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TAUTOLOGÍA .

Jomar Burgos Palacios
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Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng
1
Sesión Nº 12
TAUTOLOGÍA
Es toda proposición simple o compuesta, cuyo valor de verdad es
siempre verdadero.
Ejemplo: La tabla se representa:
[ ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] →→→→ ∼∼∼∼p
p q ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) [ ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] →→→→ ~p
V V V F V F
V F F F V F
F V V F V V
F F V V V V
CONTRADICCIÓN: Es toda proposición que resulta siempre falsa, para
todas las combinaciones de sus valores de verdad de sus
componentes.
Ejemplo: Hallar la tabla de verdad
[ ( p ∧∧∧∧ q ) ∨∨∨∨ q ] ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q
CONTINGENCIA:Cuando la proposición compuesta contiene al menos
uno verdadero o al menos uno falso.
COMBINACIONES DE PROPOSICIONES: Cuando se tienen dos
proposiciones, se pueden obtener cuatro combinaciones posibles
(22
) y cuando se tienen tres proposiciones, se obtiene ocho
combinaciones (23
) y así sucesivamente, tal como se muestra:
p q ( p ∧∧∧∧ q ) [ ( p ∧∧∧∧ q ) ∨∨∨∨ q ] ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q
V V V V F F
V F F F F V
F V F V F F
F F F F F V
Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng
2
Nº PROPOSICIONES COMBINACIONES
2 22 = 4
3 23 = 8
4 24 = 16
5 25 = 32
6 26 = 64
El exponente representa el número de proposiciones
Para el caso de tres proposiciones, se tiene:
PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Dos proposiciones p y q
se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se
denota: p q
Ejemplo: Sea p q, y su tabla de verdad:
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Ahora bien, si analizamos la proposición ~ p ∨∨∨∨ q, su tabla de verdad
resulta:
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng
3
p q ~ p ∨∨∨∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que
ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que
ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, su tabla de verdad es
una tautología y en este caso particular lo simbolizamos:
(p q) (~ p ∨∨∨∨ q)
Formulamos la siguiente pregunta:
¿Cuándo dos expresiones son lógicamente equivalentes?
Las afirmaciones que son lógicamente equivalentes, pueden sustituirse unas
con otras sin afectar sus valores de verdad.
Puesto que las equivalencias lógicas son tautologías, pueden transformarse
en esquemas y utilizarse como tales.
Consideremos dos afirmaciones:
La sesión de clase está bien escrita y bien documentada.
La sesión de clase está bien documentada y bien escrita.
Las dos oraciones anteriores son lógicamente equivalentes.
p: La sesión de clase está bien escrita.
q: La sesión de clase está bien documentada.
( ) ( )p q q p∧ ⇔ ∧
Consideremos dos afirmaciones:
No es verdad que pedro esté bien informado y sea honrado.
Pedro o no está bien informado o no es honrado.
Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng
4
Las dos oraciones anteriores son lógicamente equivalentes.
p: Pedro está bien informado.
q: Pedro es honrado.
Se puede expresar como:
( ) ( )p q p q¬ ∧ ⇔ ¬ ∨ ¬
Leyes del Álgebra Proposicional.
Como se mencionó anteriormente, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser
siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de
sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo
proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya
demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de
verdad, a saber:
Doble Negación
~ (~ p) ⇔⇔⇔⇔ p (se lee "no, no p, equivale a p")
Idempotencia
(p ∧∧∧∧ p) ⇔⇔⇔⇔ p
(p ∨∨∨∨ p) ⇔⇔⇔⇔ p
Conmutatividad
a) De la disyunción: (p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ∨∨∨∨ p)
b) De la conjunción: (p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ∧∧∧∧ p)
Asociatividad
a) De la disyunción: [(p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ r] ⇔⇔⇔⇔ [p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)]
b) De la conjunción: [(p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ r] ⇔⇔⇔⇔ [p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r)]
Distributividad:
De la conjunción respecto de la disyunción:
Usar las tablas de verdad y
comprobar las tautologías
Matemática y Lógica
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5
[ ] [ ]( ) ( ) (p q r p q p r∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨
De la disyunción respecto de la conjunción:
[ ] [ ]( ) ( ) (p q r p q p r∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧
Leyes de De Morgan:
"La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones"
~ (p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (~ p ∧∧∧∧ ~ q)
"La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones"
~ ( p ∧∧∧∧ q ) ⇔⇔⇔⇔ ( ~ p ∨∨∨∨ ~ q )
Ley del Tercio excluido.
( )p p V∨ ¬ ⇔
Ley de Contradicción.
( )p p F∧ ¬ ⇔
“Las equivalencias lógicas se utilizan en la simplificación de proposiciones
compuestas”.
IMPLICACIÓN: Es toda condicional que resulta siempre tautológica.
Ejemplo: Halla la tabla de verdad de: [(∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q] ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p
p q ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p
V V V F V F
V F F F V F
F V V F V V
F F V V V V
Si: p →→→→ q es una tautología, se dice que p implica lógicamente a q y
se escribe: p ⇒⇒⇒⇒ q
Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng
6
Como se puede observar su tabla de verdad es una tautología, por lo que
podemos afirmar que:
[(∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q] IMPLICA A ∼∼∼∼p
Es decir su tabla de verdad es tautológica.
Las implicaciones lógicas son razonamientos tautológicos.
AUTOEVALUACION
01. p ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) LEY DE ADICIÓN
02. (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ p LEY DE SIMPLIFICACIÓN
03. [(p →→→→ q) ∧∧∧∧ p] ⇒⇒⇒⇒ q LEY DEL MODUS PONENS
04. [ ( p →→→→ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p LEY DEL MODUS TOLLENS
05. [ ( p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼p ] ⇒⇒⇒⇒ q SILOGISMO DISYUNTIVO
06. [(p →→→→ q) ∧∧∧∧ (q→→→→r)] ⇒⇒⇒⇒ (p →→→→ r) LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO
En general si: P implica a Q entonces su valor de verdad es
una tautología
Utilizar las tablas de verdad y comprobar estas tautologías
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TAUTOLOGÍA .

  • 1. Matemática y Lógica Ing. Julio Núñez Cheng 1 Sesión Nº 12 TAUTOLOGÍA Es toda proposición simple o compuesta, cuyo valor de verdad es siempre verdadero. Ejemplo: La tabla se representa: [ ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] →→→→ ∼∼∼∼p p q ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) [ ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] →→→→ ~p V V V F V F V F F F V F F V V F V V F F V V V V CONTRADICCIÓN: Es toda proposición que resulta siempre falsa, para todas las combinaciones de sus valores de verdad de sus componentes. Ejemplo: Hallar la tabla de verdad [ ( p ∧∧∧∧ q ) ∨∨∨∨ q ] ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q CONTINGENCIA:Cuando la proposición compuesta contiene al menos uno verdadero o al menos uno falso. COMBINACIONES DE PROPOSICIONES: Cuando se tienen dos proposiciones, se pueden obtener cuatro combinaciones posibles (22 ) y cuando se tienen tres proposiciones, se obtiene ocho combinaciones (23 ) y así sucesivamente, tal como se muestra: p q ( p ∧∧∧∧ q ) [ ( p ∧∧∧∧ q ) ∨∨∨∨ q ] ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q V V V V F F V F F F F V F V F V F F F F F F F V
  • 2. Matemática y Lógica Ing. Julio Núñez Cheng 2 Nº PROPOSICIONES COMBINACIONES 2 22 = 4 3 23 = 8 4 24 = 16 5 25 = 32 6 26 = 64 El exponente representa el número de proposiciones Para el caso de tres proposiciones, se tiene: PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q Ejemplo: Sea p q, y su tabla de verdad: p q p q V V F F V F V F V F V V Ahora bien, si analizamos la proposición ~ p ∨∨∨∨ q, su tabla de verdad resulta: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
  • 3. Matemática y Lógica Ing. Julio Núñez Cheng 3 p q ~ p ∨∨∨∨ q V V F F V F V F V F V V Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, su tabla de verdad es una tautología y en este caso particular lo simbolizamos: (p q) (~ p ∨∨∨∨ q) Formulamos la siguiente pregunta: ¿Cuándo dos expresiones son lógicamente equivalentes? Las afirmaciones que son lógicamente equivalentes, pueden sustituirse unas con otras sin afectar sus valores de verdad. Puesto que las equivalencias lógicas son tautologías, pueden transformarse en esquemas y utilizarse como tales. Consideremos dos afirmaciones: La sesión de clase está bien escrita y bien documentada. La sesión de clase está bien documentada y bien escrita. Las dos oraciones anteriores son lógicamente equivalentes. p: La sesión de clase está bien escrita. q: La sesión de clase está bien documentada. ( ) ( )p q q p∧ ⇔ ∧ Consideremos dos afirmaciones: No es verdad que pedro esté bien informado y sea honrado. Pedro o no está bien informado o no es honrado.
  • 4. Matemática y Lógica Ing. Julio Núñez Cheng 4 Las dos oraciones anteriores son lógicamente equivalentes. p: Pedro está bien informado. q: Pedro es honrado. Se puede expresar como: ( ) ( )p q p q¬ ∧ ⇔ ¬ ∨ ¬ Leyes del Álgebra Proposicional. Como se mencionó anteriormente, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber: Doble Negación ~ (~ p) ⇔⇔⇔⇔ p (se lee "no, no p, equivale a p") Idempotencia (p ∧∧∧∧ p) ⇔⇔⇔⇔ p (p ∨∨∨∨ p) ⇔⇔⇔⇔ p Conmutatividad a) De la disyunción: (p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ∨∨∨∨ p) b) De la conjunción: (p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ∧∧∧∧ p) Asociatividad a) De la disyunción: [(p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ r] ⇔⇔⇔⇔ [p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)] b) De la conjunción: [(p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ r] ⇔⇔⇔⇔ [p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r)] Distributividad: De la conjunción respecto de la disyunción: Usar las tablas de verdad y comprobar las tautologías
  • 5. Matemática y Lógica Ing. Julio Núñez Cheng 5 [ ] [ ]( ) ( ) (p q r p q p r∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ De la disyunción respecto de la conjunción: [ ] [ ]( ) ( ) (p q r p q p r∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ Leyes de De Morgan: "La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones" ~ (p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (~ p ∧∧∧∧ ~ q) "La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones" ~ ( p ∧∧∧∧ q ) ⇔⇔⇔⇔ ( ~ p ∨∨∨∨ ~ q ) Ley del Tercio excluido. ( )p p V∨ ¬ ⇔ Ley de Contradicción. ( )p p F∧ ¬ ⇔ “Las equivalencias lógicas se utilizan en la simplificación de proposiciones compuestas”. IMPLICACIÓN: Es toda condicional que resulta siempre tautológica. Ejemplo: Halla la tabla de verdad de: [(∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q] ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p p q ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p V V V F V F V F F F V F F V V F V V F F V V V V Si: p →→→→ q es una tautología, se dice que p implica lógicamente a q y se escribe: p ⇒⇒⇒⇒ q
  • 6. Matemática y Lógica Ing. Julio Núñez Cheng 6 Como se puede observar su tabla de verdad es una tautología, por lo que podemos afirmar que: [(∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q] IMPLICA A ∼∼∼∼p Es decir su tabla de verdad es tautológica. Las implicaciones lógicas son razonamientos tautológicos. AUTOEVALUACION 01. p ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) LEY DE ADICIÓN 02. (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ p LEY DE SIMPLIFICACIÓN 03. [(p →→→→ q) ∧∧∧∧ p] ⇒⇒⇒⇒ q LEY DEL MODUS PONENS 04. [ ( p →→→→ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p LEY DEL MODUS TOLLENS 05. [ ( p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼p ] ⇒⇒⇒⇒ q SILOGISMO DISYUNTIVO 06. [(p →→→→ q) ∧∧∧∧ (q→→→→r)] ⇒⇒⇒⇒ (p →→→→ r) LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO En general si: P implica a Q entonces su valor de verdad es una tautología Utilizar las tablas de verdad y comprobar estas tautologías
  • 7. Matemática y Lógica Ing. Julio Núñez Cheng 7 AUTOEVALUCIÓN A .Hallar la Tabla de Verdad de las proposiciones compuestas: 1) (p q) ∨∨∨∨ ∼∼∼∼ (p ∧∧∧∧ q) 2) ∼∼∼∼ (p ∧∧∧∧ q) (p ∨∨∨∨ q) 3) [p →→→→ ∼∼∼∼ (p ∨∨∨∨ q)] 4) (p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ q) →→→→ r 5) (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ ∼∼∼∼ q B) Transformar las siguientes proposiciones en condicionales: Todos los hombres son mortales y los peces son acuáticos. Sócrates fue un filósofo griego y Pelé un jugador de fútbol. El sol es el centro del sistema planetario solar y la luna es un satélite de la tierra. C) Transformar las siguientes proposiciones en bicondicionales: Si 14 es número par, entonces es múltiplo de 2. O bien nueve es un cuadrado perfecto o bien es un número par. Si 9 + 8 = 17 , entonces 8 < 17 O Lima es la capital del Perú o Roma está en Francia. D) Transformar las siguientes proposiciones en disyuntivas exclusivas: Si Andrés se gradúa de Ingeniero, entonces estudiará Doctorado en Francia. Todos los hombres son mortales y los peces son acuáticos. El sol es el centro del sistema planetario solar y la luna es un satélite de la tierra. Un número es par, si y sólo si es divisible entre 2. Si 14 es número par, entonces es múltiplo de 2. Fin de la Sesión