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Limites: problemas resueltos

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Problemas resueltos de límites de funciones

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Limites: problemas resueltos

  1. 1. Problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones
  2. 2. Repaso de Problemas típicos x  3x  2 2 x3  x2  x  1 1 lim 2 lim x  x 3  3 x 2  5 x  2 x 2 x 2 3 lim x  1  x  1 2 2 4 lim x 2  x  1  x 2  x  1 x  x  2x s en  3 x  5 lim 6 lim x 0 2x  x  1  x  3 x  1 2 2 x 0 6x   s en x 2 7 sen  sen  x   8 lim x 0 x s en  x  lim x 0 x x  2sen  x  t g x  9 lim 10 lim e x 0 x  2sen  x   1  sen  x   x  1 2 2  x  2Calculators
  3. 3. Repaso de Problemas11 ¿Dónde es y  t g  x  continua?  1 12 ¿Dónde es continua f    sen  2   1 ?   x2  x13 ¿Qué ha de valer f  0  para que la función f  x   , x  0, x 1 sea continua en x  0?14 Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funciones en los puntos indicados: x 2  2x  8 x 1 a) f x  , x0  2, b) g x   , x0  1 x2 x 1  1 c) h  t   t s en   , t0  0 t 15 Demostrar que la ecuación sen  x   ex tiene  solutiones.Calculators
  4. 4. Métodos para el cálculo de Límites1 Casos de indenterminación: 0  00 , , ,   ,0, 0 ,1. 0 2 Aritmética del  : a   0,  ,    númber o negativ o   .  número positivo Si la función, de la que se está calculando el límite, está3 definida por una expresión algebraica que toma un valor finito en el punto límite, ese valor es el límite buscado. Si la función, de la que se está calculando el límite, no se4 puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una indeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma que se pueda calcular el límite.Calculators
  5. 5. Simplificaciones y Métodos1 Factorizar ó simplificar:  a  b  a  b  a2  b2. Eliminar factores comunes en functiones racionales:2 x 2  1  x  1  x  1   x  1  2. x 1  x 1 x 13 Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la expresión conjugada: x 1  x 2   x 1  x 2  x 1  x 2  x 1  x 2   x  1   x  2  3  0 x  x 1  x 2 x 1  x 2 s en  x 4 Usar el hecho: lim  1. x 0 xCalculators
  6. 6. Continuidad de Funciones Si las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresiones1 elementales de polinomios, funciones racionales, trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable independiente. Si la función f es continua en el punto x = a entonces:2 lim f  x   f  a . Se utiliza para x a demostrar que una ecuación Ejemplos de funciones no continuas en x = 0: tiene solución.3 1 1 x f  x   , g  x   s en   ,h  x   . x x x4 Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c entre a y b tal que f(c) = 0.Calculators
  7. 7. Límites: factorizar y simplificar: x 2  3x  2Problema 1 lim x 2 x 2 x 2  3 x  2  x  1 x  2Solución Re-escribir   x  1. x 2 x 2 x 2  3x  2 Por tanto lim  lim  x  1  1. x 2 x 2 x 2Calculators
  8. 8. Límites elementalesProblema 2 x3  x2  x  1 lim 3 x  x  3 x 2  5 x  2Solución 1 1 1 1   3 x3  x2  x  1 x x 2 x  1.  x   x3  3x 2  5x  2 1 3  5 2  3 2 x x x Lo haremos más directo: sin más que considerar los términos de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los coeficientes principales. x3  x2  x  1 1Problema 2 lim 3  1 x  x  3 x  5 x  2 2 1Calculators
  9. 9. Límites: expresión conjugadaProblema 3 lim x 2  1  x 2  1 x Solución Re-escribimos x 1 x 2 2 1   x2  1  x2  1  x2  1  x2  1  x2  1  x2  1     2 2  x 1  2 x 1 2  x 2    1  x2  1  2 x2  1  x2  1 x2  1  x2  1 x2  1  x2  1 2 Por tanto lim x  1  x  1  lim 2 2  0. x  x  x 1 x 1 2 2Calculators
  10. 10. LímitesProblema 4 lim x 2  x  1  x 2  x  1 x Solución Re-escribimos x2  x  1  x2  x  1   x  x 1 x  x 1 2 2  x2  x  1  x2  x  1 x2  x  1  x2  x  1  x 2    x  1  x2  x  1  2x  2 x2  x  1  x2  x  1 x2  x  1  x2  x  1 Ahora nos 2x 2 quedamos con los  x   1 términos de mayor x2  x2 2 grado en x.Calculators
  11. 11. Límites 2xProblema 5 lim x 0 2x 2  x  1  x 2  3 x  1Solución Re-escribimos 2x  2x  x  1  x  3 x  1 2 2 2x  2x 2  x  1  x 2  3 x  1   2x 2  x  1  x 2  3 x  1   2x 2  x  1  x 2  3 x  1  2x    2 x  2 x  x  1  x  3 x  1 2x 2  x  1  x 2  3 x  1 2 2  2x  x  1   x  3 x  1 x  4x 2 2 2 2 2 Menor grado en x. 2  2x  x  1  x  3 x  1 2 2 2  1  1   1 x 0 x4 4Calculators
  12. 12. Límites s en  3 x Problema 6 lim x 0 6x sen  Solución Usamos que lim  1.  0  sen  3 x  1 sen  3 x Re-escribimos  6x 2 3x sen  3 x  sen  3 x  1Como lim  1 se concluye que lim ,  . x 0 3x x 0 6x 2 Calculators
  13. 13. Límites sen  sen  x  Problema 7 lim x 0 xSolución Re-escribimos: sen  sen  x   sen  sen  x   sen  x    1  x sen  x  x x 0 s en   como lim  1. En lo anterior, se aplicó  0  primero al sustituir   s en  x  . s en  s en  x   Por tanto lim  1. x 0 s en  x Calculators
  14. 14. Límites   s en x 2Problema 8 lim x 0 x s en  x Solución Re-escribimos:   sen x 2 sen x 2   x  1  x sen  x  x2 sen  x  x 0Calculators
  15. 15. Límites Problema 9 x  2sen  x  lim x 2  2sen  x   1  sen2  x   x  1 x 0 Solución Re-escribimos x  2s en  x   x  2s en  x   1  s en  x   x  1 2 2  x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1    x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  x 2    2s en  x   1  s en2  x   x  1    x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  x 2  s en2  x   2s en  x   x Calculators
  16. 16. Límites x  2sen  x  Problema 9 limSolución x 0 x 2  2sen  x   1  sen2  x   x  1(cont.) Re-escribimos x  2s en  x  x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1   x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  Dividimos por x. x 2  s en2  x   2s en  x   x s en  x     1 2 x   x  2s en  x   1  s en  x   x  1 2 2  32      2. s en  x  s en  x  x 0 2 1 x  s en  x  2 1 x x Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x  0.Calculators
  17. 17. Límites Laterales t g x Problema 10 lim e  x  2Solución  Para  x   , t g  x   0 and lim t g  x   . 2  x  2 t g x  Por tanto lim e  0.  x  2Calculators
  18. 18. ContinuidadProblema 11 ¿Dónde es continua la función y  t g  x  ?Solución s en  x  y  t g x   es continua siempre que cos  x   0. cos  x   Por tanto y  t g  x  es continua para x   n , n  . 2Calculators
  19. 19. Continuidad  1 Problema 12 ¿Dónde es continua la función f    sen  2  ?    1  1 Solución La función f    s en  2  es continua en todos los puntos    1 donde toma valores finitos. 1  1  Si   1, no es finito, y sen  2  no está definido.  1 2    1 1  1  Si   1 2 , es finito, y sen  2  está definido y es finito.  1    1  1  Por tanto sen  2  es continua para   1.    1Calculators
  20. 20. ContinuidadProblema 13 Determinar f  0  para que la función x2  x f x  , x  0, sea continua en x  0. x 1Solución La condición de continuidad de una función f en un punto x0 es: lim f  x   f  x0  . Por tanto f  0  debe cumplir f  0   lim f  x  . x  x0 x 0 x2  x x  x  1 Es decir f  0   lim  lim  lim x  0. x 0 x  1 x 0 x 1 x 0Calculators
  21. 21. Continuidad Un número x0 en el que una función f  x  está indefinida or es infinito se llama una singularidad de la función f . La singularidad es evitable, si f  x0  se puede definir de tal manera que la función f se convierte en continua en x  x0 .Problema 14 ¿Qué funciones de las siguientes tienen singularidades evitables en los puntos indicados? solución x 2  2x  8 a) f x  , x0  2 x2 Evitable x 1 b) g x   , x0  1 x 1 No evitable  1 c) h  t   t s en   , t0  0 t  No evitableCalculators
  22. 22. ContinuidadProblema 15 Demostrar que la ecuación sen  x   e x tiene inifinitas soluciones.Solución sen  x   ex  f  x   sen  x   e x  0.Por el Teorema de valor medio, una función continua tomacualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que lafunción f cambia de signo infinitas veces.  Nótese que 0  ex  1 para x  0, y que sen   n    1 , n  . n 2  Por tanto f  x   0 para x   n si n is un número impar negativo 2 y f  x   0 para x   n si n es un número par negativo. 2   Por tanto en cada intervalo de la forma   2n ,   2n  1   , n  and n  0, 2 2 hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones. Calculators

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