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SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA                 MATEMÁTICAS 2º ESO
http://iesgrazalema.blogspot.com

                                 NÚMEROS ENTEROS

                             EJERCICIOS RESUELTOS

 1.- Calcula:
     a) ∣2−3∣

       ∣2−3∣=∣2−3∣=∣−1∣=1

    b) ∣−5−1∣

       ∣−5−1∣=∣5−1∣=∣4∣=4

    c) ∣−44∣

       ∣−44∣=∣0∣=0

    d) ∣6−9∣

       ∣6−9∣=∣6−9∣=∣−3∣=3

    e) ∣2 ·−5∣

       ∣2 ·−5∣=∣−10∣=10

    f) ∣−4 ·−5∣

       ∣−4 ·−5∣=∣20∣=20

    g) ∣2 · 3∣

       ∣2 · 3∣=∣6∣=6

    h) ∣−4 · 3∣

       ∣−4 · 3∣=∣−12∣=12

    i) ∣2 ·−1∣

       ∣2 ·−1∣=∣−2∣=2

    j) ∣−4 ·−1∣

       ∣−4 ·−1∣=∣4∣=4

    k) ∣−3· 8∣

       ∣−3· 8∣=∣−24∣=24
l) −9∣−13∣

   −9∣−13∣=−913=4

m) ∣−25 :5∣

   ∣−25 :5∣=∣−4∣=4

n) ∣−30∣: −10

   ∣−30∣:−10=30 :−10=−3

ñ) −∣5−11∣

   −∣5−11∣=−∣−6∣=−6

o) −2 ·∣−7∣

   −2 ·∣−7∣=−2 · 7=−14

p) ∣18 :−9∣

   ∣18 :−9∣=∣−2∣=2

q) −2 ·∣−6∣

   −2 ·∣−6∣=−2 ·6=−12

r) ∣−8∣· −4

   ∣−8∣· −4=8· −4=−32

s) 2 ·∣−9∣

   2 ·∣−9∣=2 ·9=18

t) ∣−24 :6∣

   ∣−24 :6∣=∣−4∣=4

u) ∣3−5∣∣−104∣

   ∣3−5∣∣−104∣=∣−2∣∣−6∣=26=8

v) ∣−3∣5−∣−4∣

   ∣−3∣5−∣−4∣=35−4=8−4=4

w) ∣10−172∣

   ∣10−172∣=∣12−17∣=∣−5∣=5
2.- Determina el valor de los números desconocidos representados por letras:
    a) ∣6∣=∣x∣= y


                        {
       ∣6∣=∣x∣= y ⇒ x =−6
                     y=6        }
   b) ∣x∣=∣y∣=4


                    {
       ∣x∣=∣y∣=4 ⇒ x=4
                   y=−4     }
   c) op 4 x=−3

         op 4 x=−3
           −4x=3
                 x=34
                 x=7

   d) −2 · x=∣−10∣

         −2 · x=∣−10∣
         −2 x=10
                 10
              x=
                 −2
              x=−5

   e) ∣−7∣−x=−1

          ∣−7∣−x =−1
            7−x=−1
              −x=−1−7
              − x=−8
                   −8
                x=
                   −1
                x=8

   f) x : op −6=4

         x :op −6=4
                x :6=4
                   x=4 ·6
                   x=24

   g) ∣−6∣x=0

          ∣−6∣ x=0
            6x=0
                x=0−6
                x =−6
h) −2∣x∣=5

      −2∣x∣=5
         ∣x∣=52
         ∣x∣=7
           x =±7

i) 3− x=∣op −8∣

          3− x=∣op −8∣
          3−x=∣8∣
          3−x =8
           − x=8−3
           −x=5
                 5
             x=
                −1
             x =−5

j) −9op  x =∣−4∣

   −9op  x=∣−4∣
      op x=49
      op  x =13
            x=−13

k) ∣5 x∣=0

     ∣5x∣=0
      5x =0
        x =0−5
         x=−5

l) ∣−4∣−x =0

     ∣−4∣−x=0
       4− x=0
         −x=0−4
         − x=−4
              −4
           x=
              −1
           x =4

m) ∣−3− x∣=0

     ∣−3−x∣=0
      −3−x=0
        −x=03
        −x=3
             3
         x=
            −1
          x=−3
n) ∣−6∣x=0

          ∣−6∣x=0
            6 x=0
               x=0−6
               x=−6

3.- Encuentra los números enteros que, en cada caso, cumplen las siguientes condiciones:
    a) Su valor absoluto es menor que 3.

       ∣x∣3⇔−3x3⇒ x= −2, −1, 0, 1, 2

   b) Su valor absoluto es menor o igual que 3.

       ∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

   c) Su valor absoluto es mayor que 3.

       ∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−7, −6, −5, −4, 4, 5, 6, 7

   d) Su valor absoluto es mayor o igual que 3.

       ∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−7, −6, −5, −4, −3, 3, 4, 5, 6, 7

   e) Negativo y con valor absoluto menor que 9.


       {∣x∣9⇔−9x 9⇒ x=−8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,x0}⇒
                                                                              7, 8
       ⇒ x=−8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1

   f) Su opuesto es un número negativo mayor que – 3.


       {op  x−3 ⇔ x3⇒ x=−5, −4, −3,op  x 0 ⇔ x0}⇒ x=1, 2
                                         −2, −1, 0, 1, 2

   g) Su valor absoluto es 12 y está comprendido entre – 14 y – 10.


       {−14x−10 ⇒ x=−13, −12, −11}⇒ x =−12
                             ∣x∣=12


   h) Son dos números negativos consecutivos y el valor absoluto de su suma es 13.

       1er número x
       2º número x1

       {∣x x1∣=13⇒∣x x1∣=13 ⇒∣2 x1∣=13}⇒ 2 x1=−13⇒ 2 x =−13−1⇒
                                          x0

                     −14
       ⇒ 2 x=−14⇒ x=     ⇒ x=−7
                      2
       1er número x=−7
       2º número x1=−71=−6
4.- Plantea y resuelve las siguientes cuestiones:
    a) ¿Cuál es el valor absoluto de la suma de dos números opuestos?

       ∣x op  x∣=∣x−x ∣=∣x −x∣=∣0∣=0

   b) ¿A qué es igual la suma de los valores absolutos de dos números enteros opuestos?

       ∣x∣∣op  x ∣=∣x∣∣−x∣=x x=2 x

   c) ¿Cuál es el resultado de dividir un número negativo entre su valor absoluto?

               x   x
       x0⇒      =   =−1
              ∣x∣ −x

   d) ¿Qué se obtiene al dividir un número positivo entre el valor absoluto de su opuesto?

                 x      x  x
       x0⇒          =    = =1
               op x ∣−x∣ x

   e) ¿Qué relación hay entre un número positivo y el valor absoluto de la diferencia entre él y su
      opuesto?

                  x          x       x     x    x 1
       x0⇒              =        =     =     = =
              ∣x−op x ∣ ∣x−−x∣ ∣xx∣ ∣2 x∣ 2 x 2

   f) ¿Qué relación hay entre un número negativo y el valor absoluto de la diferencia entre él y su
      opuesto?

                 x           x        x     x    x    1    1
       x0⇒              =        =      =     =    =   =-
              ∣x−op x ∣ ∣x−−x∣ ∣x x∣ ∣2 x∣ −2 x −2    2

5.- Escribe las barras de valor absoluto donde corresponda para que estas igualdades sean ciertas:
    a) −6−4:−2=4

       ∣−6∣−4 :∣−2∣=6−4 : 2=6−2=4

   b) −6−4:−2=8

       ∣−6∣−4 :−2=6−4 :−2=62=8

   c) −6−4:−2=−5

       ∣−6−4∣:−2=∣−10∣:−2=10 :−2=−5

   d) −6−4:−2=−4

       −6−∣4∣:−2=−6−4 :−2=−62=−4
6.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ...
     a) 57=12                                                         57=12
    b) 14−10=14−10=4                                              14−10=4
    c) −10−3=−13                                                          −10−3=−13
    d) 15−22=15−22=−7                                              15−22=−7
    e) 12−5=7                                                           12−5=7
    f) −2−−10=−210=8                                                −210=8
    g) 3−15=−12                                                          3−15=−12
    h) −12−−7=−127=−5                                                −127=−5
    i) −211=9                                                           −211=9
    j) 15−−3=153=18                                               153=18
    k) −2110=−11                                                         −2110=−11
    l) 2−−11=211=13                                               211=13
    m) −15−7=−22                                                          −15−7=−22
    n) −10−7=−10−7=−17                                               −10−7=−17
    ñ) 101=11                                                          101=11
    o) −5−12=−5−12=−17                                               −5−12=−17
    p) −12−−10=−1210=−2                                              −1210=−2
    q) −7−−15=−715=8                                                −715=8

7.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ...
    a) 10−3−−5

        10−3−−5=10−35=15−3=12

    b) −−12−−15−7

        −−12−−15−7=1215−7=27−7=20

    c) 10−2−−9

        10−2−−9=10−29=19−2=17

    d) −12−−1015

        −12−−1015=−121015=25−12=13

    e) 4−52

        4−52=4−52=6−5=1

    f) 8−3−−2

        8−3−−2=8−32=10−3=7
g) −−12−−8

  −−12−−8=128=20

h) −7153

  −7153=−7153=18−7=11

i) 25−4−6

  25−4−6=25−4−6=25−10=15

j) −4−26

  −4−26=−4−26=6−6=0

k) 9−18−2

  9−18−2=9−18−2=9−20=−11

l) −−4−3−8

  −−4−3−8=4−3−8=4−11=−7

m) −2−−10−12−2

  −2−−10−12−2=−210−12−2=10−16=−6

n) −12−−10−512

  −12−−10−512=−1210−512=22−17=5

ñ) −10−5−−3−2

  −10−5−−3−2=−10−53−2=3−17=−14

o) 27−17−5−−25

  27−17−5−−25=27−17−525=52−22=30

p) −16−34−18−8

  −16−34−18−8=−16−34−18−8=−76

q) −−15−17−8−−10−163

  −−15−17−8−−10−163=15−17−810−163=28−41=−13
8.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ...
    a) 3−−235

        1
            3−−235=3−15=3−15=8−1=7

        2
            3−−235=32−35=10−3=7

    b) 41− 4−310

        1
            41− 4−310=5−110=5−110=15−1=14

        2
            41− 4−310=41−4310=18−4=14

    c) −10−−3−2−5−7−2

        1
            −10−−3−2−5−7−2=−10−−5−−2−2=−1052−2=7−12=−5

        2
            −10−−3−2−5−7−2=−1032−57−2=12−17=−5

    d) 8−159−12

        1
            8−159−12=8−24−12=8−12=8−12=−4

        2
            8−159−12=8−15−912=20−24=−4

    e) −−1−2−3−5−5468

        1
            −−1−2−3−5−5468=−−6− 23−5=−−6−18=6−18=−12

        2
            −−1−2−3−5−5468=123−55−4−6−8=11−23=−12

    f) −1−9−5−4688−7

        1
            −1−9−5−4688−7=−10−19−41=−10−151 =
            =−10−151=1−25=−24

        2
            −1−9−5−4688−7=−1−9−54−6−88−7=12−36=−24
g) 32−3−1−5−7

        1
            32−3−1−5−7=3−1−1−12=3−1−−11=3−111=14−1=13

        2
            32−3−1−5−7=32−3−157=17−4=13

    h) −1−−12−54

        1
            −1−−12−54=−1−6−6=−1−0=−1−0=−1

        2
            −1−−12−54=−11−25−4=6−7=−1

    i) 35−9−7−5−7

        1
            35−9−7−5−7=3−4−7−12=3−4−−5=3−45=8−4=4

        2
            35−9−7−5−7=35−9−757=20−16=4

    j) 4−5−73−−92−1

        1
            4−5−73−−92−1=43−12−2−10=4−9−−8=4−98 =
            = 12−9=3

        2
            4−5−73−−92−1=4−5−739−21=17−14=3

9.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ...
    a) −12−[−13−5−−4]

        1
            −12−[−13−5−−4]=−12−−13−54=−12−4−18=−12−−14 =
            =−1214=2

        2
            −12−[−13−5−−4]=−12135−4=−12135−4=18−16=2

    b) 8−3−[−9−6]

        1
            8−3−[−9−6]=8−3−−9−6=5−−15=515=20

        2
            8−3−[−9−6]=8−3−−9−6=8−396=23−3=20
c) [2−3−−25]−4

  1
      [2−3−−25]−4=[−1−3]−4=−1−3−4=−4−4=−4−4=−8

  2
      [2−3−−25]−4=2−3−−25−4=2−32−5−4=4−12=−8

d) −12[2−−25]−3

  1
      −12[2−−25]−3=−12[2−3]−3=−122−3−3=−12−1−3 =
      =−12−1−3=−16

  2
      −12[2−−25]−3=−122−−25−3=−1222−5−3=4−20=−16

e) 3−[−2−5−3]5

  1
      3−[−2−5−3]5=3−[−2−8]5=3−−2−85=3−−105 =
      = 3105=18

  2
      3−[−2−5−3]5=32−−5−35=32535=18

f) −[−5−5−2]−7

  1
      −[−5−5−2]−7=−[−5−3]−7=−−5−3−7=−−8−7=8−7=1

  2
      −[−5−5−2]−7=55−2−7=55−2−7=10−9=1

g) [−5−310]−[− 243−5]

  1
      [−5−310 ]−[− 243−5]=[−5−13]−[−6−2]=
      =−5−13−−6−2=−18−−8=−188=−10

  2
      [−5−310 ]−[− 243−5]=−5−31024−3−5 =
      =−5−3−1024−35=11−21=−10

h) −−2−5−[−−53−5−7]−2

  1
      −−2−5−[−−53−5−7]−2=−−7−[−−2−12]−2 =
      =−−7−2−12−2=−−7−−10−2=710−2=17−2=15
2
      −−2−5−[−−53−5−7]−2=−−2−5−53−−5−7−2 =
      = 25−5357−2=22−7=15

i) −[−53−2−7]−3−25

  1
      −[−53−2−7]−3−25=−[−8−9]−3−25 =
      =−−8−9−3−25=−−17−15=17−15=22−1=21

  2
      −[−53−2−7]−3−25=53−−2−7−3−25 =
      = 5327−325=24−3=21

j) 3−[ 47−9−−193−10]−11−8−72

  1
      3−[ 47−9−−193−10]−11−8−72 =
      = 3−[11−9−3−29]−11−152=3−[2−−26]−11−152 =
      = 3−226−11−152=3−28−−42=3−2842=9−28=−19

  2
      3−[ 47−9−−193−10]−11−8−72 =
      = 3−47−9−193−10−11−8−72 =
      = 3−4−79−193−10−11872=32−51=−19

k) −8[−3−4− 932−1]−5

  1
      −8[−3−4− 932−1]−5=−8[−3− 4−122−1]−5 =
      =−8[−3−4−122−1]−5=−8[−3−6−12−1]−5 =
      =−8[−3−−6−1]−5=−8−36−1−5=−86−4−5 =
      =−82−5=−82−5=2−13=−11

  2
      −8[−3−4− 932−1]−5=−8−3−4−932−1−5 =
      =−8−3−493−2−1−5=−8−3−493−2−1−5=12−23=−11

l) −9−[−1−3−1−7]−10

  1
      −9−[−1−3−1−7]−10=−9−[−1−3−1−7]−10 =
      =−9−[−1−3−8]−10=−9−[−1−3−8]−10=−9−[−1−−5]−10 =
      =−9−−15−10=−9−4−10=−9−4−10=−23

  2
      −9−[−1−3−1−7]−10=−913−1−7−10 =
      =−913−1−7−10=−913−1−7−10 =
      =−913−1−7−10=4−27=−23
10.- Determina el valor del número entero desconocido x:
     a) 5 x−4=0

           5x−4=0
             x1=0
               x=0−1
               x=−1

    b) −8−15−x =0

            −8−15− x=0
              −x−23=0
                 −x=023
                 −x=23
                      23
                   x=
                      −1
                   x=−23

    c) 79− x=0

            79− x=0
            −x 16=0
               − x=0−16
                −x=−16
                    −16
                 x=
                    −1
                 x=16

    d) x12−6=0

           x12−6=0
              x6=0
                x=0−6
                x=−6

    e) 23− x=1

           23− x=1
            −x5=1
              −x=1−5
              −x=−4
                   −4
                x=
                   −1
                x=4

    f) −51−x =10

                                                           14
        −51− x=10⇒−x−4=10 ⇒− x=104 ⇒−x=14 ⇒ x=              ⇒ x=−14
                                                           −1
g) 4−x −2=8

           4−x−2=8
            − x2=8
               −x=8−2
               −x =6
                    6
                x=
                   −1
                x=−6

    h) −3x−4=−5

           −3x −4=−5
              x−7=−5
                 x=−57
                 x=2

    i) −102x=−3

          −102 x=−3
              x−8=−3
                 x=−38
                x =5

    j) −x−58=−12

          −x−58=−12
            −x3=−12
              −x =−12−3
              −x=−15
                  −15
               x=
                  −1
               x=15

11.- Calcula:
     a) 9 ·−4

        9 ·−4=−36

    b) −75:5

        −75:5=−15

    c) −3·−16

        −3·−16=48

    d) 49 : −7

        49 :−7=−7
e) −6 · 20

     −6 · 20=−120

f) −40 :−8

     −40 :−8=5

g) −4 ·−5 ·−3

     −4 ·−5 ·−3=−60

h) −8 · 3·−2

     −8 · 3· −2=48

     −60
i)
     −10

     −60
         =6
     −10

     96
j)
     −8

     96
        =−12
     −8

k) 3 ·−9 ·5

     3 ·−9 ·5=−135

l) −8 ·−2· −4

     −8 ·−2· −4=−64

m) −6 · −5· 10· −2

     −6 · −5· 10 ·−2=−600

n) 2 ·−3·−1·5 · 4 ·−6·−1

     2 ·−3·−1·5 · 4 ·−6·−1=720

     −72
ñ)
     −6

     −72
         =12
     −6

     −30            −30
o)                      =−2
      15             15
12.- Calcula:
      1 Respetando la jerarquía de las operaciones.

     2 Aplicando la propiedad distributiva.

    a) −2 ·[5−3]

        1    −2 ·[5−3]=−2 ·5−3=−2 · 2=−4

        2    −2 ·[5−3]=−2 · 5−2·−3=−106=−4

    b) −7·−4−6

        1    −7· −4−6=−7 ·−10=70

        2    −7· −4−6=−7 ·−4−−7 ·6=2842=70

    c) 2 ·−47

        1    2 ·−47=2· 3=6

        2    2 ·−47=2· −42 · 7=−814=6

    d) −5 ·3−6

        1    −5 ·3−6=−5 ·−3=15

        2    −5 ·3−6=−5 · 3−−5· 6=−1530=15

    e) 6 ·−2−1

        1    6 ·−2−1=6 ·−3=−18

        2    6 ·−2−1=6 ·−2−6 · 1=−12−6=−18

    f) −9· −85

        1    −9· −85=−9 ·−3=27

        2    −9· −85=−9 ·−8−9· 5=72−45=27

    g) −57· 2

        1    −57· 2=2 · 2=4

        2    −57· 2=−5 · 27· 2=−1014=4

    h) −4 ·−10−1

        1    −4 ·−10−1=−4 ·−11=44

        2    −4 ·−10−1=−4 ·−10−−4·1=404=44
i) 6 ·−3−8

        1    6 ·−3−8=6 ·−11=−66

        2    6 ·−3−8=6 ·−3−6· 8=−18−48=−66

    j) 5−9· −6

        1    5−9· −6=−4 · −6=24

        2    5−9· −6=5 ·−6−9 ·−6=−3054=24

    k) −4 ·−623

        1    −4 ·−623=−4 · −65=−4 ·−1=4

        2    −4 ·−623=−4 · −6−4· 2−4· 3=24−8−12=24−20=4

    l) 4 · −59−6

        1    4 · −59−6=4 ·9−11=4 ·−2=−8

        2    4 · −59−6=4 ·−54 ·9−4· 6=−2036−24=36−44=−8

    m) [−37−−2]·−8

        1
            [−37−−2]·−8=−372·−8=9−3 ·−8=6 ·−8=−48

        2
            [−37−−2]·−8=−3·−87 ·−8−−2·−8=24−56−16=24−72=−48

    n) [−815−3]· −3

        1
            [−815−3]· −3=−815−3·−3=15−11 ·−3=4 ·−3=−12

        2
            [−815−3]· −3=−8·−315 ·−3−3 ·−3=24−459=33−45=−12

13.- Calcula:
      1 Respetando la jerarquía de las operaciones.

     2 Sacando factor común.

    a) −5 · 8−5· 4

        1    −5 · 8−5· 4=−40−20=−60

        2    −5 · 8−5· 4=−5· 84=−5 ·12=−60
b) −8 · 3−5 ·3

   1    −8 · 3−5 ·3=−24−15=−39

   2    −8 · 3−5 ·3=3 ·−8−5=3·−13=−39

c) 3 · 2−6 ·3

   1    3 · 2−6 ·3=6−18=−12

   2    3 · 2−6 ·3=3 ·[2−6]=3 ·2−6=3· −4=−12

d) −9· 4−4· −3

   1    −9· 4−4· −3=−3612=−24

   2    −9· 4−4· −3=4 ·[−9−−3]=4· −93=4 · −6=−24

e) −2 ·7−3·−2

   1    −2 ·7−3·−2=−146=−8

   2    −2 ·7−3·−2=−2 ·[7−3]=−2 ·7−3=−2· 4=−8

f) −11 · 5−5 ·9

   1    −11 · 5−5 ·9=−55−45=−100

   2    −11 · 5−5 ·9=5· −11−9=5· −20 =−100

g) −12 ·−913 ·−9

   1    −12 ·−913 ·−9=108−117=−9

   2    −12 ·−913 ·−9=−9 ·−1213=−9 ·1=−9

h) −3·−2−7 ·−2

   1    −3·−2−7 ·−2=614=20

   2    −3·−2−7 ·−2=−2 ·−3−7=−2· −10=20

i) 6 ·−38 · 6

   1    6 ·−38 · 6=−1848=30

   2    6 ·−38 · 6=6 · −38=6 · 5=30

j) −2 ·−4−−4· 3

   1    −2 ·−4−−4· 3=812=20
2    −2 ·−4−−4· 3=−4·−2−3=−4·−5=20

    k) −2 ·5−2· 6−2· −7

        1    −2 ·5−2· 6−2· −7=−10−1214=14−22=−8

             −2 ·5−2· 6−2· −7=−2 ·[56−7]=−2· 56−7=−2 ·11−7 =
        2
             =−2· 4=−8

    l) −5 · 5−−5· 10−5 · 2

        1    −5 · 5−−5· 10−5 · 2=−2550−10=50−35=15

        2    −5 · 5−−5· 10−5 · 2=−5 ·5−102=−5· 7−10=−5· −3=15

    m) −8 · 33 ·−4−−2· 3

        1    −8 · 33 ·−4−−2· 3=−24−126=6−36=−30

             −8 · 33 ·−4−−2· 3=3 ·[−8−4 −−2]=3 ·−8−42=3· 2−12=
        2
             = 3·−10=−30

    n) 4 · −84 · 34 ·−2

        1    4 · −84 · 34 ·−2=−3212−8=12−40=−28


             4 · −84 · 34 ·−2=4· [−83−2]=4 ·−83−2=4· 3−10 =
        2
             = 4 ·−7=−28

14.- Calcula, sacando factor común:
     a) 7 · 4−3·−4

        7 · 4−3· −4=7 · 43· 4=4 · 73=4 ·10=40

    b) 3 ·−3−5 ·−6

        3 ·−3−5 ·−6=3 ·−3−5 · 2 ·−3=3·−3−10 ·−3=−3 ·3−10 =
        =−3 ·−7=21

    c) −9· −25 · 3

        −9· −25 · 3=3 ·−3·−25 ·3=3 ·65 ·3=3· 65=3 ·11=33

    d) 3 ·−5−3 ·7

        3 ·−5−3 ·7=3 ·−53 ·−7=3 ·[−5−7]=3 ·−5−7=3 ·−12=−36

    e) 4 · −1−−4· 2

        4 · −1−−4· 2=4 ·−1−4 ·−2=4· [−1−−2]=4· −12=4· 1=4
f) 5· −8−5· 7

        5· −8−5· 7=5·−85· −7=5 ·[−8−7]=5 ·−8−7=5 ·−15=−75

    g) 5· −3−6 · 4−3·−7

        5· −3−6 · 4−3·−7=5· −3−3· 2· 4−3· −7 =
        = 5·−3−3· 8−3 ·−7=−3·[58−7]=−3·58−7 =
        = −3·13−7=−3·6=−18

    h) −5 · 2−−3· 42 · 13

        −5 · 2−−3· 42 · 13=−5· 2−−3· 2 · 22 ·13=−5 · 2−−6· 22 ·13 =
        = 2 ·[−5−−613]=2· −5613=2· 19−5=2 ·14=28

    i) −4 ·−52 ·−34 ·−7

        −4 ·−52 ·−34 ·−7=2 ·−2· −52 ·−32 · 2 ·−7=
        = 2 ·102 ·−32 ·−14=2 ·[10−3−14]=2 ·10−3−14=2 ·10−17 =
        = 2 ·−7=−14

    j) 6 ·−5−4· 3−−9· 4

        6 ·−5−4· 3−−9· 4=3 · 2· −5−4· 3−3 ·−3· 4 =
        = 3· −10−4· 3−3 ·−12=3· [−10−4−−12]=3· −10−412 =
        = 3· 12−14=3 ·−2=−6

    k) −2 ·5−2· −112 ·−7

        −2 ·5−2· −112 ·−7=2 ·−52 · 112 ·−7 =
        = 2 ·[−511−7]=2· −511−7=2· 11−12=2 ·−1=−2

    l) 3 ·7−3 ·−96

        3 ·7−3 ·−96=3 · 7−3 ·−93 · 2=3 ·[7−−92]=3 ·792=3· 18=54

15.- Saca factor común y calcula:
     a) 14−2 ·3

        14−2 ·3=2 · 7−2· 3=2 ·7−3=2 · 4=8

    b) 9−9· 2

        9−9· 2=9 ·1−9 · 2=9 ·1−2=9 ·−1=−9

    c) 20−25

        20−25=5· 4−5 ·5=5· 4−5=5·−1=−5

    d) −7−7 ·5

        −7−7 ·5=−7 · 1−7 ·5=−7 ·15=−7 · 6=−42
e) 921

        921=3 · 33 · 7=3 ·37=3· 10=30

    f) 8−6

        8−6=2 · 4−2 · 3=2· 4−3=2 ·1=2

    g) 20−−15

        20−−15=5· 4−5 ·−3=5·[ 4−−3]=5· 43=5 · 7=35

    h) −4−14

        −4−14=2· −2−2 · 7=2 ·−2−7=2 ·−9=−18

    i) −405−35

        −405−35=5 ·−85· 15 ·−7=5· [−81−7]=5 ·−81−7=5 ·1−15 =
        = 5 ·−14=−70

    j) 7−14−−28

        7−14−−28=7 · 17 ·−2−7 ·−4=7· [1−2−−4]=7 ·1−24 =
        = 7· 5−2=7 · 3=21

    k) −16−−324

        −16−−324=4 ·−4−4 ·−84 ·1=4 ·[−4−−81]=4 ·−481 =
        = 4 ·9−4=4 ·5=20

    h) 10−−8−12

        10−−8−12=2 · 5−2· −4−2 · 6=2· [5−−4−6 ]=2· 54−6 =
        = 2 ·9−6=2 · 3=6

16.- Determina el valor del número entero x:
     a) −6 · x=30

         −6 · x=30
                 30
              x=
                 −6
              x =−5

    b) x :−5=−2

              x :−5=−2
                    x =−2· −5
                    x=10
c) −8 : x=−1

           −8 : x=−1
            −8=−1 · x
                   −8
                x=
                   −1
                x=8

     d) x · 4=−24

         x · 4=−24
                −24
             x=
                 4
             x=−6

     e) 5· x =−20

         5· x=−20
               −20
            x=
                5
            x=−4

     f) 40 : x=−10

           40 : x=−10
             40=−10 · x
                    40
                x=
                   −10
                x=−4

     g) x :−8=2

              x :−8=2
                    x=2· −8
                    x=−16

     h) x ·−9=27

         x ·−9=27
                  27
               x=
                  −9
               x=−3

17.- Comprueba si son ciertas las siguientes igualdades:
     a) 715·−9−1=715· −9−1


        {715·−9−1=22 ·−9−1=−198−1=−199}⇒715· −9−1≠715·−9−1
             715·−9−1=7−135−1=7−136=−129
b) 3−10−5=3−105


         {3−10−5=3−5=−2}⇒ 3−10−5=3−105
          3−105=8−10=−2

     c) 12 :−4 ·3=12:−12


         {12:−4·12 :−12=−1}⇒ 12:−4· 3≠12 :−12
                   3=−3 · 3=−9


     d) 5−7 · 2=−2 · 2


         {5−7 · 2=5−14=−9}⇒ 5−7 · 2≠−2 · 2
                  −2· 2=−4

     e) 8−6· 4=2· 4


         {8−6· 4=2 ·· 4=8}⇒8−6· 4=2· 4
                   2 4=8

     f) 3−98−4 =3−98−4


         {3−98−4=3−17−4=3−13=−10}⇒ 3−98−4≠3−98−4
                    3−98−4=11−13=−2

18.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ...
     a) 5−13 · 2−−4· 7

         5−13 · 2−−4· 7=5−2628=33−26=7

     b) −45: 98 ·−3−6

         −45 :98 ·−3−6=−5−24−6=−35

     c) −34:−2· 5

         −34:−2· 5=17 · 5=85

     d) 12 :−4−40 :−8

         12 :−4−40 :−8=−35=2

     e) 64 :−8·−7

         64 :−8·−7=−8·−7=56

     f) −9−21:−34

         −9−21 :−34=−974=11−9=2
g) −15 · 2−−16:−8

         −15 · 2−−16:−8=−30−2=−32

     h) −12−9· 6 :−2

         −12−9· 6 :−2=−12−54 :−2=−1227=15

     i) 7−3·−4−27 :−9

         7−3· −4−27 :−9=7123=22

     j) −45−−49:7 ·−6

         −45−−49:7 ·−6=−457· −6=−45−42=−87

     k) −206· −5:−2

         −206· −5:−2=−20−30:−2=−2015=−5

     l) 54 :−3· 2−9 ·−4

         54 :−3· 2−9 ·−4=−18· 2−9 ·−4=−3636=0

19.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ...
     a) 45 :2−113 · 4

         45 :2−113 · 4=45 : −93 · 4=−512=7

     b) −36:−172 · 4

         −36:−172 · 4=−36 :−178=−36 :−9=4

     c) 8−4 ·−103−7

         8−4 ·−103−7=8−4· −7−7=828−7=36−7=29

     d) 2−[ 6−−31]8 :2

         2−[6−−31]8 : 2=2−[6−−2]8: 2=2−628: 2=2−88: 2=2−84 =
         = 6−8=−2

     e) 54 :−3−65−12 ·−2

         54 :−3−65−12 ·−2=54 :−9−7 ·−2=−614=8

     f) 9−4·−3−1−80 :−20

         9−4·−3−1−80 :−20=5· −4−80 :−20=−204=−16
g) 2 ·−7−[−5· 8−49]

   2 ·−7−[−5· 8−4 9]=2 ·−7−−5· 49=2· −7−−209=2 ·−7−−11=
   =−14−−11=−1411=−3

h) −10 :−2−3−[4−1−7]

   −10 :−2−3−[4−1−7]=−10:−2−3−[4−−6]=−10 :−2−3−46=
   =−10 :−5−10=2−10=−8

i) 15−7−9 ·68 ·−2

   15−7−9 ·68 ·−2=15−−2· 68 ·−2=1512−16=27−16=11

j) 6 ·−4−[5−12−9]

   6 ·−4−[5−12−9]=6 ·−4−5−3=6 ·−4−2=−24−2=−26

k) 45 :−83 · 2−10

   45 :−83· 2−10=45:−5· 2−10=−9 · 2−10=−18−10=−28

l) 20 ·−2 :5−16 :8· −3

   20 ·−2 :5−16 :8· −3=−40 :5−2 ·−3=−86=−2

m) 3 ·4−6 · 2−15−5:−10

   3 ·4−6 · 2−15−5:−10=3· 4−12−15−5:−10 =3· −8−20 :−10 =
   =−242=−22

n) −9−4·1−24 ·−8:−16

   −9−4·1−24 ·−8: −16=−13· −14· −8: −16=13−32 :−16 =
   = 132=15

ñ) −10 ·−2−6:−20−7−4

   −10 ·−2−6:−20−7−4=−10 ·−8:−20−3=80 :−20−3=−4−3=−7

o) 12 :3−7−2 ·−14

   12 :3−7−2 ·−14=12 :−4−2 ·−14=−328=25

p) 8· −9 :−2 · 3−1

   8· −9 :−2 · 3−1=8· −9 :−6−1=−72 :−6−1=12−1=11

q) [6 · 4−12−10]:−2

   [6 · 4−12−10]:−2=[6 · −8−10]:−2=−48−10:−2=−58 :−2=29
20.- Determina el valor del número entero desconocido x:
     a) −36−x =9 ·−4−8 ·−5

                 −36−x =9· −4−8· −5
                 −36− x=−3640
                    −x=40
                        40
                     x=
                        −1
                     x =−40

    b) x :−39 ·−1=−15

            x :−39 ·−1=−15
                 x :−3−9=−15
                     x :−3=−159
                     x :−3=−6
                           x=−6· −3
                           x=18

    c) −5 · x=−5· −32

                   −5· x=−5 ·−32
                   −5· x =−5 ·−1
                   −5 · x =5
                            5
                        x=
                           −5
                        x=−1

    d) x−14=12 :6 ·−4−2· 7

                    x−14=12 :6 ·−4−2· 7
                    x−14=2 ·−4−2· 7
                    x −14=−8−14
                        x=−8

    e) 7− x=7−8−12:−4

                    7−x=7−8−12:−4
                    7− x=7−−4:−4
                    7−x=7−1
                      x=1

    f) 36−x=6−4 · 930

            36−x=6−4 · 930
            36−x=6−3630
            36− x=36−36
                x=36
21.- Coloca los paréntesis necesarios para que estas igualdades sean ciertas:
     a) −9· 3−5−8=10

          −9· 3−5−8=−9 ·−2−8=18−8=10

     b) −9· 3−5−8=−24

          −9· 3−5−8=−27−−3=−273=−24

     c) −9· 3−5−8=−40

          −9· 3−5−8=−27−5−8=−40

22.- Calcula:
         −2 ·−8
     a)
         4 :−1

          −2 ·−8 16
                    =   =−4
          4 :−1 −4

          24:−3
     b)
          −12:6

          24:−3 −8
                    =   =4
          −12:6 −2

          −2· 10· −5
     c)
            −50·10

          −2· 10· −5 100
                           =    =−20
            −50:10      −5

            200:−2
     d)
          −2· −1·−10

            200:−2     −100
                          =      =5
          −2· −1·−10 −20

          −258·−35
     e)
           −79· 5−3−1

          −258·−35 13−2·−35 11 · 2 22
                           =               =      = =11
           −79 ·5−3−1   −79· 5−4   2· 1  2

          [−2−3−6]−[4−32]
     f)
               −[−732]

          [−2−3−6]−[4−32] −2−3−6−432 −2−3−6−432
                               =                 =             =
                −[−732]          7−32          7−3−2
            5−15 −10
          =      =   =−5
             7−5   2
[ 3−5−4]·[−2−−5−3]
     g)
          [−2−−5−3]:[6−21]

          [3−5−4]· [−2−−5−3] [3−1]·[−2−−8] 3−1· −28
                                =                 =              =
          [−2−−5−3]:[6−21] [−2−−8]:[6−3] −28:6−3
            2· 6 12
          =     = =6
            6 :3 2

          −−235−[−2−5−2][−35−−2−9]
     h)
                     −[ 8−2−7−3]

          −−235−[−2−5−2][−35−−2−9]
                                               =
          −[8−2−7−3]
            −−23525−2−35−−2−9 2−3−525−2−3−529
          =                               =                    =
                     −8−27−3                −827−3
            20−18 2
          =      =   =−1
             9−11 −2

23.- La diferencia entre de dos números es – 3. El segundo de ellos es – 1. Calcula el primero.

          x−−1=−3
            x1=−3
               x=−3−1
               x=−4

24.- La diferencia entre de dos números es – 13 y el minuendo – 6. ¿Cuál es el sustraendo?

          −6−x=−13
            − x=−136
            −x=−7
                 −7
              x=
                 −1
              x=7

25.- Halla el número que hay que sumar a 8 para que la mitad de la suma sea – 1.

         8 x
              =−1
           2
      28 x
              =2 ·−1
         2
         8 x=−2
             x=−2−8
             x =−10

26.- El producto de dos números enteros es igual a – 270 y uno de ellos es el opuesto de 15. ¿Cuál
     es el otro?

                                                −270
     x · op15=−270 ⇒ x ·−15=−270⇒ x=             ⇒ x=18
                                                −15
27.- ¿Por qué número hay que dividir – 105 para obtener – 7?

         −105
              =−7
          x
         −105=x ·−7
               −105
            x=
                −7
            x=15

28.- Calcula:
     a) El doble de – 20 + 13.

        2 ·−2013=2 ·−7=−14

     b) La tercera parte de – 18 – 3.

         −18−3 −21
              =    =−7
           3    3

     c) El cuádruplo de – 63 : | – 7 |.

        4 · −63 :∣−7∣=4· −63 :7=4 · −9=−36

29.- Halla el número que dividido entre – 6 da 5.

           x
             =5
          −6
            x=−6 ·5
            x=−30

30.- Halla el número que multiplicado por – 8 da 96.

       x ·−8=96
                96
             x=
                −8
             x=−12

31.- El dividendo de una división exacta es 108, y el cociente, – 18. ¿Cuál es el divisor?

          108: d=−18
            108=d ·−18
                  108
               d=
                  −18
               d =−6

32.- Halla el número que dividido por 7 da – 5.

          x
            =−5
          7
          x=7· −5
          x=−35
33.- ¿Qué número multiplicado por – 14 da 84?

        x ·−14=84
                   84
               x=
                  −14
               x=−6

34.- Juan ha comprado un terreno de 450 m2 a 160 €/m2. Al cabo de un tiempo lo vende por
     78.750 €. ¿Cuánto ganó por cada m2?

     −450 m2 · 160 € /m2 78.750 € −72.000 € 78.000 € 6.750 €
                        2
                                    =            2
                                                        =       2
                                                                  =15 € / m2
                  450 m                    450 m          450 m

35.- En un día de invierno, la temperatura a las seis de la mañana es de 3 ºC bajo cero. Al mediodía
     ha subido 9 ºC, pero a las doce de la noche el termómetro marca 1 ºC bajo cero. ¿Qué
     diferencia de temperatura ha habido entre el mediodía y la medianoche?

     −1 ºC−−3 ºC9 ºC =−1 ºC −6 ºC=−7 ºC

36.- Euclides fue un matemático que vivió 60 años y murió en el 265 a. C. ¿En qué año nació?

     −265 años−60 años=−325 años 325 a. C.

37.- La primera mujer matemática conocida, Hypatia de Alejandría, nació en el 370 d. C. ¿Cuánto
     tiempo pasó desde que murió Euclides hasta que nació Hypatia?

     370 años−−265 años=370 años265 años=635 años

38.- El pico más alto de España, con 3.478 m de altura, es el Mulhacén. El Sistema de Trave, a
     – 1.441 m de profundidad, es la cuarta sima más profunda del mundo. Halla la diferencia de
     altitud.

     3.470 m−−1.441 m=3.470 m1.441 m=4.911 m

39.- El mes pasado, un empleado no fue a trabajar durante 5 días. Le han descontado un total de
     195 € de su sueldo. ¿Cuánto dinero ha perdido cada día que no fue al trabajo?

     −195 €
             =39 € /día
      5 días

40.- Un reloj atrasa 40 s cada hora. Si a las 9 de la mañana del lunes tenía la hora exacta, ¿qué hora
     tendrá a las 12 del mediodía?

     12 h−9 h· −40 s/ h=3 h ·−40 s /h=−120 s : 60=−2 min de atraso
     12 h−2 min ⇒11: 58 horas

41.- El primer mes del año, la gasolina bajó 5 céntimos, el segundo subió 3 céntimos, el tercero
     subió 8 céntimos y el cuarto bajó 2 céntimos. Calcula la variación total del precio de la gasolina
     en ese tiempo.

     −0,05 € 0,03 € 0,08 € −0,02 € =0,11 € −0,07 € =0,4 €
42.- Una comunidad de vecinos ha instalado placas solares y ha conseguido ahorrar 180 € en el
     recibo de la luz durante un año. ¿Cuál ha sido el ahorro mensual?

     −180 € :12 meses=−15 € /mes

43.- Pablo tenía 850 € en su cartilla de ahorros. Ha añadido 250 €/mes durante los últimos 5 meses.
     Sacó 2.300 € para pagar al carpintero. ¿Qué saldo le queda?

     850 € 250 € /mes · 5 meses−2.300 € =850 € 1.250 € −2.300 € =
     = 2.100 € −2.300 € =−200 €

44.- En un instituto se juega una competición de fútbol entre las clases. Se consiguen 3 puntos al
     ganar un partido, 0 al empatar y – 2 al perder. De los 20 partidos jugados, una clase ha ganado
     10 y ha empatado 5. ¿Cuántos puntos han logrado hasta ese momento?

     10 ganados · 3 puntos/ ganado5 empatados · 0 puntos /empatado +
     + 5 perdidos ·−2 puntos / perdido=30 puntos0 puntos−10 puntos =
     = 30 puntos−10 puntos=20 puntos

45.- Una expedición científica a la Antártida ha enviado los siguientes datos sobre las temperaturas
     mínimas en una semana:
              Día                  Temperatura mínima
     Lunes                                                   – 27 ºC
     Martes                                                  – 25 ºC
     Miércoles                                               – 23 ºC
     Jueves                                                  – 21 ºC
     Viernes                                                 – 21 ºC
     Sábado                                                  – 21 ºC
     Domingo                                                 – 26 ºC

     a) Representa los datos gráficamente, utilizando un diagrama de barras.
                                                Temperaturas mínimas en la Antártida
                                   0

                                   -5
              Temperaturas (ºC)




                                  -10

                                  -15

                                  -20

                                  -25

                                  -30
                                        lunes      martes   miércoles    jueves   viernes   sábado   domingo
                                                                        Días


     b) Calcula la máxima variación de temperaturas mínimas durante la semana.

        −21 ºC−−27 ºC =−21 ºC27 ºC=6 ºC
46.- Unos amigos han realizado a pie una ruta de montaña. Empezaron a 650 m sobre el nivel del
     mar. En la primera etapa subieron 150 m más. En la segunda etapa bajaron 200 m y en la tercera
     etapa subieron hasta alcanzar los 936 m de altura.
      a) Completa la siguiente tabla sobre las distintas altitudes alcanzadas:

     Salida                 650 m
     1.ª etapa              650 m150 m=800 m
     2.ª etapa              800 m−200 m=600 m
     3.ª etapa              936 m

    b) Representa gráficamente las distintas altitudes alcanzadas.

                                            Ruta de montaña
                                1000
                                 900
                                 800
                                 700
                                 600
                  Altitud (m)




                                 500
                                 400
                                 300
                                 200
                                 100
                                   0
                                   Salida   1ª. etapa            2ª. etapa   3ª. etapa
                                                        Etapas

    c) Calcula los metros que subieron en la última etapa.

        936 m−600 m=336 m

47.- Durante dos meses, Marta ha ahorrado 6 € a la semana. Ha gastado 24 € en un regalo para su
     abuela. Si cuando empezó a ahorrar ya tenía 15 €, ¿cuánto dinero tiene ahora?

     15 € 8 semanas· 6 € / semana−24 € =15 € 48 € −24 € =63 € −24 € =39 €

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  • 1. SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 2º ESO http://iesgrazalema.blogspot.com NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Calcula: a) ∣2−3∣ ∣2−3∣=∣2−3∣=∣−1∣=1 b) ∣−5−1∣ ∣−5−1∣=∣5−1∣=∣4∣=4 c) ∣−44∣ ∣−44∣=∣0∣=0 d) ∣6−9∣ ∣6−9∣=∣6−9∣=∣−3∣=3 e) ∣2 ·−5∣ ∣2 ·−5∣=∣−10∣=10 f) ∣−4 ·−5∣ ∣−4 ·−5∣=∣20∣=20 g) ∣2 · 3∣ ∣2 · 3∣=∣6∣=6 h) ∣−4 · 3∣ ∣−4 · 3∣=∣−12∣=12 i) ∣2 ·−1∣ ∣2 ·−1∣=∣−2∣=2 j) ∣−4 ·−1∣ ∣−4 ·−1∣=∣4∣=4 k) ∣−3· 8∣ ∣−3· 8∣=∣−24∣=24
  • 2. l) −9∣−13∣ −9∣−13∣=−913=4 m) ∣−25 :5∣ ∣−25 :5∣=∣−4∣=4 n) ∣−30∣: −10 ∣−30∣:−10=30 :−10=−3 ñ) −∣5−11∣ −∣5−11∣=−∣−6∣=−6 o) −2 ·∣−7∣ −2 ·∣−7∣=−2 · 7=−14 p) ∣18 :−9∣ ∣18 :−9∣=∣−2∣=2 q) −2 ·∣−6∣ −2 ·∣−6∣=−2 ·6=−12 r) ∣−8∣· −4 ∣−8∣· −4=8· −4=−32 s) 2 ·∣−9∣ 2 ·∣−9∣=2 ·9=18 t) ∣−24 :6∣ ∣−24 :6∣=∣−4∣=4 u) ∣3−5∣∣−104∣ ∣3−5∣∣−104∣=∣−2∣∣−6∣=26=8 v) ∣−3∣5−∣−4∣ ∣−3∣5−∣−4∣=35−4=8−4=4 w) ∣10−172∣ ∣10−172∣=∣12−17∣=∣−5∣=5
  • 3. 2.- Determina el valor de los números desconocidos representados por letras: a) ∣6∣=∣x∣= y { ∣6∣=∣x∣= y ⇒ x =−6 y=6 } b) ∣x∣=∣y∣=4 { ∣x∣=∣y∣=4 ⇒ x=4 y=−4 } c) op 4 x=−3 op 4 x=−3 −4x=3 x=34 x=7 d) −2 · x=∣−10∣ −2 · x=∣−10∣ −2 x=10 10 x= −2 x=−5 e) ∣−7∣−x=−1 ∣−7∣−x =−1 7−x=−1 −x=−1−7 − x=−8 −8 x= −1 x=8 f) x : op −6=4 x :op −6=4 x :6=4 x=4 ·6 x=24 g) ∣−6∣x=0 ∣−6∣ x=0 6x=0 x=0−6 x =−6
  • 4. h) −2∣x∣=5 −2∣x∣=5 ∣x∣=52 ∣x∣=7 x =±7 i) 3− x=∣op −8∣ 3− x=∣op −8∣ 3−x=∣8∣ 3−x =8 − x=8−3 −x=5 5 x= −1 x =−5 j) −9op  x =∣−4∣ −9op  x=∣−4∣ op x=49 op  x =13 x=−13 k) ∣5 x∣=0 ∣5x∣=0 5x =0 x =0−5 x=−5 l) ∣−4∣−x =0 ∣−4∣−x=0 4− x=0 −x=0−4 − x=−4 −4 x= −1 x =4 m) ∣−3− x∣=0 ∣−3−x∣=0 −3−x=0 −x=03 −x=3 3 x= −1 x=−3
  • 5. n) ∣−6∣x=0 ∣−6∣x=0 6 x=0 x=0−6 x=−6 3.- Encuentra los números enteros que, en cada caso, cumplen las siguientes condiciones: a) Su valor absoluto es menor que 3. ∣x∣3⇔−3x3⇒ x= −2, −1, 0, 1, 2 b) Su valor absoluto es menor o igual que 3. ∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 c) Su valor absoluto es mayor que 3. ∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−7, −6, −5, −4, 4, 5, 6, 7 d) Su valor absoluto es mayor o igual que 3. ∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−7, −6, −5, −4, −3, 3, 4, 5, 6, 7 e) Negativo y con valor absoluto menor que 9. {∣x∣9⇔−9x 9⇒ x=−8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,x0}⇒ 7, 8 ⇒ x=−8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1 f) Su opuesto es un número negativo mayor que – 3. {op  x−3 ⇔ x3⇒ x=−5, −4, −3,op  x 0 ⇔ x0}⇒ x=1, 2 −2, −1, 0, 1, 2 g) Su valor absoluto es 12 y está comprendido entre – 14 y – 10. {−14x−10 ⇒ x=−13, −12, −11}⇒ x =−12 ∣x∣=12 h) Son dos números negativos consecutivos y el valor absoluto de su suma es 13. 1er número x 2º número x1 {∣x x1∣=13⇒∣x x1∣=13 ⇒∣2 x1∣=13}⇒ 2 x1=−13⇒ 2 x =−13−1⇒ x0 −14 ⇒ 2 x=−14⇒ x= ⇒ x=−7 2 1er número x=−7 2º número x1=−71=−6
  • 6. 4.- Plantea y resuelve las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es el valor absoluto de la suma de dos números opuestos? ∣x op  x∣=∣x−x ∣=∣x −x∣=∣0∣=0 b) ¿A qué es igual la suma de los valores absolutos de dos números enteros opuestos? ∣x∣∣op  x ∣=∣x∣∣−x∣=x x=2 x c) ¿Cuál es el resultado de dividir un número negativo entre su valor absoluto? x x x0⇒ = =−1 ∣x∣ −x d) ¿Qué se obtiene al dividir un número positivo entre el valor absoluto de su opuesto? x x x x0⇒ = = =1 op x ∣−x∣ x e) ¿Qué relación hay entre un número positivo y el valor absoluto de la diferencia entre él y su opuesto? x x x x x 1 x0⇒ = = = = = ∣x−op x ∣ ∣x−−x∣ ∣xx∣ ∣2 x∣ 2 x 2 f) ¿Qué relación hay entre un número negativo y el valor absoluto de la diferencia entre él y su opuesto? x x x x x 1 1 x0⇒ = = = = = =- ∣x−op x ∣ ∣x−−x∣ ∣x x∣ ∣2 x∣ −2 x −2 2 5.- Escribe las barras de valor absoluto donde corresponda para que estas igualdades sean ciertas: a) −6−4:−2=4 ∣−6∣−4 :∣−2∣=6−4 : 2=6−2=4 b) −6−4:−2=8 ∣−6∣−4 :−2=6−4 :−2=62=8 c) −6−4:−2=−5 ∣−6−4∣:−2=∣−10∣:−2=10 :−2=−5 d) −6−4:−2=−4 −6−∣4∣:−2=−6−4 :−2=−62=−4
  • 7. 6.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 57=12 57=12 b) 14−10=14−10=4 14−10=4 c) −10−3=−13 −10−3=−13 d) 15−22=15−22=−7 15−22=−7 e) 12−5=7 12−5=7 f) −2−−10=−210=8 −210=8 g) 3−15=−12 3−15=−12 h) −12−−7=−127=−5 −127=−5 i) −211=9 −211=9 j) 15−−3=153=18 153=18 k) −2110=−11 −2110=−11 l) 2−−11=211=13 211=13 m) −15−7=−22 −15−7=−22 n) −10−7=−10−7=−17 −10−7=−17 ñ) 101=11 101=11 o) −5−12=−5−12=−17 −5−12=−17 p) −12−−10=−1210=−2 −1210=−2 q) −7−−15=−715=8 −715=8 7.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 10−3−−5 10−3−−5=10−35=15−3=12 b) −−12−−15−7 −−12−−15−7=1215−7=27−7=20 c) 10−2−−9 10−2−−9=10−29=19−2=17 d) −12−−1015 −12−−1015=−121015=25−12=13 e) 4−52 4−52=4−52=6−5=1 f) 8−3−−2 8−3−−2=8−32=10−3=7
  • 8. g) −−12−−8 −−12−−8=128=20 h) −7153 −7153=−7153=18−7=11 i) 25−4−6 25−4−6=25−4−6=25−10=15 j) −4−26 −4−26=−4−26=6−6=0 k) 9−18−2 9−18−2=9−18−2=9−20=−11 l) −−4−3−8 −−4−3−8=4−3−8=4−11=−7 m) −2−−10−12−2 −2−−10−12−2=−210−12−2=10−16=−6 n) −12−−10−512 −12−−10−512=−1210−512=22−17=5 ñ) −10−5−−3−2 −10−5−−3−2=−10−53−2=3−17=−14 o) 27−17−5−−25 27−17−5−−25=27−17−525=52−22=30 p) −16−34−18−8 −16−34−18−8=−16−34−18−8=−76 q) −−15−17−8−−10−163 −−15−17−8−−10−163=15−17−810−163=28−41=−13
  • 9. 8.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 3−−235 1 3−−235=3−15=3−15=8−1=7 2 3−−235=32−35=10−3=7 b) 41− 4−310 1 41− 4−310=5−110=5−110=15−1=14 2 41− 4−310=41−4310=18−4=14 c) −10−−3−2−5−7−2 1 −10−−3−2−5−7−2=−10−−5−−2−2=−1052−2=7−12=−5 2 −10−−3−2−5−7−2=−1032−57−2=12−17=−5 d) 8−159−12 1 8−159−12=8−24−12=8−12=8−12=−4 2 8−159−12=8−15−912=20−24=−4 e) −−1−2−3−5−5468 1 −−1−2−3−5−5468=−−6− 23−5=−−6−18=6−18=−12 2 −−1−2−3−5−5468=123−55−4−6−8=11−23=−12 f) −1−9−5−4688−7 1 −1−9−5−4688−7=−10−19−41=−10−151 = =−10−151=1−25=−24 2 −1−9−5−4688−7=−1−9−54−6−88−7=12−36=−24
  • 10. g) 32−3−1−5−7 1 32−3−1−5−7=3−1−1−12=3−1−−11=3−111=14−1=13 2 32−3−1−5−7=32−3−157=17−4=13 h) −1−−12−54 1 −1−−12−54=−1−6−6=−1−0=−1−0=−1 2 −1−−12−54=−11−25−4=6−7=−1 i) 35−9−7−5−7 1 35−9−7−5−7=3−4−7−12=3−4−−5=3−45=8−4=4 2 35−9−7−5−7=35−9−757=20−16=4 j) 4−5−73−−92−1 1 4−5−73−−92−1=43−12−2−10=4−9−−8=4−98 = = 12−9=3 2 4−5−73−−92−1=4−5−739−21=17−14=3 9.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) −12−[−13−5−−4] 1 −12−[−13−5−−4]=−12−−13−54=−12−4−18=−12−−14 = =−1214=2 2 −12−[−13−5−−4]=−12135−4=−12135−4=18−16=2 b) 8−3−[−9−6] 1 8−3−[−9−6]=8−3−−9−6=5−−15=515=20 2 8−3−[−9−6]=8−3−−9−6=8−396=23−3=20
  • 11. c) [2−3−−25]−4 1 [2−3−−25]−4=[−1−3]−4=−1−3−4=−4−4=−4−4=−8 2 [2−3−−25]−4=2−3−−25−4=2−32−5−4=4−12=−8 d) −12[2−−25]−3 1 −12[2−−25]−3=−12[2−3]−3=−122−3−3=−12−1−3 = =−12−1−3=−16 2 −12[2−−25]−3=−122−−25−3=−1222−5−3=4−20=−16 e) 3−[−2−5−3]5 1 3−[−2−5−3]5=3−[−2−8]5=3−−2−85=3−−105 = = 3105=18 2 3−[−2−5−3]5=32−−5−35=32535=18 f) −[−5−5−2]−7 1 −[−5−5−2]−7=−[−5−3]−7=−−5−3−7=−−8−7=8−7=1 2 −[−5−5−2]−7=55−2−7=55−2−7=10−9=1 g) [−5−310]−[− 243−5] 1 [−5−310 ]−[− 243−5]=[−5−13]−[−6−2]= =−5−13−−6−2=−18−−8=−188=−10 2 [−5−310 ]−[− 243−5]=−5−31024−3−5 = =−5−3−1024−35=11−21=−10 h) −−2−5−[−−53−5−7]−2 1 −−2−5−[−−53−5−7]−2=−−7−[−−2−12]−2 = =−−7−2−12−2=−−7−−10−2=710−2=17−2=15
  • 12. 2 −−2−5−[−−53−5−7]−2=−−2−5−53−−5−7−2 = = 25−5357−2=22−7=15 i) −[−53−2−7]−3−25 1 −[−53−2−7]−3−25=−[−8−9]−3−25 = =−−8−9−3−25=−−17−15=17−15=22−1=21 2 −[−53−2−7]−3−25=53−−2−7−3−25 = = 5327−325=24−3=21 j) 3−[ 47−9−−193−10]−11−8−72 1 3−[ 47−9−−193−10]−11−8−72 = = 3−[11−9−3−29]−11−152=3−[2−−26]−11−152 = = 3−226−11−152=3−28−−42=3−2842=9−28=−19 2 3−[ 47−9−−193−10]−11−8−72 = = 3−47−9−193−10−11−8−72 = = 3−4−79−193−10−11872=32−51=−19 k) −8[−3−4− 932−1]−5 1 −8[−3−4− 932−1]−5=−8[−3− 4−122−1]−5 = =−8[−3−4−122−1]−5=−8[−3−6−12−1]−5 = =−8[−3−−6−1]−5=−8−36−1−5=−86−4−5 = =−82−5=−82−5=2−13=−11 2 −8[−3−4− 932−1]−5=−8−3−4−932−1−5 = =−8−3−493−2−1−5=−8−3−493−2−1−5=12−23=−11 l) −9−[−1−3−1−7]−10 1 −9−[−1−3−1−7]−10=−9−[−1−3−1−7]−10 = =−9−[−1−3−8]−10=−9−[−1−3−8]−10=−9−[−1−−5]−10 = =−9−−15−10=−9−4−10=−9−4−10=−23 2 −9−[−1−3−1−7]−10=−913−1−7−10 = =−913−1−7−10=−913−1−7−10 = =−913−1−7−10=4−27=−23
  • 13. 10.- Determina el valor del número entero desconocido x: a) 5 x−4=0 5x−4=0 x1=0 x=0−1 x=−1 b) −8−15−x =0 −8−15− x=0 −x−23=0 −x=023 −x=23 23 x= −1 x=−23 c) 79− x=0 79− x=0 −x 16=0 − x=0−16 −x=−16 −16 x= −1 x=16 d) x12−6=0 x12−6=0 x6=0 x=0−6 x=−6 e) 23− x=1 23− x=1 −x5=1 −x=1−5 −x=−4 −4 x= −1 x=4 f) −51−x =10 14 −51− x=10⇒−x−4=10 ⇒− x=104 ⇒−x=14 ⇒ x= ⇒ x=−14 −1
  • 14. g) 4−x −2=8 4−x−2=8 − x2=8 −x=8−2 −x =6 6 x= −1 x=−6 h) −3x−4=−5 −3x −4=−5 x−7=−5 x=−57 x=2 i) −102x=−3 −102 x=−3 x−8=−3 x=−38 x =5 j) −x−58=−12 −x−58=−12 −x3=−12 −x =−12−3 −x=−15 −15 x= −1 x=15 11.- Calcula: a) 9 ·−4 9 ·−4=−36 b) −75:5 −75:5=−15 c) −3·−16 −3·−16=48 d) 49 : −7 49 :−7=−7
  • 15. e) −6 · 20 −6 · 20=−120 f) −40 :−8 −40 :−8=5 g) −4 ·−5 ·−3 −4 ·−5 ·−3=−60 h) −8 · 3·−2 −8 · 3· −2=48 −60 i) −10 −60 =6 −10 96 j) −8 96 =−12 −8 k) 3 ·−9 ·5 3 ·−9 ·5=−135 l) −8 ·−2· −4 −8 ·−2· −4=−64 m) −6 · −5· 10· −2 −6 · −5· 10 ·−2=−600 n) 2 ·−3·−1·5 · 4 ·−6·−1 2 ·−3·−1·5 · 4 ·−6·−1=720 −72 ñ) −6 −72 =12 −6 −30 −30 o) =−2 15 15
  • 16. 12.- Calcula: 1 Respetando la jerarquía de las operaciones. 2 Aplicando la propiedad distributiva. a) −2 ·[5−3] 1 −2 ·[5−3]=−2 ·5−3=−2 · 2=−4 2 −2 ·[5−3]=−2 · 5−2·−3=−106=−4 b) −7·−4−6 1 −7· −4−6=−7 ·−10=70 2 −7· −4−6=−7 ·−4−−7 ·6=2842=70 c) 2 ·−47 1 2 ·−47=2· 3=6 2 2 ·−47=2· −42 · 7=−814=6 d) −5 ·3−6 1 −5 ·3−6=−5 ·−3=15 2 −5 ·3−6=−5 · 3−−5· 6=−1530=15 e) 6 ·−2−1 1 6 ·−2−1=6 ·−3=−18 2 6 ·−2−1=6 ·−2−6 · 1=−12−6=−18 f) −9· −85 1 −9· −85=−9 ·−3=27 2 −9· −85=−9 ·−8−9· 5=72−45=27 g) −57· 2 1 −57· 2=2 · 2=4 2 −57· 2=−5 · 27· 2=−1014=4 h) −4 ·−10−1 1 −4 ·−10−1=−4 ·−11=44 2 −4 ·−10−1=−4 ·−10−−4·1=404=44
  • 17. i) 6 ·−3−8 1 6 ·−3−8=6 ·−11=−66 2 6 ·−3−8=6 ·−3−6· 8=−18−48=−66 j) 5−9· −6 1 5−9· −6=−4 · −6=24 2 5−9· −6=5 ·−6−9 ·−6=−3054=24 k) −4 ·−623 1 −4 ·−623=−4 · −65=−4 ·−1=4 2 −4 ·−623=−4 · −6−4· 2−4· 3=24−8−12=24−20=4 l) 4 · −59−6 1 4 · −59−6=4 ·9−11=4 ·−2=−8 2 4 · −59−6=4 ·−54 ·9−4· 6=−2036−24=36−44=−8 m) [−37−−2]·−8 1 [−37−−2]·−8=−372·−8=9−3 ·−8=6 ·−8=−48 2 [−37−−2]·−8=−3·−87 ·−8−−2·−8=24−56−16=24−72=−48 n) [−815−3]· −3 1 [−815−3]· −3=−815−3·−3=15−11 ·−3=4 ·−3=−12 2 [−815−3]· −3=−8·−315 ·−3−3 ·−3=24−459=33−45=−12 13.- Calcula: 1 Respetando la jerarquía de las operaciones. 2 Sacando factor común. a) −5 · 8−5· 4 1 −5 · 8−5· 4=−40−20=−60 2 −5 · 8−5· 4=−5· 84=−5 ·12=−60
  • 18. b) −8 · 3−5 ·3 1 −8 · 3−5 ·3=−24−15=−39 2 −8 · 3−5 ·3=3 ·−8−5=3·−13=−39 c) 3 · 2−6 ·3 1 3 · 2−6 ·3=6−18=−12 2 3 · 2−6 ·3=3 ·[2−6]=3 ·2−6=3· −4=−12 d) −9· 4−4· −3 1 −9· 4−4· −3=−3612=−24 2 −9· 4−4· −3=4 ·[−9−−3]=4· −93=4 · −6=−24 e) −2 ·7−3·−2 1 −2 ·7−3·−2=−146=−8 2 −2 ·7−3·−2=−2 ·[7−3]=−2 ·7−3=−2· 4=−8 f) −11 · 5−5 ·9 1 −11 · 5−5 ·9=−55−45=−100 2 −11 · 5−5 ·9=5· −11−9=5· −20 =−100 g) −12 ·−913 ·−9 1 −12 ·−913 ·−9=108−117=−9 2 −12 ·−913 ·−9=−9 ·−1213=−9 ·1=−9 h) −3·−2−7 ·−2 1 −3·−2−7 ·−2=614=20 2 −3·−2−7 ·−2=−2 ·−3−7=−2· −10=20 i) 6 ·−38 · 6 1 6 ·−38 · 6=−1848=30 2 6 ·−38 · 6=6 · −38=6 · 5=30 j) −2 ·−4−−4· 3 1 −2 ·−4−−4· 3=812=20
  • 19. 2 −2 ·−4−−4· 3=−4·−2−3=−4·−5=20 k) −2 ·5−2· 6−2· −7 1 −2 ·5−2· 6−2· −7=−10−1214=14−22=−8 −2 ·5−2· 6−2· −7=−2 ·[56−7]=−2· 56−7=−2 ·11−7 = 2 =−2· 4=−8 l) −5 · 5−−5· 10−5 · 2 1 −5 · 5−−5· 10−5 · 2=−2550−10=50−35=15 2 −5 · 5−−5· 10−5 · 2=−5 ·5−102=−5· 7−10=−5· −3=15 m) −8 · 33 ·−4−−2· 3 1 −8 · 33 ·−4−−2· 3=−24−126=6−36=−30 −8 · 33 ·−4−−2· 3=3 ·[−8−4 −−2]=3 ·−8−42=3· 2−12= 2 = 3·−10=−30 n) 4 · −84 · 34 ·−2 1 4 · −84 · 34 ·−2=−3212−8=12−40=−28 4 · −84 · 34 ·−2=4· [−83−2]=4 ·−83−2=4· 3−10 = 2 = 4 ·−7=−28 14.- Calcula, sacando factor común: a) 7 · 4−3·−4 7 · 4−3· −4=7 · 43· 4=4 · 73=4 ·10=40 b) 3 ·−3−5 ·−6 3 ·−3−5 ·−6=3 ·−3−5 · 2 ·−3=3·−3−10 ·−3=−3 ·3−10 = =−3 ·−7=21 c) −9· −25 · 3 −9· −25 · 3=3 ·−3·−25 ·3=3 ·65 ·3=3· 65=3 ·11=33 d) 3 ·−5−3 ·7 3 ·−5−3 ·7=3 ·−53 ·−7=3 ·[−5−7]=3 ·−5−7=3 ·−12=−36 e) 4 · −1−−4· 2 4 · −1−−4· 2=4 ·−1−4 ·−2=4· [−1−−2]=4· −12=4· 1=4
  • 20. f) 5· −8−5· 7 5· −8−5· 7=5·−85· −7=5 ·[−8−7]=5 ·−8−7=5 ·−15=−75 g) 5· −3−6 · 4−3·−7 5· −3−6 · 4−3·−7=5· −3−3· 2· 4−3· −7 = = 5·−3−3· 8−3 ·−7=−3·[58−7]=−3·58−7 = = −3·13−7=−3·6=−18 h) −5 · 2−−3· 42 · 13 −5 · 2−−3· 42 · 13=−5· 2−−3· 2 · 22 ·13=−5 · 2−−6· 22 ·13 = = 2 ·[−5−−613]=2· −5613=2· 19−5=2 ·14=28 i) −4 ·−52 ·−34 ·−7 −4 ·−52 ·−34 ·−7=2 ·−2· −52 ·−32 · 2 ·−7= = 2 ·102 ·−32 ·−14=2 ·[10−3−14]=2 ·10−3−14=2 ·10−17 = = 2 ·−7=−14 j) 6 ·−5−4· 3−−9· 4 6 ·−5−4· 3−−9· 4=3 · 2· −5−4· 3−3 ·−3· 4 = = 3· −10−4· 3−3 ·−12=3· [−10−4−−12]=3· −10−412 = = 3· 12−14=3 ·−2=−6 k) −2 ·5−2· −112 ·−7 −2 ·5−2· −112 ·−7=2 ·−52 · 112 ·−7 = = 2 ·[−511−7]=2· −511−7=2· 11−12=2 ·−1=−2 l) 3 ·7−3 ·−96 3 ·7−3 ·−96=3 · 7−3 ·−93 · 2=3 ·[7−−92]=3 ·792=3· 18=54 15.- Saca factor común y calcula: a) 14−2 ·3 14−2 ·3=2 · 7−2· 3=2 ·7−3=2 · 4=8 b) 9−9· 2 9−9· 2=9 ·1−9 · 2=9 ·1−2=9 ·−1=−9 c) 20−25 20−25=5· 4−5 ·5=5· 4−5=5·−1=−5 d) −7−7 ·5 −7−7 ·5=−7 · 1−7 ·5=−7 ·15=−7 · 6=−42
  • 21. e) 921 921=3 · 33 · 7=3 ·37=3· 10=30 f) 8−6 8−6=2 · 4−2 · 3=2· 4−3=2 ·1=2 g) 20−−15 20−−15=5· 4−5 ·−3=5·[ 4−−3]=5· 43=5 · 7=35 h) −4−14 −4−14=2· −2−2 · 7=2 ·−2−7=2 ·−9=−18 i) −405−35 −405−35=5 ·−85· 15 ·−7=5· [−81−7]=5 ·−81−7=5 ·1−15 = = 5 ·−14=−70 j) 7−14−−28 7−14−−28=7 · 17 ·−2−7 ·−4=7· [1−2−−4]=7 ·1−24 = = 7· 5−2=7 · 3=21 k) −16−−324 −16−−324=4 ·−4−4 ·−84 ·1=4 ·[−4−−81]=4 ·−481 = = 4 ·9−4=4 ·5=20 h) 10−−8−12 10−−8−12=2 · 5−2· −4−2 · 6=2· [5−−4−6 ]=2· 54−6 = = 2 ·9−6=2 · 3=6 16.- Determina el valor del número entero x: a) −6 · x=30 −6 · x=30 30 x= −6 x =−5 b) x :−5=−2 x :−5=−2 x =−2· −5 x=10
  • 22. c) −8 : x=−1 −8 : x=−1 −8=−1 · x −8 x= −1 x=8 d) x · 4=−24 x · 4=−24 −24 x= 4 x=−6 e) 5· x =−20 5· x=−20 −20 x= 5 x=−4 f) 40 : x=−10 40 : x=−10 40=−10 · x 40 x= −10 x=−4 g) x :−8=2 x :−8=2 x=2· −8 x=−16 h) x ·−9=27 x ·−9=27 27 x= −9 x=−3 17.- Comprueba si son ciertas las siguientes igualdades: a) 715·−9−1=715· −9−1 {715·−9−1=22 ·−9−1=−198−1=−199}⇒715· −9−1≠715·−9−1 715·−9−1=7−135−1=7−136=−129
  • 23. b) 3−10−5=3−105 {3−10−5=3−5=−2}⇒ 3−10−5=3−105 3−105=8−10=−2 c) 12 :−4 ·3=12:−12 {12:−4·12 :−12=−1}⇒ 12:−4· 3≠12 :−12 3=−3 · 3=−9 d) 5−7 · 2=−2 · 2 {5−7 · 2=5−14=−9}⇒ 5−7 · 2≠−2 · 2 −2· 2=−4 e) 8−6· 4=2· 4 {8−6· 4=2 ·· 4=8}⇒8−6· 4=2· 4 2 4=8 f) 3−98−4 =3−98−4 {3−98−4=3−17−4=3−13=−10}⇒ 3−98−4≠3−98−4 3−98−4=11−13=−2 18.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 5−13 · 2−−4· 7 5−13 · 2−−4· 7=5−2628=33−26=7 b) −45: 98 ·−3−6 −45 :98 ·−3−6=−5−24−6=−35 c) −34:−2· 5 −34:−2· 5=17 · 5=85 d) 12 :−4−40 :−8 12 :−4−40 :−8=−35=2 e) 64 :−8·−7 64 :−8·−7=−8·−7=56 f) −9−21:−34 −9−21 :−34=−974=11−9=2
  • 24. g) −15 · 2−−16:−8 −15 · 2−−16:−8=−30−2=−32 h) −12−9· 6 :−2 −12−9· 6 :−2=−12−54 :−2=−1227=15 i) 7−3·−4−27 :−9 7−3· −4−27 :−9=7123=22 j) −45−−49:7 ·−6 −45−−49:7 ·−6=−457· −6=−45−42=−87 k) −206· −5:−2 −206· −5:−2=−20−30:−2=−2015=−5 l) 54 :−3· 2−9 ·−4 54 :−3· 2−9 ·−4=−18· 2−9 ·−4=−3636=0 19.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 45 :2−113 · 4 45 :2−113 · 4=45 : −93 · 4=−512=7 b) −36:−172 · 4 −36:−172 · 4=−36 :−178=−36 :−9=4 c) 8−4 ·−103−7 8−4 ·−103−7=8−4· −7−7=828−7=36−7=29 d) 2−[ 6−−31]8 :2 2−[6−−31]8 : 2=2−[6−−2]8: 2=2−628: 2=2−88: 2=2−84 = = 6−8=−2 e) 54 :−3−65−12 ·−2 54 :−3−65−12 ·−2=54 :−9−7 ·−2=−614=8 f) 9−4·−3−1−80 :−20 9−4·−3−1−80 :−20=5· −4−80 :−20=−204=−16
  • 25. g) 2 ·−7−[−5· 8−49] 2 ·−7−[−5· 8−4 9]=2 ·−7−−5· 49=2· −7−−209=2 ·−7−−11= =−14−−11=−1411=−3 h) −10 :−2−3−[4−1−7] −10 :−2−3−[4−1−7]=−10:−2−3−[4−−6]=−10 :−2−3−46= =−10 :−5−10=2−10=−8 i) 15−7−9 ·68 ·−2 15−7−9 ·68 ·−2=15−−2· 68 ·−2=1512−16=27−16=11 j) 6 ·−4−[5−12−9] 6 ·−4−[5−12−9]=6 ·−4−5−3=6 ·−4−2=−24−2=−26 k) 45 :−83 · 2−10 45 :−83· 2−10=45:−5· 2−10=−9 · 2−10=−18−10=−28 l) 20 ·−2 :5−16 :8· −3 20 ·−2 :5−16 :8· −3=−40 :5−2 ·−3=−86=−2 m) 3 ·4−6 · 2−15−5:−10 3 ·4−6 · 2−15−5:−10=3· 4−12−15−5:−10 =3· −8−20 :−10 = =−242=−22 n) −9−4·1−24 ·−8:−16 −9−4·1−24 ·−8: −16=−13· −14· −8: −16=13−32 :−16 = = 132=15 ñ) −10 ·−2−6:−20−7−4 −10 ·−2−6:−20−7−4=−10 ·−8:−20−3=80 :−20−3=−4−3=−7 o) 12 :3−7−2 ·−14 12 :3−7−2 ·−14=12 :−4−2 ·−14=−328=25 p) 8· −9 :−2 · 3−1 8· −9 :−2 · 3−1=8· −9 :−6−1=−72 :−6−1=12−1=11 q) [6 · 4−12−10]:−2 [6 · 4−12−10]:−2=[6 · −8−10]:−2=−48−10:−2=−58 :−2=29
  • 26. 20.- Determina el valor del número entero desconocido x: a) −36−x =9 ·−4−8 ·−5 −36−x =9· −4−8· −5 −36− x=−3640 −x=40 40 x= −1 x =−40 b) x :−39 ·−1=−15 x :−39 ·−1=−15 x :−3−9=−15 x :−3=−159 x :−3=−6 x=−6· −3 x=18 c) −5 · x=−5· −32 −5· x=−5 ·−32 −5· x =−5 ·−1 −5 · x =5 5 x= −5 x=−1 d) x−14=12 :6 ·−4−2· 7 x−14=12 :6 ·−4−2· 7 x−14=2 ·−4−2· 7 x −14=−8−14 x=−8 e) 7− x=7−8−12:−4 7−x=7−8−12:−4 7− x=7−−4:−4 7−x=7−1 x=1 f) 36−x=6−4 · 930 36−x=6−4 · 930 36−x=6−3630 36− x=36−36 x=36
  • 27. 21.- Coloca los paréntesis necesarios para que estas igualdades sean ciertas: a) −9· 3−5−8=10 −9· 3−5−8=−9 ·−2−8=18−8=10 b) −9· 3−5−8=−24 −9· 3−5−8=−27−−3=−273=−24 c) −9· 3−5−8=−40 −9· 3−5−8=−27−5−8=−40 22.- Calcula: −2 ·−8 a) 4 :−1 −2 ·−8 16 = =−4 4 :−1 −4 24:−3 b) −12:6 24:−3 −8 = =4 −12:6 −2 −2· 10· −5 c) −50·10 −2· 10· −5 100 = =−20 −50:10 −5 200:−2 d) −2· −1·−10 200:−2 −100 = =5 −2· −1·−10 −20 −258·−35 e) −79· 5−3−1 −258·−35 13−2·−35 11 · 2 22 = = = =11 −79 ·5−3−1 −79· 5−4 2· 1 2 [−2−3−6]−[4−32] f) −[−732] [−2−3−6]−[4−32] −2−3−6−432 −2−3−6−432 = = = −[−732] 7−32 7−3−2 5−15 −10 = = =−5 7−5 2
  • 28. [ 3−5−4]·[−2−−5−3] g) [−2−−5−3]:[6−21] [3−5−4]· [−2−−5−3] [3−1]·[−2−−8] 3−1· −28 = = = [−2−−5−3]:[6−21] [−2−−8]:[6−3] −28:6−3 2· 6 12 = = =6 6 :3 2 −−235−[−2−5−2][−35−−2−9] h) −[ 8−2−7−3] −−235−[−2−5−2][−35−−2−9] = −[8−2−7−3] −−23525−2−35−−2−9 2−3−525−2−3−529 = = = −8−27−3 −827−3 20−18 2 = = =−1 9−11 −2 23.- La diferencia entre de dos números es – 3. El segundo de ellos es – 1. Calcula el primero. x−−1=−3 x1=−3 x=−3−1 x=−4 24.- La diferencia entre de dos números es – 13 y el minuendo – 6. ¿Cuál es el sustraendo? −6−x=−13 − x=−136 −x=−7 −7 x= −1 x=7 25.- Halla el número que hay que sumar a 8 para que la mitad de la suma sea – 1. 8 x =−1 2 28 x =2 ·−1 2 8 x=−2 x=−2−8 x =−10 26.- El producto de dos números enteros es igual a – 270 y uno de ellos es el opuesto de 15. ¿Cuál es el otro? −270 x · op15=−270 ⇒ x ·−15=−270⇒ x= ⇒ x=18 −15
  • 29. 27.- ¿Por qué número hay que dividir – 105 para obtener – 7? −105 =−7 x −105=x ·−7 −105 x= −7 x=15 28.- Calcula: a) El doble de – 20 + 13. 2 ·−2013=2 ·−7=−14 b) La tercera parte de – 18 – 3. −18−3 −21 = =−7 3 3 c) El cuádruplo de – 63 : | – 7 |. 4 · −63 :∣−7∣=4· −63 :7=4 · −9=−36 29.- Halla el número que dividido entre – 6 da 5. x =5 −6 x=−6 ·5 x=−30 30.- Halla el número que multiplicado por – 8 da 96. x ·−8=96 96 x= −8 x=−12 31.- El dividendo de una división exacta es 108, y el cociente, – 18. ¿Cuál es el divisor? 108: d=−18 108=d ·−18 108 d= −18 d =−6 32.- Halla el número que dividido por 7 da – 5. x =−5 7 x=7· −5 x=−35
  • 30. 33.- ¿Qué número multiplicado por – 14 da 84? x ·−14=84 84 x= −14 x=−6 34.- Juan ha comprado un terreno de 450 m2 a 160 €/m2. Al cabo de un tiempo lo vende por 78.750 €. ¿Cuánto ganó por cada m2? −450 m2 · 160 € /m2 78.750 € −72.000 € 78.000 € 6.750 € 2 = 2 = 2 =15 € / m2 450 m 450 m 450 m 35.- En un día de invierno, la temperatura a las seis de la mañana es de 3 ºC bajo cero. Al mediodía ha subido 9 ºC, pero a las doce de la noche el termómetro marca 1 ºC bajo cero. ¿Qué diferencia de temperatura ha habido entre el mediodía y la medianoche? −1 ºC−−3 ºC9 ºC =−1 ºC −6 ºC=−7 ºC 36.- Euclides fue un matemático que vivió 60 años y murió en el 265 a. C. ¿En qué año nació? −265 años−60 años=−325 años 325 a. C. 37.- La primera mujer matemática conocida, Hypatia de Alejandría, nació en el 370 d. C. ¿Cuánto tiempo pasó desde que murió Euclides hasta que nació Hypatia? 370 años−−265 años=370 años265 años=635 años 38.- El pico más alto de España, con 3.478 m de altura, es el Mulhacén. El Sistema de Trave, a – 1.441 m de profundidad, es la cuarta sima más profunda del mundo. Halla la diferencia de altitud. 3.470 m−−1.441 m=3.470 m1.441 m=4.911 m 39.- El mes pasado, un empleado no fue a trabajar durante 5 días. Le han descontado un total de 195 € de su sueldo. ¿Cuánto dinero ha perdido cada día que no fue al trabajo? −195 € =39 € /día 5 días 40.- Un reloj atrasa 40 s cada hora. Si a las 9 de la mañana del lunes tenía la hora exacta, ¿qué hora tendrá a las 12 del mediodía? 12 h−9 h· −40 s/ h=3 h ·−40 s /h=−120 s : 60=−2 min de atraso 12 h−2 min ⇒11: 58 horas 41.- El primer mes del año, la gasolina bajó 5 céntimos, el segundo subió 3 céntimos, el tercero subió 8 céntimos y el cuarto bajó 2 céntimos. Calcula la variación total del precio de la gasolina en ese tiempo. −0,05 € 0,03 € 0,08 € −0,02 € =0,11 € −0,07 € =0,4 €
  • 31. 42.- Una comunidad de vecinos ha instalado placas solares y ha conseguido ahorrar 180 € en el recibo de la luz durante un año. ¿Cuál ha sido el ahorro mensual? −180 € :12 meses=−15 € /mes 43.- Pablo tenía 850 € en su cartilla de ahorros. Ha añadido 250 €/mes durante los últimos 5 meses. Sacó 2.300 € para pagar al carpintero. ¿Qué saldo le queda? 850 € 250 € /mes · 5 meses−2.300 € =850 € 1.250 € −2.300 € = = 2.100 € −2.300 € =−200 € 44.- En un instituto se juega una competición de fútbol entre las clases. Se consiguen 3 puntos al ganar un partido, 0 al empatar y – 2 al perder. De los 20 partidos jugados, una clase ha ganado 10 y ha empatado 5. ¿Cuántos puntos han logrado hasta ese momento? 10 ganados · 3 puntos/ ganado5 empatados · 0 puntos /empatado + + 5 perdidos ·−2 puntos / perdido=30 puntos0 puntos−10 puntos = = 30 puntos−10 puntos=20 puntos 45.- Una expedición científica a la Antártida ha enviado los siguientes datos sobre las temperaturas mínimas en una semana: Día Temperatura mínima Lunes – 27 ºC Martes – 25 ºC Miércoles – 23 ºC Jueves – 21 ºC Viernes – 21 ºC Sábado – 21 ºC Domingo – 26 ºC a) Representa los datos gráficamente, utilizando un diagrama de barras. Temperaturas mínimas en la Antártida 0 -5 Temperaturas (ºC) -10 -15 -20 -25 -30 lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo Días b) Calcula la máxima variación de temperaturas mínimas durante la semana. −21 ºC−−27 ºC =−21 ºC27 ºC=6 ºC
  • 32. 46.- Unos amigos han realizado a pie una ruta de montaña. Empezaron a 650 m sobre el nivel del mar. En la primera etapa subieron 150 m más. En la segunda etapa bajaron 200 m y en la tercera etapa subieron hasta alcanzar los 936 m de altura. a) Completa la siguiente tabla sobre las distintas altitudes alcanzadas: Salida 650 m 1.ª etapa 650 m150 m=800 m 2.ª etapa 800 m−200 m=600 m 3.ª etapa 936 m b) Representa gráficamente las distintas altitudes alcanzadas. Ruta de montaña 1000 900 800 700 600 Altitud (m) 500 400 300 200 100 0 Salida 1ª. etapa 2ª. etapa 3ª. etapa Etapas c) Calcula los metros que subieron en la última etapa. 936 m−600 m=336 m 47.- Durante dos meses, Marta ha ahorrado 6 € a la semana. Ha gastado 24 € en un regalo para su abuela. Si cuando empezó a ahorrar ya tenía 15 €, ¿cuánto dinero tiene ahora? 15 € 8 semanas· 6 € / semana−24 € =15 € 48 € −24 € =63 € −24 € =39 €