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TEORÍA DE CONJUNTOS

CESAR V
CESAR V

MATEMÁTICA APLICADA A LA MEDICINA

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MATEMATICA APLICADO A LA
MEDICINA
TEMA
TEORIA DE CONJUNTOS
2014
2
CONJUNTO:
Idea Intuitiva:
La palabra conjunto sugiere de inmediato la idea de:
 Grupo
 Colección
 Selección
 Asociación
 Agregado , etc.
NOTACION
Para representar un conjunto se utilizan letras Mayúsculas,
tales como A , B , C .......
LA TEORIA DE CONJUNTOS
3
ELEMENTO :
Son los objetos que forman parte del conjunto la propiedad fundamental de un
elemento es la pertenencia ; que se simboliza así
 : Se lee : “ pertenece a ”
A los elementos se les designa con letras minúsculas , tales como x , y , z
etc.
 Si un elemento x forma parte del conjunto A, entonces, ese elemento
pertenece a ese conjunto A así denotamos :
x  A : Se lee: “ x pertenece a A”
 Si un elemento x no forma parte del conjunto A, entonces, ese
elemento no pertenece a ese conjunto A. Así denotamos :
x  A : Se lee: “ x no pertenece a A”
Ejemplo: Sea A = { x , y , z }
x  A y  A z  A m  A
LA TEORIA DE CONJUNTOS
4
Diagrama de Veen - Euler :
Consisten en representar a los conjuntos por medio de figuras geométricas
planas y cerradas en cuyo interior se ubican los elementos.
Ejemplo: A = {m , n , p }
.m
.n
.p
A
LA TEORIA DE CONJUNTOS
5
Determinación de un conjunto :
Un conjunto se puede determinar:
por extensión y por comprensión
Por extensión :
Nombrando uno a uno los elementos del conjunto
Ejemplo: A = { 2, 4, 6, 8, 10 }
B = { a, e, i, o, u }
Por Comprensión :
Enunciando una propiedad o característica común a los elementos del
conjunto.
Ejemplo: A = {x  x es un número par }
B = { x / x son las vocales }
LA TEORIA DE CONJUNTOS
6
El Conjunto de Números Naturales ( N)
N = { 1 , 2 , 3 ,4 , .................. }
En este conjunto sólo se puede efectuar operaciones de adición y
multiplicación sin restricciones.
CONJUNTOS NUMERICOS
El Conjunto de Números Enteros ( Z )
Son los números naturales precedidos por el signo - o + , incluyendo
el cero.
Z = { ............... – 3 , , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .................. }
Donde N  Z
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  • 1. 1 MATEMATICA APLICADO A LA MEDICINA TEMA TEORIA DE CONJUNTOS 2014
  • 2. 2 CONJUNTO: Idea Intuitiva: La palabra conjunto sugiere de inmediato la idea de:  Grupo  Colección  Selección  Asociación  Agregado , etc. NOTACION Para representar un conjunto se utilizan letras Mayúsculas, tales como A , B , C ....... LA TEORIA DE CONJUNTOS
  • 3. 3 ELEMENTO : Son los objetos que forman parte del conjunto la propiedad fundamental de un elemento es la pertenencia ; que se simboliza así  : Se lee : “ pertenece a ” A los elementos se les designa con letras minúsculas , tales como x , y , z etc.  Si un elemento x forma parte del conjunto A, entonces, ese elemento pertenece a ese conjunto A así denotamos : x  A : Se lee: “ x pertenece a A”  Si un elemento x no forma parte del conjunto A, entonces, ese elemento no pertenece a ese conjunto A. Así denotamos : x  A : Se lee: “ x no pertenece a A” Ejemplo: Sea A = { x , y , z } x  A y  A z  A m  A LA TEORIA DE CONJUNTOS
  • 4. 4 Diagrama de Veen - Euler : Consisten en representar a los conjuntos por medio de figuras geométricas planas y cerradas en cuyo interior se ubican los elementos. Ejemplo: A = {m , n , p } .m .n .p A LA TEORIA DE CONJUNTOS
  • 5. 5 Determinación de un conjunto : Un conjunto se puede determinar: por extensión y por comprensión Por extensión : Nombrando uno a uno los elementos del conjunto Ejemplo: A = { 2, 4, 6, 8, 10 } B = { a, e, i, o, u } Por Comprensión : Enunciando una propiedad o característica común a los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {x  x es un número par } B = { x / x son las vocales } LA TEORIA DE CONJUNTOS
  • 6. 6 El Conjunto de Números Naturales ( N) N = { 1 , 2 , 3 ,4 , .................. } En este conjunto sólo se puede efectuar operaciones de adición y multiplicación sin restricciones. CONJUNTOS NUMERICOS El Conjunto de Números Enteros ( Z ) Son los números naturales precedidos por el signo - o + , incluyendo el cero. Z = { ............... – 3 , , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .................. } Donde N  Z Z
  • 7. 7 El Conjunto de Números Racionales ( Q) Q = { x / x = ; a , b  Z ; b  0 } Es decir el conjunto Q resulta de dividir 2 números enteros , con el divisor diferente de cero . Y puede obtenerse. CONJUNTOS NUMERICOS b a         mixtoPeriódico puroPeriódico inexactoDecimal exactoDecimal decimalNúmero Q Z
  • 8. 8 Conjunto de Números Irracionales( Q ) Son aquellos números que no pueden expresarse en la forma ; b  0 a , b  Z , es decir que no presentan periodicidad en sus cifras decimales. CONJUNTOS NUMERICOS b a  ..........2,e,,2,3..,.......... 3 Q= Conjunto de Números Reales ( R ) R = Q  Q Nota: Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto de números reales y el conjunto de puntos de la recta . PiP2P1 (x1) (x2) (xi)- +
  • 10. 10 El Conjunto de Números Complejos ( C ) Al resolver la ecuación : CONJUNTOS NUMERICOS 1icon;1-sidonde, R1x01x 2 2   i i se llama unidad imaginaria Por lo tanto : Un número Complejo podemos escribir en la forma a + bi ; a ,b  R Luego : C = { a + bi  a , b  R ; i2 = - 1 }
  • 11. 11 Conjuntos Especiales :  Conjunto Unitario : Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo: M = { x } ; N = { x  N  1 < x < 3 }  Conjunto Nulo o Vacío : Es el conjunto que carece de elementos. Denotado por  Ejemplo: P = { x  N  1 < x < 2 } =   Conjunto Finito: Es el conjunto formado por un numero determinado de elementos. Ejemplo: M = { x  x es número dígito par menor que 40 }  Conjunto Infinito: Es el conjunto formado por un numero indeterminado de elementos. Ejemplo: N = { x  R  1 < x  5 }  Conjunto Universal : Constituido por todos los elementos de una determinada materia. El conjunto Universal no está definida en forma única, podemos elegir a nuestra conveniencia. Se denota por la letra U Ejemplo: Sea el universo U = { a , e , i , o , u } LA TEORIA DE CONJUNTOS
  • 12. 12 Relaciones entre Conjuntos : LA INCLUSION Ejemplo: Sea A = {2 , 3 , 5} y B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .1 .4 .6.2 .3 .5 A B LA TEORIA DE CONJUNTOS B .2 .3 .5 .1 .4 B .6 A
  • 13. 13 Subconjunto Propio o Parte Propia: Se dice que un conjunto A es subconjunto propio de o parte propia de B ; sí y solo si, todos los elementos de A pertenecen a B , existiendo elementos de B que no pertenecen a A ; se denota así: A  B se lee: A es subconjunto propio de B Nota: El conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto .   A ;  A LA TEORIA DE CONJUNTOS .1 .2 .3 BA
  • 14. 14 Propiedades de la Inclusión: LA TEORIA DE CONJUNTOS
  • 15. 15 Igualdad de Conjuntos : A y B son iguales , cuando están formados por los mismos elementos. Y definimos así: Ejemplo: A = { x , y } y B = { y , x } A = B LA TEORIA DE CONJUNTOS
  • 16. 16 Relaciones entre Conjuntos : Conjuntos Comparables .b .d .f Tienen algunos elementos en común. A = { a , b , c , d } y B = { a , c , e , f } A B ABBABacomparableesA  Conjuntos no comparables ABBABABacomparableesnoA  .e Conjuntos Disjuntos:  BAdisjuntossonByA No tienen ningún elemento en común LA TEORIA DE CONJUNTOS .a .c
  • 17. 17 Conjunto de conjuntos o familia de conjuntos : Es el conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos. Ejemplo: A= { {1 , 2 } , { 0 } , { 3 } } LA TEORIA DE CONJUNTOS Conjunto Potencia Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de ese conjunto , incluyendo el mismo y el nulo. Dado un conjunto A ; el conjunto potencia de A, se denota por P(A) Luego : Ejemplo: Sea A = {a , b} P(A) = { {a } , { b } , { a , b } ,  }
  • 18. 18 Nota : 1. Si A tiene “ n” elementos, el número de elementos de la P(A) es igual a 2n elementos. P(B)P(A)BASi4. P(B)P(A)BASi3. }{)P(ASi2.     LA TEORIA DE CONJUNTOS El conjunto potencia de A es una familia de conjuntos
  • 19. 19 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión o Reunión de Conjuntos Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A  B = { x/ x  A  x  B } A B Si A y B son no comparables , entonces: A  B gráficamente es:  Si A y B son comparables , entonces: A  B es: B B A A
  • 20. 20 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Propiedades de la Reunión de Conjuntos n21i n 1i A...........AAA12. DBCADCBASi11. BBABASi.10 BABASi9. B)(ABB)(AA8. UUA7. C)(BC)(ABASi6. C;C)A(B)A(C)B(A5. AA4. C)B(ACB)(A3. ABBA2. A;AAA.1               
  • 21. 21 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Intersección de Conjuntos Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A  B = { x/ x  A  x  B } A B  Si A y B son no comparables , entonces: A  B gráficamente es:  Si A y B son comparables , entonces: A  B es: A  Si A y B son Disjuntos A  B es: B B A A  BA
  • 22. 22 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Propiedades de la Intersección de Conjuntos A...........AAA13. AB)(AA;AB)(AA12. C)(AB)(AC)(BA C)(AB)(AC)(BA11. P(B)P(A)B)P(A10. CBADBCASi9. BB)(AAB)(A8. CBCABASi7. ABABASi6. A5. AUA4. C)B(ACB)(A3. ABBA2. A;AAA.1 n21i n 1               i D 
  • 23. 23 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Diferencia de Conjuntos Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x  A  x  B } Gráficamente , mediante el diagrama de Veen se tiene: A B  Si A y B son no comparables , entonces: A - B es:  Si A y B son comparables , entonces: A - B =  (No hay gráfico) BA B A B – A es:
  • 24. 24 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Propiedades de la Diferencia de Conjuntos B-C)-A(C-B)-(A12. DisjuntossonA-B;BA;B-A11. C)(AB)(AC)(B-A C)-(AB)-(AC)(B-A10. C,C)-(BC)-(ABASi9. BABASi8. C)(A-B)(AC)-B(A7. B)-(AB6. B)(A-AB-B)(AB)-(A5. A-4. AB-A3. AA2. A-A.1                  
  • 25. 25 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Complemento de un Conjunto Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A , denotado por A O Ac se define asi : Ac = { x/ x  U  x  A } = U - A Ac Gráficamente: A Si el conjunto referencial no es el conjunto universo, tal como B , donde A  B ; entonces el complemento de A con respecto a B , denotado por CB (A) Será : CB (A) = { x / x  B  x  A } = B - A U
  • 26. 26 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Propiedades del Complemento B)(AU)B(A12. B)(A-U)B(A11. BA)B(A BA)B(A10. ABBASi9. B(A)C8. A-B(A)C7. 6. U5. U4. AA3. UAA2. A)A(.1 B B              BABA   
  • 27. 27 Diferencia Simétrica Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A  B se define así: A  B = (A – B ) U (B – A) B Gráficamente: A Ejemplo . Si A = { 2 , 3 , 5 } y B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 8 , 9 } Hallar A  B Solución. Como A  B = (A – B )  (B – A) = { 5 }  { 0 , 1 , 8 , 9 } A  B = { 0 , 1 , 5 , 8 , 9 }
  • 28. 28 Propiedades de la Diferencia simétrica       CBCABASi9. )AB()BA(BΔA8. B)(A-B)A(BΔA7. C)B(A-)BA(CBB)Δ(A6. C)BΔ(C)A(CB)Δ(A5. BA4. ABΔBΔA3. AA2. AA.1          C CBAC  
  • 29. 29 TEORIA DE CONJUNTOS Número de Elementos de un Conjunto Al número de elementos de un conjunto se le llama : Cardinal de un Conjunto y se denota así: Para un conjunto A se tiene n(A) ó Card (A) Ejemplo . Si A = { a , e , i , o , u }  n(A ) = 5 ó n [ P(A) ] = 25 = 32
  • 31. 31 EJERCICIOS DE CONJUNTOS 1. Para la gráfica de A , B y C se tiene: Las operaciones que representan las regiones: A B C R1 R4 R5 R7 R2 R6 R3 R8 U )BCn(A]BC)n[(An(B)C)n(AR )BAn(C)B(An[CB)n(An(C)R )CAn(B])C(ABn[C)n(An(B)R )CBn(A])C(Bn[AC)n(Bn(A)R 4 3 2 1    
  • 32. 32 EJERCICIOS DE CONJUNTOS Para la gráfica de A , B y C se tiene: Las operaciones que representan las regiones: A B C R1 R4 R5 R7 R2 R6 R3 R8 U )CBn(AR C)Bn(AR )ACn(B]AC)(Bn[n(A)C)n(BR )CBn(A]C)n[(An(C)B)n(AR 8 7 6 5     B
  • 33. 33 EJERCICIOS DE CONJUNTOS 2. Sean los conjuntos: A = { 1 , 2 , 3 , 4} ; B = { 0 , 2 , 5 , 6} y C = { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 } con U ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } Hallar : Solución:       )B'A(CBA3.BCA2.CBA1.               71,2,4,6,77,8,91,2,4,6,75,60,1,2,3,4,CBA.1                 66,5,2,0)7,63(BA)(CC)(ABCA.2       9,8,7,6,5,3,2,1,09,8,7,6,5,3,1,02)BA(C)B(A.3 
  • 34. 34 EJERCICIOS DE CONJUNTOS 3. Si los conjuntos A y B tienen los siguientes datos: n(AB) = 60 ; n(A – B) = 24 y n(B  A ) = 20 Hallar: n(A) + n(B) Solución: ......(1)60B)n(A-n(B)n(A):tieneSe B)n(A-n(B)n(A)B)n(A:queSabemos   ......(2)..........24B)n(A-n(A) B)n(A-n(A)B)n(A:queSabemos   ......(3)..........20B)n(A-n(B) A)n(B-n(B)A)n(BA-BABComo   Restando : (1) y (2) se tiene : n(B) = 36 Restando : (1) y (3) se tiene : n(A) = 40 Luego n(A) + n(B) = 40 + 36 = 76
  • 35. 35 EJERCICIOS DE CONJUNTOS 4.Dado los conjuntos: A = { a , {a , b} } ; B = { a , b , { c } } ; C = A – B Hallar : a) P(A  C) b) P(A)  P(B) Solución:                ,,C)P(Aba,CAa. entonces,ba,BACcb,a,B;ba,a,A:Como ba                                ,aP(B)P(A) ,,,,,,,,,,,,aP(B) ,,,,,aP(A)b.       cbacbcabacb baaba
  • 37. 37 6. En una encuesta realizada en un centro hospitalario de Lima , conformado por 60 profesionales de la salud se tiene la siguiente información : 40 profesionales hablan inglés ; 28 hablan el francés, 16 hablan alemán; 12 hablan el inglés y el francés 5 el inglés y el alemán, los tres idiomas sólo 2. Si el número de profesionales que hablan sólo el francés es igual al número de profesionales que hablan el francés y el alemán. ¿Cuántos hablan únicamente el francés? Solución: x)IFn(A 2I)Fn(A5A)n(I 12F)n(I16n(A) 28n(F)40n(I)     I F A 25 3 2 10 x 16-(3+2+x) 28-(10+2+x) EJERCICIOS DE CONJUNTOS
  • 38. EJERCICIOS DE CONJUNTOS 7. De una población de 50 ingresantes a la facultad de medicina de la UPSM se sabe que: * 5 mujeres tienen 17 años. * 16 mujeres no tienen 17 años. * 14 mujeres no tienen 18 años. * 10 hombres no tienen 17 ni 18 años. ¿Cuantos hombres tienen 17 o 18 años? 38
  • 39. 39 SOLUCIONARIO Hombres Mujeres 17 años A 5 p 18 años 10 B q Mujeres que no tienen 18 años: p + 5 = 14 p = 9 Mujeres que no tienen 17 años : p + q = 16 q = 7 10 + ( A + B ) + 5 + 7 + 9 = 50 Luego: A + B = 19
  • 41. EJERCICIOS DE EXAMENES TEMA: CONJUNTOS 3. Hay tres centros de Salud “A”, “B” y “C” que pueden atender a una población de 3000 familias Se obtuvo la siguiente información: 1 800 familias se atienden en el centro de salud “A”, 1 700 familias se atienden en el centro de salud “B”, 1 200 familias se atienden en el centro de salud “C”, 1 250 familias se atienden en los centros de salud “A y B”, 700familias en los centros de salud “A y C”, 600 familias se atienden en los centros de salud “B y C” y 200 familias en los tres centros de salud. ¿Cuál es el numero de familias que no se atienden en los centros de salud “B o C” ? A) 50 B) 650 C) 700 D) 200 E) 550