Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo Lara
Expresiones Algebraicas
Alumno: Diego Ochoa
CI: 28.220.170
Trayecto Inicial
Sección: 0103

Expresiones Algebraicas
 Una expresión algebraica es
una combinación de letras y
números ligadas por los
signos de las operaciones:
adición, sustracción,
multiplicación, división y
potenciación.
 Las expresiones algebraicas
nos permiten, por ejemplo,
hallar áreas y volúmenes.

La Suma en Expresiones Algebraicas
 En álgebra la suma es una de las
operaciones fundamentales y la más
básica, sirve para sumar monomios y
polinomios. La suma algebraica sirve para
sumar el valor de dos o más expresiones
algebraicas.
 Como se trata de expresiones que están
compuestas por términos numéricos y
literales, y con exponentes, debemos estar
atentos a las siguientes reglas:

Suma de monomios:
 La suma de dos monomios puede
dar como resultado un monomio o
un polinomio.
 Cuando los factores son iguales, por
ejemplo, la suma 2x + 4x, el
resultado será un monomio, ya que
la literal es la misma y tiene el
mismo grado (en este caso, sin
exponente). En este caso sumaremos
solo los términos numéricos, ya que,
en ambos casos, es lo mismo que
multiplicar por x:
 2x + 4x = (2+4)x = 6x
 Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se
respeta el signo. Si es necesario, escribimos la expresión
entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x). Aplicando la ley
de los signos, al sumar una expresión conserva su signo,
positivo o negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x.
 En el caso de que los monomios tengan literales
diferentes, o en caso de tener la misma literal, pero con
diferente grado (exponente), entonces el resultado de la
suma algebraica es un polinomio, formado por los dos
sumandos. Para distinguir la suma de su resultado,
podemos escribir los sumandos entre paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
(a) + (2a2) + (3b) = a + 2a2 + 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n

 Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es
decir, con las mismas literales y del mismo grado, se suman
entre sí, y se escribe la suma con los demás términos:
(2a) + (–6b2) + (–3a2) + (–4b2) + (7a) + (9a2)= [(2a) + (7a)] + [(–3a2) + (9a2)] + [(–
6b2) + (–4b2)] = [9a]+[ 6a2]+[ –10b2] = 9a + 6a2 – 10b2

Suma de polinomios:
 Un polinomio es una expresión algebraica que está formada
por sumas y restas de los diferentes términos que conforman
el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos seguir los
siguientes pasos:
 Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b
 1) Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus
grados, respetando el signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c

2) Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] +
3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c
3) Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos
entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata
término del polinomio conserva su signo en el resultado: [4a –3a]
+ 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma
alineando los términos comunes y realizando las operaciones:

Suma de monomios y polinomios:
 Como podemos deducir de lo ya
explicado, para sumar un monomio
con un polinomio, seguiremos las
reglas revisadas. Si existen términos
comunes, el monomio se sumará al
término; si no hay términos
comunes, el monomio se agrega al
polinomio como un término más:
 Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) + (–4x2)
Alineamos los términos comunes y
realizamos la suma:
 Si tenemos (m – 2n2 + 3p) + (4n),
realizamos la suma, alineando los
términos:
 Es recomendable ordenar los términos de un
polinomio, para facilitar su identificación y los cálculos
de cada operación

La Resta en Expresiones Algebraicas
 La resta algebraica es una
de las operaciones
fundamentales en el
estudio del álgebra. Sirve
para restar monomios y
polinomios. Con la resta
algebraica sustraemos el
valor de una expresión
algebraica de otra.
 Por ser expresiones que
están compuestas por
términos numéricos,
literales, y exponentes,
debemos estar atentos a
las siguientes reglas:

Resta de monomios:
 La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un
polinomio.
 Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado
será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en
este caso, 1, o sea, sin exponente). Restaremos solo los términos
numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x:
 2x – 4x = (2 – 4)x = –2x

 Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos
cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo negativo,
cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a negativo. Para no tener
confusión, escribimos los números con signo negativo, o incluso todas las expresiones,
entre paréntesis: (4x) – (–2x).:
 (4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
 Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se debe de tener en
cuenta:
 (4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
 (–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x.

 En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la resta
algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo. Para
distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre paréntesis:
 (4x) – (3y) = 4x – 3y
 (a) – (2a2) – (3b) = a – 2a2 – 3b
 (3m) – (–6n) = 3m + 6n
 Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas literales
y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los demás términos:
 (2a) – (–6b2) – (–3a2) – (–4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) – (7a)] – [(–3a2) – (9a2)] – [(–6b2) – (–4b2)] = [–5a]–[ –
12a2]–[ –2b2] = –5a + 12a2 +2b2

Resta de polinomios:
 Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y
restas de los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el
polinomio. Para restar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
 Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2
 1) Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados,
respetando el signo de cada término:
 4a +3a2 + 6b – 8b2
 –3a + 5b + 6b2 + c

 2) Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–
sustraendo: [(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(– 8b2) – (6b2)] – c
 3) Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian de
signo: [4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c = 7a + 3a2 + b – 14b2 – c
 Para comprender mejor el cambio de signos en la resta, podemos hacerla en forma
vertical, colocando el minuendo en la parte de arriba, y el sustraendo en la parte de
abajo:

 Como estamos realizando una resta, los signos del
sustraendo cambiarán, por lo que si lo expresamos
como una suma en la que todos los signos del
sustraendo se invierten, entonces quedará así y
resolvemos:

Resta de monomios y polinomios:
 Como podemos deducir de lo ya explicado, para restar un monomio de un
polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el
monomio se restará al término; si no hay términos comunes, el monomio
se agrega al polinomio como la resta de un término más:
 Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) – (–4x2) Alineamos los términos comunes y
realizamos la resta:

 (Recordemos que restar un número negativo equivale a sumarlo, es decir,
se invierte su signo)
 Si tenemos (m – 2n2 + 3p) – (4n), realizamos la resta, alineando los
términos:
 Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar
su identificación y los cálculos de cada operación.

Valor Numérico
 El valor numérico de una expresión algebraica, para un
determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en
ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones
indicadas.
L(r) = 2 r
r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm
S(l) = l 2
l = 5 cm A(5) = 52
= 25 cm2
V(a) = a3
2
a = 5 cm V(5) = 53
= 125 cm3

Multiplicación de expresiones algebraicas
 La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión
algebraica, en otras palabras, es una operación matemática que consiste
en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores
algebraicos llamada multiplicando y multiplicador.
 Por tratarse de un curso elemental de álgebra, necesitaremos las
propiedades de teoría de exponentes ya anteriormente estudiadas. Por
tratarse de multiplicación entre polinomios, usaremos las 3 principales
leyes de la potenciación para la multiplicación y son:

Multiplicación de potencias de bases iguales

Ley de Signos
 Otro punto a tener en cuenta es la ley de signos que usaremos usualmente
en la multiplicación algebraica, sobre todo en los ejercicios. La ley de
signos nos dice que:
 La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
 La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa.

Multiplicación de dos monomios
 Ejemplo:
 Multiplicar 3x3y2 por 7x4
 (3x3y2)(7x4)
 Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x
es la suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo esta en uno
de los factores se escribe y con su propio exponente.
 (3)(7)x3+4y2
 21x7y2

Multiplicación de un monomio por
un polinomio
 Para esta operación se debe multiplicar el monomio por cada uno
de los monomios que forman al polinomio, ejemplo:
 3 * (2x3-3x2+4x-2)
 (3 * 2x3) + (3 * -3x2) + (3 * 4x) + (3 * -2)
 6x3-9x2+12x-6

Multiplicación de un polinomio por otro
polinomio
 En esta operación debe de multiplicar cada uno de los
monomios de un polinomio por todos los monomios del otro
polinomio, por ejemplo:
 (2x2-3) * (2x3-3x2+4x)
 (2x2*2x3) + (2x2*-3x2) + (2x2*4x) + (-3*2x3) + (-3*-3x2) + (-
3*4x)
 4x5-6x4+8x3-6x3+9x2-12x

División Algebraica
 La división algebraica es una operación entre dos expresiones
algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra
expresión llamado cociente por medio de un algoritmo.
 Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en
cuenta un punto importante: el mayor exponente de algún
término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor
exponente de algún término del divisor.

 El esquema clásico (división larga de polinomios) contempla
las siguiente partes:
 Tal que cumpla la siguiente relación:
 Esta expresión se le conoce como identidad de la
división y literalmente nos dice que:
 El dividendo es igual al divisor por el cociente, mas el residuo. De aquí se puede extraer
dos tipos de división.

Ley de los signos para la división
 Téngase en cuenta las siguientes leyes de los signos para la
división entre expresiones algebraicas que son a menudo muy
usados tanto en ejemplos como ejercicios. Sea la siguiente
tabla:

División de dos monomios.
 En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos, en cuanto a los
demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los
coeficientes, si esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que
este tanto en el numerador como en el denominador, si el exponente del
numerador es el mayor se pone la literal en el numerador y al exponente
se le resta el exponente de la literal del denominador, en caso contrario se
pone la literal en el denominador y a su exponente se le resta el del
numerador
 Ejemplo:
Dividir 9x3y2 entre 3x2w
9x3y2 / 3x2w
9x3y2 / 3x2w = 3xy2 / w

División de un polinomio entre un
monomio
 En esta operación se distribuye el polinomio sobre el monomio, como si fueran una fracción. Por ejemplo:
 32x2+20x-12x3 entre 4x
 Se coloca el monomio como denominador de el polinomio
 32x2+20x-12x3 / 4x
 Se separa el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio
 (32x2 / 4x) + (20x / 4x) - (12x3 / 4x)
 Se realizan las divisiones correspondientes entre monomios
 8x+5-3x2

División entre polinomios
 Es muy parecida a la división algebraica, y se deben de seguir los siguientes pasos:
 Se deben de ordenar los polinomios ya sea descendente o ascendente por medio de una misma letra,
en caso de que el polinomio no este completo se dejan los espacios correspondientes.
 El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer
miembro del divisor.
 Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto
debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
 El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto
(resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
 Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
 Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no
pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

 Por ejemplo:
 Dividir x4+3+x-9x2 entre x+3

Productos Notables de Expresiones
algebraicas
 Los productos notables o también conocidos como identidades notables, son
un producto o expresiones algebraicas, que cumplen con ciertas reglas, que se
conocen como reglas fijas, y donde el resultado obtenido lo podemos escribir
con solo hacer una inspección, sin necesidad de verificar la multiplicación o
recurrir a varios pasos.
 Los productos notables, se puede decir que son el resultado de hacer una
factorización, formada de polinomios que poseen varios términos.
 En los polinomios, son de gran ayuda ya que con el uso de sus reglas y
formulas, permiten que el proceso sea mucho mas corto y que podamos
expresar un polinomio directamente sin necesidad de ir probando cada
termino.

 Los productos notables los podemos usar para realizar
operaciones algebraicas de una manera mas rápida, sin
necesidad de hacer una comprobación de la multiplicación
realizada.
 En otros casos son utilizados porque ayudan al encontrar:
medidas, o en el calculo de área, superficies, e intensidades
en el área de la ingeniaría.
 Son usados para reducir procedimientos matemáticos; ya que
con sus reglas se pueden obviar varios pasos en la resolución
de problemas matemáticos.

Tipos de productos notables
 Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con
su característica particular, sus diferente forma de resolver y con distintas
reglas que cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:
1) Binomio al cuadrado.
2) Binomio al cubo.
3) Binomios conjugados.
4) Binomios con un termino común.
5) Trinomio al cuadrado
6) Trinomio al cubo

Binomio cuadrado
 Conocido también como un cuadrado de un binomio y se ha
convertido en el producto notable que es más usado. Se trata pues
de una expresión totalmente algebraica compuesta por dos
términos. Estos se pueden restar o sumar y siempre deben ir
elevados al cuadrado.
 En el caso de que se ejecute una operación de producto notable
pero del cuadrado de un binomio, entonces se debe nombrar como
el desarrollo de lo que conocemos como trinomio cuadrado.

Binomio al cubo
 Estos también pertenecen a los productos notables y se trata
de una expresión que se usa comúnmente en el álgebra para
referirse a un par de términos en los que se pueden aplicar
sumas o restas. En cualquiera de estos casos la operación
debe ir siempre elevada al cubo.
 Al usar el producto notable de uno de estos binomios
elevados al cubo puede que podamos resolver exitosamente
problemas matemáticos donde se puedan incluir temas como
factorización o ecuaciones.

Binomios conjugados
 Al referirnos a este tipo específico e binomios, estamos
hablando de un producto notable el cual se encuentra
formado por un par de binomios. Estos comparten una única
diferencia y esta es en cuanto al signo de la operación. Esto
quiere decir que mientras un es positivo el otro es negativo.
Sin embargo, cuando se resuelva se notará igual que la resta
de un par de cuadrados.
 Un ejemplo de esto puede ser si (a+b) el conjugado que les
pertenece sería (a-b), aquí se nota claramente que lo que
cambió entonces fue el signo que pasa de suma y resta.

Binomios con término común
 Se trata de unos binomios en el que se presenta, solo en uno
del par, un término que resulta ser igual en los dos binomios y
el resultado de todo esto es un producto notable. Por
ejemplo, se dice que de un binomio como el que se muestra a
continuación P(x) = ( x + a) y Q(x) = ( x + b) los dos
comparten el mismo término común que viene a ser la (x).
 Explicado de una forma más sencilla se entiende entonces que
los binomios con términos comunes son aquellos en los que
se presente un término que sea igual en los dos binomios.
Este tipo de binomio se encuentra dentro de lo que son los
productos notables de la matemática.

Trinomios al cuadrado
 Puede que se conozca también como trinomio al cuadrado y
se trata de esos que se forman por un trío de términos con los
que es posible realizar operaciones de sumas o restas. En
estos casos, ya sea que se realice una resta o una suma, todo
debe ir elevado al cuadrado.
 Para resolverlos se deben aplicar una serie de reglas, todo
esto hace que resulten un poco complejos para algunos.
Utilizados como un término común del álgebra, los trinomios
al cuadrado son, también, un producto notable.

Trinomio al cubo
 Resulta un término algebraico que puede resultar un poco complicado de
comprender. Se conoce como un producto notable y se trata de estos
trinomios que se forma, como su nombre lo indica, de un total de tres
términos. Con ellos se pueden realizar operaciones básicas como las sumas
o las restas. Sin embargo siempre deben ir elevadas al cubo. Esto quiere
decir que cuando se presenta un trinomio elevado al cubo es porque este
se multiplica tres veces por sí mismo.
 Una de las reglas que se debe aplicar para resolver este tipo de trinomios
es la combinación de sumas sumas del primero y el segundo término que
puede resultar complicado.

Factorización por Productos Notables
 Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por
ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un
producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Factor común

 El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene
aplicando la propiedad distributiva:
Para esta operación existe una interpretación geométrica,
ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la
suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb.
Ejemplo:

Binomio al cuadrado o cuadrado de un
binomio
 Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo),
se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de
ellos. Así:
 Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como
trinomio cuadrado perfecto.
 Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer
término es siempre positivo.
Ejemplo:

Producto de dos binomios con un término
común
 Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el
cuadrado del término común se suma con el producto del término común
por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los
términos diferentes.

Producto de dos binomios conjugados
 Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación.
Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos
(obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se
obtiene una diferencia de cuadrados.

Polinomio al cuadrado
 Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los
cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la
suma de los productos de cada posible par de términos.

Binomio al cubo o cubo de un binomio
Para calcular el cubo de un binomio se suman,
sucesivamente:
 El cubo del primer término con el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo.
 El triple producto del primero por el cuadrado del
segundo.
 El cubo del segundo término.

Bibliografía
https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf
https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4670-ejemplo_de_suma_algebraica.html
https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4671-ejemplo_de_resta_algebraica.html
https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/multiplicacion
-algebraica/#%C2%BFque-es-la-multiplicaci%C3%B3n-en-%C3%A1lgebra
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro1/153_multiplicacin_de_expresiones_algebraicas.html
multiplicación
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/5-division-algebraica/
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro1/154_divisin_de_expresiones_algebraicas.html
https://wikimat.es/polinomios/productos-notables/
https://estudianteo.com/matematicas/que-son-los-productos-notables/#Binomio_cuadrado

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