Resumo Lógica Raciocínio

RESUMO DE RACIOCÍNIO LÓGICO
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ÍÍÍÍNNNNDDDDIIIICCCCEEEE
ÍNDICE:
I Objetivos pg 3
II Decifrando os editais pg 4
III Lógica proposicional pg 15
IV Estruturas lógicas pg 31
V Diagramas Lógicos pg 32
VI Associação lógica pg 33
VII Verdades e mentiras pg 36
VIII Matrizes e determinantes pg 38
IX Sistemas lineares pg 48
X Análise combinatória pg 50
XI Probabilidades pg 57
XII Trigonometria pg 63
XIII Sequências e criptografia pg 70
XIV Lógica de situações pg 73
XV Geometria pg 76
XVI Progressões pg 83
XVII Matemática Básica pg 88
XVIII Problemas com figuras pg.89
XIX Raciocínio crítico pg.105

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OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO DDDDOOOO TTTTRRRRAAAABBBBAAAALLLLHHHHOOOO
Objetivamos com este resumo fazer uma abordagem básica dos diversos assuntos que são
cobrados pelas bancas examinadoras de concursos públicos no que se refere à matéria
“Raciocínio Lógico”. Abordaremos os seguintes assuntos: lógica (incluindo diagramas
lógicos, associação lógica e estruturas lógicas), matrizes, determinantes e sistemas lineares,
análise combinatória e probabilidades, progressão aritmética e geométrica, sequências e
criptografia, trigonometria e geometria, matemática básica e raciocínio crítico.
Abordaremos os “macetes” usados para agilizar a resolução dos exercícios, procurando dar
uma visão geral dos diversos assuntos cobrados nesta matéria, bem como as diferentes
formas de cobrança desta matéria pelas bancas examinadoras..
Didática pressupõe “saber explicar na medida certa”. Trabalhamos para expor os assuntos
na medida certa, sem nos alongarmos em muitos exercícios, para que haja uma visão geral
de forma otimizada. Esperamos ser bem didáticos nas explicações para que sejam
desmistificados os segredos do assunto que as bancas chamam de “Raciocínio Lógico”.
Aconselhamos, porém, que sejam feitos muitos exercícios desta matéria, pois somente
com muitos exercícios o concursando terá condições de enfrentar as questões das provas.
Organizando a teoria de forma objetiva esperamos contribuir para que o concursando
tenha sucesso na fixação do conteúdo. A leitura deste resumo facilitará bastante o
concursando a se interar do conteúdo cobrado pelas bancas examinadoras nos editais de
concursos públicos no que se refere à matéria “raciocínio lógico”.

DDDDEEEECCCCIIIIFFFFRRRRAAAANNNNDDDDOOOO OOOOSSSS EEEEDDDDIIIITTTTAAAAIIIISSSS
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DECIFRANDO OS EDITAIS DE CONCURSOS PÚBLICOS:
- O QUE É RACIOCÍNIO LÓGICO PARA AS
BANCAS EXAMINADORAS?

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Verificando os diversos editais de concursos notamos que cada banca tem uma forma
peculiar de cobrança desta matéria. Abaixo falaremos sobre estes diversos enfoques.
Afinal: o que as bancas chamam de “raciocínio lógico”?. Há uma tendência de inovação de
cobrança pelas bancas examinadoras?. Sim!, e iremos expor estas mudanças, de forma que
o concursando também busque pelo aprendizado destas inovações.
1) CESPE – com a forma tradicional de cobrança na forma “certo ou errado” o Cespe
costuma apresentar textos introdutórios longos nas questões, mas que normalmente não
são fundamentais para a resolução da questão já que a informação principal se encontra
em poucas linhas em forma de assertivas e perguntas e não na introdução da questão
A cobrança mais intensa nas provas é do assunto “lógica” (itens 1, 2, 3 e 4 abaixo) .
Veja abaixo o texto de um de seus editais referente ao concurso do Ministério da Saúde):

Exemplo de questão do Cespe de raciocínio lógico. notem que a introdução até o fim da
tabela não é fundamental para a resolução da questão:
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2) FCC – Esta banca examinadora tem cobrado raciocínio lógico de forma diferenciada
conforme o concurso público. Recentemente, verificamos a cobrança de questões que
envolvem a relação arbitrária entre pessoas. lugares, objetos ou eventos fictícios
-conforme podemos verificar no edital abaixo-, em provas de analista e técnico de
tribunais:
Edital do concurso para analista e técnico do TRT 16 - 2014 :
www.concursosfcc.com.br/concursos/trt16113/edital_abertura_de_inscricoes_versao_final.pdf

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Exemplo de questão de raciocínio lógico cobrada atualmente pela FCC que envolve
relações arbitrárias com circunstâncias, pessoas. Lugares, objetos ou eventos fictícios.
Notem que em questões deste tipo são cobradas situações diferentes em cada problema,
não há uma “receita de bolo” única.

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Nos concursos de nível superior em nível máximo de cobrança a FCC tem se utilizado de
inovações, como a cobrança de raciocínio crítico, que nada mais é do que a avaliação de
situações através da interpretação lógica de textos.
Nas palavras do professor Weber Campos:
“O programa de raciocínio crítico apresentado no edital do ICMS SP / 2013 é inédito na
FCC, contudo esse raciocínio é composto por partes conhecidas para quem já fez algum
curso de raciocínio lógico. pode-se afirmar que o raciocínio crítico é composto das
seguintes partes: lógica proposicional, problemas lógicos, raciocínio aritmético e
interpretação de textos”.
Edital do ICMS SP – Conteúdo programático da matéria Raciocínio lógico:

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Exemplo de questão de raciocínio crítico (que envolve interpretação de textos):

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3) ESAF – Veja abaixo o conteúdo programático de raciocínio lógico do edital de AFRFB –
2013. Notem o conteúdo “tradicional e aprofundado” de cobrança desta banca
enfatizando bastante matemática em nível avançado:
Note que o edital está envolvendo também outras matérias como estatística, matemática
financeira e matemática simples. Abordaremos somente as questões relacionadas à
raciocínio lógico.

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4) FGV - Apresentamos também o edital recente da FGV para o TJ-RJ. Vejam que o
conteúdo do edital não difere muito dos demais.
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO: Raciocínio Lógico Matemático - Lógica: proposições,
valor-verdade, negação, conjunção, disjunção, implicação, equivalência, proposições
compostas. Equivalências lógicas. Problemas de raciocínio: deduzir informações de
relações arbitrárias entre objetos, lugares, pessoas e/ou eventos fictícios dados. Conjuntos
e suas operações. Números naturais, inteiros, racionais, reais e suas operações.
Representação na reta. Unidades de medida: distância, área, volume, massa e tempo.
Álgebra básica: equações, sistemas e problemas do primeiro grau. Porcentagem,
proporcionalidade direta e inversa, regras de três, juros simples e compostos. Sequências e
reconhecimento de padrões. Princípios de contagem e noção de probabilidade.
Tratamento da informação: noções básicas de estatística, tabelas e gráficos.

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ASSUNTOS AAASSSSSSUUUNNNTTTOOOSSS DDDDEEEESSSSTTTTAAAACCCCAAAADDDDOOOOSSSS NNNNOOOO SSSSUUUUPPPPEEEERRRRPPPPRRRROOOOVVVVAAAASSSS
Abaixo demonstramos os diversos assuntos mais recorrentes em provas de concursos
públicos na exigência do Raciocínio Lógico. É esta a divisão de assuntos que encontraremos
no Superprovas:

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LLLLÓÓÓÓGGGGIIIICCCCAAAA PPPPRRRROOOOPPPPOOOOSSSSIIIICCCCIIIIOOOONNNNAAAALLLL
LÓGICA PROPOSICIONAL- “A LÓGICA PURA/BOOLEANA”

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SSSSIIIIMMMMBBBBOOOOLLLLOOOOGGGGIIIIAAAA
Simbologia:
Sendo as proposições: P = ocorreu um incêndio e Q = o prédio desabou.
1) Negação : ~ P
Lê-se : “não p” = não ocorreu um incêndio..
2) Conjunção: P ^ Q (ou P.Q)
Lê-se: P e Q = ocorreu um incêndio e o prédio desabou.
Mnemônico: lembre que o símbolo ^ acima se parece com “e” escrito à mão
3) Disjunção : P v Q
Lê-se: P ou Q = ocorreu um incêndio ou o prédio desabou.

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SSSSIIIIMMMMBBBBOOOOLLLLOOOOGGGGIIIIAAAA
4) Condicional: P Q ( note que a simbologia é uma seta para a direita)
Lê-se: se P então Q. Ou seja: se ocorreu um incêndio, então o prédio desabou.
5) Bicondicional: P <=> Q (note que a simbologia é uma seta dupla para esquerda e
direita)
Lê-se : se e somente se P então Q. Ou seja: se e somente se ocorreu um incêndio o prédio
desabou.
6) Disjunção exclusiva: P V Q. (note que a simbologia é um V com um traço debaixo).
Lê-se: ou P ou Q. Ou o prédio desabou ou ocorreu um incêndio.

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QQQQUUUUAAAANNNNTTTTIIIIFFFFIIIICCCCAAAADDDDOOOORRRREEEESSSS
 Quantificador universal: é indicado pelo símbolo: que se lê “qualquer que seja” ou
“para todo”.
Quantificador existencial: indicado pelo símbolo que se lê: “existe pelo menos um”
ou “para algum.
Quantificador existencial de unicidade: que se lê: “existe um único”.
Negação do quantificador universal: a negação do quantificador universal P(x) é
representado pela expressão:
Negação do quantificador existencial: a negação do quantificador existencial
é representado pela expressão:

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DDDDEEEEFFFFIIIINNNNIIIIÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS BBBBÁÁÁÁSSSSIIIICCCCAAAASSSS
Proposições são sentenças (declaradas por meio de palavras ou símbolos) cujo conteúdo
pode ser declarado verdadeiro ou falso.
Tabela da verdade: é a representação dos resultados verdadeiros e falsos das diversas
proposições simples fundamentais da lógica (disjunção, conjunção, condição, bi-condicional,
negação e ou - exclusivo).
Conectivos: são os símbolos usados na lógica (^, v, v, ~,  e <->)
Estruturas lógicas : alguns problemas de lógica podem ser resolvidos pela análise de suas
tabelas de verdade.
Argumento: é a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em outra
proposição final, que será consequência das primeiras. Dito de outra forma, argumento é
a relação que associa um conjunto de proposições p chamadas premissas do argumento a
uma proposição c chamada de conclusão do argumento.
Exemplo de Argumento:
P1= Todas crianças gostam de doce (premissa)
P2= José não é uma criança (premissa)
Conclusão = Portanto, José não gosta de doce.

ARGUMENTO AAARRRGGGUUUMMMEEENNNTTTOOO VVVVÁÁÁÁLLLLIIIIDDDDOOOO XXXX IIIINNNNVVVVÁÁÁÁLLLLIIIIDDDDOOOO ((((SSSSOOOOFFFFIIIISSSSMMMMAAAA))))
Argumento Válido: as premissas são consideradas provas da verdade obtida na
conclusão.
Exemplo: Todos cães são vegetarianos. Dálmatas são cães. Logo, dálmatas são
vegetarianos.
Apesar da primeira premissa e da conclusão serem absurdas, o raciocínio é válido, pois
tem uma forma na qual, caso todas as premissas fossem verdadeiras, a conclusão também
seria verdadeira. Basta substituir todas as ocorrências de “são vegetarianos” por “comem
carne”, que teremos um raciocínio com premissas verdadeiras e uma conclusão
verdadeira:
Todos cães comem carne. Dálmatas são cães. Logo, dálmatas comem carne.
Engana-se quem pensa que todo raciocínio válido que contenha premissas falsas terá uma
conclusão necessariamente falsa
Argumento Inválido ou Sofisma: a veracidade das premissas não é suficiente para
garantir a veracidade da conclusão (possui estrutura falaciosa ou sofismática). Quanto à
invalidade, podemos facilmente determinar que um raciocínio é inválido se suas premissas
são verdadeiras e a conclusão falsa.
Exemplo: Todos cães comem carne. Nenhum cão é peixe. Logo, nenhum peixe come carne
(falso).
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Não P
Neste caso basta negar a proposição. O resultado será o inverso da proposição..
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TTTTAAAABBBBEEEELLLLAAAASSSS DDDDAAAA VVVVEEEERRRRDDDDAAAADDDDEEEE
1) Negação:
2) Conjunção:
A Não A
V F
F V
P Q P . Q
V V V
V F F
F V F
F F F
P “e” Q
AMBAS V = V
Na conjunção ambas as proposições devem ser verdadeiras para que o resultado
P . Q seja verdadeiro.

P ou Q
Na disjunção basta uma proposição ser verdadeira para o resultado ser verdadeiro.
P Q P  Q
V V V
V F F
F V V
F F V
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3) Disjunção:
4) Condicional:
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
CONTRATO
SE ... ENTÃO...
Se V, F resultado
Falso
Na tabela condicional se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa o resultado
será falso. É como se fosse um contrato P em que se a condição Q for cumprida o resultado
será V. Se não cumprida teremos F. Se não for feito o contrato P então também o resultado
será V.

Se e somente se
P , Q iguais = V
Na tabela da verdade bi-condicional para ser verdadeiro o resultado é necessário que ambas
as proposições sejam verdadeiras ou ambas falsas.
P Q P V Q
V V F
V F V
F V V
F F F
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P , Q diferentes= V
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5) Bicondicional
6) Ou exclusivo:
P Q P  Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ou... ou
“Verdade
exclusiva”.
Na tabela da verdade “ou exclusiva” ambas as proposições devem ser diferentes (VF ou FV)
para que o resultado seja verdadeiro. Ou então guarde que nesta tabela somente uma
proposição poderá ser verdadeira de forma exclusiva para o resultado ser verdadeiro.

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NNNNEEEEGGGGAAAAÇÇÇÇÃÃÃÃOOOO DDDDAAAASSSS PPPPRRRROOOOPPPPOOOOSSSSIIIIÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS
Uma das maneiras de resolver questões de raciocínio lógico é simplificar as proposições
compostas. Em algumas questões torna-se necessário negar “duas vezes”as proposições de
forma a se obter uma equação equivalente:
Propriedades da negação:
Proposição Negação da
proposição
Observação
A e B ~ A ou ~ B
(1ª lei de Morgan)
Troque o “e” por “ou” e negue ambas
A ou B ~ A e ~ B
(2ª lei de Morgan)
Troque o “ou” por “e” e negue ambas
A  B A e ~ B Troque a seta por “e” e negue a segunda
A  B (A e ~B ) ou ( B e ~ A) Memorize a fórmula
Todo A é B Algum A não é B Para negar “todo” basta algum não ser. A
negação de todo não é nenhum.
Nenhum A é B Algum A é B Basta algum A ser B.
Algum A é B Nenhum A é B A negação de algum é nenhum.
Algum A não é B Nenhum A não é B A negação de “algum não é” é “nenhum não
é”.

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EEEEQQQQUUUUIIIIVVVVAAAALLLLÊÊÊÊNNNNCCCCIIIIAAAA DDDDAAAASSSS PPPPRRRROOOOPPPPOOOOSSSSIIIIÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS
Relacionamos abaixo algumas equivalências de proposições. Na prova poderá ser dada
uma proposição lógica e as respostas poderão estar em forma do equivalente lógico da
proposição composta:
Proposição EQUIVALENTE
A  B B  A
A  B (A  B e B  A)
A  B ~ B  ~ A (basta inverter e negar os dois) = teoria do
contra-recíproco
A  B * ~ A ou B (na equivalência nega-se o primeiro e muda-se
a seta por “ou”.) = “nega-nega”
* Note que nesta equivalência aplicamos a dupla negação pois: ~ ~(A  B) = ~(A e ~B), e
negando-se novamente temos: ~ A ou B.
Melhor explicando: aplicamos a primeira negação em A  B. Neste caso como vimos no slide
anterior basta substituir a seta por “e” e negar a segunda proposição (obtemos ~(A e ~B)), .
Depois em uma nova negação aplicamos a regra de negação do “e” em que substituímos o “e”
por “ou” e negamos ambas as proposições (obtemos ~A ou B).

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EEEEXXXXPPPPRRRREEEESSSSSSSSÕÕÕÕEEEESSSS EEEEQQQQUUUUIIIIVVVVAAAALLLLEEEENNNNTTTTEEEESSSS
Algumas questões usam expressões lógicas variadas para apresentar questões de
raciocínio lógico, principalmente as que envolvem expressões condicionais ou bi-condicionais.
Apresentaremos a seguir algumas destas expressões:
1)Expressões equivalentes ao “ se ... então” = condicional:
•Se A então B equivale a dizer que A é condição suficiente para B (lembrar letras SN) pois
se A  B então A é condição Suficiente para B e B é condição Necessária para A).
•A  B (A é condição Suficiente para B e B é condição Necessária para A).
•A implica B = Todo A é B
•Quando A, B = A somente se B.
2) Expressões equivalentes ao “se e somente se” = bicondicional:
•Se A então B e se B então A
•A somente se B e B somente se A
•Todo A é B e todo B é A.
•A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A
•B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.

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AAAALLLLGGGGUUUUMMMM XXXX TTTTOOOODDDDOOOO XXXX NNNNEEEENNNNHHHHUUUUMMMM
 É equivalente dizer que:
1) Nenhum x todo (tem que ter o não é para ser equivalente)
•“Todo A não é B” é logicamente igual a “nenhum A é B”
•“Nenhum A é não é B” é logicamente igual a “todo A é B”.
Nota: veja as negações no próximo slide.
2) Nenhum x nenhum e algum x algum (é só inverter):
•“Nenhum A é B” é logicamente igual a “nenhum B é A”
•“Algum A é B” é logicamente igual a “algum B é A”.
3) Algum A não é B (basta inverter levando o “não”):
•“Algum A não é B” é logicamente igual a “algum A é não B” e também a “algum não B é
A”.

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AAAALLLLGGGGUUUUMMMM XXXX TTTTOOOODDDDOOOO XXXX NNNNEEEENNNNHHHHUUUUMMMM
 Porém NÃO é equivalente dizer que:
•“Algum A não é B” seja equivalente a “algum B não é A”
•“Todo A é B” seja equivalente a “Todo B é A”.
Negações ( Todo com “algum não é” e algum com nenhum):
A negação de “todo A é B” é “algum A não é B” (e vice-versa)  e não nenhum!!.
A negação de “algum A é B” é “nenhum A é B” (e vice-versa).
Notem que a negação de “todo” não é “nenhum” e sim “algum não é” e a negação de
algum é nenhum:
Resumindo:
Quando a equivalência envolver o “TODO A é B” não se pode inverter para se ter a
equivalência dizendo que “TODO B é A” A equivalência possível é quando ocorrer Todo A
NÂO é B que equivale a “nenhum A é B” Observe que há uma regra para equivalência e
outra para negação com o “TODO”.

TAUTOLOGIA TTTAAAUUUTTTOOOLLLOOOGGGIIIAAA XXXX CCCCOOOONNNNTTTTRRRRAAAADDDDIIIIÇÇÇÇÃÃÃÃOOOO XXXX CCCCOOOONNNNTTTTIIIINNNNGGGGÊÊÊÊNNNNCCCCIIIIAAAA
1) Tautologia : uma proposição composta será considerada tautologia se ela sempre for
verdadeira, independente dos valores lógicos das proposição P, Q, R, Z ...
Exemplo: P(p) = ~(p ˄ ~p)
2) Contradição: uma proposição composta será considerada contradição se ela sempre for
falsa, independente dos valores lógicos das proposição P, Q, R, Z ...
Exemplo: P(p) = p ˄ ~p
3) Contingência: caso a proposição composta não for nem uma contradição e nem uma
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tautologia será, neste caso, uma contingência.

PROPRIEDADES PPPRRROOOPPPRRRIIIEEEDDDAAADDDEEESSS DDDDAAAASSSS CCCCOOOONNNNJJJJUUUUNNNNÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS EEEE DDDDIIIISSSSJJJJUUUUNNNNÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS
Propriedades das proposições conjuntivas e disjuntivas:
Comutativa: p ^ q = q ^ p
Nota: o mesmo ocorre com a disjunção, ou seja, as expressões são equivalentes
se invertemos a ordem de q e p.
Associativa: p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r = p ^ q ^ r
Nota: o sinal ^ equivale ao sinal “.” de multiplicação, ou à expressão “e” , da
mesma forma que na multiplicação estes conectivos lógicos obedecem à
propriedade associativa.
Distributiva em relação à disjunção : p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)
Nota: o mesmo ocorre com relação à uma proposição composta com símbolos de
conjunção “^” e disjunção “v”.
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EEEESSSSTTTTRRRRUUUUTTTTUUUURRRRAAAASSSS LLLLÓÓÓÓGGGGIIIICCCCAAAASSSS
Questões de estruturas lógicas envolvem proposições lógicas ou simbologias lógicas.
Abaixo um exemplo deste tipo de questão em que foram usadas proposições lógicas:
(ESAF/CGU/2008) Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é
prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a
afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é
verdade que:
a)Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.
b)Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise.
c)Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.
d) Se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise.
e)Se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise.
Vejam que esta questão pode ser resolvida transformando os textos em simbologia lógica:
P = Ana é prima de Beatriz
Q= Carina é prima de Denise
Como João sempre mente: P ^ Q = Falso (lógica proposicional da questão).
Negando a proposição acima temos: ~ (P ^ Q ). Usando a 1ª lei de Morgan (negação)
temos que: ~(P ^ Q) = ~P v ~Q (Reposta letra C, pois a equação equivalente encontrada
é traduzida pela frase: “Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise”).

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DDDDIIIIAAAAGGGGRRRRAAAAMMMMAAAASSSS LLLLÓÓÓÓGGGGIIIICCCCOOOOSSSS
Outro assunto bastante cobrado em raciocínio lógico é “diagrama lógico”, que consiste em identificar
os conjuntos (diagramas lógicos) correspondentes ao texto da questão, verificando-a existência ou não
de intersecções entre os conjuntos formados (geralmente existem as expressões “algum”, “nenhum”
ou “todo” na questão).
Exemplo: (ESAF - TCU / 2009) Se é verdade que “alguns escritores são poetas”, e que “nenhum
músico é poeta”, então, também é necessariamente verdade que:
a)Nenhum músico é escritor
b)Algum escritor é músico
c)Algum músico é escritor
d)Algum escritor não é músico
e)Nenhum escritor é músico.
Ao fazer os diagramas (conjuntos) percebemos que não há intersecção entre os conjuntos dos músicos
e poetas, porém nada é dito com relação à intersecção formada entre escritores e músicos, gerando a
possibilidade de que algum escritor não seja músico (gabarito letra D) . Perceba que a alternativa
“D” satisfaz as duas situações . A alternativa “B” não satisfaz a primeira situação pois o escritor poderá
ou não ser músico, mas algum escritor sempre não será músico nas duas situações (alternativa D).
Situação 1: Situação 2
escritores Poetas
músicos
escritore
s
Poetas
músicos

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AAAASSSSSSSSOOOOCCCCIIIIAAAAÇÇÇÇÃÃÃÃOOOO LLLLÓÓÓÓGGGGIIIICCCCAAAA
Questões de raciocínio lógico resolvidas por associação lógica são aquelas em que fazemos
uma tabela de correspondência entre os dados da questão, cuja resolução depende da
correlação entre as informações.
Exemplo: (AFTM 96 – ESAF) Os carros de Arthur, Bernardo e César são, não
necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é
cinza, um outro é verde e o outro é azul. O carro de Arthur é cinza, o carro de César é o
Santana, o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, do Parati e
do Santa são, respectivamente:
a)cinza, verde e azul d) cinza, azul e verde
b)Azul, cinza e verde, e) verde, azul e cinza.
c)Azul, verde e cinza
Resolução: Vejam que as tabelas deverão cruzar as seguintes informações: Modelo
de carro x proprietário e cor do carro x proprietário. Juntando estas informações teremos
as seguintes tabelas:
ARTHUR BERNARDO CÉSAR
BRASÍLIA
PARATI
SANTANA
CINZA
VERDE
AZUL

CINZA V F F
VERDE F
AZUL F
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Macete: ao resolver questões de associação lógica, se determinada afirmação for
verdadeira, deve-se preencher na célula correspondente da tabela um “V” de verdadeiro e
as demais afirmações da mesma linha e da mesma coluna com um “F” de falso, pois se a
informação é verdadeira em determinada célula da tabela , nas demais celulas de mesma
linha e coluna serão falsas.
Exemplificando e continuando a resolução:
1)1ª afirmação: o carro de Arthur é cinza. Note que anotamos V na tabela correspondente
à 1ª afirmação e F nas demais células de mesma coluna e mesma linha:
2)2ª afirmação: o carro de César é o Santana. Anotamos um “V” na linha e coluna
correspondente ao proprietário Cesar e ao modelo de automóvel “Santana” e um “F “ nas
demais alternativas de mesma linha e coluna.
BRASÍLIA F
PARATI F
SANTANA F F V

CINZA V F F
VERDE F F * V**
AZUL F V*** F**
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3ª afirmação: “o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília”. Continuamos com as anotações
Nas células da tabela. Desta vez usamos um segundo macete: anotamos “V” na célula vazia que sobrou
Já que a frase desta 3ª afirmação é negativa e não irá sobrar outra alternativa na linha restante que
Não seja ela ser verdadeira pois a linha só tem afirmativas falsas.
1)*Anotamos o F* correspondente à 3ª afirmação, que por consequência tornou a célula ao lado
verdadeira V ** já que na mesma linha só existem alternativas falsas.
2) Na sequência anotamos F** pois ao se inserir V** temos que colocar F nas demais células de
mesma linha e coluna de V**.
3) Por último sobrou somente V*** já que não existem células verdadeiras na mesma linha e coluna.
Como a 3ª alternativa diz também que o carro de Bernardo não é a Brasília e procedendo de forma
análoga temos:
BRASÍLIA V F F
PARATI F V F
SANTANA F F V
Conclusão:
1) Arthur tem uma Brasília cinza
2) Bernardo tem uma Parati azul e
3) César tem um Santana verde
Gabarito letra D

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VVVVEEEERRRRDDDDAAAADDDDEEEESSSS EEEE MMMMEEEENNNNTTTTIIIIRRRRAAAASSSS
Exemplo de questão sobre verdades e mentiras cobrada pela ESAF: notem que este tipo
de questão é resolvida pela simples observação do seu enunciado:
(AFC 2002 ESAF)
Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado
laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei que era um
pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebelim:
Cebelim é inocente, Cebelim: Dedelim é inocente, Dedelim: Ebelim é culpado, Ebelim:
Abelim é culpado .
O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados,
disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse
a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei,
que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado
era:
a) Abelim d) Dedelim b) Bebelim e) Ebelim c) Cebelim

Acusados Disseram.... Hipótese 1 Hipótese 2
Bedelin (B) C é inocente Verdade Mentira
Cebelin (C) D é inocente Mentira Verdade
Dedelim (D) E é culpado Mentira Mentira
Ebelin (E) A é culpado Mentira Mentira
Macete: não pode haver dois inocentes que
mentem pois só poderá haver um culpado!.
Demais podem mentir que são culpados!.
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36
VVVVEEEERRRRDDDDAAAADDDDEEEESSSS EEEE MMMMEEEENNNNTTTTIIIIRRRRAAAASSSS
Resolução:. Siga o raciocínio: se quatro dos inocentes mentiram e somente um culpado disse a
verdade temos no quadro abaixo duas informações conflitantes: as duas primeiras pois se ambas
mentem não poderia haver dois culpados!!!. Então somente um dos dois que disseram que são
inocentes está correto. Desta forma se acha o culpado!. Como consequência os outros últimos estão
mentindo pois há 4 inocentes que mentem. Testemos quem é o culpado:
D
Hipótese 1: Supondo que quem diz a verdade é B e disse que Cebelin é inocente (e que pela questão
todo inocente mente) conclui-se que Dedelin é culpado (Cebelin mente) . Na terceira linha vemos que
Dedelim mente (veja a coluna da hipótese 1). Isto não pode acontecer (dizer que D é culpado e a
tabela na hipótese dizer que mente).
Hipótese 2: Bedelin mente e C é culpado (que diz a verdade sempre), desta forma pela segunda linha
da tabela D é inocente. Se D é inocente e mente então E é inocente e se E é inocente e mete então A é
inocente. Sendo assim, o culpado é C (Cebelin).
Gabarito letra C.

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MATRIZES E DETERMINANTES

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MMMMAAAATTTTRRRRIIIIZZZZEEEESSSS EEEE DDDDEEEETTTTEEEERRRRMMMMIIIINNNNAAAANNNNTTTTEEEESSSS
Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e
colunas. Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento.
Ordem de uma matriz: uma matriz é forma por linhas e colunas. A ordem de uma matriz A i, j é a
representação do número de linhas e colunas, como por exemplo, uma matriz de ordem 3 possui três
linhas e três colunas = ordem (3,3).
Lei de formação: caso uma matriz A (i,j) tenha lei de formação dada por: A (i,j) = i+j a matriz
resultante desta lei de formação terá os seguintes elementos A (1,1) = 2 ; A (1,2) = 3; A (2,1) =3 ; A
(2,2) = 4, ou seja: a matriz abaixo:
A (i,j) =
1 2
3 4

1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 1 0
0 0 0 5
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Tipos de matrizes:
1)Matriz coluna: é a matriz formada por apenas uma coluna e várias linhas
2)Matriz linha: é a matriz formada por apenas uma linha e várias colunas.
3)Matriz quadrada: é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas.
4)Matriz diagonal: é a matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal
principal são zero.
diagonal principal
5) Matriz triangular: é a matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
6) Matriz identidade: é a matriz onde todos os elementos da diagonal principal são iguais
a 1 (um) e os demais são iguais a zero.
7) Matriz transposta: matriz transposta A’ de uma matriz A é uma nova matriz em que
suas linhas são as colunas de A.
8) Matriz simétrica: uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta (A= At)

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40
Exemplo de matriz simétrica:
1 2 3 4
2 3 5 6
3 5 4 4
4 6 4 7
Matriz inversa: a matriz inversa A-1 de uma matriz quadrada (A) é aquela que, multiplicada
por esta, resulta na matriz identidade. Assim: A . A -1 = I
Macete:
Para achar a matriz inversa de uma matriz de ordem 2 é só:
1)Trocar de lugar os elementos da diagonal principal;
2)Multiplicar por -1 os elementos da diagonal secundária;
3)Dividir os elementos pelo determinante de A:
X Y
A = A -1 =
Z K
K -Y
-Z X
1 / DET A .

1 2
3 4
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41
Operações com matrizes:
1)Soma ou subtração: a soma de duas matrizes é feita pela soma dos elementos, um a
um, de mesma LINHA e mesma COLUNA das duas matrizes:
+ =
1 2
3 4
2) Multiplicação da matriz por um número real: basta multiplicar cada elemento da matriz
por este número
A = 5 A =
2 4
6 8
X Y
Z K
5X 5 Y
5Z 5K

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42
Multiplicando matrizes: só possível quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao
número de linhas da segunda matriz.
Cada elemento da matriz resultante da multiplicação de duas matrizes deve obtido pela soma da
multiplicação dos elementos respectivos re cada linha de uma matriz pelos elementos da respectiva
coluna da outra matriz .
Exemplo: o elemento R (1,1) da matriz resultado deve ser obtido pela soma da multiplicação dos
elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos da primeira coluna da outra matriz.
Já R (1,2) pela soma da multiplicação dos elementos respectivos da primeira linha da primeira matriz
pelos elementos respectivos da coluna 2 da outra matriz. O mesmo ocorrerá com R(2,1) e R(2,2), neste
caso os elementos serão obtidos pela soma da multiplicação dos elementos da segunda linha pelas
respectivas colunas 1 e 2, da mesma forma Veja o exemplo abaixo (A.B= R):
Note que R (1,1) = 8; R (1,2)=10; R (2,1)=10 e R (2,2) = 16.

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43
Determinante: é uma função que associa um número a uma matriz. Somente matrizes
quadradas podem ter determinantes.
Determinante de uma matriz quadrada (2x2): é obtido pela diferença do produto da
diagonal principal pela diagonal secundária.
X Y
Se A = então o det A = X.K – Y.Z
Z K
Determinante de uma matriz (3x3): repetimos à direita da matriz as duas primeiras
colunas e multiplicamos os elementos das três diagonais principais em vermelho e
obtemos o somatório1. Posteriormente obtemos o somatório 2 dos valores encontrados
pela multiplicação dos elementos da diagonal segundária. A diferença entre o somatório 1
e o somatório 2 será o determinante da Matriz:
Det A = somatório 1 – somatório 2 = (-2-6-0) + (-5+0+0) = 8-5= 3

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PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES:
1)Determinante de uma matriz triangular: será o produto de sua diagonal principal. Note:
matriz triangular: é a matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
2)Determinante de uma matriz com linhas ou colunas paralelas proporcionais: será igual a
zero.
3)Determinante de uma matriz com linhas ou colunas que sejam combinação linear de
outras será igual a zero.
4)Determinante de uma matriz onde houve troca de linhas ou colunas: uma nova matriz
formada trocando de ordem as linhas e colunas terá seu determinante multiplicado por (-
1) quantas vezes forem as trocas.
5)Quando multiplicamos uma matriz por uma constante o seu determinante será
multiplicado por esta constante.
6)Determinante de um produto de matrizes: o determinante de um produto de matrizes é
igual ao produto de seus determinantes.
7)Determinante de uma transposta: o determinante de uma transposta é igual ao
determinante da matriz original.
8)Determinante da inversa: é igual ao inverso do determinante da matriz original.

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45
SSSSIIIISSSSTTTTEEEEMMMMAAAASSSS LLLLIIIINNNNEEEEAAAARRRREEEESSSS
Pela regra de Cramer é possível resolver sistemas lineares com o uso de matrizes e
determinantes (dado o sistema achamos as incógnitas x, y e z)
Nota: só pode ser usado este teorema quando o número de equações e o número de
incógnitas forem iguais:
Dado o sistema linear:
Os valores de X, Y e Z será obtido pela razão dos determinantes das matrizes
incompletas e determinantes das matrizes x,y e z conforme a seguir:
Matriz incompleta:
É a matriz obtida pelos coeficientes das variáveis X, Y e Z (sem os valores de resultado
das equações).

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46
Matrizes de X, Y e Z : substituindo os valores de resultado das equações do sistema na
respectiva coluna dos coeficientes de X, Y ou Z na matriz incompleta anterior teremos as
matrizes de X, Y e Z:
O segundo passo é achar o determinante de cada matriz Ax, Ay, Az e A (matriz incompleta)
Após o cálculo aplicamos o teorema de Cramer que diz o seguinte: que os valores de X, Y e
Z que solucionam o sistema linear é obtido pela divisão dos determinantes de Ax, Ay e Az
pelo determinante da matriz incompleta. Após calculados os determinantes de cada uma
destas matrizes teremos as respostas para X, Y e Z:

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47
Exemplo de questão de matrizes e determinantes cobrada pela ESAF:
(ATRF 2012) Dada a matriz o determinante de A5 é igual a
a) 20.
b) 28.
c) 32.
d) 30.
e) 25.
RESOLUÇÃO:
Encontrando o determinante da matriz A e elevando-o à quinta potência:
Det A = (2 ⋅1) − (0 ⋅1) = 2 − 0 = 2 . Logo: det A 5 =25 = 32.
Gabarito: Letra C.

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48
Exemplo de questão de matrizes e determinantes em prova pela ESAF:
(AOF-ESAF-2009) O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmos
os três elementos da 1ª linha por 2 e os três elementos da 2ª coluna por -1, o
determinante será:
a) -x2
b) -2x2
c) -2x
d) x2
e) 4x2
Solução: vejam a 5ª propriedade dos determinantes comentada anteriormente:
Quando multiplicamos uma matriz por uma constante o seu determinante será
multiplicado por esta constante. Sendo assim: Multiplicando os 3 elementos da 1ª linha por
2 temos: 2X e se multiplicarmos os três elementos da 2ª coluna por -1 temos:
-1 . 2X = -2x
Resposta: C

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49
ANÁLISE COMBINATÓRIA.

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AAAANNNNÁÁÁÁLLLLIIIISSSSEEEE CCCCOOOOMMMMBBBBIIIINNNNAAAATTTTÓÓÓÓRRRRIIIIAAAA
Análise combinatória em concursos públicos é basicamente o estudo das permutações,
dos arranjos e das combinações ou seja, a enumeração das maneiras de formação de
subconjuntos originários de um conjunto . Conforme os dados do problema daremos o
tratamento como arranjo, combinação ou permutação.
Princípio Fundamental de contagem (PFC): consiste em resolver questões de análise
combinatória sem fórmulas, apenas multiplicando o número de ocorrência de
possibilidades em diversas situações:
Exemplo: Em uma urna existem bolas vermelhas, azuis e pretas. Uma bola é retirada,
observada e devolvida à urna. Qual o número de resultados possíveis em 3 extrações
sucessivas?:
Resposta: notamos que há três possibilidades na primeira etapa, 3 possibilidades para a
segunda etapa e 3 possibilidades para a terceira etapa. O princípio fundamental de
contagem enuncia que para saber o número de resultados possíveis (números de
subconjuntos formados) devemos multiplicar o número de possibilidades em cada etapa.
Sendo assim:
Número de possibilidades = 3 x 3 x 3 = 27 possibilidades no total (27 subconjuntos
possíveis) ex: vermelha, azul, preta ; azul, preta, vermelha ; azul, azul, azul. etc

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51
Arranjo: importa a ordem.
Exemplo: o mais clássico exemplo de arranjo é o pódio: em uma competição de
20 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros
lugares? Note que, neste problema, queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a
ordem importa, afinal o pódio formado por João, por Marcos e por Pedro não é o mesmo
formado por Pedro, por Marcos e por João. Outro exemplo é o número de possibilidades
de se formar uma foto com n pessoas.
Fórmula:
Macete: : nas questões de arranjos prefira usar o Princípio fundamental de
contagem do que a fórmula acima. Agindo assim você poupará tempo na resolução das
questões.

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52
Combinação: NÃO importa a ordem e sim a natureza:
Um exemplo clássico é quando queremos formar uma comissão de 3 pessoas
escolhidas
entre 10 pessoas. Diferentemente do pódio do exemplo anterior, uma comissão
formada por João, por Pedro e por Maria é a mesma comissão formada por Maria, por Pedro
e por João (não importa a ordem)
Fórmula:
Macete: ao invés de decorar a fórmula acima utilize o seguinte macete para resolver
questões de combinações . Tomemos por exemplo a combinação C (6,3):
1)Monte uma fração e coloque no denominador o fatorial! do menor número expandido:
C (6,3) = ----------------
3.2.1
2) Expandir o fatorial! do número mais alto no numerador até o total de vezes do número
de fatores no denominador (no caso iremos expandir o fatorial de 6! até o 3º elemento=4
pois há três elementos no denomidor).
C (6,3) = 6. 5.4 = 120/6 = 20
3.2.1

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53
Permutação simples : já no caso de permutação não estamos querendo um subconjunto e
sim ver o número de vezes que é possível transmudar os elementos do conjunto.
Exemplo1: O número de ANAGRAMAS da palavra LIVRO é uma permutação de 5
elementos, calculada através de 5+ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, pois para a primeira posição você
pode colocar 5 letras; para a segunda, restaram 4, para a terceira, 3 e assim por diante;
Exemplo 2: O número de filas que podem ser formadas com 25 pessoas é 25!, pois para o
primeiro lugar da fila temos 25 possibilidades, para o segundo 24 e assim por diante.
Fórmula: P = n!, onde n é o número de elementos da permutação.
Permutação com repetição:
Exemplo: quantos ANAGRAMAS possui a palavra ARARAQUARA (n=10 letras)?:
No caso de permutação com repetição basta dividir o fatorial de n! da permutação simples
pelo fatorial dos casos em que há repetição. No caso da palavra ARARAQUARA temos a
repetição do A cinco vezes e do R, três vezes:
Fórmula:

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Permutação circular: se quisermos saber de quantos modos podemos colocar n objetos
distintos em n lugares espaçados ao redor de um círculo estamos lidando com uma
questão que envolve permutação circular.
Fórmula: (Pc ) n = (n-1)!
Exemplo: seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas
podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja
repetição das posições?
Resposta: calculando a permutação circular:
P(10) = (n-1)! = (10-1)! = 9! = 362880 vezes.
Note: fatorial é o número obtido pela multiplicação do número pelos seus antecessores.
Exemplo: 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1.

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Exemplo de questão de análise combinatória cobrada pela FGV:
(FGV-SEFAZ/RJ-2011) Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o
segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não
podem ser a mesma pessoa).
(A)18.000 (B) 90 (C) 19 (D) 680 (E) 18.000
Resolução: A ordem importa, pois o resultado em que um candidato “A” fique em
primeiro, e um candidato “B” fique em segundo, é diferente do resultado em que
“B” fique em primeiro, e “A” em segundo. Aplicaremos a fórmula do arranjo, para
contar o número de arranjos que podemos fazer com os dois primeiros lugares “p = 2”:
An,p= A10,2= 10 ! / (10-2)! = 10!/8!= 90 possibilidades.
Porém, seguindo o macete para arranjos utilizem o PFC (fundamental de
contagem: 10 x 9 = 90 (multiplicamos o número de possibilidades do primeiro
lugar (10) x número de possibilidades do segundo lugar (9) = 90.
Resposta, letra B.

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PROBABILIDADE

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PPPPRRRROOOOBBBBAAAABBBBIIIILLLLIIIIDDDDAAAADDDDEEEE
Espaço amostral: Para cada experimento – por exemplo, o lançamento de um dado –
definiremos o espaço amostral como sendo o conjunto de todos os resultados possíveis do
experimento.
Evento: é todo o subconjunto do espaço amostral.
Definição de probabilidade: probabilidade é o número de casos FAVORÁVEIS (evento)
dividido pelo número de casos POSSÍVEIS (espaço amostral).
Probabilidade = número de casos favoráveis
número de casos possíveis
Exemplo: no lançamento de. um dado qual a probabilidade de: (a) um número primo ficar
aparecer no dado na face voltada para cima? ou (b) deste número ser um quadrado
perfeito , ou (c) de sair o número 4 ?.
Respostas:
(a) como o conjunto de números primos é: 2, 3, 5 ... A probabilidade de sair um número
primo na face superior no lançamento de dados é 3/6 = 1/2;
(b) como o conjunto de quadrados perfeito é: 1,4, 9, 16 ... A probabilidade de sair um
quadrado perfeito (1,4) no lançamento de dados é: 2/6 = 1/3;
(c) Já de sair o número 4 (que aparece só uma vez no lançamento do dado) é 1/6.

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58
Probabilidade de evento união: caso a probabilidade pedida na questão for da
probabilidade de ocorrência de ambas as situações (união) então neste caso teremos a
fórmula:
P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A B), onde a probabilidade da união é a soma das
probabilidades dos eventos A e B menos a probabilidade da sua intersecção.
Notem no conjunto abaixo. Quando queremos a união das probabilidades de A e B temos
que descontar a intersecção para que não haja contagem dupla dos elementos da
intersecção e o resultado seja a soma dos dois conjuntos, obtendo-se a probabilidade da
União.
P (A) P(B)
Caso A e B sejam eventos mutuamente excludentes então : P (AUB) = P(A) + P(B) e
= 0

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Exemplo: No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de sair um número
par ou maior que 2?
Resposta: notem que há 3 números pares, 4 números maiores que dois e o número de
elementos do conjunto intersecção destes dois conjuntos é 2 (somente os números 4 e 6).
Como se trata de um dado, então o espaço amostral é 6. (número de casos possíveis).
Traduzindo em termos de probabilidade temos:

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Probabilidade condicional: trata-se da probabilidade de ocorrência de determinado evento
a posteriori, ou seja, após a ocorrência de outro evento.
Fórmula:
Lê-se: a probabilidade de ocorrência de B após ter ocorrido A é igual à probabilidade da
intersecção de B com A dividido pela probabilidade de A.
Note que:
Exemplo: caso seja anunciado o sorteio para uma platéia de 100 pessoas de um carro zero
quilômetros teremos a seguinte probabilidade: 1/100. Porém se posteriormente seja
constatado que existem 20 mulheres nesta platéia e que a próxima sorteada será uma
mulher teremos a PROBABILIDADE CONDICIONAL “a posteriori” de 1/20. Veja que o espaço
amostral é menor, deixando de ser U (união dos conjuntos A e B) para ser somente A
(subconjunto de mulheres).
P (B/A) = 1/20
20 mulheres
80 homens
O novo espaço amostral
deixa de ser U (união de
pessoas da platéia para
ser A.
A B

PROBABILIDADE PPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIIDDDAAADDDEEE EEEE AAAANNNNÁÁÁÁLLLLIIIISSSSEEEE CCCCOOOOMMMMBBBBIIIINNNNAAAATTTTÓÓÓÓRRRRIIIIAAAA
Algumas questões de concursos envolvem os dois temas: análise combinatória e
probabilidade.
Exemplo: (ESAF/SUSEP/2010) considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são
estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a
probabilidade de exatamente uma das pessoas escolhidas ser um estrangeiro?
a)45/91 , b) 1/3, c) 4/9, d) 2/9, e) 42/81.
1)Número de casos possíveis: escolher 3pessoas em um grupo de quinze. De quantas
formas pode isto ser feito?. Como não importa a ordem temos um caso de combinação de
15 tomada 3 a 3 !.
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C(15,3) = 15.14.13 = 5.7.13 = 455
3.2.1
2) Caso favorável: escolher 1 entre 5 estrangeiros junto com 2 nacionais:
C (5,1) . C (10,2) = 5 . 45 = 225
3)Probabilidade: é a divisão entre os casos favoráveis e possíveis
P = 225/455 = 45/91

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62
TRIGONOMETRIA

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TTTTRRRRIIIIGGGGOOOONNNNOOOOMMMMEEEETTTTRRRRIIIIAAAA
Relações trigonométricas: apresentaremos as definições de seno, cosseno e tangente:

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Relações notáveis: construindo a tabela abaixo temos os valores de seno, cosseno e
tangente dos ângulos mais conhecidos como os seguintes: 0, 30 , 45 e 60 graus.
Definições de secante, cossecante e cotangente:
sec A = 1 / cos A
cossec A = 1 / sen A
cotg A = 1/ tg A = cos A / sen A

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65
Identidades de Pitágoras:
1) sin 2 A + cos 2 A = 1
2) tg 2 A + 1 = sec 2 A
3) 1 + cotg 2 A = cossec 2 A
Identidades de sinal
1) sin (-A) = -sin A
2) cos (-A) = cos A
3) tg (-A) = -tg A
4) cossec (-A) = - cossec A
5) sec (-A) = sec A
6) cotg (-A) = -cotg A
identidades complementares
Identidades suplementares:

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Fórmulas de adição:
1) sin (A + b) = sin A . cos B + cos A . sin B
2) cos (A + b) = cos A . cos B - sin A . sin B
3) tg (A + b) = (tg A + tg B) / (1 – tg A.tg B)
4) sin (A – b) = sin A . cos B - cos A . sin B
5) cos (A – b) = cos A . cos B + sin A . sin B
6) tg (A – b) = (tg A - tg B) / (1 + tg A.tg B)
Fórmulas de ângulo duplo:
Fórmulas do ângulo metade:
Transformação em produto:
1) sin A + sin B = 2 sin (( A+B)/2). Cos ((A – B)/2)
2) sin A - sin B = 2 sin (( A-B)/2). Cos ((A + B)/2)
3) cos A + cos B = 2 cos ((A+B)/2). Cos ((A - B)/2)
4) cos A - cos B = -2 sin ((A+B)/2). sin ((A - B)/2)
5) tg A + tg b = sin (A+B) / (cos A cos B)
6) tg A - tg b = sin (A-B) / (cos A cos B)
Transformação do produto:
1) sen A sen B = [cos(A-B)-cos(A+b)]/2
2) cos A cos B = [cos(A-B)+cos(A+B)]/2
3) sen A cos B = [sen(A-B)+sen(A+B)]/2
4) cos A sen B = [sen(A+B)-sen(A-B)]/2
Onde:
sin = sen =seno
cotg = cotangente
cos= cosseno
tg =tangente

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Leis dos senos e lei dos cossenos:

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Exemplo de questão de trigonometria cobrada pela ESAF:
(AFC 2005 ESAF) O sistema dado pelas equações:
x.sen a - y.cos a = -cos 2a
x.cos a + y.sen a = sen 2ª
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma dos
quadrados das raízes é igual a
a) 1
b) 2
c) 4
d) sen ?
e) cos ?
Resposta:
x.sen a - y.cos a = -cos 2a
x.cos a + y.sen a = sen 2ª
“Quadrando” cada uma das equações e somando-as, teremos:
x².sen² a - 2 x*y*sena*cosa + y².cos² a = cos² 2a
x².cos² a + 2 x*y*sena*cosa + y².sen² a = sen² 2a
---------------------------------------------------------
x² + y² = 1 (gabarito letra A)

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CRIPTOGRAFIA E SEQUÊNCIAS

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SSSSEEEEQQQQUUUUÊÊÊÊNNNNCCCCIIIIAAAASSSS EEEE CCCCRRRRIIIIPPPPTTTTOOOOGGGGRRRRAAAAFFFFIIIIAAAA
Questões de sequências e criptografia são classicamente pedidas pela FCC. Normalmente
as questões obedecem a uma lei de formação:
Abaixo exemplificamos questões típicas destes assuntos:
a)Sequências:
(TRT MS 2006 – FCC) considere a seguinte sequência: (16,18, 9, 12, 4, 8, 2, X). Se os termos
desta sequência obedecem a uma lei de formação, então o termo x deve ser igual a:
(a)12, (b) 10, (C) 9, (d) 7, (e) 5
Resolução: a lei de formação é soma –se 2 e divide-se por 2, posteriormente soma-se 3 e
divide-se por 3, posteriormente soma-se 4 e divide-se por 4 e posteriormente soma-se 5.
1)Soma e divisão por dois: 16 + 2 = 18 e 18/2=9
2)Soma e divisão por três: 9+ 3 = 12 e 12/3 =4
3)Soma e divisão por quatro: 4+4=8 e 8/4=2
4)Soma por cinco ; achamos o número final: 2+5=7 (gabarito letra D)

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SSSSEEEEQQQQUUUUÊÊÊÊNNNNCCCCIIIIAAAASSSS EEEE CCCCRRRRIIIIPPPPTTTTOOOOGGGGRRRRAAAAFFFFIIIIAAAA
b) Questões de criptografia criam novas formas de leitura de determinado código. Vejam
o exemplo abaixo:
(Prefeitura de Paraopeba) Eliminando-se, no sentido de leitura, as vogais e as consoantes
que aparecem aos pares na sequência de letras a seguir obtém-se o nome de um(a )
U I C A T R E A P I M S V A T S B L R A T L
(a) animal, (b) fruta, (c) meio de comunicação, (c) substância. (d) peça de roupa.
Resposta: notem que se eliminarmos as vogais que aparecem juntas e as consoantes que
aparecem juntas formamos a palavra: CAPIVARA. Vejam abaixo:
U I C A T R E A P I M S V A T S B L R A T L
Sendo assim, o gabarito é letra A.

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LÓGICA DE SITUAÇÕES

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LLLLÓÓÓÓGGGGIIIICCCCAAAA DDDDEEEE SSSSIIIITTTTUUUUAAAAÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS
Questões de lógicas de situações estudam a estrutura lógica de relações arbitrárias entre
pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações das relações
fornecidas e avaliando as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.
Um exemplo clássico deste tipo de questão são as questões que exigem “raciocínio
espacial”. Vejam abaixo:

C B
A
D E
A questão cobra raciocínio espacial.
Exige que o candidato faça o desenho em escala
e imagine as distâncias solicitadas.
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LLLLÓÓÓÓGGGGIIIICCCCAAAA DDDDEEEE SSSSIIIITTTTUUUUAAAAÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS
Resolução da questão:
Graficamente temos:
Onde:
A – B = W
A – C = X
A – D = Y
A – E = Z
Vejam que as distâncias das setas são as mesmas no problema. Porém...
1) a distância de A a C e A a E são iguais (X=Z). Pois a inclinação de AB é de 45 graus e
trata-se de um quadrado.
2) Além disto X>Y pois a distância de A até C é maior que de A até D. Isto porque a reta AB
vai um pouco além do centro do quadrado formado pelos vértices BCDE.
Gabarito letra C : Y=Z<X<Z.

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GEOMETRIA

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GGGGEEEEOOOOMMMMEEEETTTTRRRRIIIIAAAA BBBBÁÁÁÁSSSSIIIICCCCAAAA
Segue abaixo algumas informações interessantes sobre geometria básica, fundamentais
para um conhecimento mínimo de geometria:
1)Cálculo do número de diagonais e ângulos de um polígono (nota: lados iguais):

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Relações de um triângulo retângulo:
Relações de um triângulo qualquer (lei dos senos e lei dos cossenos):

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Área e perímetros de uma circunferência:
Áreas do trapézio, do quadrado, do losango, do paralelogramo e do hexágono:

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Áreas e volumes de figuras 3D:
1)Paralelepípedo (de lados a,b,c):
Área = 2 (ab+bc+ac)
Volume = área da base x altura = a.b.c
2) Cubo : (de lado a)
Área = 6.a 2
Volume = área da base x altura = a3
3) Cilindro reto
Área = 2.π.r 2 + 2. π.r.h = 2. π.r.(r + h)
Volume = área da base x altura = π.r 2 .h
Área Lateral = 2. π.r.h
Área da Base = π.r 2

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80
Áreas e volumes 3 D:
4) Esfera:
Área = 4.π.r 2
Volume = 4/3π r2
5) Prisma:
Volume = 1/3 h π.r 2
r= raio da base
h= altura
Área lateral = π.r (r2+h2) 1/2
6)Prisma retangular:
h2
Área = (a + b + c).h + a.h2
Área Lateral = (a + b + c).h
Volume = 1/2. a.h. h2.
h= altura do prisma triangular
h2 = altura da base

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Questão de geometria da ESAF:
(MTE - 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a
partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse
modo, n é igual a:
a)11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18
Sendo x o número de diagonais do hexágono, temos que:
Número de diagonais de um hexágono = ½.x. (x-3) = ½. 6 (6-3) = 9, ou seja, um hexágono
possui 9 diagonais .
Dado da questão: número de diagonais do hexágono (x) é igual ao número de lados do
polígono (L) . O polígono terá, portanto 9 lados (mesmo número de diagonais do
hexágono) . Pede-se, porém o número de diagonais deste polígono (n):
n=número de diagonais de um polígono:
Número de lados (L) = (n – 3) =nova fórmula.
9 = n-3
n= 12 (gabarito letra b).

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICA
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83
PROGRESSÃO G PPPRRROOOGGGRRREEESSSSSSÃÃÃOOO GGGEEEEOOOOMMMMÉÉÉÉTTTTRRRRIIIICCCCAAAA EEEE AAAARRRRIIIITTTTMMMMÉÉÉÉTTTTIIIICCCCAAAA
Progressão aritmética:
Progressões aritméticas seguem a regra abaixo:
a n = a 1 + (n – 1) . r ⇒ Termo Geral da PA
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo)
r ⇒ razão
a 1 ⇒ primeiro termo
Exemplos:
a 2 = a 1 + 1.r
a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2r
a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r
(...)
Propriedades:
I.Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
PA : (m, n, r, s, t) ⇒ m + t = n + s = r + r = 2r
II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo: Soma dos n primeiros termos de uma PA
Considere a seguinte PA = (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-1 , a n )
S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n-1 + a n = (a1 + an)n /2

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Exemplo de questão de progressão aritmética cobrada pela F CC:
(MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos,
sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado
abaixo.
Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima
quadragésima sexta linha apareceria o número
a)2326 ; b) 2418 ; c) 2422 ; d) 3452 ; e) 3626
Resposta:
Os números da terceira coluna forma uma progressão aritmética em que o primeiro termo
é igual a 3 e a razão é igual a 7. Assim, o termo de ordem 346 é dado por:
a346 = a1+ 345 r = 3+ 345.7=2.418
Gabarito letra B.

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Progressão geométrica:
Seja a PG (a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...) de razão r.
a n = a 1 . q n-1 ⇒ Termo Geral da PG
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo)
q ⇒ razão
a 1 ⇒ primeiro termo
De acordo com a definição:
a 2 = a 1 . q
a 3 = a 2 . q = (a 1 . q) . q = a 1 . q 2
a 4 = a 3 . q = (a 1 . q 2 ) . q = a 1 . q 3
(...)
Propriedades:
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos
vizinhos deste.
PG: (x, y, z) ⇒
II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PG : (m, n, r, s, t) ⇒ m . t = n . s = r . r = r 2
III . Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita
A soma dos ݊ termos iniciais de uma progressão geométrica é:

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PPPPRRRROOOOGGGGRRRREEEESSSSSSSSÃÃÃÃOOOO GGGGEEEEOOOOMMMMÉÉÉÉTTTTRRRRIIIICCCCAAAA
Exemplo de questão de progressão geométrica cobrada pela ESAF:
(PECFAZ 2013/ESAF) Em uma progressão geométrica, tem-se a1 = 2 e a2=162. Então, a
soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a:
a) 26
b) 22
c) 30
d) 28
e) 20
A fórmula é a seguinte:
Em que a1 é o primeiro termo, q é a razão da progressão e an é o termo de ordem n (n-ésimo
termo). No nosso caso, n=5.
q=3
Como a razão é igual a 3, os termos vão triplicando e obtemos: (2, 6, 18, 54, 162).
A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: 2 + 6 + 18 = 26 (gabarito D).

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MATEMÁTICA BÁSICA

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MMMMMMMMCCCC eeee MMMMDDDDCCCC
Máximo divisor comum: Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata,
dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do
primeiro. Para se calcular o máximo divisor comum de número basta se fazer a fatoração
simultânea dos números.
Exemplo: qual o máximo divisor comum dos números : 210 e 90. Fatorando obtemos: 23.
32
36,24 2
18,12 2
Os fatores comuns são: 2, 3, então o MDC. , é o produto
9,6 3
dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor
3,2 3
expoente ou seja: 2.3 = 6 ( comuns de menor expoente).
1,2 2
Mínimo múltiplo comum: O MMC de dois ou mais números, quando fatorados, é o
produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
O mmc de 36 e 24 é: 23. 32=72 .
Observem que o conjunto de múltiplos de 36 é: 36, 72, 108, etc. Já o conjunto de múltipos
de 24 é: 24, 48, 72, 96 etc. Notem que o mínimo múltiplo comum deste conjunto é: 72.
Notem: caso aparecesse um número não comum na fatoração acima mesmo assim ele
seria multiplicado no cálculo do MMC já que se pede no MMC os números fatorados
comuns e não comuns.

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MMMMMMMMCCCC eeee MMMMDDDDCCCC
Exemplo de questão de MMC cobrada pela FCC:
(Técnico Administrativo TRT 24ª Região 2011/FCC) Sabe-se que Vitor e Valentina
trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente,
seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no
último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão
de regularidade, uma nova coincidência. NÃO ocorrerá em
(A) 18 de maio.
(B) 24 de abril.
(C) 31 de março.
(D) 10 de fevereiro.
(E) 18 de janeiro.
Resolução: o intervalo das coincidências é calculado a partir do mmc dos períodos 6 e 8:
mmc= 23. 3 = 24 dias, ou seja: os plantões coincidem a cada 24 dias. Verificando no
calendário teremos a partir de 25 de dezembro a coincidência em janeiro no dia 18 e em
fevereiro no dia 11. Note que devemos assinalar a assertiva D pois no dia 18 de janeiro
haverá coincidência (não deverá ser assinalada).
Resposta: 10 de fevereiro. Gabarito letra D.

Perceba que velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
TEMPO VELOCIDADE
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RRRREEEEGGGGRRRRAAAA DDDDEEEE TTTTRRRRÊÊÊÊSSSS
Regra de três simples: para resolver problemas deste tipo devemos agrupar as grandezas
de mesma espécie em colunas e verificar se são direta ou indiretamente proporcionais.
Caso sejam diretamente proporcionais a proporção entre as grandezas da tabela sserá feita
na ordem direta, se forem inversamente proporcionais deve-se inverter a fração,
conforme abaixo.
Montando a proporção:
X = 1/30
20 1/50
Nota: se a grandeza for
inversamente proporcional
inverte-se a proporção!.
Veja que os números estão
invertidos na fração.

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RRRREEEEGGGGRRRRAAAA DDDDEEEE TTTTRRRRÊÊÊÊSSSS
Regra de três composta: no caso da regra de três composta deve-se proceder da mesma
maneira que a regra de três simples, com a diferença que a proporção será feita entre a
fração que possui a incógnita e a fração obtida pela multiplicação entre as demais
proporções. Também devemos observar que na análise entre as frações direta ou
indiretamente proporcionais deve-se ter como referência inicial a fração que possui a
incógnita para se dizer se é ou não direta ou indiretamente proporcional.
Exemplo: (FCC/TCE-SP/2010) Diariamente, Cacá vai de sua casa ao trabalho em seu
automóvel fazendo sempre o mesmo percurso. Ao optar por fazer um itinerário 20% mais
longo, ele observou que poderia ganhar tempo, pois, por ser o tráfego melhor, poderia
aumentar a velocidade média de seu carro em 26%. Assim sendo, a opção pelo itinerário
mais longo diminuiria o tempo de viagem de Cacá em
(A) 5%.
Onde
(B) 6%.
it = itinerário
(C) 7%.
Vel= velocidade
(D) 8%.
T = tempo
Nota: a velocidade é inversamente proporcional ao tempo final
(E) 9%.
(incógnita)
T i= itI =1/vel inicial  Ti = itinerário x 1/Vi  Ti = 1,26 ou seja:
Tf itf 1/ vel final Tf 1,20 itinerário 1/1,26 Vi Tf 1,20
Tf = 1,20 Ti/ 1,26  Tf= 0,95 Ti, ou seja: Tf= -5 % menor que Ti (gabarito letra A).

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ÁÁÁÁLLLLGGGGEEEEBBBBRRRRAAAA
Monômios: um monômio ou termo algébrico é um número ou um produto de números
que são multiplicados por letras (incógnitas). A parte literal são as letras e os números
que multiplicam as letras são os coeficientes. Ex: 2.X3 (coeficiente=2 e parte literal = X3
Polínômios: é um monômio ou uma soma de monômios não semelhantes.
Exemplo: 5 a 2 + 6 b
Produtos notáveis:
1)Quadrado da soma de dois termos:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
2) Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)2 =a2 - 2ab +b2
3) Produtos da soma pela diferença de dois termos:
(a+b).(a-b) = a2 – b2
4) Cubo da soma de dois termos:
(a+b)3 = a3 + 3.a2.b+ 3.a.b2+b3
5) Cubo da diferença de dois termos:
(a-b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3

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FFFFUUUUNNNNÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS
Função pronomial de primeiro grau: f(x) =ax+b
Função pronomial de segundo grau: f(x) = ax2+ bx+c
onde: a fórmula de Báskara é:
Função exponencial: f(x) = a x
Função logarítima: f(x) = log b a
Função com sentenças abertas:
f(x) = 3, para x < 0
f(x) = x + 6, para 0 ≤ x < 5
f(x) = 15, para x ≥ 5
Função modular:
F(x) = lx-2l  qualquer função que tenha o símbolo de módulo.

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FFFFUUUUNNNNÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS
Exemplo de cobrança do tema “funções” em concursos públicos:
(ESAF - AFRFB 2014) Considere a função bijetora f, de R em R definida por f(x) = (x 2 -1), se
x ≥ 0 e f (x) = (x - 1), se x < 0, em que R é o conjunto de números reais. Então os valores
da função inversa de f, quando x= -8 e x = 8 são, respectivamente, iguais a:
(A)-7 ; 3 , (B)-7 ; -3 , (C) 1/9; 1/63 , (D)-1/9; -1/63 ,(E)-63 ; 9
Resolução:
Para determinar as inversas, troca-se y por x
a) Para x<0
x = y – 1, cuja inversa é: y = x + 1
Para x = -8 teremos y=– 7
b) para x > ou igual a zero:
x = y2 -1
y = (x + 1) 1/2
Raiz quadrada de (x + 1), então para x = 8 teremos raiz quadrada de 9 que será 3
Gabarito letra A : (-7,3)

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CCCCOOOONNNNJJJJUUUUNNNNTTTTOOOOSSSS
Função Injetora: ocorre quando elementos distintos do domínio estão associados a
elementos distintos do contradomínio, ou seja, dois elementos no domínio não podem ter
a mesma imagem no contradomínio. Não há correspondência biunívoca.
Função Sobrejetora: ocorre quando o conjunto imagem for o contradomínio, ou seja,
não podem sobrar elementos no contradomínio. Há correspondência biunívoca
Função Bijetora: ocorre quando a função for, simultaneamente, injetora e sobrejetora.
Simbologia:
∩ = intersecção, ∪ = união, ⊂ = contido, ⊃ =contém, ∀=qualquer que seja (para todo), ∈=
pertence, |: tal que
Propriedades importantes:
I)Elemento Neutro: A ∪ ∅ = A
II) Comutativa: A ∪ B= B ∪ A
IV) Associativa: (A ∪ B) ∪ R =A ∪ (B ∪ R)

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NNNNÚÚÚÚMMMMEEEERRRROOOOSSSS CCCCOOOOMMMMPPPPLLLLEEEEXXXXOOOOSSSS
Números Complexos:
Os números complexos podem ser representados por meio de uma expressão algébrica:
Z=a+bi., sendo a e b números reais e i a unidade imaginária.
a é a parte real do número complexo z e bi é a sua parte imaginária.
Definimos o conjunto dos números complexos como: conjunto dos números reais ( R ) e
o conjunto dos números imaginários ( i ) são subconjuntos do conjunto dos números
complexos ( C ). Em função disto um número complexo pode ser imaginário, imaginário
puro oureal.
Exemplo de Números Imaginários Puros
Para a = 0 e b ≠ 0 temos um número imaginário puro:
Z= 0 + 5i  z= 5i
Exemplo de números reais:
Para a ≠ 0 e b = 0 temos um número real:
Z=3 + 0t  z= 3
Exemplos de Números Imaginários
Para a ≠ 0 e b ≠ 0 temos um número imaginário:
Z = 4 +5 i

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Números Complexos:
No diagrama abaixo observamos que o conjunto dos números reais ( R ) é um subconjunto
do conjunto dos números complexos ( C ).
.

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Segue uma questão de números complexos cobrada pela banca FCC:
FCC-BA) O número complexo 1 – i é raiz da equação x2 + kx + t = 0 (k, t R ) se, e
somente se:
a) k = t = – 2 d) k = 2 e t = – 2
b) k = t = 2 e) k + t = 1
c) k = –2 e t = 2
Resolução:
Se (1 – i) é raiz, temos:
(1 – i)2 + k(1 – i) + t = 0
1 – 2i – 1 + k – ki + t = 0
(k + t) + (–2 – k)i = 0 + 0i
Logo:
k+t=0 = t=2
-2-k=0  k=-2
Gabarito letra C.

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RRRRAAAAZZZZÕÕÕÕEEEESSSS EEEE PPPPRRRROOOOPPPPOOOORRRRÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕEEEESSSS
Razão e proporção: embora seja um assunto simples tem sido bastante cobrado pelas
bancas de concursos.
Vejam abaixo a questão sobre este assunto cobrado no último AFRFB:
(ESAF - AFRFB 2014) Duas estudantes de química, Sara e Renata, estão trabalhando
com uma mistura de amônia e água. Renata está trabalhando com a mistura de amônia
e água, na Proporção de 5:9, ou seja: 5 partes de amônia para 9 partes de água.
Sabe-se que Sara está trabalhando com a mistura de amônia e água na proporção
de 8:7, ou seja: 8 partes de amônia para 7 partes de água. Desse modo, para se
obter uma mistura de amônia e água na proporção de 1:1, as misturas de Sara e
Renata devem ser misturas, respectivamente, na proporção:
(A) 8:15 , (B) 7:35 , (C) 30:7 , (D) 35:7a
Proporção da mistura de Renata: 5/14 de amônia + 9/14 de água (de um total = 14 partes)
Proporção da mistura de Sara : 8/15 de amônia e 7/15 de água.
Se misturarmos X partes da mistura de Renata e Y partes da mistura de Sara teremos:
5/14 X + 8/15Y = 9/14X+7/15Y (mistura de amônia = mistura de água).
1/15 Y = 4/14 X
Y/X=30/7
Gabarito letra C.

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100
PPPPOOOORRRRCCCCEEEENNNNTTTTAAAAGGGGEEEEMMMM
Porcentagem: exemplo de questão de porcentagem cobrada pela FCC:
(Técnico - MPU/2007) No refeitório de certa empresa, num dado momento, o número de
mulheres correspondia a 45% do de homens. Logo depois, 20 homens e 3 mulheres
retiraram-se do refeitório e, concomitantemente, lá adentraram 5 homens e 10 mulheres,
ficando, então, o número de mulheres igual ao de homens. Nessas condições, o total d
e pessoas que havia inicialmente nesse refeitório é:
a)46, b) 48, c) 52, d) 58, e) 60
M - número de mulheres
H - número de homens
M = 0,45 x H
H - 20 + 5 = M - 3 + 10
H + M = ?
Reescrevendo a equação II: H - M = 22.
Somando membro a membro à equação I, H = 0,45 x H + 22, H = 22/0,55 = 40.
Substituindo H em qualquer das equações, M = 18
Assim, H + M = 58.
Alternativa D.

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101
PROBLEMAS COM FIGURAS

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102
PPPPRRRROOOOBBBBLLLLEEEEMMMMAAAASSSS CCCCOOOOMMMM FFFFIIIIGGGGUUUURRRRAAAASSSS
Problemas com figuras avaliam o raciocínio espacial e a habilidade do candidato de
identificar detalhes geométricos, sequências e códigos. Apresentaremos abaixo uma
questão típica:.
Questão 5 - (Técnico - BACEN - 2006 / FCC) Na sequência de quadriculados abaixo, as
células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão. Mantendo esse
padrão, o número de células brancas na Figura V será:
a)101
b) 99
c) 97
d) 83
e) 81

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103
PPPPRRRROOOOBBBBLLLLEEEEMMMMAAAASSSS CCCCOOOOMMMM FFFFIIIIGGGGUUUURRRRAAAASSSS
Resolução:
1)quadrados pretos:
- da figura I para a figura II: aumentou de 4 para 8 quadrados pretos;
- da figura II para a figura III aumentou de 8 para 12 quadrados pretos;
- da figura III para a figura IV aumentou de 12 para 16 quadrados pretos.
- Assim, da figura IV para a figura V aumentará de 16 para 20 quadrados pretos
(esta é a lei de formação).
O total de quadrados brancos em cada figura é igual ao total de quadrados
menos o total de quadrados pretos.
1) quadrados brancos:
- Figura I total de quadrados = 9, total de quadrados brancos = 9 - 4 = 5.
- Figura II total de quadrados = 25 total de quadrados brancos = 25 - 8 = 17.
- Figura III, total de quadrados = 49 ; total de quadrados brancos = 49 - 12 = 37 .
-Figura IV total de quadrados = 81, total de quadrados brancos = 81 - 16 = 65 .
- Figura V , total de quadrados = 121, total de quadrados brancos = 121 - 20 = 101 .
Gabarito letra "a“.

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104
RACIOCÍNIO CRÍTICO

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105
RRRRAAAACCCCIIIIOOOOCCCCÍÍÍÍNNNNIIIIOOOO CCCCRRRRÍÍÍÍTTTTIIIICCCCOOOO
Questão de raciocínio crítico: apresentamos a seguir questões de raciocínio crítico que
foram cobradas no último ICMS SP.
1) (ICMS SP – 2013) Nos últimos cinco anos, em um determinado país, verificou-se uma
queda significante nas vendas de cigarros. Essa queda coincidiu com a intensificação das
campanhas públicas de conscientização acerca dos malefícios à saúde provocados pelo
fumo. Portanto, a queda nas vendas de cigarro deve ter sido causada pelo receio das
pessoas em relação aos graves prejuízos que o fumo traz para a saúde. Qual dos fatos a
seguir, se for verdadeiro, enfraquecerá consideravelmente o argumento apresentado?
(A) Nos últimos anos, a indústria tabagista tem oferecido mais opções de cigarros aos
consumidores, como os com sabores especiais e teores reduzidos de nicotina.
(B) O preço dos cigarros subiu consideravelmente nos últimos cinco anos, devido a uma
praga que afetou as plantações de tabaco ao redor do mundo.
(C) A procura por produtos ligados a tratamentos antifumo, como os chicletes e adesivos
de nicotina, cresceu muito neste país nos últimos cinco anos.
(D) O consumo de outros tipos de fumo, como o charuto e o cachimbo, caiu 30% nos
últimos cinco anos.
(E) De acordo com dados do Ministério da Saúde do país, o número de fumantes caiu
40% nos últimos cinco anos.

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106
RESOLUÇÃO:
Devemos buscar a afirmação que enfraquece a ideia de que a redução nas vendas de
cigarro foi devida ao aumento das campanhas de conscientização.
(A) ERRADO. Esse aumento de opções (inclusive opções mais “saudáveis”, com menos
nicotina) não explica a redução do consumo de cigarros, mas ajudaria a explicar um
eventual aumento neste consumo.
(B) CORRETO. Se houve uma forte alta no preço dos cigarros, talvez este fator tenha sido
mais importante para a redução do consumo de cigarro que as campanhas de
conscientização. Isto certamente enfraquece o argumento.
(C) ERRADO. A maior busca por tratamento não garante que esses tratamentos estejam
sendo eficazes, isto é, o consumo de cigarro por viciados esteja diminuindo.
(D) ERRADO. A queda no consumo de outros tipos de fumo não fornece uma explicação
alternativa para a queda no consumo de cigarro. Continuamos podendo acreditar que as
responsáveis pela queda no consumo sejam as campanhas de conscientização.
(E) ERRADO. A queda do número de fumantes pode ter ocorrido justamente devido à
intensificação das campanhas de conscientização nos últimos 5 anos, e assim propiciado
também a queda nas vendas de cigarro. Resposta: B

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107
2)FCC-ICMS/SP/2013) Há 2 anos, a Universidade Delta implantou um processo em que os
alunos da graduação realizam uma avaliação da qualidade didática de todos os seus
professores ao final do semestre letivo. Os professores mal avaliados pelos alunos em três
semestres consecutivos são demitidos da instituição. Desde então, as notas dos alunos têm
aumentado: a média das notas atuais é 70% maior do que a média de 2 anos atrás. A causa
mais provável para o aumento de 70% nas notas é:
(A)a melhoria da qualidade dos alunos que entraram na Universidade Delta nos últimos 2
anos, atraídos pelo processo de avaliação dos docentes.
(B) a demissão dos professores mal avaliados, que são substituídos por professores mais
jovens, com mais energia para motivar os alunos para o estudo.
(C) o aumento da cola durante as avaliações, fenômeno que tem sido observado, nos
últimos anos, nas principais instituições educacionais brasileiras.
(D) uma diminuição no nível de dificuldade das avaliações elaboradas pelos professores,
receosos de serem mal avaliados pelos alunos caso sejam exigentes.
(E) a melhoria da qualidade das aulas em geral, o que garante que os alunos aprendam os
conteúdos de maneira mais profunda, elevando a média das avaliações.

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108
RESOLUÇÃO: antes de avaliar as alternativas, repare que um aumento de 70% significa
que, se a nota média dos alunos anteriormente era 6 (em 10 pontos), após o aumento a
nota média passou a ser 10 (nota máxima!). Isto é, estamos diante de um aumento muito
expressivo das notas.
(A) ERRADO. Pode até ser que alunos melhores tenham sido atraídos pelo processo mais
rigoroso de avaliação dos docentes, mas é improvável que isto justifique um aumento tão
grande nas notas. Seriam necessários alunos MUITO melhores.
(B)ERRADO. Note que a medida foi implementada há apenas 4 semestres (2 anos), e são
necessários pelo menos 3 semestres completos para que os professores mal avaliados
começassem a ser demitidos. Isto é, é improvável acreditar que os efeitos da substituição
de professores estivessem sendo sentidos de maneira tão intensa em tão pouco tempo.
(C) ERRADO. Se de fato houve aumento da cola, é provável que isso tenha influenciado um
aumento das notas, mas um aumento tão expressivo como o citado no item A (de 6 para
10 pontos) exigiria um aumento massivo da cola.
(D) CORRETO. É possível acreditar que uma redução na dificuldade das provas seja capaz
de gerar um aumento expressivo nas notas dos alunos. Basta cobrar os tópicos mais
básicos e/ou mais intuitivos de cada disciplina. Esta tese é mais crível que as demais.
(E)ERRADO. Ainda que os professores, com medo da demissão, tenham melhorado a
qualidade de suas aulas, é improvável que esta melhoria de qualidade seja responsável por
uma variação tão expressiva nas notas.
Resposta: D

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