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Cuaderno de Trabajo de Geometría y Trigonometría 2 semestre Preparatoria

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Cuaderno de Trabajo de Geometría y Trigonometría 2 semestre Preparatoria

  1. 1. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 1 Ing. Edison Villacrés Geometría y Trigonometría Cuaderno de Trabajo Nombre: _________________________ El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumno el trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que se llevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinante mundo de las matemáticas. 2013
  2. 2. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 2 Ing. Edison Villacrés Primer Parcial Secuencia 1 Actividad I Prueba de Diagnóstico Nombre: ______________________________ Grupo: ___________ Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas. 1. Según tu propia percepción, escribe la definición de Geometría: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 2. ¿qué es un punto? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 3. La recta, es una línea que tiene todos sus puntos en una misma dirección, cuando los puntos no siguen una misma dirección la línea puede ser: curva, quebrada o mixta, según tu percepción, clasifica las siguientes líneas: _______________ _______________ _______________ _______________ 4. ¿Qué entiendes por superficie? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 5. Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son perpendiculares, ¿en qué nos basamos para afirmar esta aseveración? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 6. Escribe el significado de hipótesis: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 7. ¿Cuáles son las rectas paralelas? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 8. El teorema de Pitágoras de Sarrios enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 9. ¿Qué es un segmento? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 10. En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú que influye el ángulo en el que el competidor lanza el objeto?
  3. 3. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 3 Ing. Edison Villacrés ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
  4. 4. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 4 Ing. Edison Villacrés Puntos y Rectas Puntos Un punto no tiene dimensiones. Sirve para indicar una posición. Se nombran con letras mayúsculas. Rectas Una recta tiene una dimensión, longitud; se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta. Dos rectas que se cortan determinan un punto. Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda. Semirrectas
  5. 5. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 5 Ing. Edison Villacrés Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos. Planos Un plano posee dosdimensiones: longitudyanchura. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β (beta)... Dos planos que se cortan determinan una recta. Un plano viene determinado por: Tres puntos no alineados. Dos Rectas que se Cortan. DosRectasParalelas. Por unPunto y unaRecta. Semiplanos
  6. 6. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 6 Ing. Edison Villacrés Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas. Posiciones Relativas de Rectas en un Plano Rectas Paralelas.- Son las que estando en el mismo plano, no son secantes. Rectas Secantes.-Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección. Rectas Coincidentes.-Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen. Rectas Perpendiculares.- Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales. Segmentos Definición de Segmento.- Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos. Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula. Tipos de Segmentos Segmento Nulo.- Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden. Segmentos Concatenados.- Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en común.
  7. 7. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 7 Ing. Edison Villacrés Segmentos Consecutivos.- Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en común pertenecen a la misma recta. Mediatriz de un Segmento.- La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a él. Operaciones con Segmentos Suma de Segmentos.- La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman. Resta de Segmentos.- La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor.
  8. 8. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 8 Ing. Edison Villacrés La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos. Producto de un Número por un Segmento.- El producto de un número con un segmento es otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial. División de un Segmento por un Número.- La división de un segmento por un número es otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número. División de un Segmento en Partes.- Dividirel segmentoAB en 3 partes iguales. 1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento. 2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
  9. 9. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 9 Ing. Edison Villacrés Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.
  10. 10. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 10 Ing. Edison Villacrés Secuencia 1 Actividad II 1. Observen la figura y respondan lo que se les pide: a. Determina tres segmentos_______________________________ b. Determina cinco puntos _________________________________ c. Determina una figura plana_______________________________ d. Determina dos Segmentos Paralelos ________________________ e. Determina dos segmentos perpendiculares____________________ f. Determina un ángulo ___________________________________. 2. Relaciona las definiciones de la derecha con el número correspondiente al enunciado de la izquierda. a. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales. b. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y solo una. c. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo valen un ángulo recto. d. Llámese así a toda proposición que puede ser demostrada mediante un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad. e. Elemento geométrico elemental que no tiene partes, solo posición. f. A un conjunto de puntos continuos, en una misma dirección le llamamos. g. Límite que separa los cuerpos del espacio que los rodea y que tiene dos dimensiones (largo y ancho). h. Fin y término del procedimiento deductivo, que establece absolutamente convincente una verdad. i. Se le llama así al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos señalados en una recta. j. ¿Nombre que reciben las rectas de un plano, cuando al prolongarse no tienen ningún punto en común? k. Son dos rectas que se intersecan en un punto formando un ángulo de 90°. l. Es un par de rectas que se cortan entre sí formando un par de ángulos más grandes que otro par. m. Tienen su sentido definido de arriba hacia abajo o de abajo hacia arriba. n. Es la línea imaginaria que se traza respecto al horizonte al atardecer. o. Etimológicamente su nombre alude a las raíces griegas que significan "medir la Tierra". ( ) Geometría ( ) Axioma ( ) Vertical ( ) Corolario ( ) Superficie ( ) Paralelas ( ) Punto ( ) Teorema ( ) Demostración ( ) Perpendiculares ( ) Horizontal ( ) Segmento ( ) Oblicuas ( ) Línea recta ( ) Postulado
  11. 11. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 11 Ing. Edison Villacrés 3. Completen los enunciados a las preguntas siguientes: a. Para que un segmento se transforme en una semirrecta, es necesario que:__________________ b. Para que un segmento se transforme en recta se necesita que:___________________________ c. Si tuvieran dos rectas diferentes, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?___________________ d. Si fueran paralelas, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_____________________________ e. Si fueran perpendiculares¿en cuántos puntos podrían coincidir?_________________________ f. ¿Qué ángulos se forman al cortarse dos rectas perpendicularmente? ______________________ g. Si se sabe que no tiene dimensiones, sino sólo posición, se habla de: _______________________ h. Si se sabe que sólo tiene una dimensión, se habla de:__________________________________ i. ¿Qué entienden por semiplano? _________________________________________________ 4. De acuerdo a la posición que guardan las siguientes rectas escribe de cual se trata. A con B _______________ F con C _______________ F con A _______________ E con B _______________ E con D _______________ D con B _______________ A con D _______________ A con E _______________ B con F _______________ D con F _______________ 5. Con base en las figuras, escriban lo que se pide en cada caso: a. Dos parejas de segmentos perpendiculares b. Una pareja de segmentos paralelos c. Una pareja de segmentos paralelos d. Una pareja de segmentos perpendiculares
  12. 12. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 12 Ing. Edison Villacrés e. Dos parejas de segmentos paralelos f. Tres puntos g. Cuatro puntos 6. Tracen lo que se pide en cada caso: a. Dos rectas paralelas b. Un punto P c. Un plano d. Dos rectas perpendiculares e. Una semirrecta f. Un segmento AB g. Una recta m h. Un segmento RS de 3 cm i. Un sólido geométrico
  13. 13. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 13 Ing. Edison Villacrés j. Una recta horizontal k. Es una parte del plano limitada por una recta l. Es la porción de recta limitada por dos puntos m. Es la recta perpendicular al horizonte 7. Resuelvan los problemas siguientes: a. Tracen un polígono que tenga cinco segmentos b. Tracen un plano y en él tres puntos no colineales c. Representen la intersección de dos planos d. Señalen dos puntos y tracen todas las rectas que los unan 8. Completen cada enunciado a. Son dos rectas que al cortarse forman ángulos de 90° b. son dos rectas que al prolongarse se cortan en un punto 9. Realicen lo que se pide en cada caso: a. Dibujen algo que esté formado por planos. b. Dibujen algo que esté formado por rectas paralelas. c. Dibujen algo que contenga al menos tres parejas de segmentos perpendiculares.
  14. 14. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 14 Ing. Edison Villacrés 10.Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son perpendiculares, ¿en qué nos basamos para hacer esta aseveración? 11.Escribe el significado de hipótesis 12.¿Cuáles son las rectas paralelas? 13.El Teorema de Pitágoras de Samos enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación: 14.¿Qué es un segmento? 15.En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú que influye el ángulo en el que el competidor lanza dicho objeto?
  15. 15. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 15 Ing. Edison Villacrés Ángulos Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice. Medición de ángulos Para medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°) Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Radián.- Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio. Operaciones con ángulos Suma de Ángulos a. Gráfica La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales. b. Numérica 1. Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman. +
  16. 16. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 16 Ing. Edison Villacrés 2. Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 60 3. Se hace lo mismo para los minutos. 60 Resta de Ángulos a. Gráfica La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor. b. Numérica 1. Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. - 2. Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos. - 3. Hacemos lo mismo con los minutos. - Multiplicación de Ángulos a. Gráfica La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.
  17. 17. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 17 Ing. Edison Villacrés b. Numérica 1. Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número. * 2. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 60 3. Se hace lo mismo para los minutos. 60 División de ángulos a. Gráfica La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original. /4 = b. Numérica Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1. Se dividen los grados entre el número. 5 2. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. 5 3. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
  18. 18. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 18 Ing. Edison Villacrés 5 4. Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. 5 Tipos de ángulos Clasificación de ángulos según su medida Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90° Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180° Nulo = 0º Completo = 360° Negativo < 0º Mayor de 360° Tipos de Ángulos Según su Posición a. Ángulos Consecutivos
  19. 19. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 19 Ing. Edison Villacrés Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común. b. Ángulos Adyacentes Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un Ángulo Llano. a. Ángulos Opuestos por el Vértice Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.Los ángulos 1 y 3 son iguales.Los ángulos 2 y 4 son iguales. Clases de Ángulos según su Suma a. Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios si suman 90°. b. Ángulos Suplementarios Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Ángulos entre Paralelas y una Recta Transversal a. Ángulos Correspondientes
  20. 20. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 20 Ing. Edison Villacrés Los ángulos 1 y 2 son iguales. b. Ángulos Alternos Internos Los ángulos 2 y 3 son iguales. c. Ángulos Alternos Externos Los ángulos 1 y 4 son iguales. Ángulos en la Circunferencia a. Ángulo Central El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente. b. Ángulo Inscrito
  21. 21. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 21 Ing. Edison Villacrés El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca. c. Ángulo Semiinscrito El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca. d. Ángulo Interior Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados. e. Ángulo Exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella: Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
  22. 22. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 22 Ing. Edison Villacrés f. Ángulos de un polígono regular g. Ángulo central de un polígono regular Es el formado por dos radios consecutivos.Si n es el número de lados de un polígono:Ángulo central = 360°: nÁngulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º h. Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos.Ángulo interior =180° − Ángulo central. Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º i. Ángulo exterior de un polígono regular Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. j. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72º Bisectriz Definición de bisectriz La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales. Trazar la bisectriz 1. Se traza un arco correspondiente al ángulo 2. Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que han de cortarse en un punto. 3. La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice. Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo 1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud. 2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio. 3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.
  23. 23. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 23 Ing. Edison Villacrés Incentro El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
  24. 24. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 24 Ing. Edison Villacrés Secuencia 1 Actividad III 1. Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas: Mide con un trasportador las siguientes figuras e indica con tres letras los ángulos: adyacentes, consecutivos, opuestos por el vértice, rectos, agudos, y obtusos. 2. Contesta brevemente lo que se te pide. a. ¿Cómo se designan (nombran) los ángulos? b. ¿Qué tipos de ángulos conoces? c. ¿Qué es un ángulo? d. ¿Cuánto mide un Ángulo Recto?
  25. 25. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 25 Ing. Edison Villacrés 3. Halla el Conjugado de los siguientes Ángulos Ángulo Conjugado Gráfica 300º 20º 150º 359º 180º 4. En las siguientes figuras encuentra el valor de “X”
  26. 26. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 26 Ing. Edison Villacrés 5. Calcula el valor de los siguientes ángulos. ÁNGULOS SOLUCIÓN
  27. 27. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 27 Ing. Edison Villacrés 6. En la siguiente figura obtén los valores de los ángulos b, c, d y e, también demostrar que ÁNGULOS SOLUCIÓN 7. Realiza las conversiones de grados a radianes o radianes a grados, según lo que se pide Grados a Radianes Radianes a Grados
  28. 28. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 28 Ing. Edison Villacrés 8. Escribe el nombre correspondiente a los ángulos señalados, según su posición de sus lados 9. Identifica los ángulos y completen correctamente lo que sigue: 10. Complete cada enunciado: a. Ángulo equivalente a dos rectas b. Si mide , entonces es un Ángulo c. Si el Angulo es un Ángulo d. Si es un Ángulo e. ¿Qué sucede si ? 11. Realice lo que se pide, para lo cual usen la figura.
  29. 29. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 29 Ing. Edison Villacrés a. Nombren tres ángulos rectos b. Nombren cinco ángulos agudos c. Nombren cuatro ángulos obtusos d. Nombren tres ángulos llanos e. Nombren dos ángulos convexos 12. Resuelvan los problemas siguientes: a. Si se tiene un ángulo recto y se coloca un tercer lado para formar un triángulo, ¿qué clase de ángulos serán los otros dos? b. En un reloj de manecillas, si se toma a la aguja pequeña como lado inicial y a la aguja grande como lado final, ¿qué ángulo se forma a las 10:30, 3:05, 12:00? Nombren tres horas diferentes donde se formen ángulos rectos. 13. De Acuerdo con las figuras, determinar la medida de los ángulos:
  30. 30. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 30 Ing. Edison Villacrés ∆ Es rectángulo Α=
  31. 31. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 31 Ing. Edison Villacrés Β= ϒ= ϴ= a b c 1
  32. 32. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 32 Ing. Edison Villacrés 14. De acuerdo con la figura, completen correctamente y justifiquen: a. ¿Cómo son entre sí los ángulos a y α? b. ¿Cómo son entre sí los ángulos b y β? c. d. e. _______ y _______ ¿Qué puede concluir? 15. Calcule la medida de los ángulos indicados: α= β= ϒ= = = = = = = = = 16. Completar correctamente: a. El Complemento de b. El Complemento de c. El Complemento d. El Suplemento de e. El Suplemento de f. El Suplemento de
  33. 33. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 33 Ing. Edison Villacrés Polígonos Definición.-Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos. Elementos de un polígono Lados.-Son los segmentos que lo limitan. Vértices.-Son los puntos donde concurren dos lados. Ángulos interiores de un polígono.- Son los determinados por dos lados consecutivos. Suma de ángulos interiores de un polígono.-Si n es el número de lados de unpolígono: La suma de los ángulos de un polígono = (n − 2) · 180° Diagonal.- Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos Número de diagonales de un polígono.- Si n es el número de lados de un polígono:El Número de diagonales = n · (n − 3) : 2 4 · (4 − 3) : 2 = 2 5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9
  34. 34. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 34 Ing. Edison Villacrés Tipos de polígonos Según sus lados Triángulos Tienen 3 lados Cuadriláteros Tienen 4 lados Pentágonos Tienen 5 lados Hexágonos Tienen 6 lados Heptágonos Tienen 7 lados Octágonos Tienen 8 lados Eneágono Tiene los 9 lados Decágono Tiene 10 lados. Endecágono Tiene 11 lados Dodecágono Tridecágono Tetradecágono
  35. 35. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 35 Ing. Edison Villacrés Tiene 12 lados Tienen 13 lados Tiene 14 lados. Pentadecágono Tiene 15 lados Hexadecágono Tiene 16 lados Heptadecágono Tiene 17 lados Octadecágono Tiene 18 lado Eneadecágono Tienen 19 lados Icoságono Tiene 20 lados Según sus ángulos Convexos Todos sus ángulos menores que 180°.Todas sus diagonales son interiores.
  36. 36. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 36 Ing. Edison Villacrés Cóncavos Si un ángulo mide más de 180°. Si una de sus diagonales es exterior. Elementos de un Polígono Regular Polígonos Regulares.- Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales. Elementos de un polígono regular Centro.- Punto interior que equidista de cada vértice Radio.- Es el segmento que va del centro a cada vértice. Apotema.-Distancia del centro al punto medio de un lado. Ángulos de un polígono regular Clases de ángulos de un polígono regular Ángulo central de un polígono regular.- Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n. Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º Ángulo interior de un polígono regular
  37. 37. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 37 Ing. Edison Villacrés Es el formado por dos lados consecutivos.Ángulo interior=180° − Ángulo central, Ángulo interior del pentágono regular= 180° − 72º = 108º Ángulo exterior de un polígono regular Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior= Ángulo centralÁngulo exterior del pentágono regular = 72º Clasificación de Polígonos Regulares Triángulo Equilátero Tiene los 3 lados y ángulos iguales Cuadrado Tiene 4 lados y ángulos iguales Pentágono Regular Tiene 5 lados y ángulos iguales Hexágono Regular Tiene 6 lados y ángulos iguales Heptágono Regular Tienen 7 lados y ángulos iguales Octágono Regular Tiene 8 lados y ángulos iguales. Eneágono Regular Tiene los 9 lados y ángulos iguales Decágono regular Tiene 10 lados y ángulos iguales. Endecágono Regular Tiene 11 lados y ángulos iguales Dodecágono regular Tridecágono Regular Tetradecágono Regular
  38. 38. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 38 Ing. Edison Villacrés Tiene 12 lados y ángulos iguales. Tienen 13 lados y ángulos iguales Tiene 14 lados y ángulos iguales. Pentadecágono Regular Tiene 15 lados y ángulos iguales. Hexadecágono Regular Tiene 16 lados y ángulos iguales Heptadecágono Regular Tiene 17 lados y ángulos iguales. Octadecágono Regular Tiene 18 lados y ángulos iguales. Eneadecágono Regular Tienen 19 lados y ángulos iguales Icoságono Regular Tiene 20 lados y ángulos iguales Polígono Inscrito Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella. Circunferencia Circunscrita Es la que toca a cada vértice del polígono. Su centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radio del polígono. Circunferencia Inscrita
  39. 39. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 39 Ing. Edison Villacrés Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su centro equidista de todos los lados. Su radio es laapotemadel polígono. Tipos de triángulos Un triángulo es un polígono con tres lados. Propiedades de los triángulos 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. 3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Según sus Lados Triángulo Equilátero Tres lados iguales Triángulo Isósceles Dos lados iguales Triángulo Escaleno Tres lados desiguales Según sus Ángulos Triángulo Acutángulo Tres ángulos agudos Triángulo Rectángulo Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos Triángulo Obtusángulo Un ángulo obtuso. Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un Triángulo Alturas de un triángulo
  40. 40. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 40 Ing. Edison Villacrés Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). Ortocentro Es el punto de corte de las tres alturas. Medianas de un Triángulo Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Baricentro.- Es el punto de corte de las tres medianas El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG= 2GA Mediatrices de un Triángulo Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Circuncentro Es el punto de corte de las tres mediatrices.Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices de un Triángulo Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Incentro
  41. 41. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 41 Ing. Edison Villacrés Es el punto de corte de las tres bisectrices.Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Recta de Euler Cuadriláteros Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. Clasificación de Cuadriláteros Paralelogramos Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en: Cuadrado Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos Rectángulo Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos Rombo Tiene los cuatro lados iguales Romboide Tiene lados iguales dos a dos Trapecios Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:
  42. 42. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 42 Ing. Edison Villacrés Trapecio Rectángulo Tiene un ángulo recto Trapecio Isósceles Tiene dos lados no paralelos iguales Trapecio Escaleno No tiene ningún lado igual ni ángulo recto Trapezoides Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo
  43. 43. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 43 Ing. Edison Villacrés Circunferencia Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Centro de la Circunferencia.- Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio de la Circunferencia.- Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Elementos de la circunferencia Cuerda Segmento que uneñ. dos puntos de la circunferencia Diámetro Cuerda que pasa por el centro Arco Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita Semicircunferencia Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro. Círculo Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia Elementos de un círculo Segmento circular Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco Semicírculo Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Zona circular Porción de círculo limitada por dos cuerdas.
  44. 44. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 44 Ing. Edison Villacrés correspondiente Equivale a la mitad del círculo. Sector circular Porción de círculo limitada por dos radios Corona circular Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos. Trapecio circular Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular. Posiciones relativas de Circunferencias.- Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia Interior Su distancia al centro es menor que el radio. Punto sobre la circunferencia. Punto exterior a la circunferencia Su distancia al centro es mayor que el radio Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Recta Secante La recta corta a la circunferencia en dos puntos Recta Tangente La recta corta a la circunferencia en un punto Recta Exterior No tiene ningún punto de corte con la circunferencia Posiciones relativas de dos circunferencias.- Ningún punto en común Exteriores La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios. Interiores La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los Concéntricas Los centros coinciden.
  45. 45. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 45 Ing. Edison Villacrés radios. Un punto común Tangentes Exteriores La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. Tangentes Interiores La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios. Dos puntos en común Secantes La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios. Ángulos en la Circunferencia Ángulo central El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente. Ángulo Inscrito El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca. Ángulo Semiinscrito El vértice de ángulosemiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca. Ángulo Interior Ángulo Exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
  46. 46. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 46 Ing. Edison Villacrés Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados. Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia. Áreas Longitud de una circunferencia Longitud de un arco de circunferencia Área de un círculo Área de un sector circular Área de una corona circular Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor. Área de un trapecio circular Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.
  47. 47. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 47 Ing. Edison Villacrés Área de un segmento circular Área del segmento circular AB =Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB Lúnula de Hipócrates Construcción de una lúnula de Hipócrates Partimos de un triángulo isósceles rectángulo. Con centro en O se traza el arco AB. Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco.La parte enmarcada por el color verde se llama lúnula de Hipócrates.
  48. 48. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 48 Ing. Edison Villacrés Secuencia 1 Actividad IV Circunferencia y círculo. Ejercicios 1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas? 2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?1 milla = 1 852 m 3. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
  49. 49. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 49 Ing. Edison Villacrés 4. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia. 5. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia. 6. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
  50. 50. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 50 Ing. Edison Villacrés 7. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo. 8. la superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área. 9. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.
  51. 51. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 51 Ing. Edison Villacrés 10. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D. 11. Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas. 12. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.
  52. 52. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 52 Ing. Edison Villacrés 13. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia. 14. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm. 15. En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.
  53. 53. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 53 Ing. Edison Villacrés Triángulos Definición de triángulo Un triángulo es un polígono de tres lados. Propiedades de los triángulos 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. 3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Clasificación de triángulos Según sus lados Triángulo Equilátero Tres lados Iguales Triángulo Isósceles Dos lados iguales. Triángulo Escaleno Tres lados desiguales Según sus Ángulos Triángulo Acutángulo Tres ángulos agudos Triángulo Rectángulo Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos Triángulo obtusángulo Un ángulo obtuso Elementos notables de un triángulo Alturas de un triángulo Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). Ortocentro Es el punto de corte de las tres alturas Ortocentro.- Es el punto de corte de las tres alturas
  54. 54. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 54 Ing. Edison Villacrés Medianas de un triángulo.- Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Baricentro.-Es el punto de corte de las tres medianas El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG = 2GA Mediatrices de un triángulo.- Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Circuncentro.- Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices de un Triángulo.- Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Incentro Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.Recta de Euler
  55. 55. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 55 Ing. Edison Villacrés El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler. Teorema del cateto En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. a hipotenusa b y c catetos m proyección del cateto b sobre la hipotenusa n proyección del cateto c sobre la hipotenusa La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto. Teorema de la altura
  56. 56. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 56 Ing. Edison Villacrés En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa. Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Aplicaciones del teorema de Pitágoras 1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
  57. 57. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 57 Ing. Edison Villacrés La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto? 3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores. Determinar si el triángulo es rectángulo. Aplicaciones del teorema de Pitágoras Diagonal del cuadrado Diagonal del rectángulo
  58. 58. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 58 Ing. Edison Villacrés Aplicaciones del teorema de Pitágoras I Lado oblicuo del trapecio rectángulo Altura del trapecio isósceles
  59. 59. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 59 Ing. Edison Villacrés Altura del triángulo equilátero Aplicaciones del teorema de Pitágoras II Apotema de un polígonoregular Apotema del Hexágono Inscrito
  60. 60. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 60 Ing. Edison Villacrés Aplicaciones del teorema de Pitágoras III Lado de un triángulo equilátero inscrito
  61. 61. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 61 Ing. Edison Villacrés Lado de un Cuadrado Inscrito Secuencia 1 Actividad V Aplicaciones del teorema de Pitágoras. Ejercicios 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular: a. Los catetos. b. La altura relativa a la hipotenusa. c. El área del triángulo. 2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa del mismo cm.
  62. 62. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 62 Ing. Edison Villacrés 3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? 4. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas? 5. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. 6. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
  63. 63. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 63 Ing. Edison Villacrés 7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo. 8. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área. 9. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada. 10. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
  64. 64. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 64 Ing. Edison Villacrés 11. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo. 12. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente. 13. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices. 14. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
  65. 65. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 65 Ing. Edison Villacrés 15. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio. 16. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro. 17. En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
  66. 66. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 66 Ing. Edison Villacrés Trigonometría Medida de ángulos.- Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: 1. Grado sexagesimal (°).- Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). 2. Radián (rad).- Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio. Ejemplos Razones Trigonométricas Seno Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por . Coseno Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por .
  67. 67. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 67 Ing. Edison Villacrés Tangente Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por Cosecante Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B. Se denota por . Secante Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B. Se denota por . Cotangente Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por . Razones Trigonométricas de Cualquier Ángulo Se llama circunferencia gonio métrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia gonio métrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. QOP y TOS son triángulos semejantes. QOP y T'OS′ son triángulos semejantes. El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa.
  68. 68. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 68 Ing. Edison Villacrés Signo de las Razones Trigonométricas 0 1 0 -1 1 0 -1 0 0 0 Razones Trigonométricas de Seno, coseno y tangente de 30º y 60º Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es: Seno, coseno y tangente de y = = = = Seno, coseno y tangente de
  69. 69. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 69 Ing. Edison Villacrés Razones Trigonométricas de Ángulos Notables 0 1 0 -1 1 0 -1 0 0 0 Identidades Trigonométricas Fundamentales Sabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. Sabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo .
  70. 70. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 70 Ing. Edison Villacrés Identidades Trigonométricas Ángulos Complementarios.- Son aquéllos cuya suma es radianes. Ángulos suplementarios.- Son aquéllos cuya suma es .
  71. 71. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 71 Ing. Edison Villacrés Ángulos que se diferencian en .- Son aquéllos cuya resta es radianes. Ángulos Opuestos Son aquéllos cuya suma es radianes.
  72. 72. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 72 Ing. Edison Villacrés Ángulos Negativos.- El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. Mayores de .- Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas. Razones Trigonométricas de otros Ángulos.- Ángulos que difieren en
  73. 73. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 73 Ing. Edison Villacrés Ángulos que suman Ángulos que difieren en
  74. 74. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 74 Ing. Edison Villacrés
  75. 75. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 75 Ing. Edison Villacrés Secuencia 2 Actividad 1 Trigonometría 1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos: a. b. . c. . 2. Expresa en radianes los siguientes ángulos: a. b. c.
  76. 76. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 76 Ing. Edison Villacrés 3. Sabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. 4. Sabiendo que , y que Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. 5. Sabiendo que , calcular las restantes razones trigonométricas. 6. Calcula las razones de los siguientes ángulos: a. b. c. d.
  77. 77. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 77 Ing. Edison Villacrés 7. Comprobar las identidades: a. b. c. d. e.
  78. 78. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 78 Ing. Edison Villacrés 8. Demostrar las siguientes identidades: a) b) c) d) e)
  79. 79. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 79 Ing. Edison Villacrés f) g) h) i) j)
  80. 80. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 80 Ing. Edison Villacrés k) l) m) n) o)
  81. 81. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 81 Ing. Edison Villacrés p) q) r) s) t) –
  82. 82. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 82 Ing. Edison Villacrés u) v) w) – x)
  83. 83. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 83 Ing. Edison Villacrés
  84. 84. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 84 Ing. Edison Villacrés Resolución de Triángulos Rectángulos Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto. 1. Se conocen la hipotenusa y un cateto Resolver el triángulo conociendo: 2. Se conocen los dos catetos
  85. 85. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 85 Ing. Edison Villacrés Resolver el triángulo conociendo: 3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo Resolver el triángulo conociendo: 4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
  86. 86. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 86 Ing. Edison Villacrés Resolver el triángulo conociendo:
  87. 87. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 87 Ing. Edison Villacrés Secuencia 2 Actividad 2 9. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen Resolver el triángulo 10. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen . Resolver el triángulo. 11. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen . Resolver el triángulo. 12. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen . Resolver el triángulo. 13. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
  88. 88. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 88 Ing. Edison Villacrés 14. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? 15. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70° 16. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°. 17. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°. 18. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
  89. 89. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 89 Ing. Edison Villacrés Secuencia 2 Actividad 3 Ejercicios de Trigonometría 19. Sabiendo que , calcular las restantes razones trigonométricas. 20. Calcula las razones de los siguientes ángulos: a. b. 21. Simplificar las fracciones: a. b.
  90. 90. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 90 Ing. Edison Villacrés c. 22. Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio. 23. Tres pueblos están unidos por carreteras. La distancia de y la de . El ángulo que forman estas carreteras es . ¿Cuánto distan ? 24. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco se aleja se observa bajo un ángulo de . Calcula la altura del acantilado. Solución .
  91. 91. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 91 Ing. Edison Villacrés 25. Resuelve el triángulo conociendo y el cateto b = 25 cm. Solución: , la hipotenusa y el otro cateto 26. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º. Solución: Los lados iguales miden , y el lado desigual, 27. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a de su pie se ve bajo un ángulode . Solución: 28. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí 80m, se ve bajo ángulos de , respectivamente. Solución:
  92. 92. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 92 Ing. Edison Villacrés Secuencia 2 Actividad 4 29. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de . En uno de ellos, a del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de gasolina hasta el otro camino. 30. Una carretera asciende 3m por cada de recorrido. ¿Qué ángulo forma con lahorizontal? Solución: 31. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su alturamide y que el ángulo desigual es de . 32. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de de altura. Desde un punto A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ángulo de y el extremo superior c bajo un ángulo de . Hallar la altura del montículo:
  93. 93. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 93 Ing. Edison Villacrés 33. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión de una embarcación es de . Hallar a qué distancia está la embarcación del faro. 34. Desde F, el punto más alto de un faro situado a sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, con ángulo de depresión igual a . Cinco minutos más tarde la posición del barco es C y se divisa desde F bajo un ángulo de . Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria es perpendicular a la , siendo P el pie del 35. La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 2 centímetros, respectivamente Halla las medidas de sus ángulos.
  94. 94. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 94 Ing. Edison Villacrés 36. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre lahipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos. 37. Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B.¿Qué anchura tiene el río? 38. Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7 centímetros de radio?
  95. 95. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 95 Ing. Edison Villacrés Secuencia 2 Actividad 5 39. Resuelve estos triángulos. a. b. c. 40. El lado de un octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.
  96. 96. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 96 Ing. Edison Villacrés 41. Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70_. Sus medidas son 7 y 8 centímetros. a) Calcula la longitud de la diagonal menor. b) Halla el área del paralelogramo. 42. Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio. 43. ¿Qué volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si los radios de las bases miden 10 y 20 centímetros, y la generatriz forma un ángulo de con el suelo?
  97. 97. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 97 Ing. Edison Villacrés 44. Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos. 45. Halla el volumen de estos cuerpos.
  98. 98. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 98 Ing. Edison Villacrés 46. Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la base mide 20 centímetros y la generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60_ con el suelo, ¿qué cantidad de papel se necesita 47. Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos 48. Resuelve los triángulos sabiendo que es un ángulo recto. a) b) c)
  99. 99. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 99 Ing. Edison Villacrés 49. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado. 50. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80_. ¿Cuál es la medida dela altura sobre este lado?
  100. 100. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 100 Ing. Edison Villacrés Secuencia 3 Actividad 1 51. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6 centímetros.Halla la longitud de los lados. 52. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetossobre ella, 4 centímetros.Resuelve el triángulo. 53. La diagonal mayor de un rombo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de 26¿Cuánto mide el lado del rombo? 54. Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo.
  101. 101. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 101 Ing. Edison Villacrés 55. Resuelve estos triángulos 56. Halla la medida de los ángulos y los lados desconocidos en cada caso. a)
  102. 102. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 102 Ing. Edison Villacrés b) c) d) 57. Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es? 58. Resuelve los siguientes triángulos. a)
  103. 103. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 103 Ing. Edison Villacrés b) 59. Halla la medida de la diagonal del paralelogramo 60. Calcula la medida de las diagonales dibujadas en el pentágono regular de la figura
  104. 104. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 104 Ing. Edison Villacrés Secuencia 3 Actividad 2 61. Longitudes y áreas de figuras planasLas proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 14,4 y 25,6centímetros. Calcula el área del triángulo. 62. La diagonal de un rectángulo mide 28,84 decímetros y forma con la base un ángulo de . Halla su perímetro y su área. 63. El lado de un octógono regular mide 20 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área del Octógono. 64. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7 centímetrosy forman un ángulo de .
  105. 105. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 105 Ing. Edison Villacrés 65. Halla el área de este paralelogramo. 66. Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos 67. Calcula el volumen del cilindro
  106. 106. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 106 Ing. Edison Villacrés 68. Halla el área total y el volumen del ortoedro. 69. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida, ¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos? 70. Responde a las siguientes preguntas. a) ¿Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo?
  107. 107. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 107 Ing. Edison Villacrés b) ¿Y de un triángulo cualquiera? c) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado. d) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado.
  108. 108. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 108 Ing. Edison Villacrés Secuencia 3 Actividad 3 71. ¿Se pueden utilizar los teoremas del seno y del coseno para resolver un triángulo rectángulo? Razona tu respuesta. 72. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero también se pueden utilizar esos teoremas. 73. Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se obtienen dos rectángulos, y al trazar una diagonal, dos triángulos. 74. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos obtenidos?
  109. 109. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 109 Ing. Edison Villacrés 75. Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes: 76. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulos desconocidos, ¿se puede utilizar el teorema del seno? ¿Y el del coseno? En caso de poder utilizar los dos, ¿cuál es el más conveniente? 79. El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6378 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales a dos puntos como muestra el dibujo. ¿A qué distancia del centro se encuentra el satélite? ¿Y de los puntos determinados por las visuales?
  110. 110. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 110 Ing. Edison Villacrés 80. Juan ha decidido donar sus muebles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes de trasladarla quiere comprobar si la puede bajar en el ascensor una vez quitadas las patas. 81. Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: la imagen que captura el visor no coincide con la del objetivo porque no están situados a la misma distancia. Calcula el ángulo a que mide la paralaje. 82. Una balda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un objeto pesado. Al situarlas en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningún ángulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimensiones tendrá el triángulo que hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto necesario? 83. Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos de modo que formen triángulos no solapados.
  111. 111. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 111 Ing. Edison Villacrés

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