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Febrero, 2023
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Edo – Lara
Plano numérico
Estudiante:
Eislerth Aguilar
C.I: 16.387.563
Sección DL0203
Docente: María Ramírez
Plano numérico o cartesiano
Se llama plano cartesiano o sistema cartesiano a un diagrama de coordenadas
ortogonales usadas para operaciones geométricas en el espacio euclídeo Se utiliza
para representar gráficamente funciones matemáticas y ecuaciones de geometría
analítica. También permite representar relaciones de movimiento y posición física
Se trata de un sistema bidimensional, constituido por dos ejes que se extienden desde
un origen hasta el infinito (formando una cruz). Estos ejes se interceptan en un único
punto (que denota el punto de origen de coordenadas o punto 0,0). Sobre cada eje se
trazan un conjunto de marcas de longitud, que sirven de referencia para ubicar puntos,
trazar figuras o representar operaciones matemáticas. O sea, es una herramienta
geométrica para poner estas últimas en relación gráficamente.
Elementos del plano cartesiano
El plano cartesiano se compone de dos ejes perpendiculares, como ya
sabemos: las ordenadas (eje y) y las abscisas (eje x). Ambas rectas se extienden hasta
el infinito, tanto en sus valores positivos, como negativos. El único punto de cruce
entre ambas se denomina origen (coordenadas 0,0).
A partir del origen cada eje se marca con valores expresados en números
enteros. Al punto de intersección de dos puntos cualesquiera, se le llama punto. Cada
punto se expresa en sus respectivas coordenadas, siempre diciendo primero las
abscisas y luego las ordenadas. Juntando dos puntos se puede construir una recta, y
con varias rectas una figura.
Distancia
La distancia, en física y matemáticas, es una magnitud escalar que se mide en
unidades de longitud, y que se puede entender como el camino entre un punto de
origen A y un punto de destino B. Dicho trayecto normalmente equivale a la longitud
de una recta que une dos puntos, estando en un plano euclídeo.
La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que los une.
Por lo tanto, en matemáticas, para determinar la distancia entre dos puntos diferentes
se deben calcular los cuadrados de las diferencias entre sus coordenadas y luego
hallar la raíz de la suma de dichos cuadrados.
Punto medio
Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos
cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en
matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos
geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto
medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único
y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición,
pertenece a la mediatriz del segmento.
Circunferencia
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la
distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
Ecuación analítica de la circunferencia
Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas
de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por
supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia
entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es
constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica
podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y
obtenemos.x2+y2–2ax–2by–r2=0.
Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse
Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x,
situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la
elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias
entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a.
Aplicando Pitágoras tenemos que:
Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y
desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente:
Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias
entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la
hipérbola.
Ecuación analítica de la hipérbola
Nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y
tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de
las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro
de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos
que: PF – PF' = 2a
Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente
podemos llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0 (los cálculos
los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la
elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2
= a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada
término por a2b2 obtenemos:
Parábola
Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al
conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.
Simbólicamente: P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}
Ejercicio
Calcula la distancia entre dos puntos, utilizando métodos gráficos.
A (1,1) B (5,4)
Y
6
5 B
4
3 d
2
1 A
X
1 2 3 4 5 6
Bibliografía
 https://www.significados.com/plano-cartesiano/ Revisión por Silvia Pina
Romero: Licenciada en Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma
de México (2007) y doctora en Matemáticas por la Universidad de
Manchester (2012).
 https://www.geometriaanalitica.info/formula-de-la-distancia-entre-dos-
puntos-geometria-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/ por Marc Gisbert Juárez
DNI 4809759 C/ Equador 90-BARCELONA, distribución de contenido
especializado en la geometría analítica (matemáticas) en el año 2002.
 http://zambranosanchez.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Mat
ematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm Cónicas y la
Autora es: Silvia Sokolovsky Graduada por la Universidad Nacional
Autónoma de México (1997).

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  • 1. Febrero, 2023 República Bolivariana de Venezuela Ministerio de Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco Barquisimeto Edo – Lara Plano numérico Estudiante: Eislerth Aguilar C.I: 16.387.563 Sección DL0203 Docente: María Ramírez
  • 2. Plano numérico o cartesiano Se llama plano cartesiano o sistema cartesiano a un diagrama de coordenadas ortogonales usadas para operaciones geométricas en el espacio euclídeo Se utiliza para representar gráficamente funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica. También permite representar relaciones de movimiento y posición física Se trata de un sistema bidimensional, constituido por dos ejes que se extienden desde un origen hasta el infinito (formando una cruz). Estos ejes se interceptan en un único punto (que denota el punto de origen de coordenadas o punto 0,0). Sobre cada eje se trazan un conjunto de marcas de longitud, que sirven de referencia para ubicar puntos, trazar figuras o representar operaciones matemáticas. O sea, es una herramienta geométrica para poner estas últimas en relación gráficamente. Elementos del plano cartesiano El plano cartesiano se compone de dos ejes perpendiculares, como ya sabemos: las ordenadas (eje y) y las abscisas (eje x). Ambas rectas se extienden hasta el infinito, tanto en sus valores positivos, como negativos. El único punto de cruce entre ambas se denomina origen (coordenadas 0,0).
  • 3. A partir del origen cada eje se marca con valores expresados en números enteros. Al punto de intersección de dos puntos cualesquiera, se le llama punto. Cada punto se expresa en sus respectivas coordenadas, siempre diciendo primero las abscisas y luego las ordenadas. Juntando dos puntos se puede construir una recta, y con varias rectas una figura. Distancia La distancia, en física y matemáticas, es una magnitud escalar que se mide en unidades de longitud, y que se puede entender como el camino entre un punto de origen A y un punto de destino B. Dicho trayecto normalmente equivale a la longitud de una recta que une dos puntos, estando en un plano euclídeo. La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que los une. Por lo tanto, en matemáticas, para determinar la distancia entre dos puntos diferentes se deben calcular los cuadrados de las diferencias entre sus coordenadas y luego hallar la raíz de la suma de dichos cuadrados. Punto medio Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
  • 4. Circunferencia Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro. Ecuación analítica de la circunferencia Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos.x2+y2–2ax–2by–r2=0. Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Ecuación analítica de la elipse Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que: Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente:
  • 5. Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola. Ecuación analítica de la hipérbola Nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0 (los cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por a2b2 obtenemos: Parábola Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz. Simbólicamente: P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}
  • 6. Ejercicio Calcula la distancia entre dos puntos, utilizando métodos gráficos. A (1,1) B (5,4) Y 6 5 B 4 3 d 2 1 A X 1 2 3 4 5 6
  • 7. Bibliografía  https://www.significados.com/plano-cartesiano/ Revisión por Silvia Pina Romero: Licenciada en Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (2007) y doctora en Matemáticas por la Universidad de Manchester (2012).  https://www.geometriaanalitica.info/formula-de-la-distancia-entre-dos- puntos-geometria-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/ por Marc Gisbert Juárez DNI 4809759 C/ Equador 90-BARCELONA, distribución de contenido especializado en la geometría analítica (matemáticas) en el año 2002.  http://zambranosanchez.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Mat ematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm Cónicas y la Autora es: Silvia Sokolovsky Graduada por la Universidad Nacional Autónoma de México (1997).