1. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
TRIANGULACIÓN
TOPOGRÁFICA

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1.09. TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA
GENERALIDADES.
Para efectuar el levantamiento de grandes extensiones de terreno, la técnica que por su propia naturaleza
ofrece las mejores ventajas, es la técnica de la TRIANGULACION, método mediante el cual es posible llevar el
control y apoyo de todo el levantamiento planimétrico, no solamente de grandes extensiones, sino también de
los terrenos de mediana extensión y en donde la poligonación resultaría antieconómica ya sea por lo
accidentado del terreno como por la existencia de obstáculos que dificultarían la medición de los lados de la red
u otro factor que haría casi impracticable las poligonaciones.
Para formar una poligonación es necesario unir
convenientemente dos o más triángulos y en la que uno o
más lados son lados comunes de los triángulos adyacentes,
lográndose figuras que no necesariamente han de ser
triángulos, sino también: cuadriláteros, polígonos con puntos
centrales o redes conformadas por tales figuras, (Fig. Nº 34,
35).
En toda triangulación basta con medir uno de los lados
de la figura (base de la triangulación), calculándose el resto
de ellos, por relación trigonométrica siempre y cuando se
conozcan los ángulos que forman cada triángulo. Cuando la
precisión por alcanzar debe ser considerable se tomará una
base de comprobación con el de determinar la bondad de la
red.
Los conceptos que seguidamente se presentan, se refieren principalmente a las triangulaciones del tipo
topográfico aun cuando existen conceptos muy comunes con las triangulaciones del tipo geodésico.
DEFINICION.
Toda triangulación, es la red de apoyo de levantamiento planimetrito que se encuentra formada por una
serie de triángulos en los cuales uno o más lados de cada triángulo, lo son también de triángulos adyacentes,
(Fig N° 34, 35).
TRIANGULACION TOPOGRAFICA.
Es toda triangulación en la que no se tiene en cuenta el efecto de la curvatura terrestre, tanto en la
medición de lados como en la medición de los ángulos.
De modo general el alcance de los levantamientos por medio de las triangulaciones topográficas, puede
llegar a unos 400 o más kilómetros cuadrados de extensión; siempre y cuando se lleve un adecuado control de
la precisión requerida.
PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION TOPOGRAFICA.
La conveniencia de una triangulación como red de apoyo de levantamiento debe estimarse teniendo en
consideración los siguientes aspectos:
- La triangulación es conveniente en terrenos de gran extensión.
- La triangulación resulta ventajosa ante la poligonación, principalmente en regiones accidentadas y
montañosas, ya que de otro lado, la medición directa de lados sería lenta, con serias dificultades y
antieconómica.
- La triangulación en toda extensión de terreno en donde la naturaleza de su topografía o la existencia
de factores diversos hagan imposible o dificulten la técnica de la poligonación; tal como es el tráfico de
vehículos en las ciudades o en terrenos tales como: cauces de ríos, lagunas, orillas de los mares en
donde su propia naturaleza dificulta tremendamente la medición de los lados.

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ELEMENTOS DE UNA RED DE TRIANGULACION
FIG Nº 34
Sea la Fig. Nº 34, entonces:
ESTACIONES
Es todo vértice de las figuras que forman la triangulación, ejemplo: estaciones: A, B, E, etc.
LADOS
Son las líneas que ligan o unen dos vértices de la triangulación, ejemplo: lados; AB, BC, AD, etc.
ANGULOS
Es la figura formada por dos lados de una triangulación y que se intersectan en un vértice de la misma,
(1), (2), (41), etc.
BASE DE LA TRIANGULACION
Es el lado de la triangulación cuya medición de su longitud ha sido obtenida directamente en el campo,
ejemplo Base AB.
Existen dos tipos de bases: la de inicio de la triangulación (base de la triangulación) y la base de
comprobación (base de cierre).
FIGURAS:
Cada una de las figuras geométricas que forman los triángulos llegando a formar la triangulación total,
ejemplo. Triángulo FGH, cuadrilátero ABCD, polígono con punto central CDFG (E).
En base al triángulo, las triangulaciones pueden estar conformadas de las siguientes cadenas de figuras:
44
1
3
H
2
4 5 6 7
43
42
41
EF
3 8
2 1
4
5 6
7
3
2 1
8
DC
A B

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CADENA DE TRIANGULOS CON BASE DE CIERRE CADENA DE CUADRILATEROS
CADENA DE POLIGONOS CON PUNTO CENTRAL MARAÑA DE TRIANGULOS
MARAÑA DE CUADRILATEROS CADENA DE DIVERSAS FIGURAS
Fig. Nº 35

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ELECCION DE LA CADENA PARA UNA TRIANGULACION
Si bien en la práctica no es posible seguir o mantener una cadena de un solo tipo de figura, para la
elección de la cadena que mejor conviene tomar, se tendrá en cuenta los siguientes aspectos:
- La triangulación formada por una cadena de triángulos es de las más sencillas por cuanto que no
requiere de una medida de un elevado número de ángulos pero en cambio requiere de la medida de
bases de comprobación muchas veces muy cercanas unas de otras, si es que se quiere lograr una
buena precisión.
- La triangulación formada por una cadena de cuadriláteros requiere de un mayor número de visuales
pero brinda un mejor control del levantamiento, principalmente en lo que a precisión se refiere. Este
tipo de cadenas es muy adecuado para zonas largas y relativamente.
- La triangulación formada por una cadena de polígonos con punto central, requiere de un gran número
de visuales y con las cadenas de cuadriláteros, son las adecuadas para levantamientos de gran
precisión.
Este tipo de cadenas es adecuado para levantamientos de zonas en que su anchura es considerable.
LABORES QUE IMPLICA UNA TRIANGULACION
Las labores que son necesarias realizar para ejecutar una red de apoyo de levantamiento formada por
una triangulación, en cuanto únicamente al control planimetrito se refiere, son:
TRABAJO DE CAMPO
Comprende:
- Reconocimiento del terreno.
- Ubicación del vértice y selección de la ubicación para la base(s).
- Medición de la base(s) de la triangulación.
- Medición de los ángulos de la triangulación.
- Medición del azimut de uno de los lados de la red.
TRABAJO DE GABINETE
Comprende:
- Cálculo de la longitud y precisión de la(s) base(s) de la triangulación.
- Compensación de figuras.
- Cálculo de la resistencia de figura y selección del mejor camino de cálculo.
- Cálculo de azimut y rumbos del mejor camino de cálculo.
- Cálculo de lados de la triangulación.
- Cálculo de las proyecciones de los lados.
- Cálculo de coordenadas.
- Clasificación general de la triangulación ejecutada.
- Dibujo de la triangulación.
El fin general de una red de triangulación, no es exclusivamente contar con la red planimétrica, sino que
en base a ella se ejecuta el levantamiento de los detalles de toda la extensión que abarca la red. El
levantamiento de detalles implica realizar la radiación desde todas las estaciones principales (vértices de la
triangulación) así como de estaciones auxiliares de levantamiento. Implica así mismo llevar el control de una
red de apoyo de levantamiento altimétrico (red o redes de circuitos de nivelación).
RECONOCIMIENTO DEL TERRENO
Consiste en la inspección ocular del terreno a levantarse y tiene como objetivos: planteamiento general de
la triangulación estudiándose las mejores posibles ubicaciones de los vértices de la red, elección de las figuras
a formar, posibles ubicaciones de las base(s). Asimismo, deberá determinarse el personal y equipo necesario
como el posible costo del levantamiento. Esta etapa debe ser realizada indispensablemente por el ingeniero o
tipógrafo a cargo del levantamiento, ya que la precisión, costo económico y el buen éxito del trabajo depende
en gran parte de las conclusiones a las que pudiera llegarse luego de un buen reconocimiento.
Toda triangulación requiere de muchas visuales, por lo que se seleccionarán los lugres elevados para
ubicación de estaciones, así mismo las zonas descubiertas y que no impidan la visibilidad.

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En extensiones limitadas y para redes de baja precisión, según la experiencia del encargado del
levantamiento, la etapa de reconocimiento puede ejecutarse simultáneamente con la etapa de ubicación
definitiva de las estaciones.
El equipo de ayuda para el reconocimiento comprenderá: podómetro, brújula, eclímetro (Nivel de Abney),
jalones, wincha, binoculares y otros a fin de estimar en una primera aproximación, tanto distancias como
ángulo. De ser posible, resulta muy ventajoso contar con un mapa general de todos los accidentes físicos más
notables.
UBICACION DE VERTICES
Toda estación o vértice de triangulación debe ubicarse en sitios difíciles de remover y que no se presten a
confusiones. Para la selección de un sitio como vértice de triangulación, deberá tenerse en cuenta
principalmente que la precisión de ángulo depende principalmente de la exactitud de la medición de la base así
como de la precisión en la medición de los ángulos. Los lados de una triangulación por ser calculados por la
formula:
BSen
ASen
ba  (1)
determina ciertas condiciones para lograr una precisión adecuada. Así, el error que se cometerá en el calculo
de dicho lado, será:
bASenBCotgBCo
dB
da
)(sec (2)
Ósea que es directamente proporcional a la función Cosec B Cota B, función que tiene variación muy
acentuada para ángulos próximos a 0° y 180°¸; por lo que es recomendable que las estaciones se encuentren
ubicadas de tal manera que en lo posible no formen ángulos ni muy agudos ni muy llanos. Demodé general es
adecuado tener ángulos no menores de 30° ni mayores de 120°. La Fig N° 36 aclara gráficamente el concepto
expuesto líneas arriba.
C : Posición real del punto.
C´ : Posición errónea del punto, por un error determinado en la medición del ángulo B.
FIG N° 36
A B
C
C1
error
C1
C
BA
error

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Para marcar una estación o vértice puede emplearse simples estacas de madera o dado de concreto,
usándolos según la importancia y jerarquía de la red. La Fig N° 37, presenta algunos modelos.
FIG Nº 37
Las señales que se toman para visualizar las direcciones angulares, deberán ser inconfundibles,
perfectamente verticales en su posición durante la operación de medida de ángulo. Según la distancia a la que
se encuentren unas de otras, se utilizaran: jalones y balizas con o sin bandera, postes o las denominadas
torres de observación. El pintado que se empleen para identificar las señales puede ser por medio de franjas
alternadas de color rojo y blanco u otro alguno que resalte sobre el cielo o fundo que se ve la señal.
Algunos modelos de señales se presentan el la Fig N° 38, siendo el ancho mínimo de las señales el dado
por la formula práctica:
I
L
a 0004.0 (3)
a: ancho de la señal.
L: distancia entre estaciones.
I : aumento del anteojo del instrumento.
FIG N° 38
40cm
60cm
10cm
30cm
20cm
40cm

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UBICACIÓN DE LA BASE DE TRIANGULACION.
Toda base de triangulación se ubicara en terreno llano, abierto y con buena visibilidad, debiendo facilitar
en todo momento la medición de la misma.
Los terrenos dependiente menor al 10%, son mas adecuados pudiendo tomarse y cuando el caso lo
requiere, terreno mas ligeramente mas accidentados. La longitud que debe tener una base, por razones de
economía y de su misma ubicación, pueden ser hasta del 20 al 30% la longitud promedio de los lados de la red.
Para bases relativamente cortas y si el terreno lo permite es preferible tener bases cuta longitud sea
aproximadamente igual al promedio de los lados.
L a Fig que se haya de formar para la salida de la base y ampliación de la red, preferentemente debe ser
un cuadrilátero o un polígono y de lados relativamente equilibrados o aproximadamente iguales.
MEDICION DE LA BASE DE TRIANGULACION
La ubicación de una base depende fundamentalmente del equipo con que se cuente, así puede ser
ejecutada mediante wincha de acero, barra invar. o electrónicamente. La medición a wincha no requiere de
equipo muy costoso, el segundo método es de costo mediano y el tercero requiere de equipo cuyo costo es
elevado empleándoselo mas bien en triangulaciones geodésicas.
En toda medición de bases deberá tomarse todas las precauciones para garantizar que las medidas no
adolecen de errores groseros o equivocaciones personales.
MEDICION CON WINCHA DE ACERO
La medición de un base por medio de una wincha de acero, consiste en:
- Colocar estacas perfectamente alineadas a espacios de unos 12.5 a 15 m. e intermedias entre las
estaciones extremas. Las estacas pueden ser de madera de unos 5 a 10 cm. de sección recta y unos
60 cm de longitud, debiendo clavárselas hasta lograr una posición fija.
- Sobre la cabeza de las estacas se colocara placas de latón o zinc, a fin de que sobre ellas se ejecuten
las marcas referenciales de las mediciones. Tales marcas se aran con un punzón de metal.
- Ejecutar convenientemente la medición de todos y cada uno de los tramos de la base, registrándose su
longitud, temperatura del ambiente y la atención que se tuviera en el instante de la medición.
- Llevar acabo la nivelación las cabezas de las estacas.
El personal necesario para la medición puede ser:
- Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones de medición.
- Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara las marcas en las latas de zinc o latón.
- Un registrador de las temperaturas de medición.
- Un libretista.
El equipo necesario es:
- Teodolito con su respectivo trípode.
- Wincha de acero.
- Termómetro.
- Tensiometro.
- Jalones, estacas, comba, placas de latón, punzón, clavos, tiradores, martillo, etc.
- Nivel de ingeniero, con su respectivo trípode y mira.
Un modelo para llevar el registro de la medición propiamente dicha, es:
DESCRIPCION PRIMERA MEDICION
Tramo Apoyos Desnivel Longitud m. T °C P Kg
……………. …………. ……………. ……………… ………. ………….
……………. …………. ……………. ……………… ………… ……………
El numero de mínimo de mediciones debe ser de cuatro (4), dos de ida y dos de regreso; llegando hasta
16 en las triangulaciones de alta preedición.

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La precisión de medida de una base, deberá ser la adecuada para la triangulación que se trata de
plantear. Como referencia debe tomarse los valores:
CLASE DE ERROR
ORDEN DE LA TRIANGULACION A PLATENAR
1° 2° 3° 4°
Error probable, inferior a:
Error real, inferior a:
Cierre de la base, después del ajuste
angular
1/1000000
1/300000
1/25000
1/500000
1/150000
1/10000
1/200000
1/25000
1/5000
1/20000
1/6000
1/3000
MEDICION DE LOS ANGULOS DE LA TRIANGULACION
Las visuales que se dirijan para la medida de los ángulos deberán ser a señales perfectamente visibles,
verticales e inconfundibles.
Entre los métodos mas comunes puede optarse por el método de repetición o el método de reiteración u
otro alguno y de precisión con que este mas acostumbrado el operador.
Los ángulos a medirse no solamente ha de ser los ángulos interior de las figuras, sino también los
ángulos interiores de las figuras, sino también los ángulos exteriores en cada vértice, para que posteriormente
pueda ejecutarse la compensación por ecuación de vértice o cierre del horizonte.
La precisión a alcanzar, según las exigencias del levantamiento estará en concordancia con la tabla:
CLASE DE ERROR
ORDEN DE LA TRIANGULACION
1° 2° 3° 4°
Cierre promedio en ángulo:
Máximo error angular en cada triángulo:
1”
3”
3”
5”
6”
10”
15”
30”
El número de repeticiones en la medida de ángulos, será de cuatro para las triangulaciones de menor
jerarquía, llegando hasta 16 en las de primer orden. Si la medición es por series se tomaran los mismos
valores.
MEDICIÓN DE UNO DE LOS AZIMUT DE LOS LADOS
La medición del azimut de un lado de triangulación puede ser ejecutada con brújula de teodolito para las
de 3° y 4° orden, para los de 1° y 2° orden debe ser por medio del azimut verdadero o geográfico.
De ser posible se medirá el azimut de la base de la triangulación.
CALCULO DE LA LONGITUD Y PRECISION DE UNA BASE DE TRIANGULACION.
Los datos de medición deberán estar exentos de toda posibilidad de errores groseros o equivocaciones
vulgares.
Los errores sistemáticos en una medición con wincha de acero son: error por dilatación de la wincha error
por catenaria, error por falta de horizontalidad, error por deformaciones por tención y error por calibramiento de
la wincha y que compara con un patrón que generalmente es una wincha de hilo invar.. A cada uno de estos
tipos de error sistemáticos, corresponde su corrección, siendo:
Corrección por temperatura:
)( 0TTKLCt  ( 4 )
Ct: corrección por temperatura.
K: coeficiente de dilatación de la wincha.
L: longitud del tramo medido.
T: temperatura del ambiente en el instante de la medición.
To: temperatura de calibramiento.

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Corrección por catenaria:
2
)(
24 P
lwL
Cc

 ( 5 )
Cc: corrección por catenaria.
L: longitud del tramo medido.
W: peso lineal de la wincha.
l : longitud entre apoyos.
P: tensión de medición.
FIG Nº 39
Corrección por horizontalidad.
3
42
82 l
h
l
h
Ch  ( 6 )
Ch: corrección por horizontalidad.
H: desnivel entre estacas de apoyo.
L: longitud entre apoyos.
Generalmente se toma el primer termino de la formula anteriormente escrita, ya que para desniveles
pequeños, a partir del segundo término, las serie va tomando valores más pequeños.
El signo de la corrección por falta de horizontalidad a aplicarse a toda medición, siempre es negativo, sea
el desnivel positivo o no.
Corrección por tensión.
ES
PPL
Cp
)( 
 ( 7 )
Cp: corrección por tención.
L: longitud del tramo medido.
P: tención de medición.
Po: tención de calibramiento.
S: sección recta de la wincha.
E: modulo de elasticidad del acero.
Corrección por calibramiento:
Este tipo de corrección se lleva acabo luego de haber efectuado las correcciones anteriores y consiste
básicamente en una regla de tres simple entre las mediciones ejecutadas, la medida de la wincha patrón y la
medida de la wincha utilizada en la medición en campo.
L
l
PP

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Ejemplo:
Se ha realizado la medición de una base de triangulación AB. Si las características de la wincha usada
son K = 0.000012/°C, To = 20ºC, W = 15.6 gr/m, Po = 5kg, S = 0.02 cm2
, E = 2.1 x 106
kg/cm2
, y si al ser
contrastada con una wincha patrón invar. Se observa que 49.998m de la wincha corresponden a 50 m de la
wincha patrón invar.; calcular la longitud medida, corregida y calibrada para los valores de la siguiente libreta:
Los valores de los desniveles y las longitudes se encuentran en metros. Aplicando las formulas anteriores
es posible calcular el siguiente cuadro:
Cuadro de correcciones sistemáticas:
TRAMO APOYOS
PRIMERA MEDICION
Longitud m. Ct mm Cc mm Ch mm Cp mm
A - 2
A – 1
1 – 2
49.967 -1.5 -4.6
-2.2
-1.3
3.9
2 – 4
2 – 3
3 – 4
49.980 -1.5 -6.3
-1.6
-3.2
2.5
4 – 6
4 – 5
5 – 6
49.863 -1.4 -7.4
-2.7
-1.9
1.8
6 – 8
6 – 7
7 – 8
49.972 -1.4 -4.7
-1.4
-0.6
3.8
8 – 10
8 – 9
9 – 10
49.963 -1.2 -4.9
-1.2
-2.6
3.6
10 – 12
10 – 11
11 – 12
49.876 -1.1 -4.7
-2.3
1.1
3.8
12 – 14
12 – 13
13 – 14
49.903 -1.2 -5.6
-3.2
-1.6
3.0
14 - B 14 - B 17.673 -0.4 -1.4 -2.4 0.6
TOTALES 367.197 -9.7 -39.6 -29.3 23.0
En consecuencia:
Longitud media = 367.197 m.
Correcciones sistemáticas = -9.7 -39.6 -29.3 + 23.0 = - 56.6 mm.
Longitud corregida = 367.197 - 0.056 = 367.141 m.
metroscalibradaycoregidalongitud 156.367
998.49
00.50141.367



DESCRIPCIÓN PRIMERA MEDICIÓN
TRAMO APOYOS DESNIVEL LONGITUD TEMP ºC P Kg
A - 2
0.33
0.25
49.967 17.5 8.3
2 - 4
2 – 3
3 - 4
0.28
0.40
49.980 17.5 7.1
4 - 6
4 – 5
5 - 6
0.37
0.31
49.863 17.6 6.5
6 - 8
6 – 7
7 - 8
0.26
0.18
49.972 17.7
8.2
8 - 10
8 – 9
9 - 10
0.24
0.36
49.963 18.0 8.0
10 - 12
10 – 11
11 - 12
0.34
0.23
49.876 18.1 8.2
12 - 14
12 – 13
13 - 14
0.40
0.28
49.903 18.0 7.5
14 - B 14 - B 0.29 17.673 18.2 6.3
TOTAL: 367.197

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De igual modo se procede con todas y cada una de las restantes mediciones de toda la base de la
triangulación y con la cual se tendrá cada una de las mediciones corregidas y calibradas, estando en
condiciones de poder llevar la evaluación de la precisión de la medición.
PRECISION DE UNA BASE DE TRIANGULACION
La mayor o menor incidencia de errores accidentales o fortuitos en una medición dá la menor o mayor
precisión de medición.
La estimación de los errores accidentales, en conjunto y que inciden en una medición, se realiza por
formulas obtenidas por probabilidades, presentándose las que interesan a nuestro estudio.
Sean: n1 , n2 , n3 , …….nn , los valores de las longitudes medidas corregidas y calibradas de una base de
triangulación, entonces.
VALORES MÁS PROBABLE DE LA BASE
Para igualdad de condiciones de medición está dado por la fórmula:
n
mmmm
M n

....321
( 8 )
n: número de mediciones
ERRORES RESIDUALES O DESVIACIONES
Es la diferencia entre los valores de las mediciones y de la media aritmética, así:
Mmv  11 Mmv  33
Mmv  22 Mmv nn  ( 9 )
MEDIA DE LOS ERRORES
Es la media aritmética de los errores residuales, sin tener en cuenta, su signo
n
v
t

 ( 10 )
ERROR CUADRATICO DE UNA MEDICION
Esta dado por la expresión
1
2



n
v
em ( 11 )
ERROR MEDIO CUADRATICO DE LA MEDIA ARITMETICA
Esta dado por la expresión
)1(
2



nn
v
eM ( 12 )
ERROR MAXIMO ADMISIBLE O TOLERANCIA
Denominado también error temible, esta dado por la expresión:
)(5.2max mee  ( 13 )

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ERROR PROBABLE
Se calculará por:
)(6745.0 mpm ee  ( 14 ) pme : Error medio cuadrático probable de una medición cualquiera
)(6745.0 MpM ee  (15 ) pMe : Error medio cuadrático probable de la media aritmética
ERROR RELATIVO
Existen diversos criterios en cuanto a la fórmula específica a utilizar, así:
M
e
e m
r  ;
M
e
e M
r ;
M
e
e
pm
r  ;
M
e
e
pM
r  ( 16 )
A fin de despejar posibles confusiones, se especifica la fórmula usada.
Ejemplo:
La medición de una base de triangulación, ha dado las siguientes mediciones corregidas calibradas:
526.178 , 526.202 , 526.194 , 526.170 , 526.199 , 526.169 y 526.165. Calcular el valor más probable de la
base así como los diferentes tipos de errores accidentales, (valores).
Solución:
Medición Longitud m + v. mm -v. mm V² mm²
1 526.178 2 4
2 526.202 22 484
3 526.163 17 289
4 526.194 14 196
5 526.170 10 100
6 526.199 19 361
7 526.169 11 121
8 526.165 15 225
N = 8 4,209.440 55 55 1,780
M = 4,209.440 / 8 = 526.180 m.
7/1780me = .16 mm
.40)16(5.2max mme 
Valor máximo aceptable = 526.180 + 0.040 = 526.220 m.
Valor mínimo aceptable = 526.180 – 0.040 = 526.140 m.
Dado que los valores de las mediciones se encuentran comprendidos entre los valores máximos y mínimo
aceptables, proseguimos con el cálculo, caso contrario debería procederse a la depuración de los valores que
no se encuentran en el rango.
t = 110 / 8 = 14 mm.
.16 mmem  .11mmepm 
56/1780Me = .6 mm mmepM 4
Para los errores relativos tenemos:

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ERROR REAL.
886,32
1
180.526
016.0
re , se te4ndrá 1 / 30000
ERROR PROBABLE:
47834
1
180.526
014.0
e , se tendrá 1/45000
COMPENSACIÓN DE FIGURAS DE UNA TRIANGULACIÓN
Antes de procederse al calculo de los lados de la red, los ángulos deben ser compensados por
ecuaciones de condiciones geométricas y trigonométricas y que son propias del tipo de figura que forman toda
compensación se realiza a los valores de los ángulos compensados por ecuación de vértice siempre y cuando
los errores en cada triangulo, sean menores a los máximo admisibles.
ECUACIONES DE ÁNGULO
En toda figura geométrica cerrada, el numero de ecuación de Angulo que deben cumplir los ángulos de la
misma, es:
10
 LnCA (17)
Donde:
CA : número de ecuaciones de ángulo
nº : número de ángulos medidos.
L : número de líneas o lados.
Ejemplos:
Caso del triángulo:
1133 AC
Siendo la ecuación:
(1) + (2) + (3) = 180º (I)
Caso del cuadrilátero:
3168 AC
Siendo las siguientes ecuaciones
(1)+ (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) = 360º (I)
(1) + (2) = (5) + (6) (II)
(3) + (4) = (7) + (8) (III)
8
4 5 76
3 2 1
12
3

15. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
Caso de un polígono con punto central: (para uno de cuatro lados exteriores)
51812 AC
Siendo las siguientes ecuaciones:
(41)+ (42) + (43) + (44) = 360º ( I )
(1) + (2) + (41) = 180º ( II )
(3) + (4) + (42) = 180º ( III )
(5) + (6) + (43) = 180º ( IV )
(7) + (8) + (44) = 180º ( V )
ECUACIONES DE CONDICON DE LADO
En toda figura geométrica cerrada, el número de ecuaciones de condición de lado que deben cumplir los
ángulos de la misma, es:
32  SLCL (18)
Donde:
CL : número de ecuaciones de lado
L : número de líneas o lados
S : número de estaciones o vértices.
Ejemplo:
Triángulo:
0363 LC
Es decir no tiene, siempre y cuando sea un
triángulo independiente, por esta razón cuando se
plantea triangulaciones formadas exclusivamente
por cadenas de triángulos, para llevar un adecuado
control de levantamiento debe tomarse una base
de comprobación y con la cual es posible plantear
la ecuación de lado (condición trigonométrica).
Cuadrilátero:
1386 LC
Siendo lo siguiente:
Log Sen (1) + Log Sen (3) +Log Sen (5) +
Log Sen (7) – Log Sen (2) – Log Sen (4) -
LogSen(6) – LogSen(8) = 0
5 7
2 8
4
3 1
43
1144
1141
11
42
11
6
12
3
8
2
3
4
5 6 7
1

16. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
Polígono con punto central (caso de uno de cuatro lados)
13108 LC
Siendo lo siguiente
Log Sen (1) + Log Sen (3) +Log Sen(5) +
Log Sen (7) – Log Sen (2) – Log Sen (4) -
Log Sen (6) – Log Sen(8) = 0
Para un cuadrado de triángulos con base de comprobación:
AB = b Base de triangulación
GH = b1
Base de comprobación.
Log b + Log Sen (B1) + Log Sen (B2) + Log Sen (B3) + Log Sen (B4) + Log Sen (B5) + Log Sen (B6) -
Log b`- Log Sen (A1) - Log Sen (A2) - Log Sen (A3) - Log Sen (A4) - Log Sen (A5) - Log Sen (A6) = 0
METODO DE COMPENSACION DE LOS ANGULOS DE LAS FIGURAS DE UNA TRIANGULACION
Entre los métodos se tiene:
Método aproximado o método de aproximaciones sucesivas.
Método de los mínimos cuadrados
De los dos métodos, estudiaremos con detalle el de las aproximaciones sucesivas y que es el que se
emplea para las triangulaciones topográficas, el método de los mínimos cuadrados se emplea con más
propiedad para las triangulaciones geodésicas (1º y 2º orden).
METODO APROXIMADO DE COMPESACION
Es el método más empleado para la compensación de triangulaciones topográficas ( 3º y 4º orden ), ya
que por su sencillez no requiere de mucho cálculos. Una de las ventajas es su rapidez de cálculo, así como
que los valores de los resultados dan la precisión deseada para este tipo de triangulaciones sin entrar en
métodos de compensación muy refinados.
Los principios en los que se basa son:
1º- De modo general, las correcciones deben ser de signo contrario al error
2º- Las correcciones parciales por aplicar a los valores de los ángulos que intervienen en una determinada
ecuación, se logra por un reparto equitativo de la corrección total.
3º- Toda corrección que se ejecute deberá realizarse sin desequilibrar las compensaciones ejecutadas
anteriormente.
4º- La corrección de los ángulos por ecuación de lado se realiza luego de haber compensado por ecuaciones
de ángulo.
2
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
g
S
3
4
5 6 7
1
8
42
43
44
41
A
B
D
F
H
GE
C
B6
A6
C6
C5
A5B5
A4
B4
C4
C3
A3
B3
C2
A2B2
C1
A1B1
b b1

17. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
Ejemplo
Habiéndose medido los ángulos de la triangulación de la Fig. Nº 40, si los ángulos compensados por
ecuaciones de vértice son los que se indican, ejecutar la compensación de los ángulos por el método de las
aproximaciones. Determinar las coordenadas de las estaciones, azimut AB = 103º 20`14”; AB = 356.503 m.
Ángulos del cuadrilátero A B C D
(1) = 45º12`10”
(2) = 37º 51`08”
(3) = 51º 04`06”
(4) = 45º 52`50”
(5) = 36º 19`21”
(6) = 46º 44`05”
(7) = 45º 50`20”
(8) = 49º 06`24”
Ángulos del polígono C D E F ( G )
(1) = 33º 43`58”
(2) = 36º 40`10”
(3) = 49º 23`08”
(4) = 41º 28`04”
(5) = 55º 17`38”
(6) = 56º 00`03”
(7) = 42º 11`57”
(8) = 45º 15`26”
(41)= 109º 35`57”
(42) = 89º 08`50”
(43) = 68º 42`06
(44) = 92º 32`51” FIG Nº 40
Ángulos del triángulo E F H
(1) = 62º 27`15”
(2) = 57º 31`42”
(3) = 60º 00`48”
Solución
El procedimiento de compensación de un cuadrilátero por el método de las aproximaciones es
Compensación de cuadrilátero A B C D
El procedimiento de compensación de un cuadrilátero por el método de las aproximaciones es.
Compensación por ecuaciones de ángulo: son tres:
1º- Se compensan los ángulos del cuadrilátero de modo que su suma de todos ellos de el valor 360º. La
compensación total se reparte por igual entre los 8 ángulos de la figura, en caso de que la división no fuera
exacta, se toma valores lo más aproximadamente posible.
2º- Con los valores compensados con el paso anterior, se encuentra la diferencia entre la suma de los ángulos:
(1) + (2) y (5) + (6), dividiéndola luego entre 4, que será la corrección para cada uno de estos ángulos, siendo
positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numérico y negativa para los ángulos cuya suma fue
mayor.
3º- Con los valores de los ángulos: (3) , (4) y (7) , (8) , se procede de manera similar al paso anterior.
4º- Se calcula los valores de los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.
H
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
g
S
e
n
F
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
g
E
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
g
D
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
C
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
B
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
A
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
G
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
3
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
g
S
e
n
1
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
g
2
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
g
5
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
6
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
7
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
4
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
+
L
o
43
Lo
g
Se
n
(1)
+
Lo
g
Se
n
(3)
+L
og
Se
n(
5)
+
Lo
g
Se
n
(7)
–
Lo
g
Se
n
(2)
–
Lo
g
Se
n
(4)
-
Lo
g
Se
n(
6)
–
44
Log
Sen
(1)
+
Log
Sen
(3)
+Lo
g
Sen(
5) +
Log
Sen
(7) –
Log
Sen
(2) –
Log
Sen
(4) -
Log
Sen(
6) –
Log
Sen(
8) =
0
42
41
1
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
8
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
2
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
3
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
)
6
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
7
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
1
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
8
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
2
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
3
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
5
L
o
g
S
e
n
(
1
)
+
L
o
g
S
e
n
(
3
)
+
L
o
g
S
e
n
(
5
4

18. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
Cuadro de cálculo para el ejemplo
ANGULO VALOR
COMPENSACION POR ECUACION DE ANGULO
C I
Angulo
corregido
C II C III
Angulo
compensado
1 45º 12`10” - 3” 45º 12`07” + 2” 45º 12`09”
2 37º 51`08” - 3” 37º 51`05” +2” 37º 51`07”
3 51º 04`06” - 3” 51º 04`03” - 3” 51º 04`00”
4 45º 52`50” - 3” 45º 52`47” - 3” 45º 52`44”
5 36º 19`21” - 3” 36º 19`18” - 2” 36º 19`16”
6 46º 44`05” - 3” 46º 44`02” - 2” 46º 44`00”
7 47º 50`20” - 3” 47º 50`17” + 3” 47º 50`20”
8 49º 06`24” - 3” 49º 06`21” + 3” 49º 06`24”
Sumas 360º 00`24” - 24” 360º 00´00” 00” 00” 360º 00`00”
(1) = 45º 12`07” (5) = 36º 19`18” Diferencia = 20 – 12 = 8”
(2) = 37º 51`05” (6) = 46º 44`02”
83º 03`12” 83º 03`20” C II = 8”/4 = 2”
(3) = 51º 04`03” (7) = 47º 50`17” Diferencia = 50 – 38 = 12”
(4) = 45º 52`47” (8) = 49º 06`21”
96º 56`50” 96º 56`38” C III = 12”/4 = 3”
Compensación por ecuación de lado: Solo una ecuación
1°.- Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulo se calcula los valores de los
Logaritmos Senos de los ángulos, obteniéndose luego de suma de ellos, de acuerdo a la condición de lado.
2°.- Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada.
3º.- Recalcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1” para los valores de los ángulos.
4º.- La corrección se obtiene por división del valor de la diferencia de las sumas de longitud seno, entre el valor
de la diferencias tabulares; siendo positiva para los ángulos cuya suma de logaritmos seno fue menor y siendo
negativa para los ángulos cuya suma de logaritmo fue mayor.
Cuadro de cálculo para el ejemplo:
ANGULOS VALOR
LOGARITMOS SENOS
D 1” C IV
ANGULOS
COMENSADOS+ -
( 1 ) 45º 12`09” - 1.851014 2.08 + 13” 45º 12`22”
( 2 ) 37º 51`07” - 1.787902 2.70 - 13” 37º 50`54”
( 3 ) 51º 04`00” -1.890911 1.70 + 13” 51º 04`13”
( 4 ) 45º 52`44” - 1.856046 2.03 - 13” 45º 52`31”
( 5 ) 36º 19`16” - 1.772549 2.87 + 13” 36º 19`29”
( 6 ) 46º 44`00” - 1.862234 1.98 - 13” 46º 43`47”
( 7 ) 47º 50`20” - 1.869971 1.90 + 13” 47º 50`33”
( 8 ) 49º 06`24” - 1.878481 1.82 - 13 49º 06`11”
SUMAS 360º 00`00” -1.384445 - 1.384663 17.08 0” 360º 00`00”
Diferencia en sumas Log Sen = 663 – 445 = 218 (unidades del 6º orden decimal)
C IV = 218 / 17.08 = 12.8” , adoptaremos 13”, los que deben ser positivos en los ángulos: (1), (3) , (5) , (7) y
negativos en los ángulos: (2) , (4) , (6) , (8).

19. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
Compensación del polígono C D E F (G): Cinco Ecuaciones.
El procedimiento de compensación de un polígono con punto Central es el siguiente:
1º.- Se chequea si los ángulos en el punto central cumplen la ecuación de condición de vértice, de no ser ello,
se compensa los ángulos repartiendo la corrección total entre el número de ángulos en el punto central, valor
que será la corrección por ecuación de vértice.
2º.- Con los valores corregidos por el paso anterior y los valores los restantes ángulos de cada uno de los
triángulos que conforman el polígono, se determina el valor de la corrección total que corresponde aplicar en
cada triangulo.
3º.- Se procede a calcular la corrección para los ángulos en el punto central en su primer tanteo. Para ello se
divide la corrección total de cada triangulo entre 3, obteniéndose luego la sumatoria algebraica de estas
correcciones. Si la sumatoria algebraicas de las correcciones centrales en su primer tanteo no da un valor cero
(0), se procede a corregir estos valores.
4º.- Para efectuar la corrección al primer tanteo, el valor de la suma anteriormente hallada se divide entre el
número de ángulos en el punto central luego de haberse ejecutado el cambio de signo.
5º.- Se obtiene la suma algebraica de las correcciones obtenidas por los dos últimos pasos, valor que será la
corrección para los ángulos en el punto central y por condición de ángulos.
6º.- Se calcula las correcciones para los restantes ángulos de cada triángulo, dividiendo la corrección que falta
completar entre dos (2).
7º.- Se obtiene los ángulos compensados por ecuaciones de ángulo.
Cálculos para el ejemplo en desarrollo.
(41) = 109º 35`57” + 4” = 109º 36`01”
(42) = 89º 08`50” + 4” = 89º 08`54”
(43) = 68º 42`06” + 4” = 68º 48`10”
(44) = 92º 32`51” + 4” = 92º 32`55”
359º 59`44” +16” = 360º 00`00”
Corrección total = - 9”
(1) = 33º 43`58” - 4” = 33º 43`54”
(2) = 36º 40`10” - 4” = 36º 40`06”
(41) = 109º 59`44” - 1” = 109º 36`00”
180º 00`09” 180º 00`00”
Corrección total = - 6”
(3) = 49º 23`08” - 3” = 49º 23`05”
(4) = 41º 28`04” - 3” = 41º 28`01”
(42) = 89º 08`54” 0 = 89º 08`542
180º 00`06” 180º 00`00”
Corrección total = + 9”
(5) = 55º 17`38” + 2” = 55º 17`40”
(6) = 56º 00`03” + 2” = 56º 00`05”
(43) = 68º 42`10” + 5” = 68º 42`15”
179º 59`09” 180º 00`00”
Corrección total = - 18”
(7) = 42º 11`57” - 7” = 42º 11`50”
(8) = 45º 15`26” - 7” = 45º 15` 19”
(44) = 92º 32`55” - 4” = 92º 32` 51”
180º 00`18” 180º 00`00”

20. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
Corrección
total en
triángulo
Corrección
central 1º
tanteo
Compensación
al 1º tanteo
CORRECCION FINAL POR ECUACIONES DE
ANGULO
TI
- 9”
41:
- 3”
41:
+ 2”
41:
- 1”
1:
- 4”
2:
- 4”
TII
- 6”
42:
- 2”
42:
+ 2”
42:
0 “
3:
- 3”
4:
- 3”
TIII
+ 9”
43:
+ 3”
43:
+ 2”
43:
+ 5”
5:
+ 2”
6:
+ 2”
TIV
- 18”
44:
- 6”
44:
+ 2”
44:
- 4”
7:
- 7”
8:
- 7”
Sumas - 8” + 8” 0”
Estas correcciones finales se suman algebraicamente a los valores de los ángulos con lo que se tendrá
los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.
Compensación por ecuación de lado: Una ecuación.
Esta compensación se ejecuta por el mismo procedimiento empleado para el caso de la compensación
por ecuación de lado para un cuadrilátero.
Cálculos para el ejemplo.
ANGULOS VALOR
LOGARITMOS SENOS
D 1” CORRECCION
ANGULOS
COMPENSADOS+ -
(1) 33º 43`54” - 1.744531 3.15 + 9” 33º 44`03”
(2) 36º 40`06” - 1.776107 2.82 - 9” 36º 39`57”
(41) 109º 36`00” 109º 36`00”
(3) 49º 23`05” - 1.880298 1.80 + 9” 49º 23`14”
(4) 41º 28`01” - 1.820981 2.38 - 9” 41º 27`52”
(42) 89º 08`54” 89º 08`54”
(5) 55º 17`40” - 1.914919 1.47 + 9” 55º 17`49”
(6) 56º 00`05” - 1.918581 1.42 - 9” 55º 59`56”
(43) 68º 42`15” 68º 42`15”
(7) 42º 11`50” - 1.827166 2.33 + 9” 42º 11`59”
(8) 45º 15`19” - 1.851411 2.08 - 9” 45º 15`10”
Sumas - 1.366914 - 1.367080 0”
Diferencia de Log Sen: 1.366914 – 1.367080 = 166 Corrección 166/18.05 = 9.19 = 9
(+) (1), (3), (5), (7)
(-) (2), (4), (6), (8)
Ecuación de ángulo = uno (1) lado = 0
Compensación del triángulo E F H :
La compensación de u triángulo independiente, se realiza repartiendo por igual la corrección total por
aplicarse entre los tres (3) ángulos que forman el triangulo.
Entonces, para el ejemplo.
(1) = 62º 27`15” + 5” = 62º 27`20”
(2) = 57º 31`42” + 5” = 57º 31`47”
(3) = 60º 00`48” + 5” = 60º 00`53”
179º 59`45” 180º 00`00”

21. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS:
El parámetro que valora la bondad de precisión de las figuras de una triangulación es el coeficiente
denominado Resistencia de Figura, cuanto menor sea el valor de la resistencia, la figura es de mejor
precisión.
La fórmula para calcular la resistencia de figura es:
)( 22
BBAA dddd
D
CD
R 

  ( 19 )
En donde:
R: Resistencia de figura
D: Número de nuevas direcciones observadas en la figura o red.
C. Número total de ecuaciones de condición ( C = CA + C1)
dA: Diferencia tabular de logaritmo seno 1” del ángulo opuesto al lado conocido, expresada en unidades
de 6º orden decimal.
dB: Diferencia tabular del logaritmo seno 1º del ángulo opuesto al lado por calcular, expresada en
unidade4s de 6º orden decimal.
El factor: )( 22
BBAA dddd  , Sirve además para realizar la selección del mejor camino de
calculo de la triangulación, tomándose aquel cuyo valor es el menor.
VALORES MAXIMOS RECOMENDADOS PARA LA RESISTENCIA DE FIGURAS
DESCRIPCION 1º ORDEN 2º ORDEN 3º ORDEN
Figura simple independiente
Deseable 15 25 25
Máximo 25 40 50
Red entre bases
Deseable 80 100 125
Máximo 110 130 175
Ejemplo:
Para la triangulación Fig Nº 40, llevar a cabo la evaluación de resistencia de figuras, así como indicar cual
debe ser el camino de cálculo de lados y proyecciones.
Solución:
Cálculo de los factores:
D
CD 
Cuadrilátero:
D = 5 x 2 = 10 : 60.0

D
CD
C = 3 + 1 = 4
Polígono:
D = 7 x 2 = 14 : 57.0

D
CD
C = 5 + 1 = 6
Triángulo:
D = 2 x 2 = 4 : 75.0

D
CD
C = 1 = 1

22. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
Triangulación total:
D = 14 x 2 = 28 : 61.0

D
CD
C = 4 + 6 + 1 = 11
Cálculo de los factores:
)( 22
BBAA dddd 
Cuadrilátero:
En todo cuadrilátero con dos diagonales, existe la posibilidad de ejecutar el cálculo de los lados mediante
cuatro (4) caminos de cálculo, siendo:
Camino I
 2
"07`55º85`55º88`53º45
2
`53º45 dddd
( 2.03 )2
+ ( 2.03 x 0.03 ) + ( 0.03)2
= 4.18
 2
"11`06º49`06º49`34º94
2
"20`34º94 dddd
( - 0.17 )2
– ( 0.17 x 1.82 ) + ( 1.82 )2
= 3.03
7.21
Camino II
 2
`19º94`19º9451º47
2
`51º47 dddd
( 1.90 )2
– ( 1.90 x 0.15 ) + ( 0.15)2
= 3.35
 2
`04º51`04º51`12º82
2
`12º82 dddd
( 0.28)2
+ ( 0.28 x 1.70 ) + ( 1.70 )2
= 3.44
6.79
Camino III
 2
`12º45`12º45`53º45
2
`53º45 dddd
( 2.03 )2
+ ( 2.03 x 2.08 ) + ( 2.08)2
= 12.65
 2
`04º51`04º51`44º46
2
``44º46 dddd
( 1.98 )2
+ ( 1.98 x 1.70 ) + ( 1.70)2
= 10.18
22.83
Camino IV
 2
`51º37`51º37`51º47
2
``51º47 dddd
( 1.90 )2
+ ( 1.90 x 2.70 ) + ( 2.70)2
= 16.03
 2
`06º49`06º49`19º36
2
`19º36 dddd
( 2.87 )2
– ( 2.87 x 1.82 ) + ( 1.82)2
= 16.77
32.80
A
C
B
A
D
3 + 2
4
8
6 + 7
C
A B
D
4+5
3
7
1+8
C
A
D
B
3
4
6
1
B2
C
A
D
5
7
8

23. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
En consecuencia el mejor camino de cálculo en el cuadrilátero A B C D, será el camino II. AB – AD - CD
El camino IV, es el camino mas desfavorable para el cálculo de los lados.
Polígono:
En todo polígono con punto central existe la posibilidad de cálculo por dos caminos, en uno y otro sentido
respecto del vértice central, para el caso que nos ocupa se tiene:
Camino I:
 2
`44º33`44º33`36º109
2
`36º109 dddd
( - 0.75 )2
– ( 0.75 x 3.15 ) + ( 3.15)2
= 8.12
 2
`21º41`28º41`23º49
2
`23º49 dddd
( 1.80 )2
+ ( 1.80 x 2.38 ) + ( 2.38)2
= 13.19
 2
`00º56`00º56`42º68
2
`42º68 dddd
( 0.82 )2
+ ( 0.82 x 1.42 ) + ( 1.42)2
= 3.85
25.16
Camino II:
 2
`40º36`40º36`36º106
2
`36º109 dddd
( - 0.75 )2
– ( 0.75 x 2.82 ) + ( 2.82)2
= 6.40
 2
`15º45`15º45`12º42
2
`12º42 dddd
( 2.33 )2
+ ( 2.33 x 2.08 ) + ( 2.08)2
= 14.60
 2
`42º68`42º68`18º55
2
`18º55 dddd
( 1.47)2
+ ( 1.47 x 0.82 ) + ( 0.82)2
= 4.04
25.04
En conclusión el camino II, es el mejor camino de cálculo, aunque el camino I podría ser como camino de
cálculo ya que los valores no difieren sustancialmente en nada.
Triángulo:
Camino I:
 2
`01º60`01º60`27º62
2
`27º62 dddd
(1.10)2
+ (1.10 x 1.22) + (1.22)2
= 4.04
E F
C D
G
1
3
41
4
6
43
E F
C
G
5
43
41
2
D
8
7
3
1
F
H
E

24. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Félix García Gálvez
Camino II
 2
`32º57`32º57`01º60
2
`01º60 dddd
(1.22)2
+ (1.22 x 1.33) + (1.33)2
= 4.88
El mejor camino es el I.
Triangulación total:
87.3504.404.2579.6)( 22
 mínimoBBAA dddd
84.6288.416.2580.32)( 22
 máximoBBAA dddd
En conclusión los valores mínimos y máximos de la resistencia de figuras, es:
Cuadrilátero A B C D:
10.479.660.0 mínimoR
70.1980.3260.0 máximoR
Polígono C D E F (G):
30.1404.2557.0 mínimoR
30.1416.2557.0 máximoR
Triángulo E F H:
00.304.475.0 mínimoR
70.388.475.0 máximoR
Triangulación total:
50.2187.3561.0 mínimoR
30.3884.6261.0 máximoR
El mejor camino de cálculo es:
AB , AD , DC , DG , GF , FE , EH.
CALCULO DE AZINUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO DE LA TRIÁNGULACIÓN.
Con los valore de los ángulos corregidos por ecuaciones de condición de ángulo y lado y según el mejor
camino de cálculo para la triangulación, se procede al cálculo de los azimut y rumbos de dicho camino.
Ejemplo:
Calcular los azimut y rumbos del mejor camino de cálculo para la triangulación de la figura Nº 40, si el
azimut del lado AB = 103º 20` 14”.
E
H
F
3
2

25. TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIÓN
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Solución
Z AB = 103º 20` 14” + R AB = S 76º 39` 46” E.
Con el valor de Z AB y los ángulos compensados se tendrá que ejecutar el cálculo según el mejor camino
de cálculo.
Z A B = 103º 20’ 14” - R A B = S 76º 39’ 46” E
(2) = 37º 50’ 54”
Z A D = 65º 29’ 20” + R A D = N 65º 29’ 20” E
180º
Z D A = 245º 29’ 20” +
(6) = 46º 43’ 47”
Z D C = 292º 13’ 07” + R D C = N 67º 46’ 53” O
(1) = 33º 44’ 03”
Z D G = 325º 57’ 10” - R D G = N 34º 02’ 50” O
180º
145º 57’ 10” -
(44) = 92º 32’ 51”
Z G F = 53º 24’ 19” + R G F = N 53º 24’ 19” E
180º
233º 24’ 19” +
(6) = 55º 59’ 56”
Z F E = 289º 24’ 15” - R F E = N 70º 35’ 45” O
180º
109º 24’ 15” -
(2) = 57º 31’ 47”
Z E H = 51º 52’ 28” R E H = N 51º 52’ 28” E
CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO.
El cálculo las longitudes se realiza aplicando la formuela de la ley de senos para un triángulo.
Ejemplo:
Calcular los lados del mejor camino de cálculo en la triangulación en estudio.
A B = 356.503 m.
A D = 356.503 (Sen 94º 18`33” / Sen 47º 50` 33”) = 479.555 m.
D C = 479.555 (Sen 51º 04`13” / Sen 82º 12` 00”) = 376.538 m.
D G = 376.538 (Sen 36º 39`57” / Sen 109º 36`00”) = 238.678 m.
G F = 238.678 (Sen 45º 15´10” / Sen 42º 11`59”) = 252.359 m.
F E = 252.359 (Sen 68º 42`06” / Sen 55º 17`49”) = 285.998 m.
E H = 285.998 (Sen 62º 27`20” / Sen 60º 00`53” ) = 292.766 m.
CALCULOS DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACION.
Conocidos los valores de las longitudes de los lados, así como los valores de los rumbos de cada uno de
ellos se procede al cálculo de proyecciones empleándose la formula conocida:
Proyección en eje X = Lado x Seno Rumbo.
Proyección en eje Y = Lado x Coseno Rumbo.

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Lado Longitud (m.) Rumbo Lado Proyección X Proyección Y
A B 356.503 S 76º 39`46” E + 346.888 - 82.239
A D 479.555 N 65º 29`20” E + 436.338 + 198.953
D C 376.538 N 67º 46`53” O - 348.579 + 142.385
D G 328.678 N 34º02`50” O - 133.630 + 197.763
G F 252.359 N 53º 24`19” E + 202.612 + 150.444
F E 285.992 N 70º 35`45” O - 269.753 + 95.017
E H 292.766 N 51º 52`28” E + 230.307 + 180.750
CALCULO DE LAS CORDENAS DE LOS VERTICES DE LA TRIANGULACION.
El cálculo de las coordenadas de los vértices se obtienen por la suma algebraica de las proyecciones, así
para nuestro caso es:
Vértice Abscisa (m) Ordenada (m)
A 8 134.601 + 7 267.924 - (Datos)
346.888 82.239
B 8 481.489 7 185.685
A 8 134.601 + 7 267.924 +
436.338 198.953
D 8 570.939 - 7 466.877 +
348.579 142.385
C 8 222.360 7 609.262
D 8 570.939 - 7 466.877 +
133.630 197.763
G 8 437.309 + 7 664.640 +
202.612 150.444
F 8 639.921 - 7 815.084 +
269.753 95.017
E 8 370.168 + 7 910.101 +
230.307 180.750
H 8 600.475 8 090.851
CLASIFICACION GENERAL DE LA TRIANGULACION.
De acuerdo a las precisiones obtenidas y sus respectivas clasificaciones, tanto para la medición de la
base, medición de los ángulos y resistencia de figura, se procede a la clasificación general de la triangulación,
clasificación que en todo momento debe encontrarse acorde con las exigencias del trabajo para el cual se
ejecuta la red.
DIBUJO DE LA TRIANGULACION.
El dibujo de los vértices de la red se realiza con los valores de las coordenadas calculadas. Previa
selección adecuada de la escala del plano.

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RECOMENDACIONES ATENERSE PRESENTE EN EL CÁLCULO DE TRIANGULACIONES
1º.- Siempre que sea posible, cheque los cálculos realizados.
2º.- Los cálculos deben realizarse hasta mismo orden o agrado de precisión con que se midieron los datos de
campo. En caso que se estimo calcular una cifra decimal inferior, siempre deberá de efectuarse el
redondeamiento de cifras en el momento de consolidar valores.
3º.- En el cálculo de azimuts, realizo la comprobación de los cálculos.
4º.- Siga siempre un proceso adecuado de cálculo así como un orden lógico.
5º.- Siempre que sea posible, emplee tablas o cuadro de cálculos que vaya realizando.
6º.- Si es necesario chequear íntegramente el cálculo de una triangulación, ejecute por separado otro cálculo y
luego proceda a comparar valores y conclusiones.
RECOMENDACIONES A TENERSE PRESENTE PARA EL DIBUJO DE LA TRIANGULACION
1º.- Seleccione una escala adecuada de dibujo para el plano.
2º.- Trace correctamente el sistema de coordenadas.
3º.- No es necesario ejecutar el trazo de toda la cuadricula del sistema de coordenadas, basta con que se
señalen las intersecciones de la cuadricula mediante unas pequeñas cruces.
4º.- Enumere correctamente los valores del sistema de coordenadas, tal enumeración sólo debe realizarse en
la parte perimétrica de la lámina de dibujo.
5º.- Empleo la simbología específica para cada caso.
6º.- Todo plano debe llevar indicando, tanto la escala numérica como la gráfica, las mismas que deberán
encontrarse juntas.