SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 178
Descargar para leer sin conexión
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς
Α λ γ ε β ρ α Α’ Λ υ κ ε ι ο υ
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Θ ε ω ρ ι α
Μ ε θ ο δ ο ς
Π ρ ο π ο ν η σ η
Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Θ ε ω ρ ι α
Μ ε θ ο δ ο ς
Π ρ ο π ο ν η σ η
Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς
Θ ε ω ρ ι α
Μ ε θ ο δ ο ς
Π ρ ο π ο ν η σ η
Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Α ν ι σ ω σ ε ι ς
Θ ε ω ρ ι α
Μ ε θ ο δ ο ς
Π ρ ο π ο ν η σ η
Π ρ ο ο δ ο ι
Θ ε ω ρ ι α
Μ ε θ ο δ ο ς
Π ρ ο π ο ν η σ η
Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς
Θ ε ω ρ ι α
Μ ε θ ο δ ο ς
Π ρ ο π ο ν η σ η
Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Μ ε λ ε τ η Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν
Θ ε ω ρ ι α
Μ ε θ ο δ ο ς
Π ρ ο π ο ν η σ η
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
1. Πιθανοτητες
2. Πραγματικοι Αριθμοι
3. Εξισωσεις
4. Ανισωσεις
5. Προοδοι
6. Συναρτησεις
7. Μελετη Συναρτησεων
Με πολυ μερακι
Για τους καλους φιλους μου
Τακης Τσακαλακος
Κερκυρα 2015 H δικη μου αποψη για την βοηθεια των μαθητων
4
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ
5
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
1 . Ο ρ ι σ μ ο ι
▪ Π ε ι ρ α μ α Τ υ χ η ς
λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,
οσες φορες και να επαναληφθει κατω απο τις ιδιες συνθηκες.
▪ Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ω :
ενος πειραματος τυχης ονομαζεται το συνολο ολων των δυνατων αποτελεσματων
που μπορουν να εμφανιστουν κατα την εκτελεση του πειραματος.
Δηλαδη αν ω1, ω2, … , ων τα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος, τοτε ο δειγμα-
τικος χωρος ειναι : Ω = { ω1, ω2, … , ων }.
▪ Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο Α
ενος πειραματος τυχης, λεγεται το συνολο που εχει για στοιχεια του ενα η περισ-
σοτερα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος.
Δηλαδη το ενδεχομενο Α ειναι ενα υποσυνολο του δειγματικου χωρου Ω : Α ⊆ Ω
Tο πληθος των στοιχειων ενος ενδεχομενου Α συμβολιζεται με Ν(Α).
▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι η σ η Ε ν ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ
Ενα ενδεχομενο Α πραγματοποιειται οταν το αποτελεσμα του πειραματος ειναι
στοιχειο του ενδεχομενου.
Τα στοιχεια του ενδεχομενου Α λεγονται και ε υ ν ο ϊ κ ε ς π ε ρ ι π τ ω σ ε ι ς για
την πραγματοποιηση του.
▪ Δ ι α κ ρ ι σ η τ ω ν Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν
▪ Α π λ ο ( η σ τ ο ι χ ε ι ω δ ε ς ) ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο :
ειναι αυτο που εχει μονο ε ν α στοιχειο.
▪ Σ υ ν θ ε τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο :
ειναι αυτο που εχει δ υ ο η π ε ρ ι σ σ ο τ ε ρ α στοιχεια.
▪ Β ε β α ι ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο :
ειναι αυτο που πραγματοποιειται π α ν τ α (δηλαδη σε καθε εκτελεση του πει-
ραματος) και τ α υ τ ι ζ ε τ α ι με τον δειγματικο χωρο Ω.
▪ Α δ υ ν α τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο :
ειναι αυτο που δεν πραγματοποιειται π ο τ ε και ταυτιζεται με το κενο συνο-
λο ∅ .
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
6
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
2 . Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α ( Α , Β )
▪ Σ υ μ π λ η ρ ω μ α
▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς :
Α ’
▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι :
“ Οχι Α’’ η ‘’αντιθετο του Α’’ η ‘’συμπληρωμα του Α’’
▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν :
Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α.
▪ Ε ν ω σ η
▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς :
Α ∪ Β
▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι :
‘‘Α ενωση Β’’ η ‘’Α η Β’’
▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν :
Πραγματοποιειται τουλαχιστον ενα απ'τα ενδεχομενα Α η Β.
▪ Τ ο μ η
▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς :
Α ∩ Β
▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι :
‘‘Α τομη Β’’ η ‘’Α και Β’’
▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν :
Πραγματοποιουνται συγχρονως τα ενδεχομενα Α και Β.
▪ Δ ι α φ ο ρ α Α - Β
▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς :
Α ∩ Β ‘ η Α - Β
▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι :
‘’Διαφορα του Β απ’το Α’’
▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν :
Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α αλλα οχι το
ενδεχομενο Β.
▪ Δ ι α φ ο ρ α Β - Α
▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς :
Α’ ∩ Β η Β - Α
▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι :
‘’Διαφορα του Α απ’το Β’’
▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν :
Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Β αλλα οχι το ενδεχομενο Α.
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Α’
Ω
Α
Α Β
Ω
Α Β
Ω
Α Β
Ω
Α Β
Ω
7
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
▪ Σ υ μ π λ η ρ ω μ α
▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς :
(Α ∩ Β‘) ∪ (Α’ ∩ Β) η (Α – Β) ∪ (Β – Α)
▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι :
"Διαφορα του Β απ’το Α ’’ η ‘’Διαφορα του Α απ’το Β’’
▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν :
Πραγματοποιειται μονο το ενδεχομενο Α η μονο το
ενδεχομενο Β.
▪ Α σ υ μ β ι β α σ τ α
Δυο ενδεχομενα Α, Β λεγονται α σ υ μ β ι β α σ τ α
η ξ ε ν α μεταξυ τους η αμοιβαιως αποκλειομενα, αν
ισχυει : Α ∩ Β = ∅
Δηλαδη αυτα που δ ε ν μπορουν να πραγματοποιη-
θουν σ υ γ χ ρ ο ν ω ς .
Το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται ω ∈ Α
Το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται ω ∈ Α ' η ω ∉ Α
Ενα τουλαχιστον απ’τα Α και Β πραγματοποιειται ω ∈ Α ∪ Β
Πραγματοποιειται και το Α και το Β ω ∈ Α ∩ Β
Δεν πραγματοποιειται ουτε το Α ουτε το Β ω ∈ (Α ∪ Β)'
Πραγματοποιειται μονο το Α ω ∈ Α – Β η ω ∈ Α ∩ Β'
Αν πραγματοποιειται το Α, τοτε πραγματοποιειται
και το Β
Α ⊆ Β
Πραγματοποιειται μονο ενα απ'τα Α και Β ω ∈ (Α ∩ Β') ∪ (Α' ∩ Β)
Πραγματοποιειται το πολυ ενα απ'τα Α και Β ω ∈ (Α ∩ Β)' η ω ∈ Α' ∪ Β'
3 . Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς
▪ Ε ι σ α γ ω γ η
Στην εκτελεση ενος πειραματος τυχης δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτε-
λεσμα και κατα συνεπεια δεν γνωριζουμε αν θα πραγματοποιηθει καποιο ενδεχο-
μενο Α του δειγματικου χωρου.
Σε πολλα ομως πειραματα εχουμε ενα ‘’μετρο προσδοκιας’’ για την πραγματοποι-
ηση ενος ενδεχομενου, π.χ. στη ριψη αμεροληπτου ζαριου η προσδοκια μας να ελ-
θει ‘’εξαρι’’ ειναι μια στις εξι.
Αυτο το ‘’μετρο προσδοκιας’’ πραγματοποιησης του ενδεχομενου λεγεται π ι θ α -
ν ο τ η τ α τ ο υ Α και συμβολιζεται Ρ(Α).
Επομενως σε καθε ενδεχομενο Α μπορουμε να αντιστοιχισουμε την πιθανοτητα
του Ρ(Α) να πραγματοποιηθει .
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Α Β
Ω
Α Β
Ω
8
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
▪ Σ χ ε τ ι κ η Σ υ χ ν ο τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ
Λεγεται το πηλικο
κ
ν
, οπου ν ειναι ο αριθμος εκτελεσεων του πειραματος και κ ο
αριθμος που δειχνει ποσες φορες πραγματοποιηθηκε το ενδεχομενο Α.
Ειναι δηλαδη : A
κ
f =
ν
Ειδικα για τα απλα ενδεχομενα {ω1} , {ω2}, … , {ων} του δειγματικου χωρου Ω, που
πραγματοποιουνται κ1 , κ2 , … , κν φορες αντιστοιχως σε ν επαναληψεις του πει-
ραματος, οι σχετικες τους συχνοτητες ειναι : 1
1
κ
f =
ν
, 2
2
κ
f =
ν
, … , λ
λ
κ
f =
ν
Ο ν o μ ο ς τ ω ν μ ε γ α λ ω ν α ρ ι θ μ ω ν
“ Η σχετικη συχνοτητα ενος ενδεχομενου σταθεροποιειται γυρω απο μια συγκεκρι-
μενη αριθμητικη τιμη, καθως ο αριθμος των επαναληψεων του πειραματος αυξα-
νει απεριοριστα”.
▪ Ι σ ο π ι θ α ν α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α
Τα απλα ενδεχομενα ω1 , ω2 , … , ων ενος δειγμ. χωρου Ω = { ω1 , ω2 , … , ων } λε-
γονται ι σ ο π ι θ α ν α , οταν εχουν την ιδια συχνοτητα εμφανισης κατα την εκτελε-
ση του πειραματος . Δηλαδη η σχετικη συχνοτητα για καθ’ ενα απο αυτα ειναι
1
ν
.
Για ενα συνθετο ενδεχομενο Α = { α1 , α2 , … , ακ } που αποτελειται απο κ ισοπιθανα
ενδεχομενα η σχετικη συχνοτητα του εiναι : A 1 2 κ
f = f +f +...+f =
κ φορες
1 1 1 κ
+ + ... + =
ν ν ν ν
▪ Κ λ α σ σ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς
Εστω τα απλα ισοπιθανα ενδεχομενα ω1 , ω2 , … , ων ενος δειγματικου χωρου
Ω = { ω1 , ω2 , … , ων }.
Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α :
ειναι το πηλικο Ρ(Α) =
πληθος ευνοικων περιπτωσεων του Α
πληθος δυνατων περιπτωσεων
N(A)
=
N(Ω)
Ι δ ι ο τ η τ ε ς
▪ Ρ(ω i) =
1
ν
, i = 1, 2, … , ν ▪ Ρ(Ω) = 1 ▪ Ρ(∅) = 0 ▪ 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1
▪ Α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς
Εστω 1 2 ν
Ω = {ω ,ω ,...,ω } ενας δειγματικος χωρος με πεπερασμενο πληθος στοιχειων.
Σε καθε απλο ενδεχομενο {ω i} αντιστοιχιζουμε εναν πραγματικο αριθμο, που τον
συμβολιζουμε με P(ω i), ετσι ωστε να ισχυουν
▪ 0 ≤ P(ω i) ≤ 1 ▪ P(ω 1) + P(ω 2) + ... + P(ω ν) = 1 .
Τον αριθμο P(ω i), ονομαζουμε π ι θ α ν ο τ η τ α του ενδεχομενου {ω i}.
Ως πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α = { α 1, α 2, ... , α κ } ≠ ∅ οριζουμε το αθροισμα
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
9
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ) , δηλαδη Ρ(Α) = Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ)
Ως πιθανοτητα του αδυνατου ενδεχομενου ∅ οριζουμε τον αριθμο Ρ(∅) = 0 .
Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς :
▪ Αν Ρ(ω i) =
1
ν
, i = 1, 2, … , ν , εχουμε τον κλασικο ορισμο της πιθανοτητας. Τοτε :
▪ H πιθανοτητα του βεβαιου ενδεχομενου Ω ειναι Ρ(Ω) = 1 .
▪ H πιθανοτητα του ενδεχομενου Α = { α1 , α2 , … , ακ } ειναι
N(A) κ
P(A) = =
N(Ω) ν
▪ Οταν εχουμε ενα δειγματικο χωρο Ω = { ω1 , ω2 , … , ων } και χρησιμοποιουμε τη
φραση “ παιρνουμε τυχαια ενα στοιχειο του Ω ”, εννοουμε οτι ολα τα δυνατα α-
ποτελεσματα ειναι ισοπιθανα με πιθανοτητα Ρ(ω i) =
1
ν
, i = 1, 2, … , ν .
4 . Κ α ν ο ν ε ς Λ ο γ ι σ μ ο υ Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν
▪ Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς
Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει:
Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα.
Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε
Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)
▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ
Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α’ (ασυμβιβαστα) ισχυει:
Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α)
▪ Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς
Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:
Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)
▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Υ π ο σ υ ν ο λ ο υ
Αν Α ⊆ Β τοτε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)
▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Δ ι α φ ο ρ α ς
Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:
Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)
▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ μ ε τ ρ ο δ ι α φ ο ρ α ς
Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:
Ρ(Α - Β) ∪ Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α ∩ Β)
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
10
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εχουμε δυο κουτια α και β.Το κουτι α περιεχει μια κοκκινη(Κ) μπαλα, μια ασπρη(Α) και μια
μαυρη(Μ),ενωτο κουτι β περιεχει μια ασπρη(Α) και μια μαυρη(Μ) μπαλα .
Επιλεγουμε ενα κουτι στητυχη και στησυνεχεια μια μπαλα απ'αυτο.
Να γραψετε τοδειγματικο χωροτου πειραματος .
Α π α ν τ η σ η
▫ H κατασταση του πειραματος φαινεται στο δεντροδιαγραμμα:
Ο δειγματικος χωρος ειναι :
Ω = { αΚ, αΑ, αΜ, βΑ, βΜ}
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εχουμε δυο κουτια α και β.Το κουτι α περιεχει μια κοκκινη(Κ) μπαλα, μια πρασινη(Π)
και μια γκρι (Γ),ενωτο κουτι β περιεχει μια ασπρη(Α) και μια μαυρη(Μ) μπαλα .
Επιλεγουμε μια μπαλα απ'το κουτι α και μια μπαλα απ'το κουτι β .
Να γραψετε τοδειγματικο χωροτου πειραματος .
Α π α ν τ η σ η
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η δ ε ι γ μ α τ ι κ ο υ χ ω ρ ο υ
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση δειγματικου χωρου .
Δ ο σ μ ε ν α :
Πειραμα τυχης .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Με καταγραφη των στοιχειων .
Με δενδροδιαγραμμα .
Με πινακα διπλης εισοδου .
αΚ
αΑ
αΜ
βΑ
βΜ
Κ
Α
Μ
Α
Μ
α
β
Αρχη
Ω
H κατασταση του πειραματος φαινεται στο πινακα διπλης
εισοδου:
Ο δειγματικος χωρος ειναι :
Ω = {ΚΑ, ΚΒ, ΠΑ, ΠΒ, ΜΑ, ΜΒ}
α
β
Κ ΚΑ ΚΒ
Π ΠΑ ΠΒ
Μ ΜΑ ΜΒ
Α Β
11
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Ριχνουμε το ζαρι μια φορα και παρατηρουμε την ενδειξη του.
Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα :
Α : " ενδειξη αρτια"
Β :" ενδειξη μεγαλυτερη του 3"
Α Β, Α Β, Α', Α Β'  
Α π α ν τ η σ η
Ο δειγματικος χωρος του πειραματος ειναι : Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Α = {2,4,6}
Β = {4,5,6}
Α Β = {4,6} (ενδειξη αρτια μεγαλυτερη τουκαι
Α Β = {2,4,5
3)
(ενδειξη αρτια με,6} η γαλυτ

 ερη του 3)
(ενδειξη αρτια, δηλαδη περιττη)
(ενδειξη αρτια οχι μεγαλυτερη
Α' = {1,3,5} οχι
Α Β' = {2 του 3)} και
Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση ενδεχομενων .
Δ ο σ μ ε ν α :
Ιδιοτητες ενδεχομενων .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Γραφουμε τον διανυσματικο χωρο του πειραματος .
Επιλεγουμε τα στοιχεια του διανυσματικου χωρου που ικανοποιουν τις δοσμενες
ιδιοτητες .
Χρησιμοποιουμε τη ‘’ γλωσσα των συμβολων ‘’
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση πιθανοτητας .
Δ ο σ μ ε ν α :
Διανυσματικος χωρος και ενδεχομενα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Βρισκουμε το πληθος των δυνατων περιπτωσεων Ν(Ω) .
Βρισκουμε το πληθος των ευνοικων περιπτωσεων Ν(Α), οπου Α το ενδεχομενο
του οποιου τη πιθανοτητα ζητουμε .
Χρησιμοποιουμε τη σχεση :
Ν(Α)
Ρ(Α) =
Ν(Ω)
.
12
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εχουμε ενα κουτι που περιεχει 2 κοκκινες , 4 μπλε και 5 ασπρες μπαλες.
Επιλεγουμε μια μπαλα στη τυχη .
Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων :
Α :" η μπαλα ειναι κοκκινη"
Β : " η μπαλα δεν ειναι ασπρη"
Γ : " η μπαλα ειναι μπλε η ασπρη"
Α π α ν τ η σ η
Ειναι
2 + 4 + 5
Οι κοκκινες μπαλες ειναι 2, οποτε .
Οι μπαλες που δεν ειναι ασπρες, ειναι μπλε η κοκκινες, οποτε
4 + 2 .
Οι μπαλες που ειναι ασπρες η μπ
Ν(Ω) = = 11
Ν(Α) = 2
Ν(Β) = = 6
λε ειναι 9 (5 + 4), οποτε .
Ετσι
Ν(Α) Ν(Β) Ν(Γ)
Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω)
Ν(Γ) = 9
2 6 9
Ρ(Α) = = Ρ(Β) = = Ρ(Γ) = =
11 11 11
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
1 2 3
1 2 2 3
1 2 3
Εστω Ω = {ω ,ω ,ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα ενδεχομενα
Α = {ω ,ω } και Β = { ω ,ω }.
1 4
Αν Ρ(Α) = και Ρ(Β) = να υπολογισετε τις πιθανοτητες : Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ).
2 5
Α π α ν τ η σ η
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ( α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς ο ρ ι σ μ ο ς )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση πιθανοτητας .
Δ ο σ μ ε ν α :
Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Αν Ω = { ω1, ω2, … , ων } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης.
0 ≤ P(ω i) ≤ 1
P(ω 1) + P(ω 2) + ... + P(ω ν) = 1
Αν Α = { α 1, α 2, ... , α κ } ≠ ∅ τοτε Ρ(Α) = Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ)
13
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
1 2 3
1 2 3
1 2
1 2
3
Αφου Ω = {ω , ω , ω } τοτε :
Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Ω)
Αφου Α = {ω , ω } τοτε :
Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Α)
1
Απο (1)-(2)προκυπτει : Ρ(ω ) = 1-
2



1 2 3
1 2
3
Ρ(ω )+ Ρ(ω )+ Ρ(ω ) = 1 (1)
1
Ρ(ω )+ Ρ(ω ) = (2)
2
1
Ρ(ω ) =
2
2 3
( 3 )
2 3 2 2
1 1
Αφου Β = {ω , ω } τοτε :
1 4 4 1
Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Β) Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = -
2 5 5 2
Απο τις(1),(3),(4)προκυπτει :
3 1 3 1
Ρ(ω ) + + = 1 Ρ(ω ) = 1- -
10 2 10 2
  
 
2
1
(3)
3
Ρ(ω ) = (4)
10
1
Ρ(ω ) =
5
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
Ρ(Α Β) = 0,9 και Ρ(Α') = 0,4 ενω Ρ(Α Β) = 0,5.
Να βρειτε τις πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α- Β), Ρ(Β - Α), Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] .
 

Α π α ν τ η σ η
1- Ρ(Α') = 1- 0,4
Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 0,9 = 0,6 + Ρ(Β)- 0,5 0,9 - 0,6 + 0,5
Ρ(Α)- Ρ(Α Β) = 0,6 - 0,5
Ρ(Β)- Ρ(Α Β) = 0,8 - 0,5
Ρ(Α - Β) + Ρ(Β- Α) = 0,1+ 0,3
   


Ρ(Α) = = 0,6
Ρ(Β) = = 0,8
Ρ(Α- Β) = = 0,1
Ρ(Β - Α) = = 0,3
Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] = = 0 ,4
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ( κ α ν ο ν ε ς λ ο γ ι σ μ ο υ )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση πιθανοτητας .
Δ ο σ μ ε ν α :
Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Χρησιμοποιουμε τους τυπους λογισμου πιθανοτητων .
Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) (Α, Β ασυμβιβαστα) .
Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α)
Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)
Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)
Ρ(Α - Β) ∪ Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α ∩ Β)
14
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με
Ρ(Α) = Ρ(Β) = 0,6 και Ρ(Α Β) = 0,4.
Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.
Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :
Γ :" να πραγματοπ

οιηθει το Α ητο Β"
Δ : " να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β"
Α π α ν τ η σ η
Αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα,
τοτε :
Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0,6 + 0,6 = 1,2 > 1 ,
ατοπο γιατι Ρ(Α Β) 1.
Αρα τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.
" να πραγματο

 
δεν
ποιηθει το Α η το Β" σημαινει Α Β,
οποτε :
Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β = 0,6 + 0,6 - 0,4
" να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β" σημαινει (Α Β)',
οποτε :
Ρ[(Α Β

 


Ρ(Γ) = = 0,8
Ρ(Δ) = )'] = 1- Ρ(Α Β) = 1- 0,8 = 0,2
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Εξεταση αν δυο ενδεχομενα ειναι ασυμβιβαστα .
Δ ο σ μ ε ν α :
Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Προκειμενου να δειξουμε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα
Με γνωστες Ρ(Α) και Ρ(Β) δεχομαστε οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβα-
στα και απ’τη σχεση Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) καταληγουμε Ρ(Α ∪ Β) > 1που ειναι
ατοπο .
Δειχνουμε οτι : Ν(Ω) < Ν(Α) + Ν(Β) η Α ∩ Β ≠ ∅ ( Ν(Α ∩ Β) ≠ 0 , Ρ(Α ∩ Β) ≠ 0 )
15
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
3
Ρ(Α) = και
4
3
Ρ(Β) =
8
3
Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) .
4
 
Α π α ν τ η σ η
Ειναι
Α Α Β
Β Α Β
τοτε
3
Ρ(Α Β)Ρ(Α) Ρ(Α Β) 4
3Ρ(Β) Ρ(Α Β)
Ρ(Α Β)
8
  

 

    
  
    

3
Ρ(Α Β)
4
 
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Ε ν ω σ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ανισοτικη σχεση .
Δ ο σ μ ε ν α :
Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Για την Ρ(Α ∪ Β) ≥ κ .
Λυνουμε το συστημα:
 
 
 
Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)
...
Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)
  
 
  


Για την Ρ(Α ∪ Β) ≤ λ .
Λυνουμε την ανισωση:
Ρ(Α Β) Ρ(Α)+ Ρ(Β)
[Ρ(Α Β) = Ρ(Α)+ Ρ(Β)- Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 0]

  

Για την κ ≤ Ρ(Α ∪ Β) ≤ λ .
Λυνουμε το συστημα:
 
 
 
 
 
Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)
Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) ...
Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+ Ρ(Β)
  
    
 



16
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
1 2
Ρ(Β) = και Ρ(Α Β) =
4 3
5 2
Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α) .
12 3

 
Α π α ν τ η σ η
Ειναι
2 2
Ρ(Α) Ρ(Α)Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) 3 3
Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) 2 1 2 1
Ρ(Α) + - Ρ(Α)
3 4 3 4
2
Ρ(Α)
3
5
Ρ(Α)
12
 
        
      
       
  



 

5 2
Ρ(Α)
12 3
 
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ανισοτικη σχεση .
Δ ο σ μ ε ν α :
Ρ(Α) η Ρ(Β) και Ρ(Α ∪ Β) η Ρ(Α ∩ Β) .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Για την κ ≤ Ρ(Α) ≤ λ (γνωστα Ρ(Β) και Ρ(Α ∪ Β)) .
Λυνουμε το συστημα:
 
 
 
Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)
...
Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+ Ρ(Β)
  
 
 


Για την κ ≤ Ρ(Β) ≤ λ (γνωστα Ρ(Α) και Ρ(Α ∪ Β)) .
Λυνουμε το συστημα:
 
 
 
Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)
...
Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+ Ρ(Β)
  
 
 


Για την κ ≤ Ρ(Α) ≤ λ (γνωστα Ρ(Β) και Ρ(Α ∩ Β)) .
Λυνουμε το συστημα:
 
 
 
Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α)
...
Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α)+ Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1
  
 
 

 
Για την κ ≤ Ρ(Β) ≤ λ (γνωστα Ρ(Α) και Ρ(Α ∩ Β)) .
Λυνουμε το συστημα:
 
 
 
Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β)
...
Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α)+ Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1
  
 
 

 
17
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α

Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
3 3
Ρ(Α) = και Ρ(Β) =
4 8
α) Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.
1 3
β) Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) .
8 8

Α π α ν τ η σ η
α)
Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.
Τοτε :
3 3 9
= Ρ(Α) + Ρ(Β) = + = , που ειναι ατοπο.
4 8 8
Αρα τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.
β)
Α Β Α
Α Β Β
0 Ρ(Α Β) 1
  

 
   
Ρ(Α Β) > 1
δεν

τοτε
3 3
Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)
4 4Ρ(Α Β) Ρ(Α)
3 3
Ρ(Α Β) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)
8 8
0 Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1 3 3 1
0 + - Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α Β)
4 8 8
 
    
    
  
          
      
     
 
1 3
Ρ(Α Β)
8 8
 
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Τ ο μ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ανισοτικη σχεση .
Δ ο σ μ ε ν α :
Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Για την κ ≤ Ρ(Α ∩ Β) ≤ λ .
Λυνουμε το συστημα:
 
 
 
 
 
Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α)
Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) ...
0 Ρ(Α Β) 1 0 Ρ(Α)+ Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1
  
    
 


   
18
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Αενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : 0 < Ρ(Α) < 1.
1 1
Να αποδειχτει οτι : + 4 .
Ρ(Α) Ρ(Α')

Α π α ν τ η σ η
Ρ(Α') = 1 - Ρ(Α)
Αφου 0 < Ρ(Α) < 1 τοτε
0 < 1- Ρ(Α') < 1 -1 < - Ρ(Α') < 0 .
Ειναι
Ρ(Α) + Ρ(Α')
4 Ρ(Α) + Ρ(Α') 4Ρ(Α) Ρ(Α')
Ρ(Α) Ρ(Α')
Ρ(Α) + 1- Ρ(Α) 4Ρ(Α) [1- Ρ(
 
     

  
Ρ(Α') > 0
1 1
+ 4
Ρ(Α) Ρ(Α')

2
2
Α)] 1 4Ρ(Α)- 4[Ρ(Α)]
1+ 4[Ρ(Α)] - 4Ρ(Α) 0 , που αληθευει.
  
   2
[1- 2Ρ(Α)] 0
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Α,Β και α αριθμοςθετικος.
3 1 1
Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α,ωστε οι αριθμοι : , ,
α 3 α
να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστ
 
 οιχα.
Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ανισοτικης σχεσης .
Δ ο σ μ ε ν α :
Η ανισοτικη σχεση .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Με πραξεις στην προς αποδειξη ανισοτητα καταληγουμε σε ανισοτητα που αληθευ-
ει παντα .
Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π α ρ α μ ε τ ρ ο υ
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση παραμετρου
Δ ο σ μ ε ν α :
Αριθμοι με παραμετρο που αντιστοιχουν σε πιθανοτητες ενδεχομενων .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Απαιτουμε για τα ενδεχομενα Α και Β
Ρ(Α) ∈ (0, 1], Ρ(Β) ∈ (0, 1], Ρ(Α∩ Β) ∈ (0, 1], Ρ(Α∪ Β) ∈ (0, 1] .
 
 
 
Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α)
Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β)
  

  


η
 
 
 
Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)
Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)
  

  


αναλογα αν ειναι δοσμενη η Ρ(Α ∩ Β) η Ρ(Α ∪ Β) αντιστοιχα .
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
19
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Α π α ν τ η σ η
3 1 1
Θα εξετασουμε αν υπαρχει α > 0 ωστε : Ρ(Α) = , Ρ(Β) = , Ρ(Α Β) = .
α 3 α
3 1 1
Οι αριθμοι , , πρεπει να ανηκουν στο διαστημα (0,1] (πιθανοτητες ενδεχομενων).
α 3 α
Οποτε
3
0 < 1
α
1
0 < 1
3
0 <



α >0
0 < 3 α
0 < 1 3
0 < 1 α1
1
α
Πρεπει :
1 3
Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) α 3αα α
Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) 1 1 3 α
α 3
Πρεπει :
Ρ(Α Β) (0,1] 0 Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1
3 1 1
0 + - 1 0 < 9 + α - 3
α 3 α


 
 
   
  



      
      
       

      
  
α 3
α 3


3α 6 2α
3 1 1
Αρα, για οι αριθμοι , , ειναι οι πιθανοτητες των Α, Β, Α Β.
α 3 α
   

α 3
α 3


Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( ε ξ ι σ ω σ η 2 ο υ β α θ μ ο υ )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση πιθανοτητας ενδεχομενου η ανισοτικη σχεση ενδεχομενων .
Δ ο σ μ ε ν α :
Η εξισωση .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Βρισκουμε τις πιθανοτητες που συνδεονται με την εξισωση:
Λυνοντας την εξισωση 2ου βαθμου, αν ειναι ριζες της .
Χρησιμοποιωντας τυπους Vieta, αν το αθροισμα και γινομενο συνδεονται με
την εξισωση ( 1 2 1 2
β γ
ρ + ρ = - και ρ ρ =
α α
) .
Χρησιμοποιωντας τη διακρινουσα:
Δ > 0 : δυο ριζες ανισες
Δ = 0 : μια διπλη ριζα
Δ < 0 : καμμια πραγματικη ριζα
Συνεχιζουμε οπως στις προηγουμενες περιπτωσεις .
20
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
Aν Ρ(Α), Ρ(Β)ειναι ειναι η μικροτερη και η μεγαλυτερη ριζα της εξισωσης 6x -7x + 2 = 0
αντιστοιχα,τοτε :
Να βρειτε τις Ρ(Α), Ρ(Β).
1 1 2
Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β)
6 2 3
   
Α π α ν τ η σ η
2
2
1
1,2
2
Ειναι
Δ = (- 7) - 4 6 2 = 49 - 48 = 1 > 0
7 +1 2
x = =6x -7x + 2 = 0 : -(- 7) ± 1 7 ±1 12 3x = =
2 6 12 7 -1 1
x = =
12 2
1
P(A B)A B A P(A B) P(A) 2
2A B B P(A B) P(B)
P(A B)
3
   
    
    
 

     
   
      
2
P(B) =
3
1
P(A) =
2
Eιναι
1 2
P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- P(A B) P(A B) = + - P(A B)
2 3
7 7
P(A B) = - P(A B) 0 - P(A B) 1
6 6
Αρα
1
P(A B)A A B P(A) P(A B) 2
2B A B P(B) P(A B)
 




     
      
     
  
    
0 P(AUB) 1
1
P(A B)
2
1
Ρ(Α Β)
6
1 1
Ρ(Α Β)
6 2





 
P(A B)
3



  

2
P(A B)
3
 
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β)οι ριζες της εξισωσης :
x - 2P(A) x + P(A B) = 0 .
5
Aν P(Α Β) = ,να βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(Α), P(A B), P(A' B), P(Α' Β')
9

   
Α π α ν τ η σ η
Απ'το αθροισμα και γινομενο ριζων τριωνυμου ειναι :
Ρ(Α)+ Ρ(Β) = 2Ρ(Α)
Ρ(Α) Ρ(Β) = P(A B)

   2
Ρ(Α) = Ρ(Β)
[Ρ(Α)] = P(A B)
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
21
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
2 2
2
2
5 5 5
P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- P(A B) = 2Ρ(Α)-[P(A)] = 9[P(A)] -18Ρ(Α) + 5 = 0
9 9 9
5
και Ρ(Α) = (απορριπτεται αφου Ρ(Α) < 1)
3
1
[P(A)] =
3
1 1
Ρ(Β)- P(A B) = -
3 9
     
 
  
 
 
1
Ρ(Α) =
3
1
P(A B) = =
9
2
P(A' B) = =
9
P(Α'
1
Ρ[(A B)]' = 1- P(A B) = 1-
9
 
8
Β') = =
9
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
κ
κ
Δινεται ο κ με - 4 κ 3 και η εξισωση : (Ε ) : κx +(κ - 2)x + κ = 0.
Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση(Ε ) :
Α : εχει δυο πραγματικες και ισες ριζες
Β : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες
Γ :
  
δεν εχει πραγματικες ριζες.
Α π α ν τ η σ η
- 4 - 3 3
- 4 - 3 3
2 2 2
Αφου κ [- 4,3] και οριζει τις εξισωσεις (Ε ), (Ε ),..., (Ε ) τοτε
Ω = {(Ε ), (Ε ),..., (Ε )} και .
Ειναι, (κ - 2) - 4 κ κ = κ - 4κ + 4 - 4κ
Για να εχ

  2
Ν(Ω) = 8
Δ = = - 3κ - 4κ + 4
2
ει η εξισωση δυο πραγματικες και ισες ριζες, πρεπει :
- 3κ - 4κ + 4 = 0 2
κ = (απορριπτεται, κ ακεραιος)
3
Ν(Α)
Αρα Ν(Α) = 1 και
Ν(Ω)
Για να εχει η εξισωση δυο πρα


  


κ = - 2
Δ = 0
1
Ρ(Α) = =
8
2
γματικες και ανισες ριζες, πρεπει :
2
- 3κ - 4κ + 4 > 0 - 2 < κ < τοτε κ εχει τιμες και .
3
Ν(Β) 2
Αρα Ν(Β) = 2 και =
Ν(Ω) 8
Για να μην εχει η εξισωση πραγματικες ριζες,
 Δ > 0 - 1 0
1
Ρ(Β) = =
4
2
πρεπει :
2
- 3κ - 4κ + 4 < 0 (κ < - 2 η κ > ) τοτε .
3
Ν(Γ)
Αρα Ν(Γ) = 5 και
Ν(Ω)
 Δ < 0 κ = - 4,- 3,1,2,3
5
Ρ(Γ) = =
8
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
22
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Αενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω και|Ρ(Α)+ 2|-|Ρ(Α)- 3|= 8κ, κ .
1
Να δειχτει οτι :|κ| .
8


Α π α ν τ η σ η
Ρ(Α) - 2 Ρ(Α) + 2 0 |Ρ(Α) + 2|= Ρ(Α) + 2
Ειναι, 0 Ρ(Α) 1
Ρ(Α) 3 Ρ(Α)- 3 0 |Ρ(Α)- 3|= 3- Ρ(Α)
Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται :
Ρ(Α) + 2 -(3- Ρ(Α)) = 8κ Ρ(Α) + 2 - 3 + Ρ(Α) = 8κ 2Ρ(Α) = 8κ +1
Ομως, 0 Ρ(Α)
   
      
   
  
 
8κ + 1
Ρ(Α) = (1)
2
(1)
8κ +1 1 1
1 0 1 0 8 κ +1 2 - 1 8κ 1 - κ
2 8 8
            
1
|κ|
8

Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( α π ο λ υ τ η τ ι μ η )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη σχεσης .
Δ ο σ μ ε ν α :
Σχεση μεταξυ απολυτων τιμων πιθανοτητων .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Απ’τους τυπους λογισμου πιθανοτητων βρισκουμε τις τιμες των απολυτων στη
δοσμενη σχεση .
Βρισκουμε τις πιθανοτητες .
Απ’τους τυπους λογισμου πιθανοτητων, καταληγουμε στη ζητουμενη σχεση .
Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Πληθος, πιθανοτητα κλπ .
Δ ο σ μ ε ν α :
Στοιχεια προβληματος .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Θετουμε x εκεινο το ζητουμενο, που συνδεεται με δοσμενα του προβληματος .
Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις .
Απο γνωστη πιθανοτητα προσδιοριζουμε τον x .
Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα .
Στη περιπτωση δυο αγνωστων x,y, συμφωνα με τα προηγουμενα, καταληγουμε
σε συστημα ως προς x, y .
23
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2 1
Η Γ' ταξη ενος Λυκειου εχει 25 μαθητες - μαθητριες.Τα των μαθητων και το των μαθητρι -
5 5
ων επελεξαν τηθετικη κατευθυνση και οι υπολοιποι τηνθεωρητικη η τεχνολογικη κατευθυνση.
Επιλεγουμε τυχαια εναν υποψηφιο. Αν η πιθανοτητα να ειναι μαθητης που δεν επελεξε τηθε -
9
τικη κατευθυνση ειναι Ρ(Μ) = , να βρειτε :
25
Ποσοι ειναι οι μαθητες και ποσες οι μαθητριες.
Ποια η πιθανοτητα Ρ(Κ)ο υποψηφιος ειναι μαθητρια που δεν επελεξε τηθετικη κατευθυνση ;
Α π α ν τ η σ η
Εστω x o αριθμος τωνμαθητων.
2x
Οι μαθητες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος, ενω αυτοι που
5
3x
δεν επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος.
5
Οποτε η πιθανοτητα Ρ(Μ),"ο μαθητης να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι :
3x
9 Ν(Μ) 9 9 3x5Ρ(Μ) = = = = 9 3x = 45
25 Ν(Ω) 25 25 25 5
Αρα οι μαθητες ειναι 15 και οι μαθητριες 10.
Οι
     x = 15
1
μαθητριες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι :10 = 2, ενω αυτες που δεν
5
την επελεξαν ειναι : 10 - 2 = 8 . Οποτε η πιθανοτητα του ενδεχομενου,
"η μαθητρια να μην επελεξε τ

Ν(Κ)
η θετικη κατευθυνση", ειναι : Ρ(Κ) = .
Ν(Ω)

8
Ρ(Κ) =
25
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Σ'ενα διαγωνισμο ομορφιας 24 υποψηφιες εχουν καστανα μαλλια,ενω οι υπολοιπες
εχουν μαυρα η ξανθα.
1
Η πιθανοτητα να κερδισει το διαγωνισμο ξανθια ειναι ,ενω να κερδισει υποψηφια
2
με μαυρα μαλλια ειναι
1
.
6
Να βρειτε ποσες ειναι οι υποψηφιες.
Α π α ν τ η σ η
Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια.
Τοτε, Ν(Ω) = 24 + x + y.
Θεωρουμε τα ενδεχομενα :
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
24
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Α :"υποψηφια με καστανα μαλλια".
Β :"υποψηφια με ξανθα μαλλια".
Γ :"υποψηφια με μαυρα μαλλια".
1 1
Ειναι, Ρ(Β) = , Ρ(Γ) = , Ν(Β) = x, N(Γ) = y.
2 6
Οποτε
Ν(Β) 11 =Ρ(Β) =
Ν(Ω) 22
1 Ν(Γ)
Ρ(Γ) =
6 Ν(Ω)





x 1
=
2 = 24 + x + y x = 24 + y x = 24 + y24 + x + y 2
y1 6 = 24 + x + y x - 5y = - 24 24 + y - 5y = - 241
= =
6 24 + x + y 6
x = 24 + y
4y = 48
Aρα οι υποψηφιες ειναι : 24 + 36 + 12 .
x
y

    
        
   
  
 
 
 
x = 36
y = 12
= 72
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
ΣτοCD που εχετε αυτη τη στιγμη μπροστα σας, υπαρχουν ν αλυτες ασκησεις,αριθμημενες
απο το 1ως το ν, που επιμεληθηκαν δυο μαθηματικοι,ο Α και ο Β .
Καποιες απ'αυτες επιμεληθηκε ο μαθηματικος Α, καποιες ο Β και καποιες επιμεληθηκαν
μαζι ο Α και ο Β .
Ο μαθηματικος Αεχει επιμεληθει συνολικα τις πρωτες 50 ασκησεις,απ'τις οποιες μονο
τις πρωτες 30 επιμεληθηκε μονος του .
Η πιθανοτητα να εχουν επιμε
1
ληθει μαζι οι δυο μαθηματικοι μια ασκηση ειναι .
5
Να βρειτε ποσες ειναι οι αλυτες ασκησεις .
1
Αν η πιθανοτητα να εχει επιμεληθει μια ασκηση ο μαθηματικος Β μονος του ειναι ,
2
ο ισχυρισμος του οτι ασχοληθηκε με70 απ'τις ασκησεις ειναι σωστος;
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η μ ο ν ο Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Πληθος, πιθανοτητα κλπ .
Δ ο σ μ ε ν α :
Στοιχεια προβληματος .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις .
Μετατρεπουμε τα δοσμενα του προβληματος σε συμβολισμους πιθανοτητων .
Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα .
25
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Α π α ν τ η σ η
Ειναι
Ν(Α) = 50, Ν(Ω) = ν και Ν(Α Β) = 50 - 30 = 20.
1 Ν(Α Β) 1 20 1
Ρ(Α Β) = = =
5 Ν(Ω) 5 ν 5
1 1 1 1
Ρ(Β- Α) = Ρ(Β)- Ρ(Α Β) = Ρ(Β)- =
2 2 5 2
Ν(Β) 7 Ν(Β)
Ομως, Ρ(Β) = =
Ν(Ω) 10 100
Δηλαδη ο ισχυ


   
   
 
ν = 100
7
Ρ(Β) =
10
Ν(Β) = 70
ρισμος του ειναι .σωστος
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
26
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 1 η
Απο μια τραπουλα (52φυλλων) παιρνουμε διαδοχικα 3φυλλα και τα χαρακτηριζουμε
ως προς το χρωμα τους σε μαυρα(Μ) και κοκκινα(Κ).
Να βρειτε :
Το δειγματικο χωρο Ω του πειραματος .
Το ενδεχομενο Α : "

2 το πολυ μαυρα φυλλα" .
Το ενδεχομενο Β : " 2 τουλαχιστον μαυρα φυλλα" .
Το ενδεχομενο Γ = Α Β .
Α σ κ η σ η 2 η
Ριχνουμε το ζαρι δυοφορες και παρατηρουμε τις ενδειξεις του.
Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα :
Α : " πρωτη ενδειξη μεγαλυτερη απο την δευτερη" .
Β :" το αθροισμα των δυο ενδειξεων ειναι αρτιος αριθμο
    
ς" .
Γ : " η πρωτη ενδειξη περιττη και η δευτερη αρτια" .
Α Β, Α Γ, Β Γ, Α (Β Γ)
Α σ κ η σ η 3 η
Ριχνουμε τα ζαρια στο ταβλι (2ζαρια). Ποια ειναι η πιθανοτητα να φερουμε :
Α : " εξαρες" (και τα δυο ζαρια τον αριθμο 6).
Β :" ασσοδυο" (το ενα ζαρι τον αριθμο 1 και το αλλο τον αριθμο 2).
Γ : " ενα τουλαχιστον 5" .
Α σ κ η σ η 4 η
Απο τραπουλα 52 παιγνιοχαρτων παιρνουμε ενα φυλλο.
Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :
Α : " τοφυλλο ειναι κοκκινο"
Β : " τοφυλλο ειναι νταμα"
Γ : " φυλλο ειναι μαυρο"
Δ :" τοφυλλο ε ηιναι κοκκιν νταμα"
Ε :" τοφυλλο ειναι κοκκινο η νταμα"
Ζ :" τοφυλλο δεν ειναι κοκκινο η νταμα"
Α σ κ η σ η 5 η
3 5
Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α') και Ρ(Β') .
4 6
1 5
Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) .
4 12
 
  
27
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 6 η
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 1 4
Εστω Ω = {ω ,ω ,ω ,ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης .
1 1 1
Αν Ρ(ω ) = , Ρ(ω ) = και Ρ(ω ) = , να βρεθει η Ρ(ω ).
2 4 8
1 4
Αν Α = {ω ,ω }, Β = { ω ,ω }, Ρ(Α) = , Ρ(Β) = και Ρ(ω
4 5 1
2
1
) = ,
6
να υπολογισετε τη πιθανοτητα Ρ(ω ).
Α σ κ η σ η 7 η
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,5 ενω Ρ(Α Β) = 0,4 .
Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα .
Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :
Γ :" ν

α πραγματοποιηθει μονο το Α "
Δ : " να πραγματοποιηθει μονο το Β"
Ε : " να πραγματοποιηθει μονο ενα απο τα Α και Β"
Α σ κ η σ η 8 η
Ριχνουμε στον αερα ενα ζαρι που δεν ειναι αμεροληπτο.
1 1 1
Αν Ρ(1) = , Ρ(2) = Ρ(3) = Ρ(4) = και Ρ(6) = , τοτε :
12 6 4
Να βρεθει η Ρ(5).
Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " ενδειξη περιττη" .
Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Β : " ε νδειξη μεγαλυτερη του 4" .
Α σ κ η σ η 9 η
 


Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
3 2 1
Ρ(Α Β) = και Ρ(Β') = ενω Ρ(Α Β) = .
4 3 4
Να βρειτε τις πιθανοτητες :
Ρ(Β)
Ρ(Α)
Ρ(Α- Β)
Ρ(Β - Α)
Ρ(Α' Β')
Ρ[(Α- Β) (Β - Α)]
28
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 1 0 η
   
 
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
1 1 5
Ρ(Α') , Ρ(Β) και Ρ(Α Β) .
3 3 6
Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα .
1
Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β).
6
Α σ κ η σ η 1 1 η
Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω με
1 2
Ρ(Α') = και Ρ(Β') =
2 3
.
▪ Eξεταστε αν τα ενδεχομενα Α’ και Β’ ειναι ασυμβιβαστα.
▪ Αν
11
Ρ(Α' Β')=
12
 να υπολογισετε την Ρ(Α' Β') .
▪ Δειξτε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα.
▪ Να υπολογισετε τις πιθανοτητες Ρ(Α Β') και Ρ(Α Β')  .
Α σ κ η σ η 1 2 η
2 2
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω .
Να αποδειχτει οτι :
[Ρ(Α)] + [Ρ(Β)] - 2Ρ(Α Β) 2[Ρ(Α Β)- 1]  
Α σ κ η σ η 1 3 η
Η πιθανοτητα να επιλεγει ενας μαθητης στη θεατρικη ομαδα του σχολειου του ειναι
1/6 ενω η πιθανοτητα να μην επιλεγει στην ομαδα μουσικης ειναι 4/5, ενω η πιθανο-
τητα να επιλεγει και στις δυο ομαδες ειναι 1/10.
Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων:
▪ Να επιλεγει τουλαχιστον σε μια απο τις δυο ομαδες.
▪ Να επιλεγει μονο στην θεατρικη ομαδα.
▪ Να επιλεγει μονο στην ομαδα μουσικης.
▪ Να επιλεγει μονο σε μια απο τις δυο ομαδες.
▪ Να μην επιλεγει σε καμια ομαδα.
▪ Να επιλεγει σε μια το πολυ ομαδα.
29
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 1 4 η
Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και α > 0.
Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α,ωστε οι αριθμοι :
3 8 1
, 2- και
α α α
να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α,Β και Α Β αντιστοιχα.
Α σ κ η σ η 1 5 η
2 2
Μια ταξη εχει 30 αγορια και κοριτσια. Τα των αγοριων και τα των κοριτσιων
3 3
εχουν κινητο τηλεφωνο .
Αν η πιθανοτητα να ειναι κοριτσι που εχει κινητο ειναι 0,2 να βρεθουν :
Ποσα ειναι τα αγορια της ταξης .
Ποια η πιθανοτητα το ατομο να ειναι κοριτσι η να εχει κινητο .
Α σ κ η σ η 1 6 η
Εστω Α,B ασυμβιβαστα ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω ωστε Α Β = Ω .
1 4
Αν Ρ(Α)- Ρ(Β) = και 2Ρ(Α)+ Ρ(Β) = , θ > 0, τοτε να βρεθουν :
θ θ
Ρ(Α), Ρ(Β) και θ.

Α σ κ η σ η 1 7 η
Σε ενα συνεδριο μαθηματικων συμμετεχουν Ελληνες, Γαλλοι και Αγγλοι μαθηματικοι.
Απο τους συνεδρους επιλεγεται τυχαια ενας για τη θεση του συντονιστη του συνεδ-
ριου.
Αν στο συνεδριο συμμετεχουν 25 Ελληνες, ενω οι πιθανοτητες να επιλεγει Γαλλος ει-
ναι 1/3 και Αγγλος ειναι 1/4, να βρεθει το πληθος των συνεδρων.
Α σ κ η σ η 1 8 η

2
κ
κ
Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με |κ| 7 και η εξισωση :
(Ε ) : (κ - 1)x -(3κ - 2)x + 2κ + 1 = 0.
Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση(Ε ) :
Α : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες .
Β : εχει δυο ομοσημες και ανισες ριζες .
Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες .
30
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 1 9 η
Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω .
Ισχυει :|Ρ(Α) + 3|-|Ρ(Α)- 3|= κ + 3, κ .
1
Να δειχτει οτι :|κ| .
2


Α σ κ η σ η 2 0 η
2
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β)οι ριζες της εξισωσης :
P(A B)
x -(3P(A)- Ρ(Β))x + = 0 .
5
8
Aν P(Α' Β') = , να βρεθουν οι πιθανοτητες :
9
Ρ(Α), P(A B), P(A' B), P(Α Β).


  
Α σ κ η σ η 2 1 η
 
  
Εστω Α,Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω.
Να δειξετε οτι :
P(A B) Ρ(Α)+ Ρ(Β)- 1
P(A B Γ) Ρ(Α)+ Ρ(Β)+ Ρ(Γ)- 2
Α σ κ η σ η 2 2 η
Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} και τα ενδεχομενα:
Α = {ω1 , ω2} και Β = {ω2, ω3}.
Αν
5 1 2 1
Ρ(Α)= , Ρ(Β)= , Ρ(Α Β)= και Ρ(Α-Β)=
12 3 3 12
 να βρεθουν οι πιθανοτητες των απλων
ενδεχομενων ω1, ω2, ω3 και ω4.
Α σ κ η σ η 2 3 η
2
Ενας μαθηματικος εχει στον υπολογιστη του x ευκολες ασκησεις, 3x + 12 μετριας δυσκολιας
και 3x δυσκολες ασκησεις.
Ο καθηγητης επιλεγει τυχαια μια ασκηση για να τη βαλει σ'ενα test.
Θεωρουμε το ενδεχομενο Α : "επιλεγει ευκολη ασκηση".
Να βρειτε :
την πιθανοτητα Ρ(Α)σε συναρτηση με τον x.
για ποια τιμη του x η Ρ(Α)γινεται μεγιστη.
ποια ειναι η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α).
31
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 2 4 η
 
 
 
2
Να εξεταστει αν η πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α μπορει να εκφραστει απ'τη συναρ -
5 1 3
τηση : f(x) = 2x - x + , x - , . Aν ακομη ισχυει :
8 4 4
3|1- 2Ρ(Α)|-|3Ρ(Α)- 1|= 2κ, κ , να βρεθουν οι τιμες των κ και

 Ρ(Α).
Α σ κ η σ η 2 5 η
 
 
 

2 2
Εστω Α και Β - Αενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω.
Να δειξετε οτι :
1
0 Ρ(Α)Ρ(Α')
4
1
[Ρ(Α)] + [Ρ(Α')] 1
2
Αν Ρ(Α Β)- Ρ(Α Β) = 1, να δειξετε :
Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α)+ Ρ(Β) = 1
Α σ κ η σ η 2 6 η
Μετα απο ενα τροχαιο ατυχημα το 40% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινο-
τερο επαρχιακο νοσοκομειο, το 50% των επιβατων διακομιστηκαν σε νοσοκομειο της
Αθηνας, ενω το 15% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκο-
μειο και κατοπιν λογω της σοβαρο-τητας του τραυματισμου τους κριθηκε αναγκαια η
μεταφορα τους σε νοσοκομειο της Αθηνας.
Αν 12 απο τους επιβατες δεν τραυματιστηκαν καθολου τοτε ποσους επιβατες συνολι-
κα ειχε το οχημα;
Α σ κ η σ η 2 7 η

2
Εστω Α,B ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και ισχυουν
η Ρ(Α) ειναι λυσητης εξισωσης 5x + 9x - 2 = 0
3
Ρ(A Β) = 2Ρ(Α) = Ρ(Β)
2
να υπολογιστουν οι Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Α- Β).
Α σ κ η σ η 2 8 η
2
Εστω Ω = {1,2,...,10} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα α -
πλα ενδεχομενα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απλο ενδεχομενο α Ω.
Αν f(x) = x + 4x +α, να βρειτε τη πιθανοτητα η εξισωση f(x) = 0 να

μην εχει πραγματι -
κες ριζες.
32
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 2 9 η



2
Εστω Ω = {1,2,3,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος πουαποτελειται απο ισοπιθανα
x + y = 3
απλα ενδεχομενα και το συστημα , με α Ω.
(α + 2)x + 3αy = 1
Να βρειτε τη πιθανοτητα τουενδεχομενου Α : " το συστημα α

δυνατο" .
Α σ κ η σ η 3 0 η
Για τους υποψηφιους της Τεχνολογικης κατευθυνσης το 2006 γνωριζουμε οτι :
Το 30% απετυχε στηΦυσικη .
Το 40% απετυχε στα Μαθηματικα .
Το 20% απετυχε στηΦυσικη και στα Μαθηματικα .
Επιλεγουμε τυχαια ενα απ'τους υποψηφιους. Βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :
Α :" ο υποψηφιος απετυχε τουλαχιστον σ'ενα απο τα δυο μαθηματα" .
Β :" ο υποψηφιος απετυχε μονο στα Μαθηματικα" .
Γ :" ο υποψηφιος απετυχε μονο σ'ενα απο τα δυο μαθηματα" .
Α σ κ η σ η 3 1 η
Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω και Ρ(Α), Ρ(Β) ριζες της εξισωσης:
6x3 + 5x2 – 12x + 4 = 0 με Ρ(Α) < Ρ(Β) να δειξετε οτι:
▪ Α, Β οχι ασυμβιβαστα ▪
1 1
Ρ(Α Β)
6 2
   ▪
2
Ρ(Α Β) 1
3
  
Α σ κ η σ η 3 2 η
Εστω δειγματικος χωρος που αποτελειται απο το συνολο των ριζων της εξισωσης
(x – 10) (x – 11) … (x – 20) = 0.
Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα και λ ∈ Ω, να βρεθει η πιθανο-
τητα η εξισωση y 2 – 8y + λ = 0 να μην εχει πραγματικες ριζες.
33
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς
Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει:
Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα.
Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε
Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Α π ο δ ε ι ξ η
(1)
Ν(Α) = κ γιατι διαφορετικα τα Α, Β
Αν τοτε Α Β = κ + λ
Ν(Β) = λ δεν θα ηταν ασυμβιβαστα
Δηλαδηειναι : Ν(Α Β) = κ + λ = Ν(Α) + Ν(Β) (1)
Οποτε
Ν(Α Β) Ν(Α) + Ν(Β) Ν(Α
= =
Ν(Ω) Ν(Ω)
  
  
  


Ρ(Α Β)
) Ν(Β)
+ =
Ν(Ω) Ν(Ω)
= Ρ(Α) + Ρ(Β)
Α π ο δ ε ι ξ η
Α Α' Ω
Ρ(Ω) 1
Αφου Α Α' = (Α, Α'ειναι ασυμβιβαστα),
απ'τον απλοπροσθετικο νομοπροκυπτει
Ρ(Α Α') = Ρ(Α) + Ρ(Α')
Ρ(Ω) = Ρ(Α) + Ρ(Α')
1 = Ρ(Α) + Ρ(Α')
 

 
 


Ρ(Α') = 1- Ρ(Α)
Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ
Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α’ (ασυμβιβαστα) ισχυει:
Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α)
Α Β
Ω
Α’
Ω
Α
34
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς
Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:
Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Α π ο δ ε ι ξ η
Για δυο ενδεχομενα Α και Βεχουμε :
αφου στο αθροισμα το πληθος των στοιχειων
του υπολογιζεται δυο φορες.
Αν διαιρ
N(A B) = N(A) +
εσουμε ταμελη
N(B)- N(A B) (1)
N(A) + N(B)
της(1)με
A B
N(
Ν(Ω)προκυπτει :
 

A B) N(A) N(B) N(A B)
= + -
N(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω)
Ετσι
Ν(Α Β) N(A) N(B) N(A B)
= + - =
Ν(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω)
 
 
Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 
Α π ο δ ε ι ξ η
Αφου Α Β τοτε Ν(Α) Ν(Β)
οποτε,διαιρωνταςμε Ν(Ω) > 0
Ν(Α) Ν(Β)
Ν(Ω) Ν(Ω)
 
 
Ρ(Α) Ρ(Β)
Α π ο δ ε ι ξ η
Αφου Α Β και Α Βειναι ασυμβιβαστα και
Α = (Α Β) (Α Β), τοτε
Ρ(Α) = Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)
 
  
   
Ρ(Α- Β) = Ρ(Α)- Ρ(Α Β)
Π ι θ α ν ο τ η τ α Υ π ο σ υ ν ο λ ο υ
Αν Α ⊆ Β τοτε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)
Α Β
Ω
Β
Ω
Α
Π ι θ α ν ο τ η τ α Δ ι α φ ο ρ α ς
Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:
Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)
Α Β
Ω
35
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ρ | κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ
36
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
0 1 . Υ π ο σ υ ν ο λ α τ ο υ
▪ Το συνολο των φυσικων αριθμων:
= { 0, 1, 2, 3, . . . }
▪ Το συνολο των ακεραιων αριθμων:
= { . . . , - 2, - 1, 0, 1, 2, . . . }
▪ Το συνολο των ρητων αριθμων:
= { ρ | ρ =
μ
ν , με μ ∈ ℤ και ν ∈ ℤ * }
▪ Το συνολο των αρρητων αριθμων:
{ x | το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα }
▪ Το συνολο των πραγματικων αριθμων:
ειναι η ενωση του συνολου των ρητων και αρρητων αριθμων.
▪ Το συνολο των περιττων αριθμων:
{ 1, 3, 5, . . . } η { 2ν + 1 | οπου ν  }
▪ Το συνολο των αρτιων αριθμων:
{ 0, 2, 4, . . . } η { 2ν | οπου ν  }
0 2 . Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ
ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
Αντιμεταθετικη α + β = β + α α ∙ β = β ∙ α
Προσεταιριστικη α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ α ∙ ( β ∙ γ ) = ( α ∙ β ) ∙ γ
Επιμεριστικη α ∙ ( β + γ ) = α ∙ β + α ∙ γ
Ουδετερο στοιχειο α + 0 = α α ∙ 1 = α
Αντιθετος (προσθεση)
Αντιστροφος (πολ/σμος)
α + ( - α ) = 0 α ∙
1
α
= 1, α ≠ 0
Σ υ ν ε π ε ι ε ς
▪
α = β α + γ = β + δ
γ = δ α γ = β δ
 
 
  
▪ α ∙ 0 = 0
▪ α ∙ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0
▪ α ∙ ( - 1 ) = - α
▪ ( - α ) ∙ ( - β ) = α ∙ β
▪
β α ± βα
± = , γ 0
γ γ γ

▪
1 1 1
= , α β 0
α β α β
  

▪ Η αφαιρεση οριζεται μεσω της προσθεσης: α – β = α + ( - β )
▪ Η διαιρεση οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου: α : β = α ∙
1
, β 0
β

Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
▪
α ± γ = β ± γ
α = β
α γ = β γ, γ 0

 
  
▪ α ∙ β = 0 ⇔ α = 0 η β = 0
▪ ( - α ) ∙ β = - α ∙ β
▪ - ( α + β ) = - α - β
▪
α δ ± β γγα
± = , β δ 0
β δ β δ
 
 

▪
γ α γα
= , β δ 0
β δ β δ

  

37
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
0 3 . Α ν α λ ο γ ι ε ς
▪ Ο ρ ι σ μ ο ι
α
Λ ο γ ο ς τ ο υ α ω ς π ρ ο ς β λεγεται τοπηλικο .
β
γα
Α ν α λ ο γ ι α λεγεται ηισοτητα δυο λογων,εστω : =
β δ
Οι αριθμοι α,β,γ,δ λεγονται ο ρ οι της αναλογιας.
Οι αριθμοι α,δ λεγονται α κ ρ οι οροι της αναλογιας.
Οι αριθμοι β,γ λεγονται μ ε σ οι οροι της αναλογιας.
βα
Στηπεριπτωσηπου ηαναλογια ειναι τηςμορφης = ο αριθμος β
β γ
λεγεται μ ε σ ο ς α ν α λ ο γ ο ς των α και γ .
▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Α ν α λ ο γ ι ω ν
γα
= α δ = β×γ
β δ
βγα α
= =
β δ γ δ
γ γα δ
= =
(β δ 0
β δ β α
γα
)
(β γ δ 0)
(α β δ 0)
=
β
 
  


 



(β δ 0)
[β
α + β γ + δ
=
δ β δ
γ γ α + γα α
= = = δ (β + δ) 0]
(β δ 0, α β
β δ β δ β + δ
α + βγ α + γα
= =
β δ α - β γ
, γ δ
- δ
)
 
  
 

 


0 4 . Δ υ ν α μ ε ι ς
▪ Ο ρ ι σ μ ο ι
▪ Για καθε α ∈ ℝ και ν  *
+
οριζουμε ν - ο σ τ η δ υ ν α μ η τ ο υ α τον αριθμο
α ν με : ν
νπαραγοντες
α = α α ... α   , ν > 1
▪ Για καθε α ∈ ℝ * και ν  *
οριζουμε : α º = 1 και - ν
ν
1
α =
α
▪ Αν α *
 +
και μ  , ν *
+
 οριζουμε :
μ
ν μν
α = α
▪ Αν α *
 +
και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυναμη α x και ειναι α x > 0 .
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
38
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Δ υ ν α μ ε ω ν
μ μ + ν μ μ - ν μ μ νν ν ν
ν
ν ν ν ν
ν
α α = α α : α = α ( α ) = α
α α
( α β) = α β ( ) =
β β


 
ν
- ν
ν
2 κ 2 κ 2 κ + 1 2 κ + 1
βα
( ) =
β α
( - α ) = α ( - α ) = - α
0 5 . Τ α υ τ ο τ η τ ε ς
▪ ( α ± β )² = α² ± 2 ∙ α ∙ β + β² ( χρησιμη : α² + β² = ( α + β )² - 2 ∙ α ∙ β )
▪ α² - β² = ( α + β )( α – β )
▪ ( α + β + γ )² = α² + β² + γ² + 2 ∙ α ∙ β + 2 ∙ α ∙ γ + 2 ∙ β ∙ γ
▪ α³ ± β³ = ( α + β )( α² ∓ 2 ∙ α ∙ β + β² ) = ( α ± β )³ ∓ 3 ∙ α ∙ β ∙ ( α ± β )
▪ ( α ± β )³ = α³ ± 3 ∙ α²∙ β + 3 ∙ α ∙ β² ± β³
▪ ( α + β ) ⁴ = α ⁴ + 4 ∙ α³∙ β + 6 ∙ α²∙ β² + 4 ∙ α ∙ β³ + β ⁴
▪ ( α – β ) ⁵ = α ⁵ - 5 ∙ α ⁴ ∙ β + 10 ∙ α³∙ β² - 10 ∙ α² ∙ β³ + 5 ∙ α ∙ β ⁴ - β ⁵
▪ α ν – β ν = ( α – β )( α ν – 1 + α ν – 2 ∙ β + . . . + α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 )
▪ α ν - β ν = ( α + β )( α ν – 1 - α ν – 2 ∙ β + . . . - α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ), (ν αρτιος φυσικος)
▪ α ν + β ν = ( α + β )( α ν – 1 - α ν – 2 ∙ β + . . . - α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ), (ν περιττος φυσικος)
▪ α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ =
1
2
 [ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ]
▪ α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ =
1
2
 [ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ]
▪ α³ + β³ + γ³ - 3 ∙ α ∙ β ∙ γ = ( α + β + γ )( α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ ) =
=
1
2
 ( α + β + γ )[ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ]
▪ α³ + β³ + γ³ = 3 ∙ α ∙ β ∙ γ, αν α + β + γ = 0 η α = β = γ (Euler)
0 6 . Δ ι α τ α ξ η Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν
▪ Ο ρ ι σ μ ο ι
▪ Ο αριθμος α λεγεται μ ε γ α λ υ τ ε ρ ο ς απ’τον αριθμο β , αν και μονο η διαφο-
ρα α - β ειναι θετικος αριθμος ( α - β > 0 ) .
Συμβολιζουμε: α > β
Ο αριθμος α βρισκεται δ ε ξ ι ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων.
- ∞ β α + ∞
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
39
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
▪ Ο αριθμος α λεγεται μ ι κ ρ ο τ ε ρ ο ς απ’τον αριθμο β , αν και μονο η διαφορα
α - β ειναι αρνητικος αριθμος ( α - β < 0 ) .
Συμβολιζουμε: α < β
Ο αριθμος α βρισκεται α ρ ι σ τ ε ρ ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων.
- ∞ α β + ∞
▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Δ ι α τ α ξ η ς
▪ Αν α > β και β > γ, τοτε: α > γ.
▪ Αν α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ.
▪ Αν γ > 0, τοτε: α > β
α γ > β γ
βα
>
γ γ
  

 


▪ Αν γ < 0, τοτε: α > β α γ < β γ   .
▪ Αν α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ.
▪ Αν α > β και γ > δ, τοτε: α ∙ γ > β ∙ δ (α, β, γ, δ θετικοι αριθμοι).
▪ Αν α, β θετικοι και ν  *
, τοτε: α > β ⇔ α ν > β ν
▪ Δ ι α σ τ η μ α τ α
Πρακτικα δ ι α σ τ η μ α ειναι ενα τμημα της ευθειας x’x των πραγματικων αριθ-
μων δηλαδη ενα συμπαγες συνολο αριθμων. Τα διαστηματα οριζονται με την βο-
ηθεια μιας ανισωσης και στον παρακατω πινακα βλεπουμε τα ειδη αυτων.
ανισωση διαστημα ( ακρα α , β ) συμβολισμος
α ≤ x ≤ β κλειστο διαστημα [α , β]
α < x < β ανοικτο διαστημα (α , β)
α < x ≤ β ανοικτο αριστερα, κλειστο δεξια (α , β]
α ≤ x < β κλειστο αριστερα, ανοικτο δεξια [α , β)
α ≤ x κλειστο αριστερα, μη φραγμενο
ανω
[α , + ∞)
α < x ανοικτο αριστερα, μη φραγμενο
ανω
(α , + ∞)
x ≤ β μη φραγμενο κατω, κλειστο δεξια (- ∞, β]
x < β μη φραγμενο κατω, ανοικτο δεξια (- ∞, β)
x  το συνολο των πραγματικων (- ∞, + ∞)
0 7 . Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η
▪ Ο ρ ι σ μ ο ς
Για καθε πραγματικο αριθμο α οριζουμε την απολυτη τιμη του ως:
α, αν α 0
|α| =
- α, αν α < 0
 


Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
40
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
▪ Σ υ ν ε π ε ι ε ς Ο ρ ι σ μ ο υ
▪ | α | ≥ 0, η απολυτη τιμη του α ειναι μη αρνητικος αριθμος.
▪ - | α | ≤ α ≤ | α |
▪ 2
α = | α |, | - α | = | α |, | ν
α | = ν
|α| , | α | 2 = α 2
▪ | α ∙ β | = | α | ∙ |β|
▪
α |α|
| | =
β |β|
με β ≠ 0
▪ | | α | - | β | | ≤ | α ± β | ≤ | α | + | β |
▪ | α | < | β | ⇔ α ² < β ²
▪ | α | + | β | = 0 ⇔ α = 0 και β = 0
▪ Αν θ > 0 ισχυουν:
1. | x | < θ ⇔ - θ < x < θ
2. | x | > θ ⇔ x < - θ η x > θ
▪ η εξισωση | x | = θ ⇔
x = ± θ αν θ > 0
x = 0 αν θ = 0
αδυνατη αν θ < 0





▪ Αν Α( α, 0 ) και Β( 0, β ) σημεια του x’x τοτε d( Α, Β ) = | α - β | .
▪ Π ε ρ ι ο χ η Α ρ ι θ μ ο υ
0
0 0 0 0
0 0 0
0
0
(
<
(x x
Για x και ρ > 0, ισχυει :
|x - x |< ρ x x - ρ, x + ρ) x - ρ < x < x + ρ
Οι αριθμοι x πουικανοποιουν τησχεση x - x | ρ ειναι τα σημεια του διαστηματος
- ρ, + ρ)πουεχει κεντρο το x και ακτινα
|


 
ρμοναδες
ρμοναδεςd(x, x )ο
ο ο ο
x' x
x - ρ x x x - ρ
ρ.
 
0
Στην περιπτωσηπου x = 0,ειναι :|x|< ρ x (- ρ, ρ) - ρ < x < ρ  

0
0 0 0 0 0
0
Για x και ρ > 0,ισχυει :
|x - x |> ρ x (- , x - ρ) (x + ρ,+ ) x < x - ρ η x > x + ρ
Οι αριθμοι x πουικανοποιουν τησχεση|x - x |> ρ ειναι τα σημεια Μ(x) του αξονα
x'x που απεχουν απ'το σημειο Κ(

     
0
0
d(x, x )
ρμοναδες ρμοναδες
ο ο ο
x'
x x - ρ x x - ρ
x ) αποστασημεγαλυτερητου ρ.
0
x
Στην περιπτωσηπου x = 0,ειναι : |x|> ρ x < - ρ η x > ρ



0 8 . Ρ ι ζ ε ς
▪ Ο ρ ι σ μ ο ς
Για καθε θετικο πραγματικο αριθμο α και θετικο ακεραιο αριθμο ν, υπαρχει μονα-
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
41
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
δικος θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ωστε x ν = α .
Ο αριθμος x ονομαζεται θ ε τ ι κ η ν ι ο σ τ η ρ ι ζ α τ ο υ α και συμβολιζεται
ν
α .
Δηλαδη: x ν = α ⇔ x = ν
α με α, x ≥ 0 ν  *
+
.
▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς
▪
μ
ν μν
α = α
▪ ν ν να β = α β 
▪ ν ν
α = α
▪ νν να β = α β 
▪
μ
μν ν
( α ) = α
▪
ν
ν
ν
α α
=
ββ
▪
μ ν μν
α = α

▪
ν μ μν
α = α

Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
42
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ θ ε ι α α π ο δ ε ι ξ η
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη σχεσης ( Σ υ μ π ε ρ α σ μ α ).
Δ ο σ μ ε ν α :
Σχεση που ισχυει ( Υ π ο θ ε σ η ) .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Ξεκινουμε απ’την υποθεση .
Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων
και σε κανονες λογικης .
Καταληγουμε στο συμπερασμα .
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Υ Π ΟΘ Ε Σ Η ΣΥ Μ Π Ε Ρ Α Σ Μ Α
Αν α,β,γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι να δειξετε οτι : α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3.
Α π α ν τ η σ η
Αφου οι αριθμοι α, β, γ εναι διαδοχικοι φυσικοι τοτε:
β = α + 1 και γ = α + 2
Οποτε:
α + β + γ = α + ( α + 1 ) + ( α + 2 ) = 3α + 3 = 3( α + 1 ) = 3κ (οπου κ = α + 1)
Αρα α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3.
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
Υ Π ΟΘΕ Σ Η ΣΥ Μ Π Ε Ρ Α Σ Μ Α
Ανα ακεραιος και α αρτιος να δειξετε οτι : α ειναι αρτιος.
Α π α ν τ η σ η
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Μ ε θ ο δ ο ς : Σ ε α τ ο π ο α π ο δ ε ι ξ η
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη σχεσης ( Σ υ μ π ε ρ α σ μ α ).
Δ ο σ μ ε ν α :
Σχεση που ισχυει ( Υ π ο θ ε σ η ) .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Υποθετουμε οτι δ ε ν ισχυει το συμπερασμα .
Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων
και σε κανονες λογικης .
Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ) .
Αρα ισχυει το συμπερασμα .
Αυτη η μεθοδος χρησιμοποιειται για συμπερασματα, για τα οποια εχουμε ακριβως δυο
επιλογες π.χ. ρητος – αρρητος, αρτιος – περιττος, κλπ .
43
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Εστω α δ ε ν ειναι αρτιος, δηλαδη α περιττος της μορφης α = 2κ + 1 , κ .
Εχουμε : α 2 = (2κ + 1) 2 = 2( 2
λ
2κ + 2κ

) + 1 = 2λ + 1, λ .
Δηλαδή α 2 περιττος, που ειναι α τ ο π ο, αφου ο α 2 ειναι αρτιος.
Οποτε ο ακεραιος α ειναι α ρ τ ι ο ς .
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2 2
x - 1 x - 2x
Για ποιες τιμες του x οριζονται τα κλασματα Α = και Β = ;
x(x - 2) (x - 1)(x + 1)
Να δειξετε οτι οι Α , Β ειναι αντιστροφοι .
Α π α ν τ η σ η
2 2
Πρεπει
x (x - 2) 0 x 0 και x 2
(x -1)(x + 2) 0 x 1 και x - 2
x -1 x - 2x (x -1)(x +1) x(x - 2)
= = = αρα
x(x - 2) (x -1)(x +1) x(x - 2) (x -1)(x +1)

    
  
   
  
- { - 2,0, 1, 2 }x
Α Β 1 Α, Β αντιστροφοι .
Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν τ ι θ ε τ ο ι - Α ν τ ι σ τ ρ ο φ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη αντιθετων - αντιστροφων αριθμων .
Δ ο σ μ ε ν α :
Δυο αριθμοι .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Αν οι δυο αριθμοι ειναι παραστασεις, εστω Α και Β :
Βρισκουμε για ποιες τιμες της παραμετρου (γραμμα της παραστασης) εχει νο-
ημα (οριζεται) .
Για τους αντιθετους δειχνουμε οτι ισχυει: Α + Β = 0 .
Για τους αντιστροφους δειχνουμε οτι ισχυει: Α ∙ Β = 1 .
Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Κ ο ι ν ο ς Π α ρ α γ ο ν τ α ς )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .
Δ ο σ μ ε ν α :
Αλγεβρικο αθροισμα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Βγαζουμε κοινο παραγοντα απ’ολους τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος :
απο αριθμους (σ’ολους τους ορους) βγαζουμε τον μεγιστο κοινο διαιρετη
απο γραμματα (σ’ολους τους ορους) βγαζουμε το κοινο γραμμα με το μικρο-
τερο εκθετη .
Με τη βοηθεια των πραξεων και των ιδιοτητων τους και των ιδιοτητων των
δυναμεων φτιαχνουμε το γινομενο .
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
44
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2 5 4 3 2
Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 6α β - 2αβ +12α β .
Α π α ν τ η σ η
2
2 5 4 3 2 2 3 2 2
Μ.Κ.Δ.των αριθμων σ'ολους τους ορους : 2
Κοινο γραμμαμεμικροτερο εκθετησ'ολους τους ορους :α β
Ετσι
Α = 6 α β - 2 α β +12 α β 2 α β (3 α β -β + 6 α )

           = .
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = αx + βx -αy - βy .
Α π α ν τ η σ η
= αx +βx - αy -βy =
= (αx +βx)-(αy +βy) =
= x(α +β)- y(α +β) =
=
Α
(x - y)(α + β)
Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Ο μ α δ ο π ο ι η σ η )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .
Δ ο σ μ ε ν α :
Αλγεβρικο αθροισμα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Ομαδοποιουμε τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος ανα δυο η ανα τρεις κλπ
(αρα οι οροι του αλγεβρικου αθροισματος ειναι αρτιου πληθους) .
Βγαζουμε κοινο παραγοντα απο καθε μια ομαδα και ο δευτερος ορος απο καθε-
μια απο αυτες τις παραγοντοποιησεις πρεπει να ειναι ο ιδιος, εστω κ .
Βγαζουμε κοινο παραγοντα τον κ απ’ολο το αλγεβρικο αθροισμα .
Ετσι το αλγεβρικο αθροισμα μετσχηματιζεται σε κ ∙ μ.
Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Δ ι α φ ο ρ α τ ε τ ρ α γ ω ν ω ν )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .
Δ ο σ μ ε ν α :
Αλγεβρικο αθροισμα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Προσδιοριζουμε τους α, β στην παρασταση μορφης Α = α 2 - β 2 .
Χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα : α 2 - β 2 = ( α - β )( α + β ) .
45
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
8 4 2 10
Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 9κ x - 4λ y .
Α π α ν τ η σ η
8 4 2 10
4 2 2 5 2 4 2 5
Ειναι
= 9κ x - 4λ y =
= (3κ x ) -(2λy ) = (α = 3κ x και β = 2λy )
= 4 2 5 4 2 5
Α
(3κ x - 2λy )(3κ x - 2λy )
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
9 3 6 12 6 3
Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις :
Α = 8κ x - λ y , Β = 27μ +ν
Α π α ν τ η σ η
9 3 6 12
3 3 2 4 3
3 2 4 3 2 3 2 4 2 4 2
3 2 4
3 2 4
( α = 2 κ x και β = λ y
Ειναι
= 8 κ x - λ y =
= (2 κ x) -(λ y ) =
= (2 κ x - λ y )[(2 κ x) + (2 κ x)(λ y ) + (λ y ) ] =
= (2 κ x - λ y (4
)
)
  
  
        
  


 
Α
6 2 3 2 4 4 8
6 3
2 3 3
2 2 2 2 2
2 4 2 2
2
(
κ x + 2 κ x λ y + λ y ) =
= 27μ + ν =
= (3μ ) + ν =
= (3μ + ν)[(3μ ) - 3μ ν + ν ] =
= (3μ + ν)(9μ - 3μ ν + ν )
α = 3 μ και β = ν )
     



Β
Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Α θ ρ ο ι σ μ α - Δ ι α φ ο ρ α Κ υ β ω ν )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .
Δ ο σ μ ε ν α :
Αλγεβρικο αθροισμα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Προσδιοριζουμε τους α, β στις παραστασεις μορφης Α = α 3 – β 3, Β = α 3 + β 3 .
Χρησιμοποιουμε τις ταυτοτητες :
α 3 – β 3 = ( α – β )( α 2 - αβ + β 2 )
α 3 – β 3 = ( α – β )( α 2 - αβ + β 2 )
46
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 3κ - 5κ - 2.
Α π α ν τ η σ η
2
2
= 3κ - 2 =
= 3κ - 2
(κ - 2) (κ -= 3κ +
= (
-
3
5κ
- 6κ + κ
κ +1)
2)
(κ - 2)
Α
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
8 4 4 4
Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = κ x + 4λ y .
Α π α ν τ η σ η
8 4 4 4
4 2 2 2 2 2 4 2 2 2
= κ x + 4λ y =
= (κ x ) +(2λ y ) = (λειπει ο ορος 2 (κ x ) (2λ y ) για να εχουμε ταυτοτητα) 
Α
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Τ ε χ ν α σ μ α δ ι α σ π α σ η ς ο ρ ο υ )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .
Δ ο σ μ ε ν α :
Αλγεβρικο αθροισμα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Συνηθως χρησιμοποιουμε αυτη τη μεθοδο σε παραστασεις τριων ορων (γενικα
περιττου πληθους ορων) με μορφη τριωνυμου .
Κανουμε διασπαση ενος ορου σε δυο ορους (στη περιπτωση τριωνυμου τον με-
σαιο ορο) .
Χρησιμοποιουμε τη μεθοδο της ομαδοποιησης .
Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η (Τ ε χ ν α σ μ α Π ρ ο σ θ α φ α ι ρ ε σ η ς)
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .
Δ ο σ μ ε ν α :
Αλγεβρικο αθροισμα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Σ’αυτη τη περιπτωση εχουμε παρασταση μορφης ταυτοτητας που της λειπει ενας
ορος .
Προσθετουμε και αφαιρουμε τον ορο που λειπει .
Γραφουμε τη ταυτοτητα απ’το αναπτυγμα που δημιουργηθηκε .
Συνεχιζουμε οπως προηγουμενα (συνηθως διαφορα τετραγωνων) .
47
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
2 2 2
4 2 2 2 2 2
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
α + 2αβ +β
4 2 2 2 4 2
= (α +β
2
)
2
+ 2 (κ x ) (2λ y ) - 2 (κ x ) (2= (κ x ) +(2λ y ) =
= (κ x ) + 2 (κ x ) (2λ y ) +(2λ y ) -(2κ xλy) = (α = 3κ x , β = 2λy)
λ y )

   

4 2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
= (κ x + 2λy) -(2κ xλy) = (διαφορα τετραγωνων)
= (κ x + 2λy + 2κ xλy)(κ x + 2λy - 2κ xλy)
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2ν + 1
Αν α, β, γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι αριθμοι,δειξτε οτι : Α = α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3.
Να δειξετε οτι ο αριθμος 4 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3,αν νθετικος ακεραιος αριθμος.
Α π α ν τ η σ η
Αφου οι αριθμοι α,β, γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι αριθμοι, τοτε : β = α + 1και γ = α + 2 .
Ετσι
= α +β + γ =
= α + α + 1+ α + 2 =
= 3α + 3 =
= 3 (α + 1)
Αρα Α = α +β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3.
Ισχυ

Α
ν ν ν -1 ν - 2 ν - 2 ν -1
(1)
2ν + 1 2ν + 1 2ν + 1
2ν 2ν -1 2ν -1 2ν
2ν 2ν -1
ει : α -β = α + α β + ...+ αβ +β (1)
Οποτε
4 -1 = 4 -1 =
= (4 -1)(4 + 4 1+ ...+ 4 1 + 1 ) =
= 3(4 + 4 1+ ...+ 4
 
 2ν -1 2ν
το θετουμε κ (οπου κ θετικος ακεραιος)
2ν + 1
1 + 1 ) = 3 κ
Αρα ο αριθμος 4 -1 ειναι πολλαπλασιο του 3.
 
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Μ ε θ ο δ ο ς : Π ο λ λ α π λ α σ ι ο Α ρ ι θ μ ο υ
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη πολλαπλασιου αριθμου του αριθμου κ .
Δ ο σ μ ε ν α :
Αλγεβρικη παρασταση .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Συμφωνα με τις προηγουμενες μεθοδους παραγοντοποιησης δειχνουμε οτι η
ζητουμενη παρασταση ειναι γινομενο της μορφης Α = Β ∙ κ (Β = αλγεβρικη πα-
ρασταση) .
48
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστωοι αριθμοι x,y,z που ειναι αναλογοι των αριθμων 1,2,3 αντιστοιχα.
Αν 3x + 2y - 2z = 20 (1),τοτε να βρεθουν οι αριθμοι x,y,z.
Α π α ν τ η σ η
(1)
Ειναι (απο τιςιδιοτητες των αναλογιων)
2y 3x + 2y - 2zx 3x 3x - 2z 20
= = = = = = = = = = = 20
1 1×3 3 4 - 6 3 + 4 - 6 1
Αρα
x
= 20
1
y
= 20 Eπαληθευση : = 3 20 + 2 40 - 2 60 = 60 + 8
2
z
=
z - 2z
3 - 2×3
y 2y
2 2×
3
2
20

 
  
    
 
 


x = 20
y = 40 3x + 2y - 2z
z = 60
0 -120 = 20.
Μ ε θ ο δ ο ς : Μ ε ρ ι σ μ ο ς σ ε μ ε ρ η α ν α λ ο γ α
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση αριθμων πχ x, y, z .
Δ ο σ μ ε ν α :
Αλγεβρικη σχεση μεταξυ των x, y, z και οι αναλογια τους με δοσμενους αριθμους,
εστω α, β, γ αντιστοιχα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Γραφουμε την ισοτητα κλασματων:
yx z
= =
α β γ
.
Μετασχηματιζουμε τα πιο πανω κλασματα, ωστε το αθροισμα των αριθμητων
τους να ειναι συμφωνο με τη δοσμενη σχεση .
Παιρνουμε την ιδιοτητα αναλογιων:
y x + y + zx z
= = = = κ
α β γ α +β + γ
.
Λυνουμε τις:
yx z
= κ, = κ, = κ
α β γ
Κανουμε την επαληθευση της δοσμενης σχεσης με το αποτελεσμα .
Μ ε θ ο δ ο ς : Τ α υ τ ο τ η τ α E u l e r
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Eξισωση της μορφης α3 + β3 + γ3 = 0 .
Δ ο σ μ ε ν α :
Η εξισωση .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Δειχνουμε οτι α + β + γ = 0 .
Χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα Euler : Αν α + β + γ = 0 τοτε: α3 + β3 + γ3 = 3αβγ .
Λυνουμε τις εξισωσεις: ▪ α = 0 ▪ β = 0 ▪ γ = 0
49
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
3 3 3
Να λυθει ηεξισωση : (x + 2) +(4x - 12) +(10 - 5x) = 0 .
Α π α ν τ η σ η
3
3 3 3
33
Eιναι
(x + 2) + (4x -12) + (10 - 5x) = x + 2 + 4x -12 + 10 - 5x = 0
Ετσι
(x + 2) + (4x -12) + (10 - 5x) = 0
x + 2 = 0
3(x + 2)(4x -12)(10 -
(Ισχυει
5x) = 0 4x -12 =
:αν x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xy
0
10 - 5x = 0
z)


 
  
 
 
x = - 2
x = 3
x = 2
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
2 2 (α - β)
Να συγκρινεται τους αριθμους : Α = α -αβ + β και Β = .
2
Α π α ν τ η σ η
2
2 2
2 2 2
2
(α -β)
= α - αβ +β - =
2
2α - 2αβ + 2β -(α -β)
= =
2
2α -2αβ
=
Α- Β
2 2
+ 2β - α +2 2
2 2
-β
=
2
α +β
= 0
2
Αρα
Α - Β 0 Α Β
Α > Β αν α β η α = β 0
Α = Β αν α = β = 0

  
 
Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ γ κ ρ ι σ η α ρ ι θ μ ω ν
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Συγκριση αριθμων .
Δ ο σ μ ε ν α :
Οι δυο αριθμοι, εστω α και β .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Γραφουμε την διαφορα α - β .
Αν α - β > 0 τοτε α > β
Αν α - β < 0 τοτε α < β
50
Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
 
 
 
22 2
2 2 2
Να αποδειξετε οτι :
α + β α + β βα
α + β + γ + 3 2(α + β + γ) + 2, αν α > 0 και β > 0
2 2 β α
  
Α π α ν τ η σ η
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
α +β α +β α +β α +β + 2αβ
4α + 4β 2α + 2β + 4αβ
2 2 2 4
2α + 2β - 4αβ 0 2(α +β - 2αβ) 0 2(α +β) 0 , που αληθευει.
α +β + γ + 3 2(α +β + γ) α +β + γ + 2α + 2β + 2γ
(α -
3
2α + + (1)
 
      
 
    
   
2 2 2 2 2
α > 0
2 2 2 2 2
β > 0
β - 2β + ) + (γ - 2γ + ) 0 (α -1) + (β -1) + (γ -1) 0 , που αληθευει.
β βα α
+ 2 αβ + αβ 2 αβ α +β 2αβ α +β - 2αβ 0 (α -β) 0, αληθ
1 1
ευει.
β α β α
  
           
Μ ε θ ο δ ο ς : Α λ η θ η ς η π ρ ο φ α ν η ς α ν ι σ ο τ η τ α
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ανισοτητας .
Δ ο σ μ ε ν α :
Η ανισοτητα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Ξεκινουμε απ’την δοσμενη ανισοτητα .
Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων
και σε κανονες λογικης .
Καταληγουμε σε αληθη η προφανη ανισοτητα .
Μ ε θ ο δ ο ς : Σ ε α τ ο π ο α π ο δ ε ι ξ η
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ανισοτητας .
Δ ο σ μ ε ν α :
Η ανισοτητα .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Υποθετουμε οτι δ ε ν ειναι αληθης η δοσμενη ανισοτητα .
Παιρνουμε την αντιστοιχη, που θεωρουμε αληθη της δοσμενης ανισοτητας .
Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων
και σε κανονες λογικης .
Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ) .
Αρα ειναι αληθης η αρχικη ανισοτητα .
51
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   άλγεβρα α' λυκείου

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης με κομψή λύση
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης με κομψή λύσηΑσκήσεις σχολικού βιβλίου Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης με κομψή λύση
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης με κομψή λύσηΜάκης Χατζόπουλος
 
Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017
Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017
Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017Μάκης Χατζόπουλος
 
Άλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη Δείγμα
Άλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη  ΔείγμαΆλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη  Δείγμα
Άλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη ΔείγμαΘανάσης Δρούγας
 
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15panagiotisca
 
θέματα & λύσεις_2015-ευκλείδης
θέματα & λύσεις_2015-ευκλείδηςθέματα & λύσεις_2015-ευκλείδης
θέματα & λύσεις_2015-ευκλείδηςChristos Loizos
 
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17Μάκης Χατζόπουλος
 
Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015
Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015
Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015Christos Loizos
 
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseisChristos Loizos
 
Themata exetaseon-mathimatika-b-gymaniou
Themata exetaseon-mathimatika-b-gymaniouThemata exetaseon-mathimatika-b-gymaniou
Themata exetaseon-mathimatika-b-gymaniouChristos Loizos
 
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017Μάκης Χατζόπουλος
 
257 ενδοσχολικά θέματα Β Λυκείου Κατεύθυνσης 2019
257 ενδοσχολικά θέματα Β Λυκείου Κατεύθυνσης 2019257 ενδοσχολικά θέματα Β Λυκείου Κατεύθυνσης 2019
257 ενδοσχολικά θέματα Β Λυκείου Κατεύθυνσης 2019Μάκης Χατζόπουλος
 
Them mat gen_c_hmer_170619
Them mat gen_c_hmer_170619Them mat gen_c_hmer_170619
Them mat gen_c_hmer_170619Christos Loizos
 
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseisChristos Loizos
 

La actualidad más candente (20)

Epanalhptika b lykeiou kat shs
Epanalhptika b lykeiou kat shsEpanalhptika b lykeiou kat shs
Epanalhptika b lykeiou kat shs
 
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης με κομψή λύση
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης με κομψή λύσηΑσκήσεις σχολικού βιβλίου Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης με κομψή λύση
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης με κομψή λύση
 
Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017
Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017
Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017
 
Άλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη Δείγμα
Άλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη  ΔείγμαΆλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη  Δείγμα
Άλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη Δείγμα
 
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
 
θέματα & λύσεις_2015-ευκλείδης
θέματα & λύσεις_2015-ευκλείδηςθέματα & λύσεις_2015-ευκλείδης
θέματα & λύσεις_2015-ευκλείδης
 
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
 
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
 
Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015
Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015
Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015
 
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
 
αντώνιος σπυριδάκης
αντώνιος σπυριδάκηςαντώνιος σπυριδάκης
αντώνιος σπυριδάκης
 
Themata exetaseon-mathimatika-b-gymaniou
Themata exetaseon-mathimatika-b-gymaniouThemata exetaseon-mathimatika-b-gymaniou
Themata exetaseon-mathimatika-b-gymaniou
 
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
 
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
 
60
6060
60
 
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
 
Pithanotites
PithanotitesPithanotites
Pithanotites
 
257 ενδοσχολικά θέματα Β Λυκείου Κατεύθυνσης 2019
257 ενδοσχολικά θέματα Β Λυκείου Κατεύθυνσης 2019257 ενδοσχολικά θέματα Β Λυκείου Κατεύθυνσης 2019
257 ενδοσχολικά θέματα Β Λυκείου Κατεύθυνσης 2019
 
Them mat gen_c_hmer_170619
Them mat gen_c_hmer_170619Them mat gen_c_hmer_170619
Them mat gen_c_hmer_170619
 
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
 

Destacado

Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometryAgeosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometryChristos Loizos
 
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakisAgeo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakisChristos Loizos
 
γεωμετρια α λυκειου
γεωμετρια   α  λυκειουγεωμετρια   α  λυκειου
γεωμετρια α λυκειουChristos Loizos
 
22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseis
22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseis22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseis
22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseisChristos Loizos
 
Aalg sxol 2016-2017_papagrigorakis
Aalg sxol 2016-2017_papagrigorakisAalg sxol 2016-2017_papagrigorakis
Aalg sxol 2016-2017_papagrigorakisChristos Loizos
 
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρης
σχολικο βοήθημα άλγεβρας  α λυκείου   κουστέρηςσχολικο βοήθημα άλγεβρας  α λυκείου   κουστέρης
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρηςChristos Loizos
 
τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   γεωμετρία α' λυκείουτσακαλάκος τάκης   γεωμετρία α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείουChristos Loizos
 
άλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
άλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλουάλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
άλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλουChristos Loizos
 
Διαγώνισμα Α΄ Λυκείου (απόλυτα και ρίζες) - Σχ. έτος 2015 - 16
Διαγώνισμα Α΄ Λυκείου (απόλυτα και ρίζες) - Σχ. έτος 2015 - 16Διαγώνισμα Α΄ Λυκείου (απόλυτα και ρίζες) - Σχ. έτος 2015 - 16
Διαγώνισμα Α΄ Λυκείου (απόλυτα και ρίζες) - Σχ. έτος 2015 - 16Μάκης Χατζόπουλος
 

Destacado (12)

Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometryAgeosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometry
 
Algebra a lykeiou
Algebra a lykeiouAlgebra a lykeiou
Algebra a lykeiou
 
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakisAgeo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis
 
γεωμετρια α λυκειου
γεωμετρια   α  λυκειουγεωμετρια   α  λυκειου
γεωμετρια α λυκειου
 
22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseis
22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseis22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseis
22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseis
 
Aalg sxol 2016-2017_papagrigorakis
Aalg sxol 2016-2017_papagrigorakisAalg sxol 2016-2017_papagrigorakis
Aalg sxol 2016-2017_papagrigorakis
 
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρης
σχολικο βοήθημα άλγεβρας  α λυκείου   κουστέρηςσχολικο βοήθημα άλγεβρας  α λυκείου   κουστέρης
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρης
 
θεωρια.αλγα2
θεωρια.αλγα2θεωρια.αλγα2
θεωρια.αλγα2
 
τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης   γεωμετρία α' λυκείουτσακαλάκος τάκης   γεωμετρία α' λυκείου
τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου
 
άλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
άλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλουάλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
άλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
 
Euclidean geometry
Euclidean geometryEuclidean geometry
Euclidean geometry
 
Διαγώνισμα Α΄ Λυκείου (απόλυτα και ρίζες) - Σχ. έτος 2015 - 16
Διαγώνισμα Α΄ Λυκείου (απόλυτα και ρίζες) - Σχ. έτος 2015 - 16Διαγώνισμα Α΄ Λυκείου (απόλυτα και ρίζες) - Σχ. έτος 2015 - 16
Διαγώνισμα Α΄ Λυκείου (απόλυτα και ρίζες) - Σχ. έτος 2015 - 16
 

Similar a τσακαλάκος τάκης άλγεβρα α' λυκείου

Γ Λυκειου μαθηματικα γενικης παιδειας πιθανότητες
Γ Λυκειου μαθηματικα γενικης παιδειας πιθανότητες   Γ Λυκειου μαθηματικα γενικης παιδειας πιθανότητες
Γ Λυκειου μαθηματικα γενικης παιδειας πιθανότητες Θανάσης Δρούγας
 
Μαθηματικά Α΄ Λυκείου - Πραγματικοί αριθμοί
Μαθηματικά Α΄ Λυκείου - Πραγματικοί αριθμοίΜαθηματικά Α΄ Λυκείου - Πραγματικοί αριθμοί
Μαθηματικά Α΄ Λυκείου - Πραγματικοί αριθμοίalohaaagroup
 
τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light
τακης τσακαλακος   τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)lightτακης τσακαλακος   τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light
τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)lightTakis Tsakalakos
 
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdfΓέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdfΓιάννης Πλατάρος
 
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
ThemataeisagwgikwnmathimatikwnThemataeisagwgikwnmathimatikwn
ThemataeisagwgikwnmathimatikwnChristos Loizos
 
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησειςα' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησειςΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 2ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 2οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 2ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 2οVassilis Markos
 
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_teamDiagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_teamΜάκης Χατζόπουλος
 
Them mat gen_c_hmer_plus_lyseis
Them mat gen_c_hmer_plus_lyseisThem mat gen_c_hmer_plus_lyseis
Them mat gen_c_hmer_plus_lyseisChristos Loizos
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6 Dimitris Psounis
 

Similar a τσακαλάκος τάκης άλγεβρα α' λυκείου (20)

Γ Λυκειου μαθηματικα γενικης παιδειας πιθανότητες
Γ Λυκειου μαθηματικα γενικης παιδειας πιθανότητες   Γ Λυκειου μαθηματικα γενικης παιδειας πιθανότητες
Γ Λυκειου μαθηματικα γενικης παιδειας πιθανότητες
 
Μαθηματικά Α΄ Λυκείου - Πραγματικοί αριθμοί
Μαθηματικά Α΄ Λυκείου - Πραγματικοί αριθμοίΜαθηματικά Α΄ Λυκείου - Πραγματικοί αριθμοί
Μαθηματικά Α΄ Λυκείου - Πραγματικοί αριθμοί
 
τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light
τακης τσακαλακος   τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)lightτακης τσακαλακος   τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light
τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light
 
F
FF
F
 
F
FF
F
 
G gymnasioy 2014_τελικο
G  gymnasioy 2014_τελικοG  gymnasioy 2014_τελικο
G gymnasioy 2014_τελικο
 
πραξεις.pdf
πραξεις.pdfπραξεις.pdf
πραξεις.pdf
 
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdfΓέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
 
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
ThemataeisagwgikwnmathimatikwnThemataeisagwgikwnmathimatikwn
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
 
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησειςα' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
 
συνδυαστική
συνδυαστικήσυνδυαστική
συνδυαστική
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 2ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 2οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 2ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 2ο
 
Typologio mathimatikwn
Typologio mathimatikwnTypologio mathimatikwn
Typologio mathimatikwn
 
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_teamDiagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
 
5.3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
5.3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ5.3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
5.3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
 
Erotiseis theorias a gymn
Erotiseis theorias a gymnErotiseis theorias a gymn
Erotiseis theorias a gymn
 
Them mat gen_c_hmer_plus_lyseis
Them mat gen_c_hmer_plus_lyseisThem mat gen_c_hmer_plus_lyseis
Them mat gen_c_hmer_plus_lyseis
 
Sangaku net
Sangaku netSangaku net
Sangaku net
 
SANGAKU.pdf
SANGAKU.pdfSANGAKU.pdf
SANGAKU.pdf
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
 

Más de Christos Loizos

Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgousFylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgousChristos Loizos
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_lThemata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_lChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_upEktimhsh vasevn 2oy_ep_up
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_upChristos Loizos
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_fThemata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_fChristos Loizos
 
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
Odhgies panelladikwn sta_mathimatikaOdhgies panelladikwn sta_mathimatika
Odhgies panelladikwn sta_mathimatikaChristos Loizos
 
Prosomoiwsh kalamari sarafis
Prosomoiwsh kalamari sarafisProsomoiwsh kalamari sarafis
Prosomoiwsh kalamari sarafisChristos Loizos
 
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021Christos Loizos
 
Prosomoiwsh maios sarafis
Prosomoiwsh maios sarafisProsomoiwsh maios sarafis
Prosomoiwsh maios sarafisChristos Loizos
 
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseisChristos Loizos
 
451themataxristostsatsos
451themataxristostsatsos451themataxristostsatsos
451themataxristostsatsosChristos Loizos
 
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021Christos Loizos
 
Epanaliptika themata stergiou_2021
Epanaliptika themata stergiou_2021Epanaliptika themata stergiou_2021
Epanaliptika themata stergiou_2021Christos Loizos
 
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021Christos Loizos
 
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
Mathimatika prosanatolismou papanikolaouMathimatika prosanatolismou papanikolaou
Mathimatika prosanatolismou papanikolaouChristos Loizos
 

Más de Christos Loizos (20)

Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgousFylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_lThemata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
 
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_upEktimhsh vasevn 2oy_ep_up
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
 
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
Ektimhsh vasevn 4oy_epEktimhsh vasevn 4oy_ep
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
 
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
Ektimhsh vasevn 3oy_epEktimhsh vasevn 3oy_ep
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
 
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
Ektimhsh vasevn 2oy_epEktimhsh vasevn 2oy_ep
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
 
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
Ektimhsh vasevn 1oy_epEktimhsh vasevn 1oy_ep
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_fThemata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
 
Lyseis panel 2021
Lyseis panel 2021Lyseis panel 2021
Lyseis panel 2021
 
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
Odhgies panelladikwn sta_mathimatikaOdhgies panelladikwn sta_mathimatika
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
 
Prosomoiwsh kalamari sarafis
Prosomoiwsh kalamari sarafisProsomoiwsh kalamari sarafis
Prosomoiwsh kalamari sarafis
 
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
 
Prosomoiwsh maios sarafis
Prosomoiwsh maios sarafisProsomoiwsh maios sarafis
Prosomoiwsh maios sarafis
 
Prosomoiwsh 1 xenos
Prosomoiwsh 1 xenosProsomoiwsh 1 xenos
Prosomoiwsh 1 xenos
 
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
 
451themataxristostsatsos
451themataxristostsatsos451themataxristostsatsos
451themataxristostsatsos
 
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
 
Epanaliptika themata stergiou_2021
Epanaliptika themata stergiou_2021Epanaliptika themata stergiou_2021
Epanaliptika themata stergiou_2021
 
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
 
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
Mathimatika prosanatolismou papanikolaouMathimatika prosanatolismou papanikolaou
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
 

Último

1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣChrisa Kokorikou
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx7gymnasiokavalas
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36dimperist
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxActforclimate
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxSimos Skouloudis
 
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxPantelis Bouboulis
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptxMARIAPSARROU4
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxssuser78b997
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΣάσα Καραγιαννίδου - Πέννα
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΔήμητρα Τζίνου
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxssuser6a63b0
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxlabriniderbederi
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 

Último (16)

1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
 
Συνέντευξη
Συνέντευξη                                            Συνέντευξη
Συνέντευξη
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
 
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 

τσακαλάκος τάκης άλγεβρα α' λυκείου

  • 1. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α’ Λ υ κ ε ι ο υ
  • 2. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Θ ε ω ρ ι α Μ ε θ ο δ ο ς Π ρ ο π ο ν η σ η Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Θ ε ω ρ ι α Μ ε θ ο δ ο ς Π ρ ο π ο ν η σ η Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Θ ε ω ρ ι α Μ ε θ ο δ ο ς Π ρ ο π ο ν η σ η Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς Θ ε ω ρ ι α Μ ε θ ο δ ο ς Π ρ ο π ο ν η σ η Π ρ ο ο δ ο ι Θ ε ω ρ ι α Μ ε θ ο δ ο ς Π ρ ο π ο ν η σ η Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Θ ε ω ρ ι α Μ ε θ ο δ ο ς Π ρ ο π ο ν η σ η Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς Μ ε λ ε τ η Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Θ ε ω ρ ι α Μ ε θ ο δ ο ς Π ρ ο π ο ν η σ η Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α
  • 4. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr 1. Πιθανοτητες 2. Πραγματικοι Αριθμοι 3. Εξισωσεις 4. Ανισωσεις 5. Προοδοι 6. Συναρτησεις 7. Μελετη Συναρτησεων Με πολυ μερακι Για τους καλους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2015 H δικη μου αποψη για την βοηθεια των μαθητων 4
  • 5. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ 5
  • 6. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr 1 . Ο ρ ι σ μ ο ι ▪ Π ε ι ρ α μ α Τ υ χ η ς λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα, οσες φορες και να επαναληφθει κατω απο τις ιδιες συνθηκες. ▪ Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ω : ενος πειραματος τυχης ονομαζεται το συνολο ολων των δυνατων αποτελεσματων που μπορουν να εμφανιστουν κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη αν ω1, ω2, … , ων τα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος, τοτε ο δειγμα- τικος χωρος ειναι : Ω = { ω1, ω2, … , ων }. ▪ Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο Α ενος πειραματος τυχης, λεγεται το συνολο που εχει για στοιχεια του ενα η περισ- σοτερα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος. Δηλαδη το ενδεχομενο Α ειναι ενα υποσυνολο του δειγματικου χωρου Ω : Α ⊆ Ω Tο πληθος των στοιχειων ενος ενδεχομενου Α συμβολιζεται με Ν(Α). ▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι η σ η Ε ν ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Ενα ενδεχομενο Α πραγματοποιειται οταν το αποτελεσμα του πειραματος ειναι στοιχειο του ενδεχομενου. Τα στοιχεια του ενδεχομενου Α λεγονται και ε υ ν ο ϊ κ ε ς π ε ρ ι π τ ω σ ε ι ς για την πραγματοποιηση του. ▪ Δ ι α κ ρ ι σ η τ ω ν Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν ▪ Α π λ ο ( η σ τ ο ι χ ε ι ω δ ε ς ) ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που εχει μονο ε ν α στοιχειο. ▪ Σ υ ν θ ε τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που εχει δ υ ο η π ε ρ ι σ σ ο τ ε ρ α στοιχεια. ▪ Β ε β α ι ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που πραγματοποιειται π α ν τ α (δηλαδη σε καθε εκτελεση του πει- ραματος) και τ α υ τ ι ζ ε τ α ι με τον δειγματικο χωρο Ω. ▪ Α δ υ ν α τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που δεν πραγματοποιειται π ο τ ε και ταυτιζεται με το κενο συνο- λο ∅ . Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 6
  • 7. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr 2 . Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α ( Α , Β ) ▪ Σ υ μ π λ η ρ ω μ α ▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α ’ ▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι : “ Οχι Α’’ η ‘’αντιθετο του Α’’ η ‘’συμπληρωμα του Α’’ ▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α. ▪ Ε ν ω σ η ▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α ∪ Β ▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι : ‘‘Α ενωση Β’’ η ‘’Α η Β’’ ▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται τουλαχιστον ενα απ'τα ενδεχομενα Α η Β. ▪ Τ ο μ η ▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α ∩ Β ▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι : ‘‘Α τομη Β’’ η ‘’Α και Β’’ ▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιουνται συγχρονως τα ενδεχομενα Α και Β. ▪ Δ ι α φ ο ρ α Α - Β ▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α ∩ Β ‘ η Α - Β ▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι : ‘’Διαφορα του Β απ’το Α’’ ▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α αλλα οχι το ενδεχομενο Β. ▪ Δ ι α φ ο ρ α Β - Α ▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α’ ∩ Β η Β - Α ▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι : ‘’Διαφορα του Α απ’το Β’’ ▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Β αλλα οχι το ενδεχομενο Α. Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α’ Ω Α Α Β Ω Α Β Ω Α Β Ω Α Β Ω 7
  • 8. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr ▪ Σ υ μ π λ η ρ ω μ α ▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : (Α ∩ Β‘) ∪ (Α’ ∩ Β) η (Α – Β) ∪ (Β – Α) ▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι : "Διαφορα του Β απ’το Α ’’ η ‘’Διαφορα του Α απ’το Β’’ ▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται μονο το ενδεχομενο Α η μονο το ενδεχομενο Β. ▪ Α σ υ μ β ι β α σ τ α Δυο ενδεχομενα Α, Β λεγονται α σ υ μ β ι β α σ τ α η ξ ε ν α μεταξυ τους η αμοιβαιως αποκλειομενα, αν ισχυει : Α ∩ Β = ∅ Δηλαδη αυτα που δ ε ν μπορουν να πραγματοποιη- θουν σ υ γ χ ρ ο ν ω ς . Το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται ω ∈ Α Το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται ω ∈ Α ' η ω ∉ Α Ενα τουλαχιστον απ’τα Α και Β πραγματοποιειται ω ∈ Α ∪ Β Πραγματοποιειται και το Α και το Β ω ∈ Α ∩ Β Δεν πραγματοποιειται ουτε το Α ουτε το Β ω ∈ (Α ∪ Β)' Πραγματοποιειται μονο το Α ω ∈ Α – Β η ω ∈ Α ∩ Β' Αν πραγματοποιειται το Α, τοτε πραγματοποιειται και το Β Α ⊆ Β Πραγματοποιειται μονο ενα απ'τα Α και Β ω ∈ (Α ∩ Β') ∪ (Α' ∩ Β) Πραγματοποιειται το πολυ ενα απ'τα Α και Β ω ∈ (Α ∩ Β)' η ω ∈ Α' ∪ Β' 3 . Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ▪ Ε ι σ α γ ω γ η Στην εκτελεση ενος πειραματος τυχης δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτε- λεσμα και κατα συνεπεια δεν γνωριζουμε αν θα πραγματοποιηθει καποιο ενδεχο- μενο Α του δειγματικου χωρου. Σε πολλα ομως πειραματα εχουμε ενα ‘’μετρο προσδοκιας’’ για την πραγματοποι- ηση ενος ενδεχομενου, π.χ. στη ριψη αμεροληπτου ζαριου η προσδοκια μας να ελ- θει ‘’εξαρι’’ ειναι μια στις εξι. Αυτο το ‘’μετρο προσδοκιας’’ πραγματοποιησης του ενδεχομενου λεγεται π ι θ α - ν ο τ η τ α τ ο υ Α και συμβολιζεται Ρ(Α). Επομενως σε καθε ενδεχομενο Α μπορουμε να αντιστοιχισουμε την πιθανοτητα του Ρ(Α) να πραγματοποιηθει . Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α Β Ω Α Β Ω 8
  • 9. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr ▪ Σ χ ε τ ι κ η Σ υ χ ν ο τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Λεγεται το πηλικο κ ν , οπου ν ειναι ο αριθμος εκτελεσεων του πειραματος και κ ο αριθμος που δειχνει ποσες φορες πραγματοποιηθηκε το ενδεχομενο Α. Ειναι δηλαδη : A κ f = ν Ειδικα για τα απλα ενδεχομενα {ω1} , {ω2}, … , {ων} του δειγματικου χωρου Ω, που πραγματοποιουνται κ1 , κ2 , … , κν φορες αντιστοιχως σε ν επαναληψεις του πει- ραματος, οι σχετικες τους συχνοτητες ειναι : 1 1 κ f = ν , 2 2 κ f = ν , … , λ λ κ f = ν Ο ν o μ ο ς τ ω ν μ ε γ α λ ω ν α ρ ι θ μ ω ν “ Η σχετικη συχνοτητα ενος ενδεχομενου σταθεροποιειται γυρω απο μια συγκεκρι- μενη αριθμητικη τιμη, καθως ο αριθμος των επαναληψεων του πειραματος αυξα- νει απεριοριστα”. ▪ Ι σ ο π ι θ α ν α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Τα απλα ενδεχομενα ω1 , ω2 , … , ων ενος δειγμ. χωρου Ω = { ω1 , ω2 , … , ων } λε- γονται ι σ ο π ι θ α ν α , οταν εχουν την ιδια συχνοτητα εμφανισης κατα την εκτελε- ση του πειραματος . Δηλαδη η σχετικη συχνοτητα για καθ’ ενα απο αυτα ειναι 1 ν . Για ενα συνθετο ενδεχομενο Α = { α1 , α2 , … , ακ } που αποτελειται απο κ ισοπιθανα ενδεχομενα η σχετικη συχνοτητα του εiναι : A 1 2 κ f = f +f +...+f = κ φορες 1 1 1 κ + + ... + = ν ν ν ν ▪ Κ λ α σ σ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω τα απλα ισοπιθανα ενδεχομενα ω1 , ω2 , … , ων ενος δειγματικου χωρου Ω = { ω1 , ω2 , … , ων }. Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α : ειναι το πηλικο Ρ(Α) = πληθος ευνοικων περιπτωσεων του Α πληθος δυνατων περιπτωσεων N(A) = N(Ω) Ι δ ι ο τ η τ ε ς ▪ Ρ(ω i) = 1 ν , i = 1, 2, … , ν ▪ Ρ(Ω) = 1 ▪ Ρ(∅) = 0 ▪ 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 ▪ Α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω 1 2 ν Ω = {ω ,ω ,...,ω } ενας δειγματικος χωρος με πεπερασμενο πληθος στοιχειων. Σε καθε απλο ενδεχομενο {ω i} αντιστοιχιζουμε εναν πραγματικο αριθμο, που τον συμβολιζουμε με P(ω i), ετσι ωστε να ισχυουν ▪ 0 ≤ P(ω i) ≤ 1 ▪ P(ω 1) + P(ω 2) + ... + P(ω ν) = 1 . Τον αριθμο P(ω i), ονομαζουμε π ι θ α ν ο τ η τ α του ενδεχομενου {ω i}. Ως πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α = { α 1, α 2, ... , α κ } ≠ ∅ οριζουμε το αθροισμα Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 9
  • 10. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ) , δηλαδη Ρ(Α) = Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ) Ως πιθανοτητα του αδυνατου ενδεχομενου ∅ οριζουμε τον αριθμο Ρ(∅) = 0 . Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς : ▪ Αν Ρ(ω i) = 1 ν , i = 1, 2, … , ν , εχουμε τον κλασικο ορισμο της πιθανοτητας. Τοτε : ▪ H πιθανοτητα του βεβαιου ενδεχομενου Ω ειναι Ρ(Ω) = 1 . ▪ H πιθανοτητα του ενδεχομενου Α = { α1 , α2 , … , ακ } ειναι N(A) κ P(A) = = N(Ω) ν ▪ Οταν εχουμε ενα δειγματικο χωρο Ω = { ω1 , ω2 , … , ων } και χρησιμοποιουμε τη φραση “ παιρνουμε τυχαια ενα στοιχειο του Ω ”, εννοουμε οτι ολα τα δυνατα α- ποτελεσματα ειναι ισοπιθανα με πιθανοτητα Ρ(ω i) = 1 ν , i = 1, 2, … , ν . 4 . Κ α ν ο ν ε ς Λ ο γ ι σ μ ο υ Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν ▪ Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει: Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα. Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) ▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α’ (ασυμβιβαστα) ισχυει: Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α) ▪ Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β) ▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Υ π ο σ υ ν ο λ ο υ Αν Α ⊆ Β τοτε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β) ▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Δ ι α φ ο ρ α ς Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β) ▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ μ ε τ ρ ο δ ι α φ ο ρ α ς Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: Ρ(Α - Β) ∪ Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α ∩ Β) Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 10
  • 11. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εχουμε δυο κουτια α και β.Το κουτι α περιεχει μια κοκκινη(Κ) μπαλα, μια ασπρη(Α) και μια μαυρη(Μ),ενωτο κουτι β περιεχει μια ασπρη(Α) και μια μαυρη(Μ) μπαλα . Επιλεγουμε ενα κουτι στητυχη και στησυνεχεια μια μπαλα απ'αυτο. Να γραψετε τοδειγματικο χωροτου πειραματος . Α π α ν τ η σ η ▫ H κατασταση του πειραματος φαινεται στο δεντροδιαγραμμα: Ο δειγματικος χωρος ειναι : Ω = { αΚ, αΑ, αΜ, βΑ, βΜ} Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εχουμε δυο κουτια α και β.Το κουτι α περιεχει μια κοκκινη(Κ) μπαλα, μια πρασινη(Π) και μια γκρι (Γ),ενωτο κουτι β περιεχει μια ασπρη(Α) και μια μαυρη(Μ) μπαλα . Επιλεγουμε μια μπαλα απ'το κουτι α και μια μπαλα απ'το κουτι β . Να γραψετε τοδειγματικο χωροτου πειραματος . Α π α ν τ η σ η Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η δ ε ι γ μ α τ ι κ ο υ χ ω ρ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση δειγματικου χωρου . Δ ο σ μ ε ν α : Πειραμα τυχης . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Με καταγραφη των στοιχειων . Με δενδροδιαγραμμα . Με πινακα διπλης εισοδου . αΚ αΑ αΜ βΑ βΜ Κ Α Μ Α Μ α β Αρχη Ω H κατασταση του πειραματος φαινεται στο πινακα διπλης εισοδου: Ο δειγματικος χωρος ειναι : Ω = {ΚΑ, ΚΒ, ΠΑ, ΠΒ, ΜΑ, ΜΒ} α β Κ ΚΑ ΚΒ Π ΠΑ ΠΒ Μ ΜΑ ΜΒ Α Β 11
  • 12. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α Ριχνουμε το ζαρι μια φορα και παρατηρουμε την ενδειξη του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : Α : " ενδειξη αρτια" Β :" ενδειξη μεγαλυτερη του 3" Α Β, Α Β, Α', Α Β'   Α π α ν τ η σ η Ο δειγματικος χωρος του πειραματος ειναι : Ω = {1,2,3,4,5,6}. Α = {2,4,6} Β = {4,5,6} Α Β = {4,6} (ενδειξη αρτια μεγαλυτερη τουκαι Α Β = {2,4,5 3) (ενδειξη αρτια με,6} η γαλυτ   ερη του 3) (ενδειξη αρτια, δηλαδη περιττη) (ενδειξη αρτια οχι μεγαλυτερη Α' = {1,3,5} οχι Α Β' = {2 του 3)} και Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση ενδεχομενων . Δ ο σ μ ε ν α : Ιδιοτητες ενδεχομενων . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Γραφουμε τον διανυσματικο χωρο του πειραματος . Επιλεγουμε τα στοιχεια του διανυσματικου χωρου που ικανοποιουν τις δοσμενες ιδιοτητες . Χρησιμοποιουμε τη ‘’ γλωσσα των συμβολων ‘’ Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας . Δ ο σ μ ε ν α : Διανυσματικος χωρος και ενδεχομενα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Βρισκουμε το πληθος των δυνατων περιπτωσεων Ν(Ω) . Βρισκουμε το πληθος των ευνοικων περιπτωσεων Ν(Α), οπου Α το ενδεχομενο του οποιου τη πιθανοτητα ζητουμε . Χρησιμοποιουμε τη σχεση : Ν(Α) Ρ(Α) = Ν(Ω) . 12
  • 13. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εχουμε ενα κουτι που περιεχει 2 κοκκινες , 4 μπλε και 5 ασπρες μπαλες. Επιλεγουμε μια μπαλα στη τυχη . Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων : Α :" η μπαλα ειναι κοκκινη" Β : " η μπαλα δεν ειναι ασπρη" Γ : " η μπαλα ειναι μπλε η ασπρη" Α π α ν τ η σ η Ειναι 2 + 4 + 5 Οι κοκκινες μπαλες ειναι 2, οποτε . Οι μπαλες που δεν ειναι ασπρες, ειναι μπλε η κοκκινες, οποτε 4 + 2 . Οι μπαλες που ειναι ασπρες η μπ Ν(Ω) = = 11 Ν(Α) = 2 Ν(Β) = = 6 λε ειναι 9 (5 + 4), οποτε . Ετσι Ν(Α) Ν(Β) Ν(Γ) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Γ) = 9 2 6 9 Ρ(Α) = = Ρ(Β) = = Ρ(Γ) = = 11 11 11 Π α ρ α δ ε ι γ μ α 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 Εστω Ω = {ω ,ω ,ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα ενδεχομενα Α = {ω ,ω } και Β = { ω ,ω }. 1 4 Αν Ρ(Α) = και Ρ(Β) = να υπολογισετε τις πιθανοτητες : Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ). 2 5 Α π α ν τ η σ η Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ( α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς ο ρ ι σ μ ο ς ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας . Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν Ω = { ω1, ω2, … , ων } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης. 0 ≤ P(ω i) ≤ 1 P(ω 1) + P(ω 2) + ... + P(ω ν) = 1 Αν Α = { α 1, α 2, ... , α κ } ≠ ∅ τοτε Ρ(Α) = Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ) 13
  • 14. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 Αφου Ω = {ω , ω , ω } τοτε : Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Ω) Αφου Α = {ω , ω } τοτε : Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Α) 1 Απο (1)-(2)προκυπτει : Ρ(ω ) = 1- 2    1 2 3 1 2 3 Ρ(ω )+ Ρ(ω )+ Ρ(ω ) = 1 (1) 1 Ρ(ω )+ Ρ(ω ) = (2) 2 1 Ρ(ω ) = 2 2 3 ( 3 ) 2 3 2 2 1 1 Αφου Β = {ω , ω } τοτε : 1 4 4 1 Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Β) Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = - 2 5 5 2 Απο τις(1),(3),(4)προκυπτει : 3 1 3 1 Ρ(ω ) + + = 1 Ρ(ω ) = 1- - 10 2 10 2      2 1 (3) 3 Ρ(ω ) = (4) 10 1 Ρ(ω ) = 5 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α Β) = 0,9 και Ρ(Α') = 0,4 ενω Ρ(Α Β) = 0,5. Να βρειτε τις πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α- Β), Ρ(Β - Α), Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] .    Α π α ν τ η σ η 1- Ρ(Α') = 1- 0,4 Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 0,9 = 0,6 + Ρ(Β)- 0,5 0,9 - 0,6 + 0,5 Ρ(Α)- Ρ(Α Β) = 0,6 - 0,5 Ρ(Β)- Ρ(Α Β) = 0,8 - 0,5 Ρ(Α - Β) + Ρ(Β- Α) = 0,1+ 0,3       Ρ(Α) = = 0,6 Ρ(Β) = = 0,8 Ρ(Α- Β) = = 0,1 Ρ(Β - Α) = = 0,3 Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] = = 0 ,4 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ( κ α ν ο ν ε ς λ ο γ ι σ μ ο υ ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας . Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους λογισμου πιθανοτητων . Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) (Α, Β ασυμβιβαστα) . Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α) Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β) Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β) Ρ(Α - Β) ∪ Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α ∩ Β) 14
  • 15. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α) = Ρ(Β) = 0,6 και Ρ(Α Β) = 0,4. Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Γ :" να πραγματοπ  οιηθει το Α ητο Β" Δ : " να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β" Α π α ν τ η σ η Αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα, τοτε : Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0,6 + 0,6 = 1,2 > 1 , ατοπο γιατι Ρ(Α Β) 1. Αρα τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. " να πραγματο    δεν ποιηθει το Α η το Β" σημαινει Α Β, οποτε : Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β = 0,6 + 0,6 - 0,4 " να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β" σημαινει (Α Β)', οποτε : Ρ[(Α Β      Ρ(Γ) = = 0,8 Ρ(Δ) = )'] = 1- Ρ(Α Β) = 1- 0,8 = 0,2 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Εξεταση αν δυο ενδεχομενα ειναι ασυμβιβαστα . Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου να δειξουμε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα Με γνωστες Ρ(Α) και Ρ(Β) δεχομαστε οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβα- στα και απ’τη σχεση Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) καταληγουμε Ρ(Α ∪ Β) > 1που ειναι ατοπο . Δειχνουμε οτι : Ν(Ω) < Ν(Α) + Ν(Β) η Α ∩ Β ≠ ∅ ( Ν(Α ∩ Β) ≠ 0 , Ρ(Α ∩ Β) ≠ 0 ) 15
  • 16. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : 3 Ρ(Α) = και 4 3 Ρ(Β) = 8 3 Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) . 4   Α π α ν τ η σ η Ειναι Α Α Β Β Α Β τοτε 3 Ρ(Α Β)Ρ(Α) Ρ(Α Β) 4 3Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 8                      3 Ρ(Α Β) 4   Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Ε ν ω σ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ανισοτικη σχεση . Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Για την Ρ(Α ∪ Β) ≥ κ . Λυνουμε το συστημα:       Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) ... Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)           Για την Ρ(Α ∪ Β) ≤ λ . Λυνουμε την ανισωση: Ρ(Α Β) Ρ(Α)+ Ρ(Β) [Ρ(Α Β) = Ρ(Α)+ Ρ(Β)- Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 0]      Για την κ ≤ Ρ(Α ∪ Β) ≤ λ . Λυνουμε το συστημα:           Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) ... Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+ Ρ(Β)              16
  • 17. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : 1 2 Ρ(Β) = και Ρ(Α Β) = 4 3 5 2 Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α) . 12 3    Α π α ν τ η σ η Ειναι 2 2 Ρ(Α) Ρ(Α)Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) 3 3 Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) 2 1 2 1 Ρ(Α) + - Ρ(Α) 3 4 3 4 2 Ρ(Α) 3 5 Ρ(Α) 12                                    5 2 Ρ(Α) 12 3   Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ανισοτικη σχεση . Δ ο σ μ ε ν α : Ρ(Α) η Ρ(Β) και Ρ(Α ∪ Β) η Ρ(Α ∩ Β) . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Για την κ ≤ Ρ(Α) ≤ λ (γνωστα Ρ(Β) και Ρ(Α ∪ Β)) . Λυνουμε το συστημα:       Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) ... Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+ Ρ(Β)          Για την κ ≤ Ρ(Β) ≤ λ (γνωστα Ρ(Α) και Ρ(Α ∪ Β)) . Λυνουμε το συστημα:       Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) ... Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+ Ρ(Β)          Για την κ ≤ Ρ(Α) ≤ λ (γνωστα Ρ(Β) και Ρ(Α ∩ Β)) . Λυνουμε το συστημα:       Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) ... Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α)+ Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1           Για την κ ≤ Ρ(Β) ≤ λ (γνωστα Ρ(Α) και Ρ(Α ∩ Β)) . Λυνουμε το συστημα:       Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) ... Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α)+ Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1           17
  • 18. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α  Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : 3 3 Ρ(Α) = και Ρ(Β) = 4 8 α) Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. 1 3 β) Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) . 8 8  Α π α ν τ η σ η α) Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Τοτε : 3 3 9 = Ρ(Α) + Ρ(Β) = + = , που ειναι ατοπο. 4 8 8 Αρα τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. β) Α Β Α Α Β Β 0 Ρ(Α Β) 1           Ρ(Α Β) > 1 δεν  τοτε 3 3 Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 4 4Ρ(Α Β) Ρ(Α) 3 3 Ρ(Α Β) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 8 8 0 Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1 3 3 1 0 + - Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α Β) 4 8 8                                          1 3 Ρ(Α Β) 8 8   Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Τ ο μ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ανισοτικη σχεση . Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Για την κ ≤ Ρ(Α ∩ Β) ≤ λ . Λυνουμε το συστημα:           Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) ... 0 Ρ(Α Β) 1 0 Ρ(Α)+ Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1                 18
  • 19. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Αενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : 0 < Ρ(Α) < 1. 1 1 Να αποδειχτει οτι : + 4 . Ρ(Α) Ρ(Α')  Α π α ν τ η σ η Ρ(Α') = 1 - Ρ(Α) Αφου 0 < Ρ(Α) < 1 τοτε 0 < 1- Ρ(Α') < 1 -1 < - Ρ(Α') < 0 . Ειναι Ρ(Α) + Ρ(Α') 4 Ρ(Α) + Ρ(Α') 4Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α) + 1- Ρ(Α) 4Ρ(Α) [1- Ρ(             Ρ(Α') > 0 1 1 + 4 Ρ(Α) Ρ(Α')  2 2 Α)] 1 4Ρ(Α)- 4[Ρ(Α)] 1+ 4[Ρ(Α)] - 4Ρ(Α) 0 , που αληθευει.       2 [1- 2Ρ(Α)] 0 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Α,Β και α αριθμοςθετικος. 3 1 1 Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α,ωστε οι αριθμοι : , , α 3 α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστ    οιχα. Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη ανισοτικης σχεσης . Δ ο σ μ ε ν α : Η ανισοτικη σχεση . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Με πραξεις στην προς αποδειξη ανισοτητα καταληγουμε σε ανισοτητα που αληθευ- ει παντα . Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π α ρ α μ ε τ ρ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση παραμετρου Δ ο σ μ ε ν α : Αριθμοι με παραμετρο που αντιστοιχουν σε πιθανοτητες ενδεχομενων . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Απαιτουμε για τα ενδεχομενα Α και Β Ρ(Α) ∈ (0, 1], Ρ(Β) ∈ (0, 1], Ρ(Α∩ Β) ∈ (0, 1], Ρ(Α∪ Β) ∈ (0, 1] .       Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β)          η       Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)          αναλογα αν ειναι δοσμενη η Ρ(Α ∩ Β) η Ρ(Α ∪ Β) αντιστοιχα . Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 19
  • 20. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Α π α ν τ η σ η 3 1 1 Θα εξετασουμε αν υπαρχει α > 0 ωστε : Ρ(Α) = , Ρ(Β) = , Ρ(Α Β) = . α 3 α 3 1 1 Οι αριθμοι , , πρεπει να ανηκουν στο διαστημα (0,1] (πιθανοτητες ενδεχομενων). α 3 α Οποτε 3 0 < 1 α 1 0 < 1 3 0 <    α >0 0 < 3 α 0 < 1 3 0 < 1 α1 1 α Πρεπει : 1 3 Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) α 3αα α Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) 1 1 3 α α 3 Πρεπει : Ρ(Α Β) (0,1] 0 Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1 3 1 1 0 + - 1 0 < 9 + α - 3 α 3 α                                                  α 3 α 3   3α 6 2α 3 1 1 Αρα, για οι αριθμοι , , ειναι οι πιθανοτητες των Α, Β, Α Β. α 3 α      α 3 α 3   Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( ε ξ ι σ ω σ η 2 ο υ β α θ μ ο υ ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας ενδεχομενου η ανισοτικη σχεση ενδεχομενων . Δ ο σ μ ε ν α : Η εξισωση . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Βρισκουμε τις πιθανοτητες που συνδεονται με την εξισωση: Λυνοντας την εξισωση 2ου βαθμου, αν ειναι ριζες της . Χρησιμοποιωντας τυπους Vieta, αν το αθροισμα και γινομενο συνδεονται με την εξισωση ( 1 2 1 2 β γ ρ + ρ = - και ρ ρ = α α ) . Χρησιμοποιωντας τη διακρινουσα: Δ > 0 : δυο ριζες ανισες Δ = 0 : μια διπλη ριζα Δ < 0 : καμμια πραγματικη ριζα Συνεχιζουμε οπως στις προηγουμενες περιπτωσεις . 20
  • 21. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 Aν Ρ(Α), Ρ(Β)ειναι ειναι η μικροτερη και η μεγαλυτερη ριζα της εξισωσης 6x -7x + 2 = 0 αντιστοιχα,τοτε : Να βρειτε τις Ρ(Α), Ρ(Β). 1 1 2 Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 6 2 3     Α π α ν τ η σ η 2 2 1 1,2 2 Ειναι Δ = (- 7) - 4 6 2 = 49 - 48 = 1 > 0 7 +1 2 x = =6x -7x + 2 = 0 : -(- 7) ± 1 7 ±1 12 3x = = 2 6 12 7 -1 1 x = = 12 2 1 P(A B)A B A P(A B) P(A) 2 2A B B P(A B) P(B) P(A B) 3                                   2 P(B) = 3 1 P(A) = 2 Eιναι 1 2 P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- P(A B) P(A B) = + - P(A B) 2 3 7 7 P(A B) = - P(A B) 0 - P(A B) 1 6 6 Αρα 1 P(A B)A A B P(A) P(A B) 2 2B A B P(B) P(A B)                                  0 P(AUB) 1 1 P(A B) 2 1 Ρ(Α Β) 6 1 1 Ρ(Α Β) 6 2        P(A B) 3        2 P(A B) 3   Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β)οι ριζες της εξισωσης : x - 2P(A) x + P(A B) = 0 . 5 Aν P(Α Β) = ,να βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(Α), P(A B), P(A' B), P(Α' Β') 9      Α π α ν τ η σ η Απ'το αθροισμα και γινομενο ριζων τριωνυμου ειναι : Ρ(Α)+ Ρ(Β) = 2Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Β) = P(A B)     2 Ρ(Α) = Ρ(Β) [Ρ(Α)] = P(A B) Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 21
  • 22. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr 2 2 2 2 5 5 5 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- P(A B) = 2Ρ(Α)-[P(A)] = 9[P(A)] -18Ρ(Α) + 5 = 0 9 9 9 5 και Ρ(Α) = (απορριπτεται αφου Ρ(Α) < 1) 3 1 [P(A)] = 3 1 1 Ρ(Β)- P(A B) = - 3 9                1 Ρ(Α) = 3 1 P(A B) = = 9 2 P(A' B) = = 9 P(Α' 1 Ρ[(A B)]' = 1- P(A B) = 1- 9   8 Β') = = 9 Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 κ κ Δινεται ο κ με - 4 κ 3 και η εξισωση : (Ε ) : κx +(κ - 2)x + κ = 0. Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση(Ε ) : Α : εχει δυο πραγματικες και ισες ριζες Β : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες Γ :    δεν εχει πραγματικες ριζες. Α π α ν τ η σ η - 4 - 3 3 - 4 - 3 3 2 2 2 Αφου κ [- 4,3] και οριζει τις εξισωσεις (Ε ), (Ε ),..., (Ε ) τοτε Ω = {(Ε ), (Ε ),..., (Ε )} και . Ειναι, (κ - 2) - 4 κ κ = κ - 4κ + 4 - 4κ Για να εχ    2 Ν(Ω) = 8 Δ = = - 3κ - 4κ + 4 2 ει η εξισωση δυο πραγματικες και ισες ριζες, πρεπει : - 3κ - 4κ + 4 = 0 2 κ = (απορριπτεται, κ ακεραιος) 3 Ν(Α) Αρα Ν(Α) = 1 και Ν(Ω) Για να εχει η εξισωση δυο πρα        κ = - 2 Δ = 0 1 Ρ(Α) = = 8 2 γματικες και ανισες ριζες, πρεπει : 2 - 3κ - 4κ + 4 > 0 - 2 < κ < τοτε κ εχει τιμες και . 3 Ν(Β) 2 Αρα Ν(Β) = 2 και = Ν(Ω) 8 Για να μην εχει η εξισωση πραγματικες ριζες,  Δ > 0 - 1 0 1 Ρ(Β) = = 4 2 πρεπει : 2 - 3κ - 4κ + 4 < 0 (κ < - 2 η κ > ) τοτε . 3 Ν(Γ) Αρα Ν(Γ) = 5 και Ν(Ω)  Δ < 0 κ = - 4,- 3,1,2,3 5 Ρ(Γ) = = 8 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 22
  • 23. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Αενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω και|Ρ(Α)+ 2|-|Ρ(Α)- 3|= 8κ, κ . 1 Να δειχτει οτι :|κ| . 8   Α π α ν τ η σ η Ρ(Α) - 2 Ρ(Α) + 2 0 |Ρ(Α) + 2|= Ρ(Α) + 2 Ειναι, 0 Ρ(Α) 1 Ρ(Α) 3 Ρ(Α)- 3 0 |Ρ(Α)- 3|= 3- Ρ(Α) Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται : Ρ(Α) + 2 -(3- Ρ(Α)) = 8κ Ρ(Α) + 2 - 3 + Ρ(Α) = 8κ 2Ρ(Α) = 8κ +1 Ομως, 0 Ρ(Α)                     8κ + 1 Ρ(Α) = (1) 2 (1) 8κ +1 1 1 1 0 1 0 8 κ +1 2 - 1 8κ 1 - κ 2 8 8              1 |κ| 8  Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( α π ο λ υ τ η τ ι μ η ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη σχεσης . Δ ο σ μ ε ν α : Σχεση μεταξυ απολυτων τιμων πιθανοτητων . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Απ’τους τυπους λογισμου πιθανοτητων βρισκουμε τις τιμες των απολυτων στη δοσμενη σχεση . Βρισκουμε τις πιθανοτητες . Απ’τους τυπους λογισμου πιθανοτητων, καταληγουμε στη ζητουμενη σχεση . Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Πληθος, πιθανοτητα κλπ . Δ ο σ μ ε ν α : Στοιχεια προβληματος . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θετουμε x εκεινο το ζητουμενο, που συνδεεται με δοσμενα του προβληματος . Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις . Απο γνωστη πιθανοτητα προσδιοριζουμε τον x . Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα . Στη περιπτωση δυο αγνωστων x,y, συμφωνα με τα προηγουμενα, καταληγουμε σε συστημα ως προς x, y . 23
  • 24. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 1 Η Γ' ταξη ενος Λυκειου εχει 25 μαθητες - μαθητριες.Τα των μαθητων και το των μαθητρι - 5 5 ων επελεξαν τηθετικη κατευθυνση και οι υπολοιποι τηνθεωρητικη η τεχνολογικη κατευθυνση. Επιλεγουμε τυχαια εναν υποψηφιο. Αν η πιθανοτητα να ειναι μαθητης που δεν επελεξε τηθε - 9 τικη κατευθυνση ειναι Ρ(Μ) = , να βρειτε : 25 Ποσοι ειναι οι μαθητες και ποσες οι μαθητριες. Ποια η πιθανοτητα Ρ(Κ)ο υποψηφιος ειναι μαθητρια που δεν επελεξε τηθετικη κατευθυνση ; Α π α ν τ η σ η Εστω x o αριθμος τωνμαθητων. 2x Οι μαθητες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος, ενω αυτοι που 5 3x δεν επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος. 5 Οποτε η πιθανοτητα Ρ(Μ),"ο μαθητης να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι : 3x 9 Ν(Μ) 9 9 3x5Ρ(Μ) = = = = 9 3x = 45 25 Ν(Ω) 25 25 25 5 Αρα οι μαθητες ειναι 15 και οι μαθητριες 10. Οι      x = 15 1 μαθητριες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι :10 = 2, ενω αυτες που δεν 5 την επελεξαν ειναι : 10 - 2 = 8 . Οποτε η πιθανοτητα του ενδεχομενου, "η μαθητρια να μην επελεξε τ  Ν(Κ) η θετικη κατευθυνση", ειναι : Ρ(Κ) = . Ν(Ω)  8 Ρ(Κ) = 25 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Σ'ενα διαγωνισμο ομορφιας 24 υποψηφιες εχουν καστανα μαλλια,ενω οι υπολοιπες εχουν μαυρα η ξανθα. 1 Η πιθανοτητα να κερδισει το διαγωνισμο ξανθια ειναι ,ενω να κερδισει υποψηφια 2 με μαυρα μαλλια ειναι 1 . 6 Να βρειτε ποσες ειναι οι υποψηφιες. Α π α ν τ η σ η Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια. Τοτε, Ν(Ω) = 24 + x + y. Θεωρουμε τα ενδεχομενα : Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 24
  • 25. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Α :"υποψηφια με καστανα μαλλια". Β :"υποψηφια με ξανθα μαλλια". Γ :"υποψηφια με μαυρα μαλλια". 1 1 Ειναι, Ρ(Β) = , Ρ(Γ) = , Ν(Β) = x, N(Γ) = y. 2 6 Οποτε Ν(Β) 11 =Ρ(Β) = Ν(Ω) 22 1 Ν(Γ) Ρ(Γ) = 6 Ν(Ω)      x 1 = 2 = 24 + x + y x = 24 + y x = 24 + y24 + x + y 2 y1 6 = 24 + x + y x - 5y = - 24 24 + y - 5y = - 241 = = 6 24 + x + y 6 x = 24 + y 4y = 48 Aρα οι υποψηφιες ειναι : 24 + 36 + 12 . x y                             x = 36 y = 12 = 72 Π α ρ α δ ε ι γ μ α ΣτοCD που εχετε αυτη τη στιγμη μπροστα σας, υπαρχουν ν αλυτες ασκησεις,αριθμημενες απο το 1ως το ν, που επιμεληθηκαν δυο μαθηματικοι,ο Α και ο Β . Καποιες απ'αυτες επιμεληθηκε ο μαθηματικος Α, καποιες ο Β και καποιες επιμεληθηκαν μαζι ο Α και ο Β . Ο μαθηματικος Αεχει επιμεληθει συνολικα τις πρωτες 50 ασκησεις,απ'τις οποιες μονο τις πρωτες 30 επιμεληθηκε μονος του . Η πιθανοτητα να εχουν επιμε 1 ληθει μαζι οι δυο μαθηματικοι μια ασκηση ειναι . 5 Να βρειτε ποσες ειναι οι αλυτες ασκησεις . 1 Αν η πιθανοτητα να εχει επιμεληθει μια ασκηση ο μαθηματικος Β μονος του ειναι , 2 ο ισχυρισμος του οτι ασχοληθηκε με70 απ'τις ασκησεις ειναι σωστος; Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η μ ο ν ο Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Πληθος, πιθανοτητα κλπ . Δ ο σ μ ε ν α : Στοιχεια προβληματος . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις . Μετατρεπουμε τα δοσμενα του προβληματος σε συμβολισμους πιθανοτητων . Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα . 25
  • 26. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Α π α ν τ η σ η Ειναι Ν(Α) = 50, Ν(Ω) = ν και Ν(Α Β) = 50 - 30 = 20. 1 Ν(Α Β) 1 20 1 Ρ(Α Β) = = = 5 Ν(Ω) 5 ν 5 1 1 1 1 Ρ(Β- Α) = Ρ(Β)- Ρ(Α Β) = Ρ(Β)- = 2 2 5 2 Ν(Β) 7 Ν(Β) Ομως, Ρ(Β) = = Ν(Ω) 10 100 Δηλαδη ο ισχυ             ν = 100 7 Ρ(Β) = 10 Ν(Β) = 70 ρισμος του ειναι .σωστος Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 26
  • 27. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 1 η Απο μια τραπουλα (52φυλλων) παιρνουμε διαδοχικα 3φυλλα και τα χαρακτηριζουμε ως προς το χρωμα τους σε μαυρα(Μ) και κοκκινα(Κ). Να βρειτε : Το δειγματικο χωρο Ω του πειραματος . Το ενδεχομενο Α : "  2 το πολυ μαυρα φυλλα" . Το ενδεχομενο Β : " 2 τουλαχιστον μαυρα φυλλα" . Το ενδεχομενο Γ = Α Β . Α σ κ η σ η 2 η Ριχνουμε το ζαρι δυοφορες και παρατηρουμε τις ενδειξεις του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : Α : " πρωτη ενδειξη μεγαλυτερη απο την δευτερη" . Β :" το αθροισμα των δυο ενδειξεων ειναι αρτιος αριθμο      ς" . Γ : " η πρωτη ενδειξη περιττη και η δευτερη αρτια" . Α Β, Α Γ, Β Γ, Α (Β Γ) Α σ κ η σ η 3 η Ριχνουμε τα ζαρια στο ταβλι (2ζαρια). Ποια ειναι η πιθανοτητα να φερουμε : Α : " εξαρες" (και τα δυο ζαρια τον αριθμο 6). Β :" ασσοδυο" (το ενα ζαρι τον αριθμο 1 και το αλλο τον αριθμο 2). Γ : " ενα τουλαχιστον 5" . Α σ κ η σ η 4 η Απο τραπουλα 52 παιγνιοχαρτων παιρνουμε ενα φυλλο. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α : " τοφυλλο ειναι κοκκινο" Β : " τοφυλλο ειναι νταμα" Γ : " φυλλο ειναι μαυρο" Δ :" τοφυλλο ε ηιναι κοκκιν νταμα" Ε :" τοφυλλο ειναι κοκκινο η νταμα" Ζ :" τοφυλλο δεν ειναι κοκκινο η νταμα" Α σ κ η σ η 5 η 3 5 Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α') και Ρ(Β') . 4 6 1 5 Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) . 4 12      27
  • 28. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 6 η 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 1 4 Εστω Ω = {ω ,ω ,ω ,ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης . 1 1 1 Αν Ρ(ω ) = , Ρ(ω ) = και Ρ(ω ) = , να βρεθει η Ρ(ω ). 2 4 8 1 4 Αν Α = {ω ,ω }, Β = { ω ,ω }, Ρ(Α) = , Ρ(Β) = και Ρ(ω 4 5 1 2 1 ) = , 6 να υπολογισετε τη πιθανοτητα Ρ(ω ). Α σ κ η σ η 7 η Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,5 ενω Ρ(Α Β) = 0,4 . Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα . Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Γ :" ν  α πραγματοποιηθει μονο το Α " Δ : " να πραγματοποιηθει μονο το Β" Ε : " να πραγματοποιηθει μονο ενα απο τα Α και Β" Α σ κ η σ η 8 η Ριχνουμε στον αερα ενα ζαρι που δεν ειναι αμεροληπτο. 1 1 1 Αν Ρ(1) = , Ρ(2) = Ρ(3) = Ρ(4) = και Ρ(6) = , τοτε : 12 6 4 Να βρεθει η Ρ(5). Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " ενδειξη περιττη" . Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Β : " ε νδειξη μεγαλυτερη του 4" . Α σ κ η σ η 9 η     Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : 3 2 1 Ρ(Α Β) = και Ρ(Β') = ενω Ρ(Α Β) = . 4 3 4 Να βρειτε τις πιθανοτητες : Ρ(Β) Ρ(Α) Ρ(Α- Β) Ρ(Β - Α) Ρ(Α' Β') Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] 28
  • 29. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 1 0 η       Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : 1 1 5 Ρ(Α') , Ρ(Β) και Ρ(Α Β) . 3 3 6 Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα . 1 Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β). 6 Α σ κ η σ η 1 1 η Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω με 1 2 Ρ(Α') = και Ρ(Β') = 2 3 . ▪ Eξεταστε αν τα ενδεχομενα Α’ και Β’ ειναι ασυμβιβαστα. ▪ Αν 11 Ρ(Α' Β')= 12  να υπολογισετε την Ρ(Α' Β') . ▪ Δειξτε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. ▪ Να υπολογισετε τις πιθανοτητες Ρ(Α Β') και Ρ(Α Β')  . Α σ κ η σ η 1 2 η 2 2 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω . Να αποδειχτει οτι : [Ρ(Α)] + [Ρ(Β)] - 2Ρ(Α Β) 2[Ρ(Α Β)- 1]   Α σ κ η σ η 1 3 η Η πιθανοτητα να επιλεγει ενας μαθητης στη θεατρικη ομαδα του σχολειου του ειναι 1/6 ενω η πιθανοτητα να μην επιλεγει στην ομαδα μουσικης ειναι 4/5, ενω η πιθανο- τητα να επιλεγει και στις δυο ομαδες ειναι 1/10. Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων: ▪ Να επιλεγει τουλαχιστον σε μια απο τις δυο ομαδες. ▪ Να επιλεγει μονο στην θεατρικη ομαδα. ▪ Να επιλεγει μονο στην ομαδα μουσικης. ▪ Να επιλεγει μονο σε μια απο τις δυο ομαδες. ▪ Να μην επιλεγει σε καμια ομαδα. ▪ Να επιλεγει σε μια το πολυ ομαδα. 29
  • 30. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 1 4 η Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και α > 0. Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α,ωστε οι αριθμοι : 3 8 1 , 2- και α α α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α,Β και Α Β αντιστοιχα. Α σ κ η σ η 1 5 η 2 2 Μια ταξη εχει 30 αγορια και κοριτσια. Τα των αγοριων και τα των κοριτσιων 3 3 εχουν κινητο τηλεφωνο . Αν η πιθανοτητα να ειναι κοριτσι που εχει κινητο ειναι 0,2 να βρεθουν : Ποσα ειναι τα αγορια της ταξης . Ποια η πιθανοτητα το ατομο να ειναι κοριτσι η να εχει κινητο . Α σ κ η σ η 1 6 η Εστω Α,B ασυμβιβαστα ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω ωστε Α Β = Ω . 1 4 Αν Ρ(Α)- Ρ(Β) = και 2Ρ(Α)+ Ρ(Β) = , θ > 0, τοτε να βρεθουν : θ θ Ρ(Α), Ρ(Β) και θ.  Α σ κ η σ η 1 7 η Σε ενα συνεδριο μαθηματικων συμμετεχουν Ελληνες, Γαλλοι και Αγγλοι μαθηματικοι. Απο τους συνεδρους επιλεγεται τυχαια ενας για τη θεση του συντονιστη του συνεδ- ριου. Αν στο συνεδριο συμμετεχουν 25 Ελληνες, ενω οι πιθανοτητες να επιλεγει Γαλλος ει- ναι 1/3 και Αγγλος ειναι 1/4, να βρεθει το πληθος των συνεδρων. Α σ κ η σ η 1 8 η  2 κ κ Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με |κ| 7 και η εξισωση : (Ε ) : (κ - 1)x -(3κ - 2)x + 2κ + 1 = 0. Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση(Ε ) : Α : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες . Β : εχει δυο ομοσημες και ανισες ριζες . Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες . 30
  • 31. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 1 9 η Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω . Ισχυει :|Ρ(Α) + 3|-|Ρ(Α)- 3|= κ + 3, κ . 1 Να δειχτει οτι :|κ| . 2   Α σ κ η σ η 2 0 η 2 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β)οι ριζες της εξισωσης : P(A B) x -(3P(A)- Ρ(Β))x + = 0 . 5 8 Aν P(Α' Β') = , να βρεθουν οι πιθανοτητες : 9 Ρ(Α), P(A B), P(A' B), P(Α Β).      Α σ κ η σ η 2 1 η      Εστω Α,Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : P(A B) Ρ(Α)+ Ρ(Β)- 1 P(A B Γ) Ρ(Α)+ Ρ(Β)+ Ρ(Γ)- 2 Α σ κ η σ η 2 2 η Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} και τα ενδεχομενα: Α = {ω1 , ω2} και Β = {ω2, ω3}. Αν 5 1 2 1 Ρ(Α)= , Ρ(Β)= , Ρ(Α Β)= και Ρ(Α-Β)= 12 3 3 12  να βρεθουν οι πιθανοτητες των απλων ενδεχομενων ω1, ω2, ω3 και ω4. Α σ κ η σ η 2 3 η 2 Ενας μαθηματικος εχει στον υπολογιστη του x ευκολες ασκησεις, 3x + 12 μετριας δυσκολιας και 3x δυσκολες ασκησεις. Ο καθηγητης επιλεγει τυχαια μια ασκηση για να τη βαλει σ'ενα test. Θεωρουμε το ενδεχομενο Α : "επιλεγει ευκολη ασκηση". Να βρειτε : την πιθανοτητα Ρ(Α)σε συναρτηση με τον x. για ποια τιμη του x η Ρ(Α)γινεται μεγιστη. ποια ειναι η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α). 31
  • 32. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 2 4 η       2 Να εξεταστει αν η πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α μπορει να εκφραστει απ'τη συναρ - 5 1 3 τηση : f(x) = 2x - x + , x - , . Aν ακομη ισχυει : 8 4 4 3|1- 2Ρ(Α)|-|3Ρ(Α)- 1|= 2κ, κ , να βρεθουν οι τιμες των κ και   Ρ(Α). Α σ κ η σ η 2 5 η        2 2 Εστω Α και Β - Αενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : 1 0 Ρ(Α)Ρ(Α') 4 1 [Ρ(Α)] + [Ρ(Α')] 1 2 Αν Ρ(Α Β)- Ρ(Α Β) = 1, να δειξετε : Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α)+ Ρ(Β) = 1 Α σ κ η σ η 2 6 η Μετα απο ενα τροχαιο ατυχημα το 40% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινο- τερο επαρχιακο νοσοκομειο, το 50% των επιβατων διακομιστηκαν σε νοσοκομειο της Αθηνας, ενω το 15% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκο- μειο και κατοπιν λογω της σοβαρο-τητας του τραυματισμου τους κριθηκε αναγκαια η μεταφορα τους σε νοσοκομειο της Αθηνας. Αν 12 απο τους επιβατες δεν τραυματιστηκαν καθολου τοτε ποσους επιβατες συνολι- κα ειχε το οχημα; Α σ κ η σ η 2 7 η  2 Εστω Α,B ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και ισχυουν η Ρ(Α) ειναι λυσητης εξισωσης 5x + 9x - 2 = 0 3 Ρ(A Β) = 2Ρ(Α) = Ρ(Β) 2 να υπολογιστουν οι Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Α- Β). Α σ κ η σ η 2 8 η 2 Εστω Ω = {1,2,...,10} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα α - πλα ενδεχομενα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απλο ενδεχομενο α Ω. Αν f(x) = x + 4x +α, να βρειτε τη πιθανοτητα η εξισωση f(x) = 0 να  μην εχει πραγματι - κες ριζες. 32
  • 33. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 2 9 η    2 Εστω Ω = {1,2,3,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος πουαποτελειται απο ισοπιθανα x + y = 3 απλα ενδεχομενα και το συστημα , με α Ω. (α + 2)x + 3αy = 1 Να βρειτε τη πιθανοτητα τουενδεχομενου Α : " το συστημα α  δυνατο" . Α σ κ η σ η 3 0 η Για τους υποψηφιους της Τεχνολογικης κατευθυνσης το 2006 γνωριζουμε οτι : Το 30% απετυχε στηΦυσικη . Το 40% απετυχε στα Μαθηματικα . Το 20% απετυχε στηΦυσικη και στα Μαθηματικα . Επιλεγουμε τυχαια ενα απ'τους υποψηφιους. Βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α :" ο υποψηφιος απετυχε τουλαχιστον σ'ενα απο τα δυο μαθηματα" . Β :" ο υποψηφιος απετυχε μονο στα Μαθηματικα" . Γ :" ο υποψηφιος απετυχε μονο σ'ενα απο τα δυο μαθηματα" . Α σ κ η σ η 3 1 η Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω και Ρ(Α), Ρ(Β) ριζες της εξισωσης: 6x3 + 5x2 – 12x + 4 = 0 με Ρ(Α) < Ρ(Β) να δειξετε οτι: ▪ Α, Β οχι ασυμβιβαστα ▪ 1 1 Ρ(Α Β) 6 2    ▪ 2 Ρ(Α Β) 1 3    Α σ κ η σ η 3 2 η Εστω δειγματικος χωρος που αποτελειται απο το συνολο των ριζων της εξισωσης (x – 10) (x – 11) … (x – 20) = 0. Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα και λ ∈ Ω, να βρεθει η πιθανο- τητα η εξισωση y 2 – 8y + λ = 0 να μην εχει πραγματικες ριζες. 33
  • 34. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει: Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα. Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς Α π ο δ ε ι ξ η (1) Ν(Α) = κ γιατι διαφορετικα τα Α, Β Αν τοτε Α Β = κ + λ Ν(Β) = λ δεν θα ηταν ασυμβιβαστα Δηλαδηειναι : Ν(Α Β) = κ + λ = Ν(Α) + Ν(Β) (1) Οποτε Ν(Α Β) Ν(Α) + Ν(Β) Ν(Α = = Ν(Ω) Ν(Ω)            Ρ(Α Β) ) Ν(Β) + = Ν(Ω) Ν(Ω) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Α π ο δ ε ι ξ η Α Α' Ω Ρ(Ω) 1 Αφου Α Α' = (Α, Α'ειναι ασυμβιβαστα), απ'τον απλοπροσθετικο νομοπροκυπτει Ρ(Α Α') = Ρ(Α) + Ρ(Α') Ρ(Ω) = Ρ(Α) + Ρ(Α') 1 = Ρ(Α) + Ρ(Α')          Ρ(Α') = 1- Ρ(Α) Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α’ (ασυμβιβαστα) ισχυει: Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α) Α Β Ω Α’ Ω Α 34
  • 35. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β) Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς Α π ο δ ε ι ξ η Για δυο ενδεχομενα Α και Βεχουμε : αφου στο αθροισμα το πληθος των στοιχειων του υπολογιζεται δυο φορες. Αν διαιρ N(A B) = N(A) + εσουμε ταμελη N(B)- N(A B) (1) N(A) + N(B) της(1)με A B N( Ν(Ω)προκυπτει :    A B) N(A) N(B) N(A B) = + - N(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω) Ετσι Ν(Α Β) N(A) N(B) N(A B) = + - = Ν(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω)     Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β)  Α π ο δ ε ι ξ η Αφου Α Β τοτε Ν(Α) Ν(Β) οποτε,διαιρωνταςμε Ν(Ω) > 0 Ν(Α) Ν(Β) Ν(Ω) Ν(Ω)     Ρ(Α) Ρ(Β) Α π ο δ ε ι ξ η Αφου Α Β και Α Βειναι ασυμβιβαστα και Α = (Α Β) (Α Β), τοτε Ρ(Α) = Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)          Ρ(Α- Β) = Ρ(Α)- Ρ(Α Β) Π ι θ α ν ο τ η τ α Υ π ο σ υ ν ο λ ο υ Αν Α ⊆ Β τοτε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β) Α Β Ω Β Ω Α Π ι θ α ν ο τ η τ α Δ ι α φ ο ρ α ς Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β) Α Β Ω 35
  • 36. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ρ | κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ 36
  • 37. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr 0 1 . Υ π ο σ υ ν ο λ α τ ο υ ▪ Το συνολο των φυσικων αριθμων: = { 0, 1, 2, 3, . . . } ▪ Το συνολο των ακεραιων αριθμων: = { . . . , - 2, - 1, 0, 1, 2, . . . } ▪ Το συνολο των ρητων αριθμων: = { ρ | ρ = μ ν , με μ ∈ ℤ και ν ∈ ℤ * } ▪ Το συνολο των αρρητων αριθμων: { x | το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα } ▪ Το συνολο των πραγματικων αριθμων: ειναι η ενωση του συνολου των ρητων και αρρητων αριθμων. ▪ Το συνολο των περιττων αριθμων: { 1, 3, 5, . . . } η { 2ν + 1 | οπου ν  } ▪ Το συνολο των αρτιων αριθμων: { 0, 2, 4, . . . } η { 2ν | οπου ν  } 0 2 . Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Αντιμεταθετικη α + β = β + α α ∙ β = β ∙ α Προσεταιριστικη α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ α ∙ ( β ∙ γ ) = ( α ∙ β ) ∙ γ Επιμεριστικη α ∙ ( β + γ ) = α ∙ β + α ∙ γ Ουδετερο στοιχειο α + 0 = α α ∙ 1 = α Αντιθετος (προσθεση) Αντιστροφος (πολ/σμος) α + ( - α ) = 0 α ∙ 1 α = 1, α ≠ 0 Σ υ ν ε π ε ι ε ς ▪ α = β α + γ = β + δ γ = δ α γ = β δ        ▪ α ∙ 0 = 0 ▪ α ∙ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 ▪ α ∙ ( - 1 ) = - α ▪ ( - α ) ∙ ( - β ) = α ∙ β ▪ β α ± βα ± = , γ 0 γ γ γ  ▪ 1 1 1 = , α β 0 α β α β     ▪ Η αφαιρεση οριζεται μεσω της προσθεσης: α – β = α + ( - β ) ▪ Η διαιρεση οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου: α : β = α ∙ 1 , β 0 β  Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ▪ α ± γ = β ± γ α = β α γ = β γ, γ 0       ▪ α ∙ β = 0 ⇔ α = 0 η β = 0 ▪ ( - α ) ∙ β = - α ∙ β ▪ - ( α + β ) = - α - β ▪ α δ ± β γγα ± = , β δ 0 β δ β δ      ▪ γ α γα = , β δ 0 β δ β δ      37
  • 38. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr 0 3 . Α ν α λ ο γ ι ε ς ▪ Ο ρ ι σ μ ο ι α Λ ο γ ο ς τ ο υ α ω ς π ρ ο ς β λεγεται τοπηλικο . β γα Α ν α λ ο γ ι α λεγεται ηισοτητα δυο λογων,εστω : = β δ Οι αριθμοι α,β,γ,δ λεγονται ο ρ οι της αναλογιας. Οι αριθμοι α,δ λεγονται α κ ρ οι οροι της αναλογιας. Οι αριθμοι β,γ λεγονται μ ε σ οι οροι της αναλογιας. βα Στηπεριπτωσηπου ηαναλογια ειναι τηςμορφης = ο αριθμος β β γ λεγεται μ ε σ ο ς α ν α λ ο γ ο ς των α και γ . ▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Α ν α λ ο γ ι ω ν γα = α δ = β×γ β δ βγα α = = β δ γ δ γ γα δ = = (β δ 0 β δ β α γα ) (β γ δ 0) (α β δ 0) = β             (β δ 0) [β α + β γ + δ = δ β δ γ γ α + γα α = = = δ (β + δ) 0] (β δ 0, α β β δ β δ β + δ α + βγ α + γα = = β δ α - β γ , γ δ - δ )             0 4 . Δ υ ν α μ ε ι ς ▪ Ο ρ ι σ μ ο ι ▪ Για καθε α ∈ ℝ και ν  * + οριζουμε ν - ο σ τ η δ υ ν α μ η τ ο υ α τον αριθμο α ν με : ν νπαραγοντες α = α α ... α   , ν > 1 ▪ Για καθε α ∈ ℝ * και ν  * οριζουμε : α º = 1 και - ν ν 1 α = α ▪ Αν α *  + και μ  , ν * +  οριζουμε : μ ν μν α = α ▪ Αν α *  + και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυναμη α x και ειναι α x > 0 . Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 38
  • 39. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr ▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Δ υ ν α μ ε ω ν μ μ + ν μ μ - ν μ μ νν ν ν ν ν ν ν ν ν α α = α α : α = α ( α ) = α α α ( α β) = α β ( ) = β β     ν - ν ν 2 κ 2 κ 2 κ + 1 2 κ + 1 βα ( ) = β α ( - α ) = α ( - α ) = - α 0 5 . Τ α υ τ ο τ η τ ε ς ▪ ( α ± β )² = α² ± 2 ∙ α ∙ β + β² ( χρησιμη : α² + β² = ( α + β )² - 2 ∙ α ∙ β ) ▪ α² - β² = ( α + β )( α – β ) ▪ ( α + β + γ )² = α² + β² + γ² + 2 ∙ α ∙ β + 2 ∙ α ∙ γ + 2 ∙ β ∙ γ ▪ α³ ± β³ = ( α + β )( α² ∓ 2 ∙ α ∙ β + β² ) = ( α ± β )³ ∓ 3 ∙ α ∙ β ∙ ( α ± β ) ▪ ( α ± β )³ = α³ ± 3 ∙ α²∙ β + 3 ∙ α ∙ β² ± β³ ▪ ( α + β ) ⁴ = α ⁴ + 4 ∙ α³∙ β + 6 ∙ α²∙ β² + 4 ∙ α ∙ β³ + β ⁴ ▪ ( α – β ) ⁵ = α ⁵ - 5 ∙ α ⁴ ∙ β + 10 ∙ α³∙ β² - 10 ∙ α² ∙ β³ + 5 ∙ α ∙ β ⁴ - β ⁵ ▪ α ν – β ν = ( α – β )( α ν – 1 + α ν – 2 ∙ β + . . . + α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ) ▪ α ν - β ν = ( α + β )( α ν – 1 - α ν – 2 ∙ β + . . . - α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ), (ν αρτιος φυσικος) ▪ α ν + β ν = ( α + β )( α ν – 1 - α ν – 2 ∙ β + . . . - α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ), (ν περιττος φυσικος) ▪ α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ = 1 2  [ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ] ▪ α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ = 1 2  [ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ] ▪ α³ + β³ + γ³ - 3 ∙ α ∙ β ∙ γ = ( α + β + γ )( α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ ) = = 1 2  ( α + β + γ )[ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ] ▪ α³ + β³ + γ³ = 3 ∙ α ∙ β ∙ γ, αν α + β + γ = 0 η α = β = γ (Euler) 0 6 . Δ ι α τ α ξ η Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν ▪ Ο ρ ι σ μ ο ι ▪ Ο αριθμος α λεγεται μ ε γ α λ υ τ ε ρ ο ς απ’τον αριθμο β , αν και μονο η διαφο- ρα α - β ειναι θετικος αριθμος ( α - β > 0 ) . Συμβολιζουμε: α > β Ο αριθμος α βρισκεται δ ε ξ ι ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων. - ∞ β α + ∞ Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 39
  • 40. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr ▪ Ο αριθμος α λεγεται μ ι κ ρ ο τ ε ρ ο ς απ’τον αριθμο β , αν και μονο η διαφορα α - β ειναι αρνητικος αριθμος ( α - β < 0 ) . Συμβολιζουμε: α < β Ο αριθμος α βρισκεται α ρ ι σ τ ε ρ ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων. - ∞ α β + ∞ ▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Δ ι α τ α ξ η ς ▪ Αν α > β και β > γ, τοτε: α > γ. ▪ Αν α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ. ▪ Αν γ > 0, τοτε: α > β α γ > β γ βα > γ γ         ▪ Αν γ < 0, τοτε: α > β α γ < β γ   . ▪ Αν α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ. ▪ Αν α > β και γ > δ, τοτε: α ∙ γ > β ∙ δ (α, β, γ, δ θετικοι αριθμοι). ▪ Αν α, β θετικοι και ν  * , τοτε: α > β ⇔ α ν > β ν ▪ Δ ι α σ τ η μ α τ α Πρακτικα δ ι α σ τ η μ α ειναι ενα τμημα της ευθειας x’x των πραγματικων αριθ- μων δηλαδη ενα συμπαγες συνολο αριθμων. Τα διαστηματα οριζονται με την βο- ηθεια μιας ανισωσης και στον παρακατω πινακα βλεπουμε τα ειδη αυτων. ανισωση διαστημα ( ακρα α , β ) συμβολισμος α ≤ x ≤ β κλειστο διαστημα [α , β] α < x < β ανοικτο διαστημα (α , β) α < x ≤ β ανοικτο αριστερα, κλειστο δεξια (α , β] α ≤ x < β κλειστο αριστερα, ανοικτο δεξια [α , β) α ≤ x κλειστο αριστερα, μη φραγμενο ανω [α , + ∞) α < x ανοικτο αριστερα, μη φραγμενο ανω (α , + ∞) x ≤ β μη φραγμενο κατω, κλειστο δεξια (- ∞, β] x < β μη φραγμενο κατω, ανοικτο δεξια (- ∞, β) x  το συνολο των πραγματικων (- ∞, + ∞) 0 7 . Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η ▪ Ο ρ ι σ μ ο ς Για καθε πραγματικο αριθμο α οριζουμε την απολυτη τιμη του ως: α, αν α 0 |α| = - α, αν α < 0     Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 40
  • 41. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr ▪ Σ υ ν ε π ε ι ε ς Ο ρ ι σ μ ο υ ▪ | α | ≥ 0, η απολυτη τιμη του α ειναι μη αρνητικος αριθμος. ▪ - | α | ≤ α ≤ | α | ▪ 2 α = | α |, | - α | = | α |, | ν α | = ν |α| , | α | 2 = α 2 ▪ | α ∙ β | = | α | ∙ |β| ▪ α |α| | | = β |β| με β ≠ 0 ▪ | | α | - | β | | ≤ | α ± β | ≤ | α | + | β | ▪ | α | < | β | ⇔ α ² < β ² ▪ | α | + | β | = 0 ⇔ α = 0 και β = 0 ▪ Αν θ > 0 ισχυουν: 1. | x | < θ ⇔ - θ < x < θ 2. | x | > θ ⇔ x < - θ η x > θ ▪ η εξισωση | x | = θ ⇔ x = ± θ αν θ > 0 x = 0 αν θ = 0 αδυνατη αν θ < 0      ▪ Αν Α( α, 0 ) και Β( 0, β ) σημεια του x’x τοτε d( Α, Β ) = | α - β | . ▪ Π ε ρ ι ο χ η Α ρ ι θ μ ο υ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( < (x x Για x και ρ > 0, ισχυει : |x - x |< ρ x x - ρ, x + ρ) x - ρ < x < x + ρ Οι αριθμοι x πουικανοποιουν τησχεση x - x | ρ ειναι τα σημεια του διαστηματος - ρ, + ρ)πουεχει κεντρο το x και ακτινα |     ρμοναδες ρμοναδεςd(x, x )ο ο ο ο x' x x - ρ x x x - ρ ρ.   0 Στην περιπτωσηπου x = 0,ειναι :|x|< ρ x (- ρ, ρ) - ρ < x < ρ    0 0 0 0 0 0 0 Για x και ρ > 0,ισχυει : |x - x |> ρ x (- , x - ρ) (x + ρ,+ ) x < x - ρ η x > x + ρ Οι αριθμοι x πουικανοποιουν τησχεση|x - x |> ρ ειναι τα σημεια Μ(x) του αξονα x'x που απεχουν απ'το σημειο Κ(        0 0 d(x, x ) ρμοναδες ρμοναδες ο ο ο x' x x - ρ x x - ρ x ) αποστασημεγαλυτερητου ρ. 0 x Στην περιπτωσηπου x = 0,ειναι : |x|> ρ x < - ρ η x > ρ    0 8 . Ρ ι ζ ε ς ▪ Ο ρ ι σ μ ο ς Για καθε θετικο πραγματικο αριθμο α και θετικο ακεραιο αριθμο ν, υπαρχει μονα- Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 41
  • 42. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr δικος θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ωστε x ν = α . Ο αριθμος x ονομαζεται θ ε τ ι κ η ν ι ο σ τ η ρ ι ζ α τ ο υ α και συμβολιζεται ν α . Δηλαδη: x ν = α ⇔ x = ν α με α, x ≥ 0 ν  * + . ▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς ▪ μ ν μν α = α ▪ ν ν να β = α β  ▪ ν ν α = α ▪ νν να β = α β  ▪ μ μν ν ( α ) = α ▪ ν ν ν α α = ββ ▪ μ ν μν α = α  ▪ ν μ μν α = α  Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 42
  • 43. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ θ ε ι α α π ο δ ε ι ξ η Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη σχεσης ( Σ υ μ π ε ρ α σ μ α ). Δ ο σ μ ε ν α : Σχεση που ισχυει ( Υ π ο θ ε σ η ) . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Ξεκινουμε απ’την υποθεση . Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες λογικης . Καταληγουμε στο συμπερασμα . Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Π α ρ α δ ε ι γ μ α Υ Π ΟΘ Ε Σ Η ΣΥ Μ Π Ε Ρ Α Σ Μ Α Αν α,β,γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι να δειξετε οτι : α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3. Α π α ν τ η σ η Αφου οι αριθμοι α, β, γ εναι διαδοχικοι φυσικοι τοτε: β = α + 1 και γ = α + 2 Οποτε: α + β + γ = α + ( α + 1 ) + ( α + 2 ) = 3α + 3 = 3( α + 1 ) = 3κ (οπου κ = α + 1) Αρα α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3. Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 Υ Π ΟΘΕ Σ Η ΣΥ Μ Π Ε Ρ Α Σ Μ Α Ανα ακεραιος και α αρτιος να δειξετε οτι : α ειναι αρτιος. Α π α ν τ η σ η Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Μ ε θ ο δ ο ς : Σ ε α τ ο π ο α π ο δ ε ι ξ η Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη σχεσης ( Σ υ μ π ε ρ α σ μ α ). Δ ο σ μ ε ν α : Σχεση που ισχυει ( Υ π ο θ ε σ η ) . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Υποθετουμε οτι δ ε ν ισχυει το συμπερασμα . Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες λογικης . Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ) . Αρα ισχυει το συμπερασμα . Αυτη η μεθοδος χρησιμοποιειται για συμπερασματα, για τα οποια εχουμε ακριβως δυο επιλογες π.χ. ρητος – αρρητος, αρτιος – περιττος, κλπ . 43
  • 44. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Εστω α δ ε ν ειναι αρτιος, δηλαδη α περιττος της μορφης α = 2κ + 1 , κ . Εχουμε : α 2 = (2κ + 1) 2 = 2( 2 λ 2κ + 2κ  ) + 1 = 2λ + 1, λ . Δηλαδή α 2 περιττος, που ειναι α τ ο π ο, αφου ο α 2 ειναι αρτιος. Οποτε ο ακεραιος α ειναι α ρ τ ι ο ς . Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 2 x - 1 x - 2x Για ποιες τιμες του x οριζονται τα κλασματα Α = και Β = ; x(x - 2) (x - 1)(x + 1) Να δειξετε οτι οι Α , Β ειναι αντιστροφοι . Α π α ν τ η σ η 2 2 Πρεπει x (x - 2) 0 x 0 και x 2 (x -1)(x + 2) 0 x 1 και x - 2 x -1 x - 2x (x -1)(x +1) x(x - 2) = = = αρα x(x - 2) (x -1)(x +1) x(x - 2) (x -1)(x +1)                 - { - 2,0, 1, 2 }x Α Β 1 Α, Β αντιστροφοι . Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν τ ι θ ε τ ο ι - Α ν τ ι σ τ ρ ο φ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη αντιθετων - αντιστροφων αριθμων . Δ ο σ μ ε ν α : Δυο αριθμοι . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν οι δυο αριθμοι ειναι παραστασεις, εστω Α και Β : Βρισκουμε για ποιες τιμες της παραμετρου (γραμμα της παραστασης) εχει νο- ημα (οριζεται) . Για τους αντιθετους δειχνουμε οτι ισχυει: Α + Β = 0 . Για τους αντιστροφους δειχνουμε οτι ισχυει: Α ∙ Β = 1 . Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Κ ο ι ν ο ς Π α ρ α γ ο ν τ α ς ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . Δ ο σ μ ε ν α : Αλγεβρικο αθροισμα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Βγαζουμε κοινο παραγοντα απ’ολους τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος : απο αριθμους (σ’ολους τους ορους) βγαζουμε τον μεγιστο κοινο διαιρετη απο γραμματα (σ’ολους τους ορους) βγαζουμε το κοινο γραμμα με το μικρο- τερο εκθετη . Με τη βοηθεια των πραξεων και των ιδιοτητων τους και των ιδιοτητων των δυναμεων φτιαχνουμε το γινομενο . Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 44
  • 45. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 5 4 3 2 Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 6α β - 2αβ +12α β . Α π α ν τ η σ η 2 2 5 4 3 2 2 3 2 2 Μ.Κ.Δ.των αριθμων σ'ολους τους ορους : 2 Κοινο γραμμαμεμικροτερο εκθετησ'ολους τους ορους :α β Ετσι Α = 6 α β - 2 α β +12 α β 2 α β (3 α β -β + 6 α )             = . Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = αx + βx -αy - βy . Α π α ν τ η σ η = αx +βx - αy -βy = = (αx +βx)-(αy +βy) = = x(α +β)- y(α +β) = = Α (x - y)(α + β) Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Ο μ α δ ο π ο ι η σ η ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . Δ ο σ μ ε ν α : Αλγεβρικο αθροισμα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Ομαδοποιουμε τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος ανα δυο η ανα τρεις κλπ (αρα οι οροι του αλγεβρικου αθροισματος ειναι αρτιου πληθους) . Βγαζουμε κοινο παραγοντα απο καθε μια ομαδα και ο δευτερος ορος απο καθε- μια απο αυτες τις παραγοντοποιησεις πρεπει να ειναι ο ιδιος, εστω κ . Βγαζουμε κοινο παραγοντα τον κ απ’ολο το αλγεβρικο αθροισμα . Ετσι το αλγεβρικο αθροισμα μετσχηματιζεται σε κ ∙ μ. Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Δ ι α φ ο ρ α τ ε τ ρ α γ ω ν ω ν ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . Δ ο σ μ ε ν α : Αλγεβρικο αθροισμα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε τους α, β στην παρασταση μορφης Α = α 2 - β 2 . Χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα : α 2 - β 2 = ( α - β )( α + β ) . 45
  • 46. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Π α ρ α δ ε ι γ μ α 8 4 2 10 Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 9κ x - 4λ y . Α π α ν τ η σ η 8 4 2 10 4 2 2 5 2 4 2 5 Ειναι = 9κ x - 4λ y = = (3κ x ) -(2λy ) = (α = 3κ x και β = 2λy ) = 4 2 5 4 2 5 Α (3κ x - 2λy )(3κ x - 2λy ) Π α ρ α δ ε ι γ μ α 9 3 6 12 6 3 Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις : Α = 8κ x - λ y , Β = 27μ +ν Α π α ν τ η σ η 9 3 6 12 3 3 2 4 3 3 2 4 3 2 3 2 4 2 4 2 3 2 4 3 2 4 ( α = 2 κ x και β = λ y Ειναι = 8 κ x - λ y = = (2 κ x) -(λ y ) = = (2 κ x - λ y )[(2 κ x) + (2 κ x)(λ y ) + (λ y ) ] = = (2 κ x - λ y (4 ) )                       Α 6 2 3 2 4 4 8 6 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 ( κ x + 2 κ x λ y + λ y ) = = 27μ + ν = = (3μ ) + ν = = (3μ + ν)[(3μ ) - 3μ ν + ν ] = = (3μ + ν)(9μ - 3μ ν + ν ) α = 3 μ και β = ν )          Β Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Α θ ρ ο ι σ μ α - Δ ι α φ ο ρ α Κ υ β ω ν ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . Δ ο σ μ ε ν α : Αλγεβρικο αθροισμα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε τους α, β στις παραστασεις μορφης Α = α 3 – β 3, Β = α 3 + β 3 . Χρησιμοποιουμε τις ταυτοτητες : α 3 – β 3 = ( α – β )( α 2 - αβ + β 2 ) α 3 – β 3 = ( α – β )( α 2 - αβ + β 2 ) 46
  • 47. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 3κ - 5κ - 2. Α π α ν τ η σ η 2 2 = 3κ - 2 = = 3κ - 2 (κ - 2) (κ -= 3κ + = ( - 3 5κ - 6κ + κ κ +1) 2) (κ - 2) Α Π α ρ α δ ε ι γ μ α 8 4 4 4 Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = κ x + 4λ y . Α π α ν τ η σ η 8 4 4 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 = κ x + 4λ y = = (κ x ) +(2λ y ) = (λειπει ο ορος 2 (κ x ) (2λ y ) για να εχουμε ταυτοτητα)  Α Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Τ ε χ ν α σ μ α δ ι α σ π α σ η ς ο ρ ο υ ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . Δ ο σ μ ε ν α : Αλγεβρικο αθροισμα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Συνηθως χρησιμοποιουμε αυτη τη μεθοδο σε παραστασεις τριων ορων (γενικα περιττου πληθους ορων) με μορφη τριωνυμου . Κανουμε διασπαση ενος ορου σε δυο ορους (στη περιπτωση τριωνυμου τον με- σαιο ορο) . Χρησιμοποιουμε τη μεθοδο της ομαδοποιησης . Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η (Τ ε χ ν α σ μ α Π ρ ο σ θ α φ α ι ρ ε σ η ς) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . Δ ο σ μ ε ν α : Αλγεβρικο αθροισμα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Σ’αυτη τη περιπτωση εχουμε παρασταση μορφης ταυτοτητας που της λειπει ενας ορος . Προσθετουμε και αφαιρουμε τον ορο που λειπει . Γραφουμε τη ταυτοτητα απ’το αναπτυγμα που δημιουργηθηκε . Συνεχιζουμε οπως προηγουμενα (συνηθως διαφορα τετραγωνων) . 47
  • 48. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 α + 2αβ +β 4 2 2 2 4 2 = (α +β 2 ) 2 + 2 (κ x ) (2λ y ) - 2 (κ x ) (2= (κ x ) +(2λ y ) = = (κ x ) + 2 (κ x ) (2λ y ) +(2λ y ) -(2κ xλy) = (α = 3κ x , β = 2λy) λ y )       4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 = (κ x + 2λy) -(2κ xλy) = (διαφορα τετραγωνων) = (κ x + 2λy + 2κ xλy)(κ x + 2λy - 2κ xλy) Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2ν + 1 Αν α, β, γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι αριθμοι,δειξτε οτι : Α = α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3. Να δειξετε οτι ο αριθμος 4 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3,αν νθετικος ακεραιος αριθμος. Α π α ν τ η σ η Αφου οι αριθμοι α,β, γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι αριθμοι, τοτε : β = α + 1και γ = α + 2 . Ετσι = α +β + γ = = α + α + 1+ α + 2 = = 3α + 3 = = 3 (α + 1) Αρα Α = α +β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3. Ισχυ  Α ν ν ν -1 ν - 2 ν - 2 ν -1 (1) 2ν + 1 2ν + 1 2ν + 1 2ν 2ν -1 2ν -1 2ν 2ν 2ν -1 ει : α -β = α + α β + ...+ αβ +β (1) Οποτε 4 -1 = 4 -1 = = (4 -1)(4 + 4 1+ ...+ 4 1 + 1 ) = = 3(4 + 4 1+ ...+ 4    2ν -1 2ν το θετουμε κ (οπου κ θετικος ακεραιος) 2ν + 1 1 + 1 ) = 3 κ Αρα ο αριθμος 4 -1 ειναι πολλαπλασιο του 3.   Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Μ ε θ ο δ ο ς : Π ο λ λ α π λ α σ ι ο Α ρ ι θ μ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη πολλαπλασιου αριθμου του αριθμου κ . Δ ο σ μ ε ν α : Αλγεβρικη παρασταση . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Συμφωνα με τις προηγουμενες μεθοδους παραγοντοποιησης δειχνουμε οτι η ζητουμενη παρασταση ειναι γινομενο της μορφης Α = Β ∙ κ (Β = αλγεβρικη πα- ρασταση) . 48
  • 49. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστωοι αριθμοι x,y,z που ειναι αναλογοι των αριθμων 1,2,3 αντιστοιχα. Αν 3x + 2y - 2z = 20 (1),τοτε να βρεθουν οι αριθμοι x,y,z. Α π α ν τ η σ η (1) Ειναι (απο τιςιδιοτητες των αναλογιων) 2y 3x + 2y - 2zx 3x 3x - 2z 20 = = = = = = = = = = = 20 1 1×3 3 4 - 6 3 + 4 - 6 1 Αρα x = 20 1 y = 20 Eπαληθευση : = 3 20 + 2 40 - 2 60 = 60 + 8 2 z = z - 2z 3 - 2×3 y 2y 2 2× 3 2 20                  x = 20 y = 40 3x + 2y - 2z z = 60 0 -120 = 20. Μ ε θ ο δ ο ς : Μ ε ρ ι σ μ ο ς σ ε μ ε ρ η α ν α λ ο γ α Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση αριθμων πχ x, y, z . Δ ο σ μ ε ν α : Αλγεβρικη σχεση μεταξυ των x, y, z και οι αναλογια τους με δοσμενους αριθμους, εστω α, β, γ αντιστοιχα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Γραφουμε την ισοτητα κλασματων: yx z = = α β γ . Μετασχηματιζουμε τα πιο πανω κλασματα, ωστε το αθροισμα των αριθμητων τους να ειναι συμφωνο με τη δοσμενη σχεση . Παιρνουμε την ιδιοτητα αναλογιων: y x + y + zx z = = = = κ α β γ α +β + γ . Λυνουμε τις: yx z = κ, = κ, = κ α β γ Κανουμε την επαληθευση της δοσμενης σχεσης με το αποτελεσμα . Μ ε θ ο δ ο ς : Τ α υ τ ο τ η τ α E u l e r Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Eξισωση της μορφης α3 + β3 + γ3 = 0 . Δ ο σ μ ε ν α : Η εξισωση . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Δειχνουμε οτι α + β + γ = 0 . Χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα Euler : Αν α + β + γ = 0 τοτε: α3 + β3 + γ3 = 3αβγ . Λυνουμε τις εξισωσεις: ▪ α = 0 ▪ β = 0 ▪ γ = 0 49
  • 50. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Π α ρ α δ ε ι γ μ α 3 3 3 Να λυθει ηεξισωση : (x + 2) +(4x - 12) +(10 - 5x) = 0 . Α π α ν τ η σ η 3 3 3 3 33 Eιναι (x + 2) + (4x -12) + (10 - 5x) = x + 2 + 4x -12 + 10 - 5x = 0 Ετσι (x + 2) + (4x -12) + (10 - 5x) = 0 x + 2 = 0 3(x + 2)(4x -12)(10 - (Ισχυει 5x) = 0 4x -12 = :αν x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xy 0 10 - 5x = 0 z)            x = - 2 x = 3 x = 2 Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2 2 2 (α - β) Να συγκρινεται τους αριθμους : Α = α -αβ + β και Β = . 2 Α π α ν τ η σ η 2 2 2 2 2 2 2 (α -β) = α - αβ +β - = 2 2α - 2αβ + 2β -(α -β) = = 2 2α -2αβ = Α- Β 2 2 + 2β - α +2 2 2 2 -β = 2 α +β = 0 2 Αρα Α - Β 0 Α Β Α > Β αν α β η α = β 0 Α = Β αν α = β = 0       Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ γ κ ρ ι σ η α ρ ι θ μ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Συγκριση αριθμων . Δ ο σ μ ε ν α : Οι δυο αριθμοι, εστω α και β . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Γραφουμε την διαφορα α - β . Αν α - β > 0 τοτε α > β Αν α - β < 0 τοτε α < β 50
  • 51. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Π α ρ α δ ε ι γ μ α       22 2 2 2 2 Να αποδειξετε οτι : α + β α + β βα α + β + γ + 3 2(α + β + γ) + 2, αν α > 0 και β > 0 2 2 β α    Α π α ν τ η σ η 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α +β α +β α +β α +β + 2αβ 4α + 4β 2α + 2β + 4αβ 2 2 2 4 2α + 2β - 4αβ 0 2(α +β - 2αβ) 0 2(α +β) 0 , που αληθευει. α +β + γ + 3 2(α +β + γ) α +β + γ + 2α + 2β + 2γ (α - 3 2α + + (1)                     2 2 2 2 2 α > 0 2 2 2 2 2 β > 0 β - 2β + ) + (γ - 2γ + ) 0 (α -1) + (β -1) + (γ -1) 0 , που αληθευει. β βα α + 2 αβ + αβ 2 αβ α +β 2αβ α +β - 2αβ 0 (α -β) 0, αληθ 1 1 ευει. β α β α                Μ ε θ ο δ ο ς : Α λ η θ η ς η π ρ ο φ α ν η ς α ν ι σ ο τ η τ α Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη ανισοτητας . Δ ο σ μ ε ν α : Η ανισοτητα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Ξεκινουμε απ’την δοσμενη ανισοτητα . Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες λογικης . Καταληγουμε σε αληθη η προφανη ανισοτητα . Μ ε θ ο δ ο ς : Σ ε α τ ο π ο α π ο δ ε ι ξ η Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη ανισοτητας . Δ ο σ μ ε ν α : Η ανισοτητα . Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Υποθετουμε οτι δ ε ν ειναι αληθης η δοσμενη ανισοτητα . Παιρνουμε την αντιστοιχη, που θεωρουμε αληθη της δοσμενης ανισοτητας . Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες λογικης . Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ) . Αρα ειναι αληθης η αρχικη ανισοτητα . 51