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Diferencias Infinitas: Sucesiones de la Forma
                                      José Acevedo Jiménez
                                       Santiago, Rep. Dom.



Diferencias Infinitas.

Sea       una sucesión base, al efectuar la diferencia entre dos términos consecutivos de dicha
sucesión generamos los términos de una nueva sucesión que llamaremos sucesión resultante       .
Si seguimos efectuando la diferencia entre dos términos consecutivos, ahora con                ,
generaremos otra sucesión        y así podemos continuar hasta el infinito sin llegar a obtener
nunca una sucesión de términos constantes.




Dada una sucesión        expresada de forma implícita que es generada por la fórmula:          .
Podemos hallar la fórmula particular que la genera si los términos de las sucesiones resultantes
(                ) son generados por las siguientes fórmulas:




Si se cumple lo establecido, podemos decir que la fórmula para encontrar    es:




                                                       …
Nótese que los coeficientes de las fórmulas (sucesiones resultantes) guardan una relación directa o
corresponden con los términos del triángulo de Pascal o Tartaglia. Dada la relación es fácil
encontrar la fórmula que genera los términos que componen a una sucesión resultante.




Dado que existe un patrón, es sencillo dar con cualquier fórmula generadora de los términos de
una sucesión resultante.

Se inicia con el factorial de    más el grado, esto es             ; luego se va reduciendo en una
unidad el grado y se multiplica por el coeficiente binominal correspondiente (trianguló) esto es:
                  , así hasta llegar al coeficiente binominal 1 que multiplicará a

    1) Los coeficientes binominales (multiplicadores de los factoriales) se toman del trianguló de
        Pascal.
    2) Se toman alternando los signos (+, -) iniciando siempre con el positivo.
    3) Se multiplica todo por el primer termino de la sucesión resultante            es decir por   .



Ejemplo1:




Como el grado de        es 5, tenemos que:
Ejemplo2:

Dada la siguiente sucesión 5, 7, 15, 51, 243 determinar la fórmula que la genera y también hallar
la fórmula genérica para la sucesión resultante    .

Paso 1.

Efectuamos la diferencia entre los términos consecutivos para generar la primera sucesión
resultante.




5 7 15 51 243
 2   8    36   192




Paso 2.

Verificar si los términos de la sucesión resultante corresponden con la fórmula general de la
sucesión resultante correspondiente.




Como podemos notar, los términos de la sucesión resultante son generados por la fórmula:



Por lo que podemos decir que la fórmula de la sucesión base es de la forma:       .
Por lo que nuestra sucesión base es:



Como el grado de       es 4 y          , tenemos que:




Observaciones.

    1) Dada una sucesión expresada de forma implícita, para determinar si es de la forma:



ó no es suficiente evaluar sólo una de las sucesiones resultantes en la fórmula correspondiente.

    2) El valor de   siempre debe ser positivo.

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  • 1. Diferencias Infinitas: Sucesiones de la Forma José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom. Diferencias Infinitas. Sea una sucesión base, al efectuar la diferencia entre dos términos consecutivos de dicha sucesión generamos los términos de una nueva sucesión que llamaremos sucesión resultante . Si seguimos efectuando la diferencia entre dos términos consecutivos, ahora con , generaremos otra sucesión y así podemos continuar hasta el infinito sin llegar a obtener nunca una sucesión de términos constantes. Dada una sucesión expresada de forma implícita que es generada por la fórmula: . Podemos hallar la fórmula particular que la genera si los términos de las sucesiones resultantes ( ) son generados por las siguientes fórmulas: Si se cumple lo establecido, podemos decir que la fórmula para encontrar es: …
  • 2. Nótese que los coeficientes de las fórmulas (sucesiones resultantes) guardan una relación directa o corresponden con los términos del triángulo de Pascal o Tartaglia. Dada la relación es fácil encontrar la fórmula que genera los términos que componen a una sucesión resultante. Dado que existe un patrón, es sencillo dar con cualquier fórmula generadora de los términos de una sucesión resultante. Se inicia con el factorial de más el grado, esto es ; luego se va reduciendo en una unidad el grado y se multiplica por el coeficiente binominal correspondiente (trianguló) esto es: , así hasta llegar al coeficiente binominal 1 que multiplicará a 1) Los coeficientes binominales (multiplicadores de los factoriales) se toman del trianguló de Pascal. 2) Se toman alternando los signos (+, -) iniciando siempre con el positivo. 3) Se multiplica todo por el primer termino de la sucesión resultante es decir por . Ejemplo1: Como el grado de es 5, tenemos que:
  • 3. Ejemplo2: Dada la siguiente sucesión 5, 7, 15, 51, 243 determinar la fórmula que la genera y también hallar la fórmula genérica para la sucesión resultante . Paso 1. Efectuamos la diferencia entre los términos consecutivos para generar la primera sucesión resultante. 5 7 15 51 243 2 8 36 192 Paso 2. Verificar si los términos de la sucesión resultante corresponden con la fórmula general de la sucesión resultante correspondiente. Como podemos notar, los términos de la sucesión resultante son generados por la fórmula: Por lo que podemos decir que la fórmula de la sucesión base es de la forma: .
  • 4. Por lo que nuestra sucesión base es: Como el grado de es 4 y , tenemos que: Observaciones. 1) Dada una sucesión expresada de forma implícita, para determinar si es de la forma: ó no es suficiente evaluar sólo una de las sucesiones resultantes en la fórmula correspondiente. 2) El valor de siempre debe ser positivo.