Ecuaciones diferenciales

1. RESUMEN SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN “n”
Prof. Héctor Vera
1
SOLUCIÓN GENERAL DE LA E.D.L.H. DE ORDEN “n”
Dada la ecuación diferencial lineal homogénea (E.D.L.H.):
0D(x).yB(x).yA(x).y •••
1)(n-(n)
 (1)
con A(x) , B(x) , . . . , D(x) funciones continuas en un intervalo “I” y A(x) ≠ 0 Ix , entonces:
1. Existen exactamente “n” funciones solución linealmente independientes para (1)
2. Sean y1, y2 , . . . , yn “n” soluciones de (1) en “I”, se cumple que:
a) y1 , y2 , . . . , yn L.I. en I  W [ y i ] 0 Ix .
b) y1 , y2 , . . . , yn L.D. en I  W [ y i ] = 0 Ix .
3. Principio de Superposicion:
a) Cualquier múltiplo constante de una función solución de (1), es también una solución
b) La suma de dos funciones solución de (1), también es una solución
c) Cualquier combinación lineal de funciones que sean solución de (1), también es su solución.
4. Sí: y1 , y2 , . . . , yn son “n” soluciones L.I. de (1), a tal conjunto se le denomina conjunto
fundamental de soluciones de (1) y a la expresión:
y = C1 y1 + C2 y2 + . . . + Cn y n , con C1 , C2 , . . . , Cn constantes
se le denomina: solución general de (1)
DEFINICIÓN DEL WRONSKIANO
 
1)(n
n
1)(n
2
1)(n
1
n21
1
n21
yyy
yyy
y
yyy
...
...
ny...2y
,...,,w


 
El cálculo del wronskiano para “n” funciones solución de una E.D.L.H. de orden “n” requiere que estas
funciones sean “n-1” veces derivables
DEFINICIÓN DE INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que el conjunto de funciones  f,,ff n21 , es linealmente dependiente en un intervalo
“I”, si existen constantes C1, C2, … , Cn no todas cero, tales que:
I0  xtodoparafC++fC+fC nn2211 
Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente.

2. RESUMEN SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN “n”
Prof. Héctor Vera
2
SOLUCIÓN GENERAL DE LA E.D.L. NO HOMOGÉNEA DE ORDEN “n”
MODELO:
Dada la ecuación diferencial lineal no homogénea de orden “n” definida por:
f(x)D(x).yB(x).yA(x).y •••
1)(n(n)
 
(4)
con A(x), B(x),...,D(x) y f(x) funciones continuas en un intervalo “I” y A(x) ≠ 0 Ix
PROCEDIMIENTO:
Para resolver la E.D. (4) se siguen los siguientes pasos:
1. Se resuelve la E.D. homogénea asociada a (4) es decir, la ecuación definida por:
0D(x).yB(x).yA(x).y •••
1)(n-(n)
 (5)
La solución de (5), que denotaremos por “Yh”, será obtenida mediante la
determinación de sus “n” soluciones L.I. y 1, y 2, y 3 , . . . , y n en “I” , y así, tal
solución quedará expresada en la forma :
yh = C 1. y 1 + C 1. y 1 + . . . + C n . y n
2. Se busca una solución cualquiera de de (4) que no contenga constantes arbitrarias y que
denominaremos solución particular y denotada “YP”
La búsqueda de Yp se realiza mediante el método de los coeficientes
indeterminados descrito en las páginas que siguen.
3. Finalmente, la solución general viene dada por: Y = Yh + YP
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
Dado el P.V.I. definido por la E.D. (4) y las condiciones iniciales:
y(x0) = y0, y’(x0) = y1, y’’(x0) = y2, …, y(n-i)
(x0) = yn-1
Sean A(x) , B(x) , …, D(x) y f(x) funciones continuas en un intervalo “I”, y A(x) ≠ 0 para todo Ix . Si
x0 es cualquier punto en “I” entonces, existe una solución única “Y(x)” en dicho intervalo, para el P.V.I.

3. RESUMEN SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN “n”
Prof. Héctor Vera
3
SOLUCIÓN GENERAL DE LA E.D. LINEAL Y HOMOGÉNEA DE ORDEN 2
MODELO: 0ycybya  con “a”, “b” y “c” constantes y a  0.
PROCEDIMIENTO:
Estas ecuaciones tienen soluciones del tipo: xmey  , expresión que al sustituirse en la E.D. genera la
ecuación auxiliar:
0cmbma 2

Y de acuerdo a los valores obtenidos para “m” se consideran los siguientes casos:
CASO # 1: 0ca4b2

Sí: se obtienen dos raíces reales diferentes, m1 y m2, la solución viene dada por:
xm
2
xm
1
21
eC+eC=y
CASO # 2: 0ca4b2

Sí: se obtienen dos raíces reales iguales, m1 = m2 = m la solución viene dada por:
x
2
x
1
mm
exC+eC=y
CASO # 3: 0ca4b2

Sí: se obtienen dos raíces complejas, m =    i, la solución viene dada por:
   xSeneCxCoseC=y
xx
21 


MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ORDEN
Si y1 es una solución no nula de la E.D. 0yC(x)yB(x)yA(x) 
en un intervalo “I” en donde A(x), B(x) y C(x) son continuas y A(x)  0, entonces una segunda solución
y2 linealmente independiente (L.I.) para la E.D. se obtiene asumiendo:
y2 = u . y1
expresión sustituirse en la E.D. resulta:
dx2
A(x)
B(x)
)(y
yy
1
12
dx
e




4. RESUMEN SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN “n”
Prof. Héctor Vera
4
RESOLUCIÓN DE LA E.D.L.H. DE ORDEN “n” A COEFICIENTES CTTES.
La E.D.L.H. a coeficientes constante de orden “n” está dada por:
0d.yc.yb.ya.y 2)(n1)(n(n)
 
 (2)
con: a, b, c, ... , d constantes reales y a  0.
Estas ecuaciones tienen soluciones del tipo: xmey  , expresión que al sustituirse en (2) genera la
ecuación auxiliar:
0dmcmbma 2-n1-nn
  (3)
Al resolver (3) se generan los siguientes casos:
CASO # 1:
Sí (3) tiene “n” raíces reales diferentes: m1, m2, ... , mn , entonces (2) tendrá “n” soluciones L.I. y su
solución general será:
xmxmxmxm n32
e...eee n32
1
ccccy 1  
CASO # 2:
Sí (3) tiene “n” raíces reales, con la raíz mi repetida “k” veces, entonces (2) tendrá “n” soluciones L.I. y su
solución general será:
xmxmxmxmxmxm niii21
eeeeee n54321 ccccccy -1kXX  


  
.CASO # 3:
Sí (3) tiene “n” raíces, dos de las cuales son complejas conjugadas, mi = a + b i y mk = a - b i , entonces
(2) tendrá “n” soluciones L.I. y su solución general será:
xmxaxaxm n1
eeee n321 cbxSencbxCosccy   











 
NOTA:
 Las “n” constantes arbitrarias para los casos 2 y 3, no están ordenadas.
 Para cada raíz real o compleja que aparezca repetida, se cumple el mismo patrón citado en el caso #
2.

5. RESUMEN SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN “n”
Prof. Héctor Vera
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MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS, PARA HALLAR Yp
Este método sólo es aplicable para la búsqueda de “y p” en el caso de la E.D.L. no H. a coeficientes
constantes:
f(x)ydycybya 2)(n1)(n(n)
 
 (6)
para los casos en los cuales “f(x)”es de la forma:
(a) f(x) = Polinimio,
(b) f(x) = ekX
,
(c) f(x) = Sen(kx) o bien Cos(kx),
(d) f(x) = Combinación de las funciones anteriores, dada por sumas algebraicas y/o productos de estas.
 Para buscar “yp”, se formula una yp “copiando” o “imitando” el formato de f(x) mediante el uso de
coeficientes A,B,C,D, etc. que luego se buscarán sustituyendo la “yp” formulada en (6).
 Al conformar a “yp” según lo descrito, se verifica que ninguna función participante en la yp esté
presente como término semejante en la solución “yh” que previamente se ha buscado.
 Sí alguno de los términos de la “yp” construida, aparece en forma de término semejante en la y h,
entonces se multiplican los términos repetidos y a sus "hermanos" (pedir aclaratoria al autor) por: X ó
X2
ó X3
, etc. hasta lograr que ningún término de la y p sea semejante a alguno de la yh.