1. 1 Tallære Grunnskolelærerutdanning 5.-10. trinn Institutt for realfagsdidaktikk Fakultet for humaniora og utdanningsvitenskap Høgskolen i Vestfold Uke 38, 2010

2. 2 Om tallære: “Mathematics is the queen ofthe sciences and numbertheory is the queen ofmathematics.” G. H. Hardy

3. 3 Kilder Breiteig–Venheim: Matematikk for Lærere 1, kap. 4Universitetsforlaget (2005) Selvik-Tvete: Matematiske sammenhenger – TallæreCaspar forlag (2000)

4. 4 Innhold Delelighet Primtall Største felles faktor og minste felles multiplum Figurtall

5. 5 §1. Delelighet Alle elever i en klasse har kjøpt de fire lærebøkene som læreren anbefalte. Antall bøker eid av klassen er da (antall elever) ∙ 4. Derfor må 4 «gå opp» i antall bøker. F.eks.: 24 elever eier 96 = 4 ∙ 24 bøker.

6. 6 Faktorer og delelighet Definisjon: Et heltall a er delelig med et annet heltall b dersom a = k∙b for et heltall k. I hverdagsspråket kunne vi si at a gjenstander kan fordeles jevnt mellom b personer. Vi kan også bruke følgende terminologi: Tallet bgår opp i a. (Obs: Ikke «a går opp i b»!) Tallet ber faktor eller divisor i a. Tallet aer et multiplum av b.

7. 7 Når går ett tall opp i et annet? Kjent definisjon: Et heltall a kalles partall dersom 2 er faktor i a, og oddetall ellers. Et heltall er partall dersom dets siste siffer er 0, 2, 4, 6 eller 8; og oddetall dersom dets siste siffer er 1, 3, 5, 7 eller 9.

8. Litt om delelighet Setning: La heltall a, b og t være gitt. Da gjelder følgende: Hvis t | a og t | b, så vil t | (a + b). Hvis t | a, så vil t | na for alle heltall n. Vi skal bevise påstand (1) senere. Hele setningen er bevist på s. 116 i Breiteig-Venheim 1. 8

9. Obs om terminologi Tenk om det i en oppgave står for eksempel «La x og y være tall slik at x < y. Bevis at x + y < 2y.» Meningen med en slik oppgave er ikke at man skal velge et eksempel som x = 1 og y = 2, og sjekke at 1 + 2 < 2∙2. Argumentet skal gjelde alle mulige valg av x og y. 9

10. 10 Å sjekke delelighet (Breiteig-Venheim, s. 116-118) Et helt tall er delelig med 2 dersom det siste sifferet er partall 4 dersom tallet dannet av de siste to sifrene er delelig med 4 5 dersom det siste sifferet er 0 eller 5

11. 11 Tverrsummer og delelighet Definisjon: Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Den alternerende tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre der vi ganger sifrene vekselvis med +1 og −1.

12. 12 Flere tester for delelighet Et helt tall er delelig med 3 dersom tverrsummen er delelig med 3 6 dersom det er partall og tverrsummen er delelig med 3 9 dersom tverrsummen er delelig med 9 11 dersom den alternerendetverrsummen er delelig med 11

13. Divisjon med rest Hva gjør vi når vi deler 38 med 5? Vi skriver 38 = 7∙5 + 3. Her kalles 3 for resten fra divisjonen. 13

14. Divisjon med rest – fortsatt Generelt, gitt heltall a og b, deler vi a på b ved å skrive a = qb + r der r er et heltall mellom 0 og b−1. («Divisjonssetning», s. 126 Breiteig-Venheim.) 14

15. Bevisføring i matematikken Før vi går videre med tallære, skal vi diskutere rollen som bevisføring spiller i matematikkfaget. 15

16. 16 §2. Primtall Definisjon: Et helt tall a kalles primtall dersom de eneste faktorene i a er 1 og a. Et helt tall som ikke er primtall kalles et sammensatt tall. (Tallet 1 betraktes hverken som primtall eller sammensatt.)

17. 17 Aritmetikkens fundamentalsetning Primtallene er de hele tallene som det ikke går an å «bryte ned» (faktorisere) videre. Setning (Aritmetikkens fundamentalsetn.): Hvert heltall kan faktoriseres som produkt av primtall på én og bare én måte(vi ser bort fra faktorenes rekkefølge).

18. 18 Å finne primtallfaktorer Lemma: Et sammensatt tall a har alltid minst én primtallfaktor som er ≤𝑎. Bevis Siden a er sammensatt, kan vi skrive a = bc for heltall b og c, ingen av dem lik a. Hvis både b og c er større enn 𝑎, da er bc større enn a, som er umulig. Vi antar at det er b som er ≤𝑎. Da er primtallfaktorene i b også mindre enn eller lik ≤𝑎, og disse er også primtallfaktorer i a. □

19. 19 Å finne primtallfaktorer Lemmaet viser at for å sjekke om et heltall a er primtall, holder det med å sjekke delelighet med alle primtallene som er ≤𝑎. Har vi ikke funnet en primtallfaktor etter å ha prøvd alle disse, da vet vi at a er primtall. Denne teknikken kan også benyttes ved faktorisering.

20. 20 Hvor mange primtall? Aritmetikkens fundamentalsetningen tilsier at ethvert heltall kan brytes ned som produkt av primtall. Hvor mange primtall trenger vi for å lage alle de heltallene?

21. 21 Setning (Euklid): Det finnes uendelig mange primtall. Bevis La p være et vilkårlig primtall. Vi skal bevise at det finnes et primtall større enn p. Dermed skal vi vite at det er ingen største primtall, og så må det være uendelig mange primtall.

22. 22 (bevis fortsetter) Vi samler alle primtallene som er mindre enn eller lik p: 2, 3, 5, 7, … p og bruker dem til å lage et nytt tall M := (2∙3∙5∙7∙…∙p) + 1 Tallet M er ikke delelig med noe av primtallene på lista 2, 3, … p, fordi vi får en rest på 1 i hvert tilfelle. Derfor er alle primtallfaktorene i M større enn p. □

23. 23 Eratosthenes’ såld (Breiteig-Venheim, s. 122) En måte å finne primtall på. Metoden går på å «stryke» alle sammensatte tall i et visst intervall, og da står bare primtallene igjen.

24. 24 Fordeling av primtallene Primtallene fordeler seg i de hele tallene på en svært tilfeldig måte. Her er et av de forholdsvis få resultatene vi har om fenomenet: Setning: Det finnes vilkårlig lange rekkefølger av sammensatte tall i de hele tallene.

25. 25 Ide bak beviset: Tenk om vi ønsker å finne fem påfølgende sammensatte tall. Først lager vi tallet 6! = 6∙5∙4∙3∙2∙1. Da ser vi at 6! + 2 = 722 er delelig med 2, 6! + 3 = 723 er delelig med 3, 6! + 4 = 724 er delelig med 4, 6! + 5 = 725 er delelig med 5, og 6! + 6 = 726 er delelig med 6. Slik har vi funnet en rekkefølge med fem påfølgende sammensatte tall.

26. 26 Bevis Tenk om vi ønsker å finne n påfølgende sammensatte tall. Først lager vi tallet (n +1)! = (n +1)∙n∙(n - 1)∙(n - 2)∙ … ∙3∙2∙1. Da ser vi at (n +1)! + 2 er delelig med 2, (n +1)! + 3 er delelig med 3, … (n +1)! + n er delelig med n, og (n +1)! + (n +1) er delelig med (n +1). Slik har vi funnet en rekkefølge med n sammensatte tall. □

27. 27 §5. Sff og mfm (altså største felles faktor og minste felles multiplum) Johann kjøper et antall epler à 4kr og et antall bananer à 6kr. Ekspeditøren sier at det er 65kr å betale. Johann sier «Dette må være feil». Hvordan visste han det? Hva om Johann kjøpte appelsiner à 3kr og vafler à 6kr, og blir bedt om å betale 20kr?

28. 28 Vi oversetter til algebra: Vi prøver å finne heltallsløsninger til likningen 4e + 6b = 65 i det første eksempelet, og likningen 3a + 6v = 20 i det andre.

29. 29 For at det skal være en heltallsløsning til 4e + 6b = 65, trenger vi følgende: Alle heltall som går opp i både 4 og 6, må også gå opp i 65. Det er bare 1 og 2 som går opp i 4 og 6. Men 2 går ikke opp i 65. Derfor må ekspeditøren ha gjort feil.

30. 30 Felles faktor og sff Definisjon: La a og b være hele tall. En felles faktor for a og b er et helt tall som går opp i både a og b. En felles faktor d for a og b kalles største felles faktor for a og b dersom alle felles faktorer for a og b går opp i d. Vi skriver sff(a,b) eller gcd(a,b).

31. 31 For at vi skal kunne finne løsninger f.eks. til likningen 4e + 6b = 65, må sff(4,6) = 2 gå opp i tallet til høyre, og det gjør det ikke. En slik likning kalles forresten en lineær diofantisk likning.

32. 32 Å finne sff En måte å finne sff(a, b) på, er å faktorisere a og b og se på hvilke tall som går opp i begge tall. Med store tall er Euklids algoritmedet mest gunstige (Breiteig-Venheim, s. 128-129).

33. Et annet bruk for sff Dersom vi skal forkorte et brøktall 𝑎𝑏, vil vi finne det største tallet som går opp i både telleren og nevneren. – Altså, sff(a, b)! 33

34. 34 Minste felles multiplum Tenk om vi skal utføre regnestykket Vi må finne en felles nevner for brøkene. Det går an å gange sammen nevnerne, men dette kan bli tungvint. Det mest gunstige er å bruke minste felles multiplum.

35. 35 Definisjon: La a og b være hele tall. Et felles multiplum for a og b er et helt tall som både a og b går opp i. Et felles multiplum mfor a og b er minste felles multiplum dersom mgår opp i alle andre felles multipler for a og b. Minste felles multiplum til a og b finner man slik:

36. §4. Figurtall Kvadrattall, trekanttall, rektangeltall Grafisk og algebraisk innfallsvinkel Differenstabell Relasjoner mellom forskjellige figurtall 36