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Ejercicios resueltos: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS 2

Matemáticas 2º ESO

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SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA                         MATEMÁTICAS 2º ESO
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                             POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

                                    EJERCICIOS RESUELTOS

Potencias
 1.- Calcula el valor de las siguientes potencias:
     a) 2 3=8

    b)  −2  4=24 =16

    c) −24 =−16

    d) 2 2 =4

    e)  −2 5 =−25 =−32

    f) −25 =−32

    g)  −3 3=−33 =−27

    h) −33=−27

    i) 34 =81
           2
    j) −3  =32 =9

    k) −32 =−9

     l) 35 =243

   m) 53 =125
            4
    n)  −5  =54 =625

    ñ) −5 4 =−625

    o) 52 =25

    p)  −5 5=−55 =−3. 125

    q) −55 =3 . 125

     r) −10 3 =−10 3=−1 .000

     s) −10 3=−1 . 000

     t) 10 4=10 . 000
u)  −10 2 =102 =100

    v) −10 2 =−100

   w) 105 =100 . 000

    x)  −10 12=1012=1 . 000 .000 . 000 . 000

    y) −10 8=−100.000.000

2.- Halla las potencias sucesivas de – 1 y explica qué observas.
    −10=1
            1
    −1 =−1
    −12=1
    −13=−1
    −14=1
    −15=−1
   ················································································································································
     Exponente par ⇒ Potencia positiva                                        Exponente impar ⇒ Potencia negativa

3.- Escribe cada número como potencia, de formas distintas:
    a) 4


                { }
                   2
          4= 2 2
             −2

    b) 16




                 { }
              24
                  4
          16= −2
              42
              −42

    c) 25


                 { }
                       2
          25= 5 2
              −5

    d) 121


                   {            }
                 2
          121= 11 2
               −11
e) 9


               { }
           2
       9= 3 2
          −3

   f) 81




               { }
           34
                4
       81= −3
             2
           9
           −92

   g) – 8


               { }
                       3
       −8= −2
           −23

   h) – 27


                   { }
                 3
       −27= −3
            −33

4.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones:
     a) −32−22

       −32−22 ⇒ 3222 ⇒94 Verdadero

   b) 80−40

       80−40 ⇒ 11  Falso

   c) 34 4 3
           4   3
       3 4 ⇒8164  Falso

   d) −33−23

       −33−23 ⇒−33−2 3 ⇒−27−8 Falso

   e) 62 −62

       62 −62 ⇒ 6262 ⇒ 3636 Falso

   f) 13−13
           3       3       3   3
       1 −1 ⇒ 1 −1 ⇒1−1 Verdadero
5.- Calcula las siguientes potencias de base fracciones:

        
           2
         7
    a)
         9


        
              2
        7  7 2 49
          = 2=
        9  9 81


         
                  2
          6
   b)   -
          5


         
                  2   2
            6  6 36
        -     = 2=
            5  5 25


        
              3
        3
   c)
        4


        
              3
        3  33 27
          = 3=
        4  4 64


         
                  3
          2
   d)   -
          3


         
                  3       2
            2   2     4
        -     =- 2 =-
            3   3     9


        
              5
        1
   e)
        2


        
              5
        1  15 1
          = 5=
        2  2 32


         
                  4
          1
   f)   -
          2


         
                  4   4
            1  1    1
        -     = 4=
            2  2   16


         
                  6
         5
   g)
        11


         
                  6
         5   56
           = 6
        11  11
 
               2
           5
   h)    -
           7


         
               2
         5 5 2 25
        - = 2=
         7 7 49


          
                   4
               1
   i) − -
               6


            
                   4
           1   14   1
        −-   =− 4 =- 4
           6   6    6


          
                   3
               4
   j) − -
               5


            
                   3
           4     43 4 3 64
        −-   =− - 3 = 3 =
           5     5   5 125

6.- Calcula las siguientes potencias de base números decimales:
    a) 0,32
           2
        0,3 =0,09

   b) 0,012
               2
        0,01 =0,0001

   c) 0,43
           3
        0,4 =0,064

   d) 1,12
           2
        1,1 =1,21

   e) −1,41

        −1,41=−1,4

   f) −0,14
                   4   4
        −0,1 =0,1 =0,0001

   g) −0,15
                   5       5
        −0,1 =−0,1 =−0,00001
h) −11,050
                             0
        −11,05 =1

    i) 0,12
             2
        0,1 =0,01

    j) 0,53
             3
        0,5 =,125

    k) −0,053
                         3            3
        −0,05 =−0,05 =−0,000125

    l) −0,92

        −0,92 =0,92=0,81

    m) 0,34
             4
        0,3 =0,0081

    n) −0,00016
                                  6       6
        −0,0001 =0,0001 =0,000000000000000000000001

    ñ) 0,00023
                     3
        0,0002 =0,000000000008

    o) −0,025
                         5            5
        −0,02 =−0,02 =0,0000000032

Operaciones con potencias de la misma base
 7.- Calcula:
     a) 2 4 · 2 6
         4       6           10
        2 · 2 =2

    b) 62 · 64
         2       4           6
        6 · 6 =6

    c) −30 ·−35

        −30 ·−35=−35=−35

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Ejercicios resueltos: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS 2

  • 1. SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 2º ESO http://iesgrazalema.blogspot.com POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS EJERCICIOS RESUELTOS Potencias 1.- Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 2 3=8 b)  −2  4=24 =16 c) −24 =−16 d) 2 2 =4 e)  −2 5 =−25 =−32 f) −25 =−32 g)  −3 3=−33 =−27 h) −33=−27 i) 34 =81 2 j) −3  =32 =9 k) −32 =−9 l) 35 =243 m) 53 =125 4 n)  −5  =54 =625 ñ) −5 4 =−625 o) 52 =25 p)  −5 5=−55 =−3. 125 q) −55 =3 . 125 r) −10 3 =−10 3=−1 .000 s) −10 3=−1 . 000 t) 10 4=10 . 000
  • 2. u)  −10 2 =102 =100 v) −10 2 =−100 w) 105 =100 . 000 x)  −10 12=1012=1 . 000 .000 . 000 . 000 y) −10 8=−100.000.000 2.- Halla las potencias sucesivas de – 1 y explica qué observas. −10=1 1 −1 =−1 −12=1 −13=−1 −14=1 −15=−1 ················································································································································ Exponente par ⇒ Potencia positiva Exponente impar ⇒ Potencia negativa 3.- Escribe cada número como potencia, de formas distintas: a) 4 { } 2 4= 2 2 −2 b) 16 { } 24 4 16= −2 42 −42 c) 25 { } 2 25= 5 2 −5 d) 121 { } 2 121= 11 2 −11
  • 3. e) 9 { } 2 9= 3 2 −3 f) 81 { } 34 4 81= −3 2 9 −92 g) – 8 { } 3 −8= −2 −23 h) – 27 { } 3 −27= −3 −33 4.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones: a) −32−22 −32−22 ⇒ 3222 ⇒94 Verdadero b) 80−40 80−40 ⇒ 11  Falso c) 34 4 3 4 3 3 4 ⇒8164  Falso d) −33−23 −33−23 ⇒−33−2 3 ⇒−27−8 Falso e) 62 −62 62 −62 ⇒ 6262 ⇒ 3636 Falso f) 13−13 3 3 3 3 1 −1 ⇒ 1 −1 ⇒1−1 Verdadero
  • 4. 5.- Calcula las siguientes potencias de base fracciones:  2 7 a) 9  2 7 7 2 49 = 2= 9 9 81   2 6 b) - 5   2 2 6 6 36 - = 2= 5 5 25  3 3 c) 4  3 3 33 27 = 3= 4 4 64   3 2 d) - 3   3 2 2 2 4 - =- 2 =- 3 3 9  5 1 e) 2  5 1 15 1 = 5= 2 2 32   4 1 f) - 2   4 4 1 1 1 - = 4= 2 2 16   6 5 g) 11   6 5 56 = 6 11 11
  • 5.   2 5 h) - 7   2 5 5 2 25 - = 2= 7 7 49   4 1 i) − - 6     4 1 14 1 −- =− 4 =- 4 6 6 6   3 4 j) − - 5     3 4 43 4 3 64 −- =− - 3 = 3 = 5 5 5 125 6.- Calcula las siguientes potencias de base números decimales: a) 0,32 2 0,3 =0,09 b) 0,012 2 0,01 =0,0001 c) 0,43 3 0,4 =0,064 d) 1,12 2 1,1 =1,21 e) −1,41 −1,41=−1,4 f) −0,14 4 4 −0,1 =0,1 =0,0001 g) −0,15 5 5 −0,1 =−0,1 =−0,00001
  • 6. h) −11,050 0 −11,05 =1 i) 0,12 2 0,1 =0,01 j) 0,53 3 0,5 =,125 k) −0,053 3 3 −0,05 =−0,05 =−0,000125 l) −0,92 −0,92 =0,92=0,81 m) 0,34 4 0,3 =0,0081 n) −0,00016 6 6 −0,0001 =0,0001 =0,000000000000000000000001 ñ) 0,00023 3 0,0002 =0,000000000008 o) −0,025 5 5 −0,02 =−0,02 =0,0000000032 Operaciones con potencias de la misma base 7.- Calcula: a) 2 4 · 2 6 4 6 10 2 · 2 =2 b) 62 · 64 2 4 6 6 · 6 =6 c) −30 ·−35 −30 ·−35=−35=−35
  • 7. d) −2·−27 7 8 8 −2·−2 =−2 =2 e) −23 ·−22 · −2 3 2 6 6 −2 ·−2 · −2=−2 =2 =64 f) 32 ·3 0 · 3· 33 2 0 3 6 3 · 3 · 3 ·3 =3 g) −52 ·−52 ·−5 2 2 5 5 −5 ·−5 ·−5=−5 =−5 h) −62 ·−64 2 4 6 6 −6 ·−6 =−6 =6 i) −73 ·−7 ·−76 −73 ·−7 ·−76=−710=710 j) −34 ·−36 ·3 −34 ·−36 ·3=34 · 36 · 3=311  3 2 3 3 k) · 8 8   3 2 5 3 3 3 35 · = = 5 8 8 8 8 l)     1 1 1 · · 2 2 2       3 1 1 1 1 13 1 · · = = 3= 2 2 2 2 2 8 m)     - 3 2 3 · - · - 2 3 2       3 3 3 3 3 33 27 - · - · - =- =- 3 =- 2 2 2 2 2 8
  • 8.    2 4 5 5 n) - · - 2 2      2 4 6 5 5 5 56 - · - =- = 6 2 2 2 2 8.- Calcula: a) 110 :12 10 2 8 1 :1 =1 =1 b) 4 5 : 45 5 5 0 4 : 4 =4 =1 c) −34 :−32 4 2 2 2 −3 :−3 =−3 =3 =9 d) 97 :92 7 2 5 9 :9 =9 e) −58 :−53 8 3 5 5 −5 :−5 =−5 =−5 f) −48 :−47 −48 :−47=−41=−4 g) −915 :−99 −915 :−99=−96=96 h) −87 :8 2 −87 :8 2=−87 :−82=−85=−85   10 8 5 5 i) : 3 3    10 8 2 5 5 5 5 2 25 : = = 2= 3 3 3 3 9
  • 9.    8 5 2 2 j) - : - 3 3      8 5 3 2 2 2 23 8 - : - =- =- 3 =- 3 3 3 3 27  6 6 4 4 k) : 3 3   6 6 0 4 4 4 : = =1 3 3 3    2 1 1 l) - : - 2 2     2 1 1 1 1 1 - : - =- =- 2 2 2 2 9.- Calcula: 5 a) [ −34 ] 5 [ −34 ] =−320=3 20 2 b)  45  2  45  =410 12 c) [  −5  0 ] [ −5 0 ] 12 =−50=1 3 d) [ −92 ] 3 [ −92 ] =−96=96 2 e)  107  2  107  =1014=100.000.000.000.000 f) [ −10  2 ] 7 [ −10 2 ] =−1014=1014=100.000.000.000.000 7
  • 10. 2 g) [ −25 ] ·−23 2 [ −25 ] ·−23=−210 · −23=−213=−213 5 h) [ −46 ] :−46 5 [ −46 ] :−46 =−430 :−46=−424=424 [  ] 5 2 2 i) 3 [  ]   5 2 10 2 2 210 = = 10 3 3 3 [  ] 2 3 2 j) - 5 [  ]   2 3 6 2 2 26 - =- = 6 5 5 5 [  ] 3 5 4 k) - 3 [  ]   3 5 15 4 4 415 - =- =- 15 3 3 3 [    ] 3 4 2 l) 1 2 [    ] 3 4  2 24 1 1 124 1 = = = 2 2 224 224 10.- Determina el valor de las letras: a) −45 ·−4 x =−47 −45 ·−4 x =−47 ⇒5x=7 ⇒ x=7−5⇒ x=2 b) −612 : [  −6 4 ] =−64 x −612 : [ −6  ] =−64 ⇒−612 :−64 x =−64 ⇒ 12−4 x=4 ⇒−4 x=4−12 ⇒ 4 x −8 −4 x=−8⇒ x= ⇒ x =2 −4
  • 11. c) −73 ·−7 x =−78 3 x 8 −7 ·−7 =−7 ⇒ 3x =8⇒ x=8−3⇒ x=5 5 d)  3 x  =310  3 x  =310 ⇒ 5 x=10 ⇒ x= 10 ⇒ x =2 5 5 e) −24 :−23=−2 x −24 :−23=−2 x ⇒ x=4−3 ⇒ x=1 x f) [ −3  3 ] :−311=−3 12 [ −3 3 ] x 11 :−3 =−3 ⇒ 3 x−11=1⇒ 3 x=111⇒ 3 x=12⇒ x= ⇒ x=4 3 g) [  −9  x ] : 9 12=1 3 [ −9  x ] :912=1 ⇒−93 x :−912=−90 ⇒3 x−12=0 ⇒ 3 x=012⇒ 3 12 3 x=12 ⇒ x= ⇒ x =4 3 x h)  52  · −52=−58 x 6  52  · −52=−58 ⇒ 52 x · 52=58 ⇒ 2 x 2=8⇒ 2 x=8−2 ⇒ 2 x=6 ⇒ x = ⇒ x=3 2 Cambio de base en potencias 11.- Expresa en base 2: a) 1285=27 5=235 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1
  • 12. b) 324 = 25 4=2 20 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 c) 83=23  3=29 8 2 4 2 2 2 1 d) 1.0243=210 3=2 30 1.024 2 512 2 256 2 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 12.- Expresa en base 3: a) 812=34 2=38 81 3 27 3 9 3 3 3 1
  • 13. b) 27 7=3 37=3 21 27 3 9 3 3 3 1 c) 2433=35  3 =315 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 d) 2.187 2=372 =314 2.187 3 729 3 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 13.- Expresa en base 5: a) 1253=53 3=59 125 5 25 5 5 5 1 b) 257 =52 7=514 25 5 5 5 1
  • 14. c) 62510=54 10=5 40 625 5 125 5 25 5 5 5 1 d) 3.1257=557=535 3.125 5 625 5 125 5 25 5 5 5 1 14.- Resuelve las siguientes operaciones con potencias: a) 162 · 25 162 · 25=2 42 · 25=28 · 25 =213 b) 27 2 · 33 27 2 · 33=33 2 · 33=36 ·33 =39 c) 52 · 252 52 · 252=5 2 ·52 2=5 2 · 54=56 d) 165 : 23 165 : 23=2 4 5 :23=220 :23 =217 e) 812 :32 812 :32=34 2 : 32=38 :32=3 6 f) 2 3 · 162 ·32 2 3 · 162 · 32=23 ·2 4 2 · 25=23 · 28 · 25=216 g) 25 2 · 1252 : 52 25 2 · 1252 :5 2=5 22 ·53 2 :52 =54 ·56 :52=510 :52=58
  • 15. h) 9 4 :3 2 · 27 2 9 4 :3 2 · 27 2=3 24 :32 ·33 2=38 :32 ·36 =36 · 36=312 15.- Resuelve las siguientes operaciones, utilizando potencias: a) 9 ·−33 ·−3 9 ·−33 ·−3=32 · −33 ·−3=−32 · −33 ·−3=−36=36 b) −2 ·16 −2 ·16=−2 · 24=−2· −24 =−25=−25 c) −125 · 25 3 2 3 2 5 5 −125 · 25=−5 ·5 =−5 ·−5 =−5 =−5 d) 49 2 · −343: [ −7 3 ] 2 49 2 · −343: [  −7  ] = 7 2  · −7 3:−76=74 ·−73 :−76=−74 ·−73 :−76 = 3 2 2 7 6 1 = −7 :−7 =−7 =−7 3 e) 322 :  22  · 1.024 3 2 3 322 :  22  ·1.024= 2 5  :  22  · 210=210 : 26 · 2 10=2 4 · 210=214 [ 3 f) 92 ·  3 2  :81 ] [ 3 ] 2 92 ·  3 2  :81 = 32  · [ 36 :34 ] =34 · 32 =36 16.- Determina el valor de las letras: a) −32:−2x =4 −32:−2x =4 ⇒−2 5 :−2x =22 ⇒−25 :−2 x =−22 ⇒ 5− x=2 ⇒ −3 ⇒−x=2−5 ⇒−x=−3 ⇒ x= ⇒ x=3 −1 b) −27· −3 x =−243 −27 ·−3 x =−243⇒−33 ·−3x =−35 ⇒−33 ·−3x =−35 ⇒3 x=5 ⇒ x=5−3 ⇒ x=2  x 1 1 c) = 4 64     x x x 3 1 1 1 13 1 1 = ⇒ = 3⇒ = ⇒ x=3 4 64 4 4 4 4
  • 16.  x 2 16 d) = 5 625     x x x 4 2 16 2 24 2 2 = ⇒ = 4⇒ = ⇒ x=4 5 625 5 5 5 5 Potencias de operaciones 17.- Expresa como una única potencia: a) 35 · −75 5 5 5 5 5 3 · −7 =[ 3 ·−7 ] =−21 =−21 b) −154 :54 4 −154 :54=[ −15:5 ] =−34=3 4=81 c) −82 · −42 · 32 2 −82 · −42 · 32 =[ −8 ·−4· 3 ] =962 d) 69 :−39 9 69 :−39=[ 6 :−3 ] =−29=−2 9 e) −56 · −106 · 46 6 −56 · −106 · 46=[ −5· −10· 4 ] =200 6 4 f) −158 :  3 2  4 −158 :  3 2  =−158 : 38=[  −15  :3 ] =−58=58 8 g) −25 · 35 5 −25 · 35=[ −2· 3 ] =−65=−65 h) −103 · −23 ·5 3 3 3 3 3 3 −10 · −2 ·5 =[ −10·−2· 5 ] =100 =1.000.000 4 2 i) [ −403 ] : [ −206 ] 4 2 [ −403 ] : [ −206 ] =−4012 :−2012=[ −40:−20 ]12=212
  • 17.  7 7 9 6 j) : 5 5       7 7 7 7 7 9 6 9 6 45 3 37 : = : = = = 7 5 5 5 5 30 2 2 18.- Eleva los productos a las potencias: 3 a) [ −2 ·3 ·−5 ] [ −2 ·3 ·−5 ] =−23 · 33 ·−53=−23 · 33 ·  −53  3 3 b) [ −23 ·3 2 ·−52 ] 3 3 3 3 [ −23 ·3 2 ·−52 ] =[ −23 ] ·  3 2  · [ −52 ] =−29 ·3 6 ·−56 =−29 · 36 ·5 6=−29 ·156 [     ] 2 3 4 1 3 5 c) · - · 2 4 3 [      ] [  ] [   ]               2 3 4 2 4 3 4 4 8 12 4 8 12 4 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 · - · = · - · = · - · = · · 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 [   ] 3 2 2 1 3 3 d) - · · - 2 5 2 [    ] [  ]   [   ]             3 2 2 3 2 2 2 2 6 2 4 6 2 4 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 - · · - = - · · - =- · · - = · · 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 19.- Expresa como una única potencia: a) −125 · 64· −27 3 −125 · 64 ·−27=−53 · 43 ·−33=−53 · 43 ·−33=[ −5· 4 · −3 ] =603 b) −1.000 :−8 3 −1.000 :−8=−103 :−2 3=−103 :−23=[ −10:−2 ] =53=125 c) −216 :8· −53 3 3 −216 :8· −53=−63 : 23 · −53=−63 : 23 · −53=[ −6: 2 ·−5 ] =[ −3·−5 ] =153 d) −64 :−43 3 −64 :−43=−4 3 :−43=−43 :−43= [ −4:−4 ] =13=1
  • 18. e) −43 :−4· 4 2 2 −43 :−4· 4 2=−43 :−4·−4 2 =−42 ·−42= [ −4· −4 ] =162 f) 2 13 :[−2 ·−25 · 27 ] 2 13 :[−2 ·−25 · 27 ]=213 :[−26 · 27 ]=213 :  26 · 27 =213 : 213= 2: 213=113 =1 20.- Determina el valor de las letras: a) −24 ·−34= x 4 4 −24 ·−34= x 4 ⇒ [ −2· −3 ] = x 4 ⇒−2· −3=x ⇒ x =6 b) −186 :−96 =2 x 6 −186 :−96 =2 x ⇔ [ −18:−9 ] =2 x ⇒ 26 =2 x ⇒ x=6 c) x 3 :53=−253 x 3 :53=−253 ⇒ x :53=−253 ⇒ x : 5=−25⇒ x=−25· 5⇒ x=−125 d) 72 · x 2=−422 −42 72 · x 2=−422 ⇒7 · x 2=−422 ⇒7 · x=−42 ⇒ x= ⇒ x=−6 7 e) −69 ·−39 ·−2x =−369 9 −69 ·−39 ·−2x =−369 ⇒ [ −6· −3 ] · −2 x =−369 ⇒ 189 · −2x =−369 ⇒ 9 ⇒−2x =−369 :189 ⇒−2x =[ −36 :18 ] ⇒−2x =−29 ⇒ x=9 f) 25 ·−85=−16 x 5 2 5 ·−85=−16 x ⇒ [ 2 ·−8 ] =−16 x ⇒−165=−16 x ⇒ x=5 g) −9 x :3 4=−34 x 4 4 x 4 4 x 4 x 4 −9 :3 =−3 ⇒−9 =−3 · 3 ⇒−9 =[ −3· 3 ] ⇒−9 =−9 ⇒ x =4 h) −30 x : −5 x =62 x −30 x :−5 x =62 ⇒ [ −30 :−5 ] =6 2 ⇒ 6 x =62 ⇒ x =2 i) 144 : x 4 =74 14 144 : x 4=7 4 ⇒14 : x 4=7 4 ⇒ 14 : x=7 ⇒14=7 x ⇒ x= ⇒ x=2 7
  • 19. j) 4 9 · x 9=−169 −16 4 9 · x 9=−169 ⇒4 · x 9 =−169 ⇒ 4 x=−16 ⇒ x = ⇒ x=−4 4 3 k)  x3  :7 =−1 9 3  x3  9 9 9 :7 =−1 ⇒ x :7 =−1 ⇒ x : 7 =−1 ⇒ x :7=−1 ⇒ x=−1 · 7⇒ x=−7 9 9 Operaciones combinadas con potencias de exponente natural 21.- Expresa como una única potencia: a) 4 9 : 44 : 43 · 4 7 9 4 3 7 5 3 7 2 7 9 4 : 4 : 4 · 4 =4 :4 · 4 =4 · 4 =4 b) −77 : [−76 :−72 ] ·−75 −77 : [−76 :−72 ] ·−75=−77 :−74 ·−75=−73 ·−75=−78=78 c) 712 : 76 :7 4 · 75 :76 12 6 4 5 6 6 4 5 6 2 5 6 7 6 7 : 7 : 7 ·7 :7 =7 :7 · 7 :7 =7 · 7 :7 =7 :7 =7 d) −211 : [−26 · −23 ] ·−23 ·−22 −211 : [−26 · −23 ] ·−23 ·−22=−211 :−29 ·−23 ·−22=−22 · −23 ·−22 = =−27=−2 7 e)  513 :59  :  510 :5 8 · 57 :55  513 :59  :  510 :58  · 57 :55=54 :52 ·57 :55=52 · 57 :55=59 :55=5 4 2 f) 4 18 :  47  · 45 2 4 18 :  47  · 45=418 : 414 · 45=4 4 · 4 5=4 9 2 5 g)  610  :  6 4  2 5  610  :  6 4  =6 20 :6 20=60=1 3 2 k) 1531 :  158  ·15 4 :  153  3 2 1531 :  158  ·15 4 :  15 3 =1531 :15 24 ·15 4 :156 =157 · 154 :156=1511 :156 =155
  • 20. 4 l) [ −4 2 ] : [−49 :−43 ] ·−42 [ −4 2 ] : [−4 9 :−43 ] ·−42=−48 :−46 · −42=−42 ·−42 =−44 =4 4 4 m) −157 : [ 35 ·−55 ] −157 : [ 35 ·−55 ]=−157 :−155=−152 =152  2 3 4 3 3 3 ñ) · · 5 5 5   2 3 4 9 9 3 3 3 3 3 · · = = 9 5 5 5 5 5  5 3 6 2 3 3 3 3 o) · : · 8 8 8 8     5 3 6 2 8 6 2 2 2 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 · : · = : · = · = = 4 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 [  ] [     ] [   ] 9 5 28 4 2 9 3 3 3 3 p) : : : 7 7 7 7 [  ] [     ] [   ]             9 5 28 4 2 9 45 24 18 21 18 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 : : : = : : = : = = 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 [   ] [     ] [  ] 3 20 28 14 5 3 3 3 3 3 q) : · : 4 4 4 4 [  ] [    ] [   ]             3 20 28 14 5 3 60 42 15 18 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 27 : · : = : : = : = = 3= 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64      7 5 6 4 4 4 4 4 r) - · - : - · - 3 3 3 3                7 5 6 4 12 6 4 6 4 10 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 - · - : - · - =- : - · - =- · - =- = 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 [  ] [    ] [   ] 9 5 28 4 2 10 5 5 5 5 s) - : - : - : - 7 7 7 7 [  ] [    ] [   ]           9 5 28 4 2 10 45 24 20 20 20 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 - : - : - : - =- : - : - =- : - =- 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
  • 21. 22.- Calcula: a) 37· 4−−23−6 37· 4−−23 −6=318−−8−6=3288−6=39−6=33 b) −1027 :3 2 · 5−2 2 −1027 :3 · 5−2=−1027 :9· 5−2=−103· 5−2=−1015−2=15−12=3 c) 47−52−−42−18 :3  :2 47−52−−42−18 :3  :2=422−−16−6: 2=44−−22 :2=4411=19 2 d) 32− [ 1− 12−32  ] · 6 :3 2 2 32− [ 1− 12−3  ] · 6 :3=32−[ 1−12−9 ] · 6 :3=32−[ 1−3 ] · 6 :3 = 2 2 = 32−1−32 · 6 :3=32−−22 · 6 :3=32−4 · 6 :3=32−24 : 3=32−8=24 e) −53· 4−25 −53 · 4−25=−512−32=12−37=−25 2 f) 34 ·  82−5 ·12  2 34 ·  82−5 ·12  =34 ·  64−60  =34 · 4 2=34 · 16=364=67 2 g) 62 −24 :6 :2 2 6 −24 :6 :2=36−4 : 2=36−2=34 4 h)  32  : [−2−−52 ] : 32 4  32  : [−2−−52 ] : 32=38 : [ −2−25 ] :3 2=38 :−2−25:3=38 ·−27 :32=3 8 :−33 :3 2 = = −38 :−33 :−32=−35 :−32=−33=−33=−27 2 i) [  82 −1  : 32 ] 5 · [ 34−17 ] 2 [  82 −1  : 32 ] 5· [ 34−17]= [ 64−1 :9 ]25 ·34−17=63 :925 · 17=7 285 = = 4985=134 j) 102 −4 ·5 2−53 2 2 3 10 −4 ·5 −5 =100−4· 25−125=100−100−125=100−225=−125 k) −57 · 47 :−107 7 7 7 7 7 7 −5 · 4 :−10 =[ −5· 4 :−10 ] =[ −20 :−10 ] =2
  • 22. 2 l) −93 ·9 2 : [  −9 2 ] −93 ·9 2 : [ −9  ] =−93 ·−92 :−94=−95 :−94=−9 2 2 2 m) [−32:−23 ] · 4 2 2 2 [−32:−23 ] · 4=[−2 5 :−23 ]2 · 2 2=[ −25 :−23 ] ·−22=[ −22 ] ·−22 = = −24 ·−22=−26=26=64 Potencias de exponente entero 23.- Calcula: a) 3−3 −3 1 1 3 = = 33 27  −2 3 b) 7   −2 2 2 3 7 7 49 = = 2= 7 3 3 9 c) −7−2 1 1 1 −7−2= = 2= −7 7 49 2 d) 7−2 1 1 7−2 = = 7 2 49 e) 1−11 −11 1 1 1 = = =1 111 1 f) −1−7 1 1 1 −1−7= = 7= =−1 7 −1 −1 −1 g) −1−6 1 1 1 −1−6= = 6 = =1 −1 1 1 6
  • 23. h) −7−3 1 1 1 −7−3= 3 = 3 =- 3 −7 −7 7  −5 2 i) 5   −5 5 2 5 55 = = 5 5 2 2   −3 3 j) - 2     −3 3 3 3 2 2 8 - =- =- 3 =- 2 3 3 27   −2 3 k) - 2     −2 2 3 2 22 4 - =- = 2= 2 3 3 9   −3 3 l) −4     −3 3 3 3 4 4 64 =- =- 3 =- −4 3 3 27  −2 1 m) 3   −2 2 1 3 32 9 = = 2 = =9 3 1 1 1  −3 1 n) 5  −3 1 =53=125 5  −1 5 ñ) 3  −1 5 3 = 3 5
  • 24. 24.- Expresa en base dos: a) 0,59  9 1 =2−9 9 0,5 = 2 b) 0,253  3 1 −3 0,253= =4−3= 2 2  =2−6 4 c) 0,5−4  −4 1 0,5−4 = =24 2 d) 0,25−6  −6 1 6 0,25−6= =4 6= 22  =212 4 Operaciones combinadas con potencias de exponente entero 25.- Calcula: −6 a) 11−4 :116 ·  11−2  −6 11−4 :116 ·  11−2  =11−4−6 · 1112 =11−10 · 1112=11−1012=112=121  3 4 2 2 b) : 5 5    3 4 3−4 −1 2 2 2 2 5 : = = = 5 5 5 5 2   −2 −1 1 1 c) · 7 7   −2 −1 1 1 1 · =72 · 7=7 3 7 7      −2 −1 −2−1 −2−1 −3 1 1 1 1 1 2 · = = = =73 7 7 7 7 7 −2 d) [  −4  2 ] 1 1 [ −4 2 ] −2 −4 = −4  = 4 = 4 −4 4
  • 25. [  ] 0 −9 3 e) 4 [  ]   0 −9 0 3 3 = =1 4 4   −1 −3 2 2 f) · 3 3     −1 −3 3 4 4 2 2 3 3 3 3 81 1 · = · = = 4= 3 3 2 2 2 2 16       −1 −3 −1−3 −1−3 −4 4 4 2 2 2 2 2 3 3 81 2 · = = = = = 4= 3 3 3 3 3 2 2 16 g) 6−3 :6−2  3 2 −3 1 1 1 −2 1 6 :6 = : = 6 6 6 1 2 6−3 :6−2=6−3−−2 =6−32=6−1= 6 h) −2−2 ·−2−3 1 1 1 1 1 1 1 −2−2 ·−2−3= · = = 5 =- 5 =- 2 3 5 −2 −2 −2 −2 2 32 −2 −3 −2−3 −2−3 −5 1 1 1 1 2 −2 ·−2 =−2 =−2 =−2 = = 5 =- 5 =- 5 −2 −2 2 32 i) 4−3 : 4−1 −3 −1 −3−−1 −31 −2 1 1 1 4 : 4 =4 =4 =4 = = 4 16 2 −3 −1 1 1 4 1 1 2 4 :4 = : = 3= 2 = 4 4 4 4 16 3 j) −72 :−74 2 4 2−4 −2 1 1 1 −7 :−7 =−7 =−7 = = 2= −7 7 49 2 k) 4 3 : 44 1 4 3 : 44 =4 3−4=4−1= 4
  • 26.  −2 1 l) :3 3  −2 1 : 3=32 :3=3 3   −5 3 5 2 m) · 2 5     −5 3 5 3 8 5 2 2 2 2 28 · = · = = 8 2 5 5 5 5 5  4 −2 2 3 n) : 3 2    4 −2 4 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 : = : = = 2= 3 2 3 3 3 3 9   −1 2 4 3 4 ñ) · · 3 4 3     −1 2 2 4 4 3 4 4 4 4 4 44 · · = · · = = 4 3 4 3 3 3 3 3 3   −3 5 3 1 1 1 o) : · 8 8 8         −3 5 3 −3−5 3 −8 3 −83 −5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : · = · = · = = =85 8 8 8 8 8 8 8 8 8 p) −4−2 : [ −46 · −4−3 ] ·−45 · −4−4 −4−2 : [ −46 · −4−3 ] ·−45 · −4−4=−4−2 :−43 ·−4 5 ·−4−4 = =−4 −2 −3 ·−45 · −4−4=−4−5 ·−45 ·−4−4=−4−55 · −4−4 = 1 1 =−4 0 ·−4−4=−4−4 = 4 = 4 −4 4 [  ]     [  ] 2 3 −5 4 −2 6 5 5 5 5 q) : : : 7 7 7 7 [  ]     [  ]               2 3 −5 4 −2 6 6 −5 4 −12 6−−5  4 −12 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 : : : = : : : = : : = 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7         6 5 4 −12 11 4 −12 7 −12 7−−12 712 19 19 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = : : = : : = : = = = = 19 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
  • 27. Notación científica 26.- Expresa en notación científica: a) 12.000.000.000.000 12.000.000.000.000=1,2 ·10 13 b) 7.000.000.000.000.000.000.000 21 7.000.000.000.000.000.000.000=7 ·10 c) 254.000.000 254.000.000=2,54 · 108 d) 0,00000078 −7 0,00000078=7,8· 10 e) 24,5 24,5=2,45 ·10 f) 0,015 0,015=1,5 · 10−2 g) 99 99=9,9· 10 h) 150.000.000 8 150.000.000=1,5 · 10 i) 311 311=3,11 · 102 j) 6,024 6,024=6,024 k) 0,0001 −4 0,0001=1 · 10 l) 482,6 482,6=4,826· 102
  • 28. m) 0,000232 0,000232=2,32 ·10−4 n) 427.200 5 427.200=4,272· 10 ñ) 0,328 0,328=3,28· 10−1 o) 289,5 2 289,5=2,895 ·10 27.- Expresa en notación decimal: a) 8· 108 8 8· 10 =800.000.000 b) 3,12 ·10 5 5 3,12 ·10 =312.000 c) 4,18 · 10−6 −6 4,18 · 10 =0,00000418 d) 1,001· 103 3 1,001· 10 =1.001 e) 3,8 ·10−2 −2 3,8 ·10 =0,038 f) 3,28 ·10 3,28 ·10=32,8 g) 2,525 ·10 7 7 2,525 · 10 =25.250.000 h) 3,248· 103 3 3,248 ·10 =3.248
  • 29. i) 1· 10−5 −5 1· 10 =0,00001 j) 5,525· 102 2 5,525· 10 =552,5 k) 3,48 ·10−6 −6 3,48 ·10 =0,00000348 l) 6,324 ·10 4 4 6,324 ·10 =63.240 m) 2,18 ·10−4 −4 2,18 ·10 =0,000218 n) 1,1111· 102 2 1,1111· 10 =111,11 ñ) 9,9 ·10−18 −18 9,9 ·10 =0,0000000000000000099 o) 9,6589 ·10−12 −12 9,6589 ·10 =0,0000000000096589 Cuadrados perfectos y raíces cuadradas 28.- Determina si son cuadrados perfectos: a) 64 82=64⇒ 64 ; número cuadrado perfecto b) 70 82=647081=9 2 ⇒ 70 ; número no cuadrado perfecto c) 100 2 10 =100⇒ 100 ; número cuadrado perfecto d) 225 2 15 =225⇒ 225 ; número cuadrado perfecto
  • 30. e) 111 2 2 10 =100111121=11 ⇒111 ; número no cuadrado perfecto f) 24 2 2 4 =162425=5 ⇒ 24 ; número no cuadrado perfecto g) 16 4 2=16 ⇒16 ; número cuadrado perfecto h) 50 2 2 7 =495064=8 ⇒50 ; número no cuadrado perfecto i) 169 132=169 ⇒169 ; número cuadrado perfecto j) 84 2 2 9 =8184100=10 ⇒ 84 ; número no cuadrado perfecto k) 144 122 =144⇒ 144 ; número cuadrado perfecto l) 120 2 2 10 =100120121=11 ⇒120 ; número no cuadrado perfecto 29.- Escribe todos los cuadrados perfectos que hay entre 200 y 300. 200225=152256=16 2289=172300 30.- Escribe como suma de dos cuadrados perfectos los siguientes números: a) 17 17=116=12 4 2 b) 29 29=425=2 252 c) 41 2 2 41=1625=4 5 2 2 d) 109 109=9100=3 10
  • 31. 31.- Calcula la raíz cuadrada y el resto de los siguientes números: a) 7 2 2=479=32 ⇒  7=2 r=7−2 2=7−4=3 b) 39 6 =363949=7 ⇒  39=6 2 2 2 r =39−6 =39−36=3 c) 13 32=91316=42 ⇒  13=3 r =13−3 2=13−9=4 d) 55 7 =495564=8 ⇒  55=7 2 2 2 r =55−7 =55−49=6 e) 110 102 =100110121=112 ⇒  110=10 r=110−10 2=110−100=10 f) 10 3 =91016=4 ⇒  10=3 2 2 2 r=10−3 =10−9=1 g) 75 8 =647581=9 ⇒  75=8 2 2 2 r=75−8 =75−64=11 h) 92 9 =8192100=10 ⇒  92=9 2 2 2 r =92−9 =92−81=11 i) 140 11 =121140144=12 ⇒  140=11 2 2 2 r =140−11 =140−121=19 j) 67 8 =646781=9 ⇒  67=8 2 2 2 r=67−8 =67−64=3 k) 109 102 =100109121=112 ⇒  109=10 r=109−102=109−100=9 l) 124 11 =121124144=12 ⇒  124=11 2 2 2 r =124−11 =124−121=3
  • 32. Algoritmo de la raíz cuadrada 32.- Calcula: a)  520 22 5 20 –4 42 · 2 = 84 120 – 84  520=22 ; r =36 2 r= 36 Comprobación: 22 36=48436=520 b)  6.321 79 63 21 – 49 149 · 9 = 1.341 1421 – 1341  6.321=79 r =100 r= 100 Comprobación: 792 =6.241100=6.341 c)  15.361 123 1 53 61 –1 22 · 2 = 44 053 – 44 243 · 3 = 729 0961 – 729  15.361=123 ; r =232 r= 232 Comprobación: 1232=15.129232=15.361 d)  375.484 612 37 54 84 – 36 121 · 1 = 121 0154 – 121 1222 · 2 = 2.444 03384  375.484=612 ; r =940 – 2444 Comprobación: 2 r= 0940 612 940=374.544940=375.484
  • 33. e)  324 18 3 24 –1 28 · 8 = 224 224 – 224  324=18 ; r =0 ⇒raìz cuadrada exacta r= 000 Comprobación: 182=324 f)  7.275 85 72 75 – 64 165 · 5 = 825 0875 – 825  7.275=85 ; r=50 r= 050 Comprobación: 852=7.22550=7.275 g)  83.083 288 8 30 83 –4 48 · 8 = 384 430 – 384 568 · 8 = 4.544 04683  83.083=288 ; r=139 – 4544 Comprobación: r= 0139 288 2139=82.944139=83.083 h)  715.517 845 71 55 17 – 64 164 · 4 = 656 0755 – 656 1685 · 5 = 8.425 09917  715.517=845 ; r=1.492 – 8425 Comprobación: r= 1492 84521.492=714.0251.492=715.517
  • 34. i)  468.864 684 46 88 64 – 36 128 · 8 = 1.024 1088 – 1024 1364 · 4 = 5.456 006464  468.864=684 ; r=1.008 – 5456 Comprobación: r= 1008 6842 1.008=467.8561.008=468.864 j)  62.413 249 6 24 13 –4 44 · 4 = 176 224 – 176 489 · 9 = 4.401 04813  62.413=249 ; r =412 – 4401 Comprobación: r= 0412 249 2412=62.001412=62.413 33.- Determina el número de cifras que puede tener el radicando cuando la raíz cuadrada tiene: a) 1 cifra raíz cuadrada ; 1 cifra ⇒ radicando ; 1 ó 2 cifras Ejemplos: 8, 24 b) 2 cifras raíz cuadrada ; 2 cifras ⇒ radicando ; 3 ó 4 cifras Ejemplos: 518, 6.124 c) 3 cifras raíz cuadrada ; 3 cifras ⇒ radicando ; 5 ó 6 cifras Ejemplos: 42.325, 715.124 d) 4 cifras raíz cuadrada ; 4 cifras ⇒ radicando ; 7 ó 8 cifras Ejemplos: 3.422.123, 24.615.724 34.- Sin resolver, determina el número de cifras de los siguientes números: a) 957 radicando ; 3 cifras ⇒ raíz cuadrada ; 2 cifras
  • 35. b) 5.843 radicando ; 4 cifras ⇒ raíz cuadrada; 2 cifras c) 18.302 radicando ; 5 cifras ⇒ raíz cuadrada ; 3 cifras d) 508.270 radicando ; 6 cifras ⇒ raíz cuadrada ; 3 cifras Raíces cuadradas de números decimales 35.- Calcula: a)  4.215 ; aproximando a las décimas 64,9 42 15 – 36 124 · 4 = 496 0615 – 496 1289 · 9 = 11.601 11900 – 11601 r= 00299 r =299 :100=2,99 Comprobación : 64,92 2,99=4.212,012,99=4.215 b)  39 ; aproximando a las centésimas 6,24 39 – 36 122 · 2 = 244 0300 – 244 1244 · 4 = 4.976 05600 – 4976 r= 0624 r =624 :10.000=0,0624 Comprobación : 6,24 20,0624=38,93760,0624=39
  • 36. c)  137,05 11,7 1 37, 05 –1 21 · 1 = 21 037 – 21 227 · 7 = 1.589 1605 – 1589 r= 0016 r =16 :100=0,16 Comprobación : 11,720,16=136,890,16=137,05 d)  976,37 31,2 9 76, 37 –9 61 · 1 = 61 076 – 61 622 · 2 = 1.244 1537 – 1244 r= 0293 r =293 :100=2,93 Comprobación : 31,22 2,93=973,442,93=976,37 e)  78,134 8,83 78, 13 40 – 64 168 · 8 = 1.344 1413 – 1344 1763 · 3 = 5.289 006940 – 5289 r= 1651 r =1.651 :10.000=0,1651 Comprobación : 8,8320,1651=77,96890,1651=78,134
  • 37. f)  2,3748 1,54 2, 37 48 –1 25 · 5 = 125 137 – 125 304 · 4 = 1.216 01248 – 1216 r= 0032 r =32 :10.000=0,0032 Comprobación : 1,542 0,0032=2,37160,0032=2,3748 g)  214,8 14,6 2 14, 80 –1 24 · 4 = 96 114 – 96 286 · 6 = 1.716 01880 – 1716 r= 0164 r =164 :100=1,64 Comprobación : 14,62 1,64=213,161,64=214,8 h)  21,315 4,61 21, 31 50 – 16 86 · 6 = 516 0531 – 516 921 · 1 = 921 01550 – 921 r= 0629 r =629 :10.000=0,0629 Comprobación : 4,61 20,0629=21,25210,0629=21,315
  • 38. i)  0,37852 0,615 0, 37 85 20 – 36 121 · 1 = 121 0185 – 121 1225 · 5 = 6.125 06420 – 6125 r= 0295 r =295 :100.000=0,000295 Comprobación : 0,6152 0,000295=0,3782250,000295=0,37852 j)  3,0405 1,74 3, 04 05 –1 27 · 7 = 189 204 – 189 344 · 4 = 1.376 01505 – 1376 r= 0129 r =129 :10.000=0,0129 Comprobación : 1,742 0,0129=3,02760,0129=3,0405 k)  26,321 5,13 26, 32 10 – 25 101 · 1 = 101 0132 – 101 1023 · 3 = 3.069 03110 – 3069 r= 0041 r =41:10.000=0,0041 Comprobación : 5,1320,0041=26,31690,0041=26,321
  • 39. l)  1,34523 1,159 1, 34 52 30 –1 21 · 1 = 21 034 – 21 225 · 5 = 1.125 1352 – 1125 2.309 · 9 = 20.781 022730 – 20781 r= 01949 r =1.949 :100.000=0,001949 Comprobación : 1,15920,001949=1,3432810,001949=1,34523 Raíces cuadradas de operaciones 36.- Escribe como potencia de una raíz y calcula: a)  363  363=   36  =6 3 3 b)  647 7 7  647 =  64  =8 7= 2 3  =2 21 c)  35 ·  625 3   625 625   2 =  3 4 · 625=  3 4 · 54 =  3· 5  =  152  =   152  =152 2  35 · 3 = 35 · 3 4 d)  323 :  23 3 3  323 :  23=  323 : 23= 32 :23= 163=  16  =4 3= 22  =26=64 e)  74  74 =  72  = 7 2  =72=49 2 2 f)  813 3 3  813=  81  =93= 3 2  =36
  • 40. g)  42  4 2=  4  =4 2 h) 2 4 2   2  =   2  =2 =16 2 4 2 4 4 i)  3  2 3   3  =  3  =3 =27 3 2 3 2 3 j)  25 · 34  25 · 34= 5 2 · 32 · 3 2=  5· 3 ·3 2= 45 2=  45  =45 2 k)  26 · 49  26 · 49= 22 · 22 · 22 · 72= 56 2=  56  =56 2 l)  1003 : 64  1003 :64= 100 3 : 43=  100 : 4 3= 25 3=  25  =5 3=125 3 37.- Calcula: a)  900  900= 9· 100= 9·  100=3· 10=30 b)  3.600  3.600= 36· 100= 36 ·  100=6 ·10=60 c)  10.000  10.000= 100 · 100= 100 ·  100=10 · 10=100 d)  64 ·9  64 · 9= 64 ·  9=8 · 3=24 e)  121· 16  121· 16= 121 ·  16=11 · 4=44 f)  81· 100 · 25  81· 100 · 25= 81 · 100 ·  25=9· 10 ·5=450
  • 41. g)  225 ·196  225 ·196= 225 ·  196=15 ·14=210 h)  40 ·  10  40 ·  10=  40 ·10= 400= 4 · 100= 4 · 100=2· 10=20 i)  256 :  16  256 :  16= 256 :16= 16=4 j)  25 · 36:9  25 · 36: 9= 25 ·  36 :  9=5 · 6: 3=30 :3=10 k)  100 :4 · 49  100 :4 · 49= 100 :  4 ·  49=10: 2 ·7=5 ·7=35 l)  8.100  8.100= 81 · 100=9 · 10=90 m)  441  441= 32 ·7 2= 32 ·  72=3 · 7=21 441 3 147 3 49 7 7 7 1 n)  1.225  1.225= 52 · 72= 5 2 ·  72=5· 7=35 1.225 5 245 5 49 7 7 7 1
  • 42. ñ)  4.356  4.356= 2 2 · 32 ·11 2= 2 2 ·  32 · 112 =2 · 3· 11=66 4.356 2 2.178 2 1.089 3 363 3 121 11 11 11 1 o)  100 · 49  100 · 49= 100 ·  49=10 ·7=70 p)  9 ·16 · 144  9 ·16 · 144= 9 ·  16·  144=3· 4· 12=144 q)  256 :64  256 :64= 256 :  64=16 :8=2 r)  400 : 25  400 : 25= 400:  25=20: 5=4 2 s)   24  :  64   24  :  64=  2 4 2 :  26 = 28 :  26=  28 : 26=  22 =2 2 38.- Determina el valor de las letras: a)  25 ·  4=  x  25 ·  4= x ⇒  25 · 4=  x ⇒ 100= x ⇒ x=100 b)  4 ·  x= 36 36  4 ·  x= 36 ⇒  4 x= 36 ⇒ 4 x =36⇒ x= ⇒ x=9 4 c)  x= 64 :  16  x= 64 : 16 ⇒  x= 64 :16⇒  x=  4 ⇒ x =4
  • 43. 3 d)  8:   x  =1  8:   x  =1⇒  8=  x  ⇒  23= x 3 ⇒ x=2 3 3 39.- Calcula: a) 9 16  9 9 3 = = 16  16 4 b)  1 4  1 1 1 = = 4 4 2 c)  81 49  81  81 9 = = 49  49 7 d)  50 2  50 2 = 25=5 e)  36 100  36 =  36 = 6 = 3 100 100 10 5 f) 144 81  144 144 12 4 81 = = = 81 9 3 g)  9 64  9 = 9 =3 64 64 8
  • 44. h)  36 144  36 =  36 = 6 = 1 144 144 12 2 i)  49 100  49 =  49 = 7 100 100 10 j)  25 4  25  25 5 4 = = 4 2 Operaciones combinadas con potencias y raíces 40.- Calcula: a) 6 9: 3 81 6  9: 3 81=63 :39=619=16 b) 23 ·  18−32−12 23 ·  18−32−12 =23·  18−9−1=23 ·  9−1=23· 3−1=29−1=11−1=10 2 c) −25[ 3· −21 :  49  ] 2 −25 [ 3· −21 :  49  ] =−25 [ 3· −21: 7  ] =−25[ 3· −3  ] =−25−92 = 2 2 =−2581=56 d) 2 3 49 · 32 2  49 · 3 =87 ·9=863=71 3 2 e)  100−36:  16− 251  100−36: 16− 251= 64 :  16−  251=8: 4−51=2−51=3−5=−2 f) −4·  942 −−63 :12 −4·  94 2−−63 :12=−4 ·  916−−216:12=−4·  2518=−4 ·518 = =−2018=−2
  • 45. g) 2 3 81:3 2  81:3=89 :3=83=11 3 h) 3 ·  5 2−4  :  49 3 ·  5 2−4  :  49=3· 25−4:7=3· 21:7=63 :7=9 i) 4 2 :823 −12: −57 · 3− 4 4 : 82 −12:  −57 · 3−  4=16 : 88−12 : −521−2=28−12 :  16−2 = 2 3 = 28−12 : 4−2=28−3−2=10−5=5 Resolución de problemas 41.- Razona si son ciertas estas igualdades: a) −63 ·−63=−66 −63 ·−63=−633=−66 Verdadero b) −63 ·−63=36 3 3 −63 ·−63=36 3 ⇒ [ −6·−6 ] =363 Verdadero c) [  −9  4 ] =−93  3 4 { } 3 [ −9 4 ] =−912=912 ⇒ [ −9 4 ] 3=−93 4 Verdadero 4 4 −9 3  = 93  =912 42.- Las siguientes expresiones representan el número 25.800.000. ¿Cuál está escrita en notación científica? a) 25,8 ·10 6 b) 2,58 ·10 7 c) 258 ·10 5 d) 0,258 ·108 2,58 ·10 7 43.- Razona si son ciertas estas afirmaciones: a) La raíz cuadrada exacta de un cuadrado perfecto es él mismo.  64=8≠64  Falsa b) El resto de una raíz cuadrada exacta es cero.  64=8 r =64−82=64−64=0Verdadera 44.- Encuentra un número cuyo cuadrado sea 256. x 2 =256 ⇔  256=x ⇒ x=16
  • 46. 45.- Calcula un número tal que su raíz cuadrada entera es 16 y el resto 9.  x=16 r =9 ⇒ x =1629=2569=264 46.- La raíz cuadrada exacta de un número es 21. ¿Cuál es el número?  x=21⇔ x=21 2 ⇒ x=441 47.- ¿Existe la raíz cuadrada de un número entero negativo? { } 12=1 ⇒ ∃ −1 −12=1 { } 22 =4 ⇒∃ −4 −22 =4 { 32=9 ⇒∃  −9 −32=9 }  No existe la raíz cuadrada de un número entero negativo 48.- El cubo de un cuadrado perfecto, ¿es otro cuadrado perfecto? 3 2 13=  12  = 13  =12 ⇒13 ; cuadrado perfecto 3 2 43= 22  = 2 3 =82 ⇒ 43 ; cuadrado perfecto 3 2 9 3= 32  = 33  =272 ⇒9 3 ; cuadrado perfecto 2 3 3 2 16 = 4  = 4  =64 ⇒16 ; cuadrado perfecto 3 2 3  3 2  n2  = n 3  ⇒ cuadrado perfecto  El cubo de un cuadrado perfecto es otro cuadrado perfecto 49.- ¿En qué número terminan los cuadrados perfectos? x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 1 2 4 3 9 4 6 5 5 6 6 7 9 8 4 9 1 Todo cuadrado perfecto termina en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9
  • 47. 50.- Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) La suma de dos cuadrados perfectos es otro cuadrado perfecto. a 2b2≠ab 2 ⇒ no cuadrado perfecto ⇒ Falsa b) El producto de dos cuadrados perfectos es otro cuadrado perfecto. a 2 · b 2=a · b2 ⇒ cuadrado perfecto ⇒ Verdadera 51.- Encuentra todos los números comprendidos entre 1 y 10 que se pueden escribir como el resultado de sumar las raíces cuadradas exactas de dos números enteros mayores que 0. + 1 4 9  16  25 1 2 3 4 5 6 4 3 4 5 6 7 9 4 5 6 7 8  16 5 6 7 8 9  25 6 7 8 9 10 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 52.- Si un folio lo doblamos por la mitad, obtenemos 2 partes iguales. Si lo volvemos a doblar, obtenemos 4 partes iguales, y así sucesivamente. ¿Cuántas partes obtenemos si lo doblamos 10 veces? 21 =2 partes 2 2=4 partes ·· · ·· ·· · ·· ·· · ·· ·· · ·· ·· 210 =1.024 partes 53.- Expresa en forma de potencia de base 10: a) 1.000 kg 3 1.000 kg=10 kg b) 0,001 mg 0,001 mg=10−3 mg c) 10.000 m2 10.000 m2 =104 m2 d) 0,00001 cm2 2 −5 2 0,00001 cm =10 cm
  • 48. e) 1.000.000 m 6 1.000.000 m=10 m f) 0,0000001 cm −7 0,0000001 cm=10 cm g) 1 m3 3 0 3 1 m =10 m h) 0,000000000001 g −12 0,000000000001 g =10 g 54.- La capacidad de almacenamiento de un ordenador se mide en bytes y sus múltiplos. Sus equivalencias se expresan en el sistema de numeración binario: 1 kilobyte=1 kb=210 bites 10 1 megabyte=1 Mb=2 kb 10 1 gigabyte=1 Gb=2 Mb Calcula a cuántos bytes equivalen 1 Mb y 1 Gb. 1 Mb=210 kb=210 · 2 10 bytes=2 20 bytes=1.048.576 bytes 1 Gb=210 Mb=210 · 2 20 bytes=2 30 bytes=1.073.741.824 bytes 55.- Los alumnos de 2º ESO van a sembrar azucenas y tulipanes en el patio. Quieren colocarlos formando cuadrados y tienen 8 bulbos de azucenas y 20 de tulipanes. a) ¿Cuál es el máximo cuadrado que pueden formar con cada tipo de planta? ¿Cuántas les sobran? b) ¿Cuál es el mínimo número de bulbos que deben plantar para conseguir los cuadrados sin que sobre ninguno? Azucenas 22 =489=32 4 azucenas para formar el máximo cuadrado 8 azucenas−4 azucenas=4 azucenas sobran 9 azucenas como mínimo para formar un cuadrado sin que sobren Tulipanes 4 2=162025=5 2 16 tulipanes para formar el máximo cuadrado 20 tulipanes−16 tulipanes=4 tulipanes sobran 25 tulipanes como mínimo para formar un cuadrado sin que sobren
  • 49. 56.- El cociente de dos potencias de igual exponente es (– 6)4, y el divisor, (– 2)4. Calcula el dividendo. 4 D :−24 =−64 ⇒ D=−64 · −24=[ −6·−2 ] =124 57.- ¿A qué número hay que elevar 100 para obtener 1012? x 12 100 x =1012 ⇒  102  =10 x ⇒10 2 x =1012 ⇒2 x=12⇒ x= ⇒ x=6 2 58.- En un cultivo había 128 bacterias. Pasado un tiempo se han convertido en 1.024. Si se duplican cada hora, ¿cuántas horas han pasado? 128=27 ⇒ 7 horas 1.024=210 ⇒ 10 horas 10 horas−7 horas=3 horas 59.- En una clase de Educación Vial, un grupo de 2º de ESO va a construir las señales informativas que tengan forma cuadrada. Deben hacerlas de forma que su área sea de 355.216 mm2. ¿Cuántos cm debe medir el lado? A=355.216 mm 2 : 100=3.552,16 cm 2 A=l · l ⇒ A=l ⇒ l = A= 3.552,16 cm =59,6 cm 2 2 60.- ¿Cuál es el menor número de años que deben transcurrir desde 2011 para que el año sea un cuadrado perfecto? ¿Cuántos años del tercer milenio son cuadrados perfectos? 44 2=1.93620112.025=452 2.025−2.011=14 años deben transcurrir 45 2=2025 46 2=2116 472=2209 482=2304 49 2=2401 502 =2500 512=2601 2 2 2 52 =2704 53 =2809 54 =2916⇒ 10 años cuadrados perfectos 61.- Halla el número de CD que tiene Pablo sabiendo que es la menor cantidad que hay que restar a 8.561 para obtener un cuadrado perfecto.  8.561=92 ⇒ 922=8.4648.561⇒ r =8561−8.464=97 CD 62.- Se quiere alambrar una parcela cuadrada de 1.225 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de tela metálica hay que comprar? A=l ⇒ l = A=  1.225 m =35 m 2 2 Perímetro=4 l =4 · 35 m=140 m de tela metálica 63.- Se quiere construir un cuadrado con cuadraditos de 1 cm de lado. ¿Cuántos cm mide el lado del cuadrado si se hace con 121 cuadraditos? A=121 cuadraditos ⇒l= 121=11 cuadraditos=11 cm el lado del cuadrado
  • 50. 64.- Un embalse tiene una capacidad de 3.160 hm3. ¿Qué cantidad de litros de agua puede contener? 3.160 hm3 ·1.000.000.000=3.160.000.000.000 dm3=3.160.000.000.000 l=3,16 ·1012 l 65.- Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. La velocidad de la luz en el vacío es de 300.000 km/s. Calcula a cuántos km equivale un año luz. 1 año=365 diás· 24=8.760 h· 60=525.600 min ·60=31.536.000 s 300.000 km/ s · 31.536.000 s=9.460.800.000.000 km≃9,5· 1012 km