Operaciones con fracciones y decimales

I.E.P. SANTO
TORIBIO MATEMATICAS - PRACTICAS
1
OPERACIONES CON FRACCIONES
I. ADICIÓN DE FRACCIONES:
1.1. Para Fracciones Homogéneas.
Para sumar dos o más fracciones homogéneas, es decir fracciones que poseen el mismo
denominador, se toma como denominador del resultado el denominador común y como
numerador, se toma la suma de todos los numeradores.
Ejemplo:
Efectuar:
17
7
17
5
17
3


Resolución:
Tomamos como denominador, 17 y como numerador la suma de los numeradores así:
17
7
5
3
17
7
17
5
17
3 




=
17
15
1.2. Para Fracciones Heterogéneas.
Para sumar 2 o más fracciones heterogéneas, se toma como denominador del resultado al
MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores y como numerador a la suma de
los resultados de dividir el MCM entre el denominador y multiplicarlo por en numerador
de cada una de las fracciones.
Ejemplo:
Efectuar:
3
2
5
4

Resolución:
Hallamos el MCM de 5 y 3, es decir 15.
15
22
15
10
12
3
2
5
4






II. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES
Para restar fracciones se procede en forma de similar a la adición así:
Ejemplos:
1. Efectuar:
5
1
5
3

Resolución:
Se toma como denominador al 5 y como numerador a la diferencia de los numeradores
así:
5
1
3
5
1
5
3 

 =
5
2
2. Efectuar:
5
2
3
5

Resolución:
Hallamos el MCM de 3 y 5, es decir 15 y procedemos en forma similar a la adición:
15
19
15
6
25
5
2
3
5






III. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Para multiplicar dos o más fracciones se toma como numerador, el producto de los numeradores
y como denominador, el producto de los denominadores.
Ejemplos:
1. Efectuar: Resolución:
7
5
3
2

7
3
5
2
7
5
3
2



 =
21
10
2. Efectuar:
3
2
5
6
4
5


Resolución:
En este caso, para evitar resultados con valores muy grandes, es conveniente primero
simplificar así:

I.E.P. SANTO
2
1
2
3
2
5
6
4
5

 =
4
2
2 
= 1
IV. DIVISIÓN DE FRACCIONES
Recordemos que la división es la operación inversa de la multiplicación, por tanto dividir dos
fracciones no es otra cosa que multiplicar por el inverso del divisor.
Ejemplos: Resolución:
Efectuar:
5
3
3
2
 Dividir
5
3
3
2
 es lo mismo que multiplicar
5
3
3
2
 así:
9
10
3
3
5
2
3
5
3
2





PRACTICA DE CLASE
I. Efectuar las siguientes adiciones:
1.
6
5
5
1
 2.
3
1
6
5
5
1

 3.
5
2
5
4
5
1
5
6



4.
7
1
2
3
 5.
10
3
9
8
15
7

 6.
14
13
14
11
14
9



II. Efectuar las siguientes sustracciones:
1.
3
1
7
3
 2.
8
1
2
3

3.
4
1
5
7
 4.
54
13
9
8

III. Efectuar las siguientes multiplicaciones
1.
3
10
x
8
3
x
5
4
2.
4
3
x
15
8
x
2
5
3.
18
7
x
10
9
x
3
20
4.
10
3
x
4
27
x
9
40
5.
19
7
x
73
2
x
14
3
5
x
19 6.
5
1
x
14
22
x
11
8
x
8
7
IV. Efectuar las siguientes divisiones
1.
28
9
7
3
 2.
7
5
21
13 
 3.
45
13
30 
4. 36
20
29
 5.
46
25
23
15
 6.
28
9
7
3

7.
4
21
2
1
3  8.
4
21
2
1
3 
TAREA DOMICILIARIA
Efectuar:
1. 10
1
6
2

2. 6
5
9
8
4
3


3. 14
11
14
19


I.E.P. SANTO
3
4. 17
7
x
73
4
x
14
3
5
x
17
5.
2
1
3
3
1
2 
OPERACIONES COMBINADAS CON
FRACCIONES
PRACTICA DE CLASE
Resolver cada una de las siguientes operaciones combinadas.
1.
4
1
5
6
3
2
5
3


 2.
4
3
5
1
5
3
2
1



3.
55
22
444
333
222
111

 4.
3
1
3
2
5
1
4
3



5.
5
1
5
6
3
5
3
2


 6.
15
4
2
3
5
1
5
3
2










7. 















6
9
3
7
4
3
2
1
1
5
2
5
2
8.




























2
1
1
2
4
1
3
1
1
6
9. 





















3
1
1
2
1
4
3
3
1
2
1
10.
5
3
2
1
3
2
2
1
5
3
















11. 1
5
3
2
 12.
2
2
3
5
3
2


I.E.P. SANTO
4
13.
5
6
5
3
2
1
4 
 14.
2
1
1
1
1
1
1



15.
2
1
1
1
1
1
3



TAREA DOMICILIARIA
Efectuar:
1.
5
4
5
1
3
2
5
3


 2. 2
3
5
1
4
3
2
1



3. 14
2
5
1
3
1 

4. 5
3
2
1
2
4
1
3
1
1



5. 4
1
3
1
2
1
1



OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Para sumar o restar números decimales se debe seguir los siguientes pasos:
- Escribir los números uno debajo del otro de manera tal que la coma decimal quede en la misma
columna.
- En caso que los números tenga diferente cantidad de cifras decimales, se añaden a la derecha los
ceros necesarios para igualar las cantidades de cifras decimales.
- Se suma o se resta normalmente, ubicando la coma decimal en la columna de las comas.
Ejemplos:
1. Efectuar: 23 , 45 + 6 , 7
Resolución:
5
1
,
0
3
0
7
,
6
5
4
,
3
2 
2. Efectuar: 432 ,3 + 5 + 12 , 25
Resolución:
4 3 2 , 3 0 +
5 , 0 0
1 2 , 2 5
4 4 9 , 5 5
3. Efectuar: 6 , 7 – 1 , 234
Resolución:

I.E.P. SANTO
5
6 , 7 0 0 +
1 , 2 3 4
5 , 4 6 6
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para multiplicar dos números decimales se debe seguir los siguientes pasos:
- Se realiza la multiplicación ignorando las comas decimales.
- Se cuenta el número total de cifras decimales en los dos factores.
- Se separa en el resultado tantas cifras decimales como el resultado de contar las cifras de los dos
factores.
Ejemplo:
Efectuar: 3,45 + 2,3
Resolución:
3,4 5 x
2,3
1 0 3 5
6 9 0
7,9 3 5
Podemos ver que en el resultado se han tomado 3 cifras decimales puesto que en el primer factor hay
2 cifras decimales y en el segundo factor solo hay una.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR 10, 100, 1000, etc
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se corre la coma del número
decimal hacia la derecha, tantos lugares como ceros tenga el número por el que se está multiplicando.
Ejemplo
4 , 324 x 100 = 423,4
12 , 8 x 10 = 128
3 , 5 x 1000 = 3 500
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; etc.
Para multiplicar un número decimal por otro número decimal de la forma 0,00...01, se corre la coma
decimal del primer factor, a la izquierda, tantos lugares como cifras decimales tenga el segundo
factor.
Ejemplo:
148,5 x 0,01 = 1,485
3,42 x 0,001 = 0,00 342
12,41 x 0,1 = 1,241
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
a) División de números enteros con cociente decimal
Los pasos a seguir son:
- Se resuelve la división de la forma tradicional.
- Como el residuo es diferente de cero, se escribe una coma en el cociente y se agrega un cero
a la derecha del residuo y se sigue dividiendo.
- Se continua agregando ceros a la derecha del residuo hasta que el residuo de lugar cero ó
hasta obtener el número de cifras decimales deseado.
Ejemplo:
Dividir: 143  8.
Resolución:
1 4 3
6 3
7 0
6 0
4 0
8
17,875
b) División de un número decimal entre un número entero
- Se resuelve la división como si fueran dos números enteros, pero se pone una coma en el
cociente justo antes de bajar la primera cifra decimal del dividendo.
Ejemplo:
Dividir: 14,79  3
Resolución:

I.E.P. SANTO
6
14,79
2 7
9
3
4,93
Para comprobar la división recordemos que:
Dividendo = divisor  cociente + residuo
Luego:
14,79 = 3(4,93) + 0
14,79 = 14,79
c) División de un número entero entre un número decimal
- Se suprime la coma del divisor y se agrega a la derecha del dividendo tantos ceros como
cifras decimales tiene el divisor.
- Se resuelve la división como en el primer caso.
Ejemplo:
Dividir: 42  3,5
Resolución:
4 2 0 3 5
7 0 1 2
d) División de dos números decimales
- Se corre la coma decimal del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales
tenga el divisor, si es necesario se agregan ceros.
- Se divide como en el segundo caso.
Ejemplo:
Dividir: 71,54  7,3
Resolución:
715,4
657
584
584
73
9,8
PRACTICA DE CLASE
I. Efectuar cada una de las siguientes operaciones.
1. 4,35 + 21,7 2. 3,453 – 1,8
3. 12,5 – 10,452 4. 12,28 + 11,43 – 5,4
5. 16,45 – 8,43 + 5,1 6. 4,45 + 121,2 + 13 + 0,415
7. 8,375 – 1,4 + 3,41 – 5,732 8. 183,47 + 141,2 – 45
9. 101,002 – (19,5 + 43,105) 10. (143,54 – 83,2) + 5,4
II. Efectuar:
1. 43,5  7,9 2. 83,5  3,7 3. 834,8  0,41
4. 128,7  0,008 5. 12,544  0,027
III. Sean: a = 7,9 b = 12,05c = 15,8 d = 48,7
Hallar:
1. (a + b)  (d – c) 2. (a  d) + (b + c) 3. a  (c – d) + d
4. d  (c – b) – a 5. a + b  c – d
IV. Completa las siguientes igualdades:
1. 43,815  100 = 6. 12,43  0,001 =
2. 13,007  10 = 7. 12,48  103
=
3. 1,4327  1000 = 8. 5,237  102
=
4. 123,2  100 = 9. 4,5  10-3
=
5. 8437,12  0,002 = 10. 1432,5  10-2
=
V. Resuelve las siguientes divisiones con 3 cifras decimales.
1. 428  32 2. 57  24 3. 243  24
4. 347  8 5. 47  125
VI Completa el número que falta en los recuadros.
1. 73,42  = 7,942 2. 62,7  = 0,627

I.E.P. SANTO
7
3. 5,7  = 0,057 4. 24,93  = 0,02493
VII. Efectuar:
1. 52,632  8 2. 78,240  12 3. 285,68  16
4. 34  8,6 5. 432  14,4 6. 75  10,5
7. 17,02  14,8 8. 105,6  20,4 9. 42,886  8,2
VIII. Resolver las siguientes operaciones combinadas.
1. 5,06 x 4,05 – 0,02  0,4 2. 8,82 + (2,8 + 3,5) – 26,5
3. (6,24 + 3,5) x 0,01 + (5,06 + 7,94)  0,05 4. 16,2 + 0,6 – 0,4 x 0,7
TAREA DOMICILIARIA
I. Efectuar.
1. 4,05 + 7 + 13,514
2. 84,2 – 17,413
3. 184,2 + 415
II. Efectuar:
1. 4,315  2,3 2. 13,2 + 5,4  3,7 – 8,3
3. (4,12 + 5,2) – (4,5  o,3)
III. Completar:
1. 8,513  100 = 2. 13,41  0,001 =
3. 15,435  102
= 4. 1835,47  10-4
=
IV. Efectuar:
1. 432  50 2. 148,32  12 3. 8245  2,4
4. 148,42  3,2 5. 7,8 + 2,4  0,6 – 3,2
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
I. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS :
1. Para sumar números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y
el signo del resultado es el mismo que el de los sumandos.
Ejemplos:
(+15) + (+32) = +15 + +32 = +47
(-21) + (-10) = -21 + -10 = -31
2. Para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los
números dados (el mayor menos el menor) y se coloca al resultado el signo del número del
mayor valor absoluto.
Ejemplos:
(+52) + (-75) = +52 + -75 = -23
(+127) + (-46) = +127 + -46 = +81
II. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:

I.E.P. SANTO
8
Para efectuar la sustracción de dos números enteros, basta sumar al minuendo el opuesto del
sustraendo.
1) (-15) – (-7) 2) (+39) – (-58)
La sustracción convertida en adición:Transformando la sustracción en adición:
(-15) + (+7) = -8 (+39) + (+58) = +97
Así, la sustracción queda transformada en una adición de números enteros y la regla para
resolverla se dio anteriormente.
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z
Veamos los ejemplos:
1) Efectuar: (+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)
Solución:
Expresando las sustracciones como adiciones:
(+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (+21)
(+4) + (-17)
(-13) + (+5)
(-8) + (+21)
(+13)
OTRA FORMA:
(+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)
Expresando las sustracciones como adiciones:
(+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (21)
Suprimiendo los operadores y paréntesis:
+15 – 11 – 17 + 5 + 21
Agrupamos los números positivos y negativos.
+15 + 5 + 21
+41
13
– 28
– 11-17
+ 15 – 11 – 17 + 5 + 21
+4 – 17
-13
-8 + 21
13
+ 5
2) Efectuar: -15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}
Solución:
Suprimimos el paréntesis (signo colector ubicado en la parte más interna); efectuando antes las
operaciones del interior, lo mismo aplicamos con el corchete y llave.
-15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7) – 4}
- 15 + {7 – 29 – [-16 – (+7)] – 4}
-15 + {7 – 29 – [-23] – 4}
-15 + {7 – 29 + 23 – 4}
-3
7
-23
-15 – 3
-18
OTRA FORMA
III. Podemos ir suprimiendo los signos corchetes comenzando por la parte más interna y antes de
operar los números que se encuentran en su interior, así:
a) Si delante del paréntesis está el signo +, se suprime el paréntesis y los números del
interior no alteran su signo.
+ (+7 – 10 – 8) = +7 – 10 – 8
b) Si Delante del paréntesis está el signo, se suprime el paréntesis y los números del interior
se alteran en su signo.
- (+7 – 10 – 8) = -7 + 10 + 8
Luego tenemos:
- 15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}
- 15 + {7 – 29 – [-16 – 8 + 3 + 5 - 7)] – 4}
- 15 + {7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4}
- 15 + 7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4
Operamos los positivos y negativos por separado. (no se observa opuestos).

I.E.P. SANTO
9
-15 – 29 – 3 – 5 – 4 + 7 + 16 + 8 + 7
-56 + 38
-18
PRACTICA DE CLASE
I. Efectuar las siguientes adiciones:
1. (-4) + (+9) = 6. (-8) + (-7) =
2. (+7) + (-3) = 7. (+7) + (-12) =
3. (+4) + (-17) = 8. (+49) + (-69) =
4. (-48) + (-59) = 9. (-47) + (-104) =
5. (-63) + (+108) = 10. (-49) + (+107) =
II. Efectuar las siguientes sustracciones:
1. (-1) – (-4) = 6. (-42) – (-49) =
2. (+4) – (-7) = 7. (-12) – (+45) =
3. (-8) – (-2) = 8. (108) – (-45) =
4. (-48) – (+15) = 9. (-43) – (43) =
5. (+128) – (-421) = 10. (+105) – (+49) =
III. Efectuar las siguientes operaciones combinadas:
1. +48 + -42 - +45 + 84
2. (-48 + 32) – (45 - +12)
3. [(-12) + (-15)] – [(+48) – (-45)]
4. (+48) + (-13) – (-43) + (-12) – (+15)
5. (-48) – (-54) – [(+43) – (-12) + (-45)]
TAREA DOMICILIARIA
Sean a = -12 ; b = -15 ; c = +48 ; d = +18
Hallar:
1. a + b – c
2. a – b + d
3. (a – b) – (c + d)
4. (c – b) + (b + d)
5. (a + b – c) – d
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS
En la multiplicación de números enteros se pueden presentar distintas situaciones:
1. (+7) . (+8) = +56
(-11) . (-7) = +77
Si dos números enteros tienen el mismo signo, para multiplicarlos se multiplican sus valores
absolutos y el resultado es un número entero positivo.
2. (-15) (+7) = -105
(+13) (-6) = -78

I.E.P. SANTO
10
Para multiplicar dos números enteros que tienen distinto signo, se multiplican sus valores
absolutos y el resultado es un número entero negativo.
En resumen:
(+a)(+b) = +p
(-a)(-b) = +p
(-a)(+b) = -p
(+a)(-b) = -p
= Resultado con signo +
= Resultado con signo -
Observaciones: Cuando existen más de dos factores, contamos cuántos de ellos son negativos.
Luego:
a) Si el resultado del conteo es impar, el resultado será negativo (-). Ejemplo:
(-2)(-3)(5)(- 4) = - 120
b) Si el resultado del conteo es un número par, el resultado será positivo (+). Ejemplo:
(-3)(3)(-4) = 60
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Veamos las divisiones:
15  -3 = -5; porque 15 = (-5)(-3)  15 es múltiplo de - 3
11 760  245 = 48; porque 11 760 = (245)(48)  11 760 es múltiplo de 245.
72  7 = x  Z; porque no existe número entero que multiplicado por 7 nos de como producto 72.
Por lo tanto 72 no es múltiplo de 7.
De los ejemplos anteriormente expuestos se concluye:
* La operación de división de números enteros no es clausurativa; no siempre se encuentra el
entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo.
* La división en el conjunto de los números enteros sólo será posible cuando el dividendo (D) sea
múltiplo del divisor (d) y éste diferente de CERO, con esta referencia se encontrará un número
q (cociente) tal que multiplicado por d, nos dé por producto el número D.
Simbólicamente:
Si D, d, q  Z;
d
D
= q  D = d.q
Los elementos de la división son:
Dividendo (D).- Es la cantidad a ser dividida.
Divisor (d).- Indica el número de partes iguales en que debe dividirse el dividendo.
Cociente (q).- Es el número de elementos que resultan para cada una de las partes indicadas por el
divisor.
Además para indicar la operación de división se acostumbra usar:
b
a
b
/
a
b
a



__ ; / ;  estos signos representan al operador de la división leyéndose como “entre”.
Los números enteros pueden ser positivos o negativos, a efectos de realizar correctamente una
operación de división, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:
1. Para dividir dos números enteros del mismo signo se dividen sus valores absolutos del primero
por el segundo, y se antepone al cociente el signo más (+).
Ejemplos:
(+16)  (+4) = +4
(-54)  (-3) = +18
2. Para dividir dos números enteros de distintos signos se dividen sus valores absolutos del
primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo menos (-).
Ejemplos:
(+52)  (-4) = -13
(-16)  (+2) = -8
Observaciones:
* El cero dividido por cualquier número entero distinto de cero es cero.
Ejemplo:
0
32
0
;
15
0


* Un número entero (distinto de cero) dividido por cero es una operación que carece de sentido.
Ejemplo:

I.E.P. SANTO
11
0
17
Carecen de sentido
0
72

PRACTICA DE CLASE
I. Efectuar las siguientes multiplicaciones:
1. (-4) (-2) =
2. (+8) (-5) =
3. (-4) (+12) =
4. (+8) (+7)
5. (-4) (-2) (-3) (+7) =
6. (-2) (+5) (-11) =
II. Efectuar las siguientes divisiones:
1. (-48)  (-12) =
2. (-64)  (+8) =
3. (+108)  (-36) =
4. (-144)  (+36) =
5. (-48)  (-3) =
III. Efectuar las siguientes operaciones combinadas:
1. 48 – 32 + 15 – 12 + 43 – 5 – 12
2. (-4 + 8)  [4  (-5) + 18]
3. (-8) (4 + 3 – 9 + 2)  [-8 + 3  (2 – 7)]
4. (5 – 12 + 6 – 4 + 9 – 1 + 15)  (4  3 – 6)
5. [20 – 15 + 8 – 12 + 4 – 8 + 16 – 30]  [48  (-8) + 3]
TAREA DOMICILIARIA
I. Efectuar las operaciones indicadas:
1.(-4) (-7) =
2.(-12) (+15) =
3.(-417)  (-3) =
4.(221)  (-17) =
5.(-12 + 15 + 12 – 13 + 48)  (7  4 – 3)
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
I. CASO
Ecuaciones de la forma: x  b = c
Ejemplo:
Resolver: x + 3 = 5
RESOLUCIÓN:
Propiedad 1:
Si a ambos miembros de una igualdad se le suma o se le resta una misma cantidad, la igualdad se
mantiene.
En nuestro ejemplo, restamos a ambos miembros de la ecuación la cantidad 3:
x + 3 – 3 = 5 – 3

I.E.P. SANTO
12
2
x 
Regla práctica 1:
Lo que está sumando en uno de los miembros, puede pasar al otro miembro restando, y lo que
está restando puede pasar sumando.
Ejemplo: x + 3 = 5
El tres que está sumando en el primer miembro, puede pasar a restar.
Así: x = 5 – 3
2
x 
II. CASO
Ecuaciones de la forma d
c
b
x


Ejemplo:
Resolver: 2
3
8
x


RESOLUCIÓN:
Propiedad 2:
Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica por una misma cantidad, la igualdad se
mantiene.
En nuestro ejemplo, multipliquemos por 3 ambos miembros de la ecuación:
3 .
3
8
x 
= 2 . 3
x – 8 = 6
Aplicando la propiedad 1, sumamos a ambos miembros de la ecuación, 8.
x – 8 + 8 = 6 + 8
14
x 
Regla práctica 2:
Lo que está dividiendo en un miembro, puede pasar al otro miembro multiplicando.
Ejemplo:
2
3
8
x


RESOLUCIÓN:
De la regla practica 2, el 3 que está dividiendo en el primer miembro, puede pasar al segundo
miembro multiplicando así:
x – 8 = 8(3)
x – 8 = 6
De la regla practica 1, el 8 que está en el primer miembro, puede pasar sumando al segundo
miembro así:
x = 6 + 8
x = 14
PRACTICA DE CLASE
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
1. x + 487 = 542 2. 342 + x = 1234
3. x – 215 = 105 4. 321 – x = 105

I.E.P. SANTO
13
5. 4228 + x = 5432 6.
3
x
+ 7 = 12
7.
3
7
x 
= 4 8.
5
4
x 
= 7
9. 3x – 12 = 48 10. 4x + 18 = 58
11. 5x + 12 = 47 12.
2
4
x
3 
= 7
13.
7
3
x
5 
= 9 14. 4x + 12 = 3x + 42
15.
3
5
x
2 
=
4
5
x
3 
16.
3
x
4
+ 5 =
9
x
3
+ 11
17.
2
x
+
3
x
=
4
x
+ 7 18. 3x + 7 = 5x -7
19. 5 + 3x = 2x + 7 20. 7(x – 18) = 3(x – 14)
21.
5
12
x
5
3
4
5

 22.
2
1
5
2
x
4
3


23. 1
,
7
2
,
4
x
35
,
0 
 24. 3x + 8 = 2
25. 2x + 15 = 7
TAREA DOMICILIARIA
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 2x = 5x – 15
2. 3x + 11 = 8x + 6
3. 15x – 12 = 6x + 24
4.
5
2
x
3 
= 8
5.
5
3
x
2 
= 7

I.E.P. SANTO
14
6. 4
2
,
0
x
5
3


7. 7x + 8 = 1
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON 2 INCOGNITAS
Son las que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas
Ejm:







1
y
x
5
y
x
RESOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
Existen 3 métodos de Resolución: El de Sustitución, el de Igualación y el de Reducción.
A. METODO DE SUSTITUCIÓN:
Consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones del sistema (de
preferencia la que tenga el menor coeficiente), luego sustituir su valor en la otra ecuación y por
último resolver la ecuación de 1er grado con una variable que resulta. Así.
Ejemplo: Resolver:







32....(2)
3y
2x
....(1)
41
y
5x
Solución: Despejando ¨y ¨ en la ecuación ( 1 ) y = 41 - 5 x
Reemplazando este valor en la ecuación
( 2 ) 2 x + 3 ( 41 – 5x ) = 32 .... Luego x = 7
Sustituyendo x = 7 en la ecuación ( 1 )
5x + y = 41  5 ( 7 ) + y = 41 .... Luego y = 6
CS = { 7, 6 } Rpta
B. METODO DE IGUALACIÓN:
Consiste en despejar la misma variable en cada una de las 2 ecuaciones e igualar, luego las 2
expresiones que representan el valor de la variable despejaba.
Ejemplo: Resolver:







28....(2)
3y
8x
6.....(1)
5y
13x
Solución:
Despejando x en cada uno de las ecuaciones dadas.
13
y
5
6
x


8
y
3
28
x


Igualando estos valores:
8
3y
28
13
5y
6 


8 ( 6 + 5y ) = 13 ( 28 – 3y )  48 + 40 y = 364 - 39 y
40 y + 39 y = 364 - 48
y = 4
Reemplazando y = 4 en la ecuación ( 2 )
8 x + 3 ( 4 ) = 28  8 x = 28 - 12  x = 2
CS = { 2, 4 } Rpta.
Es un sistema de ecuaciones porque con los valores de:
x = 3 y y = 2, se satisfacen ambas ecuaciones

I.E.P. SANTO
15
C. METODO DE REDUCCIÓN:
Consiste en igualar el valor absoluto de los coeficientes de la misma variable en las 2
ecuaciones, por medio de la multiplicación, y luego sumar o restar miembro a miembro las
ecuaciones obtenidas, para de esa manera eliminar dicha variable.
Ejemplo. Resolver:







)
2
.....(
12
y
2
x
6
)
1
.....(
34
y
3
x
4
Solución:
Eliminaremos a ¨y ¨ y multiplicamos a la ecuación ( 1 ) x 2 y a la ecuación ( 2 ) por 3. Así:
2 ( 4 x + 3 y ) = ( 34 ) 2  8 x + 6y = 8
3 ( 6 x – 2 y ) = ( 12 ) 3  18 x – 6y = 36
26 x = 104
x = 4
Sustituyendo x = 4 en ( 1 )
4 ( 4 ) + 3 y = 34  16 + 3 y = 34
3 y = 34 - 16
3 y = 18
y = 6
CS = { 4, 6 } Rpta.
PRACTICA DE CLASE
I. Resolver por el Método de Sustitución:
1. 3x + 2y = 13 2. 2x + y = 11
5x – 2y = 11 x - 2y = 3
3. 7x – 3y = 12 4. 5x - 2y = 31
2x + y = 9 x – 3y = 1
5. 2x + 3y = 7 6. 3x + 2y = 8
x + 5y = 7 x + y = 2
II. Resolver por el Método de Igualación:
1. x + 2y = 7 2. 3x – 7y = 2
2x – y = 4 2x + y = 7
3. x + y = 5 4. 2x + y = 15
2x + 3y = 13 3y + x = 10
5. 5x – 4y = 7 6. 3x + 2y = 8
3x + 2y = 13 x + y = 2
III. Resuelva por el Método de Reducción:
1. x + y = 15 2. 4x + 2y = 24
x – y = 13 3x – 2y = 11
3. 2x + 3y = 12 4. 5x + 2y = 22
3x – 3y = 3 3x – 4y = 2
5. 2x + 3y = 29 6. 3x + 2y = 8
3y – 3x = 1 x + y = 2
TAREA DOMICILIARIA
Resolver por el método que consideres conveniente:
1. x + y = 42 2. 3x + 5y = 20
x – y = 4 2x – 5y = 5
3. x + 3y = 10 4. 2x + y = 7
3x – 2y = 8 3x + y = 9
4. 7x + y = 23
3x – 2y = 5
Sumando miembro a miembro

I.E.P. SANTO
16
TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE
NATURAL AL LENGUAJE MATEMÁTICO
Para plantear una ecuación consiste en leer, interpretar y transformar enunciados del lenguaje literal
(lenguaje común) a un lenguaje matemático (lenguaje formal), haciendo uso de letras (variables) y
números (constantes).
Sin lugar a dudas, es uno de los temas más importantes en la solución de problemas establecido para
ello una o más ecuaciones, cuya resolución nos permitirán encontrar la respuesta deseada.
Veamos algunas transformaciones del lenguaje literal al lenguaje matemático.
LENGUAJE LITERAL LENGUAJE MATEMÁTICO
 El doble de un número. 2x
 El triple de un número. 3x
 La mitad de un número. x/2
 El cuádruple de un número, aumentado en
8.
4x + 8
 El cuádruple, de un número aumentado en
8.
4 (x + 8)
 La tercera parte de un número, diminuido
en 5. 3
x
- 5
 La tercera parte de un número disminuido
en 5. 3
5
x 
 El exceso de un número sobre 5. x – 5
 El exceso de 5 sobre un número. 5 – x
 Tres números enteros consecutivos. (x); (x + 1); (x + 2)
 A es dos veces B. A = 2B
 A es dos veces más que B. A = B + 2B  A = 3B
 A es dos mas que B A = B + 2
 A es dos menos que B A = B – 2
 A y B están en relación de 5 a 7.
7
5
B
A

EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. El dinero de Jeny es el doble del dinero de Víctor, si entre los dos tienen 180 soles, hallar el
dinero de cada uno de ellos.
Resolución:
Sea el dinero de Víctor = “x” soles, entonces. El dinero de Jeny será : 2x
Luego:
2x + x = 180

I.E.P. SANTO
17
3x = 180
x =
3
180
x = 60 y 2x = 2(60) = 120
Por tanto: Víctor tiene S/. 60 y Jeny tiene S/. 120.
2. Si al triple de dinero le agrego 20 soles tendría 140 soles. ¿Cuánto tengo?
Resolución:
Sea “x” el dinero que tengo, luego:
3x + 20 = 140
3x = 140 – 20
3x = 120
x =
3
120
 x = S/. 40
PRACTICA DE CLASE
I. Traducir del lenguaje literal al lenguaje matemático, empleando una sola variable en cada caso.
1. Julio tiene el triple de Víctor.
Julio: ......................... ; Víctor: .........................
2. El dinero de Abel es seis veces el de Beto.
Abel: ......................... ; Beto: .........................
3. Vanesa tiene tres veces más que María.
Vanesa: ......................... ; María: .........................
4. José tiene veinte soles más que Walter.
José: ......................... ; Walter: .........................
5. Steven tiene doce taps menos que Herber.
Steven: ......................... ; Herber: .........................
6. Cinco veces la edad de Luis es la edad de Manuel:
Luis: ......................... ; Manuel: .........................
7. Yo tengo el triple de lo que tú tienes, más doce soles.
Yo: ......................... ; Tú: .........................
8. Gerardo tiene el doble de Luis y Luis tiene la tercera parte del dinero de Juan.
Gerardo: ......................... ; Luis: ......................... ; Juan: .........................
9. Ángel tiene el doble de Bruno y Carlos tiene el quíntuplo de Bruno.
Ángel: ......................... ; Bruno: ......................... ; Carlos: .........................
10. El dinero de Víctor es el doble del dinero de Alfredo y el de Junior es el triple del dinero
Víctor.
Víctor: ......................... ; Alfredo: ......................... ; Junior: .........................
II. Resolver cada uno de las siguientes preguntas:
1. La edad de Juan es el triple de la edad de Pedro. Si ambas edades suman 48 años. Hallar
la edad que tuvo Juan hace 7 años.
2. La edad de Janett es la mitad de la edad de Juana. Si la diferencia de dichas edades es de
18 años. ¿Cuántos años tendrá Janett dentro de 5 años?
3. La edad de Pedro es el triple de la edad que tuvo Juan hace 5 años. Hallar la edad de
Pedro si es mayor que Juan por 12 años.
4. La suma de dos números es 80 y el mayor excede al menor en 6. Hallar los números.

I.E.P. SANTO
18
5. La edad de un padre es el triple que la de su hijo y hace 4 años era 4 veces la de su hijo.
Hallar las edades actuales.
6. El largo de un barco, que es 133 metros, excede en 13 metros a 8 veces el ancho. Hallar el
ancho del barco.
7. La tercera parte de un número, sumada en su cuarta parte da 2842. ¿Cuál es este número?
8. La mitad de la edad que tuvo Juan hace 5 años es 15. ¿Cuántos años tiene Juan?
9. La cuarta parte, del triple de la edad de Víctor aumentada en 7 años es igual ala tercera
parte, del duplo de su edad aumentada en 12 años. Hallar la edad de Víctor.
10. Si al triple de mi dinero le agrego 12 soles daría lo mismo que si al duplo de mi dinero le
agregara 81 soles. ¿Cuánto tengo?
11. La suma de tres números enteros consecutivos es 351. Hallar el número mayor.
12. Repartir S/. 568 entre 3 personas, de modo que la primera reciba S/. 36 mas que la
segunda y la tercera reciba tanto como las otras dos juntas. ¿Cuánto le tocará a cada una?
13. Seis personas iban a comprar un terreno contribuyendo en partes iguales, pero dos de ellos
desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner S/. 4000 más.
Hallar el valor del terreno.
14. En un corral hay 40 animales entre pollos y conejos. Si en total se han contado 110 patas.
¿Cuántos pollos y cuántos conejos hay?

I.E.P. SANTO
19
15. En una cochera donde solo hay autos y motocicletas, se han contado 37 timones y 106
llantas. ¿Cuántas motos y cuántos autos hay?
TAREA DOMICILIARIA
1. En triple de un número, aumentado en 6 es igual a 51. Hallar el número.
2. El triple, de un número aumentado en 5, es igual a 51. Hallar el número.
3. La suma de 3 números pares consecutivos es 180. Hallar dichos números.
4. Janelly al comprar 20 computadores, le sobra S/. 400, pero le faltaría S/. 4000 para comprar 24
computadoras. ¿Cuánto cuesta cada computadora? ¿Cuánto de dinero tiene?
5. Ser han de repartir 300 caramelos entre 60 niños dando 6 caramelos a cada niña y 4 caramelos a
cada varó. ¿Cuántos son los varones?
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. El dinero de Janelly es el doble del dinero de Víctor, si entre los dos tienen 180 soles, hallar el
dinero de cada uno de ellos.
Resolución:
Sea el dinero de Víctor = “x” soles, entonces. El dinero de Janelly será : 2x
Luego:
2x + x = 180
3x = 180
x =
3
180
x = 60 y 2x = 2(60) = 120
Por tanto: Víctor tiene S/. 60 y Janelly tiene S/. 120.
2. Si al triple de dinero le agrego 20 soles tendría 140 soles. ¿Cuánto tengo?
Resolución:
Sea “x” el dinero que tengo, luego:
3x + 20 = 140
3x = 140 – 20
3x = 120
x =
3
120
 x = S/. 40
PRACTICA DE CLASE
01. La tercera parte de la diferencia de un número con 5 es igual a la cuarta parte del mismo número
más 2. Hallar el número.
02. Encontrar el mayor de tres números enteros consecutivos pares que sumados den 120.
03. ¿Cuál es el número cuyos 2/ 3 ; disminuido en 2 es igual a sus 3/ 5, aumentado en 3?

I.E.P. SANTO
20
04. El mayor de dos números es 10 más que 5 veces el menor. Si su suma es 28. Dar como
respuesta el producto de ambos.
05. Separa 900 soles en dos partes de modo que la primera parte sea 300 soles menos que el doble
de la segunda parte. Hallar la primera parte.
06. La diferencia entre dos números consecutivos impares es igual al doble del menor, disminuido
en 8. Hallar el mayor:
07. Si a un número entero, se le suma el doble de su consecutivo, se obtiene 41. Hallar la suma de
dichos números.
08. El segundo de dos números es 20 menos que 4 veces el primero. Su suma es 15. Dar como
respuesta los números.
09. El segundo de tres números es igual a 6 veces el primero. El tercero es uno más que el segundo.
Si la suma de los tres números es 53. Hallar el mayor.
10. El menor de dos números es 3 menos que el mayor, si al mayor se le disminuye en el doble del
más pequeño, el resultado es -9. Encontrar el mayor.
11. Se han repartido chocolates entre cierto número de niños; dando a cada uno 4 chocolates
sobrarían 2; pero dando a cada uno 6 chocolates faltarían 8. Hallar el número de niños y el
número de chocolates.
12. Marita recibió 200 soles, tuvo entonces 3 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 200
soles. ¿Cuánto tenía al principio?
13. El quíntuplo de un número, más 8 es igual al triple del mismo número aumentado en 6. Hallar
dicho número.

I.E.P. SANTO
21
14. La quinta parte de un número aumentado en 6, excede a en 4 a la sexta parte del mismo número
aumentado en 8. Hallar dicho número.
15. El triple de un número, disminuido en 1 es a 4 como el doble del mismo número, aumentado en
1 es a 3. Hallar dicho número.
16. Encontrar el menor de 4 números enteros consecutivos, de tal modo que el triple del tercero
menos el segundo dé el último.
17. Tres hermanos: Carlos, Manuel y Edwin recibieron una herencia. Carlos y Manuel recibieron en
común 36 mil soles, lo correspondiente a Carlos y Edwin ascendería a 38 mil soles y la parte
de Manuel junto a la de Edwin asciende a 42 mil soles. ¿Cuánto recibió Carlos?
18. Ana tiene dos veces lo que tiene Maria, si Ana le da s/.18 a Maria, entonces tendrán la misma
cantidad. ¿Cuánto tienen entre las dos?
19. Hallar el menor de tres números enteros consecutivos, si sabemos que los 4/5 del mayor exceden
a los 3/4 del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida en 1/5
20. Tú tienes la mitad de lo que tenias y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes,
tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es 180 soles más de lo que tu tendrás. ¿Cuantos
tenías?
21. Un ómnibus lleva 55 pasajeros, entre universitarios y particulares. Se desea saber cuántos
pasajeros de cada clase viajan, sabiendo que por todo se recaudó S/.230 y que un universitario
paga S/. 2 y un particular S/. 5.

I.E.P. SANTO
22
22. En una fiesta hay en total 96 personas entre hombres y mujeres. Si cada hombre paga 4 soles
para poder entrar y cada mujer paga la mitad de lo que paga un hombre. ¿Cuántos hombres hay
en la fiesta, si la recaudación total fue de S/. 272 ?.
23. En una prueba de examen, Javier gana 1 punto por respuesta correcta y pierde la cuarta parte de
lo que gana por error. Si después de haber contestado 140 preguntas obtuvo 65 puntos. ¿Cuántas
preguntas contestó correctamente ?.
24. Panchito ha sido contratado por una empresa por 45 días en la sgte. condición; por cada día que
trabaja, la empresa le abona S/. 320 y por cada día que no trabaje la empresa recibe de él S/.
400. ¿Cuántos días ha trabajado si no recibió nada ?.
25. La leche contenida en un recipiente cuya capacidad es de 6,5 lt. Pesa 6,671 kg. Sabiendo que un
litro de leche pura pesa 1,03 kgs. ¿Cuántos litros de agua contiene el recipiente ?.
26. Dos niños conversaban y uno de ellos le dice al otro si a mi edad le sumamos el doble de tu edad
obtendríamos 7 años y el otro le responde en su media lengua, es cierto, pero si al doble de tu edad
le restamos mi edad obtendremos 4 años. ¿Cuántos años tienen cada uno de los niños?
27. Si al quíntuplo de mi dinero le agregamos el doble de tu dinero, tendríamos en total 22 soles, pero
si al triple de mi dinero le quitamos el cuádruplo de tu dinero, quedarían 2 soles. ¿Cuánto tenemos
cada un de nosotros?
28. Federico le dice a Pancracia: nuestras edades actuales suman 42 años y cuando tú naciste, yo tenía
4 años ¿Cuántos años tiene Pancracia?
29. Un burro y un caballo caminan llevando pesados sacos sobre sus lomos. Si sumáramos el número
de sacos del burro con el triple de los sacos del caballo obtenemos 10. Pero si al triple del número
de sacos del burro le quitamos el doble del número de sacos del caballo tendríamos 8. ¿Cuántos
sacos más lleva el burro que el caballo?

I.E.P. SANTO
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30. Mónica le dice a María si juntamos tus muñecas y las mías tendríamos en total 5. Pero si
duplicamos el número de las mías y triplicamos las tuyas obtendríamos 13 en total. ¿Cuántas
muñecas tiene cada una?
TAREA DOMICILIARIA
01. Aumentando a un número en su centésima parte se obtiene 606 . ¿Cuál es éste número?
02. En un terrero de forma rectangular el largo excede en 6 metros del ancho; si el ancho se duplica
y el largo disminuye en 8 metros el área del terreno no varía. ¿Cuál es el perímetro del terreno ?
03. Rommel le pregunta a Lucho qué hora es, y éste le responde: “Lo que ha transcurrido del día es
el quíntuplo de lo que falta para la medianoche”. ¿Qué hora es?
04. En una granja donde hay vacas y gallinas, se contaron 80 cabezas y 220 patas. ¿Cuántas gallinas
hay en la granja?
05. En un corral hay 280 patas y 90 cabezas. Las únicas especies que hay allí son palomas y gatos.
¿Cuántos gatos hay en el corral?

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