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Matematicas

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13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 
E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S 
Indica cuáles de las siguientes funciones son lineales. 
a) y  5 d) y  0,3x 
b) y  0,04  23x e) y  2x2 
c) y  1  x2 f) y  0,5x  2 
Son lineales a, b, d y f. 
Expresa cada una de estas funciones mediante una fórmula e indica cuáles son lineales. 
a) A cada número real le corresponde su doble. 
b) A cada número real le corresponde su doble más cinco. 
c) A cada número real le corresponde su cuadrado. 
a) y  2x 
b) y  2x  5 
c) y  x2 
Son lineales a y b. 
Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones lineales. 
a) y  3x c) y  3x  1 
b) y  5x  2 d) y  —1 
—x  3 
2 
a) m  3, n  0 c) m  3, n  1 
1 
2, n  3 
b) m  5, n  2 d) m   
Halla la ecuación de la función lineal que pasa por el punto A(2, 9) y tiene pendiente 3. 
m  3 → y  3x  n 
Si pasa por A(2, 9), entonces: 9  3  2  n → n  15, y  3x  15. 
Determina la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos A(2, 1) y B(5, 4). 
 
5 
3x   1 
3 
La ecuación es: y   
3 . 
1  2  m  n 
4  5  m  n 
13.1 
13.2 
13.3 
13.4 
13.5 
5 
3 
m   
n   1 
3 
3
13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 
Representa estas funciones lineales. 
a) y  4x  2 b) y  3x  5 c) y  x d) y  —1 
—x  2 
2 
Y 
Y 
Y 
Escribe la ecuación de dos rectas que sean paralelas a cada una de estas funciones lineales. 
a) y  2x  3 c) y  x  1 
b) y  3x d) y  5x  7 
a) y  2x; y  2x  3 c) y  x  2; y  x  7 
b) y  3x  1; y  3x  10 d) y  5x; y  5x  4 
Y 
Un ciclista parte del kilómetro 10 de una carretera a una velocidad constante de 20 kilómetros hora. 
a) Halla la expresión algebraica de la función que relaciona el punto kilométrico de la carretera con el 
tiempo transcurrido desde el inicio. 
b) Representa la función. 
a) y  20x  10, donde y es el punto kilométrico b) 
de la carretera, y x, el tiempo transcurrido, 
en horas. 
Distancia (km) Tiempo (horas) 
10 
Se ha realizado una campaña de vacunación en una comunidad autónoma. Los gastos de distribución 
son 600 euros y los gastos de vacunación son 5 euros por cada vacuna puesta. 
a) Determina la expresión algebraica de esta función. 
b) Representa la función. 
a) y  5x  600, donde y es el dinero que se gasta b) 
en la campaña, y x, el número de vacunas puestas. 
Y 
Entre las siguientes funciones, indica cuáles son cuadráticas. 
a) y  3x2 b) y  2x  3 c) y  5  x2 d) y  x3 
Son cuadráticas a y c. 
13.6 
13.7 
13.8 
13.9 
13.10 
O 
1 X 
1 
O 
1 X 
1 
O 
1 X 
1 
O 
1 X 
1 
O 10 
O 
10 X 
200
13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 
Dadas las funciones: 
y  x2 y  3x2 y  5x2 
a) Represéntalas en un mismo gráfico. 
b) ¿Qué relación existe entre el coeficiente de la parábola y la aproximación al eje OY? 
a) 
Y 
1 y = –x2 
b) Cuanto mayor es el coeficiente, más se aproxima la parábola al eje OY. 
Representa por traslación estas funciones. 
a) y  x2  3 b) y  x2  2 c) y  (x  1)2 d) y  (x  4)2 
a) Y 
c) 
b) Y 
d) 
Y 
Y 
Representa por traslación las siguientes funciones. 
a) y  (x  1)2  3 b) y  (x  4)2  2 c) y  (x  1)2  3 d) y  (x  4)2  2 
a) Y 
c) 
b) d) 
13.11 
13.12 
13.13 
O 
1 X 
y = –3x2 y = –5x2 
O 
1 X 
1 
O 
1 X 
1 
O 
1 X 
1 
O 
1 X 
1 
O 
1 X 
1 
Y 
O 
1 X 
1 
Y 
1 
O 1 X 
Y 
O 
1 X 
1
13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 
Representa estas funciones cuadráticas y estudia las gráficas que obtengas. 
a) y  2x2  4x  6 b) y  x2  6x  27 
a) Abierta hacia arriba, a  0 
Punto de corte con el eje OY: x  0 → y  6 → (0, 6) 
Hallamos el vértice de la parábola: 6  2x2  4x  6 → 
x  0 o x  2 
El vértice está en x  1, y  8 → V(1, 8) 
Puntos de corte con el eje OX: 
y  0 → 2x2  4x  6  0 → x2  2x  3  0 → 
4 12 
  2 
  
x   2 
2 
4 
 
2 
  → (3, 0) y (1, 0) 
b) Abierta hacia abajo, a 	 0 
Punto de corte con el eje OY: x  0 → y  27 → (0, 27) 
Hallamos el vértice de la parábola: 27  x2  6x  27 → 
x  0 o x  6 
El vértice está en x  3, y  36 → V(3, 36) 
Puntos de corte con el eje OX: 
y  0 → x2  6x  27  0 
  
 1 08  
  6 
→ x   6 
36 
2 
 
12 
  → (9, 0) y (3, 0) 
 
2 
Y 
Y 
Representa las siguientes funciones cuadráticas y analiza las gráficas obtenidas. 
a) y  2x2  6 b) y  x2 5x 
a) Abierta hacia arriba, a  0 
Punto de corte con el eje OY: x  0 → y  6 → (0, 6) 
b 
 
2a 
Hallamos el vértice de la parábola: xv   
0 
4  0 
  
El vértice es V(0, 6) 
Puntos de corte con el eje OX: 
y  0 → 2x2  6  0 → x  3 → (3, 0) y (3, 0) 
b) Abierta hacia arriba, a  0 
Punto de corte con el eje OY: x  0 → y  0 → (0, 0) 
b 
 
2a 
Hallamos el vértice de la parábola: xv   
5 
2  2,5 
  
El vértice es V(2,5; 6,25) 
Puntos de corte con el eje OX: 
y  0 → x(x  5)  0 → x  0 o x  5 → (0, 0) y (5, 0) 
13.15 
9 
3 
3 
1 
13.14 
O 
2 X 
2 
O 
6 X 
6 
Y 
O 
2 X 
2 
Y 
O 
2 X 
2
13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 
R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S 
Con 5 metros de moldura se quiere construir un marco de forma rectangular y área máxima. ¿Cuáles 
serán sus dimensiones? 
Perímetro  2x  2y  5 → y   5 
2x 
 
2 
Área  f(x)  x  y 
f(x)  x 5 
2x 
 x2   
 
2 
5 
2 
La parábola f(x) es abierta hacia abajo porque a  1 	 0. 
b 
 
2a 
El máximo de la función está en el vértice. La abscisa del vértice es x   
5 
4. 
5 
2 
  
5 
4. Por tanto, el marco es un cuadrado de  
5 
4 
La ordenada del vértice es y  
5 
4 m de lado. 
De todos los triángulos rectángulos cuya suma de catetos es 10 centímetros, ¿cuál es el que tiene mayor 
superficie? 
 (10 
Área x 
 A(x)   x) 
  
2 
x 
2 
2 
  5x 
La gráfica de esta función A(x) es una parábola abierta hacia abajo. Su máximo está en el vértice. 
b 
 
2a 
Hallamos la abscisa del vértice: xv   
5 
2   
 5 
1 
2 
El triángulo rectángulo con mayor superficie es el que tiene los dos catetos son iguales y miden 5 cm cada uno. 
13.17 
5  2 
2 
 
 
2 
13.16 
y 
x 
x 
10 – x
13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 
E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E 
Definición y caracterización de una función lineal 
Una función viene dada por la siguiente tabla. 
Expresa la función mediante una fórmula, utilizando como ayuda esta otra tabla. 
x 0 1 2 3 
10 10  3 10  6 10  9 
Luego la expresión algebraica es: y  10  3x 
Relaciona cada tabla con su ecuación correspondiente. 
 1 
3x 2 
Indica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a funciones lineales. En los casos que sí lo sean 
halla la pendiente y la ordenada en el origen. 
a) y  — 8 
x 
5 
 3— 
b) y  —x 
—  —3 
9 
— c) y  x2  x  3 d) y  —5 
4 
—  1 
x 
8 
5, n   
a) Lineal: m   
3 
5 c) No lineal 
1 
9, n   
b) Lineal: m   
3 
4 d) No lineal 
¿Cuáles de estas relaciones son funciones lineales? 
a) A cada número le hacemos corresponder el triple del siguiente. 
b) A cada número real le hacemos corresponder el mismo menos el 10 % de su mitad. 
c) A cada número real le hacemos corresponder el producto de su anterior por su posterior. 
a) y  3(x  1)  3x  3 
1 
0 
0 
b) y  x  1 
0  
x 
  x  2 
2 
1 
0  
x   1 
2 
9 
0  
x 
c) y  (x  1)  (x  1)  x2  1 
Son lineales a y b. 
13.18 
13.19 
13.20 
13.21 
x 0 1 2 3 
y 10 13 16 19 
x 5 10 
y 6 1 
x 4 8 
y 5 8 
x 5 3 
y 1 1 
y 
10 10  3  1 10  3  2 10  3  3 
y  x 
4 
y = 0,2x  1 
y =   
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  • 1. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Indica cuáles de las siguientes funciones son lineales. a) y 5 d) y 0,3x b) y 0,04 23x e) y 2x2 c) y 1 x2 f) y 0,5x 2 Son lineales a, b, d y f. Expresa cada una de estas funciones mediante una fórmula e indica cuáles son lineales. a) A cada número real le corresponde su doble. b) A cada número real le corresponde su doble más cinco. c) A cada número real le corresponde su cuadrado. a) y 2x b) y 2x 5 c) y x2 Son lineales a y b. Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones lineales. a) y 3x c) y 3x 1 b) y 5x 2 d) y —1 —x 3 2 a) m 3, n 0 c) m 3, n 1 1 2, n 3 b) m 5, n 2 d) m Halla la ecuación de la función lineal que pasa por el punto A(2, 9) y tiene pendiente 3. m 3 → y 3x n Si pasa por A(2, 9), entonces: 9 3 2 n → n 15, y 3x 15. Determina la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos A(2, 1) y B(5, 4). 5 3x 1 3 La ecuación es: y 3 . 1 2 m n 4 5 m n 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 5 3 m n 1 3 3
  • 2. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Representa estas funciones lineales. a) y 4x 2 b) y 3x 5 c) y x d) y —1 —x 2 2 Y Y Y Escribe la ecuación de dos rectas que sean paralelas a cada una de estas funciones lineales. a) y 2x 3 c) y x 1 b) y 3x d) y 5x 7 a) y 2x; y 2x 3 c) y x 2; y x 7 b) y 3x 1; y 3x 10 d) y 5x; y 5x 4 Y Un ciclista parte del kilómetro 10 de una carretera a una velocidad constante de 20 kilómetros hora. a) Halla la expresión algebraica de la función que relaciona el punto kilométrico de la carretera con el tiempo transcurrido desde el inicio. b) Representa la función. a) y 20x 10, donde y es el punto kilométrico b) de la carretera, y x, el tiempo transcurrido, en horas. Distancia (km) Tiempo (horas) 10 Se ha realizado una campaña de vacunación en una comunidad autónoma. Los gastos de distribución son 600 euros y los gastos de vacunación son 5 euros por cada vacuna puesta. a) Determina la expresión algebraica de esta función. b) Representa la función. a) y 5x 600, donde y es el dinero que se gasta b) en la campaña, y x, el número de vacunas puestas. Y Entre las siguientes funciones, indica cuáles son cuadráticas. a) y 3x2 b) y 2x 3 c) y 5 x2 d) y x3 Son cuadráticas a y c. 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 1 O 10 O 10 X 200
  • 3. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Dadas las funciones: y x2 y 3x2 y 5x2 a) Represéntalas en un mismo gráfico. b) ¿Qué relación existe entre el coeficiente de la parábola y la aproximación al eje OY? a) Y 1 y = –x2 b) Cuanto mayor es el coeficiente, más se aproxima la parábola al eje OY. Representa por traslación estas funciones. a) y x2 3 b) y x2 2 c) y (x 1)2 d) y (x 4)2 a) Y c) b) Y d) Y Y Representa por traslación las siguientes funciones. a) y (x 1)2 3 b) y (x 4)2 2 c) y (x 1)2 3 d) y (x 4)2 2 a) Y c) b) d) 13.11 13.12 13.13 O 1 X y = –3x2 y = –5x2 O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 1 Y O 1 X 1 Y 1 O 1 X Y O 1 X 1
  • 4. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Representa estas funciones cuadráticas y estudia las gráficas que obtengas. a) y 2x2 4x 6 b) y x2 6x 27 a) Abierta hacia arriba, a 0 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 6 → (0, 6) Hallamos el vértice de la parábola: 6 2x2 4x 6 → x 0 o x 2 El vértice está en x 1, y 8 → V(1, 8) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → 2x2 4x 6 0 → x2 2x 3 0 → 4 12 2 x 2 2 4 2 → (3, 0) y (1, 0) b) Abierta hacia abajo, a 0 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 27 → (0, 27) Hallamos el vértice de la parábola: 27 x2 6x 27 → x 0 o x 6 El vértice está en x 3, y 36 → V(3, 36) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → x2 6x 27 0 1 08 6 → x 6 36 2 12 → (9, 0) y (3, 0) 2 Y Y Representa las siguientes funciones cuadráticas y analiza las gráficas obtenidas. a) y 2x2 6 b) y x2 5x a) Abierta hacia arriba, a 0 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 6 → (0, 6) b 2a Hallamos el vértice de la parábola: xv 0 4 0 El vértice es V(0, 6) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → 2x2 6 0 → x 3 → (3, 0) y (3, 0) b) Abierta hacia arriba, a 0 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 0 → (0, 0) b 2a Hallamos el vértice de la parábola: xv 5 2 2,5 El vértice es V(2,5; 6,25) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → x(x 5) 0 → x 0 o x 5 → (0, 0) y (5, 0) 13.15 9 3 3 1 13.14 O 2 X 2 O 6 X 6 Y O 2 X 2 Y O 2 X 2
  • 5. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Con 5 metros de moldura se quiere construir un marco de forma rectangular y área máxima. ¿Cuáles serán sus dimensiones? Perímetro 2x 2y 5 → y 5 2x 2 Área f(x) x y f(x) x 5 2x x2 2 5 2 La parábola f(x) es abierta hacia abajo porque a 1 0. b 2a El máximo de la función está en el vértice. La abscisa del vértice es x 5 4. 5 2 5 4. Por tanto, el marco es un cuadrado de 5 4 La ordenada del vértice es y 5 4 m de lado. De todos los triángulos rectángulos cuya suma de catetos es 10 centímetros, ¿cuál es el que tiene mayor superficie? (10 Área x A(x) x) 2 x 2 2 5x La gráfica de esta función A(x) es una parábola abierta hacia abajo. Su máximo está en el vértice. b 2a Hallamos la abscisa del vértice: xv 5 2 5 1 2 El triángulo rectángulo con mayor superficie es el que tiene los dos catetos son iguales y miden 5 cm cada uno. 13.17 5 2 2 2 13.16 y x x 10 – x
  • 6. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Definición y caracterización de una función lineal Una función viene dada por la siguiente tabla. Expresa la función mediante una fórmula, utilizando como ayuda esta otra tabla. x 0 1 2 3 10 10 3 10 6 10 9 Luego la expresión algebraica es: y 10 3x Relaciona cada tabla con su ecuación correspondiente. 1 3x 2 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a funciones lineales. En los casos que sí lo sean halla la pendiente y la ordenada en el origen. a) y — 8 x 5 3— b) y —x — —3 9 — c) y x2 x 3 d) y —5 4 — 1 x 8 5, n a) Lineal: m 3 5 c) No lineal 1 9, n b) Lineal: m 3 4 d) No lineal ¿Cuáles de estas relaciones son funciones lineales? a) A cada número le hacemos corresponder el triple del siguiente. b) A cada número real le hacemos corresponder el mismo menos el 10 % de su mitad. c) A cada número real le hacemos corresponder el producto de su anterior por su posterior. a) y 3(x 1) 3x 3 1 0 0 b) y x 1 0 x x 2 2 1 0 x 1 2 9 0 x c) y (x 1) (x 1) x2 1 Son lineales a y b. 13.18 13.19 13.20 13.21 x 0 1 2 3 y 10 13 16 19 x 5 10 y 6 1 x 4 8 y 5 8 x 5 3 y 1 1 y 10 10 3 1 10 3 2 10 3 3 y x 4 y = 0,2x 1 y = 4
  • 7. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ¿Cuál de las siguientes rectas no es paralela a las otras? 3x 6 1— a) y — x— b) x 2y 3 0 c) y — 2 d) y —1 —x 6 2 Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. a) m 1 2 c) m 1 2 b) y x 3 2 1 2 d) m → m 1 2,no es paralela a las otras. ¿Están alineados los puntos (1, 7), (2, 5) y (0, 3)? Hallamos la ecuación de la recta que pasa por dos de los puntos: (1, 7) y (2, 5). Si el tercer punto, (0, 3), pertenece a esa recta, es que sí están alineados. → m 4, n 3 → y 4x 3 Si x 0 → y 3. El punto (0, 3) pertenece a esta recta. Sí, los tres puntos están alineados. Halla la ecuación de la recta paralela a y que pasa por el punto A(3, 4). Si la recta que buscamos es paralela a y x 1 , entonces su pendiente debe ser m 5 1 5. 1 5x n. Su ecuación tendrá la forma y Sustituimos las coordenadas del punto A en la ecuación de la recta para hallar la coordenada en el origen n. 1 5 (3) n → n 1 5 4 7 La ecuación de la recta es: 1 5x 1 5 y 7 13.22 Representación y aplicación de una función lineal Representa las siguientes funciones lineales. a) y 3x 2 c) y —1 —x e) y x —1 4 — 2 b) y 2x 1 d) y —2 —x 3 f) y —1 3 —x —3 2 — 4 13.25 x 1—5 13.24 7 m n 5 2m n 13.23 y = – 2 x + 3 y = – 1 x + 3 y = 1 x 4 y = x – 1 2 4 2 3 Y O 1 X 1 y = 3x – 2 y = –2x – 1
  • 8. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Relaciona cada gráfica con su ecuación. a) y —1 —x b) y 2x c) y x 1 2 Y Una cooperativa agrícola vende el vinagre a granel a 1 euro el litro y las bolsas de patatas a 1 euro la bolsa. ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a cada una de las funciones lineales que relacio-nan la cantidad de producto y el precio? 1 1 Precio de las bolsas de patatas Precios de los litros de vinagre Para colaborar con las personas sin techo, una ONG elabora un periódico de reparto callejero. Cada vendedor recibe un fijo de 25 euros al mes y, además, 50 céntimos por ejemplar vendido. a) Escribe la fórmula y representa la gráfica de la función que relaciona el número de periódicos ven-didos con el dinero recibido al mes. b) ¿Cuántos ejemplares tiene que vender un “sin techo” para cobrar en un mes 185 euros? a) b) 185 25 0,5x → x 320 periódicos 13.26 13.27 13.28 O 1 X 1 c a b Y O 1 X Y O 1 X 25 O 25 N.o de periódicos Dinero (€)
  • 9. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Función cuadrática Dada la siguiente parábola. a) ¿Cuál es su vértice? b) Halla la ecuación del eje de simetría. c) ¿Cuál es la ordenada del punto de abscisa x 4? d) Escribe su ecuación. a) (2, 1) b) x = 2 c) y 3 d) La ecuación tendrá la forma y ax2 bx c La función pasa por (0, 3), de donde se deduce que c 3 También pasa por (1, 0), de donde: 0 a b 3 → a b 3 a 1 Conocemos la abscisa del vértice: x b 2a 2 → b 4a b 4 La ecuación es y x2 4x 3 Y Una función cuadrática tiene su vértice en el punto (4, 4). Completa la tabla utilizando la simetría de la función. Como tiene su vértice en (4, 4), el eje de simetría es x 4. Entonces: x 2 es un punto simétrico a x 6 respecto al eje, con lo que f(6) f(2) 0 x 5 es un punto simétrico a x 3 respecto al eje, con lo que f(5) f(3) 3 La parábola de ecuación y (x a)2 5 tiene el vértice en el punto V(3, b). Halla el valor de a y b. y x2 2ax a2 5 3 xv a → a 3 y x 2 6x 4 x 3 → yv 5 → b 5 v 13.29 13.30 13.31 O 1 X 1 x 2 6 5 3 y 0 0 3 3
  • 10. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Dada esta gráfica de una parábola. Y Traslada la gráfica, sin variar la orientación ni la abertura, de forma que el vértice sea el indicado en cada caso. a) (0, 2) c) (1, 5) b) (4, 0) d) (2, 3) Escribe, en cada caso, la ecuación de la parábola. Y a) y x2 2 c) y (x 1)2 5 b) y (x 4)2 d) y (x 2)2 3 Representa las siguientes parábolas. a) y x2 4x 3 c) y x2 5x 6 e) y 2x 2 10x b) y x2 6x 10 d) y x2 6x 10 f) y x2 16 a) Y c) Y e) b) d) f) 13.32 13.33 O 1 X 1 O 2 X 2 O X 2 2 O 2 X 2 Y O 2 X –2 Y O 2 X 2 Y O 2 X 2 Y O 4 X 4
  • 11. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E ¿Pertenece el punto (2, 3) a la recta de ecuación y 2x 1? ¿Por qué? 3 2 2 1. Sí, verifica la ecuación. Dadas estas ecuaciones de funciones lineales. I) y 3x II) y 4x 1 III) y 3x 2 IV) y 2x 1 Indica: a) Cuáles son paralelas entre sí. b) Cuál es decreciente. c) Cuál pasa por el origen. d) Cuál es más inclinada. e) Cuáles tienen la misma ordenada en el origen. a) I y II b) IV c) I d) II e) II y IV Dadas las siguientes parábolas. I) y 2x2 II) y 2x2 3 III) y —1 —x2 2x 1 2 IV) y 5(x 2)2 Indica: a) Cuál es la única parábola cuyas ramas se abren hacia abajo. b) Cuáles tienen igual abertura. c) Cuál es la más cerrada. d) Cuál tiene el vértice en el punto (2, 0). a) III b) I y II c) IV d) IV 13.34 13.35 13.36
  • 12. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ¿Cuál es el único punto de una parábola que es simétrico a sí mismo con respecto al eje de la parábola? El vértice Indica las condiciones que debe tener una parábola para que: a) No corte al eje de abscisas. b) Corte una sola vez al eje de abscisas. c) No corte al eje OY. a) Que la ecuación ax2 bx c 0 no tenga solución. b) Que la ecuación ax2 bx c 0 tenga una única solución. c) No es posible que una parábola no corte al eje OY. La condición debería ser que no pasase por x 0, es decir, que no fuera continua. ¿Pueden tener un mínimo las siguientes funciones? Justifica tu respuesta. a) y 4x2 2x 1 b) y 3(x 1)2 4 a) No, al ser la parábola abierta hacia abajo. b) Sí, el vértice es un mínimo de la función. Dada la parábola de ecuación y 2x2 4x 5, comprueba si también se puede expresar de la forma y 2(x 1)2 3. ¿Qué ventajas observas en esta manera de expresar la ecuación? Sí, son la misma parábola, ya que: 2(x 1)2 3 2(x2 2x 1) 3 2x2 4x 5. En la segunda expresión se puede apreciar que se trata de una traslación de x2. Si el eje de una parábola fuera y 3, ¿podríamos decir que corresponde a una función cuadrática? Justifica tu respuesta. No, ya que en ese caso no tendríamos una función, porque para un solo valor de x habría dos valores de y. 13.37 13.38 13.39 13.40 13.41
  • 13. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Observa el dibujo. a) Calcula la pendiente de la recta sobre la que está ubicada la carretera por la que asciende el coche. b) Explica el significado de la señal de tráfico que aparece en la carretera. 1 0 5 a) m 1 0 0,15 b) Por cada 100 m que se avanza en la horizontal se ascienden 15 m. Juan recibe una factura mensual de 100 minutos de teléfono. Dos nuevas compañías telefónicas le realizan las siguientes ofertas. a) ¿Cuál es más beneficiosa para Juan? b) ¿Existe algún número de minutos consumidos en el que la factura sea la misma en las dos compañías? a) Compañía A: y 10 0,05x Si x 100 → y 15 € Compañía B: y 0,1x Si x 100 → y 10 € Es mejor la B para Juan. b) 10 0,05x 0,1x → x 200 min 13.42 13.43 100 m 15 m GRATIS LA CUOTA MENSUAL 10 céntimos cada minuto CUOTA MENSUAL 10 euros 5 céntimos cada minuto
  • 14. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS La siguiente gráfica muestra el recorrido que sigue una persona a lo largo del día. Indica la fórmula de la función de cada tramo. 2 3 x 1 Primer tramo: y Segundo tramo: y 2 4 3 x 6 Tercer tramo: y Pasa por (6, 2) y por (9, 6) → → m 4 3, n 6 3 2x 3 2 Cuarto tramo: y 9 6m n 2 9m n 6 Pasa por (9, 6) y por (13, 0) → → m 3 2, n 3 2 9 En una zona de mucha arboleda de la Sierra de Cazorla, la Agencia de Medio Ambiente decide abrir un cortafuegos, por el peligro existente de incendios en la campaña de verano. Para su mayor efecti-vidad tendrá que tener un trazado parabólico y atravesar tres sitios estratégicos. Observa el mapa de la zona, con los puntos de paso señalados, y halla la ecuación de la línea del corta-fuegos. 1 Los puntos de paso son (0, 3); (2, 11) y (3, 6). Sustituimos estos puntos en la ecuación de la parábola: → La ecuación de la línea del cortafuegos es y x2 2x 3. a 1 b 2 3 a 02 b 0 c → c 3 11 a 22 b 2 c → b 4 2a 6 a (3)2 b (3) c → 3a b 1 13.45 9m n 6 13m n 0 13.44 O 1 Tiempo (h) Distancia a casa (km) O 1 X Y
  • 15. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación y 5x 7 con los ejes coordenados. La recta corta los ejes en los puntos (0, 7) y 7 5, 0. x = 0 → y 7 y 0 → 5x 7 0 → x 7 5 7 5 7 El área es: A 4 1 9 0 u2 Y La ecuación del espacio recorrido por un móvil es s 5 3t 2t2, donde s se expresa en metros y t en segundos. a) ¿Qué longitud ha recorrido el móvil al cabo de 5 segundos de iniciar el movimiento? b) ¿Cuál es la longitud recorrida durante el quinto segundo? c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido cuando ha recorrido 157 metros desde el inicio? a) t 5 → s 5 3 5 2 52 70 m b) t 4 → s 5 3 4 2 42 49 m Durante el 5.º segundo recorre una longitud que es la diferencia entre las distancias recorridas al cabo de 5 y de 4 se-gundos: 70 49 21 m. c) 157 5 3t 2t2 → 2t2 3t 152 0 → t 8 s (La respuesta negativa no tiene sentido). Expresa el área de un triángulo equilátero en función de su lado. ¿De qué tipo de función se trata? Llamamos L al lado, y h a la altura. h 22 h2 L2 → h L 2 2 L 2 L 3 2 3 L2 3 A 4 Es una función cuadrática. Averigua cuál es el punto simétrico del punto (2, 5) con respecto al eje de simetría de la parábola y 2x2 16x 29. b xv 2 a 4 El eje de simetría es x 4. El punto simétrico a (2, 5) es (6, 5). 13.49 L L 2 2 13.48 3 9 1 216 4 13.47 2 13.46 O 1 X 1
  • 16. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Halla los vértices y el área del triángulo cuyos lados cumplen las siguientes ecuaciones. y 3 x 2 y 2x 6 El problema se resuelve hallando los puntos de corte entre las tres rectas definidas por las ecuaciones, para encontrar los vér-tices del triángulo. → Vértice (2, 3) → x 3 2 → Vértice 3 2, 3 y 3 x 2 y 3 y 2x 6 → y 2 → Vértice (2, 2) Se dibuja el triángulo en los ejes de coordenadas. Es un triángulo rectángulo con las siguientes dimensiones. 3 2 Base b 2 1 2. Altura h 3 2 1 El área del triángulo será: A b h 2 1 4u2. y 2 y 2x 6 13.50 Y O 1 X 1
  • 17. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS R E F U E R Z O Funciones lineales Escribe la ecuación de la función lineal paralela a y 7x 1, y que tiene la misma ordenada en el origen que y 4x —1 —. 3 → y 7x 1 3 Halla la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos (5, 3) y (1, 1). y mx n → →y x 2 Representa las siguientes funciones lineales. a) y 3x 1 b) y —3 —x 2 2 Y a) b) Y Determina el valor de m para que la recta y (2m 1)x 2 pase por el punto A(3, 2). Sustituimos las coordenadas de A(3, 2) en la ecuación de la recta. 1 2 2 (2m 1) (3) 2 → m Relaciona cada gráfica con su ecuación. a) y 4x 2 b) y 3x 1 c) y 2 d) y 3x 1 13.53 13.54 13.55 m 1 n 2 Pasa por (5, 3) → 3 5 m n Pasa por (1, 1) → 1 m n 13.52 Paralela a y 7x 1 → m 7 Misma ordenada en el origen que y 4x 1 3 → n 1 3 13.51 O 1 X 1 O 1 X 1 Y O 1 X 1 a b c d
  • 18. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Funciones cuadráticas Relaciona cada parábola con su ecuación. a) y 2x2 b) y x2 3 c) y (x 2)2 1 c b Representa, mediante una traslación de la parábola y x2, la gráfica de cada función. a) y x2 3 b) y (x 3)2 c) y x2 2 d) y (x 1)2 5 a) Y b) Y c) Y d) Y Una parábola pasa por los puntos (1, 3) y (5, 3). Escribe la ecuación de su eje. La ecuación del eje se puede hallar mediante estos dos puntos, pues son simétricos (tienen la misma imagen 3). Por tanto, el eje pasará por el punto intermedio entre x 5 y x 1. 5 (1) 2 6 2 3 → Eje x 3 13.56 13.57 13.58 O Y 1 X 1 a O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 1 O 1 X 1
  • 19. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Representa las siguientes funciones cuadráticas y estudia la gráfica obtenida. a) y 2x2 12x 10 b) y x2 2x 4 c) y 2x2 8x 6 d) y 3x2 1 a) Abierta hacia abajo, a 0 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 10 → (0, 10) b Hallamos el vértice de la parábola: xv 2 a 3 → yv 8 → V(3, 8) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → 2x2 12x 10 0 → 8 → (1, 0), (5, 0) 1 2 4 12 144 80 → x 4 b) Abierta hacia arriba, a 0 15 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 4 → (0, 4) b Hallamos el vértice de la parábola: xv 2 a 1 → yv 3 → V(1, 3) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → 2x2 2x 4 0 (x 2)2 0 → x 2 → (2, 0) c) Abierta hacia arriba, a 0 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 6 → (0, 6) b Hallamos el vértice de la parábola: xv 2 a 2 → yv 2 → V(2, -2) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → 2x2 8x 6 0 → 4 4 8 8 6 → x 8 4 4 4 → (3, 0), (1, 0) d) Abierta hacia arriba, a 0 31 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 1 → (0, 1) b Hallamos el vértice de la parábola: xv 2 a 0 → yv 1 → V(0, 1) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → 3x2 1 0 No es posible. La parábola no corta el eje OX. 13.59 Y O 2 X 2 Y O 1 X 1 Y O 2 X 2 Y O 1 X 1
  • 20. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS A M P L I A C I Ó N Observa las dos tablas. a) Dibuja las gráficas que les corresponden. b) Halla sus ecuaciones. c) ¿Son las dos funciones lineales? Justifica tu respuesta. a) Y Y b) y 3, x 2 c) No, la segunda no es siquiera función porque f(x) no tiene una única solución para x 2. Expresa el área de un hexágono regular en función de su lado. ¿Qué tipo de función es? El hexágono regular está formado por seis triángulos equiláteros. En cada uno de ellos, la altura se expresa así en función del 3L lado L: h 2 3L h 6 32 El área del hexágono es seis veces la del triángulo: A 6 b 2 3 L2 Es una función cuadrática. Averigua la ecuación de la función cuadrática que cumple las siguientes condiciones: – El eje es x 2. – El recorrido es el intervalo [4, ). – La gráfica pasa por el punto (0, 8). b 2a Eje x 2 → 2 → b 4a Recorrido [4, ) → f(2) 4 → 4 a(2)2 b(2) c → 4a 2b c 4 → 4a c 4 Pasa por (0, 8) → 8 a02 b0 c → c 8 Como 4a c 4, y c 8 → a 3 Como b 4a → b 12 La ecuación es y 3x2 12x 8 13.60 13.62 L 2 2 13.61 x 1 4 5 0 y 3 3 3 3 x 2 2 2 2 y 1 6 3 4 O 1 X 1 O 2 X 2
  • 21. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS El proyecto de un tramo de carretera para unir dos localidades tiene un informe de impacto ambiental negativo, por atravesar un hayedo centenario. La decisión que toman los ingenieros es la de realizar un tramo paralelo al proyectado, pero 500 metros más arriba; así se evitaría la tala de árboles. ¿Cuál es la expresión algebraica del nuevo tramo? Y Actualmente pasa por (1 000, 3 000) y (1 000, 0). Hallamos la expresión del tramo actual. → La expresión del tramo actual es y 3 2 x 1 500. m El nuevo tramo está 500 metros más arriba y pasa por (0, 2 000). 3 2x 2 000 De donde su expresión será: y 3 2 n = 1 500 3 000 1 000 m n 0 = 1 000 m n 13.63 Hayedo O 500 X 500
  • 22. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R La cola del supermercado Los gerentes de un conocido supermercado han realizado un estudio sobre el tiempo que tenían que esperar los clientes en la cola de caja. Llegaron a las siguientes conclusiones: • El tiempo en marcar todos los productos de un cliente era proporcional al número de productos que llevaba en el carro. • El tiempo que tardaba la cajera en marcar un producto era de 4 segundos. • Entre cada dos clientes se precisaba de 2 minutos para imprimir y entregar el tique, cobrar el dinero y devolver el cambio. a) Calcula el tiempo que tiene que esperar un cliente si delante tiene tres personas con 20, 15 y 25 pro-ductos, respectivamente. b) Escribe una expresión matemática que sirva para calcular el tiempo que tiene que esperar un cliente si delante tiene una única persona con x productos en su carro. Dibuja la gráfica de la función correspondiente. a) (20 15 25) 4 3 120 600 s 10 min b) f(x) 4x 120 100 Variación de la temperatura La temperatura, en grados centígrados, durante el 21 de mayo en París se puede expresar mediante la 9x2 ——200x —1 000 función: f(x) 100 Donde x es la hora comprendida en el intervalo [0, 24]. a) Calcula la temperatura que había al comenzar y al terminar el día. b) Calcula la hora en la que hubo mayor temperatura y el valor de esta. c) Indica la hora en que hubo menor temperatura y el valor de esta. d) ¿Cómo varió la temperatura entre las 12.00 y las 18.00? a) Al comenzar el día: f(0) 1 0 0 1 0 0 0 10 C 9 242 100 24 1 000 100 Al acabar el día: f(24) 6 C b) La máxima temperatura se alcanzó en el vértice de la parábola: b x 2 a 2 0 8 0 1 9 112 200 11 1 000 100 11h f(11) 21 C c) La mínima temperatura se alcanzó al acabar el día con un valor de 6 8C. d) La variación fue: 9 122 200 12 1 000 100 9 182 200 18 1 000 100 f(18) f(12) 75,16 46,96 28,2 13.64 13.65 O 10 N.o de productos Tiempo (s)
  • 23. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS A U T O E V A L U A C I Ó N Indica cuáles de las siguientes funciones son lineales y cuáles son cuadráticas. a) y — 3 x 2 1— b) y —x 2— 3 x c) x2 y 1 d) y 3x 1 x Las funciones a y d son lineales, y las b y c, cuadráticas. ¿Cuál es la ecuación de esta gráfica de función? Y Pasa por los puntos (1, 0) y (0, 3), con cuyas coordenadas hallamos m y n: → → y 3x 3 Representa las siguientes funciones lineales. a) y 3x c) y 5x 3 b) y x 1 d) y x —1 — 3 a) Y b) Y c) d) Halla la ecuación de la función en cada caso. a) Pasa por los puntos (3, 0) y (0, 1). 3x 4 1— b) Es paralela a y — Y , y corta al eje de ordenadas en el 4. a) Con las coordenadas de los puntos (3, 0) y (0, 1) hallamos m y n para y mx n: → →1 y 3 x 1 3x 4 1 3 1 , entonces tiene pendiente: m b) Si es paralela a y 3 4 Con este dato, solo queda hallar n, y sabiendo que la recta pasa por el punto (0, 4): n 4 y 3 4 x 4 m n 1 0 3m n 1 n 13.A1 13.A4 2—3 13.A3 m 3 n 3 0 m n 3 n 13.A2 O 1 X 1 0 X 1 1 y = 3x 0 X 1 1 y = –x + 1 0 X 1 1 y = 5x – 3 Y 1 1 0 X y = – x + 1—3 2—3
  • 24. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Una frutería coloca en el escaparate una oferta de naranjas por kilos y otra por bolsas. a) Representa la gráfica de la función que relaciona el número de kilos de naranjas comprados y el precio de la compra. b) Dibuja la gráfica de la función que relaciona el número de bolsas de naranjas compradas y el pre-cio de la compra. a) b) Halla el vértice y la ecuación del eje de cada una de estas parábolas. a) y 2x2 6x 1 c) y —1 — x2 3x 1 2 b) y 3x2 2x 9 d) y 2x2 5 b a) xv 2 a 6 4 3 2; yv 2 3 22 6 3 2 1 1 1 2 → V 1 . Eje x 3 2, 1 2 3 2 b b) xv 2 a 2 6 1 3; yv 3 1 32 2 1 3 9 2 8 3 → V 8 . Eje x 1 3, 2 3 1 3 b c) xv 2 a 3 1 3; yv 7 2 → V3, 1 2 32 3 3 1 7 2. Eje x 3 b d) xv 2 a 0 2 0; yv 2 02 5 5 → V(0, 5). Eje x 0 Determina la ecuación de la parábola que resulta de trasladar el vértice de la parábola y x2 al punto (2, 1). y ax2 bx c Sabemos que a 1 porque la parábola buscada es una traslación de y x2. b xv 2 a 2 → b 4 yv 22 4 2 c 1 → c 5 y x2 4x 5 (x 2)2 5 13.A5 13.A6 13.A7 Precio (€) N.° de kilos 1 1 y = 1,20 x Precio (€) N.° de bolsas 1 1 y = 3 x 1,20 €/ kg 3 €
  • 25. 13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Representa la parábola y 2x2 12x 16, y estudia la gráfica obtenida. Abierta hacia arriba, a 0 Punto de corte con el eje OY: x 0 → y 16 → (0, 16) Hallamos el vértice de la parábola: b xv 2 a 3 → yv 2 → V(3, 2) Puntos de corte con el eje OX: y 0 → 2x2 12x 16 0 → x 2 o x 4 → (2, 0), (4, 0) 13.A8 1 Y y = 2x2 + 12 x + 16 1 O X