1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE BOLÍVAR.
UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS.
AREA DE FÍSICA.
Elaborado por: Prof. Ramón H. Martínez Zambrano.
Ciudad Bolívar, mayo de 2010
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2. Introducción.
La presente guía corresponde a la práctica introductoria Nº 1, la cual es
teórico-práctica, no experiencial, cuyo propósito es de inducción a las prácticas
experienciales siguientes.
El objetivo de la misma es describir, explicar y aplicar los principios
matemáticos y físicos que dan soporte a la Teoría de Errores, base fundamental
en toda investigación científica a nivel de los laboratorios de ciencias naturales, en
nuestro caso, a los laboratorios de Física, en sus asignaturas Laboratorios I y II de
Física, basado en el Método Científico Experimental.
La guía contempla la diferenciación entre precisión y exactitud, aspectos
teóricos básicos para la presentación de las magnitudes, medidas en la práctica
experiencial, y que justifican la certidumbre en las mediciones. Para la
consecución de esta certidumbre, es necesario aplicar normas relacionadas con el
algebra aplicada a las operaciones entre variables medidas, utilizando la
estrategia de las cifras significativas, las cuales se aplican en casos de ejemplos
reales. Una reflexión que debemos alcanzar en esta primera parte, es verificar que
las mediciones no son exactas en ningún caso, existen factores que afectan a los
resultados de las mediciones.
En la segunda parte de la guía se describen los tipos de errores y como
evitarlos, se operacionalizan las mediciones, incluyendo sus errores, para evitar
los errores humanos a la hora de realizar los cálculos; por último, se aplica la
teoría de errores a casos reales, incluyendo un ejemplo de aplicación con el
método de los mínimos cuadrados. La reflexión de esta segunda parte es verificar
que se puede reducir los errores humanos en las mediciones utilizando criterios
matemáticos.
La Física es una Ciencia, y por consiguiente, se rige por el método
científico, regla de juego consensuada que tiene la finalidad de utilizar estrategias
de trabajo comunes a la comunidad científica, hacia la búsqueda de la “verdad” de
los fenómenos que nos rodean y aún de los no evidentes. La Ciencia, a través de
la investigación científica, utilizando el método científico, crea un conocimiento
racional, objetivo, verificable, que permite comprobar e interpretar principios y
leyes físicas ya establecidas y consolidadas, o de crear nueva ciencia, teórica o
práctica, que impulse al desarrollo científico y tecnológico. Aunque en este
momento se plantean alternativas al método utilizado por la ciencia, es importante
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3. destacar el avance que ha tenido la ciencia y la tecnología en nuestro planeta con
la utilización del método científico, sobre todo después de la segunda guerra
mundial, cuyos resultados, en su mayoría, y con discusión ética, han salido de los
laboratorios de Física y de otras ciencias, naturales o sociales, con los cuales la
Física se relaciona e incluso interacciona de manera interdisciplinar, como por
ejemplo la Biofísica.
La asignatura Laboratorio I de Física se basa en el método experimental,
basado en el método científico, cuyo propósito es verificar e interpretar los
principios y leyes físicas, que logren explicar fenómenos comunes en nuestras
vidas, y que son la base para el desarrollo de la Ingeniería.
Precisión y exactitud en la medición.
Cuando se realizan una o varias mediciones, los resultados, a partir de la
teoría de errores, se presentan de la siguiente forma:
X = Xprom ± ΔX
donde:
X: variable medida.
Xprom: Valor más probable de la medición.
ΔX: Incertidumbre en la medición.
La variable medida, X, puede ser cualquier magnitud. La magnitud es una
cantidad física que puede ser medida, como por ejemplo: la temperatura
(termómetro), la distancia (odómetro), la rapidez (velocímetro), etc.
El valor más probable, Xprom, desde el punto de vista estadístico, es el valor
promedio de una cierta cantidad de mediciones. Si se realiza una sola medición,
corresponderá al valor medido o calculado previamente.
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4. La incertidumbre, ΔX, es el error de precisión de las mediciones, y
representa la desviación en la medición de una cierta cantidad de mediciones. La
ecuación para calcular esta incertidumbre, desde el punto de vista estadístico,
recibe el nombre de desviación estándar, y es:
σ = [ Σ (Xi – Xprom)2 / (n – 1) ]1/2
donde:
Xi: i-ésimo valor medido.
Xprom: Valor más probable (valor promedio)
(Xi – Xprom)2: Diferencia, al cuadrado, del i-ésimo valor medido y el valor
promedio de las mediciones.
Σ (Xi – Xprom)2: Sumatoria de estas diferencias.
n: Número de mediciones.
n -1: Esta diferencia se utiliza para un n ≤ 20 mediciones.
[ Σ (Xi – Xprom)2 / (n – 1) ]1/2: Raíz cuadrada de la división de Σ (Xi – Xprom)2
entre n -1.
σ: Desviación estándar de las n mediciones.
En el caso de una medición (n = 1), no se utiliza la ecuación de σ, sino el
error apreciado, que consiste en dividir la apreciación del instrumento (en el caso
de los instrumentos de aguja y escala) entre el número 2.
La apreciación, A, de una escala es la diferencia entre dos lecturas
seleccionadas por el observador, dividida entre el número total de escalas que se
pueden contar entre ambas lecturas. Como ejemplo, tomen una regla graduada
común como las utilizadas en clase; en ella, la escala está en centímetros. Tomen
una lectura mayor (ejemplo: 3 cm) y una lectura menor (ejemplo: 2 cm). Resten
ambas lecturas (la mayor de la menor), lo cual resultará de 1 cm. Luego dividan
este valor entre el número de escalas contadas entre 2 cm y 3 cm (10 escalas), lo
cual da como resultado, 1/10 de cm, es decir, 0.1 cm; es decir, cada escala de la
regla graduada tiene una valor de 0.1 cm ó 1 mm. Esta apreciación (1 mm) es el
menor valor que puede medir nuestra regla graduada. Asimismo, se aplica esta
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5. ecuación al resto de los medidores a escala que se encuentran en el laboratorio
de Física (voltímetros, amperímetros, cilindro graduado, termómetro, entre otros). .
La ecuación descrita se resume:
A = (Lectura mayor – Lectura menor) / Nº de divisiones entre ambas lecturas
La excepción en la utilización de esta ecuación, para la determinación de la
apreciación, se da en los siguientes instrumentos:
Vernier o pie de rey
Palmer o tornillo micrométrico.
Esferómetro.
Cada uno de estos instrumentos utiliza su propia ecuación para determinar
la apreciación, debido a sus características constructivas. Estas ecuaciones se
describirán más adelante.
Es importante aclarar que la incertidumbre, ΔX, calculada con la ecuación
para la desviación estándar, σ, corresponde al error de apreciación, lo cual permite
diferenciar entre precisión y exactitud, ya que ambas expresiones, en algunas
oportunidades se pudieran asumir como semejantes.
La precisión es el grado de concordancia entre un número determinado de
mediciones de una determinada magnitud, medidos con el mismo instrumento. Las
diferencias que pudieran presentarse entre una medición y la otra dependerán del
observador, los niveles de calidad en la fabricación del instrumento o sistema de
medición, las condiciones ambientales que rodean al instrumento o sistema, e
incluso, situaciones aleatorias. Como ejemplo, pudiéramos considerar la medición
de una magnitud como la temperatura. Se hacen 5 mediciones de la temperatura
ambiente con el mismo termómetro, resultando valores como 35.45 ªC, 35.46 ºC,
35.48 ºC, 35.45 ºC y 35.47 ºC. Como puede notar, el instrumento es preciso a
pesar de las diferencias. Como veremos más adelante, estas diferencias tienen
una explicación lógica.
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6. La exactitud es el grado de concordancia entre una medición y la
considerada como “verdadera”. Ninguna medición es exacta o verdadera. Esta se
obtiene del promedio de todas las mediciones realizadas a la misma magnitud,
desde el punto de vista estadístico. Si es una medición, se puede considerar el
valor calculado como el verdadero. El valor absoluto de la diferencia entre el
promedio de las mediciones realizadas con el termómetro del ejemplo del párrafo
anterior y cada medición da como resultado la exactitud de la misma. Si tomamos
una sexta medición con valor 35.45 ºC y la restamos al promedio de las cinco
mediciones anteriores (35.46 ºC), da como resultado una exactitud de 0.01 ºC.
Para concluir esta diferenciación, un instrumento puede ser preciso más no
necesariamente ser “exacto”; sin embargo, un instrumento “exacto” es preciso.
En algunas prácticas de laboratorio se utilizará el criterio de la precisión; en
otras, la exactitud.
Para utilizar el criterio de la exactitud, se utiliza el cálculo del error relativo
porcentual. La ecuación de este error es el siguiente valor absoluto:
%Er = | [(valor medido – valor “verdadero”) / valor “verdadero”] | * 100
Cifras significativas.
La precisión depende, entre otros aspectos, del criterio del observador al
momento de medir. Este criterio depende del valor de la escala que señala la
aguja del instrumento, es decir, depende de la apreciación del mismo.
Para entender lo que significa cifras significativas veamos el siguiente
ejemplo:
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7. La imagen corresponde a la medición realizada por un voltímetro con
escala de 24 volts. Para observar la medición, lo primero a hacer es determinar la
apreciación del instrumento. Aplicamos la ecuación correspondiente, previamente
descrita, y da un valor por escala de A = (12 – 9) / 5, es decir, de 3/5 volts o 0.6
volts, por lo que la medición estaría entre 9 y 12 volts, y específicamente entre
10.2 y 10.8 volts, por lo que el decimal de la medición queda a criterio del
observador, es decir, pudiera asumir el valor de la medición en 10.4 volts, por
ejemplo, de tal manera que la cifras significativas de una medición es el número
de dígitos llamados seguros más un último dígito el cual se asume por el
observador, es decir, esta medición tiene un máximo de 3 cifras significativas.
Las cifras significativas tienen algunas propiedades importantes:
Los ceros a la izquierda de un dígito cualquiera, no se incluyen como
cifras significativas. Ejemplo: los valores 0.0056, 0.3 y 0.01 tienen,
respectivamente, 2, 1 y 1 cifras significativas.
Los ceros a la derecha de cualquier otro dígito si se incluyen como
cifras significativas. Ejemplo: 4000, 34.90 y 1.00, tienen,
respetivamente, 4, 4 y 3 cifras significativas.
En notación científica, el argumento de la base diez se descarta
como cifra significativa. Ejemplo: 2.3 x 104, 3.56 x 10-3 y 3 x 1012,
tienen, respectivamente, 2, 3 y 1 cifras significativas.
La importancia de las cifras significativas está en que las operaciones de
suma, resta, multiplicación y división de las expresiones de medición de la forma X
= Xprom ± ΔX, no se realizan como operaciones matemáticas a la que estamos
acostumbrados cuando usamos nuestra calculadora; sino que, a nivel de un
laboratorio de Física, estas operaciones tienen una normativa. Esto se explica por
la razón de evitar los errores humanos al realizar los cálculos producto de las
mediciones. Estas operaciones se describirán y aplicarán más adelante. Mientras
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8. tanto describiremos como se realizan las operaciones básicas utilizando cifras
significativas (Física I, Unidad 2).
Operaciones con cifras significativas.
Suma.
Ejemplo: Se desea sumar las dos cifras significativas, 3.245 y 3.2, lo cual da
como resultado 6.4.
Los pasos para alcanzar este resultado son:
1. Se suma como operación matemática.
2. Se observa el número mínimo de decimales de los sumandos. En
este es 1 decimal correspondiente a 3.2. Esto implica que el
resultado solo tendrá 1 decimal.
3. Para alcanzar 1 decimal debe redondearse el resultado, el cual
realmente da 6.445. En este caso, el último número decimal es 5. En
la normativa que vamos a considerar para efecto de cifras
significativas, cuando se compara un número par con un siguiente
número igual a 5, para efectos de redondeo, se mantiene ese
número par, en este caso el número 4. Caso contrario, si el decimal a
redondear es impar y el siguiente número es igual a 5, se redondea
el número impar al siguiente número. Ejemplo: 6.345 se redondea a
1 decimal dando como resultado el mismo 6.4. Recordemos que el
redondeo es la comparación de un número a redondear con el
siguiente, a su vez comparado con el 5: mayor, menor o igual. Al
final, el penúltimo decimal, 4, por ser menor a 5, no afecta al primer
decimal, dando por resultado 6.4
Resta.
Igual que el proceso para la suma, pero ahora restando. Si restamos las
cifras significativas del ejemplo anterior, da como resultado 0, ya que el 0 se
considera un número par.
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9. Multiplicación.
Para multiplicar cifras significativas, se aplicará el siguiente ejemplo: se
multiplicará dos cifras significativas, 1.567 y 0.67.
Los pasos para alcanzar este resultado son:
1. Se multiplican las dos cifras como operación matemática. El
resultado es 1.04989 (considerar todos los decimales posibles).
2. Se observa el menor número de cifras significativas de los
multiplicandos. En este caso es 0.67, el cual tiene 2 cifras
significativas.
3. El resultado de la multiplicación, por consiguiente, debe tener 2 cifras
significativas. Redondeando el resultado 1.04989 a dos cifras
significativas, quedaría 1.0 ya que el cero se compara con cinco (el
número siguiente). Recordar: el redondeo es de derecha a izquierda.
División.
Igual que el proceso para la multiplicación, pero ahora se divide 1.567 entre
0.67. El resultado es 2.3.
En conclusión, la suma y resta de cifras significativas se basa en el menor
número de decimales de los sumandos; la multiplicación y división, en el menor
número de cifras significativas de los números que multiplican y/o dividen.
Aplicación de cifras significativas.
Si se limita solamente a las operaciones de cifras significativas sin error,
aplicaremos, con ejemplos, lo descrito hasta el momento.
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10. Se realizaron tres mediciones para determinar el largo de una cuerda de un
péndulo simple, incluyendo el radio de la plomada (una esfera). La longitud de la
cuerda midió 1.56 m utilizando un metro. El diámetro de la plomada (esfera) se
midió con un vernier y dio como resultado 4.652 cm. Utilizando cifras significativas,
determinar la longitud citada. El resultado es en cm.
Primero se suman la longitud de la cuerda y el diámetro de la plomada.
Luego el resultado se resta al radio de la esfera. El resultado es como sigue: L =
156 cm + 4.652 cm – 4.652/2 cm = 158 cm. Se puede observar que al obtener el
radio, el número 2 es una constante, y por consiguiente, el resultado mantiene el
mismo número de decimales; asimismo, el resultado, L, no tiene decimales, ya
que el valor 156 cm no los tiene.
Otro ejemplo sería: Determinar la densidad de un cilindro que tiene una
masa de 39.45 g, un diámetro de 6.657 cm y un largo de 20.82 cm. Todas las
magnitudes fueron medidas, utilizando la balanza, un vernier y una regla
graduada.
Primero se determina el volumen del cilindro utilizando la ecuación V =
πR L = π(D/2)2L = (π/4)D2L. Luego se determina la densidad del cilindro utilizando
2
la ecuación ρ = m/V. es decir, se realizará un multiplicación, y luego una división,
de cifras significativas. Se procede:
V = (π/4)(6.657/2)2(20.82) = (π/4)(3.328)2(20.82). El radio se obtiene al
dividir una magnitud entre una constante, por lo que el resultado debe tener 4
cifras significativas. Ahora V = (π/4)(11.08)(20.82). El radio se multiplica dos
veces, dando un resultado con 4 cifras significativas. Ahora V = (π/4)(230.7). Se
multiplica dos resultados obtenidos por magnitudes, cuyo resultado se multiplica
por una constante, lo cual debe mantener las 4 cifras significativas. Ahora V =
181.2 cm3. Este resultado corresponde al volumen del cilindro considerando las
operaciones con cifras significativas.
Para obtener la densidad se procede: ρ = 39.45 / 181.2, lo cual da 0.2177
3
g/cm . Este resultado de 4 cifras significativas es la densidad del cilindro.
Para resolver ejercicios de las operaciones con cifras significativas asumen
valores con decimales, y realice operaciones con ellos. Consulte al profesor ante
cualquier duda.
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11. Reflexión parcial.
Los resultados operacionales de los cálculos, a raíz de magnitudes, dan
resultados distintos a las operaciones comunes de la matemática. Puedes
comprobarlo realizando los ejemplos anteriores utilizando la calculadora. La razón,
ya citada, es reducir el error humano en las mediciones.
Operaciones con cifras significativas incluido el error en la medición.
En esta segunda parte de la guía, se formularán y aplicarán las operaciones
con cifras significativas de suma, resta, multiplicación y división, en las que se
incluye el error en las mediciones. Luego se determinará el error de las
mediciones utilizando la técnica de las derivadas parciales, se reflexionará sobre
los distintos tipos de errores, y se culmina con la aplicación en dos ejemplos en los
que se utiliza la teoría de errores.
Para las operaciones, se tomarán dos magnitudes medidas, presentadas de
la siguiente manera: X1 = X1prom. ± ΔX1 y X2 = X2prom. ± ΔX2
Suma.
X = X1 + X2 = (X1prom. ± ΔX1) + (X2prom. ± ΔX2) = (X1prom. + X2prom) ± (ΔX1 +
ΔX2) = Xprom ± ΔX
Se puede observar que los valores promedio y la incertidumbre de la suma
de dos magnitudes medidas, es igual a la suma de sus valores promedios y la
suma de sus incertidumbres.
Como ejemplo se asume que X1 = 18.675 ± 0.879 y X2 = 6.89 ± 0.06. Se
determina la suma de ambas medidas. El resultado es X = (18.675 + 6.89) ±
(0.879 + 0.06) = 25.565 ± 0.939. Este resultado es producto del uso de la
calculadora; sin embargo, para efectos de la reducción del error humano en la
medición, el número de decimales del resultado debe ser de 2 decimales, debido a
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12. los 2 decimales del valor 6.89. De la misma manera, el número de decimales de la
incertidumbre resultante debe ser también de 2. Por lo tanto, al redondear los
resultados a 2 decimales, queda: X = 25.56 ± 0.94. Note que en el valor promedio,
el valor 6 (número par) no pasó al siguiente dígito debido a su comparación con el
siguiente valor: 5.
Resta.
X = X1 - X2 = (X1prom. ± ΔX1) - (X2prom. ± ΔX2) = (X1prom. - X2prom) ± (ΔX1 +
ΔX2) = Xprom ± ΔX.
En el caso de la resta, y a diferencia de la suma, se restan los valores
promedio, pero se suman las incertidumbres, por lo que no se recomienda este
tipo de operaciones en el cálculo de errores, a menos que sea necesario.
Como ejemplo, tomemos los mismos valores de la suma, pero ahora se
restan. Su resultado será: X = (18.675 - 6.89) ± (0.879 + 0.06) = 11.78 ± 0.94.
Multiplicación.
X = X1 * X2 = (X1prom. ± ΔX1) * (X2prom. ± ΔX2) = (X1prom. * X2prom) ± [(ΔX1/
X1prom) + (ΔX2/ X2prom)]* (X1prom. * X2prom) = Xprom ± ΔX.
En el caso de la multiplicación, el valor promedio resultante es la
multiplicación de los valores promedios de las magnitudes medidas; la
incertidumbre resultante, la suma de sus errores relativos multiplicada por el valor
promedio
Como ejemplo, se asumen los mismos valores que la suma, pero se
determina el producto de ambas magnitudes, por lo que su resultado es: X =
(18.675 ± 0.879) * (6.89 ± 0.06) = (18.675 * 6.89) ± [(0.879/18.675) + (0.06/6.89)]*
(18.675 * 6.89) = 128.67075 ± (0.04706… + 0.008708…)*128.67075 = 129 ±
(0.0471 + 0.009)*129. El resultado 129 es el promedio resultante, con tres cifras
significativas, debido al valor 6.89; los valores 0.0471 y 0.009, son los resultados
de los errores relativos, los cuales tienen 3 y 1 cifras significativas, debido a los
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13. valores 0.879 y 0.06, respectivamente. Al sumar los errores relativos resultantes y
multiplicarlo por el valor promedio, el resultado parcial queda: X = 129 ±
(0.0561*129) = 129 ± 7.24. La incertidumbre resultante, 7.24, debe tener 3 cifras
significativas, debido al valor 129; sin embargo, el número de decimales de la
incertidumbre debe corresponder con los del valor promedio; en este caso, 0
decimales, por lo que el resultado definitivo es: X = 129 ± 7. También pudiera
ajustarse el resultado de la siguiente forma. X = 129.00 ± 7.24 ó X = 129.000 ±
7.240. Cualquiera de los tres resultados es correcto, siempre y cuando exista
correspondencia entre el número de decimales del promedio y los de la
incertidumbre.
División.
X = X1 / X2 = (X1prom. ± ΔX1) / (X2prom. ± ΔX2) = (X1prom. / X2prom) ± [(ΔX1/
X1prom) + (ΔX2/ X2prom)]* (X1prom. / X2prom) = Xprom ± ΔX.
Parecido a la multiplicación, solo que se dividen los valores promedio.
Siguiendo los valores del ejemplo anterior, el resultado queda: X = (18.675 / 6.89)
± [0.0561*(18.675 / 6.89)] = 2.710449… ± (0.0561*2.710449…) = 2.71 ± 0.152. El
resultado 2.71, valor promedio resultante, tiene 3 cifras significativas, debido al
valor 6.89. El valor 0.152 presenta 3 cifras significativas debido al valor 2.71.
Igualando el número de decimales, el resultado quedaría: X = 2.71 ± 0.15
Cálculo de errores utilizando derivadas parciales.
Antes de aplicar la teoría de errores a casos reales, se refuerza el cálculo
de errores utilizando las derivadas parciales.
La derivada parcial tiene la misma resolución que una derivada de las
comúnmente resueltas en matemáticas I. La diferencia se ubica en que los
teoremas para la resolución de las derivadas parciales se hacen con una sola
variable, transformándose las restantes en constantes.
Como ejemplo, se tiene la magnitud T = 4X2 + 2t. Se pide la presentación
de esta magnitud, es decir, T = T prom. ± ΔT. Para obtener el promedio de T se
determinan los promedios de X y t, de tal manera que T prom. = 4X2prom. + 2tprom. La
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14. determinación de la incertidumbre de T, ΔT, se puede realizar por el
procedimiento anteriormente descrito (multiplicación de cifras significativas con
error, en la cual X2 es igual a X * X), o aplicando la técnica de las derivadas
parciales. De acuerdo a esta última técnica, dicha incertidumbre se obtiene de la
siguiente manera:
ΔT = ι(∂T/∂X)ι ΔX + ι(∂T/∂t)ι Δt
donde:
ι(∂T/∂X)ι: Es el valor absoluto de la derivada parcial de T con
respecto a X. En este caso la variable t pasa a ser una constante. El
valor absoluto significa que el resultado es siempre positivo.
ι(∂T/∂t)ι: Es el valor absoluto de la derivada parcial de T con respecto
a t. En este caso la variable X pasa a ser una constante. El valor
absoluto significa que el resultado es siempre positivo.
ΔX: Es la incertidumbre de las n mediciones de X obtenida por la
ecuación de la desviación estándar.
Δt: Es la incertidumbre de las n mediciones de t obtenida por la
ecuación de la desviación estándar.
Los pasos para la resolución de las derivadas parciales son los siguientes:
∂T/∂X = ∂/∂X(4X2 + 2t) = 8X + 0 = 8X
∂T/∂t = ∂/∂t(4X2 + 2t) = 0 + 2 = 2
Ecuación resultante: ΔT = 8Xprom ΔX + 2 Δt. En éste, la X es el valor
promedio de las n mediciones de la misma.
Resultado: Sustitución de resultados numéricos.
Esta técnica de las derivadas parciales se utiliza para magnitudes cuyas
ecuaciones tienen potenciación, funciones armónicas (seno, coseno), raíz
cuadrada, entre otros, es decir, ecuaciones no lineales.
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15. Tipos de errores.
Existen tres tipos de errores, de los cuales dos pudieran evitarse, o al
menos, reducirse, y uno que no se sabe ni como se origina.
Error humano.
Son los que comete el observador al hacer las mediciones y al realizar las
operaciones con las magnitudes medidas. El primer caso se pude evitar teniendo
cuidado a la hora de medir. Estos cuidados son:
Calibrar adecuadamente los instrumentos o sensores.
Si el instrumento es de escala, colocar la vista directamente sobre la
aguja. Esto se puede notar al no haber sombra entre la aguja y la
pantalla con escala.
Determinar la apreciación del instrumento. De ello dependerá el
número de cifras significativas de la medición. No olvide que el último
dígito lo asume el observador; el resto, son seguros.
No conformarse con una medición. Realizar la cantidad de
mediciones que sea necesaria y/o posible.
Realizar el montaje adecuadamente.
Observar y neutralizar los factores externos a la medición que la
pudieran afectar, como por ejemplo, un aire acondicionado, cuyo
ventilación afecta la caída libre de un cuerpo.
Realizar las mediciones sin apresuramiento, para evitar registros no
adecuados.
Cualquier situación irregular, consultar con el Técnico o el Profesor.
El segundo caso, lo hemos tratado en esta guía. Consiste en las
operaciones con cifras significativas.
Error sistemático.
Son los errores debido a la fabricación del instrumento y/o condiciones
ambientales. En el primer caso se subdivide en estático y dinámico. El primero de
ellos se refiere a la calidad de fabricación del instrumento (confiabilidad); el
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16. segundo, a la sensibilidad del instrumento, es decir, a la respuesta del instrumento
al momento de experimentar cambios en la medición. Para reducirlos es necesario
escoger instrumentos en buen estado y de la mayor calidad posible.
Las condiciones ambientales se refieren a la ventilación, campos
electromagnéticos, humedad, limpieza, entre otros, del laboratorio. Por ejemplo,
debe existir en el laboratorio un clima adecuado, con poca humedad, evitando el
uso de los celulares (afectan a los aparatos electrónicos al momento de medir), y
evitando lo más posible el polvo (que afectan la confiabilidad de las
computadoras). De allí, que el laboratorio debe estar limpio y bien ventilado.
Errores al azar.
Son errores de origen desconocido y, por consiguiente, no se pueden evitar.
Son los errores que quedan en una medición que cumpla cabalmente con todos
los requisitos de reducción de los errores anteriores. Ejemplo: Un movimiento de
soporte producido por un agente externo como el paso de un camión, cerca del
laboratorio de Física, en el momento de una medición.
Aplicación de la teoría de errores.
La aplicación de la teoría de errores se explicará con dos ejemplos de
aplicaciones reales en el laboratorio. El primero de ellos corresponde a una
práctica sobre el uso del vernier en varias mediciones; el otro ejemplo, una serie
de mediciones para obtener una gráfica de F (fuerza) vs x (elongación de un
resorte) para determinar manualmente, por el método de mínimos cuadrados, la
pendiente de dicha gráfica (una recta), la cual corresponde a la constante de
rigidez del resorte, K, dato útil para determinar el periodo de oscilación, en el
movimiento armónico simple, de un sistema masa-resorte.
Determinación de la densidad de un cuerpo rígido geométricamente
establecido.
En una práctica de laboratorio sobre instrumentos de medición, se utilizaron
un vernier y una balanza, para realizar una cierta cantidad de mediciones de las
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17. magnitudes y propiedades de un material cilíndrico (largo, diámetro y masa). Los
resultados de dichas mediciones se registran en la siguiente tabla:
Nº Largo (cm) Diámetro (cm) Masa (g)
1 6.565 3.435 19.35
2 6.570 3.440 19.34
3 6.565 3.430 19.35
4 6.560 3.435 19.36
5 6.575 3.440 19.37
Se desea determinar, utilizando la teoría de errores, la densidad del
material cilíndrico.
La densidad del material cilíndrico se obtiene a través de la ecuación ρ =
(mprom ± Δm) / (Vprom ± ΔV) = ρprom ± Δρ, siendo m y V, la masa y el volumen del
material cilíndrico. Se espera obtener el valor más probable de la densidad, así
como su incertidumbre.
Un paso previo para obtener la densidad es la determinación del volumen a
través de la ecuación V = (π/4)D2L.
Utilizando las derivadas parciales para obtener la incertidumbre del material
cilíndrico, y considerando que V = Vprom ± ΔV = (π/4)(D2prom)(Lprom) ± ι(∂V/∂D)ι ΔD +
ι(∂V/∂L)ι ΔL, es decir:
Vprom = (π/4)(D2prom)(Lprom)
ΔV = ι(∂V/∂D)ι ΔD + ι(∂V/∂L)ι
Para obtener ΔV se determinan las derivadas parciales.
∂V/∂D = ∂/∂D[(π/4)(D2prom)(Lprom)] = (π/2)(Dprom)(Lprom)
∂V/∂L = ∂/∂L[(π/4)(D2prom)(Lprom)] = (π/4)(D2prom)
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18. Por lo que ΔV = (π/2)(Dprom)(Lprom)(ΔD) + (π/4)(D2prom)(ΔL), y V =
(π/4)(D2prom)(Lprom) ± [(π/2)(Dprom)(Lprom)(ΔD) + (π/4)(D2prom)(ΔL)]. Las incognitas
Dprom, Lprom, mprom, ΔD, ΔL y Δm, se obtienen a partir de las siguientes tablas:
Nº Di (cm) Di - Dprom (Di - Dprom)2
2
1 3.435 3.435 – 3.436 = - 0.001 (- 0.001) = 0.000001
2 3.440 3.440 – 3.436 = 0.004 (0.004)2 = 0.00002
3 3.430 3.430 – 3.436 = - 0.006 (- 0.006)2 = 0.00004
4 3.435 3.435 – 3.436 = - 0.001 (- 0.001)2 = 0.000001
5 3.440 3.440 – 3.436 = 0.004 (0.004)2 = 0.00002
Dprom = 3.436 Σ(Di - Dprom)2 = 0.00008
Nº Li (cm) Li - Lprom (Li - Lprom)2
2
1 6.565 6.565 - 6.567 = - 0.002 (- 0.002) = 0.000004
2 6.570 6.570 - 6.567 = 0.003 (0.003)2 = 0.000009
3 6.565 6.565 - 6.567 = - 0.002 (- 0.002)2 = 0.000004
4 6.560 6.560 - 6.567 = - 0.007 (- 0.007)2 =0.00005
5 6.575 6.575 - 6.567 = 0.008 (0.008)2 = 0.00006
Lprom = 6.567 Σ(Li - Lprom)2 = 0.0001
Nº mi (g) mi - mprom (mi - mprom)2
1 19.35 19.35 - 19.35 = 0 0
2 19.34 19.34 - 19.35 = - 0.01 (- 0.01)2 = 0.0001
3 19.35 19.35 - 19.35 = 0 0
4 19.36 19.36 - 19.35 = 0.01 (0.01)2 = 0.0001
5 19.37 19.37 - 19.35 = 0.02 (0.02)2 = 0.0004
mprom = 19.35 Σ(mi - mprom)2 = 0.0006
Todos los resultados obtenidos en las tablas están basadas en las
operaciones con cifras significativas.
A partir de los resultados anteriores se determinan las incertidumbres ΔD,
ΔL y Δm:
ΔD = √ [Σ(Di - Dprom)2 / 4] = √ (0.00008 / 4) = 0.004472…. cm
ΔL = √ [Σ(Li - Lprom)2 / 4] = √ (0.0001 / 4) = 0.005 cm
Δm = √ [Σ(mi - mprom)2 / 4] = √ (0.0006 / 4) = 0.012247… g
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19. Los resultados para las incertidumbres presentan una probabilidad del 67%,
de que una próxima medición se encuentre en el intervalo que contempla a dicha
incertidumbre. Si se quiere una probabilidad del casi 100%, se multiplica los
valores de la desviación estándar por el valor 3.
La presentación de las magnitudes de D, L y m queda de la siguiente
manera:
D = (3.436 ± 0.004) cm
L = (6.567 ± 0.005) cm
m = (19.35 ± 0.01) g
El volumen se determina de la siguiente manera: V = (π/4)(D2prom)(Lprom) ±
[(π/2)(Dprom)(Lprom)(ΔD) + (π/4)(D2prom)(ΔL)] = (π/4)(3.436)2(6.567) ±
2
[(π/2)(3.436)(6.567)(0.004) + (π/4)(3.436) (0.005)] = 60.89 ± (0.1 + 0.05) = 60.89 ±
0.15. El volumen presenta el siguiente resultado:
V = (60.89 ± 0.15) cm3
La densidad se obtiene por la ecuación de división de cifras significativas
con error: ρ = (mprom ± Δm) / (Vprom ± ΔV) = (19.35 ± 0.01) g / (60.89 ± 0.15) cm 3 =
(19.35 / 60.89) ± [(0.01/19.35) + (0.15 / 60.89)]* (19.35 / 60.89) = 0.3178 ± (0.0005
+ 0.0025)*0.3178 = 0.3178 ± (0.0030*0.3178) = 0.3178 ± 0.00095. Ajustando los
decimales, la presentación de la densidad quedaría:
ρ = (0.3178 ± 0.0010) g/cm3
Es importante que hagas el ejercicio por tu cuenta; cualquier duda, consulta
con tu profesor. No olvides: calcular utilizando operaciones con cifras
significativas.
Determinación de la constante de rigidez, K, de un resorte, utilizando el
método de los mínimos cuadrados.
Para determinar la constante K se utiliza un método manual que consiste en
agregar pesas a un sistema masa-resorte vertical, y medir, utilizando una regla
graduada, la elongación del resorte, x, así como el valor de la pesa, en g-f,
utilizando un dinamómetro analógico. Los resultados se registran en la siguiente
tabla:
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20. N Peso agregado (Fi), en g-f Elongación del resorte (xi), en cm
1 0 0
2 10 3.94
3 20 7.88
4 30 11.83
5 40 15.60
Se pide la gráfica F vs x para identificar los puntos y trazar una gráfica
aproximada. Se observa un cierto alejamiento de los puntos al valor de la recta;
sin embargo, se acepta que existe una proporcionalidad directa entre la fuerza
aplicada y la elongación alcanzada por el resorte, lo que verifica la Ley de Hooke
en este experimento.
Para obtener la pendiente de la gráfica F vs x, así como el error de la
pendiente, se utiliza la ecuación para mínimos cuadrados. La presentación del
resultado para K, es: K = Kpendiente ± ΔK, donde Kpendiente es el valor más probable
de la medición, obtenida a través de la ecuación de la pendiente; ΔK, es la
incertidumbre, obtenida a partir de la ecuación del error de pendiente.
La ecuación para una pendiente es: a = [N*Σ(xi*yi) – Σ(xi)*Σ(yi)] / [N*Σ(xi)2 –
2
(Σxi) ], por lo que el valor de K es:
Kpendiente = [N*Σ(Fi*xi) – Σ(xi)*Σ(Fi)] / [N*Σ(xi)2 – (Σxi)2], donde N = 5
Para determinar la incógnita se realiza la siguiente tabla:
N Fi xi Fi*xi xi2 Fi2
1 0 0 0 0 0
2 10 3.94 39 15.5 1.0 x 102
3 20 7.88 1.6 x 102 62.1 4.0 x 102
4 30 11.83 3.5 x 102 139.9 9.0 x 102
5 40 15.60 6.2 * 102 243.4 1.6 x 103
2
ΣFi = 100 Σxi = 39.25 ΣFi*xi = 1,169 Σxi = 460.9 Σ(Fi2) = 3000
(Σxi)2 = 1541
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21. En la tabla se notan dos aspectos importantes. En la cuarta y sexta
columnas aparecen notaciones científicas, debido a que los resultados de la
multiplicación solo deben tener dos cifras significativas. Ejemplo: 20*7.88 = 157.6.
Como el resultado debe tener dos cifras significativas, el valor 157.6 se traslada a
notación científica, quedando 1.576 x 102. La base de la notación se ajusta a dos
cifras significativas, quedando el resultado: 1.6 x 10 2. Otro aspecto: al sumar los
valores de la cuarta y sexta columnas, el resultado queda sin decimales.
Con los resultados obtenidos en la tabla anterior, se determina la pendiente,
K, considerado como valor más probable. Entonces:
Kpendiente = [5*(1,169) – (39.25)*(100)] / [5*(460.9) – 1541] = (5845 – 3.92 x
103) / (2304 – 1541) = 1925 / 763 = 2.52. El resultado para la pendiente, con tres
cifras significativas, es: Kpendiente = 2.52 g-f/cm.
Para determinar el error de la pendiente, lo cual equivale a la incertidumbre,
ΔK, se utiliza la siguiente ecuación estadística:
Sa = √ [a2 / (N – 2)]*(R-2 – 1)
donde:
R2 = [Cov(x,y)]2 / [Var(x)*Var(y)]
Cov(x,y) = [N*Σ(xi*yi) – Σ(xi)*Σ(yi)] / N2
Var(x) = [Σ(xi2) / N] - [Σ(xi) / N]2
Var(y) = [Σ(yi2) / N] - [Σ(yi) / N]2
donde: xi = xi, yi = Fi, Sa = ΔK y a = Kpendiente
Sustituyendo los resultados obtenidos en la tabla anterior, se resuelve la
incertidumbre:
Cov(x,y) = [(5)*(1,169) – (39.25)*(100)] / 52 = (5845 – 3.92 x 103) / 25 =
1925 / 25 = 77.00. El 25 no es cifra significativa (no es una medición), por lo tanto
el resultado debe tener 4 cifras significativas.
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22. Var(x) = (460.9 / 5) – (39.25 / 5)2 = 92.18 – (7.850)2 = 92.18 – 61.62 =
30.56
Var(y) = (3000 / 5) – (100 / 5)2 = 600.0 – (20)2 = 600.0 – 4.0 x 102 = 200
R2 = (77.00)2 / (30.56 * 200) = 5929 / 6.11 x 103 = 0.970
ΔK = √[(2.52)2 / (5-2)]*[(1 / 0.970) – 1] = √(6.35 / 3)*(1.03 – 1) =
√(2.12)*(0.03) = √0.06 = 0.2449….
Por lo tanto, la presentación de K, queda: K = (2.52 ± 0.24) g-f/cm
Reflexión final
Los ejemplos anteriores demuestran que, a nivel de laboratorios de
investigación, entre los que se encuentran los laboratorios de Física, los
resultados no se obtienen con el uso directo de la calculadora; es necesario unas
reglas de juego, llamadas operaciones con cifras significativas, con la finalidad de
reducir el error humano, a la hora de realizar las operaciones, con magnitudes
medidas en el laboratorio.
Las mediciones no son exactas ni precisas, siempre hay errores; sin
embargo, se pueden reducir, de manera tal, de lograr la confiabilidad en las
mediciones, y por consiguiente de la interpretación de la investigación, en la
búsqueda del conocimiento científico.
Cualquier duda en relación a esta guía consulta con el profesor de la
asignatura.
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