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Problemas resueltos sobre
 límites y continuidad de
         funciones
Repaso de Problemas típicos
           x  3x  2
                    2                                       x3  x2  x  1
 1    lim                                        2   lim
                                                     x  x 3  3 x 2  5 x  2
      x 2   x 2
 3    lim x  1  x  1 2           2            4   lim x 2  x  1  x 2  x  1
      x                                            x 


                              2x                                       s en  3 x 
 5    lim                                               6       lim
      x 0
               2x  x  1  x  3 x  1
                        2            2                          x 0       6x

                                                                   
                                                            s en x 2
 7          sen  sen  x                      8   lim
                                                     x 0   x s en  x 
     lim
     x 0               x
                            x  2sen  x                                               t g x 
 9    lim                                                         10            lim e
      x 0
              x  2sen  x   1  sen  x   x  1
                2                            2                                    
                                                                                x 
                                                                                  2




Calculators
Repaso de Problemas
11    ¿Dónde es y  t g  x  continua?

                                      1 
12   ¿Dónde es continua f    sen  2
                                         1
                                              ?
                                           
                                                             x2  x
13    ¿Qué ha de valer f  0  para que la función f  x          , x  0,
                                                              x 1
      sea continua en x  0?

14   Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funciones
     en los puntos indicados:
                   x 2  2x  8                            x 1
     a)    f x               , x0  2, b)   g x          , x0  1
                       x2                                 x 1
                            1
     c)   h  t   t s en   , t0  0
                           t 
15   Demostrar que la ecuación sen  x   ex tiene  solutiones.

Calculators
Métodos para el cálculo de Límites
1     Casos de indenterminación:
                              0 
                          00 , , ,   ,0, 0 ,1.
                              0 
2     Aritmética del   :
      a            
         0,                  ,    númber o negativ o   .
            número positivo
      Si la función, de la que se está calculando el límite, está
3
      definida por una expresión algebraica que toma un valor finito
      en el punto límite, ese valor es el límite buscado.

      Si la función, de la que se está calculando el límite, no se
4
      puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una
      indeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma
      que se pueda calcular el límite.


Calculators
Simplificaciones y Métodos
1    Factorizar ó simplificar:             a  b  a  b  a2  b2.
     Eliminar factores comunes en functiones racionales:
2
            x 2  1  x  1  x  1
                                      x  1  2.
                                               x 1
                                                    
             x 1         x 1
3    Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la
     expresión conjugada:


       x 1    x 2 
                            x 1  x 2             x 1      x 2   
                                      x 1            x 2

                      
                         x  1   x  2                  3
                                                                              0
                                                                              x 
                          x 1  x 2                  x 1      x 2

                                  s en  x 
4    Usar el hecho:      lim                    1.
                           x 0       x


Calculators
Continuidad de Funciones
      Si las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresiones
1
      elementales de polinomios, funciones racionales,
      trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se
      calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable
      independiente.
      Si la función f es continua en el punto x = a entonces:
2
                               lim f  x   f  a .           Se utiliza para
                               x a                             demostrar que
                                                                una ecuación
      Ejemplos de funciones no continuas en x = 0:              tiene solución.
3                        1                 1            x
                f  x   , g  x   s en   ,h  x     .
                         x                 x            x

4      Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas
      Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c
      entre a y b tal que f(c) = 0.

Calculators
Límites: factorizar y simplificar:
                    x 2  3x  2
Problema 1     lim
               x 2     x 2

                       x 2  3 x  2  x  1 x  2
Solución   Re-escribir                                x  1.
                           x 2            x 2
                          x 2  3x  2
           Por tanto lim                lim  x  1  1.
                     x 2     x 2       x 2




Calculators
Límites elementales
Problema 2
                     x3  x2  x  1
               lim 3
               x  x  3 x 2  5 x  2


Solución                         1        1     1
                                1            3
            x3  x2  x  1      x        x 2 x  1.
                                                 x 
                                                       
           x3  3x 2  5x  2 1 3       5     2
                                               3
                                            2
                                 x        x    x
      Lo haremos más directo: sin más que considerar los términos
      de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los
      coeficientes principales.

                      x3  x2  x  1   1
Problema 2      lim 3                   1
                x  x  3 x  5 x  2
                            2
                                        1

Calculators
Límites: expresión conjugada
Problema 3             lim x 2  1  x 2  1
                       x 


Solución      Re-escribimos


  x 1 x
   2              2
                      1 
                                 x2  1  x2  1               x2  1  x2  1  
                                                      x2  1  x2  1


                                
              2                        2


 
       x 1 
       2
                         x 1
                          2

                                           
                                             x   2
                                                         
                                                       1  x2  1           2
        x2  1  x2  1                       x2  1  x2  1            x2  1  x2  1

                                                                          2
  Por tanto lim x  1  x  1  lim
                              2                   2
                                                                                        0.
                  x                                      x 
                                                                    x 1 x 1
                                                                     2         2




Calculators
Límites
Problema 4             lim x 2  x  1  x 2  x  1
                       x 


Solución             Re-escribimos

  x2  x  1  x2  x  1 

                     x  x 1 x  x 1
                       2             2
                                                   x2  x  1  x2  x  1
                                                    x2  x  1  x2  x  1

     
       x   2
                        
                 x  1  x2  x  1               2x  2
           x2  x  1  x2  x  1         x2  x  1  x2  x  1
                                                               Ahora nos
                      2x                 2                     quedamos con los
                               
                                x 
                                          1                  términos de mayor
                     x2  x2             2
                                                               grado en x.


Calculators
Límites
                                                    2x
Problema 5              lim
                        x 0
                               2x 2  x  1  x 2  3 x  1
Solución           Re-escribimos
                                   2x
                                                                
                   2x  x  1  x  3 x  1
                         2                      2


                                       2x          2x 2  x  1  x 2  3 x  1  
                      2x 2  x  1  x 2  3 x  1                                           
                                                                     2x 2  x  1  x 2  3 x  1


    
      2x                              2 x  2 x  x  1  x  3 x  1
                   2x 2  x  1  x 2  3 x  1                             2              2




        2x  x  1   x  3 x  1                x  4x
                               2                            2                     2
                   2                        2

                                                       Menor grado en x.
   2  2x  x  1  x  3 x  1
           2                       2
                                        2  1  1
                                                 1  x 0
                         x4                                            4

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Límites
                           s en  3 x 
Problema 6          lim
                    x 0       6x
                                                 sen  
Solución        Usamos que lim                               1.
                                           0      
                    sen  3 x         1 sen  3 x 
Re-escribimos                        
                           6x          2   3x

               sen  3 x                                             sen  3 x     1
Como lim                       1 se concluye que lim
                                 ,                                                   .
        x 0      3x                                           x 0      6x          2




 Calculators
Límites
                          sen  sen  x  
Problema 7         lim
                   x 0            x



Solución      Re-escribimos:

           sen  sen  x             sen  sen  x   sen  x 
                                                                     1 
                  x                       sen  x            x       x 0


                          s en  
           como lim                       1. En lo anterior, se aplicó
                    0       
           primero al sustituir   s en  x  .
                                 s en  s en  x  
           Por tanto lim                                1.
                          x 0         s en  x 


Calculators
Límites
                               
                        s en x 2
Problema 8       lim
                 x 0   x s en  x 



Solución        Re-escribimos:


                    
              sen x 2          sen x 2        x
                                                         1 
              x sen  x               x2     sen  x   x 0




Calculators
Límites
     Problema 9                                        x  2sen  x 
                              lim
                               x 2  2sen  x   1  sen2  x   x  1
                              x 0


     Solución        Re-escribimos
                x  2s en  x 
                                                          
    x  2s en  x   1  s en  x   x  1
     2                                   2



                 x  2s en  x             x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  
   x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1               x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1   
                
                     x  2s en  x            x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1   
                               x    2
                                                                
                                          2s en  x   1  s en2  x   x  1     
                
                     x  2s en  x            x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1   
                                             x 2  s en2  x   2s en  x   x

      Calculators
Límites
                                                                     x  2sen  x 
                               Problema 9         lim
Solución                                          x 0
                                                         x 2  2sen  x   1  sen2  x   x  1
(cont.)              Re-escribimos
                x  2s en  x 
 x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1


   
        x  2s en  x      x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1    Dividimos por x.
                        x 2  s en2  x   2s en  x   x
           s en  x  
    
     1 2
              x
                          
                       x  2s en  x   1  s en  x   x  1
                          2                             2
                                                                           
                                                                         32
                                                                        2.
                               s en  x     s en  x            x 0
                                                                         2 1
                x  s en  x             2            1
                                  x             x

   Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x  0.

Calculators
Límites Laterales
                                   t g x 
Problema 10              lim e
                           
                        x 
                          2



Solución

                  
           Para        x   , t g  x   0 and lim t g  x   .
                  2                                  
                                                   x 
                                                     2
                               t g x 
           Por tanto lim e                 0.
                          
                        x 
                          2




Calculators
Continuidad
Problema 11            ¿Dónde es continua la función y  t g  x  ?


Solución

                       s en  x 
      y  t g x                  es continua siempre que cos  x   0.
                       cos  x 
                                                        
      Por tanto y  t g  x  es continua para x            n , n  .
                                                        2




Calculators
Continuidad
                                                                1 
Problema 12         ¿Dónde es continua la función f    sen  2     ?
                                                                  1

                                         1 
Solución       La función f    s en  2     es continua en todos los puntos
                                           1
               donde toma valores finitos.

                 1                        1 
  Si   1,        no es finito, y sen  2      no está definido.
               1
                2
                                            1
                  1                    1 
   Si   1 2
            ,        es finito, y sen  2      está definido y es finito.
                1                      1
                  1 
   Por tanto sen  2     es continua para   1.
                    1



Calculators
Continuidad
Problema 13                  Determinar f  0  para que la función
                                     x2  x
                             f x         , x  0, sea continua en x  0.
                                      x 1


Solución

 La condición de continuidad de una función f en un punto x0 es:
  lim f  x   f  x0  . Por tanto f  0  debe cumplir f  0   lim f  x  .
 x  x0                                                               x 0

                        x2  x        x  x  1
 Es decir f  0   lim         lim              lim x  0.
                    x 0 x  1   x 0   x 1       x 0




Calculators
Continuidad
    Un número x0 en el que una función f  x  está indefinida or
    es infinito se llama una singularidad de la función f . La singularidad es
    evitable, si f  x0  se puede definir de tal manera que
    la función f se convierte en continua en x  x0 .

Problema 14      ¿Qué funciones de las siguientes tienen
                 singularidades evitables en los puntos indicados?
                                                             solución
                               x 2  2x  8
                 a)   f x                , x0  2
                                   x2                  Evitable
                               x 1
                 b)   g x         , x0  1
                               x 1                     No evitable
                                        1
                 c)   h  t   t s en   , t0  0
                                       t              No evitable


Calculators
Continuidad
Problema 15                  Demostrar que la ecuación sen  x   e x tiene
                             inifinitas soluciones.

Solución             sen  x   ex  f  x   sen  x   e x  0.
Por el Teorema de valor medio, una función continua toma
cualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la
función f cambia de signo infinitas veces.
                                                 
Nótese que 0  ex  1 para x  0, y que sen   n    1 , n  .
                                                            n

                                            2     
                                    
Por tanto f  x   0 para x            n si n is un número impar negativo
                                    2
                         
y f  x   0 para x         n si n es un número par negativo.
                         2
                                                             
Por tanto en cada intervalo de la forma   2n ,   2n  1   , n  and n  0,
                                         2      2              
hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones.

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  • 2. Repaso de Problemas típicos x  3x  2 2 x3  x2  x  1 1 lim 2 lim x  x 3  3 x 2  5 x  2 x 2 x 2 3 lim x  1  x  1 2 2 4 lim x 2  x  1  x 2  x  1 x  x  2x s en  3 x  5 lim 6 lim x 0 2x  x  1  x  3 x  1 2 2 x 0 6x   s en x 2 7 sen  sen  x   8 lim x 0 x s en  x  lim x 0 x x  2sen  x  t g x  9 lim 10 lim e x 0 x  2sen  x   1  sen  x   x  1 2 2  x  2 Calculators
  • 3. Repaso de Problemas 11 ¿Dónde es y  t g  x  continua?  1  12 ¿Dónde es continua f    sen  2   1 ?   x2  x 13 ¿Qué ha de valer f  0  para que la función f  x   , x  0, x 1 sea continua en x  0? 14 Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funciones en los puntos indicados: x 2  2x  8 x 1 a) f x  , x0  2, b) g x   , x0  1 x2 x 1  1 c) h  t   t s en   , t0  0 t  15 Demostrar que la ecuación sen  x   ex tiene  solutiones. Calculators
  • 4. Métodos para el cálculo de Límites 1 Casos de indenterminación: 0  00 , , ,   ,0, 0 ,1. 0  2 Aritmética del  : a   0,  ,    númber o negativ o   .  número positivo Si la función, de la que se está calculando el límite, está 3 definida por una expresión algebraica que toma un valor finito en el punto límite, ese valor es el límite buscado. Si la función, de la que se está calculando el límite, no se 4 puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una indeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma que se pueda calcular el límite. Calculators
  • 5. Simplificaciones y Métodos 1 Factorizar ó simplificar:  a  b  a  b  a2  b2. Eliminar factores comunes en functiones racionales: 2 x 2  1  x  1  x  1   x  1  2. x 1  x 1 x 1 3 Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la expresión conjugada: x 1  x 2   x 1  x 2  x 1  x 2  x 1  x 2   x  1   x  2  3  0 x  x 1  x 2 x 1  x 2 s en  x  4 Usar el hecho: lim  1. x 0 x Calculators
  • 6. Continuidad de Funciones Si las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresiones 1 elementales de polinomios, funciones racionales, trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable independiente. Si la función f es continua en el punto x = a entonces: 2 lim f  x   f  a . Se utiliza para x a demostrar que una ecuación Ejemplos de funciones no continuas en x = 0: tiene solución. 3 1 1 x f  x   , g  x   s en   ,h  x   . x x x 4 Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c entre a y b tal que f(c) = 0. Calculators
  • 7. Límites: factorizar y simplificar: x 2  3x  2 Problema 1 lim x 2 x 2 x 2  3 x  2  x  1 x  2 Solución Re-escribir   x  1. x 2 x 2 x 2  3x  2 Por tanto lim  lim  x  1  1. x 2 x 2 x 2 Calculators
  • 8. Límites elementales Problema 2 x3  x2  x  1 lim 3 x  x  3 x 2  5 x  2 Solución 1 1 1 1   3 x3  x2  x  1 x x 2 x  1.  x   x3  3x 2  5x  2 1 3  5 2  3 2 x x x Lo haremos más directo: sin más que considerar los términos de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los coeficientes principales. x3  x2  x  1 1 Problema 2 lim 3  1 x  x  3 x  5 x  2 2 1 Calculators
  • 9. Límites: expresión conjugada Problema 3 lim x 2  1  x 2  1 x  Solución Re-escribimos x 1 x 2 2 1   x2  1  x2  1  x2  1  x2  1  x2  1  x2  1     2 2  x 1  2 x 1 2  x 2    1  x2  1  2 x2  1  x2  1 x2  1  x2  1 x2  1  x2  1 2 Por tanto lim x  1  x  1  lim 2 2  0. x  x  x 1 x 1 2 2 Calculators
  • 10. Límites Problema 4 lim x 2  x  1  x 2  x  1 x  Solución Re-escribimos x2  x  1  x2  x  1   x  x 1 x  x 1 2 2  x2  x  1  x2  x  1 x2  x  1  x2  x  1  x 2    x  1  x2  x  1  2x  2 x2  x  1  x2  x  1 x2  x  1  x2  x  1 Ahora nos 2x 2 quedamos con los  x   1 términos de mayor x2  x2 2 grado en x. Calculators
  • 11. Límites 2x Problema 5 lim x 0 2x 2  x  1  x 2  3 x  1 Solución Re-escribimos 2x  2x  x  1  x  3 x  1 2 2 2x  2x 2  x  1  x 2  3 x  1   2x 2  x  1  x 2  3 x  1   2x 2  x  1  x 2  3 x  1  2x    2 x  2 x  x  1  x  3 x  1 2x 2  x  1  x 2  3 x  1 2 2  2x  x  1   x  3 x  1 x  4x 2 2 2 2 2 Menor grado en x. 2  2x  x  1  x  3 x  1 2 2 2  1  1   1 x 0 x4 4 Calculators
  • 12. Límites s en  3 x  Problema 6 lim x 0 6x sen   Solución Usamos que lim  1.  0  sen  3 x  1 sen  3 x  Re-escribimos  6x 2 3x sen  3 x  sen  3 x  1 Como lim  1 se concluye que lim ,  . x 0 3x x 0 6x 2 Calculators
  • 13. Límites sen  sen  x   Problema 7 lim x 0 x Solución Re-escribimos: sen  sen  x   sen  sen  x   sen  x    1  x sen  x  x x 0 s en   como lim  1. En lo anterior, se aplicó  0  primero al sustituir   s en  x  . s en  s en  x   Por tanto lim  1. x 0 s en  x  Calculators
  • 14. Límites   s en x 2 Problema 8 lim x 0 x s en  x  Solución Re-escribimos:   sen x 2 sen x 2   x  1  x sen  x  x2 sen  x  x 0 Calculators
  • 15. Límites Problema 9 x  2sen  x  lim x 2  2sen  x   1  sen2  x   x  1 x 0 Solución Re-escribimos x  2s en  x   x  2s en  x   1  s en  x   x  1 2 2  x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1   x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1    x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  x 2    2s en  x   1  s en2  x   x  1    x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  x 2  s en2  x   2s en  x   x Calculators
  • 16. Límites x  2sen  x  Problema 9 lim Solución x 0 x 2  2sen  x   1  sen2  x   x  1 (cont.) Re-escribimos x  2s en  x  x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1   x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  Dividimos por x. x 2  s en2  x   2s en  x   x s en  x     1 2 x   x  2s en  x   1  s en  x   x  1 2 2  32      2. s en  x  s en  x  x 0 2 1 x  s en  x  2 1 x x Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x  0. Calculators
  • 17. Límites Laterales t g x  Problema 10 lim e  x  2 Solución  Para  x   , t g  x   0 and lim t g  x   . 2  x  2 t g x  Por tanto lim e  0.  x  2 Calculators
  • 18. Continuidad Problema 11 ¿Dónde es continua la función y  t g  x  ? Solución s en  x  y  t g x   es continua siempre que cos  x   0. cos  x   Por tanto y  t g  x  es continua para x   n , n  . 2 Calculators
  • 19. Continuidad  1  Problema 12 ¿Dónde es continua la función f    sen  2  ?    1  1  Solución La función f    s en  2  es continua en todos los puntos    1 donde toma valores finitos. 1  1  Si   1, no es finito, y sen  2  no está definido.  1 2    1 1  1  Si   1 2 , es finito, y sen  2  está definido y es finito.  1    1  1  Por tanto sen  2  es continua para   1.    1 Calculators
  • 20. Continuidad Problema 13 Determinar f  0  para que la función x2  x f x  , x  0, sea continua en x  0. x 1 Solución La condición de continuidad de una función f en un punto x0 es: lim f  x   f  x0  . Por tanto f  0  debe cumplir f  0   lim f  x  . x  x0 x 0 x2  x x  x  1 Es decir f  0   lim  lim  lim x  0. x 0 x  1 x 0 x 1 x 0 Calculators
  • 21. Continuidad Un número x0 en el que una función f  x  está indefinida or es infinito se llama una singularidad de la función f . La singularidad es evitable, si f  x0  se puede definir de tal manera que la función f se convierte en continua en x  x0 . Problema 14 ¿Qué funciones de las siguientes tienen singularidades evitables en los puntos indicados? solución x 2  2x  8 a) f x  , x0  2 x2 Evitable x 1 b) g x   , x0  1 x 1 No evitable  1 c) h  t   t s en   , t0  0 t  No evitable Calculators
  • 22. Continuidad Problema 15 Demostrar que la ecuación sen  x   e x tiene inifinitas soluciones. Solución sen  x   ex  f  x   sen  x   e x  0. Por el Teorema de valor medio, una función continua toma cualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la función f cambia de signo infinitas veces.   Nótese que 0  ex  1 para x  0, y que sen   n    1 , n  . n 2   Por tanto f  x   0 para x   n si n is un número impar negativo 2  y f  x   0 para x   n si n es un número par negativo. 2    Por tanto en cada intervalo de la forma   2n ,   2n  1   , n  and n  0, 2 2  hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones. Calculators