Προτασιακή Λογική

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 5 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
Προτασιακός Λογισµός
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 4: Προτασιακός Λογισµός
• Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 5: Θεωρήµατα Προτασιακού Λογισµού
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Απαιτείται άριστη γνώση και των δύο µαθηµάτων. Η τυπική απόδειξη πέφτει στις ασκήσεις του
Β’µέρους και θεωρείται εύκολη µοναδα εφόσον κάποιος έχει µελετήσει άριστα όλες τις ασκήσεις των
αντιστοιχων µαθηµάτων.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7 και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.30’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.30’

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 5 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
∆ίδεται το ΑΣ2 (φ→(ψ→χ))→((φ→ψ)→(φ→χ)). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και
ποιες όχι;
1. Ο τύπος (¬¬φ→(ψ→χ)) → ((¬¬φ→ψ)→(¬¬φ→χ)) προκύπτει άµεσα από το ΑΣ2 µε Συντακτική
Αντικατάσταση.
2. Ο τύπος (¬¬φ → (ψ → φ)) → ((φ → φ) → (φ → φ)) προκύπτει άµεσα από το ΑΣ2 µε
Συντακτική Αντικατάσταση.
3. Ο τύπος (¬φ → (¬φ → ¬¬φ)) → ((¬φ → ¬φ) → (¬φ → φ)) προκύπτει άµεσα από το ΑΣ2 µε
Συντακτική Αντικατάσταση.
4. Ο τύπος (¬ψ → (φ → φ)) → ((¬ψ → φ) → (¬ψ → φ)) προκύπτει άµεσα από το ΑΣ2 µε
Συντακτική Αντικατάσταση.
Ερωτήσεις 2
Το θεώρηµα της απαγωγής εξασφαλίζει ότι για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ και για αυθαίρετα
επιλεγµένους τύπους φ και ψ ισχύει
Αν T U φ |- ψ τότε T |- φ → ψ
Είναι σωστό ότι οι παρακάτω δηλώσεις προκύπτουν άµεσα από το Θεώρηµα Απαγωγής χωρίς την
χρήση άλλων θεωρηµάτων ή προτάσεων?
1. Αν T U ¬¬φ |- ¬ψ τότε T |- φ → ¬ψ
2. Αν T U (φ → φ) |- (ψ → φ) τότε T |- (ψ→φ)→(φ→φ)
3. Αν φ |= φ τότε |= φ→φ
4. Αν φ → χ |- φ τότε |- (φ → χ) → φ
Ερωτήσεις 3
Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις προκύπτουν άµεσα από την εφαρµογή του θεωρήµατος
Αντιθετοαναστροφής χωρίς χρήση άλλων θεωρηµάτων ή προτάσεων:
1. Αν Τ∪{φ} |- ψ τότε Τ∪{¬ψ} |- ¬φ
2. Αν Τ∪{φ} |- ¬(¬ψ) τότε Τ∪{¬ψ} |- ¬φ
3. Αν ¬φ |- ¬ψ τότε ψ |- φ
4. Αν ¬φ |- ¬ψ τότε ψ |- ¬(¬φ)
Ερωτήσεις 4
Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές και ποιες όχι:
1. Το | ( )ψ ϕ χ θ− → → , προκύπτει από το { , , }|ψ ϕ χ θ− , χρησιµοποιώντας το θεώρηµα Απαγωγής
µία ή περισσότερες φορές.
2. Το { , }|ϕ ψ ψ− ¬¬ , προκύπτει από το { , }|ψ ψ ϕ¬ − ¬ , χρησιµοποιώντας το θεώρηµα
Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα.
3. Το |ϕ ψ χ− → ¬ , προκύπτει από το { , }|ψ χ ϕ− ¬ , χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα Απαγωγής και
Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα.
4. Το |ϕ ψ χ− ¬ → , προκύπτει από το { , }|ϕ χ ψ¬ − , χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα Απαγωγής και
Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 5 3
Ερωτήσεις 5
Στις παρακάτω προτάσεις τα 1T και 2
T είναι σύνολα προτασιακών τύπων.
1. Αν τα 1T και 2
T είναι ικανοποιήσιµα, τότε είναι ικανοποιήσιµο και το 1 2T T∪ .
2. Αν τα 1T και 2
T είναι ικανοποιήσιµα, τότε είναι ικανοποιήσιµο και το 1 2T T∩ .
3. Αν το 1T είναι συνεπές και 1 |T - φ , τότε ο φ είναι ταυτολογία.
4. Αν το 1T είναι ικανοποιήσιµο και ο φ είναι ταυτολογία, τότε το 1 { }T ϕ∪ είναι συνεπές.
Ερωτήσεις 6
Για τους προτασιακούς τύπους ,f g και h ισχύει: f |= g , g |-ΠΛ h¬ και h¬ |= f . Τότε πάντα ισχύει
επίσης και ότι:
1. Ο τύπος είναι ταυτολογία
2. Ο τύπος f g∨ είναι ταυτολογία
3. Και οι τρεις τύποι ,f g και h , περιλαµβάνουν τις ίδιες ακριβώς προτασιακές µεταβλητές
4. Ισχύει ότι{ , }f g |-ΠΛ h¬ , αλλά δεν ισχύει ότι { , }f g |= h¬
f h∨

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 5 4
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Αποδείξτε τις ακόλουθες τυπικές συνεπαγωγές:
1. {ξ → ¬¬ξ, ¬φ → (¬φ → φ), (φ→ξ)→(ψ→¬φ), (ξ → ¬¬ξ) → ψ,φ → ξ} |- ¬φ → φ
2. χ |- (¬χ → φ) → (¬χ → χ)
χωρίς χρήση των θεωρηµάτων του Προτασιακού Λογισµού.
Άσκηση 2
Αποδείξτε τις ακόλουθες τυπικές συνεπαγωγές:
1. ¬¬φ → (¬¬φ → ψ) |- (χ → (¬ψ → ¬χ)) → (χ → (((¬ψ → ¬χ) → ¬¬φ) → ψ))
2. |- ψ → ((¬χ → φ) → ¬¬ψ)
Μπορείτε να επικαλεστείτε οποιοδήποτε θεώρηµα του προτασιακού του λογισµού, αλλά όχι τα
θεωρήµατα Εγκυρότητας - Πληρότητας.
Άσκηση 3
Αποδείξτε τις ακόλουθες τυπικές συνεπαγωγές:
1. φ |- (ψ → ψ) ∨ ¬¬φ
2. φ∧ψ |- φ → ψ
Άσκηση 4
Έστω Τ σύνολο προτασιακών τύπων και φ,ψ, χ προτασιακοί τύποι. ∆είξτε ότι αν T ∪ {φ, ψ} |= ¬χ τότε T |- χ →
(ψ → ¬φ)
Άσκηση 5
Αποδείξτε τις ακόλουθες τυπικές συνεπαγωγές χωρίς να επικαλεστείτε κανένα από τα θεωρήµατα του
προτασιακού λογισµού (απαγωγής, αντιθετοαναστροφής, πληρότητας κ.λπ.)
1. {ψ→(φ→χ),φ} |- ψ→χ
2. {¬φ→¬ψ, ¬φ→¬¬ψ} |- φ
Άσκηση 6
1. Να δείξετε ότι ϕ |−ΠΛ ψ ϕ¬ → κατασκευάζοντας τυπική απόδειξη χωρίς όµως να χρησιµοποιήσετε
κανένα από τα γνωστά θεωρήµατα.
2. Χρησιµοποιώντας το (1) δείξτε ότι ϕ¬ |−ΠΛ ψ ϕ¬ → ¬ .
3. Χρησιµοποιώντας το (1) και το (2) δείξτε ότι { , }ϕ ϕ¬ |−ΠΛ ψ (κατασκευάζοντας τυπική απόδειξη
χωρίς όµως να χρησιµοποιήσετε κανένα από τα γνωστά θεωρήµατα).