra “e”:   e = 2,718281828…   Para simplificar más esta notación, en logaritmos se utiliza la abreviación de logaritmo natural (Ln) para referirse a un logaritmo que tenga este número como base
  • 14. Gráfica del logaritmo natural Gráfico del logaritmo de base 10 Gráfico del logaritmo de base 2
  • 15. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS  Al observar y comparar figuras geométricas, se advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes. El símbolo que se emplea para denotar la congruencia es Para comparar dos triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y se ejemplifican a continuación.
  • 16.  Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triangulo. Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)
  • 17. Segundo criterio: lado, Ángulo, lado (LAL)  Dos triángulos son congruentes si, en el primer triangulo, dos de sus lados y el triangulo comprendido entre ellos del segundo triangulo
  • 18. Tercer criterio: triangulo, lado, triangulo (ALA)  Dos triángulos son congruentes si dos triángulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los triángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triangulo.
  • 19. Paralelismo y Perpendicularidad  Paralelismo es la cualidad de paralelo y, en geometría, puede referir a rectas o planos.  Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas cuando no se cortan y, por tanto, las parejas de puntos más próximos de ambas guardan siempre la misma distancia.
  • 20. Perpendicularidad  Perpendicularidad  La perpendicular de una línea recta, es la que forma ángulo recto con la dada.
  • 21. SEMEJANZA DE TRIANGULOS  Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que: 1. Los ángulos correspondientes son iguales:  2. Los segmentos correspondientes son proporcionales:  donde , se la razón de semejanza.
  • 23. CLITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS  Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales:  Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales:  Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:
  • 24. POLIGONOS  Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.  Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.  Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización de un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.
  • 26.  En un polígono podemos distinguir:  Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.  Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.  Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.  Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.  Ángulo interior y ángulo exterior.  En un polígono regular podemos distinguir, además:  Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.  Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
  • 28. Polígonos Nombre Número de lados no existe 1 dígono [1] 2 triángulo 3 cuadrilátero 4 pentágono 5 hexágono 6 heptágono 7 octágono 8 eneágono 9 decágono 10 endecágono 11 dodecágono 12 tridecágono 13 tetradecágono 14 pentadecágono 15 hexadecágono 16 heptadecágono 17 octodecágono 18 eneadecágono 19 isodecágono 20 triacontágono 30 tetracontágono 40 pentacontágon o 50 hexacontágono 60 heptacontágono 70 octacontágono 80 eneacontágono 90 hectágono 100 chiliágono 1.000 miriágono 10.000 megágono 1.000.000
  • 29. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO  Un círculo, en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.
  • 30. AREAS Y VOLUMENES  Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de triángulos  En matemática el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico. En los dominios de tres dimensiones, el volumen se calcula mediante la integral triple extendida a dicho dominio, del elemento diferencial de volumen. En matemática el volumen de un cuerpo, es la medida que se le asocia al espacio que ocupa un cuerpo.
  • 32. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS  Las funciones trigonométricas, en matemática, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
  • 35. La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia  sen  cos  tan  cotan  cosec  sec  secante cosecante seno coseno   
  • 36. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Razones trigonométricas de un ángulo agudo Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones solamente dependen del ángulo α debido al teorema de Thales.
  • 37. Funciones trigonométricas: seno de un ángulo agudo  c a   hipotenusa opuesto cateto sen  a b c  b/c a/c 1
  • 38. Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo  c b   hipotenusa adyacente cateto cos a b c  b/c a/c 1
  • 39. Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo  a b c  b/c a/c 1 b a   adyacente cateto opuesto cateto tan  a b   opuesto cateto adyacente cateto cotan 
  • 40. Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo  a b c  b/c a/c 1 b c   adyacente cateto hipotenusa sec a c   opuesto cateto hipotenusa cosec
  • 41. Ejemplo Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm
  • 42. Las razones trigonométricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las Relaciones trigonométricas fundamentales Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa sino así Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.
  • 44. Ejemplo Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen
  • 45. EJEMPLO: Se conoce la tangente de un ángulo y se quiere calcular cuánto valen
  • 46. 3.1 Definición de círculo trigonométrico El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0) Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo. Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es:
  • 47. Entonces, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario. C r = = = 2 2 1 2 p p p ( ) .
  • 48. Nota: las coordenadas de los puntos circulares P(0) y P(2) son iguales:
  • 49. 0 α De acuerdo a las funciones que ya conocemos tenemos:
  • 50. Sena = BD OB = BD r = BD 1 = BD Cosa = OD OB = OD r = OD 1 = OD Tana = FC OC = FC Cota = AR OA = AR Seca = OF OC = OF Csca = OR OA = OR
  • 51. EJEMPLO Sen 650= 0.9063 Cos 650= 0.4226 Tan 650= 2.1445 Cot 650= 0.4663 Sec 650= 2.3662 Csc 650= 1.1033 1 1 1 0.9063 0.4226 2.1 44 5 0.4663 2 . 3 6 6 2 1 . 1 0 3 3
  • 52. 3.2 Funciones de ángulos de cualquier magnitud. ÁNGULO Sen Cos Tan Cot Sec Csc 0 30 60 90 120 150 180 210 240 VALOR DE LAS FUNCIONES
  • 53. 3.3.-Variación y gráficas de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados NOMBRE DE LA FUNCIÓN Razón o relación seno coseno tangente cotangente secante cosecante CO H CA H CO CA CA CO H CA H CO
  • 54.  Las funciones trigonométricas son algunas aplicaciones que nos ayudan en la resolución de triángulos rectángulos  Un triángulo tiene seis elementos : tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo consiste en calcular tres de los elementos cuando se conocen los otros tres , siempre que uno de ellos sea un lado.
  • 55. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS : Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.
  • 56. USO DE LA FUNCION SENO: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto opuesto al ángulo dado. USO DE LA FUNCION COSENO: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa, Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.
  • 57. USO DE LA FUNCIÓN TANGENTE: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto. USO DE LA FUNCIÓN COTANGENTE: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.
  • 58. USO DE LA FUNCION SECANTE: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno. USO DE LA FUNCION COSECANTE: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.
  • 59.  Función seno (de -360 a 360)
  • 60. Función coseno (de –360 a 360)
  • 61. Función tangente (de –360 a 360) 300 - 60 -120 -180 -240 -300 -360 360 60 120 180 240 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 300
  • 62. - 60 -120 -180 -240 -300 -360 360 60 120 180 240 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 300 Función cotangente (de –360 a 3
  • 63. - 60 -120 -180 -240 -300 -360 360 60 120 180 240 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 300 Función secante (de –360 a 360)
  • 64. - 6 0 -120 -180 -240 -300 -360 360 60 120 180 240 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 300 Función cosecante (de –360 a 360)
  • 65. Variación en la gráfica de seno: 3Senx+2 3Sen 0º+2=2 3Sen 90º+2=5 3Sen 180º=2 3Sen 270º=-1 3Sen 360º=2 180 360 1 -1 0 -2 2 3 4 5 90 270 Sen x Sen 0°=0 Sen 90°=1 Sen 180°=0 Sen 270°=-1 Sen 360°= 0
  • 66. Cosx Cos 0° = 1 Cos 90° = 0 Cos 180° = -1 Cos 270° = 0 Cos 360° = 1 Cosx+2 Cos 0º+2=3 Cos 90º+2=2 Cos 180º+2=1 Cos 270º+2=2 Cos 360º+2=3 Variación de la función Coseno