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Definición
Función Implícita: Es aquella función en la que
la variable dependiente y, se halla mezclada
con la variable in...
Derivación Implícita
Es la derivada que se realiza directamente sobre una función
implícita. En este tipo de funciones, co...
Derivar4𝑥5
𝑦3
+ 2𝑥3
𝑦2
− 3𝑥𝑦 + 2 = 0
En primer lugar derivamos la función, de la siguiente manera:
4 5 𝑥4 𝑦3 + 4 3 𝑥5 𝑦2 𝑦...
PROCEDIMIENTO CORTO
Este tipo de derivadas se pueden realizar de una forma más corta.
1) La derivada siempre es negativa, ...
Es fácil darse cuenta que la derivada puede hacerse
directamente, es decir, cada vez que se derive un término que
no tenga...
Hallar la derivada implícita
𝑥3
𝑦3
+ 𝑥𝑦 + 𝑥3 𝑦 + 4 = 0
Reescribimos 𝑥3
𝑦3
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Derivacion implicita

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derivacion implicita

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Derivacion implicita

  1. 1. Definición Función Implícita: Es aquella función en la que la variable dependiente y, se halla mezclada con la variable independiente x, se puede expresar como: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 4𝑥5 𝑦3 + 2𝑥3 𝑦2 − 3𝑥𝑦 + 2 = 0
  2. 2. Derivación Implícita Es la derivada que se realiza directamente sobre una función implícita. En este tipo de funciones, como se indico anteriormente, la variable y se halla mezclada con la variable x, de la que depende, de forma que cada vez que derivemos la variable y tendremos que multiplicarla por el término 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦´ A nivel práctico puede decirse que la variable y, se derivará como si fuese una x, para a continuación multiplicarla por y´. Ejemplo: se tiene 𝑥5 𝑦3 cuya derivada será realizada como un producto, esto es: 5𝑥2 𝑦3 + 𝑥5 3𝑦2 𝑦´
  3. 3. Derivar4𝑥5 𝑦3 + 2𝑥3 𝑦2 − 3𝑥𝑦 + 2 = 0 En primer lugar derivamos la función, de la siguiente manera: 4 5 𝑥4 𝑦3 + 4 3 𝑥5 𝑦2 𝑦´ + 2 3 𝑥2 𝑦2 + 2 2 𝑥3 𝑦𝑦´ − 3𝑦 − 3𝑥𝑦´ = 0 Simplificamos 20𝑥4 𝑦3 + 12𝑥5 𝑦2 𝑦´ + 6𝑥2 𝑦2 + 4𝑥3 𝑦𝑦´ − 3𝑦 − 3𝑥𝑦´ = 0 A continuación sacamos factor común y 20𝑥4 𝑦3 + 6𝑥2 𝑦2 − 3𝑦 + 12𝑥5 𝑦2 + 4𝑥3 𝑦 − 3𝑥 𝑦´ = 0 Transponiendo todos los términos que no contenga y´, se tendrá: 12𝑥5 𝑦2 + 4𝑥3 𝑦 − 3𝑥 𝑦´ = − 20𝑥4 𝑦3 + 6𝑥2 𝑦2 − 3𝑦 Todos los términos que se transponen, se cambian de signo, es mejor sacar éste factor común, de esta forma todas las derivadas implícitas serán negativas. Se despeja y´ 𝑦´ = − 20𝑥4 𝑦3+6𝑥2 𝑦2−3𝑦 12𝑥5 𝑦2+4𝑥3 𝑦−3𝑥
  4. 4. PROCEDIMIENTO CORTO Este tipo de derivadas se pueden realizar de una forma más corta. 1) La derivada siempre es negativa, debido a la transposición de términos 2) Los términos que no van asociados a y´ irán directamente, con su signo correspondiente, al numerador. En la ecuación son los términos que van señalados una N. 3) Los términos que van asociados a y´ irán directamente, con su signo correspondiente, al denominador. En la ecuación son los términos que van señalados con una D. De esta forma derivando, por este procedimiento, el problema anterior quedará:
  5. 5. Es fácil darse cuenta que la derivada puede hacerse directamente, es decir, cada vez que se derive un término que no tenga y´ se situará directamente en el numerador y cada vez que se derive un término que halle asociado a y´, se situará directamente en el denominador. La derivada seguirá siendo negativa por la razón apuntada anteriormente.
  6. 6. Hallar la derivada implícita 𝑥3 𝑦3 + 𝑥𝑦 + 𝑥3 𝑦 + 4 = 0 Reescribimos 𝑥3 𝑦3 + 𝑥𝑦 + 𝑥3 𝑦 1 2 + 4 = 0 𝑥3 𝑦 1 2 = 𝑥 3 2 𝑦 1 2 Derivamos implícitamente 3𝑥2 𝑦3 + 3𝑥3 𝑦2 𝑦´ + 𝑦 + 𝑥𝑦´ + 3 2 𝑥−1 2 𝑦 1 2 + 1 2 𝑥 3 2 𝑦−1 2 𝑦´ = 0 Se saca factor común y´ y se despeja 3𝑥3 𝑦2 + 𝑥 + 1 2 𝑥 3 2 𝑦−1 2 𝑦´ = − 3𝑥2 𝑦3 + 𝑦 + 3 2 𝑥 1 2 𝑦 1 2 𝑦´ = − 3𝑥2 𝑦3 + 𝑦 + 3 2 𝑥 1 2 𝑦 1 2 3𝑥3 𝑦2 + 𝑥 + 1 2 𝑥 3 2 𝑦−1 2

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