19. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Αενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : 0 < Ρ(Α) < 1.
1 1
Να αποδειχτει οτι : + 4 .
Ρ(Α) Ρ(Α')
Α π α ν τ η σ η
Ρ(Α') = 1 - Ρ(Α)
Αφου 0 < Ρ(Α) < 1 τοτε
0 < 1- Ρ(Α') < 1 -1 < - Ρ(Α') < 0 .
Ειναι
Ρ(Α) + Ρ(Α')
4 Ρ(Α) + Ρ(Α') 4Ρ(Α) Ρ(Α')
Ρ(Α) Ρ(Α')
Ρ(Α) + 1- Ρ(Α) 4Ρ(Α) [1- Ρ(
Ρ(Α') > 0
1 1
+ 4
Ρ(Α) Ρ(Α')
2
2
Α)] 1 4Ρ(Α)- 4[Ρ(Α)]
1+ 4[Ρ(Α)] - 4Ρ(Α) 0 , που αληθευει.
2
[1- 2Ρ(Α)] 0
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Α,Β και α αριθμοςθετικος.
3 1 1
Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α,ωστε οι αριθμοι : , ,
α 3 α
να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστ
οιχα.
Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ανισοτικης σχεσης .
Δ ο σ μ ε ν α :
Η ανισοτικη σχεση .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Με πραξεις στην προς αποδειξη ανισοτητα καταληγουμε σε ανισοτητα που αληθευ-
ει παντα .
Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π α ρ α μ ε τ ρ ο υ
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση παραμετρου
Δ ο σ μ ε ν α :
Αριθμοι με παραμετρο που αντιστοιχουν σε πιθανοτητες ενδεχομενων .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Απαιτουμε για τα ενδεχομενα Α και Β
Ρ(Α) ∈ (0, 1], Ρ(Β) ∈ (0, 1], Ρ(Α∩ Β) ∈ (0, 1], Ρ(Α∪ Β) ∈ (0, 1] .
Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α)
Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β)
η
Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)
Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)
αναλογα αν ειναι δοσμενη η Ρ(Α ∩ Β) η Ρ(Α ∪ Β) αντιστοιχα .
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
19
20. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Α π α ν τ η σ η
3 1 1
Θα εξετασουμε αν υπαρχει α > 0 ωστε : Ρ(Α) = , Ρ(Β) = , Ρ(Α Β) = .
α 3 α
3 1 1
Οι αριθμοι , , πρεπει να ανηκουν στο διαστημα (0,1] (πιθανοτητες ενδεχομενων).
α 3 α
Οποτε
3
0 < 1
α
1
0 < 1
3
0 <
α >0
0 < 3 α
0 < 1 3
0 < 1 α1
1
α
Πρεπει :
1 3
Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) α 3αα α
Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) 1 1 3 α
α 3
Πρεπει :
Ρ(Α Β) (0,1] 0 Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1
3 1 1
0 + - 1 0 < 9 + α - 3
α 3 α
α 3
α 3
3α 6 2α
3 1 1
Αρα, για οι αριθμοι , , ειναι οι πιθανοτητες των Α, Β, Α Β.
α 3 α
α 3
α 3
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( ε ξ ι σ ω σ η 2 ο υ β α θ μ ο υ )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση πιθανοτητας ενδεχομενου η ανισοτικη σχεση ενδεχομενων .
Δ ο σ μ ε ν α :
Η εξισωση .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Βρισκουμε τις πιθανοτητες που συνδεονται με την εξισωση:
Λυνοντας την εξισωση 2ου βαθμου, αν ειναι ριζες της .
Χρησιμοποιωντας τυπους Vieta, αν το αθροισμα και γινομενο συνδεονται με
την εξισωση ( 1 2 1 2
β γ
ρ + ρ = - και ρ ρ =
α α
) .
Χρησιμοποιωντας τη διακρινουσα:
Δ > 0 : δυο ριζες ανισες
Δ = 0 : μια διπλη ριζα
Δ < 0 : καμμια πραγματικη ριζα
Συνεχιζουμε οπως στις προηγουμενες περιπτωσεις .
20
21. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
Aν Ρ(Α), Ρ(Β)ειναι ειναι η μικροτερη και η μεγαλυτερη ριζα της εξισωσης 6x -7x + 2 = 0
αντιστοιχα,τοτε :
Να βρειτε τις Ρ(Α), Ρ(Β).
1 1 2
Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β)
6 2 3
Α π α ν τ η σ η
2
2
1
1,2
2
Ειναι
Δ = (- 7) - 4 6 2 = 49 - 48 = 1 > 0
7 +1 2
x = =6x -7x + 2 = 0 : -(- 7) ± 1 7 ±1 12 3x = =
2 6 12 7 -1 1
x = =
12 2
1
P(A B)A B A P(A B) P(A) 2
2A B B P(A B) P(B)
P(A B)
3
2
P(B) =
3
1
P(A) =
2
Eιναι
1 2
P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- P(A B) P(A B) = + - P(A B)
2 3
7 7
P(A B) = - P(A B) 0 - P(A B) 1
6 6
Αρα
1
P(A B)A A B P(A) P(A B) 2
2B A B P(B) P(A B)
0 P(AUB) 1
1
P(A B)
2
1
Ρ(Α Β)
6
1 1
Ρ(Α Β)
6 2
P(A B)
3
2
P(A B)
3
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β)οι ριζες της εξισωσης :
x - 2P(A) x + P(A B) = 0 .
5
Aν P(Α Β) = ,να βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(Α), P(A B), P(A' B), P(Α' Β')
9
Α π α ν τ η σ η
Απ'το αθροισμα και γινομενο ριζων τριωνυμου ειναι :
Ρ(Α)+ Ρ(Β) = 2Ρ(Α)
Ρ(Α) Ρ(Β) = P(A B)
2
Ρ(Α) = Ρ(Β)
[Ρ(Α)] = P(A B)
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
21
22. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
2 2
2
2
5 5 5
P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)- P(A B) = 2Ρ(Α)-[P(A)] = 9[P(A)] -18Ρ(Α) + 5 = 0
9 9 9
5
και Ρ(Α) = (απορριπτεται αφου Ρ(Α) < 1)
3
1
[P(A)] =
3
1 1
Ρ(Β)- P(A B) = -
3 9
1
Ρ(Α) =
3
1
P(A B) = =
9
2
P(A' B) = =
9
P(Α'
1
Ρ[(A B)]' = 1- P(A B) = 1-
9
8
Β') = =
9
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2
κ
κ
Δινεται ο κ με - 4 κ 3 και η εξισωση : (Ε ) : κx +(κ - 2)x + κ = 0.
Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση(Ε ) :
Α : εχει δυο πραγματικες και ισες ριζες
Β : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες
Γ :
δεν εχει πραγματικες ριζες.
Α π α ν τ η σ η
- 4 - 3 3
- 4 - 3 3
2 2 2
Αφου κ [- 4,3] και οριζει τις εξισωσεις (Ε ), (Ε ),..., (Ε ) τοτε
Ω = {(Ε ), (Ε ),..., (Ε )} και .
Ειναι, (κ - 2) - 4 κ κ = κ - 4κ + 4 - 4κ
Για να εχ
2
Ν(Ω) = 8
Δ = = - 3κ - 4κ + 4
2
ει η εξισωση δυο πραγματικες και ισες ριζες, πρεπει :
- 3κ - 4κ + 4 = 0 2
κ = (απορριπτεται, κ ακεραιος)
3
Ν(Α)
Αρα Ν(Α) = 1 και
Ν(Ω)
Για να εχει η εξισωση δυο πρα
κ = - 2
Δ = 0
1
Ρ(Α) = =
8
2
γματικες και ανισες ριζες, πρεπει :
2
- 3κ - 4κ + 4 > 0 - 2 < κ < τοτε κ εχει τιμες και .
3
Ν(Β) 2
Αρα Ν(Β) = 2 και =
Ν(Ω) 8
Για να μην εχει η εξισωση πραγματικες ριζες,
Δ > 0 - 1 0
1
Ρ(Β) = =
4
2
πρεπει :
2
- 3κ - 4κ + 4 < 0 (κ < - 2 η κ > ) τοτε .
3
Ν(Γ)
Αρα Ν(Γ) = 5 και
Ν(Ω)
Δ < 0 κ = - 4,- 3,1,2,3
5
Ρ(Γ) = =
8
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
22
23. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Εστω Αενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω και|Ρ(Α)+ 2|-|Ρ(Α)- 3|= 8κ, κ .
1
Να δειχτει οτι :|κ| .
8
Α π α ν τ η σ η
Ρ(Α) - 2 Ρ(Α) + 2 0 |Ρ(Α) + 2|= Ρ(Α) + 2
Ειναι, 0 Ρ(Α) 1
Ρ(Α) 3 Ρ(Α)- 3 0 |Ρ(Α)- 3|= 3- Ρ(Α)
Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται :
Ρ(Α) + 2 -(3- Ρ(Α)) = 8κ Ρ(Α) + 2 - 3 + Ρ(Α) = 8κ 2Ρ(Α) = 8κ +1
Ομως, 0 Ρ(Α)
8κ + 1
Ρ(Α) = (1)
2
(1)
8κ +1 1 1
1 0 1 0 8 κ +1 2 - 1 8κ 1 - κ
2 8 8
1
|κ|
8
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( α π ο λ υ τ η τ ι μ η )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη σχεσης .
Δ ο σ μ ε ν α :
Σχεση μεταξυ απολυτων τιμων πιθανοτητων .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Απ’τους τυπους λογισμου πιθανοτητων βρισκουμε τις τιμες των απολυτων στη
δοσμενη σχεση .
Βρισκουμε τις πιθανοτητες .
Απ’τους τυπους λογισμου πιθανοτητων, καταληγουμε στη ζητουμενη σχεση .
Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Πληθος, πιθανοτητα κλπ .
Δ ο σ μ ε ν α :
Στοιχεια προβληματος .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Θετουμε x εκεινο το ζητουμενο, που συνδεεται με δοσμενα του προβληματος .
Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις .
Απο γνωστη πιθανοτητα προσδιοριζουμε τον x .
Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα .
Στη περιπτωση δυο αγνωστων x,y, συμφωνα με τα προηγουμενα, καταληγουμε
σε συστημα ως προς x, y .
23
24. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
2 1
Η Γ' ταξη ενος Λυκειου εχει 25 μαθητες - μαθητριες.Τα των μαθητων και το των μαθητρι -
5 5
ων επελεξαν τηθετικη κατευθυνση και οι υπολοιποι τηνθεωρητικη η τεχνολογικη κατευθυνση.
Επιλεγουμε τυχαια εναν υποψηφιο. Αν η πιθανοτητα να ειναι μαθητης που δεν επελεξε τηθε -
9
τικη κατευθυνση ειναι Ρ(Μ) = , να βρειτε :
25
Ποσοι ειναι οι μαθητες και ποσες οι μαθητριες.
Ποια η πιθανοτητα Ρ(Κ)ο υποψηφιος ειναι μαθητρια που δεν επελεξε τηθετικη κατευθυνση ;
Α π α ν τ η σ η
Εστω x o αριθμος τωνμαθητων.
2x
Οι μαθητες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος, ενω αυτοι που
5
3x
δεν επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος.
5
Οποτε η πιθανοτητα Ρ(Μ),"ο μαθητης να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι :
3x
9 Ν(Μ) 9 9 3x5Ρ(Μ) = = = = 9 3x = 45
25 Ν(Ω) 25 25 25 5
Αρα οι μαθητες ειναι 15 και οι μαθητριες 10.
Οι
x = 15
1
μαθητριες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι :10 = 2, ενω αυτες που δεν
5
την επελεξαν ειναι : 10 - 2 = 8 . Οποτε η πιθανοτητα του ενδεχομενου,
"η μαθητρια να μην επελεξε τ
Ν(Κ)
η θετικη κατευθυνση", ειναι : Ρ(Κ) = .
Ν(Ω)
8
Ρ(Κ) =
25
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
Σ'ενα διαγωνισμο ομορφιας 24 υποψηφιες εχουν καστανα μαλλια,ενω οι υπολοιπες
εχουν μαυρα η ξανθα.
1
Η πιθανοτητα να κερδισει το διαγωνισμο ξανθια ειναι ,ενω να κερδισει υποψηφια
2
με μαυρα μαλλια ειναι
1
.
6
Να βρειτε ποσες ειναι οι υποψηφιες.
Α π α ν τ η σ η
Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια.
Τοτε, Ν(Ω) = 24 + x + y.
Θεωρουμε τα ενδεχομενα :
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
24
25. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Α :"υποψηφια με καστανα μαλλια".
Β :"υποψηφια με ξανθα μαλλια".
Γ :"υποψηφια με μαυρα μαλλια".
1 1
Ειναι, Ρ(Β) = , Ρ(Γ) = , Ν(Β) = x, N(Γ) = y.
2 6
Οποτε
Ν(Β) 11 =Ρ(Β) =
Ν(Ω) 22
1 Ν(Γ)
Ρ(Γ) =
6 Ν(Ω)
x 1
=
2 = 24 + x + y x = 24 + y x = 24 + y24 + x + y 2
y1 6 = 24 + x + y x - 5y = - 24 24 + y - 5y = - 241
= =
6 24 + x + y 6
x = 24 + y
4y = 48
Aρα οι υποψηφιες ειναι : 24 + 36 + 12 .
x
y
x = 36
y = 12
= 72
Π α ρ α δ ε ι γ μ α
ΣτοCD που εχετε αυτη τη στιγμη μπροστα σας, υπαρχουν ν αλυτες ασκησεις,αριθμημενες
απο το 1ως το ν, που επιμεληθηκαν δυο μαθηματικοι,ο Α και ο Β .
Καποιες απ'αυτες επιμεληθηκε ο μαθηματικος Α, καποιες ο Β και καποιες επιμεληθηκαν
μαζι ο Α και ο Β .
Ο μαθηματικος Αεχει επιμεληθει συνολικα τις πρωτες 50 ασκησεις,απ'τις οποιες μονο
τις πρωτες 30 επιμεληθηκε μονος του .
Η πιθανοτητα να εχουν επιμε
1
ληθει μαζι οι δυο μαθηματικοι μια ασκηση ειναι .
5
Να βρειτε ποσες ειναι οι αλυτες ασκησεις .
1
Αν η πιθανοτητα να εχει επιμεληθει μια ασκηση ο μαθηματικος Β μονος του ειναι ,
2
ο ισχυρισμος του οτι ασχοληθηκε με70 απ'τις ασκησεις ειναι σωστος;
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς
Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η μ ο ν ο Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν )
Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Πληθος, πιθανοτητα κλπ .
Δ ο σ μ ε ν α :
Στοιχεια προβληματος .
Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις .
Μετατρεπουμε τα δοσμενα του προβληματος σε συμβολισμους πιθανοτητων .
Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα .
25
27. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 1 η
Απο μια τραπουλα (52φυλλων) παιρνουμε διαδοχικα 3φυλλα και τα χαρακτηριζουμε
ως προς το χρωμα τους σε μαυρα(Μ) και κοκκινα(Κ).
Να βρειτε :
Το δειγματικο χωρο Ω του πειραματος .
Το ενδεχομενο Α : "
2 το πολυ μαυρα φυλλα" .
Το ενδεχομενο Β : " 2 τουλαχιστον μαυρα φυλλα" .
Το ενδεχομενο Γ = Α Β .
Α σ κ η σ η 2 η
Ριχνουμε το ζαρι δυοφορες και παρατηρουμε τις ενδειξεις του.
Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα :
Α : " πρωτη ενδειξη μεγαλυτερη απο την δευτερη" .
Β :" το αθροισμα των δυο ενδειξεων ειναι αρτιος αριθμο
ς" .
Γ : " η πρωτη ενδειξη περιττη και η δευτερη αρτια" .
Α Β, Α Γ, Β Γ, Α (Β Γ)
Α σ κ η σ η 3 η
Ριχνουμε τα ζαρια στο ταβλι (2ζαρια). Ποια ειναι η πιθανοτητα να φερουμε :
Α : " εξαρες" (και τα δυο ζαρια τον αριθμο 6).
Β :" ασσοδυο" (το ενα ζαρι τον αριθμο 1 και το αλλο τον αριθμο 2).
Γ : " ενα τουλαχιστον 5" .
Α σ κ η σ η 4 η
Απο τραπουλα 52 παιγνιοχαρτων παιρνουμε ενα φυλλο.
Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :
Α : " τοφυλλο ειναι κοκκινο"
Β : " τοφυλλο ειναι νταμα"
Γ : " φυλλο ειναι μαυρο"
Δ :" τοφυλλο ε ηιναι κοκκιν νταμα"
Ε :" τοφυλλο ειναι κοκκινο η νταμα"
Ζ :" τοφυλλο δεν ειναι κοκκινο η νταμα"
Α σ κ η σ η 5 η
3 5
Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α') και Ρ(Β') .
4 6
1 5
Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) .
4 12
27
28. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 6 η
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 1 4
Εστω Ω = {ω ,ω ,ω ,ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης .
1 1 1
Αν Ρ(ω ) = , Ρ(ω ) = και Ρ(ω ) = , να βρεθει η Ρ(ω ).
2 4 8
1 4
Αν Α = {ω ,ω }, Β = { ω ,ω }, Ρ(Α) = , Ρ(Β) = και Ρ(ω
4 5 1
2
1
) = ,
6
να υπολογισετε τη πιθανοτητα Ρ(ω ).
Α σ κ η σ η 7 η
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,5 ενω Ρ(Α Β) = 0,4 .
Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα .
Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :
Γ :" ν
α πραγματοποιηθει μονο το Α "
Δ : " να πραγματοποιηθει μονο το Β"
Ε : " να πραγματοποιηθει μονο ενα απο τα Α και Β"
Α σ κ η σ η 8 η
Ριχνουμε στον αερα ενα ζαρι που δεν ειναι αμεροληπτο.
1 1 1
Αν Ρ(1) = , Ρ(2) = Ρ(3) = Ρ(4) = και Ρ(6) = , τοτε :
12 6 4
Να βρεθει η Ρ(5).
Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " ενδειξη περιττη" .
Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Β : " ε νδειξη μεγαλυτερη του 4" .
Α σ κ η σ η 9 η
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
3 2 1
Ρ(Α Β) = και Ρ(Β') = ενω Ρ(Α Β) = .
4 3 4
Να βρειτε τις πιθανοτητες :
Ρ(Β)
Ρ(Α)
Ρ(Α- Β)
Ρ(Β - Α)
Ρ(Α' Β')
Ρ[(Α- Β) (Β - Α)]
28
29. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 1 0 η
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :
1 1 5
Ρ(Α') , Ρ(Β) και Ρ(Α Β) .
3 3 6
Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα .
1
Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β).
6
Α σ κ η σ η 1 1 η
Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω με
1 2
Ρ(Α') = και Ρ(Β') =
2 3
.
▪ Eξεταστε αν τα ενδεχομενα Α’ και Β’ ειναι ασυμβιβαστα.
▪ Αν
11
Ρ(Α' Β')=
12
να υπολογισετε την Ρ(Α' Β') .
▪ Δειξτε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα.
▪ Να υπολογισετε τις πιθανοτητες Ρ(Α Β') και Ρ(Α Β') .
Α σ κ η σ η 1 2 η
2 2
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω .
Να αποδειχτει οτι :
[Ρ(Α)] + [Ρ(Β)] - 2Ρ(Α Β) 2[Ρ(Α Β)- 1]
Α σ κ η σ η 1 3 η
Η πιθανοτητα να επιλεγει ενας μαθητης στη θεατρικη ομαδα του σχολειου του ειναι
1/6 ενω η πιθανοτητα να μην επιλεγει στην ομαδα μουσικης ειναι 4/5, ενω η πιθανο-
τητα να επιλεγει και στις δυο ομαδες ειναι 1/10.
Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων:
▪ Να επιλεγει τουλαχιστον σε μια απο τις δυο ομαδες.
▪ Να επιλεγει μονο στην θεατρικη ομαδα.
▪ Να επιλεγει μονο στην ομαδα μουσικης.
▪ Να επιλεγει μονο σε μια απο τις δυο ομαδες.
▪ Να μην επιλεγει σε καμια ομαδα.
▪ Να επιλεγει σε μια το πολυ ομαδα.
29
30. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 1 4 η
Εστω Α,Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και α > 0.
Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α,ωστε οι αριθμοι :
3 8 1
, 2- και
α α α
να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α,Β και Α Β αντιστοιχα.
Α σ κ η σ η 1 5 η
2 2
Μια ταξη εχει 30 αγορια και κοριτσια. Τα των αγοριων και τα των κοριτσιων
3 3
εχουν κινητο τηλεφωνο .
Αν η πιθανοτητα να ειναι κοριτσι που εχει κινητο ειναι 0,2 να βρεθουν :
Ποσα ειναι τα αγορια της ταξης .
Ποια η πιθανοτητα το ατομο να ειναι κοριτσι η να εχει κινητο .
Α σ κ η σ η 1 6 η
Εστω Α,B ασυμβιβαστα ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω ωστε Α Β = Ω .
1 4
Αν Ρ(Α)- Ρ(Β) = και 2Ρ(Α)+ Ρ(Β) = , θ > 0, τοτε να βρεθουν :
θ θ
Ρ(Α), Ρ(Β) και θ.
Α σ κ η σ η 1 7 η
Σε ενα συνεδριο μαθηματικων συμμετεχουν Ελληνες, Γαλλοι και Αγγλοι μαθηματικοι.
Απο τους συνεδρους επιλεγεται τυχαια ενας για τη θεση του συντονιστη του συνεδ-
ριου.
Αν στο συνεδριο συμμετεχουν 25 Ελληνες, ενω οι πιθανοτητες να επιλεγει Γαλλος ει-
ναι 1/3 και Αγγλος ειναι 1/4, να βρεθει το πληθος των συνεδρων.
Α σ κ η σ η 1 8 η
2
κ
κ
Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με |κ| 7 και η εξισωση :
(Ε ) : (κ - 1)x -(3κ - 2)x + 2κ + 1 = 0.
Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση(Ε ) :
Α : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες .
Β : εχει δυο ομοσημες και ανισες ριζες .
Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες .
30
31. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 1 9 η
Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω .
Ισχυει :|Ρ(Α) + 3|-|Ρ(Α)- 3|= κ + 3, κ .
1
Να δειχτει οτι :|κ| .
2
Α σ κ η σ η 2 0 η
2
Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β)οι ριζες της εξισωσης :
P(A B)
x -(3P(A)- Ρ(Β))x + = 0 .
5
8
Aν P(Α' Β') = , να βρεθουν οι πιθανοτητες :
9
Ρ(Α), P(A B), P(A' B), P(Α Β).
Α σ κ η σ η 2 1 η
Εστω Α,Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω.
Να δειξετε οτι :
P(A B) Ρ(Α)+ Ρ(Β)- 1
P(A B Γ) Ρ(Α)+ Ρ(Β)+ Ρ(Γ)- 2
Α σ κ η σ η 2 2 η
Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} και τα ενδεχομενα:
Α = {ω1 , ω2} και Β = {ω2, ω3}.
Αν
5 1 2 1
Ρ(Α)= , Ρ(Β)= , Ρ(Α Β)= και Ρ(Α-Β)=
12 3 3 12
να βρεθουν οι πιθανοτητες των απλων
ενδεχομενων ω1, ω2, ω3 και ω4.
Α σ κ η σ η 2 3 η
2
Ενας μαθηματικος εχει στον υπολογιστη του x ευκολες ασκησεις, 3x + 12 μετριας δυσκολιας
και 3x δυσκολες ασκησεις.
Ο καθηγητης επιλεγει τυχαια μια ασκηση για να τη βαλει σ'ενα test.
Θεωρουμε το ενδεχομενο Α : "επιλεγει ευκολη ασκηση".
Να βρειτε :
την πιθανοτητα Ρ(Α)σε συναρτηση με τον x.
για ποια τιμη του x η Ρ(Α)γινεται μεγιστη.
ποια ειναι η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α).
31
32. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 2 4 η
2
Να εξεταστει αν η πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α μπορει να εκφραστει απ'τη συναρ -
5 1 3
τηση : f(x) = 2x - x + , x - , . Aν ακομη ισχυει :
8 4 4
3|1- 2Ρ(Α)|-|3Ρ(Α)- 1|= 2κ, κ , να βρεθουν οι τιμες των κ και
Ρ(Α).
Α σ κ η σ η 2 5 η
2 2
Εστω Α και Β - Αενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω.
Να δειξετε οτι :
1
0 Ρ(Α)Ρ(Α')
4
1
[Ρ(Α)] + [Ρ(Α')] 1
2
Αν Ρ(Α Β)- Ρ(Α Β) = 1, να δειξετε :
Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α)+ Ρ(Β) = 1
Α σ κ η σ η 2 6 η
Μετα απο ενα τροχαιο ατυχημα το 40% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινο-
τερο επαρχιακο νοσοκομειο, το 50% των επιβατων διακομιστηκαν σε νοσοκομειο της
Αθηνας, ενω το 15% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκο-
μειο και κατοπιν λογω της σοβαρο-τητας του τραυματισμου τους κριθηκε αναγκαια η
μεταφορα τους σε νοσοκομειο της Αθηνας.
Αν 12 απο τους επιβατες δεν τραυματιστηκαν καθολου τοτε ποσους επιβατες συνολι-
κα ειχε το οχημα;
Α σ κ η σ η 2 7 η
2
Εστω Α,B ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και ισχυουν
η Ρ(Α) ειναι λυσητης εξισωσης 5x + 9x - 2 = 0
3
Ρ(A Β) = 2Ρ(Α) = Ρ(Β)
2
να υπολογιστουν οι Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Α- Β).
Α σ κ η σ η 2 8 η
2
Εστω Ω = {1,2,...,10} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα α -
πλα ενδεχομενα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απλο ενδεχομενο α Ω.
Αν f(x) = x + 4x +α, να βρειτε τη πιθανοτητα η εξισωση f(x) = 0 να
μην εχει πραγματι -
κες ριζες.
32
33. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς
Α σ κ η σ η 2 9 η
2
Εστω Ω = {1,2,3,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος πουαποτελειται απο ισοπιθανα
x + y = 3
απλα ενδεχομενα και το συστημα , με α Ω.
(α + 2)x + 3αy = 1
Να βρειτε τη πιθανοτητα τουενδεχομενου Α : " το συστημα α
δυνατο" .
Α σ κ η σ η 3 0 η
Για τους υποψηφιους της Τεχνολογικης κατευθυνσης το 2006 γνωριζουμε οτι :
Το 30% απετυχε στηΦυσικη .
Το 40% απετυχε στα Μαθηματικα .
Το 20% απετυχε στηΦυσικη και στα Μαθηματικα .
Επιλεγουμε τυχαια ενα απ'τους υποψηφιους. Βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :
Α :" ο υποψηφιος απετυχε τουλαχιστον σ'ενα απο τα δυο μαθηματα" .
Β :" ο υποψηφιος απετυχε μονο στα Μαθηματικα" .
Γ :" ο υποψηφιος απετυχε μονο σ'ενα απο τα δυο μαθηματα" .
Α σ κ η σ η 3 1 η
Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω και Ρ(Α), Ρ(Β) ριζες της εξισωσης:
6x3 + 5x2 – 12x + 4 = 0 με Ρ(Α) < Ρ(Β) να δειξετε οτι:
▪ Α, Β οχι ασυμβιβαστα ▪
1 1
Ρ(Α Β)
6 2
▪
2
Ρ(Α Β) 1
3
Α σ κ η σ η 3 2 η
Εστω δειγματικος χωρος που αποτελειται απο το συνολο των ριζων της εξισωσης
(x – 10) (x – 11) … (x – 20) = 0.
Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα και λ ∈ Ω, να βρεθει η πιθανο-
τητα η εξισωση y 2 – 8y + λ = 0 να μην εχει πραγματικες ριζες.
33
34. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς
Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει:
Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα.
Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε
Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Α π ο δ ε ι ξ η
(1)
Ν(Α) = κ γιατι διαφορετικα τα Α, Β
Αν τοτε Α Β = κ + λ
Ν(Β) = λ δεν θα ηταν ασυμβιβαστα
Δηλαδηειναι : Ν(Α Β) = κ + λ = Ν(Α) + Ν(Β) (1)
Οποτε
Ν(Α Β) Ν(Α) + Ν(Β) Ν(Α
= =
Ν(Ω) Ν(Ω)
Ρ(Α Β)
) Ν(Β)
+ =
Ν(Ω) Ν(Ω)
= Ρ(Α) + Ρ(Β)
Α π ο δ ε ι ξ η
Α Α' Ω
Ρ(Ω) 1
Αφου Α Α' = (Α, Α'ειναι ασυμβιβαστα),
απ'τον απλοπροσθετικο νομοπροκυπτει
Ρ(Α Α') = Ρ(Α) + Ρ(Α')
Ρ(Ω) = Ρ(Α) + Ρ(Α')
1 = Ρ(Α) + Ρ(Α')
Ρ(Α') = 1- Ρ(Α)
Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ
Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α’ (ασυμβιβαστα) ισχυει:
Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α)
Α Β
Ω
Α’
Ω
Α
34
35. Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr
Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς
Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:
Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)
Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς
Α π ο δ ε ι ξ η
Για δυο ενδεχομενα Α και Βεχουμε :
αφου στο αθροισμα το πληθος των στοιχειων
του υπολογιζεται δυο φορες.
Αν διαιρ
N(A B) = N(A) +
εσουμε ταμελη
N(B)- N(A B) (1)
N(A) + N(B)
της(1)με
A B
N(
Ν(Ω)προκυπτει :
A B) N(A) N(B) N(A B)
= + -
N(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω)
Ετσι
Ν(Α Β) N(A) N(B) N(A B)
= + - =
Ν(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω)
Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β)
Α π ο δ ε ι ξ η
Αφου Α Β τοτε Ν(Α) Ν(Β)
οποτε,διαιρωνταςμε Ν(Ω) > 0
Ν(Α) Ν(Β)
Ν(Ω) Ν(Ω)
Ρ(Α) Ρ(Β)
Α π ο δ ε ι ξ η
Αφου Α Β και Α Βειναι ασυμβιβαστα και
Α = (Α Β) (Α Β), τοτε
Ρ(Α) = Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)
Ρ(Α- Β) = Ρ(Α)- Ρ(Α Β)
Π ι θ α ν ο τ η τ α Υ π ο σ υ ν ο λ ο υ
Αν Α ⊆ Β τοτε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)
Α Β
Ω
Β
Ω
Α
Π ι θ α ν ο τ η τ α Δ ι α φ ο ρ α ς
Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:
Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)
Α Β
Ω
35