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Modelo químico de Rössler

simulación del atractor de Rössler y linealización del sistema por series de Taylor

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Modelo químico de Rössler

  1. 1. Modelo químico de Rössler Adalberto Cortés Ruiz. Septiembre 2016, Facultad de Ingeniería Química Éste modelo fue diseñado por el biólogo alemán Otto Rössler al estudiar las oscilaciones en la reacción química de Belousov-Zhabotinsky1 (Grimalt & Pujol, 1999), que es la oxidación de ácido malónico (C3H4O4) mediante bromato en presencia de iones metálicos (BrO3 - ), llegando a dar un modelo que tenía un comportamiento caótico para ciertos valores de los parámetros (htt).   dx y z dt dy x ay dt dz b z x c dt         (3.1) Donde x, y y z son las concentraciones de sustancias en las reacciones químicas estudiadas por Rössler; a, b y c son parámetros cuyos valores dados por el mismo Rössler son a=b=0.2 y c=5.7. Con condiciones iniciales x(0)=0, y(0)=-6.7 y z(0)=0.02 Figura 1. modelo de Rössler aplicado a una reacción oscilante, el parámetro c cuando es mayor a 5 el sistema se vuelve caótico De la figura 1, es posible notar en las gráficas de concentración contra tiempo que no es posible alcanzar un término estable (estado estacionario) debido a que es un sistema con comportamiento 1 Una reacción oscilante se encuentra en una situación fuera del equilibrio, si las oscilaciones son periódicas, es posible encontrar un régimen regular. En caso contrario se encuentra un régimen caótico.
  2. 2. de flujo aperiódico (caótico). Aun así, para un sistema periódico oscilatorio, como el caso del biorreactor, el estado estacionario se define como la amplitud de la onda oscilatoria. En éste caso no se presenta una amplitud constante pero sí es posible dar un valor aproximado estimado para los valores correspondientes a un estado estacionario, 0 0 0 0x y z   . 0 1 1 1 0 0 f f f x y z g g g J a x y z z x c h h h x y z                                      (3.2) Para la linealización, se determina la matriz Jacobiana del sistema (3.1). A partir de la matriz Jacobiana y los valores iniciales estimados ( 0 0 0, ,x y z ) es posible predecir si la linealización será estable o no a partir del cálculo de los eigenvalores λ. Si λ contiene algún valor con signo negativo, por (Torres Henao, 2013) se puede asegurar que la linealización tendrá una geometría de foco o punto inestable, (figura 2). Tabla 1. Eigenvalores para la matriz jacobiana (3.2) λ1 λ2 λ3 0.1000 + 0.9950i 0.1000 - 0.9950i -5.7000 + 0.0000i                 , , ,, , , ,, , , , , , ,, , , ,, , , , ( , , ) ( , , ) ( , , ) o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o ox y z x y z x y zx y z o o ox y z x y z x y zx y z o ox y z x y z x y z dx f f f f x y z x x y y z z dt x y z dy g g g g x y z x x y y z z dt x y z dz h h g x y z x x y y dt x y                                       ,,o o o o x y z h z z z    (3.3) Si cada derivada parcial que compone a la matriz (3.2) se sustituye en (3.3) se obtiene un polinomio que debería aproximarse al sistema no lineal (3.1) en los puntos 0 0 0,x y zy .
  3. 3. Figura 2. La linealización se vuelve inestable y tiende a infinito Figura 3. comparación del sistema no lineal con su linealización en x0=5.75 Tabla 2. eigenvalores correspondientes a la linealización con los parámetros de la figura 3 λ1 λ2 λ3 0.0993 + 1.0000i 0.0993 - 1.0000i 0.0515 + 0.0000i

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