A origem da geometria e sua importância na matemática e tecnologia

MAT  Matemática 
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SEE-AC  Coordenação de Ensino Médio MAT  Matemática 165
*MÓDULO 1*
Geometria
Avanço lento e gradual
A geometria é uma das áreas mais antigas no campo
da matemática: sua origem remonta a muitos séculos
antes de Cristo. Os historiadores dizem que ela surgiu no
Egito. Quando o rio Nilo enchia, na vazante, e apagava
as delimitações dos terrenos dos egípcios, era preciso
recorrer aos conhecimentos geométricos para recalcular
e redistribuir tudo. Para calcular a forma da Terra e a
distância dos planetas e das estrelas, era a geometria
que socorria os estudiosos.
“Na história da matemática, os gregos da Antiguidade
se destacam por ter inventado a maneira como a
matemática moderna é levada a cabo: por meio de
axiomas, provas, teoremas, mais provas, mais teoremas,
e assim por diante”, escreve o físico e estatístico norte-
-americano Leonard Mlodinow. Diversos dos grandes
formuladores das teorias da probabilidade, cujo trabalho
é apresentado no livro O Andar do Bêbado, de Mlodinow,
começaram a carreira como geômetras (especialista em
geometria).
A humanidade passou quase 2.000 anos para
transformar esses entes geométricos em fórmulas
matemáticas, o que só foi possível em meados de 1600,
com o amadurecimento da álgebra. Com isso, tornou-se
possível descrever e efetuar cálculos das formas planas,
como quadrados, triângulos e círculos por meio de
símbolos matemáticos como as letras que utilizamos hoje
em dia.
“Os gregos, gênios da geometria, criaram um
pequeno conjunto de axiomas, verdades matemáticas
aceitas sem contestação, e avançaram a partir daí,
provando muitos teoremas elegantes que detalhavam as
propriedades das retas, planos, triângulos e outras
formas geométricas”, diz Mlodinow. “A partir desse
conhecimento, conseguiram discernir, por exemplo, que
a Terra tem a forma de uma esfera e chegaram até a
calcular seu raio.”
Platão, um dos patriarcas da filosofia, criou a
Academia. Ali, durante 15 anos, seus pupilos
começavam estudando a matemática e a geometria para,
ao final, estudar a arte de esgrimir argumentos, a
dialética. Na época, estava sendo desenvolvido o estudo
dos átomos, mas ainda se acreditava que o mundo era
feito de apenas quatro elementos – terra, fogo, ar e água.
Platão propôs que os átomos desses elementos tinham a
forma de sólidos específicos: tetraedros (4 faces) para o
fogo, hexaedros (6 faces) para a terra, octaedros (8
faces) para o ar e dodecaedros (12 faces) para a água.
Para Teeteto, colaborador de Platão, o universo estaria
envolvido por um gigantesco icosaedro (20 faces). Tanto
os sólidos geométricos quanto as figuras planas seriam
formados por elementos ainda mais primitivos, como o
ponto, a reta e o plano.
Euclides sintetizou grande parte dos conhecimentos
geométricos em seus 13 livros, chamados de Elementos,
elaborados por volta do terceiro século antes de Cristo.
Seus textos utilizam axiomas, ou seja, afirmações que
não exigem provas para que se considerem verdadeiras.
Todas as proposições e os teoremas são provados com
as definições já demonstradas anteriormente. O ponto, a
reta e o plano são os elementos que constituem o início
da construção do sistema axiomático de Euclides, daí
serem considerados conceitos geométricos primitivos. No
século XVII, o francês René Descartes sofisticou a noção
de ponto ao propor, no plano cartesiano, o ponto como
um par ordenado de coordenadas (x, y), dando início à
geometria analítica.
Foi a partir dessas ideias básicas, inicialmente não
muito mais sofisticadas do que o que se aprende hoje
nos ensinos fundamental e médio, que começaram a se
desenvolver a arquitetura, o planejamento urbano, a
astronomia e várias outras ciências.
REPRODUÇÃO
 Diagramas do livro Elementos, do matemático grego Euclides
 A geometria é uma das áreas mais antigas da
matemática. Durante séculos foi considerada uma
espécie de “rainha” dessa ciência por ter utilidade
eminentemente prática, como para medir terrenos,
alturas e distâncias.
 O ponto, a reta e o plano são os conceitos
geométricos primitivos. Essas e outras noções
fundamentais da geometria foram sintetizadas pelo
matemático Euclides, no terceiro século antes de
Cristo, por meio de axiomas – verdades matemáticas
aceitas sem contestação.
 A geometria analítica, disciplina que une geometria e
álgebra, teve forte influência do francês René
Descartes, que propôs localizar pontos no plano
usando um sistema de coordenadas e, a partir
disso, calcular suas distâncias e outras relações. No
plano bidimensional , podemos representar
figuras planas; usando um sistema de três eixos
, podemos representar objetos tridimensionais
e localizar pontos no espaço.
 O sistema de coordenadas geográficas foi muito útil
para o desenvolvimento de aparelhos de localização,
como o GPS (Global Positioning System), que vem
se tornando cada vez mais popular com as
tecnologias de comunicação móvel.

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Texto para as questões 1 e 2.
Por todos os lados
As formas estão nos objetos domésticos mais simples,
assim como nas sofisticadas animações em 3D
Formas e medidas nos cercam por toda parte.
Lidamos com elas para decorar o quarto, atravessar a
rua ou até mesmo organizar a comida no prato. Em
particular, os produtores de desenhos animados
trabalham muito bem com elas.
Em Up – Altas Aventuras, da produtora Pixar, o
vendedor de balões aposentado Carl Fredricksen é
fascinado por voar desde a infância e sonha em um dia
explorar o Paraíso das Cachoeiras, desbravado por seu
herói Charles Muntz. O filme ganhou em 2010 o Oscar de
melhor animação e o de melhor trilha sonora.
DIVULGAÇÃO
“Sem a matemática, não teríamos esses ambientes e personagens
visualmente ricos”, disse o cientista da computação Tony DeRose, da
Pixar, a produtora do filme Up
Durante toda a vida, Fredricksen cercou-se de objetos
geométricos, desde os balões com que trabalhava – e
que ajudaram sua casa a levantar voo – até um pequeno
distintivo feito com uma tampinha de refrigerante, que
ganhou de presente de sua falecida mulher, Ellie.
Muitas dessas formas podem ser matematizadas – ou
seja, transformadas em sentenças matemáticas para que
os computadores gráficos das produtoras consigam
transformar essas sentenças em desenhos. “Sem a
matemática, não teríamos esses ambientes e
personagens visualmente ricos”, disse o cientista da
computação Tony DeRose, da Pixar, à revista Science
Daily.
Para dar vida a filmes como Up, a Pixar criou um
software especial, chamado RenderMan. O programa
identifica as formas geométricas de cada imagem e as
processa para transformá-las em um tipo de desenho
que dê sensação de profundidade, como se vê na vida
real.
Em 2007, a produtora dispunha de 100
supercomputadores para dar animação às imagens.
Transformar matematicamente cada segundo de
animação – ou 24 imagens – toma seis dias em um
computador. Na cena do desenho animado desta página,
há vários elementos gráficos que podem ser
representados por uma equação. Repare, por exemplo,
na corda que prende o menino Russell à corda puxada
por Fredricksen. A corda esticada tem a forma de uma
reta, que pode ser representada pela equação
. Já o nariz de Fredricksen poderia ter seu
“volume” calculado pela fórmula , pois é
semelhante a uma esfera. Com a ajuda da computação
gráfica, essas fórmulas viram desenhos que divertem
multidões de espectadores.
 O software RenderMan identifica e depois modela cada uma das
formas geométricas em imagens, e as transforma para que ganhem
sensação de profundidade
Superinteressante, São Paulo, dez. 2010.
.1. (AED-SP)
O que significa “matematizar” uma forma?
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.2. (AED-SP)
Qual a função do software RenderMan?
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.3. (UNESP)
Considere as seguintes proposições:
todo quadrado é um losango;
todo quadrado é um retângulo;
todo retângulo é um paralelogramo;
todo triângulo equilátero é isósceles.
Pode-se afirmar:
(A) só uma é verdadeira.
(B) todas são verdadeiras.
(C) só uma é falsa.
(D) duas são verdadeiras e duas são falsas.
(E) todas são falsas.
.4. (UNESP)
Se é um plano e uma reta não perpendicular a ,
então:
(A) não existe um plano passando por perpendicular a
.
(B) existem, no mínimo, dois planos passando por e
perpendiculares a .
(C) existe um e só um plano passando por e
perpendicular a .
(D) existe uma infinidade de planos passando por e
perpendiculares a .
(E) todo plano passando por não é perpendicular a .
.5. (FATEC-SP, adaptada)
A reta é um dos conceitos primitivos da geometria. A
partir desses conceitos, pode-se construir todos os outros
elementos da geometria.
É correto afirmar que:
(A) por três pontos não colineares passa uma única reta.
(B) quando traçamos uma reta, sabemos onde ela inicia
e onde ela termina.
(C) por um único ponto passa uma única reta.
(D) por dois pontos passam duas retas distintas.
(E) entre dois pontos distintos de uma reta existem
infinitos pontos.
.6. (FUVEST-SP)
Os entes geométricos estão em tudo que nos cerca. Daí
talvez a origem da famosa frase atribuída a Pitágoras:
“Tudo são números”. Se pensarmos em uma avenida, em
uma rua, no pneu de um carro e no telhado de uma casa,
estamos nos referindo nessa ordem, abstratamente, aos
conceitos matemáticos de:
(A) retas paralelas, reta, circunferência e triângulo.
(B) retas concorrentes, ponto, círculo e quadrado.
(C) retas paralelas, ponto, circunferência e triângulo.
(D) retas concorrentes, reta, circunferência e triângulo.
(E) retas paralelas, reta, círculo e quadrado.
.7. (ENEM-MEC)
Assim como na relação entre o perfil de um corte de um
torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam
da rotação de figuras planas em torno de um eixo.
Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada,
obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da
direita.
A correspondência correta entre as figuras planas e os
sólidos de revolução obtidos é:
(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. (D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.
(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. (E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
Texto para as questões 8 e 9.
A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma
cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura
e a Câmara dos Vereadores. Observe que o
quadriculado não representa os quarteirões da cidade,
servindo apenas para a localização dos pontos e retas no
plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é
formada pelos pontos equidistantes da catedral e da
prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não
mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes
da prefeitura e da Câmara dos Vereadores.

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.8. (UNICAMP-SP, adaptada)
Com base nas informações mencionadas, se a delegacia
da cidade se situa na Av. Juscelino Kubitschek e é o
ponto mais próximo entre a prefeitura e esta avenida, as
coordenadas em que se localizaria a delegacia no mapa
estão enunciadas no item:
(A) (2, 4).
(B) (4, 2).
(C) (3, 4).
(D) (4, 3).
(E) (2, 2).
.9. (UNICAMP-SP, adaptada)
Seguindo a forma de determinação dos lugares
apresentada pelo mapa anterior, podemos determinar os
lugares da catedral, prefeitura e câmara,
respectivamente, por meio das coordenadas:
(A) (2, 1); (1, 2); (5, 3).
(B) (1, 2); (3, 1); (5, 2).
(C) (1, 1); (1, 3); (3, 5).
(D) (1, 1); (3, 1); (3, 5).
(E) (1, 1); (3, 1); (5, 3).
.10. (ENEM-MEC)
A figura a seguir é a representação de uma região por
meio de curvas de nível, que são curvas fechadas
representando a altitude da região, com relação ao nível
do mar. As coordenadas estão expressas em graus de
acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude,
no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à
direita está associada à altitude da região.
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento
sobrevoa a região a partir do ponto X = (20; 60). O
helicóptero segue o percurso:
0,8º L  0,5º N  0,2º O  0,1º S  0,4º N  0,3º L.
Ao final, desce verticalmente até pousar no solo.
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em
um local cuja altitude é
(A) menor ou igual a 200 m.
(B) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
(C) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
(D) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.
(E) maior que 800 m.
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C1
Construir significados para os números naturais,
inteiros, racionais e reais.
H1
Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e
representações dos números e operações – naturais,
inteiros, racionais ou reais.
.11. (ENEM-MEC)
Em Alexandria viveu Diofante, entre os anos 325 e
409, e a pequena parte de sua obra que chegou até
nossos dias revela a mais antiga prática de abreviações
na Matemática.
Na história da álgebra, no período anterior a Diofante,
expressões são apresentadas só com palavras, inclusive
os números. Com Diofante, surge a álgebra, na qual
algumas expressões são escritas e outras abreviadas.
Adaptado de GUELLI, Oscar. Uma aventura do
pensamento. Sexta série. Editora Ática.
Na linguagem de Diofante, por exemplo, “u 3” significa 3
unidades, “M” significa menos e, quando não há nenhum
sinal, significa uma adição.
As frases abaixo estão escritas em símbolos de Diofante.
 x u 3 é igual a u 6
 M u 7 é igual a u 10
Em símbolos atuais, as frases podem ser escritas,
respectivamente, por
(A) x + 3 = 6 e x – 7 = 10
(B) 3x = 6 e x – 7 = 10
(C) x + 3 = 6 e 7x – 10 = 0
(D) 3 – x = 6 e 7x = 10
(E) 3 – x = 6 e x – 7 = 10
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*Anotações*

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H2
Identificar padrões numéricos ou princípios de
contagem.
.12. (ENEM-MEC)
Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se
conhecem são os dos egípcios e dos babilônios, que
datam aproximadamente do ano 3500 a.C. Os egípcios
usavam um sistema de agrupamento simples, com base
10.
Texto: Valéria Ostete Jammis, Luchetta, 21/10/2000.
Cajou, Florian. A history of Mathematical Notations,
Dover Publications INC, New York, 1993.
Para eles, um traço vertical valia 1; o número 10 era
representado por um osso de calcanhar invertido; o 100,
por um laço; e o 1000, por uma flor de lótus. Outros
números eram escritos com a combinação desses
símbolos.
Os números abaixo estão escritos em símbolos egípcios.
Em símbolos atuais, os números podem ser escritos,
respectivamente, por
(A) 2223 e 1222.
(B) 1222 e 6322.
(C) 2236 e 1122.
(D) 2336 e 1222.
(E) 1336 e 1122.
H3
Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos
numéricos.
.13. (ENEM-MEC)
As distâncias entre as estrelas, os planetas e os satélites
são muito grandes. Como o quilômetro não é uma
unidade adequada para medir essas distâncias, criou-se
a unidade “ano-luz”. O ano-luz é a distância que a luz
percorre em um ano. Considerando que a luz se desloca
no vácuo a cerca de 300 mil quilômetros por segundo, o
ano-luz equivale a aproximadamente 9 trilhões e 500
bilhões de quilômetros.
Usando potências de base 10, podemos escrever:
(A) 1 ano-luz = 95 x 109 km
(B) 1 ano-luz = 95 x 1010 km
(C) 1 ano-luz = 95 x 1011 km
(D) 1 ano-luz = 95 x 1012 km
(E) 1 ano-luz = 95 x 108 km
H4
Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na
construção de argumentos sobre afirmações
quantitativas.
.14. (ENEM-MEC)
Em certo país, o presidente eleito permanece no cargo
por 5 anos, enquanto um prefeito é eleito para um
mandato de 4 anos. No ano de 1998, houve eleições
tanto para presidente quanto para prefeitos.
As eleições para presidente e para prefeitos nesse país
voltarão a ocorrer no mesmo ano em
(A) 2008.
(B) 2014.
(C) 2018.
(D) 2020.
(E) 2028.
H5
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando
conhecimentos numéricos.
.15. (ENEM-MEC)
O prefeito de uma cidade de porte médio dispõe do
número de habitantes de cada bairro e do número de
óbitos do primeiro semestre de 2002:
Bairro População N.º de óbitos
Vista Alegre 6.230 341
Pitombo 34.591 83
Vila do Bento 10.100 41
Jardim das Rosas 6.900 131
Considerando o índice de mortalidade (razão entre o
número de óbitos e o de habitantes), o prefeito deveria
empregar a maior parte da verba no(s) bairro(s)
(A) Pitombo.
(B) Vila do Bento.
(C) Vista Alegre.
(D) Jardim das Rosas.
(E) Pitombo e Vila do Bento, pois o índice é o mesmo.
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*Anotações*

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*MÓDULO 2*
Matemática financeira – Juros
Uma só canetada
A questão dos juros atinge “as mais diversas e
surpreendentes esferas da vida prática, social e
espiritual, a começar pelo processo de envelhecimento a
que nossos corpos estão inescapavelmente sujeitos”,
escreveu o economista Eduardo Gianetti da Fonseca no
livro O Valor do Amanhã (Companhia das Letras, 2005).
Segundo ele, o deterioramento da saúde na velhice é o
juro que se paga pela longevidade. Paga-se no futuro o
que se aproveita no presente.
O conceito de juros é quase tão antigo quanto o uso
da moeda. Eles são a remuneração pelo capital – ou
seja, a forma de recompensar quem emprestou por
esperar pela devolução do dinheiro. Estamos pagando
para a pessoa (ou o banco) não gastar o dinheiro com
outra coisa.
O tamanho dos juros, porém, expressa também o
medo que o emprestador tem de não ser pago. Em
contextos em que há receio pelo cumprimento dos
pagamentos, portanto, os juros sobem – dessa forma, o
lucro maior nos empréstimos compensa os possíveis
calotes que parte dos clientes, já se espera, deve dar. E
também, infelizmente, as pessoas que pagam em dia
acabam pagando mais caro por causa das que dão
calote.
Há basicamente dois tipos de juro que são
usualmente cobrados pelo mercado. O primeiro é o juro
simples, cujo aumento percentual incide somente sobre o
capital, isto é, o valor inicial da transação – seja
empréstimo, compra ou renda. O segundo é conhecido
como juro composto, pois seu aumento percentual incide
sobre o agregado do capital e de juros anteriores ao
período. Isto é, é um juro que incide pelo juro já cobrado
– daí o infame efeito “bola de neve”, que estudaremos a
seguir. Neste módulo, veremos como você pode resolver
problemas que envolvam os juros simples.
Os juros simples são a maneira mais fácil de calcular
juros. Aqui, eles incidem sobre o capital principal. Não
são comumente usados nas finanças profissionais,
porque os períodos de empréstimo geralmente ocorrem
em vários meses e anos, mas são importantes para
compreender o conceito de juros.
Acompanhe um caso hipotético. Uma pessoa tem
uma aplicação inicial (representada por , de “capital”),
uma taxa de juros ( , de “interesse”, nome dos juros em
inglês e espanhol, geralmente representado em forma
decimal) e um período ( , de “tempo” em meses, ou anos,
ou dias, dependendo do contrato assinado). A fórmula é:
Se ela tomou emprestados R$ 1.000,00, a uma taxa
de juros de 5% ao mês (ou 0,05, na forma decimal), para
pagar após dez meses, o cálculo do quanto vai pagar de
juros fica assim:
Podemos unir essas duas equações em uma só. Com
ela, todos os problemas que envolvam os juros simples
podem ser resolvidos (a letra significa “montante”):
Fatorando essa expressão, podemos simplificá-la e
chegarmos à fórmula final dos juros:
DEDOC / RUBENS CHAVES
 Fila em banco: juros são tão antigos quanto o uso da moeda
 Porcentagem é uma ferramenta importante para
comparar grandezas diferentes. Ela pode ser
calculada como uma proporção, multiplicando-se
depois por 100 e inserindo o símbolo %.
 Determinar o valor que sofre uma transformação
percentual é fundamental. Um aumento de 10% num
salário de 1.000 reais significa um acréscimo de 100
reais ao contracheque. Posteriormente, um desconto
de 10% no salário resultante, de 1.100 reais, significa
um corte de 110 reais. Embora seja a mesma
porcentagem, o tamanho do corte é diferente.
 Somar porcentagens de todos os subgrupos dentro
de um grupo resulta sempre em 100%. As
porcentagens podem passar de 100 se cada um dos
indivíduos puder fazer mais de uma escolha.
 Multiplicar e dividir porcentagens é um risco. Use a
regra de três para saber quanto uma porcentagem
de um subgrupo significa dentro do grupo.
 Inflação é o fenômeno em que a correção monetária
corrói o valor do dinheiro. No Brasil, esse processo
se acelerou nas décadas de 1980 e 1990.
 Juros são a remuneração do capital – ou seja, o que
se paga pelo direito de usar dinheiro alheio.
Expressam a incerteza no recebimento.
 Juros simples são os juros aplicados apenas sobre o
capital. Para calcular, use a fórmula
J=C∙i∙t, em que é o capital, é a taxa e é o tempo
ou prazo.
 Montante é o capital somado de juros, ou o tamanho
da dívida depois de remunerado o capital.

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 Juros compostos, usados pelos bancos, acumulam
juros sobre juros. Para calcular o montante, use a
fórmula , em que é o capital, é a
taxa e é o tempo ou prazo considerado.
 Pesquisas eleitorais usam porcentagens para
mostrar a proporção dos eleitores que pretendem
votar em cada candidato. Para decidir a eleição,
porém, contam apenas os votos válidos.
 Ponto percentual é o conceito usado para dizer que
alguém tinha 10% de intenção de voto e caiu para
5% das intenções – ou seja, perdeu 5 pontos
percentuais, e não 5% das intenções que tinha.
Novamente, é uma questão de qual é a base a que
nos referimos.
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Texto para as questões de 1 a 3.
Para que serve o Copom
Como as taxas de juros são usadas pelas
autoridades monetárias para controlar
a inflação e regular a economia
De tempos em tempos, você ouve no noticiário que o
governo “aumentou os juros em meio ponto” ou “baixou
os juros em 0,75 ponto”. Você sabe o que isso significa?
Essa medida é parte da política econômica definida pelo
Banco Central e decidida nas reuniões do Comitê de
Política Monetária (Copom).
Criado em 1996, nos mesmos modelos dos comitês
monetários dos bancos centrais norte-americano e
europeus, o Copom tem como objetivo criar diretrizes
transparentes para a política monetária brasileira e definir
a taxa de juros, visando a controlar a inflação. A taxa
básica de juros, a Selic, define o valor dos juros de
empréstimos baseados em títulos públicos, que os
bancos fazem uns com os outros. Assim, a taxa acaba
sendo um fator importante no custo do dinheiro e
influencia os juros que os bancos cobrarão de seus
clientes.
A taxa Selic é fixada na reunião do Copom e vigora
até a reunião seguinte. O Copom é formado pela diretoria
colegiada, o presidente e várias autoridades do Banco
Central, que, por sua vez, é subordinado ao Ministério da
Fazenda.
Desde 1999, o Copom estabelece metas de inflação
para o país, uma das principais diretrizes da política
monetária atual. Para definir a taxa básica de juros, o
comitê faz uma análise da conjuntura econômica atual,
levando em consideração fatores como inflação do mês
anterior, economia internacional, finanças públicas,
balanços de pagamentos, mercado monetário,
perspectivas da inflação, expectativas para variáveis
macroeconômicas entre outros. Levando tudo isso em
conta, a flutuação da taxa de juros visa, principalmente, a
controlar a inflação. E como isso funciona? Quando a
taxa Selic é reduzida, fica mais fácil fazer empréstimos,
as pessoas passam a comprar mais e os preços tendem
a subir, elevando assim a inflação. Por outro lado,
quando a taxa de juros sobe, o consumo diminui,
derrubando também os preços e mantendo a inflação
controlada. A taxa de juros alta cria vantagens e
desvantagens. Para os investidores especulativos
estrangeiros que investem em títulos brasileiros, juros
altos representam mais lucro – assim, mais dólares são
injetados no mercado interno brasileiro, mantendo a
cotação da moeda nacional controlada. O câmbio
também interfere nos preços que chegam ao consumidor,
mais um fator de controle da inflação.
No entanto, se a taxa de juros permanece alta por
muito tempo, as pessoas passam a comprar menos e as
indústrias diminuem a produção, o que acaba
provocando desemprego. Por isso existe tanta pressão
para a queda nos juros, para dar ânimo ao setor
produtivo, que passa a contratar mais, impulsionando
assim toda a economia.
Em 2011, na primeira reunião do Copom durante o
governo de Dilma Rousseff, realizada em janeiro, o
comitê decidiu elevar a taxa Selic de 10,75% para
11,25% ao ano. Com isso, Alexandre Tombini, o novo
presidente do Banco Central, que assumiu o cargo no
início deste ano, manteve a tradição de elevar os juros na
sua primeira reunião no comando da instituição. A última
vez que um presidente do Banco Central assumiu o
cargo e não elevou a taxa básica de juros foi em 1997,
na gestão de Gustavo Franco.
Veja, 9/3/2011.
.1. (AED-SP)
Como a taxa Selic influencia os juros dos bancos?
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.2. (AED-SP)
Como o aumento de juros controla a inflação?
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.3. (AED-SP)
Qual o perigo de juros muito altos?
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___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________
.4. (FUVEST-SP)
Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00.
Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e
R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o
dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros,
respectivamente.
A casa se valorizou 3% durante esse período de um ano.
Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o
combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de:
(A) R$ 400,00.
(B) R$ 500,00.
(C) R$ 600,00.
(D) R$ 700,00.
(E) R$ 800,00.
.5. (ENEM-MEC)
João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao
cheque especial de seu banco e cinco parcelas de
R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do
banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no
cheque especial, caso João quitasse essa dívida
imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação
imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão.
João também poderia renegociar suas dívidas em 18
parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses
termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o
dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18
meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria
(A) renegociar suas dívidas com o banco.
(B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à
quitação das duas dívidas.
(C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as
parcelas pendentes nos devidos prazos.
(D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à
quitação do cheque especial e pagar as parcelas do
cartão de crédito.
(E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à
quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do
cheque especial.
.6. (INEP-MEC)
Um capital de R$ 30.000,00 foi dividido em duas
aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros
anuais; a outra, aplicação de risco, pagou uma taxa de
12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-se
que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram
iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados
foi de:
(A) R$ 8.000,00.
(B) R$ 4.000,00.
(C) R$ 6.000,00.
(D) R$ 10.000,00.
(E) R$ 12.000,00.
.7. (PUC-PR)
Vidal fez um empréstimo de certo valor, para ser quitado
ao final de quatro meses, em parcela única. A taxa de
juros negociada com o gerente do banco foi de 5% ao
mês. Exatamente um mês depois, sua namorada
Madalena emprestou, do mesmo banco, um valor para
ser pago ao final de três meses, também em parcela
única, ou seja, ambos os empréstimos vencem no
mesmo dia. Sabe-se que o valor emprestado por Vidal é
superior a dois salários mínimos. (Considerar juros
simples.).
Considerando o que foi exposto, assinale a alternativa
correta.
(A) Se o casal emprestou valores iguais, ainda que
Madalena pague uma taxa de juros 30% maior do
que a taxa devida por Vidal, seu saldo devedor será
menor do que o do seu namorado.
(B) Se Madalena emprestou um valor 10% superior
àquele emprestado por Vidal, a uma taxa de 3% ao
mês, seu saldo devedor no vencimento será igual ao
de Vidal.
(C) Suponha que eles emprestaram valores iguais. Para
que o saldo devedor de ambos coincida, a taxa de
juros paga por Madalena deverá ser 40% superior à
taxa paga por Vidal.
(D) Se Madalena emprestou 10% a menos que Vidal, a
uma taxa de juros equivalente ao dobro daquela
devida por ele, eles terão saldos devedores iguais na
data de vencimento.
(E) Sem conhecer o valor absoluto de cada empréstimo,
ou o valor exato de um salário mínimo, é impossível
fazer qualquer avaliação.
.8. (INEP-MEC)
O Sr. Silva planejou passar, com sua família, as festas
natalinas no Pantanal de Mato Grosso em uma pousada
que cobra uma diária de R$ 450,00, incluindo as
refeições e os passeios turísticos. Fez uma reserva por 7
dias, devendo efetuar o pagamento antecipado no dia 4
de dezembro de 2003. Visando não sobrecarregar o
orçamento do mês de dezembro, decidiu poupar de duas
maneiras:
1.º - Depositar R$ 2.000,00, no dia 3 de janeiro de 2003,
em uma aplicação especial com taxa de juro composto
de 1,5% ao mês, a serem resgatados somente em 3 de
dezembro de 2003.
2.º - Acumular bônus pelas compras efetuadas no cartão
de crédito, podendo resgatá-los em 3 de dezembro de
2003, na forma de duas diárias.
A partir dessas informações, é possível afirmar que o
montante reservado pelo Sr. Silva com essas maneiras
de poupar será:

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___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________
(A) suficiente para pagar a reserva, mas não lhe sobrará
para gastos extras.
(B) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão
R$ 225,00 para gastos extras.
(C) insuficiente e ainda lhe faltarão R$ 110,00.
(D) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão
R$ 110,00 para gastos extras.
(E) insuficiente e lhe faltarão R$ 225,00.
Admita (1,015)11 = 1,18.
.9. (UNESP)
Alfredo costuma aplicar seu dinheiro em um fundo de
investimento que lhe rende juro composto. Se ele planeja
resgatar um montante de R$ 13.100,00 daqui a 3 anos,
qual o valor do depósito inicial, se a taxa de juros for
igual a 10% ao ano?
(A) R$ 8.100,00. (D) R$ 10.000,00.
(B) R$ 9.000,00. (E) R$ 10.100,00.
(C) R$ 9.100,00.
********** ATIVIDADES 2 **********
C4
Construir noções de variação de grandezas para a
compreensão da realidade e a solução de problemas
do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
.10. (ENEM-MEC)
Um grupo de artesãos resolveu criar uma cooperativa
para, entre outras coisas, realizar bazares itinerantes e
vender seu produto diretamente ao consumidor. Cada
associado doa 14% do valor de suas vendas para o
fundo da cooperativa. Se a cooperativa possui gastos
mensais de, no mínimo, R$ 749,00, deve ser feito um
esforço conjunto dos associados para venderem por mês
um total de, pelo menos,
(A) R$ 10.486,00. (D) R$ 1.048,60.
(B) R$ 8.709,30. (E) R$ 8.538,60.
(C) R$ 5.350,00.
H16
Resolver situação-problema envolvendo a variação de
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
.11. (ENEM-MEC)
A escolha do presidente de uma associação de bairro foi
feita através de uma eleição, na qual votaram 200
moradores.
Após apuração de 180 dos 200 votos, o resultado da
eleição era o seguinte:
Candidato I 47 votos
Candidato II 72 votos
Candidato III 61 votos
A partir dos dados, pode-se concluir que
(A) o vencedor da eleição certamente será o candidato
II.
(B) dependendo dos votos que ainda não foram
apurados, o candidato I poderá ser o vencedor da
eleição.
(C) o vencedor da eleição poderá ser o candidato II ou o
candidato III.
(D) como existem votos ainda não apurados, qualquer
um dos três candidatos poderá ganhar a eleição.
(E) o vencedor da eleição certamente será o candidato
III.
H17
Analisar informações envolvendo a variação de
grandezas como recurso para a construção de
argumentação.
.12. (ENEM-MEC)
Ao cobrir um jogo de basquete entre os times Azulão e
Verdão, um repórter anotou os pontos feitos pelos dois
jogadores que marcaram mais pontos nos dois times.
AZULÃO VERDÃO
João 30 Sivuca 18
Pedroca 20 Antony 36
Esse repórter considerou que o rendimento de um
jogador durante um jogo é medido pela razão entre o
número de pontos que faz e o total de pontos feitos pelo
seu time. O Azulão ganhou do Verdão por 80 a 72.
O repórter publicou corretamente que, naquela partida,
em relação ao rendimento,
(A) João foi o melhor de todos.
(B) Antony foi o pior de todos.
(C) Sivuca e Pedroca foram iguais.
(D) João e Antony foram iguais.
(E) Sivuca e Pedroca foram os melhores entre os quatro.
H18
Avaliar propostas de intervenção na realidade
envolvendo variação de grandezas.
.13. (ENEM-MEC)
Uma empresa decidiu doar livros e cadernos aos alunos
carentes de uma escola da sua vizinhança. Receberão
os materiais escolares apenas os alunos que tenham
menos de 10 faltas no ano e cujas famílias tenham renda
de até 3 salários mínimos. Sabe-se que:
 a escola possui 1.000 alunos;
 350 alunos têm menos de 10 faltas no ano;
 700 alunos pertencem a famílias com renda de até 3
salários mínimos;
 200 alunos não pertencem a nenhum dos grupos
acima, ou seja, têm 10 ou mais faltas no ano e
pertencem a famílias com renda superior a 3 salários
mínimos.
A empresa deve enviar o material escolar para
(A) 250 alunos. (D) 550 alunos.
(B) 300 alunos. (E) 600 alunos.
(C) 400 alunos.

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*MÓDULO 3*
Funções
A importância do estudo de funções não é específica
da Matemática, fazendo parte também do universo de
outras ciências, como a Física e a Química. Quando
lemos um jornal ou uma revista, muitas vezes nos
deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma
relação entre duas grandezas representada
geometricamente.
Sistema de coordenadas
O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas é
formado por dois eixos, (eixo das abscissas) e
(eixo das ordenadas), perpendiculares entre si no ponto
(origem).
Para localizar um ponto no plano, traçamos por as
perpendiculares a e , obtendo nos eixos as
coordenadas de , que são dois números chamados de
abscissa e ordenada do ponto , respectivamente.
Se é a abscissa de e é a ordenada de , o par
ordenado ( ) representa . Indicamos:
O conceito de função
 Dados dois conjuntos não vazios, e , chama-se
relação de em qualquer conjunto de pares
ordenados ( , ) com e .
 Sejam e conjuntos não vazios. Uma relação de
em é função se, e somente se, qualquer
elemento de estiver associado, através de , a um
único elemento de . Para indicar que é uma
função de em , adotamos a notação:
Domínio, contradomínio e conjunto imagem
Dada uma função :
 O domínio da função é o conjunto .
 O contradomínio da função é o conjunto .
 O conjunto imagem da função é o conjunto formado
pelos elementos de que têm correspondente em ,
ou seja: .
Imagem de pela função
Se ( ) pertence a uma função , dizemos que é a
imagem de pela função . Indicamos esse fato por:
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função é a reunião de todos os
pontos ( ) do plano cartesiano que pertencem à
função.
Raiz de uma função
 Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de
variável real, , todo número do domínio de
tal que .
 Graficamente, a raiz de uma função é a abscissa do
ponto em que o gráfico cruza o eixo .
Estudo do sinal de uma função
 Uma função é positiva para um elemento de seu
domínio se, e somente se, .
 Uma função é negativa para um elemento de seu
domínio se, e somente se, .
 Uma função se anula para um elemento de seu
domínio se, e somente se, . Nesse caso, é
raiz da função.

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Variação de uma função
 Uma função é crescente em um subconjunto do
domínio de se, e somente se, para quaisquer
números e de , tivermos:
 Uma função é decrescente em um subconjunto
do domínio de se, e somente se, para quaisquer
números e de , tivermos:
 Uma função é constante em um subconjunto do
domínio de se, e somente se, para qualquer
número de , tivermos:
, sendo uma constante real
Função par e função ímpar
 Uma função de domínio é par se, e somente se:
, para qualquer
Assim, as partes do gráfico de para e para
são simétricas em relação ao eixo .
 Uma função de domínio é ímpar se, e somente
se:
, para qualquer
Assim, as partes do gráfico de para e para
são simétricas em relação à origem do
sistema de eixos.
Função injetora, sobrejetora e bijetora
 Uma função é injetora se, e somente se,
para quaisquer e do domínio de , for
obedecida a condição:
Ou seja, é injetora se não existirem elementos
distintos do domínio de com a mesma imagem.
 Uma função é sobrejetora se, e somente se,
para todo elemento do conjunto existir no
conjunto tal que . Ou seja, é sobrejetora
se o seu contradomínio coincidir com o seu conjunto
imagem.
 Uma função é bijetora se, e somente se, é
injetora e sobrejetora.
Função composta
Sejam , e conjuntos não vazios e sejam as
funções e . A função composta de
com é a função tal que:
Função inversa
 A inversa de uma função bijetora é a função
tal que:
para quaisquer e , com e .
Se uma função admite inversa, dizemos que ela é
invertível.
Obtenção da função inversa
Se uma função real de variável real é
invertível, sua inversa é obtida do seguinte modo:
I. Trocamos por e por , obtendo .
II. Isolamos a variável , após a mudança de
variáveis efetuada em , obtendo .

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*********** ATIVIDADES ***********
.1. (INEP-MEC)
Considere as sentenças abaixo, relativas à função
, definida no intervalo e representada,
graficamente, na figura.
I. Se , então .
II. .
III. A imagem de é o intervalo .
É correto afirmar que:
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Todas as sentenças são verdadeiras.
.2. (VUNESP)
Numa fazenda havia 20% de área de floresta. Para
aumentar essa área, o dono da fazenda decidiu iniciar
um processo de reflorestamento. No planejamento do
reflorestamento, foi elaborado um gráfico fornecendo a
previsão da porcentagem de área de floresta na fazenda
a cada ano, num período de dez anos.
Esse gráfico foi modelado pela função ,
que fornece a porcentagem de área de floresta na
fazenda a cada ano , onde , e são constantes
reais. Com base no gráfico, determine as constantes ,
e e reescreva a função com as constantes
determinadas.
.3. (INEP-MEC)
O triângulo retângulo , região cinza na figura abaixo,
tem área igual a .
Então, o valor de é:
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
.4. (UFSCar-SP)
A figura representa, em sistemas coordenados com a
mesma escala, os gráficos das funções reais e , com
e .
Sabendo que a região poligonal demarca um trapézio
de área igual a , o número real é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
.5. (UNIFOR-CE)
O conjunto imagem da função real de variável real dada
por é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

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.6. (INEP-MEC)
Uma forma experimental de insulina está sendo injetada
a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O
organismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga
presente no corpo. O gráfico que melhor representa a
quantidade da droga no organismo como função do
tempo , em um período de 24 horas, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
.7. (INEP-MEC)
Sendo e números reais positivos, sabe-se que a
função , definida para , assume seu
valor mínimo quando .
Um grupo de amigos alugou por R$ 6.000,00 um salão
para fazer uma festa. Este valor será dividido por todos
que estiverem presentes na festa. Como o dia do
aniversário de José Carlos, um dos integrantes deste
grupo, coincide com o dia da festa, ele decidiu que a
comida será por conta dele. A empresa que prestará este
serviço irá lhe cobrar R$ 15,00 por pessoa presente na
festa. Então, o número de integrantes do grupo de
amigos que minimiza o gasto de José Carlos somando o
custo total da comida com a parte dele no aluguel do
salão é de:
(A) 5 pessoas
(B) 10 pessoas
(C) 15 pessoas
(D) 20 pessoas
(E) 25 pessoas
.8. (FGV-SP)
Sejam e duas funções de em tais que
e . Então, o gráfico cartesiano da função
:
(A) Passa pela origem.
(B) Corta o eixo no ponto .
(C) Corta o eixo no ponto .
(D) Tem declividade positiva.
(E) Passa pelo ponto .
.9. (INSPER-SP)
Suponha que os três gráficos abaixo estejam na mesma
escala, em que a distância entre duas marcas
consecutivas sobre os eixos seja igual a . Se , e
são as funções nestes três gráficos, respectivamente,
então é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
.10. (MACKENZIE-SP)
Dada a função , se
e assim por diante, então o
valor de é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
.11. (UFMA)
Sendo uma função par e uma função ímpar, e
sabendo-se que e , pode-se
concluir que é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
________________________________________________
*Anotações*

_________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________
.12. (FGV-SP)
A figura indica o gráfico da função , de domínio ,
no plano cartesiano ortogonal.
O número de soluções da equação é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
.13. (INEP-MEC)
As funções e , ambas de domínio , estão
representadas graficamente abaixo. O número de
elementos do conjunto solução da equação
é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
.14. (UNIFESP)
Seja uma função crescente e sobrejetora, onde
é o conjunto dos números inteiros. Sabendo-se que
, uma das possibilidades para é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
.15. (INEP-MEC)
Considere a função ímpar real de variável real definida
no intervalo , cujo gráfico está desenhado na figura
abaixo.
Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico da
função , em que é a inversa da função .
(A)
(B)
(C)
(D)
.16. (UFT-TO)
Seja definida por
. Então a função inversa é:
(A) (C)
(B) (D)

_________________________________________________________________________________________________________________________
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.17. (UFT-TO)
Cada um dos gráficos abaixo representa uma função
tal que ; . Qual deles
representa uma função bijetora no seu domínio?
(A)
(B)
(C)
(D)
.18. (ITA-SP)
Sejam , tais que é par e é ímpar. Das
seguintes afirmações:
I. é ímpar.
II. é par.
III. é ímpar.
é(são) verdadeira(s):
(A) Apenas I. (D) Apenas I e II.
(B) Apenas II. (E) Todas.
(C) Apenas III.
________________________________________________
*Anotações*

_________________________________________________________________________________________________________________________
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*MÓDULO 4*
Função afim
Algumas funções relacionam duas grandezas em que
a variação de uma é proporcional à variação da outra.
Quando isso ocorre, dizemos que a função é afim.
A função afim
 Função afim ou função polinomial do 1.º grau é toda
função do tipo:
 O gráfico de toda função afim é uma reta. Para
construí-Io, basta representar dois pontos distintos
da função no plano cartesiano e traçar a reta que
passa por eles.
Pontos de intersecção do gráfico da
função afim com os eixos coordenados
 O gráfico da função afim intercepta o eixo no
ponto .
 O gráfico da função afim intercepta o eixo no
ponto .
Função linear
 Toda função da forma , com , é
chamada função linear.
 O gráfico de uma função linear é uma reta
que passa pela origem do sistema de coordenadas.
 Em toda função linear , os valores
correspondentes das variáveis e são diretamente
proporcionais.
Análise da função afim
Taxa de variação
 A taxa de variação da função afim é a
constante , não nula, obtida da seguinte maneira:
 Se duas funções afins têm a mesma taxa de
variação, então as retas que as representam são
paralelas.
Crescimento e decrescimento
Dada a função , temos:
Estudo do sinal da função afim
Inequação-produto e Inequação-quociente
Para resolver inequações-produto ou inequações-
-quociente, estudamos o sinal de cada função e
construímos um quadro de sinais, no qual os sinais da
última linha são obtidos pela regra de sinais da
multiplicação ou da divisão.
________________________________________________
*Anotações*

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*********** ATIVIDADES ***********
.1. (MACKENZIE-SP)
Os gráficos das funções e definem,
com os eixos, no primeiro quadrante, um quadrilátero de
área:
(A) 12
(B) 16
(C) 10
(D) 8
(E) 14
.2. (UDESC)
Sabemos que a receita total de certo produto
produzido por uma família de agricultores é dada pela
função , em que é a quantidade de
unidades do produto. Determine a função do primeiro
grau, custo total deste produto; sabendo que,
quando a quantidade do produto é de 3 unidades, o custo
total é de R$ 4,00; e que, quando a quantidade do
produto é de 4 unidades, a receita total é igual ao custo
total. Faça o esboço do gráfico das funções e
.
.3. (ENEM-MEC)
Muitos brasileiros sonham com empregos formais. Na
falta destes, cada vez mais as pessoas precisam buscar
formas alternativas de conseguir uma renda. Para isso,
uma família decidiu montar uma malharia. O gráfico
abaixo mostra o custo mensal de produção dessa
empresa.
Sabendo que as peças são vendidas por R$ 19,50 e que
a família almeja um lucro mensal de R$ 4.200,00, o
número de peças produzidas e vendidas, para atingir
esse fim, deverá ser
(A) 215.
(B) 400.
(C) 467.
(D) 525.
(E) 494.
(Nota: Admita que o custo para peças
produzidas é uma função afim.)
.4. (MACKENZIE-SP)
A figura mostra os esboços dos gráficos das funções
e , que fornecem os preços que as copiadoras,
e , cobram para fazer cópias de uma folha. Para
fazer cópias, a copiadora cobra:
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
.5. (UNIR-RO)
Duas empresas ( e ), locadoras de veículos de
passeio, apresentaram o valor da locação de um mesmo
carro pelos gráficos abaixo.
Considere o valor pago, em real, pela locação desse
veículo e a quantidade de quilômetros rodados. A partir
dessas informações, é correto afirmar:
(A) A empresa cobra 0,50 centavos por quilômetro
rodado acrescidos de uma taxa fixa de 50 reais.
(B) A empresa cobra somente a quilometragem
rodada.
(C) Para rodar 400 km, o valor cobrado pela empresa
é igual ao cobrado pela .
(D) Para rodar uma distância de 300 km é mais
vantajoso alugar o carro da empresa .
(E) Para rodar uma distância de 500 km é mais
vantajoso alugar o carro da empresa .
________________________________________________
*Anotações*

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.6. (UFSCar-SP)
O gráfico esboçado representa a massa média, em
quilograma, de um animal de determinada espécie em
função do tempo de vida, em mês.
Para o gráfico é um segmento de reta.
a) Determine a expressão da função cujo gráfico é esse
segmento de reta e calcule a massa média do animal
com meses de vida.
b) Para meses, a expressão da função que
representa a massa média do animal, em
quilogramas, é . Determine o
intervalo de tempo para o qual .
.7. (PUC-SP)
Quantos números inteiros e estritamente positivos
satisfazem a sentença ?
(A) dezesseis
(B) quinze
(C) quatorze
(D) treze
(E) menos de treze
.8. (UNESP)
Um laboratório farmacêutico tem dois depósitos, e .
Para atender a uma encomenda, deve enviar caixas
iguais contendo um determinado medicamento à drogaria
e caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento
à drogaria . Os gastos com transporte, por cada caixa
de medicamento, de cada depósito para cada uma das
drogarias, estão indicados na tabela.
A B
D1 R$ 10,00 R$ 14,00
D2 R$ 12,00 R$ 15,00
Seja a quantidade de caixas do medicamento, do
depósito , que deverá ser enviada à drogaria e a
quantidade de caixas do mesmo depósito que deverá ser
enviada à drogaria .
a) Expressar:
em função de , o gasto com transporte para
enviar os medicamentos à drogaria ;
em função de , o gasto com transporte para
enviar os medicamentos à drogaria ;
em função de e , o gasto total para atender
as duas drogarias.
b) Sabe-se que no depósito existem exatamente 40
caixas do medicamento solicitado e que o gasto total
para se atender a encomenda deverá ser de
R$ 890,00, que é o gasto mínimo nas condições
dadas. Com base nisso, determine, separadamente,
as quantidades de caixas de medicamentos que
sairão de cada depósito, e , para cada drogaria,
e , e os gastos e .
.9. (UNICAMP-SP)
Na década de 1960, com a redução do número de
baleias de grande porte, como a baleia-azul, as baleias
minke antárticas passaram a ser o alvo preferencial dos
navios baleeiros que navegam no hemisfério sul. O
gráfico abaixo mostra o número acumulado aproximado
de baleias minke antárticas capturadas por barcos
japoneses, soviéticos/russos e brasileiros, entre o final de
1965 e o final de 2005.
Obs.: 41.840  Japão; 34.200  URSS/Rússia; 13.500  Brasil.

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a) A seguir, trace a curva que fornece o número
aproximado de baleias caçadas anualmente por
barcos soviéticos/russos entre o final de 1965 e o
final de 2005. Indique também os valores numéricos
associados às letras e para que seja possível
identificar a escala adotada para o eixo vertical.
b) Calcule o número aproximado de baleias caçadas
pelo grupo de países indicado no gráfico entre o final
de 1965 e o final de 1990.
.10. (PUC-SP)
Uma pesquisa foi realizada com estudantes do ensino
médio para saber em qual área eles pretendem estudar
na Universidade. Os resultados foram os seguintes:
40% pretendem estudar na área de humanas;
30% querem estudar na área de tecnologia;
20% optaram por exatas; e
10% não pretendem prosseguir estudando.
Relativamente aos resultados da pesquisa, os que têm
intenção de estudar na área de exatas representam,
aproximadamente, quanto por cento do universo dos que
pretendem prosseguir estudando?
(A) 22,2%
(B) 20%
(C) 20,5%
(D) 25%
(E) 10%
.11. (PUC-SP)
O Sr. Afonso realizou uma reforma em sua casa e o
entulho produzido foi retirado por uma empresa, que
utilizou caixas coletoras com igual capacidade e deu um
desconto de R$ 10,00 pela retirada de cada caixa de lixo,
a partir da terceira.
Sabendo-se que nessa limpeza foram utilizadas 10
caixas coletoras e que o preço pago pelo serviço foi R$
670,00, o valor que essa empresa cobra pela utilização
de uma caixa coletora é igual a:
(A) R$ 70,00.
(B) R$ 65,00.
(C) R$ 75,00.
(D) R$ 55,00.
(E) R$ 85,00.
.12. (UNESP)
Uma empresa de terraplanagem, comprometida com a
causa ambiental, usa 10% de borracha de pneus velhos
na produção de cada metro cúbico de asfalto. O material
de um pneu aro 15, triturado, equivale, em média, a
0,012 m3. Se, em média, um pneu aro 13 fornece o
equivalente a 79% do material de um pneu aro 15, a
média de pneus aro 13 que essa empresa usa para
asfaltar 7 km de uma estrada, cobrindo-os com uma
camada de 12 m de largura e 7 cm de espessura, é mais
próxima de:
(A) 19.600.
(B) 62.025.
(C) 70.000.
(D) 37.500.
(E) 27.600.
.13. (UNIR-RO)
Simplificando a expressão , obtemos o
valor:
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
.14. (UNIR-RO)
Dois números e que satisfazem a equação
são:
(A) e um inteiro menor que .
(B) um inteiro quadrado perfeito e .
(C) e .
(D) e um número racional.
(E) e um número inteiro negativo.
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*Anotações*

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.15. (ENEM-MEC)
No monte de Cerro Armazones, no deserto de
Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície
terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande
(E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de
diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br,
27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora
fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano
mede aproximadamente 2,1 cm.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho
humano, suposto pela professora, e o diâmetro do
espelho primário do telescópio citado?
(A) 1 : 20
(B) 1 : 100
(C) 1 : 200
(D) 1 : 1.000
(E) 1 : 2.000
.16. (ENEM-MEC)
Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de
desmatamento, conforme o gráfico, da chamada
Amazônia Legal, integrada por nove estados.
Disponível em: www.folhaonline.com.br, 30 abr. 2010 (adaptado).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu
10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento
médio por estado em 2009 está entre
(A) 100 km2 e 900 km2.
(B) 1.000 km2 e 2.700 km2.
(C) 2.800 km2 e 3.200 km2.
(D) 3.300 km2 e 4.000 km2.
(E) 4.100 km2 e 5.800 km2.
.17. (ENEM-MEC)
A classificação de um país no quadro de medalhas nos
Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de
ouro que obteve na competição, tendo como critérios de
desempate o número de medalhas de prata seguido do
número de medalhas de bronze conquistados. Nas
Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado
no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de
ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de
medalhas é reproduzida a seguir.
Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br,
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de
prata e 10 de bronze, sem alteração no número de
medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual
teria sido a classificação brasileira no quadro de
medalhas das Olimpíadas de 2004?
(A) 13.º
(B) 12.º
(C) 11.º
(D) 10.º
(E) 9.º
.18. (ENEM-MEC)
Os dados do gráfico foram coletados por meio da
Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.
Fonte: IBGE. Disponível em: http://www.ibge.gov.br,
Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram
entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam
telefone móvel celular?
(A) 5.513
(B) 6.556
(C) 7.450
(D) 8.344
(E) 9.536

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