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Profesor: Pedro Beltrán. Alumno: Agdonis Mejías. 28605587.
República Bolivariana de Venezuela.
Instituto Universitario Politécnico "Santiago Mariño".
Sede Barcelona Estado Anzoátegui.
Carrera Arquitectura.
Vectores en el espacio
Generalidades del algebra vectorial.
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar
los sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales. Está relacionada con áreas como ingeniería, resolución
de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, gráficas computacionales, entre
otras.
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los
números reales) 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana
promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores
servirían de instrumento para representar varios fenómenos físicos.
Ecuaciones paramétricas.
Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la
siguiente expresión:
Donde:
-"X" e "Y" son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.
-"a1" y "a2" son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).
-"v1" y "v2" son las componentes de un vector director v→=(v1,v2) de r.
-"λ" es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor
que se le asigne.
Cualquier recta r que se pueda dibujar sobre una hoja de papel puede
ser determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de
dicha recta y una dirección que se puede expresar mediante un vector no
nulo v→ .
Gráfica de ecuaciones paramétricas.
Si "x" y "y" están expresadas como funciones x = f(t), y = g(t) en un intervalo I de valores t,
entonces, el conjunto de puntos (x, y) = (f(t), g(t)) definido por estas ecuaciones es una curva
paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva.
La variable t es un parámetro de la curva y su dominio I es el intervalo del parámetro. Si I
es un intervalo cerrado, a ≤ t ≤ b, el punto (f(a), g(a)) es el punto inicial de la curva,
y (f(b), g(b)) es el punto final. Cuando se tiene ecuaciones paramétricas y un intervalo para
el parámetro de la curva, se dice que se ha parametrizado la curva. Las ecuaciones y el
intervalo, en conjunto, constituyen la parametrización de la curva. Una curva determinada
puede representarse mediante conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas
Ejemplo:
Solución al ejemplo:
Se elabora una pequeña tabla de valores donde se graficaran los puntos (x, y) y se traza una
curva suave que pase por ellos. A cada valor de t corresponde un punto (x, y) sobre la curva;
por ejemplo, a t = 1 le corresponde el punto (1, 2) registrado en la tabla.
Si se imagina que la curva es la trayectoria de una partícula en movimiento, entonces, la
partícula se desplaza a lo largo de la curva en la dirección de las flechas. Si bien los intervalos
de tiempo son iguales en la tabla, los puntos consecutivos trazados a lo largo de la curva no
están a la misma distancias sobre el arco de la curva. La razón es que la partícula reduce su
velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de la rama inferior de la curva conforme t
aumenta y luego acelera después de alcanzar el eje "y" en (0, 1) desplazándose a lo largo de la
rama superior. Como el intervalo de valores para t está compuesto por números reales, no
existe un punto inicial ni uno final de la curva.
Transformar las ecuaciones paramétricas a
las cartesianas.
Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que
satisfacen la ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación
paramétrica se hace lo siguiente:
1) Se igualan las coordenadas.
2) Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
3) Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables
(x, y, z).
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor del
parámetro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z + λp + μq.
c) λ=0, μ=0
d) λ=0, μ=1
e) λ=2, μ=2
Ejemplo:
Dado el plano de ecuación vectorial determinar su ecuación cartesiana.
1) Escribir la representación paramétrica del plano.
2) Igualamos las coordenadas que satisfacen la ecuación.
3) Eliminar parámetros para determinar la relación entre x, y, z.
Restando a la segunda ecuación la primera quedaría:
El sistema se reduce a:
Por lo tanto la ecuación cartesiana del plano es:
Longitud de arco en ecuaciones
paramétricas.
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma:
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es
decir, cuando "x" y "y" son funciones de una nueva variable, el parámetro "t". Para
poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas
funciones y obtenemos "dx" y "dy", y en términos de "dt".
Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término "dt2"fuera del radical.

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Vectores en el espacio

  • 1. Profesor: Pedro Beltrán. Alumno: Agdonis Mejías. 28605587. República Bolivariana de Venezuela. Instituto Universitario Politécnico "Santiago Mariño". Sede Barcelona Estado Anzoátegui. Carrera Arquitectura. Vectores en el espacio
  • 2. Generalidades del algebra vectorial. El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Está relacionada con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, gráficas computacionales, entre otras. El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para representar varios fenómenos físicos.
  • 3. Ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la siguiente expresión: Donde: -"X" e "Y" son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta. -"a1" y "a2" son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2). -"v1" y "v2" son las componentes de un vector director v→=(v1,v2) de r. -"λ" es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne. Cualquier recta r que se pueda dibujar sobre una hoja de papel puede ser determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de dicha recta y una dirección que se puede expresar mediante un vector no nulo v→ .
  • 4. Gráfica de ecuaciones paramétricas. Si "x" y "y" están expresadas como funciones x = f(t), y = g(t) en un intervalo I de valores t, entonces, el conjunto de puntos (x, y) = (f(t), g(t)) definido por estas ecuaciones es una curva paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva. La variable t es un parámetro de la curva y su dominio I es el intervalo del parámetro. Si I es un intervalo cerrado, a ≤ t ≤ b, el punto (f(a), g(a)) es el punto inicial de la curva, y (f(b), g(b)) es el punto final. Cuando se tiene ecuaciones paramétricas y un intervalo para el parámetro de la curva, se dice que se ha parametrizado la curva. Las ecuaciones y el intervalo, en conjunto, constituyen la parametrización de la curva. Una curva determinada puede representarse mediante conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas Ejemplo:
  • 5. Solución al ejemplo: Se elabora una pequeña tabla de valores donde se graficaran los puntos (x, y) y se traza una curva suave que pase por ellos. A cada valor de t corresponde un punto (x, y) sobre la curva; por ejemplo, a t = 1 le corresponde el punto (1, 2) registrado en la tabla. Si se imagina que la curva es la trayectoria de una partícula en movimiento, entonces, la partícula se desplaza a lo largo de la curva en la dirección de las flechas. Si bien los intervalos de tiempo son iguales en la tabla, los puntos consecutivos trazados a lo largo de la curva no están a la misma distancias sobre el arco de la curva. La razón es que la partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de la rama inferior de la curva conforme t aumenta y luego acelera después de alcanzar el eje "y" en (0, 1) desplazándose a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de valores para t está compuesto por números reales, no existe un punto inicial ni uno final de la curva.
  • 6. Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas. Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que satisfacen la ecuación y forman un plano. Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación paramétrica se hace lo siguiente: 1) Se igualan las coordenadas. 2) Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente. 3) Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables (x, y, z). Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor del parámetro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z + λp + μq. c) λ=0, μ=0 d) λ=0, μ=1 e) λ=2, μ=2
  • 7. Ejemplo: Dado el plano de ecuación vectorial determinar su ecuación cartesiana. 1) Escribir la representación paramétrica del plano. 2) Igualamos las coordenadas que satisfacen la ecuación. 3) Eliminar parámetros para determinar la relación entre x, y, z.
  • 8. Restando a la segunda ecuación la primera quedaría: El sistema se reduce a: Por lo tanto la ecuación cartesiana del plano es:
  • 9. Longitud de arco en ecuaciones paramétricas. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma: Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir, cuando "x" y "y" son funciones de una nueva variable, el parámetro "t". Para poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos "dx" y "dy", y en términos de "dt". Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término "dt2"fuera del radical.