1
© copywriter

2
Objetivos:
1. Conocer la forma general de una ecuación
cuadrática
2. Resolver ecuaciones cuadráticas mediante los
siguientes métodos:
a. Método de factorización
b. Método de raíces cuadradas
c. Método de completar el cuadrado
d. Método de la Fórmula Cuadrática
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Una igualdad algebraica está formada por dos
Expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=).
• Cuando la igualdad es cierta para algún valor
de las letras se llama ecuación.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, es
aquella en la cual la mayor potencia de la variable considerada
en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación
cuadrática es:
Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es
el coeficiente del termino cuadrático (distinto de 0), b el
coeficiente del término lineal y c es el término independiente.

LAS ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO SE COMPONEN DE TRES
TÉRMINOS:
CUADRÁTICO (ax2)
LINEAL (bx)
CONSTANTE ( c )
EXISTEN TRES
CLASES:
COMPLETAS
a x2 + b x + c = 0
PURAS
ax2 +c =0
MIXTAS
ax2 +bx =0

Solucionar una ecuación de segundo
grado es encontrar él o los valores
numéricos (raíces)que remplazan la
variable y satisfacen la ecuación.
Resolución de ecuaciones
incompletas.
Resolución de ax2+bx=0
La ecuación de segundo grado
incompleta del tipo ax2+bx=0
tiene dos soluciones: x1=0 y
x2=-b/a
Se resuelve sacando factor común a
la x e igualando
los dos factores a cero. x1=0 y
x2=-b/a

Resolución de ecuaciones
incompletas.
Resolución de ax2+c=0
La ecuación de segundo
grado incompleta del
tipo
ax2+c=0, puede no tener
solución ó tener dos
soluciones distintas de la
forma

Resolución de ecuaciones completas.
Solución por factorización .
Como toda ecuación cuadrática es equivalente
a una ecuación en la cual uno de sus miembros
es un polinomio de segundo grado y el otro es
cero; entonces, cuando el polinomio de segundo
grado pueda factorizarse, se procede así:
Como la ecuación es
Equivalente a:
Se procede despejando la variable.
Solución de ecuaciones de segundo grado
completas

8
El procedimiento para el Método de
Factorización es:
1. Iguale la ecuación a cero.
2. Factorice el polinomio que forma la ecuación.
3. Use la propiedad del producto nulo para reducir a
ecuaciones lineales.
4. Resuelva las ecuaciones lineales.
1. Método de Factorización
Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas
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9
Ejemplos:
Resuelve las ecuaciones usando el método de
factorización.
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9
10
)
1 2


 x
x

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10
9
10
)
1 2


 x
x
0
9
10
2


 x
x
   0
1
9 

 x
x
0
9 

x ó 0
1

x
9

x 1

x
 
C. S.= 9, 1

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11
33
19
2
)
2 2

 x
x

12
33
19
2
)
2 2

 x
x
0
33
19
2 2


 x
x
   0
11
3
2 

 x
x
0
3
2 

x ó 0
11

x
3
2 

x
2
3


x
11

x
3
C.S.= , 11
2

 
 
 
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© copywriter
13

© copywriter
14

© copywriter
15
2
3) 2 18
x x

5.

16
2
3) 2 18
x x

2
2 18 0
x x
 
 
2 9 0
x x  
2 0
x  ó 9 0
x  
0
2
x 
0
x 
9
x 
 
C.S.= 0, 9
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5.

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17
2
4) 9 36
x 
6.

18
2
4) 9 36
x 
2
9 36 0
x  
2
4 0
x  
2 0
x  
ó
2 0
x  
  
2 2 0
x x
  
2
x   2
x 
 
C. S.= 2, 2

2
9 36 0
9 9 9
x
 
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6.

19
Emplea el método factorización y resuelve las siguientes
ecuaciones

20
2
Si entonces ó .
Teorema:
x p x p x p
   
2. El método de raíz cuadrada
2
Recordar que x x x
   
0
0
x si x
x si x



 

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21
El procedimiento para el Método de Raíz
Cuadrada
1. Despeje la variable cuadrática
2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de
la ecuación
3. Simplifique
Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el
coeficiente del término lineal es cero.
Empezar
Método de Raíz Cuadrada
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22
2
1) 9 25
x 
Ejemplos:
Resuelve las ecuaciones usando el método de la
raíz cuadrada.
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23
 
2
2) 5 20
x  
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24
Procedimiento para completar el cuadrado
1. Deje a un lado los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática.
3. Encuentre el término que completa el cuadrado.
El término que completa el cuadrado se
encuentra dividiendo el coeficiente del término
lineal por 2 y elevando al cuadrado.
4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos
lados de la ecuación.
5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.
3. El método de completar el cuadrado
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© copywriter
25
0
14
8
)
1 2


 x
x

26
0
14
8
)
1 2


 x
x
14
8
2


 x
x







2
2
8
  
2
4 16
14
8
2


 x
x 16
 16

2
16
8
2


 x
x
© copywriter

27
2
16
8
2


 x
x
   2
4
4 

 x
x
  2
4
2


x
  2
4
2


x
2
4 


x
© copywriter

28
2
4


x
2
4 


x
 
. 4 2, 4 2
C S     
© copywriter

© copywriter
29
0
14
12
9
)
2 2


 x
x

30
0
14
12
9
)
2 2


 x
x
2
9 12 14
=
9 9 9
x x

2 4 14
3 9
x x
 
2 4 14
3 9
 
x x
4
9

4
9

  9
4
3
2
2
3
4
2
2






 








 
© copywriter

31
2 2 18
3 3 9
x x
  
  
  
  
2 4 14
3 9
 
x x
4
9

4
9

2
2
2
3
x
 
 
 
 
2
2
2
3
 
 
 
 
x
© copywriter

32
2
2
3
x   
2
2
2
3
 
 
 
 
x
2
2
3
x  
2 2
. . 2, 2
3 3
C S
 
  
 
 
© copywriter

33
Teorema:
Las soluciones de una ecuación
cuadrática 0
2


 c
bx
ax
donde , y son constantes y 0
a b c a 
están determinadas por la fórmula:
a
ac
b
b
x 2
4
2




La misma es llamada la fórmula cuadrática.
4. La Fórmula Cuadrática
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34
a
ac
b
b
x 2
4
2




2
Al número se le llama el discriminante d
Definición
e la ecuac
b ón.
4 i
ac

Aclaración:
1. Si el discriminante es un número positivo; la
ecuación tendrá dos soluciones reales.
2. Si el discriminante es un número negativo; la
ecuación tendrá dos soluciones complejas conjugadas.
3.Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una
solución real de multiplicidad dos.
© copywriter

35
Resuelva la ecuación usando la fórmula
cuadrática.
0
18
24
8
)
1 2


 x
x
8, b 24 y c 18
a    
a
ac
b
b
x 2
4
2




© copywriter

36
8, b 24 y c 18
a    
    
 
8
2
18
8
4
24
24
2




x
16
576
576
24 


x
      
 
2
4
2
x
  

24
 24
 8
8
18
© copywriter

37
16
576
576
24 


x
16
0
24

x
24 0
16
x


24
16
x 
2
3








2
3
.
.S
C
© copywriter

38
0
5
2
3
)
2 2


 x
x
3, b 2 y c 5
a    
a
ac
b
b
x 2
4
2




2 4 60
6
 

      
 
2
2 2 3 5
4
3
2
x
  
 

© copywriter

39
2 4 60
6
x
 

6
56
2 


2 4 14 1
6
 

2 2 14
6
i
x


© copywriter

40
2 2 14
6
i
x


2 2 14
6 6
i
 







 i
S
C
3
14
3
1
.
.
1 14
3 3
x i
 
© copywriter

41
2
3) 3 2
x x
 
1, b 3 y c 2
a    
a
ac
b
b
x 2
4
2




      
 
2
3 3 4 1 2
2 1
    

2
3 2 0
x x
  
© copywriter

42
      
 
2
3 3 4 1 2
2 1
x
    

3 9 8
2
x
 

3 1
2
x


3 1
2
x


3 1 3 1
2 2
x ó x
 
 
2
x  1
x 
 
. . 2,1
C S 
© copywriter

43
Ejercicios:
Resuelve la ecuación por el método de factorización.
d
d
d
n
n
d
d
y
m
m
d
d
d
d
16
32
15
.
7
4
.
6
0
16
17
.
5
0
49
36
.
4
0
12
4
.
3
0
1
4
4
.
2
0
12
14
4
.
1
2
3
3
2
4
2
2
2
2

















© copywriter

44
Ejercicios:
Resuelva la ecuación por el método de la raíz
cuadrada.
2
2
2
2
4
1. 4 16 0
2. 1 0
3. 4 32 0
4. 36 49
5. 16 0 *
d
d
m
y
d
 
 
 

 
© copywriter

45
Ejercicios:
Resuelva la ecuación completando el cuadrado.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 12 0
3. 2 4
4. 17 16 0
5. 3 1
d d
m m
y y
d d
d d
  
 
 
  
  
© copywriter

46
Ejercicios:
Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 4 1 0
3. 4 12 0
4. 36 49 0
5. 17 16 0
d d
d d
m m
y
d d
  
  
 
 
  
© copywriter

47
Resuelve la ecuación usando factorización.
0
12
14
4
.
1 2


 d
d
2
2 2
4 14 2
2
0
2
1
d d
  
2
2 7 6 0
d d
  
  
2 3 2 0
d d
  
   
2 3 0 2 0
d ó d
   
© copywriter

48
2 3 0
d  
2 3
d  
3
2
d


2
d  
2 0
d  
3
. , 2
2
C S
 
  
 
 
© copywriter

49
2
2. 4 4 1 0
d d
  
  
2 1 2 1 0
d d
  
2 1 0 2 1 0
   
d ó d
2 1
d 
1
2
d 
1
2
d 
1
. .
2
C S
 
  
 
© copywriter

50
2
3. 4 12 0
m m
 
 
4 3 0
m m  
4 0 3 0
  
m ó m
0
4
m 
0
m 
3
m  
 
. . 0. 3
C S  
© copywriter

51
2
4. 36 49 0
y  
  
6 7 6 7 0
y y
  
6 7 0 6 7 0
y ó y
   
7
6
y 
7
6
y


7 7
. . ,
6 6
C S
 
 
 
 
6 7 6 7
y ó y
  
© copywriter

52
4 2
5. 17 16 0
d d
  
  
2 2
16 1 0
d d
  
4 0 4 0 1 0 1 0
d ó d ó d ó d
       
4
d  4
d   1
d 
 
. . 4, 4,1, 1
C S   
    
4 4 1 1 0
d d d d
    
1
d  
© copywriter

53
3
6. 4
n n

 
2
4 0
n n  
0 2 0 2 0
n ó n ó n
    
0
n  2
n 
2
n  
 
. . 0,2 2
C S  
3
4 0
n n
 
  
2 2 0
n n n
  
© copywriter

54
3 2
7. 15 32 16 0
d d d
  
 
2
15 32 16 0
d d d
  
0 5 4 0 3 4 0
d ó d ó d
    
0
d 
4
5
d 
4
3
d 
4 4
. . , ,0
5 3
C S
 
  
 
  
5 4 3 4 0
d d d
  
© copywriter

55
2
1. 4 16 0
d  
Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
2
4 16
d 
2
4 16
4 4
d

2
4
d 
2
4
d 
2
d    
. . 2, 2
C S  
© copywriter

56
 
2
2
2
2. 1 0
1
1
1
. . 1, 1
 


 
 
d
d
d
d
C S
 
2
2
2
2
2
3. 4 32 0
4 32
4 32
4 4
8
8
4 2
2 2
. . 2 2, 2 2
 





 
 
m
m
m
m
m
m
m
C S
© copywriter

57
2
2
2
2
4. 36 49
36 49
36 36
49
36
49
36
7
6
7 7
. . ,
6 6




 
 
 
 
 
y
y
y
y
y
C S
© copywriter

58
 
4
4
4
2
2 2
2 2
5. 16 0 *
16
16
4
4 o 4
4 o 4
2 o 2
. . 2, 2,2 , 2
 


 
  
  
   
  
d
d
d
d
d d
d d
d d i
C S i i
© copywriter

59
2
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12
4 14 12
4 4 4
7
3
4
7 49 49
3
4 16 16
7 48 49
4 16 16
  
  

 
  
    
 
   
 
 
d d
d d
d d
d d
d d
d
Resuelva la ecuación completando el cuadrado.
2
7 1
4 16
7 1
4 4
7 1
4 4
6 8
o
4 4
3
o 2
2
3
. . , 2
2
 
 
 
 
  
  
   
   
 
  
 
 
d
d
d
d d
d d
C S
© copywriter

60
2
2
2
2
2
2. 4 12 0
4 12 0
4 4 4
3 0
9 9
3
4 4
3 9
2 4
 
 
 
  
 
 
 
 
m m
m m
m m
m m
m  
3 3
2 2
3 3 3 3
o
2 2 2 2
3 o 0
. . 3,0
  
   
 

m
m m
m m
C S
© copywriter

61
2
2
2
2
2
3. 2 4
2 4
2 2 2
1
2
2
1 1 1
2
2 16 16
1 32 1
4 16 16
 
 
 
   
 
  
 
 
y y
y y
y y
y y
y
1 33
4 16
1 33
4 4
1 33
.
4 4
  
  
 
 
  
 
 
 
y
y
C S
© copywriter

62
2
2
2
2
2
4. 17 16 0
17 16
289 289
17 16
4 4
17 64 289
2 4 4
17 225
2 4
  
  
    
 
   
 
 
 
 
 
 
d d
d d
d d
d
d  
17 15
2 2
17 15
2 2
17 15 17 15
o
2 2 2 2
16 o 1
. 16,1
  
 
   
 

d
d
d d
d d
C S
© copywriter

63
2
2
2
2
5. 3 1
9 9
3 1
4 4
3 4 9
2 4 4
3 5
2 4
  
    
 
   
 
 
 
 
 
 
d d
d d
d
d
3 5
2 4
3 5
2 2
3 5 3 5
o
2 2 2 2
3 5
.
2 2
  
  
     
 
 
  
 
 
 
d
d
d d
C S
© copywriter

64
Resuelva la ecuación usando la fórmula
cuadrática.
      
 
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12 0
2 2 2 2
2 7 6 0
7 7 4 2 6
2 2
7 49 48
4
7 1
4
  
  
  
  

  

 

d d
d d
d d
d
d
d
7 1
4
7 1 7 1
o
4 4
6 8
o
4 4
3
o 2
2
3
. . , 2
2
 

   
 
 
 

  
 
  
 
 
d
d x
d x
d x
C S
© copywriter

65
      
 
2
2
2. 4 4 1 0
4 4 4 4 1
2 4
4 16 16
8
4 0
8
4 0
8
4 1
8 2
1
. .
2
  
    

 





 
 
  
 
d d
d
d
d
d
d
C S
© copywriter

66
      
 
 
2
2
3. 4 12 0
12 12 4 4 0
2 4
12 144
8
12 12
8
12 12 12 12
o
8 8
0 24
o
8 8
0 o 3
. . 0, 3
 
  

 

 

   
 

 
  
 
m m
m
m
m
m m
m m
m m
C S
© copywriter

67
      
 
  
  
2
2
4. 36 49 0
0 0 4 36 49
2 36
2 6 7
2 6 6
7
6
7 7
o y
6 6
7 7
. . ,
6 6
 
   

 
 
  
 
 
 
 
y
y
y
y
y
C S
© copywriter

68
      
 
 
2
2
5. 17 16 0
17 17 4 1 16
2 1
17 289 64
2
17 225
2
17 15
2
32 2
o
2 2
16 o 1
. . 1,16
  
    

 





 
 

d d
d
d
d
d
d d
d d
C S
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69
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
0
9
10
)
1 2


 x
x
33
19
2
)
2 2

 x
x
25
9
)
3 2

x
  20
5
)
4
2


x
0
14
8
)
5 2


 x
x
2
6) 7 0
x 
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