Semejanza 1

Cristián Aceituno Tapia
Cristián Aceituno TapiaProfesor de Matematica en Colegio San Pedro Nolasco Santiago
Para los alumnos de Segundo
                Medio
• En esta presentación encontrarás :
                            Definición y                Criterios de
                            ejemplos del                semejanza
Descripción                 concepto de                de triángulos
del concepto                 semejanza                  y ejemplos
     de
semejanza y
  ejemplos
                                            Una sencilla
                                           demostración

               Algunos
               ejercicios
               sencillos
                                                           Todos estos elementos son
                                                            la base de los contenidos
                                                           relacionados con la unidad
                                                                de semejanza
Semejanza
Descripción: Dos figuras son
        semejantes cuando tienen la misma
        “forma”, pero no necesariamente el
        mismo tamaño




Ejemplos de
figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definición geométrica: Dos figuras son
       semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados
        homólogos (correspondientes) es constante, es decir son
          proporcionales y sus ángulos correspondientes son
                             congruentes
   Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos
   son semejantes?                      ¿Tienen sus lados
                                       respectivos proporcionales?
                                                      10    4
                                    5cm
                                                       5    2     Así es, ya que
                                                                   los productos
                                             2cm                  “cruzados” son
          4cm                                                         iguales
                                                                    10 •2 = 5 • 4
¿Son sus ángulos correspondientes
congruentes?                                       Al cumplirse las dos
         Efectivamente, al tratarse de dos         condiciones anteriores,
          rectángulos, todos los ángulos           podemos decir que los
          miden 90º y se cumple que los
          ángulos correspondientes son             dos rectángulos son
                  congruentes
                                                   semejantes
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si
        sus ángulos son,
respectivamente, iguales y sus
      lados homólogos son
        proporcionales.
Criterios de semejanza de
         triángulos

existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triángulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus ángulos. Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triángulos
Existen tres criterios de
semejanza de triángulos

1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)
I.    Primer criterio
                       AA
  Dos triángulos que tienen los dos ángulos
   congruentes son semejantes entre sí.
       A                                   A´
                                            ´


                   B
 C                                                        ´
                                       ´
                              C’                                  B´
 Es decir: Si     ´ ,     ´        de lo anterior se deduce que        ´

Entonces,   ABC semejante con        A´B´C´
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?



                               65

             65   25




      ¡SI!                Por que al tener dos de
                               sus ángulos
                          congruentes, cumplen
                            con el criterio AA
II. Segundo criterio
                      LLL
     Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales
                     son semejantes entre sí.
            A                              A´

                   b                                   b´
      a
                                   a´
                        B
      C        c
  Es decir:                       C’                                   B´
              a    b    c                    c´
              a´ = b´ = c´ =K                El cociente obtenido de
                                               comparar los lados
                                               homólogos entre sí
Entonces,   ABC semejante con     A´B´C´      recibe el nombre de
                                             razón de semejanza.
Ejemplo
    Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
                                                                  P
Verifiquemos si las medidas de los
                                               B       1,5
lados son proporcionales                                     C
                                         3,5
 1,5   3,5   5                                                            7
     =     =                                       5
 3     7     10

                                     A                       10
   Efectivamente , así es, ya que
   los productos “cruzados” son
                iguales
        1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
         3,5 • 10 = 7 • 5 = 35                                                Q

Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son                                 3
semejantes por criterio LLL
                                                             R
III. Tercer criterio
                      LAL
 Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el
      ángulo comprendido entre ellos es igual, son
                   semejantes entre sí.
        A                             A´

      a
                                           a´
  C                     B
             c                                  ´
                                      C’            c´            B´
Es decir:
            a = c
            a´  c´              y          = ´
                     Entonces       ABC semejante a      A´B´C´
Ejemplo
    ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
    Veamos si dos de sus lados
    son proporcionales
                                       A                                 D
                                                                     9
      3
                                                            E
          = 4                         3
      9     12
                                                            C
                                          B    4
       Efectivamente así es,
       ya que los productos                                     12
      “cruzados” son iguales
           3 • 12 = 4 • 9
                                  Efectivamente, porque,
¿Los ángulos formados por        tal como se señala en el
estos dos lados son              dibujo, ambos son rectos
congruentes?
                                                                     F
          Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Algunas aplicaciones de
   estos conceptos
Ejercicio
   Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes
   y halla la razón de semejanza.
                                    a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
                                   b) 52 cm, 65 cm, 78 cm

  Representemos el ejercicio                              Efectivamente, al calcular
                                                          los productos “cruzados”,
                                                65             podemos ver la
                       12                                 proporcionalidad entre las
              8
                                  78                        medidas de los lados
                                                                 respectivos
                     10
                                                            52 •10 = 8 • 65 = 520
                                                            65 • 12 = 10 •78 = 780
                                           52

Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales                        Para calcular la razón de
                                                          semejanza se calcula una
    52 = 65 = 78 =          6,5                                de las razones
    8    10   12                                                65 : 10 = 6,5



  Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
Ejercicio
 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm
 respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1.
 ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.

                  Representamos la situación             x=9
              5
      3
                                           12 = y
              4                                        z =15
Luego, debe ocurrir:

  X   Y   Z   3                  Entonces: X = 3       X= 3· 3 = 9
    =   =   =   =3
  3   4   5   1                                3
                                                Y      Y = 4 · 3 =12
  Escala de                                       =3
 ampliación                    La razón de      4
                             semejanza es 3     Z =3   Z = 5 · 3 = 15
                                                5
Otro ejercicio similar

  Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los
       lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son
        semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.

                                                         Para comprobar la
                                                     proporcionalidad podemos
                              20          12           efectuar los productos
                 50                                          “cruzados”
                                                     30x16=480 y 40x12=480
30                                                             además
                                     16
                                                     40x20=800 y 16x50=800

              40
                                                   Para calcular la razón de
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales                 semejanza se calcula una
                                                        de las razones
                                                         50 : 20 = 2,5
          30 = 40 = 50
          12   16   20
Una aplicación
      Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué
      altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5
      metros?(Haz un dibujo del problema).

                                                                              Son semejantes
                                                                            por que cumplen el
      p                                                                     criterio AA, tienen
                                                                             iguales el ángulo
      o                                                                      recto y el ángulo
      s     3m                                                               de elevación que
      t                                          x                           forman los rayos
                                                                               solares con el
      e                                                                             suelo


                       2m sombra


                                                                  4,5m
          Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra
          son semejantes, por lo tanto

Formamos la proporción
                          3
                              =    2
                                         De donde                X=      3 • 4,5 = 6,75m
                          x        4,5                                     2
Para terminar una pequeña
       demostración
Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC


                            B




                  A                 C
                                                   D


                                           E
Demostración
   Afirmaciones        Razones

    ABC    CDE        Por ser ángulos alternos internos entre //
    BAC    CDE         Por ser Ángulos alternos internos entre //



  Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al
  criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son
  semejantes
Alumno de Segundo Medio de Salesianos Alameda:


 •Si esta presentación te ha servido recomiéndasela a otro
 compañero.
 •Aportes y comentarios serán bienvenidos




                                               Prof: A. Barriga
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Semejanza 1

  • 1. Para los alumnos de Segundo Medio • En esta presentación encontrarás : Definición y Criterios de ejemplos del semejanza Descripción concepto de de triángulos del concepto semejanza y ejemplos de semejanza y ejemplos Una sencilla demostración Algunos ejercicios sencillos Todos estos elementos son la base de los contenidos relacionados con la unidad de semejanza
  • 3. Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño Ejemplos de figuras semejantes
  • 4. No son figuras semejantes
  • 5. Definición geométrica: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos (correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos son semejantes? ¿Tienen sus lados respectivos proporcionales? 10 4 5cm 5 2 Así es, ya que los productos 2cm “cruzados” son 4cm iguales 10 •2 = 5 • 4 ¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? Al cumplirse las dos Efectivamente, al tratarse de dos condiciones anteriores, rectángulos, todos los ángulos podemos decir que los miden 90º y se cumple que los ángulos correspondientes son dos rectángulos son congruentes semejantes
  • 6. Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
  • 7. Criterios de semejanza de triángulos existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
  • 8. Existen tres criterios de semejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
  • 9. I. Primer criterio AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A A´ ´ B C ´ ´ C’ B´ Es decir: Si ´ , ´ de lo anterior se deduce que ´ Entonces, ABC semejante con A´B´C´
  • 10. Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65 65 25 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
  • 11. II. Segundo criterio LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A A´ b b´ a a´ B C c Es decir: C’ B´ a b c c´ a´ = b´ = c´ =K El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí Entonces, ABC semejante con A´B´C´ recibe el nombre de razón de semejanza.
  • 12. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes P Verifiquemos si las medidas de los B 1,5 lados son proporcionales C 3,5 1,5 3,5 5 7 = = 5 3 7 10 A 10 Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Q Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son 3 semejantes por criterio LLL R
  • 13. III. Tercer criterio LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A A´ a a´ C B c ´ C’ c´ B´ Es decir: a = c a´ c´ y = ´ Entonces ABC semejante a A´B´C´
  • 14. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A D 9 3 E = 4 3 9 12 C B 4 Efectivamente así es, ya que los productos 12 “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, ¿Los ángulos formados por tal como se señala en el estos dos lados son dibujo, ambos son rectos congruentes? F Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
  • 15. Algunas aplicaciones de estos conceptos
  • 16. Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicio Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, 65 podemos ver la 12 proporcionalidad entre las 8 78 medidas de los lados respectivos 10 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 52 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una 52 = 65 = 78 = 6,5 de las razones 8 10 12 65 : 10 = 6,5 Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
  • 17. Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Representamos la situación x=9 5 3 12 = y 4 z =15 Luego, debe ocurrir: X Y Z 3 Entonces: X = 3 X= 3· 3 = 9 = = = =3 3 4 5 1 3 Y Y = 4 · 3 =12 Escala de =3 ampliación La razón de 4 semejanza es 3 Z =3 Z = 5 · 3 = 15 5
  • 18. Otro ejercicio similar Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos 20 12 efectuar los productos 50 “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 30 además 16 40x20=800 y 16x50=800 40 Para calcular la razón de Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 30 = 40 = 50 12 16 20
  • 19. Una aplicación Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen el p criterio AA, tienen iguales el ángulo o recto y el ángulo s 3m de elevación que t x forman los rayos solares con el e suelo 2m sombra 4,5m Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto Formamos la proporción 3 = 2 De donde X= 3 • 4,5 = 6,75m x 4,5 2
  • 20. Para terminar una pequeña demostración
  • 21. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC B A C D E Demostración Afirmaciones Razones ABC CDE Por ser ángulos alternos internos entre // BAC CDE Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes
  • 22. Alumno de Segundo Medio de Salesianos Alameda: •Si esta presentación te ha servido recomiéndasela a otro compañero. •Aportes y comentarios serán bienvenidos Prof: A. Barriga