1. Cartes de contrôle aux attributs
Les cartes de contrôle aux mesures rendent compte de l’évolution d’un caractère numérique :
une mesure, durant le processus de production. Les cartes de contrôle aux attributs sont
destinées à surveiller la qualité de la production de façon plus grossière : conformité ou non
conformité, nombre de défauts.
Toutes les cartes de contrôle aux attributs 1 sont des cartes de Shewhart, cartes carac-
térisées par des limites de contrôle situées à trois écarts types de part et d’autre de a ligne
centrale.
1 La carte p
La carte p permet de suivre la proportion de produits non conformes. Soit X la variable
aléatoire qui à une unité produite associe la valeur 1 si l’unité est non conforme et la valeur 0 si
l’unité est conforme. La proportion p d’unités non conformes dans l’ensemble de la production
correspond à la probabilité pour que X prenne la valeur 1. X suit la loi de Bernoulli B(p).
Lorsqu’un échantillon de n unités est tiré dans l’ensemble de la production, on sait que
˜
la variable aléatoire X = n
i=1 Xi qui à un tel échantillon associe le nombre d’unités non
conformes dans l’échantillon suit :
– la loi hypergéométrique H(N, pN, n), N étant le nombre d’unités toute la production,
lorsque le tirage de l’échantillon est un tirage sans remise ;
– la loi binomiale B(n, p) lorsque le tirage de l’échantillon est un tirage avec remise, ou
considéré comme tel si la taille de l’échantillon est inférieure à 10% de la taille de la
population.
Pour une carte p, nous nous placerons dans le second cas. Alors, la variable aléatoire X =
1 n
n n=1 Xi , qui a chaque échantillon de taille n associe la proportion d’unités non conformes
dans cet échantillon a pour moyenne : p, et pour écart type : p(1−p) .
n
La construction d’une carte p n’a de sens que si l’on prélève des échantillons de quelques
centaines d’unités.
1.1 Carte p de phase II
La proportion théorique d’unités non conformes étant p, les limites de la carte p de Shew-
hart sont, pour un échantillon de taille ni :
p(1 − p) p(1 − p)
LC = p LSC = p + 3 LIC = p − 3
ni ni
1. On dit aussi : cartes de contrôle par attribut.
1

2. 2 1 LA CARTE P
On remplace systématiquement LIC par 0 si le calcul de LIC donne un résultat négatif. On
remarquera que les limites de contrôles varient en fonction de la taille de l’échantillon. Pour
éviter cette variation, il est fréquent d’imposer que les échantillons aient tous la même taille.
Pour chaque échantillon prélevé de ni unités, on calcule la proportion de non conforme :
Di
pi =
ni
en faisant le rapport du nombre d’unités non conformes dans l’échantillon : Di , par le nombre
d’unités dans l’échantillon : ni .
Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points Mi de
coordonnées (i, pi ). Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus
est déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.
1.2 Carte p de phase I
Comme pour toute carte de phase I, les paramètres de la carte doivent être estimés à l’aide
d’une vingtaine d’échantillons. On calcule :
D1 + D 2 + · · · + D m
p=
¯
n1 + n 2 + · · · + n m
où Di est le nombre d’unités non conformes dans l’échantillon i de ni unités, pour chacun des
m échantillons prélevés. Ainsi, le nombre p est égal à la proportion d’unités non conformes
¯
dans les m échantillons prélevés.
Les paramètres de la carte p de phase I sont alors :
p(1 − p)
¯ ¯ p(1 − p)
¯ ¯
LC = p
¯ LSC = p + 3
¯ LIC = p − 3
¯
ni ni
On remplace systématiquement LIC par 0 si le calcul de LIC donne un résultat négatif. Les
limites de contrôle dépendent de la taille de l’échantillon.
Pour chaque échantillon prélevé de ni unités, on calcule la proportion de non conforme :
Di
pi =
ni
en faisant le rapport du nombre d’unités non conformes dans l’échantillon : Di , par le nombre
d’unités dans l’échantillon : ni .
Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points Mi de
coordonnées (i, pi ). Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus
est déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.
Exemple 1.1 Carte p d’étude initiale.
DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

3. 3
Nombre d'unités Nombre d'unités
N° d'échantillon non conformes prélevées
1 1 247
2 1 248
3 1 241
4 0 212
5 0 177
6 1 216
7 0 243
8 0 247
9 1 205
10 0 182
11 0 234
12 0 160
13 0 175
14 1 228
15 0 240
16 0 151
17 1 238
18 1 246
19 0 233
20 1 189
21 0 227
22 0 164
23 1 186
24 0 247
25 1 168
Carte p
1.40%
unités non conformes
1.30%
1.20%
1.10%
1.00%
0.90%
LC
0.80% LSC
0.70% LIC
0.60% Proportion d'
unités non
Proportion d'
conformes dans l'échantillon
0.50%
0.40%
0.30%
0.20%
0.10%
0.00%
0 5 10 15 20 25
N° d'
échantillon
2 La carte np
La carte p permet le suivi de la proportion d’unités non conformes ; la carte np permet, elle,
le suivi du nombre d’unités non conformes. Cette carte est une carte de Shewhart : les limites
de contrôle sont situées à trois écarts types. Pour cette carte, les échantillons doivent tous être
de même taille. Comme pour la carte p, la carte np nécessite de prélever des échantillons de
grande taille (quelques centaines d’objets).
T. Cuesta IUT de Créteil

4. 4 2 LA CARTE N P
Le nombre d’unités non conforme est np. C’est le produit de la taille des échantillons : n,
avec la proportion d’unités non conformes : p.
2.1 Carte np de phase II
On suppose que le nombre théorique d’unités non conformes dans les échantillons de n
unités est : np. On pose q = 1 − p. Les paramètres de la carte de phase II sont alors :
√ √
LC = np LSC = np + 3 npq LIC = np − 3 npq
Si la valeur LIC calculée ci-dessus est négative, elle est remplacée par 0 pour la construction de
la carte. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points
Mi de coordonnées (i, ni ), ni étant le nombre d’unités non conformes dans l’échantillon i. Si
tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ;
dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.
2.2 Carte np de phase I
Le nombre théorique d’unités non conformes dans les échantillons de taille n est inconnu.
On choisit alors d’estimer p par la proportion d’unités non conformes dans l’ensemble des
m échantillons de taille n prélevés. En notant ni le nombre d’unités non conformes dans
l’échantillon i, la proportion p d’unités non conformes est calculée de la manière suivante :
¯
n1 + n 2 + · · · + n m
p=
¯
nm
On note q = 1 − p. Les paramètres de la carte np sont alors :
¯ ¯
√ √
LC = n¯
p LSC = n¯ + 3 n¯q
p p¯ LIC = n¯ − 3 n¯q
p p¯
La carte se construit comme la carte de phase II, et les règles de décision sont identiques.
Numéro Nombre de
d'
échantillon non conformes
1 4
2 2
3 1
4 0
5 5
6 0
Exercice 2.1 Le tableau ci-contre donne le 7 0
nombre d’unités non conformes dans vingt 8 1
9 3
échantillons de 250 unités.
10 1
Tracer la carte np de phase I et déterminer si 11 4
le processus est maîtrisé. 12 10
13 0
14 0
15 2
16 13
17 5
18 11
19 4
20 3
DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

5. 5
3 La carte c
La carte c est la carte utilisée pour le suivi du nombre de non conformités, de défauts, par
unité de contrôle. Cette carte est assez basique puisque l’on ne distingue pas les défauts et
que l’on considère qu’ils ont tous la même importance. En principe, on estime que la variable
aléatoire C qui associe à chaque unité de contrôle le nombre de non conformités par unité de
contrôle, suit une loi de Poisson. On rappelle qu’alors la moyenne et la variance de C sont
égales. La carte c est une carte de Shewhart.
3.1 Carte c de phase II
Soit c le nombre moyen de non conformité par unité de contrôle. Ce nombre c est le
paramètre de la loi de Poisson suivie par la variable aléatoire C. Les paramètre de la carte c
de phase II sont :
√ √
LC = c LSC = c + 3 c LIC = c − 3 c
On prélève un certain nombre d’unités d’unités de contrôle. Ces unités de contrôles sont des
échantillons tous de même taille. Si le calcul de LIC donne un résultat négatif, ce résultat est
remplacé par 0. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et
les points Mi de coordonnées (i, ci ), ci étant le nombre de défauts de l’unité de contrôle i. Si
tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ;
dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.
3.2 Carte c de phase I
Comme pour toute carte de phase I, il n’y a pas de valeur cible. On calcule donc une
estimation du nombre de défauts par unité sur un échantillon d’au moins une vingtaine d’unités
de contrôle. On pose
c1 + c 2 + · · · + c m
c=
¯
m
les nombres ci étant les nombres respectifs de défauts des m unités de contrôle. Les paramètres
de la carte sont alors :
√ √
LC = c
¯ LSC = c + 3 c
¯ ¯ LIC = c − 3 c
¯ ¯
La construction de la carte et les règles de décision sont identiques à celles de la carte de phase
II.
4 La carte u
La carte u est semblable à la carte c. Dans la carte u on ne suit pas le nombre de non
conformités par unité de contrôle, mais le taux de non conformités par unité de contrôle. Les
unités de contrôle : les échantillons d’unités de production, peuvent être de taille variable, mais
dans ce cas, les limites de contrôle dépendent, pour chaque unité de contrôle, de la taille de
l’unité de contrôle.
T. Cuesta IUT de Créteil

6. 6 4 LA CARTE U
4.1 Carte u de phase II
On suppose que le taux de défauts par unités de contrôle est u. Les limites de la carte u
sont alors :
u u
LC = u LSC = u + 3 LIC = u − 3
ni ni
où ni est la taille de l’unité de contrôle i. Si le calcul de LIC donne un résultat négatif, on
pose LIC = 0.
On prélève un certain nombre d’unités de contrôle. Ces unités de contrôles sont des échan-
tillons dont la taille peut varier. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites
c
de contrôle et les points Mi de coordonnées (i, ui ), ui = nii étant le taux de défauts de l’unité
de contrôle i. Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est
déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.
4.2 Carte u de phase I
On remplace u par :
c1 + c 2 + · · · + c m
u=
¯
n1 + n 2 + · · · + n m
où les valeurs ci sont les nombres de défauts respectifs des m unités de contrôle de tailles
respectives ni . La valeur u est une estimation du taux de défaut par unité de contrôle. Pour
¯
que le résultat de ce calcul ait du sens, il faut prélever un nombre important d’unités de
production. Les paramètres de cette carte sont :
¯
u ¯
u
LC = u
¯ LSC = u + 3
¯ LIC = u − 3
¯
ni ni
La construction de la carte et les règles de décision sont identiques à celle de la carte de phase
II.
Exercice 4.1 Une entreprise de livraison de pizzas à domicile a réalisée une enquête sur les livraisons
du mois d’octobre. Les données recueillies au cours de cette enquête sont présentées dans le tableau
ci-dessous.
À l’aide des paramètres d’une carte de contrôle u de phase I, indiquez si le processus de livraison
est sous contrôle.
DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

7. 7
Délais de
livraison Erreurs par Nombre Taux de
Jours ouvrés Nombre de supérieurs à rapport à la Autres total non
en octobre commandes 30 min commande erreurs d'
erreurs conformité
1 64 2 0 1 3 4.69%
2 55 2 2 2 6 10.91%
3 50 0 1 3 4 8.00%
4 64 6 1 3 10 15.63%
5 60 3 1 2 6 10.00%
6 54 2 1 2 5 9.26%
7 63 0 2 2 4 6.35%
8 66 0 1 3 4 6.06%
9 49 1 0 1 2 4.08%
10 51 2 2 1 5 9.80%
11 51 0 1 1 2 3.92%
12 52 3 1 0 4 7.69%
13 53 3 0 0 3 5.66%
14 48 1 2 3 6 12.50%
15 60 1 2 0 3 5.00%
16 65 3 0 1 4 6.15%
17 49 3 2 3 8 16.33%
18 53 4 1 0 5 9.43%
19 56 5 1 1 7 12.50%
20 66 4 1 2 7 10.61%
21 55 4 2 1 7 12.73%
22 59 4 2 3 9 15.25%
23 59 0 1 0 1 1.69%
24 63 4 3 1 8 12.70%
25 60 0 3 0 3 5.00%
5 Carte D
Le calcul D est la carte de contrôle des démérites. C’est un raffinement de la carte c. Dans
le cadre d’une carte D, les défauts sont classés par type, en fonction de leur gravité. À chaque
classe de défaut est associé un poids : la valeur du démérite, d’autant plus important que le
défaut est majeur.
Notons C1 , C2 , . . . , Ck les classes de défauts et w1 , w2 , . . . , wk leurs poids respectifs.
On fixe le nombre n d’unités élémentaires dans chaque unité de contrôle (la taille des
échantillons).
5.1 Carte D de phase II
Pour chaque nombre n d’unités élémentaires dans les échantillons, on fixe l’indice démérite
D par :
k
D= wi ci
i=1
où ci est le nombre moyen de défauts de classe Ci dans les échantillons de taille n. Notons que
si n = 1, alors ci est le nombre de défauts de classe Ci par unité produite.
Les paramètres de la carte D sont :
k k
2 2
LC = D LSC = D + 3 wi ci LIC = D − 3 wi ci
i=1 i=1
T. Cuesta IUT de Créteil

8. 8 5 CARTE D
Si LIC < 0, on pose LIC = 0. On prélève m unités de contrôle (m échantillons de taille n).
On calcule, pour chaque unité de contrôle, son nombre démérite :
k
Dj = wi cij
i=1
où cij est le nombre de défauts de classe i dans l’unité de contrôle j. On trace sur la carte D la
ligne centrale et les limites de contrôle. On porte sur cette carte les points Mj de coordonnées
(j, Dj ), j allant de 1 à m. La règle de décision est identique à celle des autres cartes de contrôle.
5.2 Carte D de phase I
On prélève m unités de contrôle (m ≥ 20). On calcule le nombre démérite : Dj = k wi cij ,
i=1
de chaque unité de contrôle (cij est le nombre de défauts de classe i dans l’unité de contrôle
j). On pose alors :
m m
1
D= Dj = ¯
wi c i
m j=1 i=1
ci étant ici le nombre moyen, par unité de contrôle dans les m unités de contrôle prélevées, de
¯
défauts de classe Ci .
Les paramètres de la carte sont :
k k
2 2
LC = D LSC = D + 3 ¯
wi c i LIC = D − 3 ¯
wi c i
i=1 i=1
La construction de la carte et la règle de décision sont identiques à celles d’une carte de phase
II.
Exercice 5.1 On applique le barème suivant pour les valeurs du démérite :
– w1 = 55, pour les non-conformités critiques (classe C 1 ), liés à la sécurité des utilisateurs du
produit ou pouvant entraîner la destruction de ces produits ;
– w2 = 15, pour les non-conformités majeures (classe C 2 ) pouvant entraîner un défaut de fonc-
tionnement du produit, une impossibilité de montage, une gêne sensible pour l’utilisateur ;
– w3 = 5, pour les non-conformités mineures (classe C 3 ) entraînant un défaut critiqué par quelques
clients, une gêne au montage ;
– w4 = 3, pour les non-conformités anodines (classe C 4 ) entraînant une imperfection généralement
admise par les utilisateurs.
DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

9. 5.2 Carte D de phase I 9
Nombre de Nombre de Nombre de Nombre de
Numéro défauts défauts défauts défauts Indice
d'unité de classe C1 de classe C2 de classe C3 de classe C4 démérite
1 0 5 5 6 118
2 2 4 7 6 223
3 0 3 0 5 60
4 1 0 6 5 100
5 1 5 8 3 179
6 0 2 3 8 69
7 0 5 4 6 113
8 1 3 5 4 137
9 2 3 8 6 213
10 2 1 5 2 156
11 0 1 3 2 36
12 1 0 8 4 107
13 0 5 7 2 116
14 1 5 0 9 157
15 0 3 4 1 68
16 1 1 7 7 126
17 1 4 2 2 131
18 0 4 2 7 91
19 0 4 8 9 127
20 0 2 1 7 56
21 1 1 7 3 114
22 2 4 6 4 212
23 0 5 1 3 89
24 2 2 3 8 179
25 1 3 0 9 127
Total : 19 75 110 128 3104
Réaliser la carte D de phase I.
T. Cuesta IUT de Créteil