El documento contiene información sobre varios temas relacionados con el análisis numérico y los métodos numéricos, incluyendo la definición de análisis numérico, métodos numéricos, números de máquina, cálculo de errores, fuentes de errores, redondeo y truncamiento, condicionamiento y estabilidad.

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Análisis Numérico.
Es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. Se puede
definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos
que permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas
cantidades numéricas, con una precisión determinada.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores, los
cuales son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última
instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde esta
perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo la estructura necesaria para llevar
a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que
permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números
aplicados a procesos del mundo real.
Métodos Numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a
problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se
requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la
aproximación al problema matemático.
Números de Máquina Decimales.
Los Números de Máquina son un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros
(0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación
binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación
requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.
Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras
digitales usa componentes de apagado/encendido, o para una conexión eléctrica
abierta/cerrada.
Los Números de Máquinas Decimales son aquellos cuya representación viene dada de
la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ...,
k";

2. Cálculo de errores. Error absoluto y relativo.
Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida, y a
continuación, las unidades empleadas.
Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.
Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en
casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).
Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml.
La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados
en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud
(centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).
Así, es incorrecto expresar 43±0.06 ml
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula)
existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores
que se utilizan en los cálculos:
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como
exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o
inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la
medida.
Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se
multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error
absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede
ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las
siguientes:
Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error
accidental.
Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple
de los resultados.
El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y
ese valor tomado como exacto (la media aritmética).
El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el
valor tomado como exacto (la media aritmética).
Cota de Errores Absolutos y Relativos.
Cotas de error:
1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo = cota del error absoluto/valor real

3. Fuentes Básicas de Errores.
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: error de
truncamiento y error de redondeo.
El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se
representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores
es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan
a cabo las sumas y restas dentro de una PC).
El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula
matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se
emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento).
Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso
infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).
Redondeo y Truncamiento.
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los
cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente:
errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que
resultan de representar aproximadamente números exactos.
En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por:
valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico
está dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado, donde Evsignifica el valor
exacto del error.
La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos
términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la
versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en
comparación con el truncamiento o cortado.
Error de Redondeo.
Se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el
cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza
por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un
intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto
flotante.
Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
n - (k+1)
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 a y, y después truncar para que
resulte un número de la forma

4. fl(y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se
agrega uno (1) a dk para obtener a fl(y); esto es, se redondea hacia arriba. Si dk+1 < 5,
simplemente se trunca después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo.
Error de Truncamiento.
Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que
se representará por fl(y), se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales.
Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es
simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
fl(y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número. Este tipo de error ocurre
cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número
finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o
truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a
diferencia del error de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se
emplee.
Errores de Suma y Resta.
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la
máquina, se quiere ver cómo estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis
que se presenta generaliza al problema del cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros
especiales de más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se
llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una
precisión adicional.
Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar
cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco
relevantes.
Condicionamiento.
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar
cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos

5. en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en
los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de
problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede
definirse como la razón de los errores relativos".
Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal
condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de
condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número
condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro
tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta
qué punto la incertidumbre aumenta por el método numérico.
Estabilidad e Inestabilidad.
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los
datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el método
numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan
seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base
en los errores relativos, es decir, investigar la inestabilidad o mal condicionamiento, lo
cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%,
produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una
fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.