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Fundamentos de la didactica de las matematicas ccesa007

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FUNDAMENTOS DE LA
DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICAS
Demetrio Ccesa Rayme
Epistemología y Didáctica de la
Matemática
• La epistemología (del griego ἐπιστήμη (episteme),
"conocimiento", y λόγος (logos), "estudio") es la rama de la
filosofía cuyo objeto de .
• La epistemología, como teoría del conocimiento, se ocupa
de problemas tales como las
que llevan a la obtención del
conocimiento, y los criterios por los cuales se le justifica o
invalida, así como la definición clara y precisa de los
conceptos epistémicos más usuales, tales como verdad,
objetividad, realidad o justificación. La epistemología
encuentra ya sus primeras formas en la Grecia Antigua,
primero en filósofos como Parménides o Platón.
Fundamentos de la didactica de las matematicas ccesa007
Epistemología y Didáctica de la
Matemática
• El término “epistemología” es parte de la didáctica de la
matemática a inicio de los años ’60, portando con sí las diferentes
acepciones que lo acompañan y que conducen a diversas
“definiciones” e interpretaciones en cada país y en múltiples
situaciones.
• Mientras reenvío a Brousseau (2006a, b) para un análisis
comparado y crítico de dicho término y de sus diversas exigencias,
hago explícito el hecho que me referiré, aún si no lo digo
abiertamente, a estos recientes dos trabajos de Brousseau y a
otros trabajos suyos, todos estos citados en la bibliografía. Algunas
de las frases que siguen fueron tomadas libremente de estos
textos, sin cambiar el espíritu. Para no hacer pesado el texto, no
citaré siempre los trabajos de Brousseau, lo que haré sólo en
algunas ocasiones.
Epistemología y Didáctica de la
Matemática
• En nuestro campo de investigación:
una es un conjunto de
convicciones, de conocimientos y de saberes científicos,
que tienden a decir cuales son los conocimientos de los
individuos o de los grupos de personas, su
funcionamiento, las formas de establecer su validez, de
adquirirlas y por tanto de enseñarlas y de aprenderlas; la
epistemología es un tentativo de identificar y de unificar
diversas concepciones epistemológicas relativas a una
determinada ciencia, a un determinado movimiento
ideológico, a grupos de personas, a instituciones o a
culturas.
Conceptos Claves
• Por entendemos un conjunto de conocimientos o de
actitudes reproducibles, adquiridos a través del estudios o de la
experiencia.
En el ámbito de la psicología cognitiva se distinguen los saberes de
los conocimientos.
• Los : los saberes son datos, conceptos, procesos o
métodos que existen fuera del individuo que conoce y que son
generalmente codificados en obras de referencia, manuales,
enciclopedias, diccionarios; los conocimientos son inseparables
del individuo que conoce; es decir, no existe, un conocimiento a-
personal; una persona que interioriza un saber tomando
conciencia, transforma este saber en conocimiento.
Volvamos ahora al discurso didáctico; este es amplio y puede
tener origen en varias raíces, una de las cuales tiene sede en el
debate entre

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  • 1. FUNDAMENTOS DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICAS Demetrio Ccesa Rayme
  • 2. Epistemología y Didáctica de la Matemática • La epistemología (del griego ἐπιστήμη (episteme), "conocimiento", y λόγος (logos), "estudio") es la rama de la filosofía cuyo objeto de . • La epistemología, como teoría del conocimiento, se ocupa de problemas tales como las que llevan a la obtención del conocimiento, y los criterios por los cuales se le justifica o invalida, así como la definición clara y precisa de los conceptos epistémicos más usuales, tales como verdad, objetividad, realidad o justificación. La epistemología encuentra ya sus primeras formas en la Grecia Antigua, primero en filósofos como Parménides o Platón.
  • 4. Epistemología y Didáctica de la Matemática • El término “epistemología” es parte de la didáctica de la matemática a inicio de los años ’60, portando con sí las diferentes acepciones que lo acompañan y que conducen a diversas “definiciones” e interpretaciones en cada país y en múltiples situaciones. • Mientras reenvío a Brousseau (2006a, b) para un análisis comparado y crítico de dicho término y de sus diversas exigencias, hago explícito el hecho que me referiré, aún si no lo digo abiertamente, a estos recientes dos trabajos de Brousseau y a otros trabajos suyos, todos estos citados en la bibliografía. Algunas de las frases que siguen fueron tomadas libremente de estos textos, sin cambiar el espíritu. Para no hacer pesado el texto, no citaré siempre los trabajos de Brousseau, lo que haré sólo en algunas ocasiones.
  • 5. Epistemología y Didáctica de la Matemática • En nuestro campo de investigación: una es un conjunto de convicciones, de conocimientos y de saberes científicos, que tienden a decir cuales son los conocimientos de los individuos o de los grupos de personas, su funcionamiento, las formas de establecer su validez, de adquirirlas y por tanto de enseñarlas y de aprenderlas; la epistemología es un tentativo de identificar y de unificar diversas concepciones epistemológicas relativas a una determinada ciencia, a un determinado movimiento ideológico, a grupos de personas, a instituciones o a culturas.
  • 6. Conceptos Claves • Por entendemos un conjunto de conocimientos o de actitudes reproducibles, adquiridos a través del estudios o de la experiencia. En el ámbito de la psicología cognitiva se distinguen los saberes de los conocimientos. • Los : los saberes son datos, conceptos, procesos o métodos que existen fuera del individuo que conoce y que son generalmente codificados en obras de referencia, manuales, enciclopedias, diccionarios; los conocimientos son inseparables del individuo que conoce; es decir, no existe, un conocimiento a- personal; una persona que interioriza un saber tomando conciencia, transforma este saber en conocimiento. Volvamos ahora al discurso didáctico; este es amplio y puede tener origen en varias raíces, una de las cuales tiene sede en el debate entre
  • 7. ¿Didáctica o Metodología? • Didáctica de la Matemática. – La didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento. Saber que es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica. (Brousseau) – la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal. (Freudenthal) – Es el Estudio de los procesos de transmisión y de adquisición de los diferentes contenidos de esta ciencia, se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre sus enseñanza y aprendizaje. No se reduce a buscar una buena forma de enseñar una determinada noción.(Douady) – La didáctica de una disciplina estudia los procesos de transmisión y de adquisición relativos al dominio específico de esta disciplinas, o de las ciencias cercanas con las cuales se interactúa. (Vergnaud). – Es la disciplina científica y el campo de investigación cuyo objetivo es identificar, caracterizar y comprender los fenómenos y los procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. (D’ Amore).
  • 8. Didáctica de la Matemática • La didáctica de la matemática (que para nosotros es un aspecto de la más general educación matemática) es el que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemático por parte del individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad: una persona, una institución, un sistema, o incluso un animal). • El aprendizaje se considera aquí como un (por tanto de prestaciones) que señalan, a un observador predeterminado, según en juego, que este primer sujeto dispone de un conocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o de competencias), lo que implica la gestión de diversos registros de representación, la creación de convicciones específicas, el uso de diversos lenguajes, el dominio de un conjunto de referencias idóneas, de pruebas, de justificaciones y de obligaciones. Estas condiciones deben poder ser puestas en acción y reproducidas intencionalmente. Se habla en este caso de prácticas didácticas.4
  • 10. Didáctica de la Matemática • Estas son también “condiciones” y por tanto, a su vez, objeto de estudio. La didáctica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones, bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones. • Los -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitación de conceptos y de métodos que deben ser sometidos a exigencias de verificación de la coherencia y de adecuación a la específica contingencia. Ciertas teorías, como por ejemplo la teoría de las situaciones didácticas, tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didáctica. • Entre los objetos de estudio de la didáctica, un papel absolutamente fundamental, pero en ocasiones subordinado, se le asigna al medio o entorno.
  • 12. Educación Matemática • La educación matemática es un término que se refiere tanto a el aprendizaje, como la práctica y enseñanza de las matemáticas, así como a un campo de la sobre esta práctica. Los investigadores en educación matemática en primera instancia, cuestionan las herramientas, métodos y enfoques que faciliten la práctica y/o el estudio de la práctica.
  • 13. Educación Matemática • De manera más crítica la educación es más que un simple termino, como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa : " es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros según sus propias reglas, valores, pautas, ideologías, tradiciones, practicas, proyectos y saberes compartidos por la mayoría de la sociedad. Más modernamente la educación no solo socializa a los individuos sino que también rescata en ellos lo más valioso, aptitudes creativas e innovadoras, los humaniza y potencia como personas" (Hacia una pedagogía del Conocimiento, 1994, pág.. 304). • Si además le agregamos el significado de matemática, expresada por el ilustre matemático Bruno D’ Amore, "son una construcción humana que se utiliza con fines técnicos para la modelización de nuestro entorno y de aplicación en la resolución de problemas prácticos" (Didáctica de la matemática, 2006, pág. 15), la Educación Matemática se torna compleja en si misma.
  • 15. En Resumen El término educación es más amplio que didáctica. Educación Matemática Didáctica de la Matemática Rico, Sierra y Castro (2000; p. 352) todo el sistema de conocimientos, instituciones, planes de formación y finalidades formativas‖ que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Rico, Sierra y Castro (2000; p. 352). La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educación matemática y propone actuaciones fundadas para su transformación. En el mundo anglosajón se emplea la expresión "Mathematics Education" para referirse al área de conocimiento que en Francia, Alemania, España, etc. se denomina Didáctica de la Matemática.
  • 16. Teorías más Importantes en la Didáctica de la Matemática
  • 17. • Modelización y resolución de problemas . • Razonamiento matemático • Lenguaje y comunicación • Estructura interna • Naturaleza relacional de las matemáticas • Exactitud y aproximación • Transposición Didáctica • Contrato Didáctico • Obstáculos Epistemológicos • Teoría de los Campos Conceptuales • Situaciones Didáctica y A-didácticas • Ingeniería Matemática
  • 18. ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMÁTICAS En la reflexión sobre las propias concepciones hacia las matemáticas habrán surgido sobre las matemáticas, la actividad matemática y la capacidad para aprender matemáticas. Pudiera parecer que esta discusión está muy alejada de los intereses prácticos del profesor, interesado fundamentalmente por (u otro tema) a sus alumnos. La preocupación sobre qué es un cierto conocimiento, forma parte de la epistemología o teoría del conocimiento, una de las ramas de la filosofía.
  • 19. Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemáticas y sus aplicaciones y sobre el papel de éstas en la enseñanza y el aprendizaje, podemos identificar dos concepciones extremas: Una de estas concepciones, que fue común entre muchos matemáticos profesionales hasta hace unos años, considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemáticas de forma axiomática. Se supone que una vez adquirida esta base, será fácil que el alumno por sí solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten. La matemática pura y la aplicada serían dos disciplinas distintas; y las estructuras matemáticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad. Esta concepción de las matemáticas se designa como "idealista-platónica". Con esta concepción es sencillo construir un currículo, puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras áreas. Estas aplicaciones se “filtrarían”, abstrayendo los conceptos, propiedades y teoremas matemáticos, para constituir un dominio matemático “puro”.
  • 20. Concepción constructivista Otros matemáticos y profesores de matemáticas consideran que debe haber una estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currículo. Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemáticas antes de que les sea presentada. Los alumnos deberían ser capaces de ver cómo cada parte de las matemáticas satisfacen una cierta necesidad. La elaboración de un currículo de acuerdo con la concepción constructivista es compleja, porque, además de conocimientos matemáticos, requiere conocimientos sobre otros campos. Las estructuras de las ciencias físicas, biológicas, sociales son relativamente más complejas que las matemáticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemáticas. Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemáticas en otras áreas, pero la tarea de selección, secuenciación e integración no es sencilla.
  • 22. Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemáticas que queremos enseñar y la forma de llevar a cabo esta enseñanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta enseñanza:  Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en la sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las matemáticas han contribuido a su desarrollo.  Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemáticas permite responder, las formas básicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y limitaciones.
  • 23. ¿CÓMO SURGEN LAS MATEMÁTICAS? ALGUNAS NOTAS HISTÓRICAS
  • 25. Las matemáticas constituyen el armazón sobre el que se construyen los modelos científicos, toman parte en el proceso de modelización de la realidad, y en muchas ocasiones han servido como medio de validación de estos modelos. Por ejemplo, han sido cálculos matemáticos los que permitieron, mucho antes de que pudiesen ser observados, el descubrimiento de la existencia de los últimos planetas de nuestro sistema solar. Sin embargo, la evolución de las matemáticas no sólo se ha producido por acumulación de conocimientos o de campos de aplicación. Los propios conceptos matemáticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo, ampliándolo, precisándolo o revisándolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo relegados a segundo plano.
  • 27. MATEMÁTICAS EN LA VIDA COTIDIANA. CULTURA MATEMÁTICA Uno de los fines de la educación es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura es cambiante y se amplía cada vez más en la sociedad moderna. Cada vez más se reconoce el papel cultural de las matemáticas y la educación matemática también tiene como fin proporcionar esta cultura. El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en “matemáticos aficionados”, tampoco se trata de capacitarlos en cálculos complejos, puesto que los ordenadores hoy día resuelven este problema.
  • 29. Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados: a) Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información matemática y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional. a) Capacidad para discutir o comunicar información matemática, cuando sea relevante, y competencia para resolver los problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional.
  • 30. MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS El dar un papel primordial a la resolución de problemas y a la actividad de modelización tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo. Sería cuanto menos contradictorio con la génesis histórica de las matemáticas, al igual que con sus aplicaciones actuales, presentar las matemáticas a los alumnos como algo cerrado, completo y alejado de la realidad. Debe tenerse en cuenta, por una parte, que determinados conocimientos matemáticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra, que a menudo estos problemas no estrictamente matemáticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemáticos.
  • 32. 1. En el siguiente problema, ¿cuál es el conocimiento matemático que permite resolverlo? ¿Qué significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento? Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestión. Problema. Unos niños llevan a clase caramelos. Andrés lleva 5, María 8, José 6, Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno. ¿Cómo repartir los caramelos de forma equitativa? 2. ¿Qué contenidos matemáticos serían útiles para resolver los siguientes tipos de problemas: 􏰀 Construir a escala la maqueta de un edificio Determinar en forma aproximada la altura de una torre, desde el suelo.  Calcular el número de lentejas en un paquete de kilo, sin contarlas todas.
  • 33. Desde el punto de vista de la enseñanza de las matemáticas, las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos. No podemos proponer los mismos problemas a un matemático, a un adulto, a un adolescente o a un niño, porque sus necesidades son diferentes. Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepción del entorno físico y social y componentes imaginadas y lúdicas que despiertan su interés en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto. En consecuencia, la activación del conocimiento matemático mediante la resolución de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecánica situaciones "reales", aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto, ya que éstas pueden no interesar a los alumnos.
  • 34. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO RAZONAMIENTO EMPÍRICO-INDUCTIVO El proceso histórico de construcción de las matemáticas nos muestra la importancia del razonamiento empírico-inductivo que, en muchos casos, desempeña un papel mucho más activo en la elaboración de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo. Esta afirmación describe también la forma en que trabajan los matemáticos, quienes no formulan un teorema “a la primera”. Los tanteos previos, los ejemplos y contraejemplos, la solución de un caso particular, la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver qué sucede, etc., son las auténticas pistas para elaborar proposiciones y teorías. Esta fase intuitiva es la que convence íntimamente al matemático de que el proceso de construcción del conocimiento va por buen camino. La deducción formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior. Esta constatación se opone frontalmente a la tendencia, fácilmente observable en algunas propuestas curriculares, a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano, tendencia que priva a los alumnos del más poderoso instrumento de exploración y construcción del conocimiento matemático.
  • 35. • Deducción: es una secuencia finita de fórmulas, de las cuales la última es designada como la conclusión (la conclusión de la deducción), y todas las fórmulas en la secuencia son, o bien axiomas, o bien premisas, o bien inferencias directas a partir de fórmulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia. 1 • Inducción: un tipo de razonamiento en que la verdad de las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusión, pero no la garantiza. 2 • Empírico.Conocimiento basado en la experiencia, experimentación e investigación, y en último término, en la percepción, pues nos dice qué es lo que existe y cuáles son sus características, pero no nos dice que algo deba ser necesariamente así y no de otra forma; tampoco nos da verdadera universalidad. Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento científico. 3
  • 36. • Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el número total de éstos en cada uno de los cuadrados, obtenemos los llamados "números cuadrados": 1, 4, 9, 16, ... a) ¿Podrías escribir los primeros 10 números cuadrados? b) Llamaremos Cn al número cuadrado cuya base está formada por n puntos ¿Puedes encontrar una expresión general para Cn ? c) ¿Puedes dar algún tipo de razonamiento que la justifique? y construcción del conocimiento matemático. 9. Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el número total de éstos en cada uno de los cuadrados, obtenemos los llamados "números cuadrados": 1, 4, 9, 16, ... * * * * * * * * * * * * * * a) ¿Podrías escribir los primeros 10 números cuadrados? b) Llamaremos Cn al número cuadrado cuya base está formada por n puntos ¿Puedes encontrar una expresión general para Cn ? c) ¿Puedes dar algún tipo de razonamiento que la justifique? 10. Repite el proceso para los "números triangulares": * * * * ** ** ** *** *** **** 11. Analiza el papel del razonamiento empírico-inductivo y deductivo en la resolución de los problemas anteriores • Repite el proceso para los "números triangulares": no formulan un teorema “a la primera”. Los tanteos previos, los ejemplos y contraejemplos, la solución de un caso particular, la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver qué sucede, etc., son las auténticas pistas para elaborar proposiciones y teorías. Esta fase intuitiva es la que convence íntimamente al matemático de que el proceso de construcción del conocimiento va por buen camino. La deducción formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior. Esta constatación se opone frontalmente a la tendencia, fácilmente observable en algunas propuestas curriculares, a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano, tendencia que priva a los alumnos del más poderoso instrumento de exploración y construcción del conocimiento matemático. 9. Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el número total de éstos en cada uno de los cuadrados, obtenemos los llamados "números cuadrados": 1, 4, 9, 16, ... * * * * * * * * * * * * * * a) ¿Podrías escribir los primeros 10 números cuadrados? b) Llamaremos Cn al número cuadrado cuya base está formada por n puntos ¿Puedes encontrar una expresión general para Cn ? c) ¿Puedes dar algún tipo de razonamiento que la justifique? 10. Repite el proceso para los "números triangulares": * * * * ** ** ** *** *** **** 11. Analiza el papel del razonamiento empírico-inductivo y deductivo en la resolución de los problemas anteriores Analiza el papel del razonamiento empírico-inductivo y deductivo en la resolución de los problemas anteriores
  • 37. FORMALIZACIÓN Y ABSTRACCIÓN Desde una perspectiva pedagógica -y también epistemológica-, es importante diferenciar el proceso de construcción del conocimiento matemático de las características de dicho conocimiento en un estado avanzado de elaboración. La formalización, precisión y ausencia de ambigüedad del conocimiento matemático debe ser la fase final de un largo proceso de aproximación a la realidad, de construcción de instrumentos intelectuales eficaces para conocerla, analizarla y transformarla. Ciertamente, como ciencia constituida, las matemáticas se caracterizan por su precisión, por su carácter formal y abstracto, por su naturaleza deductiva y por su organización a menudo axiomática. Sin embargo, tanto en la génesis histórica como en su apropiación individual por los alumnos, la construcción del conocimiento matemático es inseparable de la actividad concreta sobre los objetos, de la intuición y de las aproximaciones inductivas activadas por la realización de tareas y la resolución de problemas particulares. La experiencia y comprensión de las nociones, propiedades y relaciones matemáticas a partir de la actividad real es, al mismo tiempo, un paso previo a la formalización y una condición necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades que encierra dicha formalización.
  • 38. Las , como el resto de las disciplinas científicas, aglutinan un conjunto de conocimientos con unas características propias y una determinada estructura y organización internas. Lo que confiere un carácter distintivo al conocimiento matemático es su enorme poder como instrumento de comunicación, conciso y sin ambigüedades. Gracias a la amplia utilización de diferentes sistemas de notación simbólica (números, letras, tablas, gráficos, etc,), las matemáticas son útiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa, poniendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones o resultados que todavía no se han producido.
  • 39. Ejemplo: Un número par se puede escribir como 2n. Esta expresión es equivalente a (n+1)+(n-1). Pero esta última expresión nos da una nueva información ya que muestra que todo número par es la suma de dos impares consecutivos. Sería sin embargo erróneo, o al menos superficial, suponer que esta capacidad del conocimiento matemático para representar, explicar y predecir hechos, situaciones y resultados es simplemente una consecuencia de la utilización de notaciones simbólicas precisas e inequívocas en cuanto a las informaciones que permiten representar. En realidad, si las notaciones simbólicas pueden llegar a desempeñar efectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza del conocimiento matemático que está en su base y al que sirven de soporte.
  • 40. Identifica los diferentes medios de expresión en los textos con que se trabaja en el aula(términos, símbolos, gráficas, diagramas). Da ejemplos de los conceptos implícitos y explícitos a que hacen referencias. ¿Cómo se representan los diferentes conceptos? ¿Cómo podemos comunicar las matemáticas a alumnos con discapacidad, como ceguera, disminución motriz, etc.? ¿Piensas que pueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemáticas debido a su carencia?
  • 41. ESTRUCTURA INTERNA La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningún caso ignorar que, como cualquier otra disciplina científica, las matemáticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes. Más aún, en el caso de las matemáticas esta estructura es especialmente rica y significativa. Hay una componente vertical en esta estructura, la que fundamenta unos conceptos en otros, que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga, en ocasiones, a trabajar algunos aspectos con la única finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo.
  • 42. LA MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL Nos lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas. En esta actividad son característicos los siguientes procesos: • IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales • ESQUEMATIZAR • FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras • DESCUBRIR relaciones y regularidades • RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas • TRANSFERIR un problema real a uno matemático • TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático conocido.
  • 43. LA MATEMATIZACIÓN VERTICAL Consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes procesos: • REPRESENTAR una relación mediante una fórmula • UTILIZAR diferentes modelos • REFINAR y AJUSTAR modelos • COMBINAR e INTEGRAR modelos • PROBAR regularidades • FORMULAR un concepto matemático nuevo • GENERALIZAR ¿ Con qué acciones reales, hacemos esto en el aula?
  • 44. Sin embargo, interesa destacar una vez más que casi nunca existe un camino único, ni tan siquiera uno claramente mejor, y si lo hay tiene una fundamentación más de tipo pedagógico que epistemológico. Por el contrario, determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemáticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas, como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemática escolar en la teoría de conjuntos. Considera los siguientes conjuntos numéricos: números racionales, números naturales, números enteros, números decimales, números primos. ¿Cómo se relacionan entre sí? ¿Por qué en los diseños curriculares, se contempla una enseñanza cíclica de algunos conceptos? Identifica algunos conceptos que aparezcan cíclicamente en los diferentes niveles de la educación primaria.
  • 45. NATURALEZA RELACIONAL El conocimiento lógico-matemático hunde sus raíces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y, muy especialmente, en su capacidad para abstraer y tomar en consideración dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes.
  • 46. ,
  • 47. Ejemplo En las frases “A es más grande que B”, "A mide tres centímetros más que B”, “B mide tres centímetros menos que A", etc., no expresamos una propiedad de los objetos A y B en sí mismos, sino la relación existente entre una propiedad -el tamaño- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma, masa, densidad volumen, etc.). Las relaciones más grande que, más pequeño que, tres centímetros más que, tres centímetros menos que, etc. son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos. Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeño supone una actividad de comparación con elementos más difusos, como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior.
  • 48. Este sencillo ejemplo muestra hasta qué punto el conocimiento matemático implica la construcción de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos. Las matemáticas son pues más constructivas que deductivas, desde la perspectiva de su elaboración y adquisición. Si desligamos el conocimiento matemático de la actividad constructiva que está en su origen, corremos el peligro de caer en puro formalismo. Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representación, explicación y predicción. Otra implicación curricular de la naturaleza relacional de las matemáticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propósitos diferentes.
  • 49. Ejemplo Numerar, contar, ordenar, clasificar, simbolizar, inferir, etc. son herramientas igualmente útiles en geometría y en estadística. Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde ópticas distintas, es necesario dedicarles una atención especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la enseñanza.
  • 50. EXACTITUD Y APROXIMACIÓN Una característica adicional de las matemáticas, que ha ido haciéndose cada vez más patente a lo largo de su desarrollo histórico, es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad. Por un lado la matemática es una “ciencia exacta”, los resultados de una operación, una transformación son unívocos. Por otro, al comparar la modelización matemática de un cierto hecho de la realidad, siempre es aproximada, porque el modelo nunca es exacto a la realidad. Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemáticas de los alumnos, otros lo hacen más tarde.
  • 51. Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda: la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemáticas como ciencia exacta. Así, por ejemplo, se prefiere la matemática de la certeza (“sí” o “no”, “verdadero” o “falso”) a la de la probabilidad (“es posible que. . . “, “con un nivel de significación de. . . “); la de la exactitud (“la diagonal mide √2”, “el área de un círculo es πr2”,...) a la de la estimación (“me equivoco como mucho en una décima”, “la proporción áurea es aproximadamente 5/3”, ...). Las matemáticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques, y ello no sólo por la riqueza intrínseca que encierran, sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemáticas.
  • 52. ¿Es posible medir con exactitud la longitud de una costa? ¿la cantidad de agua embalsada en un pantano? ¿el nivel de ruido ambiental? Pon otros ejemplos en que la medida sólo puede ser aproximada. ¿Qué interés tiene en estos casos un valor aproximado de la medida?
  • 54. En el Curriculum académico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos, los de tipo conceptual, como otros que han estado más ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes: contenidos relativos a procedimientos, y a normas, valores y actitudes. En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos. Todo contenido que se aprende es también susceptible de ser enseñado, y se considera tan necesario planificar la intervención con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relación a los otros tipos de contenido.
  • 55. En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido. El primero de ellos es el que presenta los conceptos, hechos y principios. Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares, no tanto los principios. Por principios se entiende enunciados que describen cómo los cambios que se producen en un objeto o situación se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situación.
  • 56. El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos. Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas, orientadas a la consecución de una meta. Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en función del número de acciones o pasos implicados en su realización, de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos. En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que también caben bajo la denominación de "destrezas’’, técnicas’’ o “estrategias’’, ya que todos estos términos aluden a las características señaladas como definitorias de un procedimiento. Sin embargo, pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas más generales que exigen para su aprendizaje otras técnicas más específicas, relacionadas con contenidos concretos. APLICACIÓN: 1. La suma de números naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un procedimiento (sumar). Explica cómo se apoyan entre sí el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular. 2. Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de números naturales.
  • 57. El último apartado, que aparece en todos los bloques de contenido, es el que se refiere a los valores, normas y actitudes. La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseño curricular puede suscitar alguna duda. Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos. Desde esta propuesta curricular se pretende, en cambio, que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demás ya que, de hecho, los alumnos aprenden valores, normas y actitudes en la escuela. La única diferencia, que se considera en esta propuesta una ventaja, es que ese aprendizaje no se producirá de una manera no planificada, formando parte del currículo oculto, sino que la escuela intervendrá intencionalmente favoreciendo las situaciones de enseñanza que aseguraran el desarrollo de los valores, normas y actitudes que, a partir de las cuatro fuentes del currículo, pero especialmente de la fuente sociológica, se consideren oportunas. PARA ANALIZAR: ¿Cómo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemáticas? ¿Cómo se ponen de manifiesto? Entrega al menos dos ejemplos donde tú has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula.
  • 58. PARA RECORDAR: La entre contenidos , y es, en primer lugar y sobre todo, de naturaleza pedagógica. Es decir, llama la atención sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados. Esta es la razón por la cual, en ocasiones, un mismo contenido aparece repetido en las tres categorías: la repetición en este caso traduce la idea pedagógica de que el contenido en cuestión debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual, procedimental y actitudinal. En otras ocasiones, sin embargo, un determinado contenido aparece únicamente en una u otra de las tres categorías, con ello se sugiere que dicho contenido, por su naturaleza y por la intención educativa propia de la etapa, debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual, procedimental o actitudinal.
  • 59. Este sencillo ejemplo muestra hasta qué punto el conocimiento matemático implica la construcción de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos. Las matemáticas son pues más constructivas que deductivas, desde la perspectiva de su elaboración y adquisición. Si desligamos el conocimiento matemático de la actividad constructiva que está en su origen, corremos el peligro de caer en puro formalismo. Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representación, explicación y predicción. Otra implicación curricular de la naturaleza relacional de las matemáticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propósitos diferentes.
  • 61. BIBLIOGRAFÍA • Matematicas y su Didactica para Maestros www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/welcome.htm • La Didáctica de las Matemáticas (NTI, RTEE) www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm • Didáctica de la Matemática Nora Cabanne, 2007, Editoria Bonum • Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria Intercultural Cristina Jurado, 1993, Series Pedagógicas didácticas • Didáctica de Las Matemáticas: Cuestiones, Teoría y Práctica en el Aula Antony Orton, 1996, Ediciones Morata, ministerio de Educacion de España. Cuarta edición