Campos Electromagneticos - Tema 3

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DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO

LEY DE GAUSS

APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

DIVERGENCIA

PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]

OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

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Campos Electromagneticos - Tema 3

  1. 1. CAMPOS ELECTROMAGN ÉTICOS TEMA 3 DENSIDAD DE FLUJO EL ÉCTRICO, LEY DE GAUSS Y DIVERGENCIA Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Sep – Dic 2009 San Cristóbal, RD
  2. 2. TABLA DE CONTENIDO <ul><li>DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO </li></ul><ul><li>LEY DE GAUSS </li></ul><ul><li>APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS </li></ul><ul><li>DIVERGENCIA </li></ul><ul><li>PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROST ÁTICA ] </li></ul><ul><li>OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA </li></ul>
  3. 3. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO <ul><li>Carga de Superficie </li></ul><ul><li>El flujo eléctrico ψ a través de un área es la integral de la componente normal del campo eléctrico afectado por su permitividad, esto es: </li></ul><ul><li>Siendo ε = ε 0 ε r </li></ul><ul><li>El flujo eléctrico ψ también se conoce por : Desplazamiento o Flujo de Desplazamiento. </li></ul>1 Permitividad relativa -> sin dimensiones Permitividad del aire o vacío -> 8.854x10-12Fm -1 Permitividad del medio -> 8.854x10-12Fm -1 Caso Uniforme Suponiendo un campo uniforme E entre 2 placas paralelas, con carga +Q y –Q respectivamente, como se muestra en la figura: El flujo sobre el área pequeña es: Y el flujo total entre las placas: [C]
  4. 4. <ul><li>Densidad de flujo D Carga por Unidad de Área </li></ul><ul><li>La Densidad de Flujo Eléctrico </li></ul><ul><li>también se conoce como: </li></ul><ul><li>Líneas por Metro Cuadrado </li></ul><ul><li>Densidad de Flujo de Desplazamiento </li></ul><ul><li>Densidad de Desplazamiento </li></ul><ul><li>Vectorialmente -> [Cm -2 ] </li></ul><ul><li>El nombre de la permitividad ε es obvio, ya que > ε implica > D . En un medio isotr ópico (propiedades son independientes de la dirección), D y E están en la misma dirección y ε es una cantidad escalar. Si D y E estuvieran en direcciones diferentes, entonces ε fuera un tensor. </li></ul><ul><li>En el caso uniforme : Q= ρ s A , esto es, Q= DA , y con ρ s =D , el flujo total entre las placas es: ψ = DA = ρ s A =Q [C]. </li></ul>DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.) 2 Es tan simple como … Dividir Flujo Eléctrico ψ sobre el Área A
  5. 5. <ul><li>Experimento de Faraday </li></ul><ul><li>Construcción 2 esferas concéntricas. </li></ul><ul><li>La esfera exterior consiste de dos hemisferios que se pueden unir con firmeza. </li></ul><ul><li>Construcción cáscaras esféricas para ocupar volumen entre las esferas concéntricas. </li></ul><ul><li>Dar una carga positiva a la esfera interior [equipo desarmado]. </li></ul><ul><li>Colocar diel éctrico, rodeando la esfera interior cargada. </li></ul><ul><li>Conectar los hemisferios de la esfera exterior a tierra [descargar] y colocar sobre el material dieléctrico que rodea a la esfera interior. </li></ul><ul><li>Desconectar conexión a tierra de la esfera exterior ensamblada. </li></ul>DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.) 3 <ul><li>Separar esfera exterior cuidadosamente utilizando material aislante para no perturbar la carga inducida en ella. </li></ul><ul><li>Medir la carga inducida en cada hemisferio. </li></ul><ul><li>ALGUNAS CONCLUSIONES </li></ul><ul><li>(a) Magnitud carga total inducida en la esfera exterior igual a la colocada en la esfera interior, sin importar dielétrico utilizado. </li></ul><ul><li>(b) Desplazamiento de Carga. </li></ul><ul><li>(c) Constante proporcionalidad 1 en sistema SI, por tanto ψ =Q. </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Experimento de Faraday (Cont.) </li></ul><ul><li>En la siguiente figura se muestra el flujo eléctrico en la región que comprende un par de esferas concéntricas cargadas. La dirección y magnitud de D no son función del dieléctrico colocado entre las esferas </li></ul>DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.) 4 La densidad de flujo eléctrico está en dirección radial y presenta el valor de: [Esfera Interior] [Esfera Interior] [Esfera Exterior] Y a una distancia r, donde a≤r ≤b,
  7. 7. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.) <ul><li>Carga de Superficie – Caso No Uniforme </li></ul><ul><li>Sean 2 cargas puntuales +Q y –Q conectadas por tubos de flujo a lo largo de las l íneas de campo eléctrico, como se muestra en la siguiente figura: </li></ul>5 Recuerde que cada tubo contiene un valor de flujo eléctrico : Ψ =DA [C] Sumando el flujo a través de los N tubos que llenan el espacio, se tiene : donde N es el número total de tubos. En lugar de sumar tubos discretos para obtener la carga total, se integra D sobre una superficie esférica cerrada rodeando una carga puntual Q:
  8. 8. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.) 6 <ul><li>Ejemplo 3.1: </li></ul><ul><li>Sea una esfera con radio r = 2m y carga puntual Q = 8nC. Encuentre ψ a través de la parte de la esfera entre ±60° latitud y ±20° longitud. </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>Recordamos el diferencial de superficie en coordenadas esféricas : </li></ul><ul><li>Sustituimos datos del problema y el diferencial d S en la Ecuación : </li></ul><ul><li>Resultando : </li></ul>
  9. 9. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 7 <ul><li>D3.1 </li></ul><ul><li>Una carga puntual de 60 μ C se localiza en el origen. Calcular el flujo eléctrico que pasa a través de: </li></ul><ul><li>-> </li></ul><ul><li>La superficie encerrada ρ =26cm y z=±26 cm. </li></ul><ul><li>El plano z=26 cm. </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>7.5 μ C </li></ul><ul><li>60 μ C </li></ul><ul><li>30 μ C </li></ul>
  10. 10. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 8 <ul><li>D3.2 </li></ul><ul><li>Encontrar D (en coordenadas cartesianas) en P(2,-3,6) causado por : </li></ul><ul><li>Una carga puntual Q A = 55 mC en Q(-2,3,-6). </li></ul><ul><li>Una l ínea de carga uniforme ρ LB = 20 mC/m en el eje x. </li></ul><ul><li>Una superficie cargada con una densidad uniforme ρ SC = 120 μ C/m 2 en el plano z = -5m. </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>6.38 a x – 9.57 a y – 19.14 a z μ C/m 2 </li></ul><ul><li>-212 a y + 424 a z μ C/m 2 </li></ul><ul><li>60 a z μ C/m 2 </li></ul>
  11. 11. LEY DE GAUSS 9 Enunciado de la Ley de Gauss: “ El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie” En la figura se muestra la densidad de flujo eléctrico D s en P debido a la carga Q. El flujo total que pasa a través de ∆S es D s. ∆ S. La superficie cerrada, real o imaginaria puede ser denominada -> Superficie Gaussiana . Recuerde que el elemento de superficie tiene un carácter vectorial, y tiene dirección normal a un plano (para evitar ambigüedades se elige la normal hacia fuera del plano).
  12. 12. LEY DE GAUSS (CONT.) 10 Enunciado de la Ley de Gauss (Cont.): Por tanto, el flujo a través de ∆S que resulta es: El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie ∆S, por tanto la carga superficial es : La carga encerrada pueden componerla varias cargas puntuales, esto es: > Una l ínea de carga > Una carga superficial Por tanto, para : > Una distribución de carga volumétrica Ley de Gauss
  13. 13. LEY DE GAUSS (CONT.) 11 RAZONANDO A continuación se comprueban los resultados del experimento de Faraday mediante la aplicación de la Ley de Gauss. Colocamos una carga puntual Q en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, y elegimos como superficie cerrada una esfera de radio a. Observe que la densidad de flujo eléctrico D es normal en todos los puntos de la superficie esférica y siempre tiene una magnitud constante en dichos puntos. El flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada.
  14. 14. LEY DE GAUSS (CONT.) 12 Comprobación Experimento Faraday mediante Ley de Gauss (Cont.) : <ul><li>Solución : </li></ul><ul><li>Recordemos que la intensidad de campo eléctrico para una carga puntual es: </li></ul><ul><li>y que la densidad de flujo eléctrico es: </li></ul><ul><li>En la superficie de la esfera se tiene: </li></ul><ul><li>El diferencial de superficie en coordenadas esféricas es: </li></ul><ul><li>El integrando es: </li></ul>Sigue
  15. 15. LEY DE GAUSS (CONT.) 13 Comprobación Experimento Faraday mediante Ley de Gauss (Cont.) : <ul><li>Solución (Cont.) : </li></ul><ul><li>Sustituyendo en la integral de superficie cerrada : </li></ul><ul><li>se tiene: </li></ul>CONCLUSIÓN El resultado muestra que Q Coulombs de flujo eléctrico atraviesa la superficie, puesto que la carga encerrada es de Q Coulombs. La generalización del experimento de Faraday conduce a la definición de la Ley de Gauss.
  16. 16. <ul><li>Ejemplos Jaula de Faraday </li></ul><ul><li>El mal funcionamiento de los teléfonos móviles en el interior de ascensores o edificios con estructura de rejilla de acero. </li></ul><ul><li>Una manera de comprobarlo es con una radio sintonizada en una emisora de onda media. Al rodearla con un periódico, el sonido se escucha correctamente. Sin embargo, si se sustituye el periódico con un papel de aluminio la radio deja de emitir sonidos: el aluminio es un conductor eléctrico y provoca el efecto jaula de Faraday. </li></ul><ul><li>Este fenómeno también se aplica en aviones o en la protección de equipos electrónicos delicados, tales como repetidores de radio, discos duros y televisión situados en cumbres de montañas y expuestos a las perturbaciones electromagnéticas causadas por las tormentas. </li></ul>LEY DE GAUSS (CONT.) 14 Piensa en la forma de evitar un ruido molesto que resulta de una interferencia, dejar sin señal un celular o un modem o un radio sintonizado a una frecuencia determinada.
  17. 17. LEY DE GAUSS (CONT.) 15 Ejemplo Anillo Halo
  18. 18. LEY DE GAUSS (CONT.) 16 Ejemplo Anillo Halo (Cont.)
  19. 19. LEY DE GAUSS (CONT.) 17 <ul><li>D3.2 </li></ul><ul><li>Dada la densidad de flujo eléctrico D=0.3r 2 a r nC/m 2 en el espacio libre. Encontrar : </li></ul><ul><li>E en el punto P(r=2, θ =25°, Ф =90°). </li></ul><ul><li>La carga total dentro de la esfera r=3. </li></ul><ul><li>El flujo eléctrico total que sale de la esfera de r=4. </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>135.5 a r V/ m </li></ul><ul><li>305 nC </li></ul><ul><li>965 nC </li></ul>
  20. 20. LEY DE GAUSS (CONT.) 18 <ul><li>Ejemplo 3.2: </li></ul><ul><li>Sea un cubo con densidad de flujo D sobre las 6 caras. La densidad de carga volumétrica es ρ . </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>El flujo eléctrico total del cubo es: </li></ul><ul><li>Por un lado: </li></ul><ul><li>Y por el otro: </li></ul>Combinando las integrales de superficie y volumen se obtiene la Ley de Gauss para campos eléctricos, que establece que la densidad de flujo D sobre cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada.
  21. 21. LEY DE GAUSS (CONT.) 19 <ul><li>D3.4 </li></ul><ul><li>Encontrar el flujo eléctrico total que sale de la superficie cúbica que forman los seis planos x, y, z = ±5 si la distribución de carga es: </li></ul><ul><li>Dos cargas puntuales de 0.1 μ C en (1,-2,3) y 1/7 μ C en (-1,2,-2). </li></ul><ul><li>Una línea de carga uniforme de π μ C/m en x=-2 y y=3. </li></ul><ul><li>Una carga de superficie uniforme de 0.1 μ C/m 2 en el plano y=3x. </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>0.243 μ C </li></ul><ul><li>31.4 μ C </li></ul><ul><li>10.54 μ C </li></ul>
  22. 22. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS 20 <ul><li>Condiciones que Ds debe satisfacer : </li></ul><ul><li>En cualquier punto normal o tangencial a la superficie cerrada, se verifica que D s.d S se convierte en DsdS o en cero, respectivamente. </li></ul><ul><li>Sobre la porción de la superficie cerrada para la cual D s.d S no es cero, Ds = constante. </li></ul>1er Ejemplo: Superficie Gaussiana para una Carga Puntual -> Esférica. D s es normal a la superficie en todas partes y se dirige radialmente hacia fuera. Por tanto, se verifica que:
  23. 23. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 21 2do. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cilíndrica para una Distribución de Carga Lineal Uniforme. Considerando que ρ L está distribuida a lo largo del eje z desde -∞ hasta + ∞. La Superficie Gaussina para una línea de carga finita y uniforme es un cilindro circular recto de longitud L y radio ρ . D es constante en magnitud y es perpendicular a la superficie cilíndrica en cada uno de sus puntos; D es paralelo a las tapas de dicho cilindro.
  24. 24. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 22 2do. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cilíndrica para una Distribución de Carga Lineal Uniforme (Cont.) Una superficie cilíndrica es la única superficie para la cual D ρ es normal en todas partes, y pueden encerrarla superficies planas normales el eje z. Aplicando la Ley de Gauss, se verifica:
  25. 25. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 23 3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial Dos conductores cilíndricos coaxiales que forman un cable coaxial proporcionan una densidad de flujo eléctrico uniforme dentro de los cilindros dada por: El cable interior es de radio a y el exterior es de radio b, los dos de longitud infinita y distribución de carga ρ s en la superficie exterior del conductor interno.
  26. 26. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 24 3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial (Cont.) Un cilindro circular de longitud L, y radio ρ elegido en Superficie Gaussiana donde a < ρ <b, resulta en: La carga total y la densidad en esta longitud L del conductor interior ser á: En la superficie interior del cilindro exterior, se verifica una carga total: Encontrando que: Si ρ > b, la carga total encerrada ser ía cero por haber cargas iguales y opuestas en cada cilindro del conductor. Por tanto:
  27. 27. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 25 3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial (Cont.) Si ρ < a, el resultado es similar al verificado cuando ρ > b. Por tanto, el cable coaxial o condensador no tienen campo externo [conductor externo es un blindaje], y tampoco hay campo en conductor central. Si la longitud L del cable coaxial es finita y se cumple que está abierto en los extremos y que es mayor que el radio b, se forma un dispositivo llamado Condensador Coaxial .
  28. 28. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 26 <ul><li>Ejemplo 3.3: </li></ul><ul><li>Considérese un cable coaxial de 50 cm de longitud, con un radio interior de 1 mm y un radio exterior de 4 mm. Se supone que el espacio entre ambos conductores está lleno de aire. La carga total en el conductor interior es de 30 nC. Se desea conocer la densidad de carga en cada conductor, así como los campos E y D . </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>Encontramos la densidad de carga superficial en el cilindro interior: </li></ul><ul><li>La densidad de carga negativa en la superficie interior del cilindro externo es: </li></ul><ul><li>Calculando para la región 1 < ρ < 4 mm: </li></ul>¿Qué valores presentan E y D para ρ < 1 mm ó ρ > 4 mm ?
  29. 29. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 27 <ul><li>Problema 13: </li></ul><ul><li>Tres superficies esféricas ubicadas en r=2,4 y 6 m tienen densidades uniformes de superficie de carga de 20 nC/m 2 , -4 nC/m 2 y ρ s0 , respectivamente. Encontrar: </li></ul><ul><li>D en r=1, 3 y 5 m. </li></ul><ul><li>Determinar ρ s0 tal que D =0 en r=7m. </li></ul>Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: Apéndice E del libro.
  30. 30. DIVERGENCIA <ul><li>Divergencia de un Vector A </li></ul><ul><li>La divergencia de A en un punto dado P es el flujo hacia afuera por unidad de volumen a medida que el volumen se contrae alrededor de P. </li></ul><ul><li>Por tanto, </li></ul>28 <ul><li>Ilustración de la divergencia de un campo vectorial en P: </li></ul><ul><li>Divergencia positiva (vector se aparta de P – diverge ). </li></ul><ul><li>Divergencia negativa (vector converge en P). </li></ul><ul><li>Divergencia cero. </li></ul><ul><li>Es decir, la divergencia es positiva en un punto de origen en el campo, negativa en un punto de confluencia, y cero cuando no hay confluencia ni origen. </li></ul>
  31. 31. DIVERGENCIA (CONT.) <ul><li>Divergencia de un Vector A (Cont.) </li></ul><ul><li>Suponga que se quiere evaluar la divergencia de un campo vectorial A en el punto P, y que dicho punto está encerrado por un volumen diferencial como se muestra en la figura: </li></ul><ul><li>La integral de superficie : </li></ul><ul><li>se puede obtener a partir de : </li></ul>1
  32. 32. DIVERGENCIA (CONT.) <ul><li>Divergencia de un Vector A (Cont.) </li></ul><ul><li>Desarrollando A x en Serie de Taylor alrededor de P se tiene: </li></ul><ul><li>Respecto al lado anterior, . Así que : </li></ul><ul><li>Respecto al lado posterior, . Así que: </li></ul>1
  33. 33. DIVERGENCIA (CONT.) <ul><li>Divergencia de un Vector A (Cont.) </li></ul><ul><li>En consecuencia: </li></ul><ul><li>Siguiendo pasos análogos, se obtiene: </li></ul><ul><li>Al sustituir en la definición de la divergencia, considerando que ∆v=dxdydz, se tiene: </li></ul>1 Los términos de orden superior tienden a cero conforme ∆v->0.
  34. 34. DIVERGENCIA (CONT.) <ul><li>Divergencia de un Vector A (Cont.) </li></ul><ul><li>Divergencia en coordenadas rectangulares: </li></ul><ul><li>Divergencia en coordenadas cilíndricas: </li></ul><ul><li>Divergencia en coordenadas esféricas: </li></ul>29 <ul><li>La divergencia se aplica a un vector y su resultado es un escalar. </li></ul>
  35. 35. DIVERGENCIA (CONT.) 30 <ul><li>Ejercicio: </li></ul><ul><li>Determine la divergencia de estos campos vectoriales: </li></ul><ul><li>(a) </li></ul><ul><li>(b) </li></ul><ul><li>(c) </li></ul>Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas:
  36. 36. PRIMERA EC. DE MAXWELL (ELECTROSTÁTICA) 31 <ul><li>Recordamos que la divergencia en coordenadas rectangulares se expresa : </li></ul><ul><li>y que : </li></ul>Forma Puntual de la Ley de Gauss Esta ley establece que el flujo eléctrico por unidad de volumen que sale de un pequeño volumen unitario es exactamente igual a la densidad de carga volumétrica que existe en él. La ley de Gauss relaciona el flujo que sale de cualquier superficie cerrada, y la primera ecuación de Maxwell establece lo mismo, pero lo hace por unidad de volumen y para un volumen cada vez más pequeño que en el límite se reduce en un punto. 1era. Ec. Maxwell (Electrostática) Puesto que la divergencia se expresa como la suma de derivadas parciales, a la primera Ec. de Maxwell también se la llama Forma Diferencial de la Ley de Gauss. Y a la Ley de Gauss Forma Integral de la 1era Ec. De Maxwell.
  37. 37. PRIMERA EC. DE MAXWELL (ELECTROSTÁTICA) (CONT.) 32 <ul><li>Ejercicio: </li></ul><ul><li>Sea D = z ρ cos 2 φ a z C/m 2 , calcule la densidad de carga en (1, π /4,3) y la carga total encerrada por un cilindro de radio 1m con -2 ≤ z ≤ 2 m. </li></ul><ul><li>En el punto (1, π /4,3) , se tiene: </li></ul><ul><li>La Carga total encerrada se puede determinar: </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>Aplicamos directamente la 1era Ec. Maxwell : </li></ul>
  38. 38. El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 33 <ul><li>Operador Vectorial Nabla </li></ul><ul><li>Se define el operador vectorial nabla , asociando vectores unitarios a los escalares de los términos de la divergencia. Esto es: </li></ul><ul><li>Sea el producto punto : </li></ul><ul><li>De donde se verifica que : </li></ul>
  39. 39. El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (CONT.) 34 <ul><li>Teorema de la Divergencia </li></ul><ul><li>Recordemos que: </li></ul><ul><li>Sustituyendo una en otra se verifica que: </li></ul>Teorema de la Divergencia Se enuncia: La integral de la componente normal a cualquier campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia de ese campo a través del volumen encerrado por la superficie cerrada. En otras palabras, la divergencia de la densidad de flujo en todo el interior de un volumen es igual al flujo neto que atraviesa la superficie que lo encierra.
  40. 40. El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (CONT.) 35 <ul><li>Ejercicio: </li></ul><ul><li>Determine el flujo de : </li></ul><ul><li>sobre la superficie cerrada del cilindro 0 ≤ z ≤ 1, ρ = 4. Compruebe con el Teorema de la Divergencia. </li></ul>Ejercicio para realizar en el salón. Respuesta: 64 π
  41. 41. GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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