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Ejercicios resueltos: POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 1

Matemáticas 1º ESO

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SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA                        MATEMÁTICAS 1º ESO

                               POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

                                    EJERCICIOS RESUELTOS

Potencias
 1.- Calcula el valor de las siguientes potencias:
     a) 2 3=8

    b)  −2  4=24 =16

    c) −24 =−16

    d) 2 2 =4
            5
    e)  −2  =−25 =−32

    f) −25 =−32
            3
    g)  −3  =−33 =−27

    h) −33=−27

    i) 34 =81

    j) −3  2 =32 =9

    k) −32 =−9

     l) 35 =243

   m) 53 =125

    n)  −5 4 =54 =625

    ñ) −5 4 =−625

    o) 52 =25
            5
    p)  −5  =−55 =−3. 125

    q) −55 −3 . 125
                3
     r) −10  =−10 3=−1 .000

     s) −10 3=−1 . 000

     t) 10 4=10 . 000
u)  −10 2 =102 =100

   v) −10 2 =−100

   w) 105 =100 . 000

   x)  −10 12=1012=1 . 000 .000 . 000 . 000

   y) −10 8=−100.000.000

2.- Calcula la base de las siguientes potencias:
    a) x 2 =36

          36 2
          18 2             2⋅3=6
           9 3             2⋅3=6
           3 3
           1

       x 2 =36⇒ x 2 =62 ⇒ x =6

       x 2 =36⇒ x 2 =−62 ⇒ x=−6

   b) x 3 =−8

           8 2
           4 2
           2 2
           1

        x 3=−8⇒ x 3=−23 ⇒ x 3=−23 ⇒ x =−2

   c) x 5 =32

          32 2
          16 2
           8 2
           4 2
           2 2
           1

       x 5=32 ⇒ x 5=25 ⇒ x=2
d) x 2 =100

        100 2
         50 2                  2⋅5=10
         25 5                  2⋅5=10
             5 5
             1

   x 2 =100⇒ x 2=10 2 ⇒ x=10

   x 2 =100⇒ x 2=−102 ⇒ x=−10

e) x 3 =27

         27 3
             9 3
             3 3
             1

   x 3=27⇒ x 3=33 ⇒ x=3

f) x 5 =−32

         32 2
         16 2
             8 2
             4 2
             2 2
             1

   x 5=−32 ⇒ x 5=−25 ⇒ x 5=−25 ⇒ x=−2

g) x 2 =49

        49 7
         7 7
         1

    2              2   2
   x =49 ⇒ x =7 ⇒ x=7
    2              2       2
   x =49 ⇒ x =−7 ⇒ x=−7
h) x 3 =−216

          216 2
          108 2
              54 2             2⋅3=6
              27 3             2⋅3=6
               9 3             2⋅3=6
               3 3
               1

       x 3=−216 ⇒ x 3=−63 ⇒ x 3=−63 ⇒ x=−6

3.- Determina el exponente de las siguientes potencias:
    a) 3 x =9

              9 3
              3 3
              1

      3 x =9 ⇒3 x =3 2 ⇒ x=2

   b)  −5 x =−125

         125 5
          25 5
              5 5
              1

       −5 x =−125 ⇒−5 x =−5 3 ⇒−5 x =−53 ⇒ x=3

   c) 10 x =100. 000 . 000
          x                    x    8
       10 =100.000.000 ⇒10 =10 ⇒ x=8

   d) 4 x=64

              64 2
              32 2
              16 2             2⋅2=4
               8 2             2⋅2=4
               4 2             2⋅2=4
               2 2
                                               x          x   3
               1                              4 =64⇒ 4 =4 ⇒ x=3
e) 2 x =16

             16 2
              8 2
              4 2
              2 2
              1

        x               x   4
       2 =16 ⇒ 2 =2 ⇒ x=4

    f) −6  x=−216

             216 2
             108 2
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                  3 3
                  1

                  x             3      3    3   3
       −6 =−216 ⇒−6 =−6 ⇒−6 =−6 ⇒ x=3

    g)  −3  x=81

              81 3
              27 3
                  9 3
                  3 3
                  1

       −3 x =81⇒−3x =−34 ⇒ x=4

    h) 3 x =81
         x              x   4
       3 =81⇒ 3 =3 ⇒ x=4

Potencias de operaciones
 4.- Calcula:
     a) 122 =32=9

   b) 102 −5 2=100−25=75

   c) 33−23=27−8=19
d) 7−54=24 =16

   e) 82 12 =641=65

   f) 2 5−23 =32−8=24

5.- Calcula utilizando dos procedimientos distintos:
    a)
     1)  3⋅2⋅4 2 =24 2 =576

                    2
    2)  3⋅2⋅4  =32⋅2 2⋅4 2 =9⋅4⋅16=576
   b)
                    3
    1) [ 2⋅3⋅−3  ] =  −18  3 =−183=−5 .832

                        3
    2) [ 2⋅3⋅ −3  ] =23⋅33⋅−3 3 =8⋅27⋅ −27 =−5 .832
   c)
    1)  6 :2 4 =34 =81

                4
    2)  6 :2  =64 :2 4=1 . 296 :16=81
   d)
                     3
    1) [  −15  :3 ] =−5 3=−53 =−125

                        3
     2) [  −15  :3 ] = −15 3 :33 =−153 : 33=−3 . 375: 27=−125

6.- Calcula:
    a)  3⋅2  4 =3 4⋅24 =81⋅16=1. 296

                                3
   b) [  −2 ⋅5 ] 3= −10  =−103 =−1 . 000

                            3
   c) [ −6  : 3 ] 3= −2  =−8

                    4
   d) [  −6  : 2 ] =−3  4 =3 4 =81

7.- Escribe las potencias como producto de potencias:
    a)  2⋅4 3=23⋅4 3

            6
   b)  7⋅6  =76⋅66

   c)  2⋅5⋅8  2 =2 2⋅52⋅82

                4
   d)  3⋅2⋅5  =3 4⋅2 4⋅5 4

                                    3    3
   e) [ −5 ⋅ −3 ⋅6 ] 3 =−5  ⋅−3  ⋅63

                            6
   f) [  −2 ⋅−5 ⋅ −8  ] =  −2 6⋅−5 6⋅−8  6=26⋅56⋅86

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Ejercicios resueltos: POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 1

  • 1. SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 1º ESO POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA EJERCICIOS RESUELTOS Potencias 1.- Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 2 3=8 b)  −2  4=24 =16 c) −24 =−16 d) 2 2 =4 5 e)  −2  =−25 =−32 f) −25 =−32 3 g)  −3  =−33 =−27 h) −33=−27 i) 34 =81 j) −3  2 =32 =9 k) −32 =−9 l) 35 =243 m) 53 =125 n)  −5 4 =54 =625 ñ) −5 4 =−625 o) 52 =25 5 p)  −5  =−55 =−3. 125 q) −55 −3 . 125 3 r) −10  =−10 3=−1 .000 s) −10 3=−1 . 000 t) 10 4=10 . 000
  • 2. u)  −10 2 =102 =100 v) −10 2 =−100 w) 105 =100 . 000 x)  −10 12=1012=1 . 000 .000 . 000 . 000 y) −10 8=−100.000.000 2.- Calcula la base de las siguientes potencias: a) x 2 =36 36 2 18 2 2⋅3=6 9 3 2⋅3=6 3 3 1 x 2 =36⇒ x 2 =62 ⇒ x =6 x 2 =36⇒ x 2 =−62 ⇒ x=−6 b) x 3 =−8 8 2 4 2 2 2 1 x 3=−8⇒ x 3=−23 ⇒ x 3=−23 ⇒ x =−2 c) x 5 =32 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 x 5=32 ⇒ x 5=25 ⇒ x=2
  • 3. d) x 2 =100 100 2 50 2 2⋅5=10 25 5 2⋅5=10 5 5 1 x 2 =100⇒ x 2=10 2 ⇒ x=10 x 2 =100⇒ x 2=−102 ⇒ x=−10 e) x 3 =27 27 3 9 3 3 3 1 x 3=27⇒ x 3=33 ⇒ x=3 f) x 5 =−32 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 x 5=−32 ⇒ x 5=−25 ⇒ x 5=−25 ⇒ x=−2 g) x 2 =49 49 7 7 7 1 2 2 2 x =49 ⇒ x =7 ⇒ x=7 2 2 2 x =49 ⇒ x =−7 ⇒ x=−7
  • 4. h) x 3 =−216 216 2 108 2 54 2 2⋅3=6 27 3 2⋅3=6 9 3 2⋅3=6 3 3 1 x 3=−216 ⇒ x 3=−63 ⇒ x 3=−63 ⇒ x=−6 3.- Determina el exponente de las siguientes potencias: a) 3 x =9 9 3 3 3 1 3 x =9 ⇒3 x =3 2 ⇒ x=2 b)  −5 x =−125 125 5 25 5 5 5 1 −5 x =−125 ⇒−5 x =−5 3 ⇒−5 x =−53 ⇒ x=3 c) 10 x =100. 000 . 000 x x 8 10 =100.000.000 ⇒10 =10 ⇒ x=8 d) 4 x=64 64 2 32 2 16 2 2⋅2=4 8 2 2⋅2=4 4 2 2⋅2=4 2 2 x x 3 1 4 =64⇒ 4 =4 ⇒ x=3
  • 5. e) 2 x =16 16 2 8 2 4 2 2 2 1 x x 4 2 =16 ⇒ 2 =2 ⇒ x=4 f) −6  x=−216 216 2 108 2 54 2 2⋅3=6 27 3 2⋅3=6 9 3 2⋅3=6 3 3 1 x 3 3 3 3 −6 =−216 ⇒−6 =−6 ⇒−6 =−6 ⇒ x=3 g)  −3  x=81 81 3 27 3 9 3 3 3 1 −3 x =81⇒−3x =−34 ⇒ x=4 h) 3 x =81 x x 4 3 =81⇒ 3 =3 ⇒ x=4 Potencias de operaciones 4.- Calcula: a) 122 =32=9 b) 102 −5 2=100−25=75 c) 33−23=27−8=19
  • 6. d) 7−54=24 =16 e) 82 12 =641=65 f) 2 5−23 =32−8=24 5.- Calcula utilizando dos procedimientos distintos: a) 1)  3⋅2⋅4 2 =24 2 =576 2 2)  3⋅2⋅4  =32⋅2 2⋅4 2 =9⋅4⋅16=576 b) 3 1) [ 2⋅3⋅−3  ] =  −18  3 =−183=−5 .832 3 2) [ 2⋅3⋅ −3  ] =23⋅33⋅−3 3 =8⋅27⋅ −27 =−5 .832 c) 1)  6 :2 4 =34 =81 4 2)  6 :2  =64 :2 4=1 . 296 :16=81 d) 3 1) [  −15  :3 ] =−5 3=−53 =−125 3 2) [  −15  :3 ] = −15 3 :33 =−153 : 33=−3 . 375: 27=−125 6.- Calcula: a)  3⋅2  4 =3 4⋅24 =81⋅16=1. 296 3 b) [  −2 ⋅5 ] 3= −10  =−103 =−1 . 000 3 c) [ −6  : 3 ] 3= −2  =−8 4 d) [  −6  : 2 ] =−3  4 =3 4 =81 7.- Escribe las potencias como producto de potencias: a)  2⋅4 3=23⋅4 3 6 b)  7⋅6  =76⋅66 c)  2⋅5⋅8  2 =2 2⋅52⋅82 4 d)  3⋅2⋅5  =3 4⋅2 4⋅5 4 3 3 e) [ −5 ⋅ −3 ⋅6 ] 3 =−5  ⋅−3  ⋅63 6 f) [  −2 ⋅−5 ⋅ −8  ] =  −2 6⋅−5 6⋅−8  6=26⋅56⋅86
  • 7. 8.- Calcula: a)  12 :3  3 =4 3=64 4 b)  8: 4  =2 4=16 c) −12:6  5= −2 5=−2 5=−32 d)  −21 :7 3 =−3  3=−33 =−27 9.- Calcula multiplicando potencias: a)  2⋅3⋅1  3 =23⋅33⋅13 =8⋅27⋅1=216 3 b) [  −2 ⋅3⋅4 ] = −2  3⋅33⋅4 3 =−23⋅33⋅43 =−8⋅27⋅64=−13. 824 6 c) [  −1 ⋅−2 ⋅1 ] = −1 6⋅−2  6⋅16 =16⋅26⋅1 6=1⋅64⋅1=64 5 d) [  −1 ⋅−1 ⋅−1  ] = −1  5⋅ −1 5⋅ −1 5= −1 ⋅−1 ⋅ −1 =−1 10.- Calcula dividiendo potencias: a)  8: 2  2 =82 :22 =64 : 4=16 3 b) [ 6 :  −3  ] =63 :  −3 3=216 : −27  =−8 5 c) [ −4  :2 ] = −4  5 :25 =−1. 024 :32=−32 6 d) [  −6  : −3  ] = −6 6 : −3  6 =66 :36 =46 . 656: 729=64 Operaciones con potencias de la misma base 11.- Calcula: a) 10=1 b) −10=1 c) 280 =1 d) −1250=1 e) 357.9870=1 f) −34.5150=1 12.- Calcula: a) 62⋅64=66 b) −30⋅−35=−35=−35 c) −49 :−46=−43=−43=−64
  • 8. d) −32 :−3=−31=−3 e) [−35 ] 4 =−320=320 f) 45 2=410 g) 57⋅54 =511 h) −2⋅−27=−28 =28 i) 4 5 : 45=40=1 j) −34 :−32=−32=32=9 k) [−50 ] 12=−50=1 l) 97 1 =97 m) 95⋅9 5=910 n) 97 :92 =95 ñ) −55 :−54=−51=−5 o) 107 2=1014=100.000.000.000.000 p) 102 7=1014=100.000.000.000.000 q) −62 ·−64=−66=6 6 r) 32⋅3 0⋅3⋅33=36 s) −52⋅−52⋅−5=−55=−55 t) −915 :−99 =−96=96 u) [[−12] 5 ] 7=−170=170=1 v) [[−102 ] 2 ] 2=−108=10 8=100.000.000 w) [[−103] 3] 3=−1027=−1027=1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 13.- Determina el valor de la letra x en los siguientes casos: a) x 3⋅x 2=35 ⇒ x=3 b) −24⋅−2 x =−27 ⇒ 4 x=7 ⇒ x =3 c) x 8 : x 3=55 ⇒ x=5 d) 4 7 : 4 x =43 ⇒ 7− x=3⇒ x=4
  • 9. e) [ x 2 ] 6=9 12 ⇒ x =9 f) [−3 x ] 3=−39 ⇒ x⋅3=9⇒ x=3 g) 74 · 7 x · 72=77 ⇒ 4x2=7⇒ x6=7 ⇒ x =1 h) [113 x ] 4=11 24 ⇒ 3· x · 4=24⇒ 12 · x =24 ⇒ x=2 i) 126 :12 x =1⇒ 126 :12 x =12 0 ⇒ 6−x =0 ⇒ x =6 j) 17 x 15 =1⇒17 x 15=17 0 ⇒ x ·15=0 ⇒ x =0 Cambio de base en potencias 14.- Expresa en base 2: a) 1285=27 5=235 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 b) 324 = 25 4=2 20 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 c) 83=23  3=29 8 2 4 2 2 2 1
  • 10. d) 1.0243=210 3=2 30 1.024 2 512 2 256 2 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 15.- Expresa en base 3: a) 812=34 2=38 81 3 27 3 9 3 3 3 1 b) 27 7=3 37=3 21 27 3 9 3 3 3 1 c) 2433=35  3 =315 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1
  • 11. d) 2.187 2=372 =314 2.187 3 729 3 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 16.- Expresa en base 5: a) 1253=53 3=59 125 5 25 5 5 5 1 b) 257 =52 7=514 25 5 5 5 1 c) 62510=54 10=5 40 625 5 125 5 25 5 5 5 1 d) 3.1257=557=535 3.125 5 625 5 125 5 25 5 5 5 1
  • 12. 17.- Resuelve las siguientes operaciones con potencias: a) 162 · 25=2 42 · 25=28 · 25 =213 b) 27 2 · 33=33 2 · 33=36 ·33 =39 c) 52 · 252=5 2 ·52 2=5 2 · 54=56 d) 165 : 23=2 4 5 :23=220 :23 =217 e) 812 :32=34 2 : 32=38 :32=3 6 f) 2 3 · 162 · 32=23 ·2 4 2 · 25=23 · 28 · 25=216 g) 25 2 · 1252 :5 2=5 22 ·53 2 :52 =54 ·56 :52=510 :52=58 h) 9 4 :32 · 272 =3 24 :32 ·33 2=38 : 32 · 36=36 · 36=312 18.- Resuelve las siguientes operaciones con potencias: a) 9 ·−33 ·−3=32 · −33 ·−3=−32 · −33 ·−3=−36=36 b) −52 ·125=5 2 · 53=55 c) −42 · 4 · 4 3=42 · 4 · 43=46 d) −81:−33=−34 :−33 =3 e) −343:−49=−73 :−72 =7 f) −273 ·−32 =[−33 ]3 · −32=−39 ·−32=−311=−311 Números cuadrados perfectos y raíz cuadrada exacta 19.- Calcula los números cuadrados perfectos comprendidos entre 100 y 300. 102 =10· 10=100 112=11 · 11=121 2 2 12 =12· 12=144 13 =13 · 13=169 2 2 14 =14 ·14=196 15 =15 · 15=225 2 2 16 =16· 16=256 17 =17· 17=289 20.- Comprueba si los siguientes números son cuadrados perfectos: a) 36 62 =36 ⇒36, número cuadrado perfecto b) 50 72 =495064=82 ⇒50, número no cuadrado perfecto
  • 13. c) 1.296 362 =1.296⇒ 1.296, número cuadrado perfecto d) 136 112=121136144=122 ⇒136, número no cuadrado perfecto 21.- Determina la cifra de las unidades en los siguientes cuadrados perfectos: a) 3882 82=64⇒ cifra de las unidades=4 b) 253 2 32=9⇒ cifra de las unidades=9 c) 2.550 2 0 2=0 ⇒ cifra de las unidades=0 d) 999.9992 92 =81⇒ cifra de las unidades=1 22.- La potencia x 2 representa a los números cuadrados perfectos. Si un número cuadrado perfecto tiene 1 como cifra de unidades, ¿qué cifras puede tener como unidades la base de la potencia x 2 ? U U U U U 0 2=0 12 =1 2 2=4 32 =9 4 2=16 U U U U U 52 =25 62 =36 72 =49 82 =64 92 =81 23.- Un número cuadrado perfecto tiene 2 como cifra de las unidades. ¿Verdadero o falso?. Unidades de un número cuadrado perfecto=0, 1, 4, 5, 6 ∨ 9 ⇒ Falso Números no cuadrados perfectos y raíz cuadrada entera 24.- Utilizando dos números cuadrados perfectos consecutivos, calcula la raíz cuadrada entera y el resto en los siguientes casos: a) 15 32=9 15 16=4 2  9  15 16 3 154  15=3 r =15−3 2=15−9=6
  • 14. b) 28 52=25 28 36=6 2  25 28 36 5  286  28=5 r =28−52=28−25=3 c) 70 82=64 70 81=92  64  70 81 8 709  70=8 r =70−82=70−64=6 d) 258 Calculadora  258=16,062378 162 =256 258 289=172  256 258  289 16  25817  258=16 r =258−162=258−256=2 e)748 Calculadora 748=27,349589 27 2=729 748 784=282  729  748 784 27 74828  748=27 r =748−272 =748−729=19 f) 3.342 Calculadora  3.342=57,810034 572=3.249 3.342 3.364=582  3.249 3.342 3.364 57 3.342 58  3.342=57 r =3.342−572=3.342−3.249=93
  • 15. 25.- Determina el número de cifras que tienen las raíces cuadradas de los siguientes números: a) 7 7 ⇒  7 , 1 cifra b) 58 58 ⇒  58 ,1 cifra c) 349 3 49 ⇒  349 , 2 cifras d) 4.555 45 55 ⇒  4.555 , 2 cifras e) 98.725 9 87 55 ⇒  98.725 , 3 cifras f) 232.617 23 26 17 ⇒  232.617 , 3 cifras g) 7.009.560.998 70 09 56 09 98 ⇒  7.009.560.998 , 5cifras h) 35.000.768.664.006.897 3 50 00 76 86 64 00 68 97 ⇒  35.000.768.664.006.897 , 9 cifras 26.- Calcula, por aproximaciones, la raíz cuadrada de los siguientes números: a) 18 1º.- 18 ⇒  18 ,1 cifra 2º.- 12=118 2 2 =418 2 3 =918 4 2=1618 52=2518  18=4
  • 16. b) 118 1º.- 1 18 ⇒  118 , 2 cifras 2º- 102 =100118 20 2=400118 3º.- 112=121118  118=10 Comprobación con la calculadora c) 5.325 1º.- 53 25 ⇒  5.325 , 2 cifras 2º- 102 =1005.325 20 2=4005.325 30 2=9005.325 2 40 =1.6005.325 2 50 =2.5005.325 2 60 =3.6005.325 70 2=4.9005.325 2 80 =6.4005.325 70 5.32580 3º.- 712 =5.0415.325 2 72 =5.1845.325 732 =5.3295.325  5.325=72 Comprobación con la calculadora d) 43.359 1º.- 4 33 59 ⇒  43.359 , 3 cifras
  • 17. 2º.- 200 2=40.00043.359 3002 =90.00043.359 200 43.359300 3º.- 210 2=44.10043.359 4º.- 201 2=40.40143.359 2 202 =40.80443.359 203 2=41.20943.359 204 2=41.61643.359 2 205 =42.02543.359 206 2=42.43643.359 207 2=42.84943.359 208 2=43.26443.359 209 2=43.68143.359  43.359=208 Comprobación con la calculadora e) 758.857 1º.- 75 88 57 ⇒  758.857 , 3 cifras 2º.- 8002 =640.000758.857 900 2=810.000758.857 800  758.857900 3º.- 8102 =656.100758.857 8202 =672.400758.857 8302 =688.900758.857
  • 18. 8402 =705.600758.857 8502 =722.500758.857 8602 =739.600758.857 8702 =756.900758.857 8802 =774.400758.857 870  758.857880 4º.- 8712=758.641758.857 8722=760.384758.857  758.857=871 Comprobación con la calculadora f) 690 1º.- 6 90 ⇒  690 , 2 cifras 2º.- 20 2=400690 30 2=900690 20 69030 3º.- 21 2=441690 2 22 =484690 23 2=529690 2 24 =576690 25 2=625690 2 26 =676690 27 2=729690  690=26 Comprobación con la calculadora
  • 19. g) 2.222 1º.- 22 22 ⇒  2.222 , 2 cifras 2º.- 40 2=1.6002.222 2 50 =2.5002.222 40 2.22250 3º.- 2 45 =2.0252.222 46 2=2.1162.222 2 47 =2.2092.222 2 48 =2.3042.222  2.222=47 Comprobación con la calculadora h) 25.025 1º.- 2 50 25 ⇒  25.025 , 3 cifras 2º.- 2 100 =10.00025.025 2 200 =40.00025.025 100  25.025200 3º.- 2 130 =16.90025.025 2 140 =19.60025.025 2 150 =22.50025.025 1602 =25.60025.025 150  25.025160 4º.- 2 151 =22.80125.025 2 152 =23.10425.025
  • 20. 1532=23.40925.025 2 154 =23.71625.025 1552=24.02525.025 2 156 =24.33625.025 2 157 =24.64925.025 2 158 =24.96425.025 1592=25.28125.025  25.025=158 Comprobación con la calculadora 27.- Estima entre que centenas se encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números: a) 12.500 1º.- 1 25 00 ⇒  12.500 , 3 cifras 2º.- 2 100 =10.00012.500 200 2=40.00012.500 100  12.500200 b) 52.000 1º.- 5 20 00 ⇒  52.000 , 3 cifras 2º.- 2 100 =10.00052.000 200 2=40.00052.000 2 300 =90.00052.000 200 52.000300 c) 95.600 1º.- 9 56 00 ⇒  95.600 , 3 cifras 2º.- 1002 =10.00095.600
  • 21. 200 2=40.00095.600 2 300 =90.00095.600 400 2=160.00095.600 300 95.600400 d) 120.200 1º.- 12 02 00 ⇒  120.200 , 3 cifras 2º.- 2 100 =10.000120.200 200 2=40.000120.200 2 300 =90.000120.200 2 400 =160.000120.200 300 120.200400 28.- Calcula el término desconocido x en los siguientes casos: a)  x=11 ; r=14 x=11 214=12114=135 b)  79=8 ; r =x r =79−82=79−64=15 c)  x=123 ; r=11 x=123 211=15.12911=15.140 d)  12.333=111 ; r= x 2 r =12.333−111 =12.333−12.321=12 Algoritmo de la raíz cuadrada 29.- Calcula, aplicando el algoritmo de la raíz cuadrada: a)  8 2 8 –4  8=2 ; r =4 r= 4 Comprobación: 2 24=44=8
  • 22. b)  520 22 5 20 –4 42 · 2 = 84 120 – 84  520=22 ; r =36 2 r= 36 Comprobación: 22 36=48436=520 c)  6.321 79 63 21 – 49 149 · 9 = 1.341 1421 – 1341  6.321=79 r =100 2 r= 100 Comprobación: 79 =6.241100=6.341 d)  15.361 123 1 53 61 –1 22 · 2 = 44 053 – 44 243 · 3 = 729 0961 – 729  15.361=123 ; r =232 r= 232 Comprobación: 1232=15.129232=15.361 e)  375.484 612 37 54 84 – 36 121 · 1 = 121 0154 – 121 1222 · 2 = 2.444 03384  375.484=612 ; r =940 – 2444 Comprobación: 2 r= 0940 612 940=374.544940=375.484
  • 23. f)  324 18 3 24 –1 28 · 8 = 224 224 – 224  324=18 ; r =0 ⇒raìz cuadrada exacta r= 000 Comprobación: 182=324 g)  7.275 85 72 75 – 64 165 · 5 = 825 0875 – 825  7.275=85 ; r=50 2 r= 050 Comprobación: 85 =7.22550=7.275 h)  83.083 288 8 30 83 –4 48 · 8 = 384 430 – 384 568 · 8 = 4.544 04683  83.083=288 ; r=139 – 4544 Comprobación: r= 0139 288 2139=82.944139=83.083 i)  715.517 845 71 55 17 – 64 164 · 4 = 656 0755 – 656 1685 · 5 = 8.425 09917  715.517=845 ; r=1.492 – 8425 Comprobación: r= 1492 84521.492=714.0251.492=715.517
  • 24. j)  468.864 684 46 88 64 – 36 128 · 8 = 1.024 1088 – 1024 1364 · 4 = 5.456 006464  468.864=684 ; r=1.008 – 5456 Comprobación: r= 1008 6842 1.008=467.8561.008=468.864 Resolución de problemas 30.- En una clase de 1º de ESO hay 5 filas de mesas y en cada fila hay 5 mesas. ¿Cuántas mesas hay en la clase? 5 filas ·5 mesas=52 mesas=25 mesas 31.- Un teatro tiene 25 filas de butacas y en cada fila hay 25 butacas. ¿Cuántas butacas tiene el teatro? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM 25 filas · 25 butacas=252 butacas=625 butacas 32.- Un barco ha descargado en el puerto de Cádiz 20 contenedores, dentro de cada contenedor hay 20 cajones de madera, en cada cajón hay 20 cajas de cartón y cada caja contiene 20 latas de atún en aceite de oliva. ¿Cuántas latas de atún se han descargado? 20 contenedores · 20 cajones· 20 cajas· 20 latas=204 latas de atún=160.000 latas de atún 33.- Un paquete tiene 12 cajas. Cada caja tiene 12 estuches. Cada estuche, 12 rotuladores. Escribe en forma de potencia el número de rotuladores y halla el resultado. → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM 12 cajas ·12 estuches · 12 rotuladores=12 3 rotuladores=1.728 rotuladores 34.- Tenemos 5 cajas. Cada caja contiene 5 montones de 5 billetes de 5 €. Escribe en forma de potencia el número de billetes y el número de euros que hay en las cinco cajas. → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM 5 cajas ·5 montones · 5 billetes=53 billetes=125billetes 53 billetes ·5 € =5 4 € =625 € 35.- Ana cuenta una noticia a 5 personas. A la hora siguiente, cada una de ellas se la cuenta a otras 5 y así sucesivamente. ¿Cuánto tardan en conocerla 100.000 personas? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM 0 h  50=1 persona
  • 25. 1 h 5051=15=6 personas 0 1 2 2 h 5 5 5 =625=31 personas 3 h 5051 5253=31125=156 personas 0 1 2 3 4 4 h5 5 5 5 5 =156625=781 personas 0 1 2 3 4 5 5 h 5 5 5 5 5 5 =7813.125=3.906 personas 0 1 2 3 4 5 6 6 h 5 5 5 5 5 5 5 =3.90615.625=19.531 personas 7 h 505 1525 35455 5657=19.53178.125=97.656 personas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 h 5 5 5 5 5 5 5 5 5 =97.656390.625=488.281 personas 8 horas tardan en conocerla 100.000 personas 36.- Un cierto tipo de bacterias se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos. Calcula cuántas bacterias se han generado en dos horas y media. → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM 0 min 2 0=1 bacteria 1 5 min 2 =2 bacterias 10 min 2 2=4 bacterias 3 15 min 2 =8 bacterias 4 20 min 2 =16 bacterias ·············································· 50: 5 10 50 min 2 =2 =1.024 bacterias ······························································· 100: 5 20 100 min 2 =2 =1.048.576 bacterias ········································································· 2,5 h=150 min 2150 :5 =230=1.073.741.824 bacterias 37.- Calcula el volumen de un cubo de 5 cm de arista. Volumen del cubo=5 cm ·5 cm ·5 cm=53 cm3=125 cm 3 5 cm
  • 26. 38.- En un contenedor cúbico de 1,5 m de arista se introducen cubos de 1 dm3 de arista, hasta llenarlo completamente. ¿Cuántos decímetros cúbicos hay en el contenedor? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM 1,5 m Arista 1,5 m ·10=15 dm Volumen del contenedor 15 dm· 15 dm·15 dm=153 dm 3=3.375 dm 3 39.- Calcula el área y el perímetro de un cuadrado de 7 cm de lado. 7 cm Área=lado ·lado=l ·l=l 2=7 cm2=49 cm2 Perímetro=l lll=4 l=4 · 7 cm=28 cm 40.- Un campo cuadrangular tiene 10.000 m2 de superficie. a) ¿Cuánto mide su lado? b) ¿Cuál es su perímetro? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM Área=l 2 10.000 m2 l 2= A⇒  l 2 = A⇒ l= 10.000 m 2=100 m Perímetro=4 ·l =4 ·100 m=400 m 41.- Se desea vallar un campo cuadrangular de 256 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de valla se necesitan? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM l= A= 256 m2=16 m 256 m2 P=4 ·l=4 ·16 m=64 m de valla se necesitan 42.- Representa, gráficamente, el número cuadrado perfecto 16. 4 4
  • 27. 43.- Los caramelos de un montón se han dispuesto en 7 filas y en 7 columnas, y sobran 15 caramelos. ¿Cuántos había en el montón? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM 7 filas · 7 columnas=72 caramelos=49 caramelos 49 caramelos15 caramelos=64 caramelos 44.- Con 81 monedas de 5 céntimos, ¿se puede formar un cuadrado, colocándolas en filas y columnas?  81=9 ; r=0⇒ Se puede formar un cuadrado 45.- Con 50 monedas de 5 céntimos, ¿se puede formar un cuadrado, colocándolas en filas y columnas? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM  50=7 ; r =1⇒ No se puede formar un cuadrado 46.- Calcula la raíz cuadrada entera del número que representa la figura. Calcula el resto. Calcula cuanto falta para que sea cuadrado perfecto. 2 Nº de fichas cuadradas=6 9=369=45  45=6 ; r =45−6 2=45−36=9 2 7 −45=49−45=4 fichas cuadradas faltan 47.- ¿Cuántas fichas cuadradas, como mínimo, hay que añadir a la figura para formar un cuadrado? Nº de fichas cuadradas=526=256=31 Siguiente cuadrado perfecto 6 2=36 36−31=5 fichas cuadradas hay que añadir
  • 28. 48.- Observa la figura y determina la raíz cuadrada entera y el resto del número 56.  56=7 ; r =56−72=56−49=7 49.- Tenemos 144 fichas cuadradas y queremos colocarlas de forma ordenada para que formen un cuadrado lo más grande posible. a) Calcula el número de fichas que habrá que colocar en cada lado del cuadrado.  144=12 fichas en cada lado b) Calcula el número de fichas necesarias para formar otro cuadrado con 3 fichas más de lado. 123=15 fichas de lado 152 =225 fichas serán necesarias 50.- Si queremos formar un cuadrado con 625 fichas cuadradas. ¿Cuántas fichas colocaremos en cada lado?. ¿Sobrará alguna ficha?  625=25 fichas en cada lado r =625−252=625−625=0 fichas sobran 51.- Comprueba si el número 676 tiene raíz cuadrada exacta.  676=26 ; r =0 ⇒ raíz cuadrada exacta 52.- Las fichas de la figura forman un cuadrado perfecto. a) Calcula su raíz.  64=8 b) Calcula el número de fichas que habrá que añadir para que la raíz cuadrada exacta sea 2 unidades mayor que la anterior. 2  x=82 ⇒  x=10⇒  x =10 2 ⇒ x=100 100−64=36 fichas habrá que añadir
  • 29. 53.- Observa la figura: ¿Cuántos fichas cuadradas hay que añadir para que el cuadrado tenga 12 fichas de lado? 112=121 fichas cuadradas 2 12 =144 fichas cuadradas 144−121=23 fichas cuadradas habrá que añadir 54.- La raíz cuadrada exacta de un número es 85. ¿Cuántas unidades habrá que sumar a dicho número para que la raíz cuadrada del resultado sea exacta y de una unidad mayor?  x=85 ⇒ x=852 ⇒ x=7.225  y=851=86⇒ y=86 2=7.396 7.396−7.225=171 unidades hay que añadir 55.- La cumbre más elevada de España es el Teide. Averigua su altitud con estos datos: · Su raíz cuadrada entera es igual a 60. · Si se le sumara 3, sería un cuadrado perfecto. → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM  x=60 ; raíz entera⇒ x=60 2r ⇒ Cuadrado perfecto siguiente=612 x3=612 ⇒ x 3=3.721 ⇒ x =3.718 m 56.- Comprueba: La suma de n números impares consecutivos es igual a n2. 1=1=12 13=4=2 2
  • 30. 135=9=32 1357=16=42 13579=25=5 2 ·········································· 13579=n 2 n 57.- El doble del cuadrado de un número es igual a 32. Calcula dicho número. 2 · x =32⇒ x =16 ⇒  x = 16 ⇒ x =4 2 2 2 58.- El cuadrado del triple de un número es igual a 75. Calcula dicho número. 3· x 2=225⇒  3 · x2=  225⇒ 3 · x =15⇒ x=5 59.- Se tienen dos cuadrados, tales que uno de ellos tiene por lado el doble que el otro. ¿Cuántas veces es mayor la superficie de uno respecto del otro? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM 2·l l A1=l · l=l 2 A2 = 2· l ·2 · l=2· l · 2 · l=4· l 2 A2 4 · l 2 = 2 =4 ⇒ A2 cuatro veces mayor que A1 A1 l 60.- El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Su superficie es de 512 m2. ¿Cúal es el perímetro del terreno? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM l 2·l 2 · l· l=512 m2 ⇒ 2· l · l=512 m2 ⇒ 2· l 2=512 m2 ⇒ l 2=256 m2 ⇒ ⇒  l 2 = 256 m2 ⇒l=16 m P=2· l2· 2 ·l =2 · l4 · l=6 ·l=6· 16 m=96 m
  • 31. 61.- La raíz cuadrada entera de un número es 15 y su resto es el menor posible. ¿Cuál es el número? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM {r , menor posible⇒x=15}⇒ x=15 1=2251=226 r =1 2 62.- La raíz cuadrada entera de un número es igual a 32. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener el resto? → De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM  x ; ¿ r , mayor posible ? 322 =1.024 x1.089=33 2 ⇒ r , mayor posible=1.088−1.024=64 63.- Observa la figura: ¿Cuántas fichas cuadradas habrá que añadir al cuadrado para obtener otro cuadrado cuyo lado tenga 2 unidades más que el primero? 64 fichas cuadradas ⇒ 8 fichas cuadradas de lado 82=10 fichas cuadradas de lado ⇒ 102 =100 fichas cuadradas 100−64=36 fichas cuadradas habrá que añadir